บทที่ 2 การเคลื่อนที่ในหนึ่ง ......ส ดยอดแห งการค านวณและเทคน คค ดล ด การเคล

สดยอดแหงการค านวณและเทคนคคดลด

การเคลอนทในหนงมตและสองมต - 1 –

เรยบเรยงโดย

อาจารยณฐพล สรรพกจก าจร(วศ.บ.อตสาหการ)

บทท 2 การเคลอนทในหนงมตและสองมต Motion in one Dimension and two Dimension

2.1 ปรมาณทางฟสกส แบงออกเปน 2 แบบ 1. ปรมาณสเกลาร (Scalar Quantity) คอ ปรมาณทบอกแตขนาด 2. ปรมาณเวกเตอร (Vector Quantity) คอ ปรมาณทบอกทงขนาดและทศทาง 2.2 ปรมาณเวกเตอร 2.2.1 เวกเตอรทเทากน

2.2.2 เวกเตอรทตรงขามกน

2.3 การบวก การลบเวกเตอร

สามาท าได 2 วธ 1) วธการเขยนรป 2) วธการค านวณ 2.3.1 การบวก ลบเวกเตอรโดยวธการเขยนรป





ตวอยางท 1 เวกเตอร A และเวกเตอร B มขนาดและทศทางดงรป จงหา ก) A + B ข) B + A

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 2 เวกเตอร A และเวกเตอร B มขนาดและทศทางดงรป จงหา ก) A - B

ข) B - A

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





ตวอยางท 3

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 4 จากตวอยางท 3

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 5 จากรปจงหาเวกเตอรลพธ






---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






2.3.2 การบวก ลบเวกเตอรโดยวธการค านวณ 1. เมอเวกเตอรยอยเพยงสองเวกเตอร - เวกเตอรทงสองไปทางเดยวกน

- เวกเตอรทงสองสวนทางกน

สรป => เวกเตอรลพธของสองเวกเตอรมขนาดมากทสดเมอ เวกเตอรสองเวกเตอรมทศทางไปทางเดยวกน และมขาดนอยทสดเมอ เวกเตอรสองเวกเตอรมทศทางตรงขามกน

- เวกเตอรทงสองท ามม ตอกน






--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 10






--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 12

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 13

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 14





ตวอยางท 15 A มขนาด 5 หนวย, B มขนาด 4 หนวย จงหาขนาดเวกเตอรลพธของ A และ B ท

เปนไปไมได

1. 1 หนวย 2. 5 หนวย 3. 8 หนวย 4. 10 หนวย ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 16 จงหาขนาดเวกเตอรลพธของเวกเตอรขนาด 10 หนวย เทากน 2 เวกเตอร ซงท ามม

120 ซงกน และกน

1. 5 หนวย 2. 10 หนวย 3. 15 หนวย 4. 20 หนวย

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 17 เวกเตอรสองเวกเตอร มขนาดของเวกเตอรลพธนอยทสด และมากทสดเทากบ 30 และ

210 หนวย จงหาขนาดและทศทางของเวกเตอรทงสองตงฉากซงกน และกน

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. เวกเตอรยอยมากกวา 2 เวกเตอร







--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 20 จากรป จงหาขนาดของเวกเตอรลพธ 10, 20 และ 40 หนวย





2.4 ระยะทาง ( Distance ) คอความยาวตามเสนทางการเคลอนทของวตถใชสญลกษณ “S” เปนปรมาณสเกลาร ม

หนวยเปน เมตร (m) 2.5 การกระจด ( Displacement )

คอปรมาณบอกต าแหนงของวตถจากต าแหนงอางอง หาไดโดยการลากลกศรจากจดเรมตน(อางอง) ไปยงต าแหนงของวตถ เปนปรมาณเวกเตอร ใชสญลกษณ “ S ” มหนวยเปนเมตร (m) ตวอยางท 21 วตถหนงเคลอนทจาก A ไป B และตอไป C ดงรป จงหาระยะทางและการกระจด ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 22 วตถหนงเคลอนทจาก A ไป B ดงรป จงหาระยะทางและการกระจด





ตวอยางท 23 วตถหนงเคลอนทเปนวกลมพอดรศม 7 เมตร จงหาระยะทางและการกระจด

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 24 วตถหนงเคลอนทจากต าแหนง (2,2) ไปยงต าแหนง (5,6) จงหาระยะทางและการกระจด ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 25 วตถหนงเคลอนทจากจด A ไปยง B C และD ตามล าดบ จงหาระยะทางและการ

