บทที่ 2 ระบบเลขฐาน · ความหมายของระบบจํานวนและฐานเลข (ต่อ) ปกติมนุษย์จะใช้เลขฐาน

บทที่ 2 �ระบบเลขฐาน

By Nirandorn Lerdwiraphol

ความหมายของระบบจํานวนและฐานเลข ดิจิตอลคอมพิวเตอร์ คือเครื่องจักรกลที่สร้าง

ขึ้นมาจากอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ จึงรับรู้สภาวะอยู่ 2 สภาวะคือ สภาวะที่กระแสไฟฟ้าเปิด และสภาวะที่กระแสไฟฟ้าปิด (on/off) ระบบสองสภาวะนี้เรียกว่า Binary System หรือระบบเลขฐานสอง โดยกําหนดให้แทนสภาวะที่กระแสไฟฟ้าเปิดด้วย 1 และแทนสภาวะที่กระแสไฟฟ้าปิดด้วย 0 ซึ่งตัวเลข 1 หรือ 0 นี้จะเรียกว่า Bit หรือ Binary Digit



แรกเริ่มที่มีการพัฒนาเครื่องคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์ขึ้นมา การป้อนข้อมูลและการแสดงผลลัพธ์ก็จะออกมาในรูปแบบของ Binary system

แสดงผลลัพธ์จากการประมวลผลด้วยเครื่อง ENIAC

ความหมายของระบบจํานวนและฐานเลข (ต่อ)

ความหมายของระบบจํานวนและฐานเลข (ต่อ)

ปกติมนุษย์จะใช้เลขฐานสิบ(Decimal Number) ในการติดต่อสื่อสาร โดยใช้ตัวเลขซึ่งได้แก่เลข 0, 1, 2, 3, …, 9 แต่บางครั้งเครื่องคอมพิวเตอร์ก็ไม่เข้าใจ ดังนั้นการติดต่อสื่อสารกับคอมพิวเตอร์ เราจึงต้องแปลงระบบจํานวนออกเป็นเลขฐานต่างๆ ในที่นี้เราจะมาทําความรู้จักกับเลขฐานสอง, ฐานแปด และฐานสิบหก



ความหมายของระบบจํานวนและฐานเลข (ต่อ) ตารางแสดงระบบจํานวนเลขฐานต่างๆ

การเขียนระบบจํานวนเลขฐานใดๆ ต้องเขียนชื่อฐานกํากับห้อยไว้ที่ ท้ายจํานวนของเลขฐานนั้นๆ ยกเว้นฐานสิบ เราจะละไว้ในฐานที่เข้าใจ ว่าจํานวนนั้นคือฐานอะไรโดยไม่ต้องเขียนเลขฐานกํากับไว้ เนื่องจาก มีการใช้ในชีวิตประจําวันเป็นประจําอยู่แล้ว ดังตัวอย่างดังนี้

11012 หมายถึง ระบบเลขฐานสอง 1101 หมายถึง ระบบเลขฐานสิบ 12078 หมายถึง ระบบเลขฐานแปด 1A016 หมายถึง ระบบเลขฐานสิบหก

ระบบเลขฐานสอง


ระบบเลขฐานสอง คือ กลุ่มของตัวเลขที่มีการใช้ตัวเลขอยู่ สองตัวคือ 0 และ 1 เท่านั้น ซึ่งสามารถใช้แทนสถานะทาง ไฟฟ้าได้เลย ดังตัวอย่างในภาพ

ไฟปิด แทน 0 ไฟเปิด แทน 1 ! !

ระบบเลขฐานสิบ


ระบบเลขฐานสิบ เป็นระบบเลขฐานที่มนุษย์ใช้ในชีวิตประจําวัน สําหรับการติดต่อสื่อสาร มีสัญลักษณ์หรือตัวเลขอยู่ 10 ตัว ได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 โดยให้เลข 0 แทน จํานวนศูนย์จํานวน ให้เลข 1 แทนจํานวนหนึ่งจํานวน ไปเรื่อยๆ จนถึงเลข 9 แทนจํานวนเก้าจํานวน พอถึงตรงนี้ถ้าหากเราจะแทนจํานวนสิบจํานวนแล้วล่ะก็ ต้องวนรอบไปเร่ิมต้นที่เลข 0 ใหม่และเติมเลข 1 ด้านหน้าเลข 0 เป็น 10 จึงจะได้ค่าเป็นสิบ จากนั้นเพิ่มค่าไปเรื่อยๆ จนถึง 19 จะหมดรอบที่สอง ก็วนไปเริ่มต้นใหม่จาก 1 เป็น 2 เติมเลข 0 หลังเลข 2 จะได้ค่าเป็นยี่สิบ

