Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
THEORY OF STRUCTURES
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
บทท 4Internal Loadings Developed in Structural Members
วตถประสงค
2. เพอใหสามารถเขยนแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานและโครง frame โดยวธการเขยนสมการและโดยวธ graphic ไดอยางถกตอง
1. เพอใหสามารถหาแรงภายในทเกดขนทหนาตดตางๆ ของคานและโครง frame ได
3. เพอใหสามารถเขยนแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานโดยวธ superposition
4.1 Internal Loadings at a Specific PointInternal loads ทเกดขนทจดๆ หนงในองคอาคารของโครงสรางจะหาไดจากวธ method of sectionsInternal loads เหลานเปนผลลพธ (resultants) ทเกดจากการกระจายของหนวยแรง (stress distribution) บนพนทหนาตดขององคอาคารทจดตดนน
ใน 2 มต internal forces ทเกดขนทหนาตดของชนสวนโครงสรางประกอบดวย
Internal forces ทางดานซายมอและขวามอของจด C มคาเทากน แตทศทางตรงกนขาม
Shear forces (V, กระทาขนานกบหนาตด)Normal forces (N, กระทาตงฉากกบหนาตด)
Bending moment (M)
ในการออกแบบชนสวนโครงสราง เราจะตองหาคาแรงและ moment ภายในสงสด ทเกดขนในชนสวนกอน จากนน คานวณหาขนาดของชนสวน โดยใหวสดทใชสรางชนสวนมกาลงเพยงพอในการรบแรงกระทาขนตอนการหาคาแรงภายในทจด C1. เขยน FBD ของคาน และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยา
2. ทาการตดคานทจด C และเขยน FBD ของสวนทตด โดยระบแรงและ moment ภายในใหครบ
3. ใชสมการความสมดลหาแรงภายใน
Sign Convention
EXAMPLEจงหาแรงในแนวแกน แรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทจด D ของคาน
ชนสวน BC เปนชนสวนโครงสรางแบบใด?คาถาม:
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบจาก FBD เราควรเรมใชสมการสมดลของแรงหรอของโมเมนต?
0;AM+ =∑
0; 1060.7cos45 0ox xF A
+
→ = − =∑
0;yF+ ↑ =∑
Ay
Ax
45o
sin 45 (2)oBCF 500(3)(1) 0− =
1060.7 NBCF =
750 NxA =
1060.7sin 45oyA + 500(3) 0− =
750 NyA =
500(3) N
1.5 m 1.5 m
FBC
2. หาคาแรงในชนสวนของคาน
0; 750 0x DF N+
→ = + =∑
0; 500(1) 750 0y DF V+ ↑ = − − + =∑
0; 500(1)(0.5) 750(0.5) 0D DM M+ = + − =∑
750 NDN = −
250 NDV =
125 N-mDM =
750 N750 N
1060.7 N
500(1)N
4.2 Shear และ Moment Diagram ของคานโดยปกตแลว คานมกจะถกออกแบบเพอตาน bending moment M และแรงเฉอน VเปนหลกV และ M เปน function ของตาแหนง x ตามความยาวของคาน ซงหาไดโดยวธ method of sectionsโดยการตดคานทตาแหนง x ใดๆ วดจากปลายดานใดดานหนงของคานซงใชเปนจดอางอง
x
ขนตอนในการวเคราะห 1. เขยน FBD ของคาน และหาคาแรงปฏกรยา2. เลอกพกด x โดยใหคาพกดแตละอนอยในชวงทอยระหวาง F, M, หรอ distributed loads w