กระจด





2.6 อตราเรว (Speed)

หมายถง ระยะทวตถเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา 2.7 ความเรว (Velocity) หมายถง การกระจดของวตถทเกดขนในหนงหนวยเวลา ตวอยางท 26 วตถหนงเคลอนทจากจด A ไปยง D ตามแนว A B C D ใชเวลาไป 20 วนาท จงหา

1. ระยะทาง

2. การกระจด 3. อตราเรวเฉลย

4. ความเรวเฉลย ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 27 วตถหนงเคลอนทจากจด A ไปยง B ตามแนว A C D B ใชเวลาไป 10 วนาท จงหา 1. ระยะทาง

2. การกระจด 3. อตราเรวเฉลย

4. ความเรวเฉลย

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 28 หนบอมวงรอบสนามกฬา ซงมความยาวรอบสนาม 400 เมตร หน บอมวงทงหมด

10 รอบ จงหาระยะทางและการกระจดทได





ตวอยางท 29 เดกชายดนยเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรว 5 เมตร/วนาท ไดทาง 100 เมตร แลว

จงวงตอดวยความเรว 10 เมตร/วนาท ไดทาง 50 เมตร จงหาความเรวเฉลยของเดกชายคนน ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.8 ความเรง (Accelerration)

หมายถง ความเรวทเปลยนไปในเวลาหนงหนวย หรอ อตราการเปลยนแปลงความเรว

ตวอยางท 30 วตถหนงเรมเคลอนจากจดๆ หนงในเวลา 10 วนาท ตอมาวดความเรวได 16 เมตร/วนาท จงหาความเรงของวตถน

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 31 นายชยขบรถออกจากไฟแดงดวยความเรง 4 เมตร/วนาท 2 อยากทราบวาในเวลา 5 วนาท ตอมารถจะมความเรวเทาไร





2.9 เครองเคาะสญญาณเวลา (Ticker timer)

เครองสญญาณเวลาเปนเครองมอทใชในการหาอตราเรวของวตถในชวงเวลาสนๆ โดยการเคลอนทของแถบกระดาษจากจดหนงไปยงอกจดทอยถดมา จะเทากบ 1/50 วนาท

- การหาความเรวเฉลย

- การหาความเรงเฉลย






---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------







---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 36 จากรปเปนแถบกระดาษทไดจากการทดลองเรองการตกของวตถอยางอสระ ระยะ

ระหวางจดบนกระดาษ คอคาอะไรของวตถ 1. การกระจด

2. เวลา

3. ความเรว

4. ความเรง

5. คา g

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 37 ถาการเคลอนทของวตถทลากแถบกระดาษซงเครองเคาะสญญาณทเคาะทก ๆ 1

50

วนาท ท าใหเกดจดดงรปจากการสงเกตจดเหลานจะบอกคราว ๆ วาความเรงเปนอยางไร

1. สม าเสมอ 2. เพมขนเรอย ๆ 3. ลดลงเรอย ๆ 4. เพมแลวลด





ตวอยางท 38 แถบกระดาษทลากผานเครองเคาะสญญาณเวลา ชนด 50 ครง / วนาท เปนดงรป

จงหา 1. อตราเรวเฉลยระหวางจด A,D เปนกเมตร / วนาท 2. อตราเรวทจด B เปนกเมตร / วนาท 3. อตราเรวทจด C เปนกเมตร / วนาท 4. ความเรงทจด x เปนกเมตร / วนาท2 5. จากแถบกระดาษ แสดงวามการเคลอนทอยางไร





2.10 ความสมพนธระหวาง s-t , v-t และ a-t






---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------







---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

















ตวอยางท 46 วตถเคลอนทในแนวเสนตรงมความเรว ณ เวลาตาง ๆ กนดงรป จงหาวากราฟของการกระจด– เวลา ในขอใดทสอดคลองกบการเคลอนทของวตถน