ระบบเลขฐานสิบ


จากตัวอย่างด้านบน จะเห็นตัวเลขที่เรียงวนไปรอบหนึ่ง แล้วกลับไปเริ่มใหม่ไปเรื่อยๆ (รอบหนึ่งมีตัวเลข 10 ตัว) ค่าที่เพิ่มแต่ละรอบก็จะเพิ่มเป็นทีละสิบ เช่น จากศูนย์เป็นสิบ จากสิบเป็นยี่สิบ จากเก้าเป็นสิบเก้า เป็นต้น


ระบบเลขฐานสอง ระบบเลขฐานสองเริ่มต้นมาจากแนวคิดของการเปิด-ปิดระบบ อิเล็กทรอนิกส์ ที่มีการใช้ตัวเลขอยู่สองตัวคือ 0 และ 1 เท่านั้น โดย 0 คือ จํานวนศูนย์จํานวน และ 1 คือ จํานวนหนึ่งจํานวน ถ้าหากต้องการแทนจํานวนที่มากกว่านี้ไปเรื่อยๆ ต้องวนขึ้น รอบใหม่เช่นเดียวกับระบบเลขฐานสิบ


ระบบเลขฐานแปด เลขฐานแปดจะมีตัวเลขในระบบอยู่ 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, …, 7 จะเห็นว่าไม่มีเลข 8 ปรากฏอยู่ในระบบ ดังนั้น ตัวเลขที่มีค่าเท่ากับ แปด จึงเป็น 10 ดังตัวอย่างต่อไปนี ้


ระบบเลขฐานสิบหก

ระบบเลขฐานสิบหกมีตัวเลขในระบบ 16 ตัว ประกอบด้วยตัวเลข 0, 1, 2, …, 9 และใช้สัญลักษณ์ A, B, C, D, E, F แทนตัวเลขที่มีค่าเป็นสิบ สิบเอ็ด สิบสอง สิบสาม สิบสี่ และสิบห้า ตามลําดับ และเมื่อหมดรอบแรกแล้ว(สิ้นสุดที่ตัว F ซึ่งมีค่าเท่ากับสิบห้า) ก็จะวนขึ้นไปรอบใหม่เริ่มต้นที่ 0 เติมเลข 1 ด้านหน้าเป็น 10 มีค่าเป็นสิบหก ดังนั้น ตัวเลขทีมีค่าเป็นสิบหกจะเขียนแทนด้วย 10 จากนั้นก็เพิ่มค่าไปเรื่อยๆ จนถึง 1F (มีค่าเป็นสามสิบเอ็ด) ก็วนขึ้นรอบใหม่เริ่มต้นที่ 0 เติมเลข 2 ด้านหน้าเป็น 20 มีค่าเป็นสามสิบสอง อย่างนี้ไปเรื่อยๆ ดังตัวอย่าง


ระบบเลขฐานสิบหก


ฐานสิบ (Decimal) ฐานสอง (Binary) ฐานแปด (Octal) ฐานสิบหก

(Hexadecimal)

0 00000 0 01 00001 1 12 00010 2 23 00011 3 34 00100 4 45 00101 5 56 00110 6 67 00111 7 78 01000 10 89 01001 11 910 01010 12 A11 01011 13 B12 01100 14 C13 01101 15 D14 01110 16 E15 01111 17 F16 10000 20 10

ตารางเปรียบเทียบระหวางเลขฐาน3


การเปลี่ยนจำนวนเลขฐาน3

การเปลี่ยนเลขฐาน คือ การแปลงระบบจํานวนของเลขฐานหนึ่งไปเป็นระบบจํานวนของเลขฐานหนึ่ง เช่น การแปลงระบบเลขฐานสองไปเป็นระบบเลขฐานส ิบ ท ั ้ งน ี ้ ก ็ เพราะระบบของด ิจ ิตอลคอมพิวเตอร์ต้องอาศัยระบบเลขฐานสองในการประมวลผล จึงต้องมีการเปลี่ยนเลขฐานสิบมาเป็นฐานสอง และก็เพื ่อความสะดวกในการอ่านของมนุษย์ก็จะมีการแปลงกลับจากฐานสองมาเป็นสิบ ซึ่งจะมีวิธีการเปลี่ยนต่อไป