3. ตดคานทพกด x1 หรอ x2 แลวเขยน FBD ของชนสวนของคาน
4. ใชสมการความสมดลหาสมการแรงเฉอน V(x) และ moment M(x)
5. เขยน shear diagram และ moment diagram โดยทใหแกน x เปนแกนนอนและ function ของ V(x) และ M(x) เปนแกนตง
x1
x2x1
x2
EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
0; 0x xF A+
→ = =∑
0;CM =∑
0;
2.5 2(5) 0y
y
FC
↑ + =
+ − =∑
5(10) 2(5) 5 50 02yA ⎛ ⎞− + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠2.5 kNyA =
7.5 kNyC =
2(5) kN2.5 m
2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต
7.5 kN
0 kN
2.5 kN
10 5 mx≤ <
0;yF+ ↑ =∑12.5 2 0x V− − =
12.5 2V x= −
0;M =∑1 1 1
12 2.5 02
M x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
21 12.5M x x= −
2x1
0;yF+ ↑ =∑2.5 2(5) 0V− − =
7.5V = −
( )2 22(5) 2.5 2.5 50 0M x x+ − − − =
0;M =∑
27.5 75M x= − +
25 m 10 mx≤ <2(5) kN
2.5 m
10 5 mx≤ <
12.5 2V x= −2
1 12.5M x x= −
25 m 10 mx≤ <
7.5V = −
27.5 75M x= − +
ขอสงเกต
2. ตรงจดท moment ทศตามเขมฯ กระทา moment diagram จะมคาเพมขนเทากบคาของ couple moment ดงกลาว
3. ( )dV w xdx
= −
4. dM Vdx
=
10 5 mx≤ < 12.5 2V x= −2
1 12.5M x x= −
25 m 10 mx≤ < 7.5V = −
27.5 75M x= − −
1. ตรงจดท point load พงขนกระทา shear diagram จะมคาเพมขนเทากบคาของ point load ดงกลาว
ตวอยางจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
0; 0x xF B+
→ = =∑0;BM =∑
0;
B 0.75 0.5(3)(1.5) 0y
y
F↑ + =
+ − =∑
1 1(3) (3)(1.5) (3) 02 3yA ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠0.75 kNyA =
0.5(3)1.5 kN
1 m
kN 5.1=yB
2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต
0 kN1.5 kN0.5 kN
โดยการใชสามเหลยมคลาย( ) 1.5
3w x
x=
( ) 0.5 kN/mw x x=
0;yF+ ↑ =∑10.75 (0.5 ) 02
x x V− − =
20.75 0.25V x= −0;M =∑
1 1(0.5 )( ) 0.75 02 3
M x x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
30.75 0.08333M x x= −
0.5(x)0.5x
x/3
20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −
20 0.75 0.25V x= = −1.732 mx =
max3
0.75(1.732)
0.08333(1.732) 0.866 kN-m
M =
−=
( )dV w xdx
= −dM Vdx
=
ตรงจดท shear มคาเทากบศนย moment ทจดดงกลาวมกจะมคาสงสด (หรอตาสด)
EXAMPLE
Pw
aL
b
จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
= 100 kN/m = 15 m = 5 m = 10 m = 1000 kN
wLabP
1000 kN100 kN/m
5 m
15 m
10 m
Ay
Ax
Cy
0; -100(5) -1000 0y y yF A C↑ + = + =∑
0; 0x xF A+
→ = =∑= 0;AM+∑
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ100(5) kN
=750 kNyC
( )-100(5)(2.5)-1000(10)+ 15 =0yC
=750 kNyA
Pw
aL
b
x1
x2
x3
เราควรแบงพกดของคานออกเปนกชวง?
