430213 ปฏิิบััติิการกลศาสตร ประยุ ...eng.sut.ac.th/ce/oldce/CourseOnline/manualappliedmechlab.pdf · 2010-01-04 · ปฏิบัติการกลศาสตร

443300221133 ปฏบิัตกิารกลศาสตรประยุกตปฏบิัตกิารกลศาสตรประยุกต ((AApppplliieedd MMeecchhaanniiccss LLaabboorraattoorryy))

สาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสาขาวิชาวิศวกรรมโยธา สํานักวิศวกรรมศาสตรสํานักวิศวกรรมศาสตร

มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีสุรนารีมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีสุรนารี มกราคม มกราคม 22555533

คํานํา

คูมือปฏิบัติการกลศาสตรประยุกตเลมนี้ ไดถูกเรียบเรียงขึ้นมาดวยจุดประสงคที่จะใหนักศึกษาใชเปนเอกสารอางอิงและเปนแนวทางในการศึกษาวิชาปฏิบัติการกลศาสตรประยุกต ซ่ึงเปนสวนหนึ่งของหลักสูตรวิศวกรรมศาสตรบัณฑิต สาขาวิชาวิศวกรรมโยธา สํ านักวิชาวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีสุรนารี ซ่ึงผูเรียบเรี ยงหวังเปนอยางยิ่งวาจะชวยใหนักศึกษาไดเตรียมตัวมาเปนอยางดีกอนเขาทําปฏิบัติการ ซ่ึงจะชวยใหนักศึกษาเขาใจในวัตถุประสงคและเนื้อหาของการทดสอบในแตละปฏิบัติการไดดีขึ้น สุดทาย ถามีสวนใดที่ควรเปลี่ยนแปลง แกไข และปรับปรุง ชวยกรุณาแจงใหทราบดวยจักขอบคุณมาก

สาขาวิชาวิศวกรรมโยธา สํานักวิศวกรรมศาสตร

มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีสุรนารี มกราคม 2553

สารบัญ ปฏิบตัิการ หนา ปฏิบัติการ A ระบบรอก ........................................................................................................................... 1 (Pulley System) ปฏิบัติการ B คอนกรีตเสริมเหล็ก........................................................................................................... 10 (Reinforced Concrete) ปฏิบัติการ C แรงเสียดทานแหงสถิตย.................................................................................................... 16 (Static-dry Friction) ปฏิบัติการ D จุดศูนยถวงและโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ ............................................................................ 23 (Centroid and Moment Inertia of Area) ปฏิบัติการ E คานและการแอนตัวของคาน ............................................................................................ 38 (Beam and Beam Deflection) ปฏิบัติการ F เครื่องจักรกล..................................................................................................................... 45 (Machines) ปฏิบัติการ G การแขงขันสะพานเหล็กจําลอง......................................................................................... 51 (Competition of Steel Bridge Model) บรรณานุกรม .......................................................................................................................................... 53

ปฏิบัติการกลศาสตรประยุกต 1

ปฏิบัติการ A ระบบรอก

(Pulley System) 1. วัตถุประสงค

- นักศึกษามีความเขาใจสวนประกอบและการทํางานของรอก - นักศึกษาสามารถอธิบายหลักการทํางานของรอกชนิดตางๆได - นักศึกษาสามารถจัดการทดลองเพื่อหาแรงในเสนเชือกของระบบรอกได - นักศึกษาสามารถนําเอาความรูเกี่ยวกับระบบรอกไปประยุกตใชในการชวยผอนแรงได

2. ทฤษฎีท่ีเก่ียวของ

รอก (pulley) เปนเครื่องกลอีกประเภทหนึ่ง ใชชวยในการทํางานและเปลี่ยนทิศของการออกแรง รอกบางชนิดไมชวยในการผอนแรง บางชนิดชวยในการผอนแรง ลักษณะของรอกเปนลอหมุนไดคลองรอบตัว และใชเชือกพาดลอสําหรับยกของขึ้นที่สูงหรือหยอนลงที่ต่ํา แบงออกไดเปน 2 แบบ คือ 2.1 รอกเดี่ยว (single pulley) คือ รอกตัวเดียว ซ่ึงมีวิธีใชกันอยู 2 อยาง

2.1.1 รอกเดี่ยวตายตัวหรือรอกเดี่ยวที่แขวนกับที่ (Single fixed pulley) ปลายเชือกดานหนึ่งผูกกับของที่จะยกขึ้น หรือตองการใหเคลื่อนที่ซ่ึงมีแรงตานทาน (W ) อยู อีกปลายหนึ่งใชเปนที่ดึงหรือออกแรงพยายาม ( E ) ดังแสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1 รอกเดี่ยวตายตวั

รอกชนิดนี้ไมชวยในการผอนแรง ( E W= , M.A. = 1) แตใหความสะดวกในการทํางานและเปลี่ยนทิศทางของแรง กลาวคือ แทนที่จะตองขึ้นไปยืนในที่สูงแลวดึงวัตถุนั้นหรือน้ําหนักขึ้น เมื่อใชรอก


เดี่ยวตายตัวชวยก็สามารถยืนอยูที่พื้นแลวดึงปลายเชือกลง วัตถุก็สามารถถูกยกหรือเคลื่อนที่ขึ้นไปได และไมวาเชือกที่ออกแรงE จะเบนไปอยางไรก็จะออกแรงดึงE เทากับน้ําหนัก W เสมอ

2.1.2 รอกเดี่ยวเคลื่อนที่ (Single movable pulley) ปลายเชือกดานหนึ่งของรอกชนิดนี้จะผูกอยูกับที่ แลวรอยเชือกเขากับรอก ผูกวัตถุที่จะยกเชากับตัวรอกโดยตรง ดังแสดงในรูปที่ 2

รูปที่ 2 รอกเดี่ยวเคลื่อนที ่

เมื่อดึงปลายเชือกขึ้น ก็จะสามารถยกวัตถุขึ้นไปได จากรูป จะเห็นวา เชือกมีแรงดึงขึ้น 2 เสน ขณะที่น้ําหนักมีทิศลง ดังนั้น เมื่อแรงสมดุลและไมคิดน้ําหนักของรอก จะไดวา

แรงดึงขึ้น = แรงดึงลง E E W+ = [1]

2WE = [2]

เมื่อ W คือ น้ําหนักหรือแรงตานทานในแนวดิ่ง E คือ แรงพยายามที่ดึงเชือก

นั่นคือ รอกเดี่ยวเคลื่อนที่จะชวยผอนแรงครึ่งหนึ่ง คือแทนที่จะยกวัตถุดวยแรงW ก็ออกแรงE

เพียง 2

W ก็สามารถยกขึ้นได

กรณีคิดน้ําหนักรอกหรือรอกมีน้ําหนัก สมมติใหw เปนน้ําหนักของรอก จะได 2

W wE += และ

การไดเปรียบเชิงกล (M.A.) 2

W w+=


2.2 รอกพวง (combination pulley) คือการใชรอกเดี่ยวหลายๆ อันมาชวยกันและมีการจัดตัวรอกไวในลักษณะตางๆ เพื่อชวยใหสามารถผอนแรงไดมากขึ้น รอกพวงสามารถจัดแบงออกไดเปน 3 ระบบดวยกัน ดังนี้

2.2.1 รอกพวงระบบที่ 1

รูปที่ 3 รอกพวงระบบที่ 1

จากรูป จะเห็นไดวา รอกตัวที่ 1, 2 และ 3 เปนรอกเดี่ยวเคลื่อนที่ ซ่ึงแตละตัวจะชวยผอนแรงไดคร่ึงหนึ่งตามลําดับเรื่อยๆ ไป สวนรอกตัวที่ 4 เปนรอกเดี่ยวตายตัว ซ่ึงไมชวยผอนแรงแตชวยเปลี่ยนทิศทางของแรงทําใหสะดวกที่จะดึงเชือกจากพื้นดินไดเมื่อแรงสมดุลและไมคิดน้ําหนักของรอก จะไดวา

แรงดึงขึ้น = แรงดึงลง

4 4E E W+ = [3]

8WE = [4]

สําหรับกรณีที่มีรอกเดี่ยวเคลื่อนที่ n ตัว จะไดสูตรรอกพวงระบบที่ 1 เปน

2n

WE = [5]