ตวอยางท 47 กราฟทแสดงการเคลอนทของวตถทมอตราเรงคงท คอ





ตวอยางท 48 กราฟระหวางการกระจด (S) และเวลา (t) ของการเคลอนทหนงเปนดงรป

จงบอกวากราฟระหวางความเรว(v) กบเวลา (t) ขางลางน รปใดเปนการเคลอนทเดยวกนกบรป

บน





ตวอยางท 49 อนภาคหนงเคลอนทเปนเสนตรงไดกราฟ ความสมพนธระหวางการกระจดกบเวลา

ดงกราฟ จงหา 1. การกระจดและระยะทางทเคลอนทไดในเวลา 20 วนาท

2. ทเวลา 10 วนาท อนภาคนมความเรวกเมตร / วนาท

3. อนภาคนมอตราเรวเฉลยกเมตร / วนาท 4.จะไดกราฟความเรว – เวลา สอดคลองกบกราฟตามขอใด





ตวอยางท 50 กราฟรปใด แสดงวาวตถเคลอนทดวยความเรงคงท

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ตวอยางท 51 กราฟรปใด แสดงวาวตถมการเปลยนแปลงการกระจดอยางสม าเสมอ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 52 กราฟรปใด แสดงวาวตถมความเรวคงท ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ตวอยางท 53 กราฟรปใด แสดงวาวตถมความเรวเพมขน อยางสม าเสมอ





ตวอยางท 54 ถากราฟระหวางความเรวของวตถ v ทเวลา t ตาง ๆ เปนดงรป กราฟของความเรง a

กบเวลา t ตาง ๆ จะเปนตามรปใด ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 55 กราฟของต าแหนงวตถบนแนวแกน X กบเวลา t เปนดงรป ชวงเวลาใดหรอท

ต าแหนงใดทวตถไมมความเรง 1. ชวง OA 2. ชวง BC 3. ทจด B 4. ทจด C ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 56 ความเรว (v) และความเรง (a) ในกราฟคใดบางทเปนคทสอดคลองกนอยางถกตอง (กราฟความเรงเปนความเรงของกราฟความเรว)

1. ทง ก, ข และ ค 2. ก และ ข 3. ข และ ค 4. ค เทานน






รถยนตคนหนงแลนไปตามเสนทาง ABCD อตราเรวรถยนต ณ เวลาตาง ๆ เปนไปดงรป โดย

AB และ CD เปนเสนทางโคงและ BC เปนเสนทางโคงครงวงกลมอยากทราบวาขนาดของการ

กระจดของรถยนตคนนจาก A ไป D มคาเทากบกเมตร ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 58 จากรปเปนกราฟแสดงความสมพนธระหวางอตราเรวกบเวลาของการเคลอนทของ

มวล 1 กโลกรม ซงเรมเคลอนทจากหยดนงและเคลอนทเปนเสนตรง จงหาระยะทางจากจดเรมตนเคลอนทถงขณะทเรมจบเวลา (t = 0 วนาท)





ตวอยางท 59 จากกราฟระหวางระยะทางของการกระจดในแนวเสนตรงกบเวลาดงรป จงหา

ความเรวเฉลยระหวางเวลา 0 วนาท ถง 25 วนาท ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 59 ในการวงมาราธอน 5,000 เมตร ถานาย ก. วงดวยความเรวดงแสดงในกราฟ เขาจะถงเสนชยในเวลากนาท ๆ





2.11 สมการการค านวณหาปรมาณตางๆ ของการเคลอนทในแนวตรงดวยความเรงคงตว

(One-Dimension Motion with Constant Acceleration)

ตวอยางท 60 วตถหนงเคลอนทออกจากจดหยดนงดวยความเรงคงท 4 เมตร/วนาท 2 อยากทราบวา

เมอเวลาผานไป 5 วนาท วตถจะมความเรวเทาไร และไดระยะทางเทาไร ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 61 รถยนตคนหนง ก าลงเลนบนถนนดวยควาเรว 72 กโลเมตร/ชวโมง คนขบเหน

การจราจรตดขดขางหนาจงเบรก ปรากฏวาเหลอความเรว 18 กโลเมตร/ชวโมง ในเวลา 40 วนาท จงหาระยะทางในชวงการเบรกน





ตวอยางท 62 รถคนหนงมความเรวตน 10 เมตร/วนาท มความเรง 4 เมตร/วนาท 2 เมอเวลาผานไป

10 วนาท วตถเคลอนทไดทางเทาใด ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 63 อนภาคหนงก าลงเคลอนทดวยความเรว 20 เมตร/วนาท เมอวลาไป 5 วนาท ปรากฏวา