หน้าจุดทศนิยม หลังจุดทศนิยม

หลัก พัน ร้อย สิบ หน่วย สิบ ร้อย

เลขท่ีตำแหน่ง 3 2 1 0 -1 -2ค่าของตำแหน่ง 103 102 101 100 10-1 10-2

ปริมาณค่า 1000 100 10 1 1/10 1/100

ตารางแสดงค่าของตําแหน่งของตัวเลขในระบบฐานสิบ



ตัวอย่างเช่น จํานวน 1,325 สามารถนําตัวเลขแต่ละตัวมาใส่ในช่องแต่ละช่องให้ตรงตามหลักและค่าของมันตามตารางข้างล่างนี้

หลัก พัน ร้อย สิบ หน่วย

ตัวเลข 1 3 2 5เลขที่ตำแหน่ง 3 2 1 0ค่าของตำแหน่ง 103 102 101 100

ปริมาณค่า 1000 100 10 1



จากตาราง ตัวเลขแต่ละตัวจะมีปริมาณค่าเท่ากับ (1x1000) + (3x100) + (2x10) + (5x1) = 1000 + 300 + 20 + 5 = 1325

หรือนํามาเขียนใหม่ในรูปของเลขยกกําลังจะได้ (1x103) + (3x102) + (2x101) + (5x100) = 1325 ดังนั้นเลขฐานสิบ 1325 เราสามารถ กระจาย หรือ

ขยายออกมาได้ตามลักษณะดังกล่าว ซึ่งเราจะใช้วิธีการ กระจาย นี้สําหรับการแปลงเลขฐานต่างๆ มาเป็นเลขฐานสิบ



การเปลี่ยนจํานวนเลขฐานจากฐานอื่นเป็นฐานสิบ

(1) เปลี่ยนจากระบบเลขฐานสองเป็นฐานสิบ การเปลี่ยนเลขฐานสองมาเป็นฐานสิบเราก็จะ

ใช้วิธีการ กระจาย ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว โดยค่าของตําแหน่งจะเป็นเลข 2 แทนเลข 10 ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 1 จงเปลี่ยนจํานวน 11012 ไปเป็นเลขฐานสิบ



นําตัวเลขดังกล่าวไปเติมในตาราง หลัก พัน ร้อย สิบ หน่วย

ตัวเลข 1 1 0 1เลขท่ีตำแหน่ง 3 2 1 0ค่าของตำแหน่ง 23 22 21 20

ปริมาณค่า 8 4 2 1

จากตาราง ตัวเลขแต่ละตัวจะมีปริมาณค่าเท่ากับ (1x8) + (1x4) + (0x2) + (1x1) = 8 + 4 + 0 + 1= 13 หรือนํามาเขียนใหม่ในรูปของเลขยกกําลังจะได้ (1x23) + (1x22) + (0x21) + (1x20) = 13 ในระบบเลขฐานสิบ



ตัวอยางท่ี 2 จงเปลี่ยนจำนวน 100012 ไปเปนเลขฐานสิบ3

วิธีทำ3

100012 = (1x24) + (0x23) + (0x22) + (0x21) + (1x20)!

" = (1x16) + (0x8) + (0x4) + (0x2) + (1x1)!

" = 16 + 0 + 0 + 0 + 1!

" = 17 ในระบบเลขฐานสิบ !



เปลี่ยนจากระบบเลขฐานแปดเป็นฐานสิบ การเปลี่ยนเลขฐานแปดมาเป็นฐานสิบเราก็

จะใช้วิธีการ กระจาย เหมือนกับการเปลี่ยนเลขฐานสองมาเป็นฐานสิบ โดยค่าของตําแหน่งจะเป็นเลข 8 ดังตัวอย่าง ตัวอย่างที่ 3 จงเปลี่ยนจํานวน 2078 ไปเป็นเลขฐานสิบ



นำตัวเลขดังกลาวไปเติมในตาราง3หลัก ร้อย สิบ หน่วย

ตัวเลข 2 0 7เลขท่ีตำแหน่ง 2 1 0ค่าของตำแหน่ง 82 81 80

ปริมาณค่า 64 8 1

จากตาราง ตัวเลขแตละตัวจะมีปริมาณคาเทากับ3 (2x64) + (0x8) + (7x1) "= 128 + 0 + 7!

" " " " "= 135!

หรือนำมาเขียนใหมในรูปของเลขยกกำลังจะได3

(2x82) + (0x81) + (7x80) = 135 ในระบบเลขฐานสิบ


เปลี่ยนจากระบบเลขฐานสิบหกเปนฐานสิบ!

!การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกมาเปนฐานสิบเราก็จะใชวิธี

การ กระจาย เหมือนกับการเปลี่ยนเลขฐานสองมาเปนฐานสิบ

โดยคาของตำแหนงจะเปนเลข 16 ดังตัวอยางG

G

ตัวอยางท่ี 5 จงเปลี่ยนจำนวน A0116 ไปเปนเลขฐานสิบG




นำตัวเลขดังกลาวไปเติมในตาราง หลัก ร้อย สิบ หน่วย

ตัวเลข A 0 1เลขที่ตำแหน่ง 2 1 0ค่าของตำแหน่ง 162 161 160

ปริมาณค่า 256 16 1

จากตาราง ตัวเลขแตละตัวจะมีปริมาณคาเทากับG

!(Ax256) + (0x16) + (1x1) !"

! != (10x256) + 0 + 1"

! != 2560 + 1"

! != 2561 G



หรือนำมาเขียนใหมในรูปของเลขยกกำลังจะไดG

!(Ax162) + (0x161) + (1x160) "

!= 2561 ในระบบเลขฐานสิบ G


การเปลี่ยนจำนวนเลขฐานสิบไปเปนเลขฐานอ่ืน3

!การเปลี่ยนเลขฐานสิบไปเปนเลขฐานอื่น เชน ฐานสอง ฐาน

แปด และฐานสิบหก เราก็จะใชวิธีแปลงกลับ (Remainder Method)

โดยการหารหาเศษ แลวเก็บเศษที่เหลือไวในการหารครั้งตอไป ซึ่ง

ตองหารไปเรื่อยๆ จนกวาผลหารจะเปนศูนย และผลลัพธจากการหาร

คือเศษจะอานยอนกลับขึ้นขางบนG

!(1) การเปลี่ยนเลขฐานสิบไปเปนฐานสองG

!การเปลี่ยนฐานสิบไปเปนฐานสอง เราก็จะใชวิธีการหารโดย

ตัวหารคือ 2 ดังตัวอยางG




ตัวอยางท่ี 7 จงเปลี่ยนจำนวน 65 เปนระบบเลขฐานสองG

!เราจะใชวิธีการตั้งหารเอาเศษ ดังนี้G

!2 !65 !เศษG

!2 !32 !1"

!2 !16 !0"

!2 !8 !0"

!2 !4 !0"

!2 !2 !0"

! !1 !0 G

!จะไดคำตอบคือ 10000012

อานยอนขึ้นG



(2) การเปลี่ยนเลขฐานสิบไปเปนฐานแปด G

!การเปลี่ยนฐานสิบไปเปนฐานแปด เราก็จะใชวิธีการ

ตั้งหารโดยตัวหารคือ 8 ดังตัวอยางG

G

ตัวอยางท่ี 8 จงเปลี่ยนจำนวน 65 เปนระบบเลขฐานแปดG

!8 !65 !เศษG

!8 !8 !1"

! !1 !0"

!จะไดคำตอบคือ 1018 "



(3) การเปลี่ยนเลขฐานสิบไปเปนฐานสิบหก G

!การเปลี่ยนฐานสิบไปเปนฐานสิบหก เราก็จะใชวิธีการ

ตั้งหารโดยตัวหารคือ 16 ดังตัวอยางG

G

ตัวอยางท่ี 9 จงเปลี่ยนจำนวน 65 เปนระบบเลขฐานสิบหกG

!16 !65 !เศษG

! !4 !1"

!จะไดคำตอบคือ 4116

แบบทดสอบ 1.จงแปลงจํานวน 1011002 ไปเป็นระบบเลขฐานสิบ 2.จงแปลงจํานวน 178 ไปเป็นระบบเลขฐานสิบ 3.จงแปลงจํานวน 2568 เป็นระบบเลขฐานสิบหก



2.2.3 การเปลี่ยนจำนวนเลขฐานแปด ฐานสิบหกไปเปน

เลขฐานสอง3

!การเปลี่ยนเลขฐานแปด และฐานสิบหก ไปเปนเลข

ฐานสองเราก็จะใชวิธีแปลงที่ละสวน เนื่องจากวาเลขฐาน

แปดและฐานสิบหกแตละตัวจะประกอบไปดวยเลขฐานสอง

จำนวน 3 ตัว และ 4 ตัว ตามลำดับ "

(8 = 23, 16 = 24 แตบางกรณีมีจำนวนเลขฐานสองไมครบก็

สามารถเติม 0 หนาจำนวนได)



ตัวอยางท่ี 11 จงเปลี่ยนจำนวน 758 เปนระบบเลขฐานสองGในการแปลงระบบจำนวนจากเลขฐานแปดเปนฐานสองมีวิธีการงายๆ อยู 2 วิธี ดังนี้G

!วิธีที่ 1 แยกตัวเลขแตละตัวออกมาแลวหารดวย 2 เศษที่ไดจากการหารจะ

เปนจำนวนของเลขฐานแปด G

!G

G

G

G

G

!จะได 78 = 1112 ! ! !58 = 1012 "