2.2.2 รอกพวงระบบที่ 2


จากรูป จะเห็นไดวา รอกพวงระบบที่ 2 มีรอก 2 ชุด ในที่นี้มีชุดละ 2 ตัว ชุดบนติดอยูกับที่ สวนชุดลางคลองกับวัตถุและเคลื่อนที่ได (จํานวนรอก 2 ชุดอาจจะมีเทากันหรือชุดบนมีมากกวาชุดลางอยู 1 ตัวก็ได) เมื่อออกแรงดึงเชือก (เชือกเปนเสนเชือกเดียวกันตลอด) แรงดึงเชือกทุกสวนจึงมีความดึงเชือกหรือออกแรงเทาๆ กัน ทําใหรอกชุดลางและน้ําหนักW ถูกยกขึ้นเมื่อแรงสมดุลและไมคิดน้ําหนักของรอก จะไดวา

แรงดึงขึ้น = แรงดึงลง

4E W= [6]

4WE = [7]

หรืออาจคิดวารอกชุดลางซึ่งเปนรอกเดี่ยวเคลื่อนที่ไดแตละตัวจะแบงรับน้ําหนักลงตัวละครึ่งหนึ่งก็

ได สําหรับรอกชุดบนซึ่งเปนรอกเดี่ยวตายตัว ไมไดชวยผอนแรง แตชวยเปลี่ยนทิศทางของแรงทําใหสะดวกที่จะดึงเชือกจากพื้นดินได

สําหรับกรณีที่จํานวนรอกทั้ง 2 ชุด รวมกันเปนn ตัว จะไดสูตรรอกพวงระบบที่ 2 วา

WEn

= [8]


2.2.3 รอกพวงระบบที่ 3 ประกอบดวยรอกเดี่ยวตายตัว 4 ตัว และมีจํานวนเสนเชือกเทากับตัวรอก เมื่อออกแรงดึงE เชือกแตละเสนก็จะชวยกันยกน้ําหนักW ขึ้น


เมื่อแรงสมดุลและไมคิดน้ําหนักของรอก จะไดวา แรงดึงขึ้น = แรงดึงลง

2 4 8E E E E W+ + + = [9]

15WE = [10]

สําหรับกรณีที่มีรอกเดี่ยวตายตัว n ตัว จะไดสูตรรอกพวงระบบที่ 3 เปน

2 1n

WE =−

[11]


3. หลักการทํางาน ในการทํางานของเครื่องกลตองทํางานใหกับเครื่องกล ๆ นั้นจึงจะสามารถทํางานออกมาได

เครื่องกลทุกชนิดจะมีความเสียดทาน เนื่องจากสวนประกอบตาง ๆ ของเครื่อง งานที่ใสเขาไปสวนหนึ่งจะสูญไปกับความเสียดทาน สวนที่เหลือก็จะทํางานออกมาให งานที่เครื่องกลทําออกมานั้นบางครั้งเรียกวา งานที่ทําบนภาระหรือ ความสัมพันธของงานที่ใสเขาไปกับงานที่ทําบนภาระจะเปน ดังนี้

งานที่ทําโดยแรงพยายาม = งานที่ทําบนภาระ + งานที่สูญไปกับความเสียดทาน

ในกรณีที่เครื่องกลมีความเสียดทานนอยมากเมื่อเปรียบเทียบกับงานที่ทําบนภาระ (งานที่เครื่องกลทําออกมา) จะมีความสัมพันธเปนดังนี้

งานที่ทําโดยแรงพยายาม = งานที่ทําบนภาระ

การนําหลักการของงานไปอธิบายการทํางานของรอกพิจารณา ดังนี้ ในกรณีที่รอกไมมีความฝด ไมมีการสูญเสียพลังงาน ถาออกแรงดึงขนาด F นิวตัน ในระยะทาง s

เมตร ทําใหวัตถุมวลm กิโลกรัมเคลื่อนที่ไดสูงขึ้น h เมตร จะไดความสัมพันธ คือ งานที่ทําโดยแรงพยายาม = งานที่ทําบนภาระ

Fh mgh= [12]

เมื่อ g คือ คาความเรงเนื่องจากแรงโนมถวงของโลก F คือ แรงพยายาม h คือ ระยะทางที่น้ําหนักW เคลื่อนที่ขึ้น

รูปที่ 6 หลักการของงาน


4. วิธีการทดลอง 4.1 เตรียมการทดลอง

- ใหนักศึกษาพิจารณารูปที่ 7 ทําความเขาใจหลักการทํางานของระบบรอกจัดเตรียมอุปกรณและติดตั้งอุปกรณเพื่อทําการทดลอง

รูปที่ 7 ลักษณะการเตรียมการทดลอง 4.2 ทําการทดลอง

- ช่ังน้ําหนักและบันทึกคากอนมวลในแตละระบบรอก - ใชตาชั่งสปริงดึงเชือกดานที่ไมไดติดตั้งกอนมวลดวยอัตราเร็วคงที่ บันทึกแรงที่ได - ถอดตาชั่งสปริงออกแลวใชมือดึงเชือกใหกอนมวลสูงขึ้น 10 ซม. วัดความยาวเชือกดานที่ไม

ติดตั้งกอนมวลและบันทึกคา - ทําซ้ําวิธีขางตนจนครบทุกระบบรอก


4.3 การวิเคราะหขอมูล - คํานวณน้ําหนักของกอนมวลในแตละระบบรอกโดยใชขอมูลจากตาชั่งสปริง และเปรียบเทียบ

กับน้ําหนักที่แทจริง - คํานวณคาการไดเปรียบเชิงกลของรอกทุกระบบ - คํานวณการทํางานเกิดขึ้นเมื่อใชมือดึงเชือกดานที่ไมไดติดตั้งกอนมวลและเปรียบเทียบกับการ

ทํางานเมื่อระบบรอกยกกอนมวลขึ้น 10 ซม. - คํานวณประสิทธิภาพของระบบรอก

5. การสรุปและวิเคราะหผลการทดลอง

ออกแบบตารางบันทึกขอมูลของแตละระบบรอกซึ่งประกอบดวยจํานวนรอก มวลของกอนมวล น้ําหนัก ระยะที่มวลถูกยก แรงดึงเชือก ความยาวที่เชือกถูกดึง การทํางาน การไดเปรียบเชิงกล และคาประสิทธิภาพของระบบรอก


6. ตอบคําถาม - ใหบอกการประยุกตใชงานรอกที่นักศึกษาพบในชีวิตประจําวัน - เพราะเหตุใดจึงยังมีการใชงานรอกเดี่ยวตายตัว - เพราะเหตุใดเมื่อนํารอกเดี่ยวหลายๆตัว มาประกอบเปนระบบรอกจึงชวยผอนแรงได

7. โจทยประยุกต

- หาการไดเปรียบเชิงกลของระบบรอกตอไปนี้

รูปที่ 8 โจทยประยุกต


ปฏิบัติการ B คอนกรีตเสริมเหล็ก

(Reinforced Concrete) 1. วัตถุประสงค

- นักศึกษามีความเขาใจและสามารถอธิบายพฤติกรรมทางกล (mechanical behavior) ของคอนกรีตเสริมเหล็กและไมเสริมเหล็กภายใตการกระทําของโมเมนตดัด (bending moment)

- นักศึกษามีความเขาใจและสามารถอธิบายถึงลักษณะการวิบัติ (modes of failure) ของคอนกรีตเสริมเหล็กภายใตการกระทําของโมเมนตดัด (bending moment)

2. ทฤษฎีท่ีเก่ียวของ คอนกรีตเปนวัสดุประกอบ (composite material) ที่ไดจากการผสมมวลรวม (aggregate) เชน หินและทราย เปนตน เขากับปูนซีเมนตปอรตแลนด (portland cement) และน้ํา คอนกรีตอาจแยกออกไดเปน 2 สวนคือ ซีเมนทเพสซ (cement paste) ซ่ึงเปนตัวเชื่อมประสานอันไดแก ปูนซีเมนตปอรตแลนดและน้ําและสวนที่เปนวัสดุอัดแทรก (filler) ซ่ึงไดแกมวลรวมตางๆ

คอนกรีตจะเกิดการแข็งตัวเนื่องจากปฏิกริยาทางเคมีระหวางกับปูนซีเมนตปอรตแลนดและน้ําซึ่งเรียกวา ขบวนการไฮเดรชั่น (hydration process) โดยที่ขบวนการนี้จะใชเวลาในการเกิดจนสิ้นสุดที่คอนขางนาน ดังนั้น คุณสมบัติของคอนกรีต เชน กําลังรับแรงและความคงทน เปนตน จะเพิ่มขึ้นตามอายุของคอนกรีต

คอนกรีตเปนวัสดุเปราะเชนเดียวกับหิน โดยจะมีกําลังรับแรงกดอัดที่สูงกวากําลังรับแรงดึงประมาณ 10 เทา ดังนั้น คอนกรีตจึงมักถูกเสริมดวยเหล็กเสริมคอนกรีตเพื่อรับแรงดึงที่เกิดขึ้นในโครงสรางซ่ึงเรียกคอนกรีตที่ไดวา คอนกรีตเสริมเหล็ก (reinforced concrete)