750 kN
100 kN/m
V
M
x1
0;M =∑
1
1
0 50; 750 kN -100y
xF V x≤ ≤
= =∑
1
1
at 0, 750 kN 0at 5, 250 kN 2500 kN-m
x V Mx V M
= = == = =
11 1750 -100( )
2xM x x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠2
1 1750 -50 kN-mx x=
100x1
750 kN
100 kN/m
V
M
5 m
x2
25 100; 750 kN -100(5) 250 kNy
xF V
≤ <
= = =∑
2-
2
at 5, 250 kN 2500 kN-m
at 10 , 250 kN 3750 kN-m
x V Mx V M
= = =
= = =
100(5) kN
( )2 2750 -100(5) - 2.5M x x=0;M =∑( )2 2750 -500 1250 kN-mx x= +
1000 kN
750 kN
100 kN/m
V
M
10 m
5 m
310 150; 750 kN -100(5) -1000 -750 kNy
xF V< ≤
= = =∑
at 10 ; -750 kN 3750 kN-mat 15; -750 kN 0 kN-m
x V Mx V M
+= = == = =
x3
0;M =∑
100(5) kN2.5 m
( )3 3 3750 -100(5) - 2.5 -1000 ( -10)M x x x=
( )3 3-750 -500 11250 kN-mx x= +
( )
2
2
5 10 m 250 kN 250 1250 kN-m
xVM x
< <=
= +
1
12
1 1
0 5 m 750 kN -100
750 -50 kN-m
xV xM x x
≤ <=
=
( )
3
3
10 15 m -750 kN -750 11250 kN-m
xVM x
< ≤
=
= +
V (kN)
M (kN-m)
1750 kN-100V x=
-750 kNV =
21 1750 -50 kN-mM x x=
250 kNV =
( )2250 1250 kN-mM x= +
5 m
5 m
10 m
10 m
2500
250
3750
( )3-750 11250 kN-mM x= +
750
750
V
-1000
-500
0
500
1000
0.0 5.0 10.0 15.0V
M
0500
1000150020002500300035004000
0.0 5.0 10.0 15.0
M
V (kN)
M (kN-m)
1750 kN-100V x=
-750 kNV =
21 1750 - 50 kN-mM x x=
250 kNV =
( )2250 1250 kN-mM x= +
5 m
5 m
10 m
10 m
2500
250
3750
( )3-750 11250 kN-mM x= +
750
750
1000 kN100 kN/m
aL
b
( )dV w xdx
= −
dM Vdx
=
ตรงจดท point load พงลงกระทา shear diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ point load ดงกลาว
4.3 ความสมพนธระหวางแรงแผกระจาย แรงเฉอน และโมเมนตดดชวยทาใหเขยน shear diagram และ moment diagram ไดงายขน
ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงแผกระจาย
ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงกระทาเปนจดและโมเมนตแรงคควบ สรป:1.
2..
3.
4.
5.
6. เมอโมเมนตแรงคควบมทศทางตามเขมนาฬกาแลว moment diagram จะมคาเพมขน = คาโมเมนตแรงคควบ
เมอแรงกระทาเปนจดมทศทางพงลง แลว shear diagram จะมคาลดลง = คาแรงดงกลาว
การเปลยนแปลงของโมเมนตระหวางจดมคา =พนทภายใต shear diagram ระหวางจดดงกลาว
การเปลยนแปลงของแรงเฉอนระหวางจดมคา = คาลบของพนทภายใตแรง w ระหวางจดดงกลาว
slope ของ moment diagram ทจดใดๆ มคา = คาของแรงเฉอนทจดนน
slope ของ shear diagram ทจดใดๆ มคา = คาลบของแรง w ทจดนน
ขอสงเกต:
ถาแรง w(x) อยในรป polynomial ทม degree n แลว V(x) จะอยในรป polynomial ทม degree n+1 และ M(x) จะอยในรป polynomial ทม degree n+2
w(x) = 0 V=constant M=linear
w(x) =constant V=linear M=quadratic
w(x) =linear V=quadratic M=cubic
ตวอยาง
x (m)
V(N)1080
Slope = - 400Slope = 0
600 600
x (m)M (N-m)
-1588 Slope = 600Slope = 1080
Slope = 600-100
-580
ตวอยาง
x (m)
V (N) Slope = 03.5
M (N-m)
1.5
-1.5-3.5
x (m)
Slope = 3.57
Slope = 1.5 10Slope = -1.5
7 Slope = -3.5
ตวอยาง
x (m)
V (N) Slope = 0100
-500 Slope = 0
x (m)
M (N-m) Slope = 1001000
Slope = -500-1500
Slope = -5002500
ตวอยางท 7-6
EXAMPLE
สรปขนตอนการคานวณ การบานบทท 4: Beam
6 m
w = 45 kN/m
การบานบทท 4: Frame
กาหนดสง 20 ต.ค. 49 ทงรายการคานวณดวยมอ และผลการคานวณโดย Program GRASP หรอ SUTStructor
โครง frame เปนโครงสรางทไดมาจากการนาคานและเสามาเชอมตอกนดวย pinned joint หรอ rigid joint
4.4 Shear and Moment Diagrams for a Frameขนตอนในการวเคราะห 1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบของ
โครงขอแขง 2. ใช method of sections หาคาแรง
ในแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง
3. เขยน shear diagram และ moment diagram โดยการเขยนสมการหรอวธกราฟก
Note: axial force มความสาคญในการออกแบบ frame ทมการเซเปนอยางมาก สาเหตคออะไร???