อนภาคเคลอนทดวยความเรว 30 เมตร/วนาท อยากทราบวาอนภาคเคลอนทไดระยะทางเทาใด . ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 64 รถคนหนงก าลงเคลอนทดวยความเรว 72 กโลเมตร/ชวโมง แลวเบรกเพอใหจอดใน

เวลา 12 วนาท อยากทราบวารถเคลอนทไดระยะทางเทาใดกอนหยด ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 65 รถคนหนงจอดตดไปแดง พอไดรบสญญาณไฟเขยวกเรงเครองออกไปดวยความเรงคงทพอไปไดไกล 100 เมตร วดความเรวได 72 กโลเมตร/ชวโมง อยากทราบวาความเรงของรถเปน

เทาใด





ตวอยางท 66 วตถหนงเคลอนทดวยความเรง 2 เมตร/วนาท 2 เมอเวลาผานไป 10 วนาท มความเรว

เปน 40 เมตร/วนาท ขณะนนวตถอยหางจากต าแหนง ณ เวลาเรมตนเทาไร ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 67 รถคนหนงก าลงแลนดวยความเรวคาหนง พอดมสนขวงตดหนาจงเหยยบเบรก ปรากฏวา รถลดความเรวลงอยางสม าเสมอวนาทละ 4 เมตร/วนาท เปนระยะทาง 40 เมตร ในเวลา 2

วนาท จงหาความเรว หลงจากเหยยบเบรกเปนเวลา 2 วนาท ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 68 รถยนตคนหนง วงดวยความเรวคงท 10 เมตร / วนาท ขณะทอยหางสงกดขวาง

เปนระยะทาง 35เมตร คนขบตดสนใจหามลอ โดยเสยเวลา 1 วนาท กอนทหามลอจะท างาน เมอหามลอท างานแลว รถจะตองลดความเรวในอตราเทาใด จงจะท าใหรถหยดพอด เมอถงสงขดขวาง

นน





ตวอยางท 69 รถยนตเลนบนถนนตรงโดยมความเรวดน 15.0 เมตรตอวนาท ถารถยนตมความเรง

คงตว 3.0 เมตรตอ (วนาท) 2 ในชวงเวลานานเทาไรรถจงจะมความเรวเฉลยเปนสองเทาของความเรวตน ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 70 รถยนตคนหนงแลนดวยความเรว 20 เมตร / วนาท ไปทางทศเหนอ แลวเลยวไปทางทศตะวนออกดวยขนาดความเรวเทาเดม ในเวลา 5 วนาท จงหาความเรวของรถทเปลยนไป

หลงจากเลยวรถไปแลว และความเรงของรถคน ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 71 รถไฟ 2 ขบวน วงเขาหากนโดยวงในรางเดยวกน รถขบวนท 1 วงดวยวามเรว 10 เมตร / วนาท สวนรถขบวนท 2 วงดวยความเรว 20 เมตร / วนาท ขณะทอยหางกน 325 เมตร

รถไฟทง 2 ขบวนตางเบรกรถและหยดไดพอด พรอมกนโดยอยหางกน 25 เมตร เวลาทรถทง

สองใชเปนเทาใด





ตวอยางท 72 รถยนตคนหนงก าลงเคลอนทดวยอตราเรวคงตว 50 กโลเมตรตอชวโมง ตอมา

รถยนตคนนวงผานรถยนตอกคนหนง ซงวงหนไปทางเดยวกนดวยอตราเรว 40 กโลเมตรตอชวโมง และมอตราเรงคงตว 20 กโลเมตรตอ(ชวโมง) 2 อกนานเทาใดรถยนตทงสองคนจะมาพบ

กนอกครง ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 73 รถบสก าลงเคลอนออกจากปายดวยความเรง 1.0 m/s2 ชายผหนงวงไลกวดรถบส

จากระยะหาง 6.0 m ดวยความเรวคงท 3.5 m / s จะตองไลกวดนานกวนาทจงทนรถ บส ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 74 ยงลกกระสนปนทะลผานแผนไมอด ซงวางซอนกนหลาย ๆ แผนโดยแตละแผนมความหนา และสมบตเหมอนกนทกประการ ถาลกกระสนปนทะลผานไมอดแตละแผน ความเรวจะ