เนื่องจากคอนกรีตเปนวัสดุที่สามารถทําใหเปนรูปราง ลักษณะ และขนาดที่ตองการไดงาย ดังนั้นคอนกรีตเสริมเหล็กจึงถูกนํามาใชอยางแพรหลายในปจจุบัน ซ่ึงจะเห็นไดจากอาคาร สะพาน ถังน้ํา และ เขื่อน เปนตน

ในการวิเคราะหคานเพื่อคํานวณหาหนวยแรงใชหลักการทางกลศาสตรวัสดุในการวิเคราะหหาหนอยแรง ซ่ึงคานคอนกรีตเสริมเหล็กเปรียบเสมือนวัสดุผสม (composite beam) สามารถที่จะแปลงพื้นที่ของเหล็กเสน ( stA ) ไปเปนพื้นที่ของคอนกรีต ( conA ) ที่สมมูลกันไดโดยใชคาสัดสวนของคาอีลาสติก (elastic) คูณกับพื้นที่ของเหล็กเสน ก็จะกลายเปนพื้นที่ของคอนกรีตไดดังสมการที่ [1] และรูปที่ 1


con stA nA= [1]

เมื่อ st

con

EnE

= [2]

โดยที่ stE คือ คาโมดูลัสยืดหยุนของเหล็กเสริม conE คือ คาโมดูลัสยืดหยุนของคอนกรีต

b

h

b

h’

d

nAs

AN

รูปที่ 1 การเปลี่ยนขนาดหนาตัด

จากรูปขางตนสามารถหาระยะ h′ ของแกนสะเทินที่วัดจากผิวดานบนของคานไดจากเงื่อนไขที่วา โมเมนตของพื้นที่หนาตัดรอบแกนสะเทินมีคาเทากับศูนย ดังสมการที่ [3]

'( ) : '( ) ( ') 02NA shyA bh nA d h− − =∑ [3]

เมื่อนํามาเขียนสรุปสภาวะหนวยแรงจึงไดตามรูปที่ 2

NA

รูปที่ 2 หนวยแรงบนหนาตดั


3. ขอดีและขอเสียในการใชคอนกรีตในการกอสราง 3.1 ขอดี

- ประหยัด เนื่องจากคอนกรีตเปนวัสดุที่มีราคาที่คอนขางต่ํา หาซื้อไดงาย และตองการการดูแลรักษานอย

- ความเหมาะสมของวัสดุสําหรับงานสถาปตยกรรมและโครงสราง เนื่องจากคอนกรีตเปนวัสดุที่สามารถทําใหเปนรูปราง ลักษณะ และขนาดที่ตองการไดงาย

- ความตานทานตอไฟไหม เนื่องจากคอนกรีตมีความตานทานตอไฟไหมไดดี โดยไมตองมีถูกพนทับดวยฉนวนกันไฟ

- ความแกรง (rigidity) เนื่องจากโครงสรางคอนกรีตมีมวลมากและความแกรงสูง ดังนั้น การสั่น (vibration) ที่เกิดขึ้นในโครงสรางจึงมีนอยกวาในโครงสรางเหล็ก

3.2 ขอเสีย

- มีกําลังรับแรงดึงต่ํา ทําใหตองมีการเสริมเหล็กในสวนของคอนกรีตที่รับแรงดึง ซ่ึงทําใหการวิเคราะหและออกแบบโครงสรางมีความยุงยากมากขึ้น

- การกอสรางโครงสรางคอนกรีตเสริมเหล็กแบบหลอในที่ (cast-in-place concrete construction) จะตองมีการทําแบบหลอ (forms) และการค้ํายัน (shoring) ซ่ึงทําใหโครงสรางคอนกรีตเสริมเหล็กมีราคาสูงขึ้น เนื่องจากคาแรงและวัสดุในการกอสราง

- มีคาอัตราสวนของกําลังตอน้ําหนักที่คอนขางต่ํา ดังนั้น คอนกรีตจึงไมไดรับความนิยมในการกอสรางโครงสรางที่มีระยะชวง span ที่ยาวมากๆ

- มีพฤติกรรมขึ้นอยูกับเวลา – คอนกรีตเปนวัสดุที่มีพฤติกรรมการหดตัว (shrinkage) และการคืบ (creep) ที่ขึ้นอยูกับเวลา ซ่ึงจะตองนํามาพิจารณาดวยในการวิเคราะหและออกแบบโครงสราง


4. การทําการทดลองเพื่อหาพฤติกรรมทางกลและลักษณะการวิบัติของคอนกรีตเหล็ก 4.1 อุปกรณการทดลอง

- เครื่องทดสอบแรงดัดโดยใชระบบ Hydraulic - คานคอนกรีตเสริมเหล็กขนาด 100 x 100 x 500 mm

4.2 ขั้นตอนการทดลอง

1) ติดตั้งตัวอยางทดสอบเขากับเครื่องทดสอบในทิศทางที่กําหนดไว 2) ปรับหัวกดใหอยูในตําแหนงที่พรอมทดสอบ 3) ทําการเพิ่มแรงกดอัดใหกับตัวอยางทดสอบชาๆ เมื่อแทงตัวอยางทดสอบเกิดการวิบัติ ทําการ

บันทึกคาแรงกดอัดสูงสุด สังเกตตําแหนงที่เกิดการวิบัติ ลักษณะการวิบัติ พรอมวาดรูปประกอบ

P

รูปที่ 3 ลักษณะการทดสอบตัวอยาง


5. ตารางบันทึกผลการทดลอง 5.1 ตารางบันทึกผลการทดลอง

Specimen Load

6. การสรุปและวิเคราะหผลการทดลอง

- เปรียบเทียบพฤติกรรมของเมื่อคานคอนกรีตมีการเสริมเหล็กและไมมีการเสริมเหล็กและสรุปพฤติกรรมของคอนกรีตและเหล็กเสริม

- พิจารณาจากผลการทดลองแลวอธิบายวาขนาดของเหล็กเสริมคอนกรีตมีผลตอการรับแรงดัดหรือไมอยางไร โดยใชขอมูลจากตารางบันทึกผลการทดลองประกอบในการอธิบาย

- คํานวณหาหนวยแรงที่เกิดขึ้นในคานคอนกรีตที่มีการเสริมเหล็กและไมมีการเสริมเหล็ก 7. ตอบคําถาม

- ตําแหนงการเสริมเหล็กกับจํานวนเหล็กมีผลตอการรับแรงดัดมากนอยเพียงใด จงอธิบาย


8. โจทยประยุกต กําหนดใหคานคอนกรีตเสริมเหล็ก ซ่ึงเปนคานยื่นถูกกระทําโดยน้ําหนักบรรทุกแบบกระจาย

สม่ําเสมอ และมีหนาตัดเสริมโดยเหล็กเสริมขนาดเสนผาศูนยกลาง 19 mm วางอยูที่ตําแหนงบนหนาตัดของคาน

จงหาคาน้ําหนักบรรทุกสูงสุด w ที่คานนี้สามารถรับไดเมื่อ หนวยแรงที่ยอมใหของเหล็ก = 125 MPa หนอยแรงที่ยอมใหของคอนกรีต = 21 MPa คา modulus of elasticity ของเหล็ก = 200 GPa และ คา modulus of elasticity ของคอนกรีต = 25 GPa

สมมุติใหคอนกรีตไมสามารถรับแรงดึงได

0.25 m

0.50m

63.5mm

A B

3 m

w


ปฏิบัติการ C แรงเสียดทานแหงสถติย (Static-dry Friction)

1. วัตถุประสงค

- นักศึกษามีความเขาใจและสามารถอธิบายความหมายของแรงเสียดทาน อีกทั้งยังสามารถจําแนกชนิดของแรงเสียดทานตามลักษณะของพื้นผิวสัมผัสและเงื่อนไขของการเคลื่อนที่ๆ แตกตางกันได

- นักศึกษาสามารถบอกคํานิยามของคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตยระหวางพื้นผิวแหง และ ความสัมพันธระหวางคาสัมประสิทธแรงเสียดทานสถิตยกับมุมของแรงเสียดทานสถิตยได

- นักศึกษาสามารถอธิบายวิธีการจัดารทดลองเพื่อหาคาสัมประสิทธแรงเสียดทานสถิตยได - นักศึกษาสามารถนําเอาความรูเกี่ยวกับแรงเสียดทานสถิตยบนพื้นผิวแหงไปประยุกตใชในการ