แผนภาพแรงในแนวแกน (axial-force diagram) มลกษณะเปนอยางไร??
EXAMPLEจงเขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน CDE ของโครงเฟรม
1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง
= 21.725 kNAy
By
Bx
= 9.275 kN
= 2.80 kN
2. ใช method of sections หาคาแรงในแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง
By
Bx
= 9.275 kN
= 2.80 kN= 21.725 kNAy
21.725 kN
21.725 kN
0 kN
9.275 kN9.80 kN-m
9.275 kN9.80 kN-m
5.725 kN9.80 kN-m
5.725 kN
9.80 kN-m
5.725 kN
9.80 kN-m
3. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน CDE
21.725 kN
By
Bx
= 9.275 kN
= 2.80 kN
0 kN
9.275 kN9.80 kN-m
-2.80 kN
slope = +0.4
slope = -2.80
slope = -0-9.80 kN
EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม
1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง
DyAy
Ax
= 59.2 kN= 20.8 kN
= 48.0 kN
2. ใช method of sections หาคาของแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง
59.2 kN20.8 kN48.0 kN
59.2 kN
59.2 kN20.8 kN96.0 kN-m
20.8 kN
96.0 kN-m
3. เขยน shear diagram และ moment diagram ของคาน CDE
20.8 kN48.0 kN
20.8 kN
96.0 kN-m
slope
= -12.
0
slope = 48
slope = 0
59.2 kN20.8 kN96.0 kN-m
1.3 m
59.2 kN
59.2 kN
การบานบทท 4: Frame EXAMPLEจงเขยน shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม
1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง
Cy
Ay
Ax
MA
ม unknown 4 คา ดงนน ตองแยกพจารณา FBD ของแตละชนสวน
Cy
Ay
Ax
MA
100 (3/5)
100 (4/5)= 30 kN
30 kN80 kN
80 kN
30 kN
= 100 kN
= 30 kN
= 360 kN-m
2. ใช method of sections หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ แรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง
20 kN
3. เขยน shear diagram และ moment diagram100 (3/5) = 60 kN
100 (4/5) = 80 kN30 kN
30 kN80 kN
80 kN
30 kN
100 kN
30 kN
360 kN-m
EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม
1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง
36 kN
2. ใช method of sections หาคาของแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง จากนน เขยน shear diagram และ moment diagramชนสวน AB
36 kN
ชนสวน BC ชนสวน CD
EXAMPLEจงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของโครงเฟรม
1. หาคาของแรงปฏกรยาทจดรองรบของโครงขอแขง
ชนสวน AB
2. ใช method of sections หาคาของแรงตามแนวแกน แรงเฉอน และ moment ทปลายขององคอาคารตางๆ ของโครงขอแขง
Joint B
3. เขยน shear diagram และ moment diagramชนสวน AB
ชนสวน BC
End of Chapter 4