ลดลง 20% จงหาวาลกกระสนปนจะทะลไมอดไปไดกแผน





ตวอยางท 75 ในการทดสอบการวงบนพนราบของรถยนตขนาดเลกสามคน A, B และ C ไดกราฟ

ความสมพนธระหวางอตราเรวขณะใดขณะหนงกบเวลาดงรป ทวนาทท 80 รถคนทเคลอนทไดไกลทสดและคนทใกลทสดคอขอใด

1. C และ A 2. C และ B 3. B และ C 4. B และ A 5. A และ C

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.12 การเคลอนทของวตถภายใตแรงดงดดของโลก

การเคลอนทในแนวดงภายใตแรงดงดดของโลก คอ การเคลอนทอยางอสระของวตถโดยม

ความเรงคงทเทากบความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก ( g)

สมการส าหรบการค านวณ





การก าหนดทศทางของปรมาณตางๆ

ตวอยางท 76 โยนวตถกอนหนงขนไปในแนวดงโดยวตถขนถงจดสงสดท B, ถา A และ C เปนจดท

อยในระดบเดยวกนดงรป เมอไมคดผลของแรงดานอากาศ ขอตอไปนขอใดถก

1. ทจด B วตถมความเรวและความเรงเปนศนย 2. ทจด A และ C วตถมความเรวเทากน 3. ทจด A และ C วตถมความเรงขนาดเทากน แตทศทางตรงกนขาม 4. ทจด A, B และ C วตถมความเรงเทากนทง ขนาดและทศทาง ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 77 ปลอยกอนหน ลงมาจากดาดฟาตกสง 125 เมตร จงหา

ก. นานเทาไรกอนหนตกถงพนสง 125 เมตร จงหา ข. กอนหนกระทบพนดนดวยอตราเรวเทาไร





ตวอยางท 78 ถาขวางวตถหนงลงไปตรงๆ ในแนวดงดวยความเรว 10 เมตร/วนาท จากยอดหนาผา

ชนแหงหนงซงสง 120 เมตร จงหา ก. นานเทาใดกอนหน จงตกถงพนดนขางลาง

ข. หลงจากขวางไปแลว 2 วนาท วตถมการเคลอนทอยางไร ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 79 โยนวตถขนไปจากระเบยงตกใบหยก ซงสง 60 เมตร ตามแนวดงดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท จงหา

ก. นานเทาไรวตถตกถงพนขางลาง ข. วตถขนไปไดสงสดเทาไร

ค. เมอเวลาผานไป 4 วนาท วตถมการเคลอนทอยางไร





ตวอยางท 80 ยงวตถขนในแนวดง จากพนดวยความเรว 60 เมตร/วนาท นานเทาใดวตถจงอยสง

จากพน 100 เมตร( g = 10 เมตร/วนาท2 ) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 81 บอลสนลกหนงก าลงลอยขนตรงๆ ในแนวดงความเรว 10 เมตร/วนาท ขณะอยสงจากพนดน 400 เมตร กปลอยถงทรายลงมา อยากทราบวานานเทาใดถงทรายจงถงพนลาง

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวอยางท 82 บอลลนลกหนงก าลงลอยลในแนวดง ซงขณะนนมความเรว 20 เมตร/วนาท คนใน

บอลลนไดทงกอนหนกอนหนงลงมา ปรากฏวากอนหนกระทบพนในเวลา 12 วนาท อยากทราบวาขณะทงกอนหนบอลลนอยสงจากพนดนเทาไร





ตวอยางท 83 นกโดดรมคนหนง โดดรมลงจากเครองบนเมอโดดลงมาไดทาง 80 เมตร กกระตกรม

ใหกางออก ปรากฏวาเกดความเรวลดลงอยางสม าเสมอในอตรา 2 เมตร/วนาท 2 และเมอกระทบพนดนดานลางมความเรว 2 เมตร/วนาท จงหา

ก. ขณะโดดรมเครองบนอยสงจากพนดนเทาใด ข. นกโดดรมอยในอากาศนานเทาใด





ตวอยางท 84 บอลลนลกหนงลอยขนจากพนดวยความเรง 2 เมตร/วนาท 2 เมอลอยขนไปได 10

วนาท กปลอยวตถกอนหนงลงมา จหา ก. นานเทาไรวตถจงตกถงพนลาง

ข. ขณะตกถงพน บอลลนอยสงจากพนเทาใด




























Documents

บทที่ 2 การเคลื่อนที่ในหนึ่ง ......ส ดยอดแห งการค านวณและเทคน คค ดล ด การเคล