แกปญหาสมดุลยของล่ิมได 2. ทฤษฎีท่ีเก่ียวของ

แรงเสียดทาน (friction, f ) เปนแรงที่ตานการเคลื่อนที่ของวัตถุ เกิดขึ้นที่ผิวสัมผัสของวัตถุที่กําลังเคลื่อนที่หรือพยายามจะเคลื่อนที่โดยมีทิศตรงขามกับการเคลื่อนที่ ขนาดของแรงเสียดทานขึ้นอยูกับมวลของวัตถุ ชนิดของพื้นผิวของวัตถุแรงเสียดทานแบงออกเปน 2 ชนิด คือ 2.1 แรงเสียดทานสถิตย (static friction, sf ) เปนแรงเสียดทานขณะที่วัตถุยังไมเคลื่อนที่ แรงเสียดทานชนิด

นี้จะไมคงที่ โดยเพิ่มขึ้นตามแรงที่กระทําจนกระทั่งถึงคาที่ทําใหวัตถุเร่ิมเคลื่อนที่ดังแสดงในรูปที่ 1 โดยเขียนเปนสมการได ดังนี้

s sf Nµ≤ [1]

เมื่อ sf คือ แรงเสียดทานสถิตย

sµ คือ สัมประสิทธิ์ของความเสียดทานสถิตย N คือ แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ( N mg= )


P

mg

N

sf

รูปที่ 1 แรงเสียดทานสถิตย 2.2 แรงเสียดทานจลน (kinetic friction, kf ) เปนแรงเสียดทานขณะวัตถุกําลังเคลื่อนที่ เขียนเปนสมการได

วา

k kf Nµ= [2]

เมื่อ kf คือ แรงเสียดทานจลน kµ คือ สัมประสิทธิ์ของความเสียดทานจลน

N คึอ แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ( N mg= )

P

mg

N

sf

α

รูปที่ 2 แรงเสียดทานจลน

สําหรับการทดสอบนี้มุงเนนการพิจารณาเฉพาะแรงเสียดทานสถิตยสูงสุด ( ,maxsf ) ที่เกิดขึ้นใน

ขณะที่วัตถุเร่ิมเคลื่อนที่เทานั้น จากกราฟความสัมพันธระหวางแรงเสียดทานสถิตยและแรงเสียดทานจลนดังแสดงในรูปที่ 3


f

sf

kf

P

,maxs sf Nµ=

Equilibrium

รูปที่ 3 ความสัมพันธระหวางแรงเสียดทานสถิตยและแรงเสียดทานจลน

โดยจากรูปที่ 2 และ 3 พบวา ในชวงที่ออกแรง P แตวัตถุยังคงหยุดนิ่งอยูกับที่ แรงปฏิกริยา N

กระทํากับแนวตั้งฉากกับผิวสัมผัสมีคาเทากับα โดยคามุมดังกลาวนี้ หาไดจากความสัมพันธระหวางแรงเสียดทานกับแรงตั้งฉาก ดังนี้

,maxtan sfN

α = [3]

ถาในขณะที่วัตถุขยับเคลื่อนที่กําหนดมุมที่แรงปฏิกริยากระทํากับแนวตั้งฉากมีคาเทากับ

sα ϕ= [4] คามุม sϕ เรียกวา มุมของแรงเสียดทานสถิตย (angle of static friction) ซ่ึงคามุมดังกลาวสามารถหาไดโดย พิจารณาสมการที่ [3] และ [4] ดังนี้

,maxtan s ss

f NN N

µϕ = =

tan s sϕ µ= [5]

2.3 การหาคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตยระหวางสองพื้นผิวสัมผัส ในการทดสอบเพื่อหาคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตยสามารถทําไดโดยการออกแรง P กับวัตถุบนพื้นราบดังแสดงไวในรูปที่ 1 โดยใชตาชั่งสปริงวัดแรง P ในขณะที่วัตถุเร่ิมเคลื่อนที่ ( ,maxsP f= ) ที่แรงกด N ตางๆ โดยคาสัมประสิทธแรงเสียดทานสถิตยหาไดจาก


,maxss

fN

µ = [6]

สําหรับคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหวางสองพื้นผิวสัมผัสใดๆ อาจตองทําการทดสอบซ้ําเพื่อใช

คาเฉลี่ยเปนตัวแทนของคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของสองพื้นผิวนั้นๆ แตนอกจากวิธีการดังกลาวที่กลาวมาขางตนนั้นยังสามารถจัดการทดสอบดังแสดงในรูปที่ 4 โดยนําวัตถุมวลm ไปวางบนพื้นเอียงที่สามารถปรับระดับความลาดชันได

(ก) (ข)

รูปที่ 4 การหาคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตย

เมื่อเขียนแผนภาพอิสระของวัตถุที่อยูบนพื้นเอียง ดังแสดงไวในรูปที่ 4(ข) เมื่อพิจารณาสมดุลของวัตถุนี้บนพื้นเอียงที่กําหนดใหแนวแกน X และ Y วางขนานและตั้งฉากกับแนวของพื้นเอียง ตามลําดับสามารถเขียนสมการสมดุลของวัตถุได ดังนี้

0;FxΣ = sin 0mg Fθ − =

sinmg Fθ = [7] 0;FyΣ = cos 0mg Nθ− + =

cosmg Nθ = [8] นําสมการ [7] หารดวย [8]

sincos

mg Fmg N

θθ=

maxtan FN

θ = [9]


เมื่อเร่ิมทําการยกใหพื้นทํามุม θ จากมุมศูนยแลวเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ จนกระทั้งวัตถุเร่ิมเคลื่อนที่ขยับลงจากพื้นเอียงที่มุมดังกลาวนี้คาแรงเสียดทานมีคาเทากับแรงเสียดทานสถิตยสูงสุด

,maxs sf Nµ=

maxtan sF NN N

µθ = =

tan sθ µ= [10]

จากสมการที่ [5] และสมการที่ [10] จะเปนจริงไดก็ตอเมื่อ sθ ϕ=

tan s sθ µ= [11]

เพราะฉะนั้นคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตยจึงสามารถหาไดจาก

1tan ( )s sµ φ−= [12]

3. เคร่ืองมือและอุปกรณการทดลอง

- แผนกระดาษเรียบที่สามารถถอดเปลี่ยนพื้นที่ได (ผิวไม ยาง กระดาษทราย) - วัตถุทรงกลองสามารถถอดเปลี่ยนพื้นผิวไดมีมวลแตกตางกัน 3 ช้ิน( 1 2 3, ,m m m ) - อุปกรณในการวัดมุม

4. วิธีการทดลอง

1) นําวัสดุพื้นผิว X ติดลงบนกระดาษพื้นเอียง 2) นําวัสดุพื้นผิว Y ติดลงบนผิวของกอนมวล 1m ที่มีพื้นที่ผิวสัมผัสกับพื้นเอียง A1 3) นํากอนมวลวางบนแผนกระดาษที่วางราบอยูกับพื้น (มุม 0θ = ) 4) ยกที่ปลายพื้นเอียงขึ้นชาๆ จนกวากอนมวลจะเริ่มขยับเลื่อนลงจากพื้นเอียง 5) ทําการวัดมุมที่พื้นเอียงกระทํากับแนวราบ ณ ตําแหนงที่กอนมวลเริ่มเลื่อนลงจากพื้นเอียง จด

บันทึกคามุมลงตารางบันทึกผล 6) ทําการทดลองซ้ําจากขอ 4-5 ซํ้าอีกสองครั้งเพื่อหาคามุมเฉลี่ยโดยมุมที่วัดไดดังกลาวนี้มีคา

เทากับมุมของแรงเสียดทานสถิตย ( sθ ϕ= )


7) คํานวณหาคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตย sµ จากสมการที่ [12] 8) ทําการเปลี่ยนกอนมวลจาก 1m ไปเปนกอนมวล 2m และ 3m (ที่มีพื้นที่สัมผัสพื้นเอียง A1)

และทําการทดลองในขั้นตอน 3-7 ซํ้า เพื่อสังเกตวามวลที่เพิ่มขึ้น (น้ําหนักกกดลงบนพื้นเอียง) มีผลกระทบตอคา sϕ และ sµ หรือไม

9) เปลี่ยนขนาดกอนมวลที่มีพื้นผิวเอียงใหมอีก 2 ขนาด ( A2 และ A3) แลวทําการทดลองจาก 2-8 ซํ้า เพื่อสังเกตวาขนาดของพื้นผิวสัมผัสมีผลกระทบตอคา sϕ และ sµ หรือไม

10) ทําการทดลองจากขั้นตอน 1-9 ซํ้าโดยเปลี่ยนชนิดของวัสดุบนพื้นผิว X และ Y เปนชุดใหม 5. ตารางบันทึกผลการทดลอง ชนิดวัสดุบนพืน้เอียง ................................................ ชนิดวัสดุบนกอนมวล ................................................