จากนั้นนำผลลัพธที่ไดของแตละตัวมารวมกัน จะไดคำตอบคือ 758 = 1111012 "

2 7 เศษ

2 3 1

1 1

2 5 เศษ

2 2 1

1 0



ตัวอยาง จงแปลงจำนวน 33.5 เปนเลขฐานสอง4

100001.12 4

2 33 2 16 1 2 8 0 2 4 0 2 2 0 1 0

0.5 2

.1 .0



Quiz #1 : 10 Marks 1.  จงแปลงจำนวน 101012 ไปเปนฐานสิบ42.  จงแปลงจำนวน A0616 ไปเปนฐานสิบ43.  จงแปลงจำนวน 88 ไปเปนฐานแปด44.  จงแปลงจำนวน 3073 ไปเปนฐานสิบหก4

30 minute4


การบวก, ลบ เลขฐาน3

การบวก ลบ ในระบบเลขฐานสอง "

!การบวกหรือลบในระบบเลขฐานสองก็เหมือนกันกับการบวก

ลบ ในระบบเลขฐานสิบ แตจะตางกันเฉพาะระบบเลขฐานสองนั้นมี

ตัวเลขเพียง 2 ตัวเทานั้น คือ 0 และ 1 ดังนั้น ผลลัพธในการบวก

หรือลบ ก็จะไดคำตอบที่เปนตัวเลขไมเกิน 2 ตัวนี้ นั่นก็คือ "

1 + 1 ไมใช 2 แตเปน 10 แทน เพราะ ในระบบเลขฐานสอง จำนวน

2 เขียนแทนดวย 10 ดังตัวอยางตอไปนี้"



ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ 101002 + 11002 4

4

4

ดังนั้น จะได้ผลลัพธ์ 101002 + 11002 = 1000002 4

10100 4 -  ต้ังบวกโดยวางตำแหนงหลักทางขวาใหตรงกัน4+1100 4 -  หลักใดบวกกันแลวมีคาไมเกินสอง ก็บวกกันไดเลย4

100000 4 -  หลักใดบวกกันมีคาเปนสอง(2 = 102) ใหใส 0 สวน 1 4

นำไปทดกับหลักถัดไป4

จงหาผลลัพธ์ของ 101012 – 10112



ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ 101012 – 10112 4

4

4

4

4

4

ดังนั้นจะได้ผลลัพธ์ของ 101012 – 10112 =

10102 4

10101 4 -  ต้ังลบโดยวางตำแหนงหลักทางขวาใหตรงกัน4

-1011 4 -  หลักใดลบกันได ก็สามารถลบกันไดเลย4

1010 4 -  หลักใดตัวต้ังนอยกวาก็ใหยืมหลักขางหนามา 1 4

ซ่ึงมีคาเปน 2 แลวลบกันตามปกติ4


การบวก ลบ ในระบบเลขฐานแปด "

!การบวกหรือลบในระบบเลขฐานแปดก็เหมือนกันกับการ

บวก ลบ ในระบบเลขฐานสอง และเชนเดียวกันคือ ในระบบเลข

ฐานแปด จะมีเลขอยู 8 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, …, 7 (ไมมีเลข 8 นะ

ครับ) ดังนั้น ถาเราเอา 7 บวกกับ 1 จะมีคาเทากับ 10 และ 7 บวก

2 ก็จะได 11 ดังที่ไดอธิบายไวแลว"



ตัวอย่าง จงหาผลลัพธ์ของ 2738 + 1278 4

4

4

4

4

ดังนั้น จะได้ผลลัพธ์ 2738 + 1278 = 4228 4

273 4 -  ต้ังบวกโดยวางตำแหนงหลักทางขวาใหตรงกัน4+127 4 -  หลักใดบวกกันแลวมีคาไมเกินเจ็ด ก็บวกกันไดเลย4

422 4 -  หลักใดบวกกันมีคาเกินเจ็ด(8 = 108) ใหใสเลขทาย 4

สวน 1 นำไปทดกับหลักถัดไป4



แบบฝึกหัดเก็บคะแนน (15 คะแนน) จงแสดงวิธีทํา 1.จํานวน 2568 มีค่าเท่ากับเท่าใดในระบบเลขฐานสิบหก 2.จงหาผลลัพธ์ของ 1011002 + 11002 3.จงหาผลลัพธ์ของ 10002 – 1012

Documents

บทที่ 2 ระบบเลขฐาน · ความหมายของระบบจํานวนและฐานเลข (ต่อ) ปกติมนุษย์จะใช้เลขฐาน