มุมของแรงเสียดทาน ( sφ ) ลําดับที่ พื้นที่ผิวสัมผัส

(cm2) มวลวัตถุ

(g) คร้ังที่ 1 คร้ังที่ 2 คร้ังที่ 3 คาเฉลี่ย )(tan 1ss φµ −=

1 1m 2 2m 3

A1 3m

4 1m 5 2m 6

A2 3m

7 1m 8 2m 9

A3 3m


6. การสรุปและวิเคราะหผลการทดลอง - การเรียงคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตยระหวางพื้นผิวสองชนิดในการทดลอง จากนอยไป

หามาก - พิจารณาจากผลการทดลองแลวอธิบายวาขนาดของกอนมวล (เมื่อเทียบจากกอนมวลที่มีพื้นที่

ผิวสัมผัสกับพื้นเอียงเทากัน) มีผลกระทบตอคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตยหรือไม อยางไร

- พิจารณาจากผลการทดลองแลวอธิบายวาขนาดของพื้นที่ผิวสัมผัสระหวางกอนมวลกับพื้นเอียง (เมื่อเทียบจากกอนมวลคงที่หนึ่งๆ) มีผลกระทบตอคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตยหรือไม อยางไร โดยใชขอมูลจากตารางบันทึกผลการทดลองประกอบในการอธิบาย

- สรุปผลการทดลองวาคาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตย ขึ้นอยู หรือ ไมขึ้นอยู กับอะไรบาง 7. ตอบคําถาม

- เหตุใดจึงตองทําการทดสอบซ้ํา 3 คร้ัง การทดสอบซ้ํามีประโยชนอยางไรบาง - ในการทดลองลําดับที่ 1 2 3, ,m m m ซ่ึงเปนการทดลองที่ใชมวล 1 2 3, ,m m m ตามลําดับและกอน

มวลมีพื้นที่สัมผัสเทากัน คือ A1 ชวยใหสรุปผลการทดลองอะไรบาง จงอธิบาย - ในการทดลองลําดับที่ 1 ,4 ,7 ตามลําดับซึ่งเปนการทดลองที่ใชมวล 1m เทากันแตมีพื้นที่สัมผัส

พื้นเอียงแตกตางกันคือ A1, A2, A3 ชวยทําใหสรุปผลการทดลองอะไรบาง จงอธิบาย - นอกจากนี้วิธีการที่กลาวมาขางตนแลวนักศึกษามีวิธีการทดสอบเพื่อหาคาสัมประสิทธิ์แรง

เสียดทานสถิตยระหวางพื้นผิวทั้งสองหรือไม จงอธิบายวิธีการทดลองพรอมวาดรูปประกอบ 8. โจทยประยุกต

ถาชิ้นสวน A และ B มีน้ําหนักเทากับ AW และ BW ตามลําดับ จงคํานวณหาแรงกด P ที่สามารถทําใหช้ินสวน A เร่ิมเลื่อนลง ถาสัมประสิทธิ์คาแรงเสียดทานของทุกผิวสัมผัสมีคาเทากับ Sµ

A

B

P

30



ปฏิบัติการ D จุดศูนยถวงและโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่

(Centroid and Moment Inertia of Area) 1. วัตถุประสงค

- สามารถบอกคํานิยามและความสําคัญของจุดศูนยกลางและโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ได - สามารถคํานวณหาพิกัดของตําแหนงจุดศูนยกลางของพื้นที่รูปเรขาคณิตและนําผลที่ไดจากการ

คํานวณเปรียบเทียบกับผลที่ไดจากการทดลอง - สามารถคํานวณหาคาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ได และสามารถเชื่อมความสัมพันธระหวางคา

โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่กับความสามารถในการรับโมเมนตดัดของคานได 2. ทฤษฎีท่ีเก่ียวของ 2.1 จุดศูนยถวงวัตถุสองมิติ (center of gravity of a two-dimensional body)

ถาแบงชิ้นสวนวัตถุแบนราบ (flat horizontal plate) เปนชิ้นเล็กๆ จํานวน n ช้ินสวนโดยกําหนดใหช้ินสวนยอยแรกมีน้ําหนัก 1W∆ และมีพิกัดของจุดศูนยกลางอยูที่ 11, yx ช้ินสวนยอยลําดับตอไปมีน้ําหนัก

iW∆ และมีพิกัดของจุดศูนยกลางอยูที่ ix และ iy ตามลําดับ เมื่อ ni ,...,3,2,1= ดังที่แสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1 จุดศูนยถวงวตัถุสองมิติ

เนื่องจากชิ้นสวนยอยมีน้ําหนักซึ่งมีทิศทางอยูในแนวแกน z ทั้งหมด ดังนั้นหากนําเอาน้ําหนักของช้ินสวนยอยทั้งหมดมารวมกันจึงมีคาเทากับน้ําหนักของวัตถุแบนราบทั้งหมด

nz WWWWF ∆++∆+∆==Σ ...21 [1]


เพื่อที่จะหาพิกัดของตําแหนงศูนยถวง (center of gravity, G) ซ่ึงก็คือ yx, ของวัตถุแบนราบที่เสมือนวาเปนตําแหนงที่น้ําหนัก W กระทําผาน สามารถไดโดยการการพิจารณาโมเมนตของน้ําหนักพื้นที่ยอยรอบแกน y และ x ตามลําดับ

1 1 2 2( )( ) ( )( ) ... ( )( )y n nM xW x W x W x WΣ = = ∆ + ∆ + + ∆ [2]

1 1 2 2( )( ) ( )( ) ... ( )( )x n nM yW y W y W y WΣ = = ∆ + ∆ + + ∆ [3] ถาทําการแบงพื้นที่ใหมีจํานวนมากขึ้นโดยลดขนาดของชิ้นสวนยอยแตละชิ้นใหเล็กลง ดังนั้น

สมการที่ [1], [2] และ [3] สามารถเขียนใหอยูในรูปอินทริกรัลได ดังนี้

dWW ∫= [4]

xdWWx ∫= [5]

ydWWy ∫= [6] 2.2 พิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่รูปทั่วไปและรูปเรขาคณิต

ในกรณีที่แผนวัตถุมีเนื้อเดียวกัน(homogenous material) และมีความหนาเทากันทั่วทั้งแผน (uniform thickness, t ) น้ําหนักของชิ้นสวนยอยแตละชิ้นที่มีพื้นที่เทากับ A∆ สามารถหาไดจากผลคูณระหวางน้ําหนักจําเพาะของวัตถุ (specific weight,γ ) กับปริมาตรของชิ้นสวนยอยที่พิจารณา ดังนี้

)()( AtW ∆=∀=∆ γγ [7]

ในทํานองเดียวกันน้ําหนักของวัตถุทั้งแผนสามารถหาไดจาก

)()( tAW γγ =∀= [8]

ถานําเอาคาน้ําหนักในสมการ [7] และ [8] แทนลงในสมการ [5] และ [6] จะไดวา

xdAAx ∫= [9]


ydAAy ∫= [10]

รูปที่ 2 พิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่

ผลคูณระหวางพิกัดของจุดศูนยกลางกับพื้นที่ในสมการ [9] และ [10] เรียกวา โมเมนตอันดับที่หนึ่งของพื้นที่รอบแกน y และโมเมนตอันดับที่หนึ่งของพื้นที่รอบแกน x ตามลําดับ

xdAAxQy ∫== [11]

ydAAyQx ∫== [12]

จากสมการ [9] และ [10] สามารถหาพิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่ของแผนวัตถุรูปทั่วไปที่มีความ

หนาคงที่และมีเนื้อวัสดุเดียวกันทั้งแผนไดดังนี้

AxdAx ∫

= [13]

AydAy ∫

= [14]

สวนในกรณีรูปเรขาคณิตเชน รูปสามเหลี่ยม รูปครึ่งวงกลม หรือ รูปพาราโบลา ก็สามารถใชสมการ

ที่ [13] และ [14] คํานวณหาพิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่ของแตละรูปออกมาไดดังแสดงใน ตารางที่ 1


ตารางที่ 1 พิกัดของจุดศูนยกลางพื้นรูปเรขาคณิตแบบตางๆ Shape x y Area

Triangular

3h

2bh

Quarter-circular π3

4r π3

4r 4

2rπ

Semicircular area

0 π3

4r 2

2rπ

Semiparabolic area 8

3a 5

3h 3

2ah

Parabolic area 0 5

3h 3

4ah

Parabolic spandrel

4

3a 103h

3ah

Circular sector

αα

3sin2r 0 2rα

2.3 จุดศูนยกลางของพื้นที่รูปประกอบ

ในกรณีที่แผนวัตถุที่พิจารณา มีความหนาคงที่และเปนวัสดุเนื้อเดียวกันตลอดทั้งแผนมีรูปรางประกอบขึ้นจากรูปทรงเรขาคณิตมากกวาหนึ่งรูปขึ้นไป ตัวอยางแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3 จุดศูนยกลางของพื้นที่รูปประกอบ


หากกําหนดใหแตละสวนของแผนวัตถุมีตําแหนงพิกัดอยูที่ ),( ii YX และมีน้ําหนักเทากับ iW สามารถหาโมเมนตอันดับที่หนึ่งของแผนวัตถุรอบแกน y และ x จะสามารถเขียนเปนสมการไดดังนี้

nny WxWxWxWWWXM +++=+++=Σ ...)...( 221121 [15]

nnx WyWyWyWWWYM +++=+++=Σ ...)...( 221121 [16]

แตเนื่องจาก tAW γ= และ ii tAW γ= เพราะฉะนั้นเมื่อนําไปแทนลงในสมการ [15] และ [16] จะไดวา

)()(

)...()...(

21

2211

i

ii

n

nn

AAx

AAAtAxAxAxtX

ΣΣ

=++

+++=

γγ [17]

)()(

)...()...(

21

2211

i

ii

n

nn

AAy

AAAtAyAyAytY

ΣΣ

=++

+++=

γγ [18]

คาพิกัดที่คํานวณไดจากสมการที่ [17] และ [18] นั้นเปนพิกัดของตําแหนงจุดศูนยกลางของพื้นที่รูป

ประกอบเรขาคณิต ดังแสดงตัวอยางในรูปที่ 4

รูปที่ 4 พิกัดของตําแหนงจุดศูนยกลางของพื้นที่รูปประกอบเรขาคณิต

คาพิกัด ix และ iy ในสมการ [17] และ [18] จะคิดเครื่องหมายบวกลบตามระยะบนแกน สวนพื้นที่ iA จะมีเครื่องหมายเปนลบเมื่อพื้นที่ยอยนั้นเปนพื้นที่ตองการลบออก ตัวอยางเชนในรูปที่ 5 พื้นที่ประกอบขึ้นจากรูปเรขาคณิตจํานวน 3 รูป ไดแก รูปครึ่งวงกลม (+ 1A ), รูปสี่เหล่ียมผืนผา (+ 2A ) และรูป


วงกลม (+ 3A ) ตามลําดับ แตเพื่อความสะดวกและปองกันความผิดพลาดในการคํานวณมักมีการนําเอาขอมลูพิกัดและพื้นที่ของพื้นที่เรขาคณิตยอยมาเขียนใหอยูในตารางดังในรูปที่ 5

รูปที่ 5 เครื่องหมายบวกลบตามระยะบนแกน 2.4 โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่

โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ (moment inertia of area) ถูกนิยามใหมีคาเทากับโมเมนตอันดับสองของพื้นที่ (second moment of area) รอบแกนอางอิงที่พิจารณา เชน โมเมนตรอบแกน x และ y ของพื้นที่ ในรูปที่ 6 สามารถหาไดดังนี้

dAyI x2∫= [19]

dAxI y

2∫= [20]

โดยพื้นที่ dAสามารถพิจารณาใหเหมาะสมกับการประยุกตปญหา เชน ในรูป 6(ก) พิจารณาใหพื้นที่ยอย dxdydA = สวนในรูป 6(ข) ซ่ึงใช dyxadA )( −= เพื่อหาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน x

แตในรูป 6(ค) หาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน y โดยกําหนดให ydxdA =

(ก) (ข) (ค)

รูปที่ 6 โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่

x A Ax 1A Semicircle - + - 2A Full rectangle + + + 3A Circular hole + - -


ตัวอยางเชนหากพิจารณาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รูปสี่เหล่ียมผืนผา ในรูปที่ 7 รอบแกน x โดยอาศัยสมการ [19] และ [20] และกําหนดให bdA = dy และ bydI x

2= dy จะไดผลดังนี้

∫=h

x byI0

2 dy = 3

31 bh [21]

รูปที่ 7 โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รูปสี่เหล่ียมผืนผา

ในกรณีที่ทําการหาโมเมนตเฉื่อยรอบแกนที่ลากผานจุดศูนยกลางพื้นที่และขนานกับแกน x สัญลักษณของโมเมนตรอบแกนจะเขียนเปน xI แทน xI ในทํานองเดียวกัน yI แทน yI ดวยเชนกัน สําหรับการโมเมนตเฉื่อยรอบแกนที่ลากผานจุดศูนยกลางพื้นที่และขนานกับแกน y นั้น หากนําเอาสมการ [19] และ [20] ไปหาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนรูปเรขาคณิตอื่น ๆ เชน สามเหลี่ยม วงกลม หนึ่งสวนสี่ของวงกลม คร่ึงวงกลม หรือวงรี จะไดผลดังที่แสดงในรูปที่ 8


รูปที่ 8 โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รูปเรขาคณิตรอบแกน x และ 'x 2.5 ทฤษฎีแกนขนาน (parallel-axis theorem)

เมื่อพิจารณาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ในรูปที่ 9 เทียบกับแกนหมุน 'AA − โดยกําหนดให y เปนระยะที่วัดจากพื้นที่ยอย dA จะไดวา

dAyI 2∫= [22]

รูปที่ 9 โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ของทฤษฎีแกนขนาน


ถาลากแกน 'BB − ซ่ึงลากผานจุดศูนยกลางของพื้นที่ (C) และขนานกับแกน 'AA − ระยะ y สามารถเขียนแทนไดดวย dy +' นําไปแทนลงในสมการ [22]

dAdyI 2)'( +∫=

2 2( ') 2 'I y dA d y dA d dA= ∫ + ∫ + ∫ [23]

2( ')y dA∫ คือ โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ยอย dA รอบแกน 'BB − และ 2 'd y dA∫ คือ โมเมนตอันดับหนึ่งของพื้นที่ยอย dA รอบแกน 'BB − แตเนื่องจากแกนดังกลาวนี้ลากผานจุดศูนยกลางของพื้นที่ดังนั้นนี้จึงมีคาเปนศูนย สุดทาย 2d dA∫ มีคาเทากับ 2Ad

2AdII += [24]

นั่นหมายความวาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนใดๆ จะมีคาเทากับผลบวกระหวาง โมเมนตเฉื่อย

รอบแกนที่ลากผานจุดศูนยกลางของพื้นที่และขนานกับแกนดังกลาวนั้น กับผลคูณระหวางพื้นที่กับระยะทางตั้งฉากกับแกนทั้งสอง ตัวอยางเชน โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมรอบแกน 'AA − ซ่ึงอยูในรูปที่ 10 สามารถหาไดดังนี้

รูปที่ 10 โมเมนตเฉื่อยของของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมรอบแกน x และ 'x

2'' AdII BBAA +=

23 )31)(

21(

361 hbhbh +=

3

121 bh=


2.6 โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รูปประกอบ ในการหาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รูปประกอบขึ้นจากรูปเรขาคณิตจํานวนสองรูปขึ้นไป รอบแกน

หลักใดๆ สามารถทําไดโดยแบงพื้นที่ประกอบนั้นออกเปนรูปเรขาคณิตยอย จากนั้นทําการหาโมเมนตของพื้นที่ยอยรอบแกนที่ลากผานจุดศูนยกลางของพื้นที่ยอยแตละรูป โดยแกนหมุนของของพื้นที่ยอยจะตองอยูในแนวขนานกับแกนหลักของพื้นที่รูปประกอบ โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ประกอบจะมีคาเทากับผลรวมของโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ยอยรอบแกนหลักทั้งหมดรวมกัน แตในบางกรณีหากมีพื้นที่รูปยอยใดเปนพื้นที่ตองลบออก โมเมนตเฉื่อยของรูปนั้นจะนําไปหักออกจากโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ที่มีคาเปนบวก

ตัวอยางเชนพื้นที่ประกอบในรูปที่ 11 ประกอบขึ้นจากรูปเรขาคณิตจํานวนสองรูป คือ พื้นที่รูปส่ีเหล่ียมที่มีขนาด hb× ลบออกดวยพื้นที่รูปครึ่งวงกลมที่มีรัศมี r ขั้นตอนคํานวณหาโมเมนตเฉื่อยรอบแกน x จะทําไดดังขั้นตอนตอไปนี้

รูปที่ 11 โมเมนตเฉื่อยของพืน้ที่รูปประกอบ

ขั้นตอนที่ 1: หาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ลากผานจุดศูนยกลางและขนานกับแกน x แตละพื้นที่ยอย

31 12

1 bhI x =

4

2 81 rI x π=

ขั้นตอนที่ 2: หาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนหลักของแตละพื้นที่ยอย

21111 dAII xx +=

323

31)2)((

121 bhhbhbh =+=

2

2222 dAII xx += 224 )

34)(

21(

81

πππ rhrr −+=


ขั้นตอนที่ 3: หาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ประกอบโดยรวมโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนหลักของแตละพื้นที่รูปยอยตามเครื่องหมายบวกลบหนาโมเมนตเฉื่อย สําหรับพื้นที่ยอยที่ตองการโมเมนตเฉื่อยจะมีคาเปนบวก แตหากพื้นที่ยอยเปนพื้นที่ไมตองการโมเมนตเฉื่อยจะมีคาเปนลบ

21 xxx III −= 2.7 ความสําคัญของโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่

ความสามารถรับในการรับโมเมนตดัดของวัตถุจะขึ้นอยูกับขนาดของโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ลากผานแกนสะเทิน(neutral axis) ซ่ึงเปนแกนที่ไมมีการยืดหดของหนาตัดของวัตถุ โดยคาหนวยแรง (stress) บนหนาตัดชิ้นสวนวัตถุซ่ึงเกิดจากโมเมนตดัดจะมีความสัมพันธกับโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัดของวัตถุที่พิจารณาดังสมการตอไปนี้

IMy−

=σ [25]

เมื่อ M เปนคาโมเมนตดัดที่หนาตัดของชิ้นสวนวัตถุที่พิจารณา, c เปนระยะหางจากตําแหนงของ

หนวยแรงที่พิจารณาถึงแกนสะเทิน และ I เปนคาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัดของชิ้นสวนวัตถุ

รูปที่ 12 การแสดงการกระจายของหนวยแรง

จากการแสดงการกระจายของหนวยแรงที่แสดงในรูปที่ 12 และในสมการ [22] จะพบวาความสามารถในการรับโมเมนตดัดของชิ้นสวนจะแปรผันตามโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ นั่นหมายความวาช้ินสวนที่มีโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัดมากจะสามารถรับโมเมนตดัดไดมากตามไปดวย ซ่ึงรายละเอียดเนื้อหาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่กับความสมมารถในการรับโมเมนตดัด อยูในเนื้อหาของวิชากลศาสตรวัสดุที่นักศึกษาไดเรียนผานมาแลว


3. เคร่ืองมือและอุปกรณการทดลอง 3.1 การทดลองเรื่องจุดศูนยกลางของพื้นที่

- แผนวัสดุที่มีพื้นที่รูปประกอบของรูปเรขาคณิตซึ่งเจาะรูเพื่อหอยตามบริเวณของของชิ้นสวน - แผนวัสดุรูปรถยนต (รถเกง และ รถกระบะ) - เสนดายหรือเสนเชือก - ตาชั่งสปริง - ดินสอและไมบรรทัด - ตุมน้ําหนัก

3.2 การทดลองเรื่องโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ - กระดาษแข็ง - เสนดายหรือเสนเชือก - ตุมน้ําหนัก

4. วิธีการทดลอง 4.1 การทดลองหาจุดศูนยกลางของพื้นที่

1) นํากระดาษสีขาวติดลงบนแผนวัสดุรูปประกอบเรขาคณิต ตัดแผนกระดาษใหเทากับพื้นที่แผนวัสดุพอดี

2) นําเชือกไปรอยผานรูที่ เจาะรอบแผนวัสดุ จากนั้นจึงทําการมัดเชือกใหแนนกับรู โดยกะประมาณใหตําแหนงมัดเชือกอยูกึ่งกลางระหวางปลายเชือกทั้งสองดาน

3) นําเอาเชือกที่ปลายดานหนึ่งไปยึดไวกับจุดยึดเพื่อใหแผนวัสดุหอยลอยอยางอิสระเหนือพื้น สวนปลายอีกดานหนึ่งใหมัดกับตุมน้ําหนักถวง

4) ใหใชไมบรรทัดวางทาบกับแนวเสนที่อยูในแนวดิ่งแลวใชดินสอขีดเปนเสนตามแนวดังกลาวลงบนกระดาษขาว

5) ทําซ้ําในขั้นตอน 2-4 ใหม แตเปลี่ยนรูที่รอยผานวัตถุจนครบทุกรู จะพบวาแนวของเสนตรงบนกรดาษขาวมีจุดตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง จุดดังกลาวนี้คือจุดศูนยกลางของพื้นของแผนวัสดุนั่นเอง

6) ทําการวัดขนาดของแผนวัตถุดวยไมบรรทัด จากนั้นทําการคํานวณหาจุดศูนยกลางของพื้นที่ของแผนวัสดุโดยใชวิธีการคํานวณหาจุดศูนยกลางพื้นที่ของรูปประกอบ

7) นําตําแหนงจุดศูนยที่คํานวณไดไปลงตําแหนงบนกระดาษสีขาวที่ไดในขั้นตอนที่ 5 เพื่อวัดระยะทางคลาดเคลื่อน

8) เปลี่ยนแผนวัตถุในการทดลองเปนชิ้นใหมแลวทําตามขั้นตอนที่ 1-7 อีกครั้ง


4.2 การทดลองหาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ 1) นํากระดาษแตละแผนที่แจกให โดยกระดาษแตละแผนใหนํามาพับเพื่อประกอบเปนคานที่มี

หนาตัดรูปตางๆ ดังตอไปนี้ (คานแตละแบบจะมีพื้นที่หนาตัดและความยาวคานเทากัน)

แบบ A แบบ B แบบ C แบบ D

รูปที่ 13 หนาตัดทดสอบรูปตางๆ

2) นําคาแบบ A วางลงบนจุดรองรับสองตําแหนง 3) นําเชือกที่ผูกกับฐานรองน้ําหนักยึดติดไวที่กึ่งกลางคาน แลวคอย ๆ เพิ่มตุมน้ําหนักจนกวาคาน

จะแอนและยุบลงมา จดบันทึกคาน้ําหนักของลูกตุมสูงสุดนั้นไว 4) เปลี่ยนคานเปนแบบ B, C และ D แลวทําการทดลองเหมือนขอ 3 จนครบทุกแบบ 5) เมื่อทําการทดลองครบทุกแบบแลว ใหเรียงลําดับความสามารถในการรับน้ําหนัก (โมเมนตดัด)

จากนอยไปมาก 6) ทําการคํานวณโมเมนตเฉื่อยของคานแตละแบบ แลวเรียงลําดับโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัด

ของคานจากนอยไปมาก 7) ทําการเปรียบเทียบกําลังเรียงลําดับความสามารถในการรับน้ําหนัก (จากที่ไดในขั้นตอนที่ 5)

กับโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัดคาน (จากที่ไดในขั้นตอนที่ 6) วาสอดคลองกันหรือไม


5. ตารางบันทึกผลการทดลอง 5.1 ตารางบันทึกผลการทดลองจุดศูนยกลางของพื้นที่

พิกัดที่ไดจากการวัด พิกัดที่ไดจากการคํานวณ

พื้นที่รูปเรขาคณิต

พื้นที ่(cm2)

)(cmx )(cmy )(cmx )(cmy

ระยะทางคลาดเคลื่อน 22 )()( yxl ∆+∆=∆

1 2

5.2 ตารางแสดงผลการทดลองโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่ รูปแบบของคาน

ขนาดพื้นที่หนาตัด

(cm2)

โมเมนตเฉื่อย ของพื้นที่

(cm3)

น้ําหนกับรรทุกสูงสุด maxP (N)

โมเมนตดัดสูงสุด (N.m) 4/maxmax LPM =

A B C D

6. การสรุปและวิเคราะหผลการทดลอง 6.1 การทดลองจุดศูนยกลางของพื้นที่

- เปรียบเทียบตําแหนงของพิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่ที่ไดจากการทดลองและการคํานวณ - วิเคราะหวาทําไม ตําแหนงของพิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่ที่ไดจากการทดลองและการ

คํานวณจึงมีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้น เกิดขึ้นเนื่องจากสาเหตุอะไร และสามารถลดคาคลาดเคลื่อนไดหรือไม

6.2 การทดลองโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่

- เปรียบเทียบความสามารถในการรับโมเมนตดัดของคานที่มีโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัดแตกตางกัน

- วิเคราะหวาความสัมพันธระหวาง ความสามารถในการรับโมเมนตดัดของคานกับคาโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัด เปนไปตามทฤษฎีหรือไม


7. ตอบคําถาม - ตําแหนงของพิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่สามารถอยูนอกพื้นที่ไดหรือไม - ถาแผนวัสดุที่นํามาทดลองมีความหนาเปลี่ยนแปลง ตําแหนงพิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่จะ

เปลี่ยนแปลงหรือไม - หากแผนวัสดุมีเนื้อวัสดุที่แตกตางกัน ตําแหนงพิกัดของจุดศูนยกลางของพื้นที่จะเปลี่ยนแปลง

หรือไม - เหตุใดในการออกแบบคานจึงมักออกแบบใหคานมีหนาตัดกลวง หรือมีปกบนปกลางที่หนา

กวาสวนที่อยูตรงกลาง(ตัวไอ) แทนหนาตัดรูปสี่เหล่ียมผืนผาแบบตัน - คานแบบใดที่มีโมเมนตเฉื่อยของพื้นที่หนาตัดมากที่สุด เมื่อเทียบกับคานที่ขนาดพื้นที่หนาตัด

เทากัน 8. โจทยประยุกต รถกระบะถูกนําไปชั่งน้ําหนักโดยมีเครื่องชั่งที่ลอหนาและลอหลังดังแสดงในรูปที่ 14 (a) ซ่ึงวัดน้ําหนักไดเทากับ 1R และ 2R จากนั้นทําการลดระดับเครื่องชั่งที่ลอหลังของรถในแนวดิ่ง h แลวทําการอานเครื่องชั่งอีกครั้งเทากับ 1R และ 2R ดังแสดงในรูปที่ 14 (b) ถาระยะหางระหวางจุดสัมผัสของลอกับพื้นที่ลอหนาและหลังระยะมีคาเทากับ L จงคํานวณหาพิกัดของตําแหนงจุดศูนยถวง ),( yx ของรถกระบะคันนี้ คําแนะนํา: ขั้นตอนที่ 1: เขียนแผนภาพอิสระ (free body diagram) ของรถกระบะภายใตแรงกระทําสําหรับแตละสถานการณ ขั้นตอนที่ 2: จงคํานวณน้ําหนักของรถกระบะ )(W ขั้นตอนที่ 3: คํานวณหาพิกัดของตําแหนงจุศูนยถวง ),( yx ของรถกระบะคันนี้



ปฏิบัติการ E คานและการแอนตัวของคาน

(Beam and Beam Deflection) 1. วัตถุประสงค

- นักศึกษามีความเขาใจและสามารถอธิบายประเภทของคานและพฤติกรรมการแอนตัวของคานตามประเภทของจุดลองรับรวมถึงเงื่อนไขของการใหแรงกระทําที่แตกตางกันได

- นักศึกษาสามารถอธิบายวิธีการทดลองเพื่อหาคาการแอนตัวของคานได - นักศึกษาไดเปรียบเทียบและวิเคราะหผลการทดลองที่ไดกับคาที่ไดจากทฤษฏี


คาน (beam) เปนองคอาคารที่มีลักษณะตรง วางอยูในแนวนอน และถูกกระทําโดย loads ที่ตั้งฉากกับแนวแกนของคาน (transverse loads) การจําแนกประเภทของคานจําแนกตามชนิดของฐานรองรับ (supports) และจํานวนของแรงปฏิกิริยา (reactions) 2.1 ลักษณะของฐานรองรับและจํานวนแรงปฏิกิริยา

ชนิดและลักษณะของฐานรองรับแตละแบบจะมีจํานวนแรงปฏิกิริยาที่แตกตางกัน สามารถแบงฐานรองรับไดดังนี้

- ฐานรองรับยึดหมุนเคลื่อนที่ (roller) สามารถรับแรงปฏิกิริยาไดเพียงทิศทางเดียว ดังแสดงในรูปที่ 1(a)

- ฐานรองรับยึดหมุน (hinged support or pinned support) สามารถรับแรงปฏิกิริยาเปนสองสวน สวนหนึ่งกระทําในแนวราบ อีกสวนหนึ่งกระทําในแนวดิ่ง ดังแสดงในรูปที่ 1(b)

- ฐานรองรับยึดแนน (fixed support) สามารถรับแรงปฏิกิริยาและรับโมเมนตไดทุกทิศทางและสามารถรับโมเมนต ดังแสดงในรูปที่ 1(c)

2.2 ชนิดของน้ําหนักบรรทุก

ชนิดของน้ําหนักบรรทุกที่กระทําบนคานสามารถจําแนกประเภทไดดังนี้ - แรงคูควบ (couple) เปนโมเมนตดัดที่กระทําที่ตําแหนงใดๆ ในชวงคาน ดังแสดงในรูปที่ 2(a) - น้ําหนักบรรทุกแบบเปนจุด (concentrated load) หมายถึง น้ําหนักบรรทุกที่กระทําบนพื้นที่ซ่ึงมี

ความยาวนอยมาก จนถือวาน้ําหนักบรรทุกนี้กระทําเปนจุด (point load) ดังแสดงในรูปที่ 2(b)


- น้ําหนักบรรทุกแบบกระจายสม่ําเสมอ (uniformly distributed load) หมายถึง น้ําหนักบรรทุกที่กระทําบนสวนใดสวนหนึ่งของคานหรือตลอดคาน โดยมีขนาดของน้ําหนักเทากันตลอด ดังแสดงในรูปที่ 2(c)

- น้ําหนักบรรทุกแบบกระจายไมสม่ําเสมอ (uniformly varying load) หมายถึง น้ําหนักบรรทุกที่กระทําบนสวนใดสวนหนึ่งของคานหรือตลอดคาน โดยมีขนาดของน้ําหนักไมเทากัน ดังแสดงในรูปที่ 2(d)

Beam

AR

RollerBeam

BXR

BYR Beam

CXR

CYR

CM

(a) (b) (c)

รูปที่ 1 ชนิดของฐานรองรับ

รูปที่ 2 ชนิดของคาน


2.3 ประเภทของคาน ประเภทของคาน (classification of beam) คานแบงตามชนิดของฐานรองรับไดดังนี้ - คานรองรับแบบธรรมดา (simply supported beam) คือ คานที่มีฐานรองรับที่ปลายขางหนึ่งเปน

แบบยึดหมุนเคลื่อนที่ปลายอีกขางหนึ่งเปนแบบยึดหมุน ดังแสดงในรูปที่ 2(a) - คานยื่น (cantilever beam) คือคานที่มีฐานรองรับที่ปลายขางหนึ่ง เปนแบบยึดแนนปลายอีกอาง

หนึ่งเปนอิสระ ดังแสดงในรูปที่ 2(b) - คานแขวน (overhang beam) คือคานที่มีปลายขางหนึ่งหรือทั้งสองขางยื่นออกมาพนฐานรองรับ

ดังแสดงในรูปที่ 2(c) - คานค้ํายัน (propped beam) คือคานที่มีฐานรองรับที่ปลายขางหนึ่งเปนแบบยึดแนนฐานรองรับ

ที่ปลายอีกขางหนึ่งเปนแบบยึดหมุนเคลื่อนที่ หรือแบบยึดหมุน ดังแสดงในรูปที่ 2(d) - คานยึดปลาย (fixed-ended beam) คือ คานที่มีฐานรองรับที่ปลายทั้งสองขางเปนแบบยึดแนน

ดังแสดงในรูปที่ 2(e) - คานตอเนื่อง (continuous beam) คือคานที่มีฐานรองรับเทากับหรือมากกวาสาม ดังแสดงในรูป

ที่ 2(f) 2.4 การแอนตัวของคาน

คาการแอนตัวของคานในชวงที่วัสดุมีความเปน Linear elastic นั้นสามารถที่จะหามาไดจากวิธีการตางๆ เชน Integration method, Moment area method และ Conjugate beam method เปนตน จากการศึกษาเร่ืองการโกงตัวของคานในวิชา Mechanics of Materials ไดความสัมพันธของ Moment กับ Curvature ของคานใดๆ อยูในรูป

1 M

EIρ= [1]

เมื่อ ρ คือ รัศมีของ Curvature ของคานตรงจุดที่พิจารณา M คือ Moment ลัพธที่เกิดขึ้นภายในตัวคานจุดที่พิจารณา E คือ Modulus of elasticity ของวัสดุที่ใชทําคาน I คือ Moment of inertia ของหนาตัดของคาน

EI มักถูกเรียกวา Flexural rigidity ของคาน เพื่อใหเกิดความสอดคลองในการหาคาการโกงตัว Sign convention ดังแสดงในรูปที่ 3 ถูกใชเปนเกณฑในการพิจารณาเครื่องหมาย และตัวแปรตางๆ


รูปที่ 3 Sign convention

สมการสวนโคงของคาน 1ρหาไดจากสมการ

2

2

1d v Mdx EIρ

= = [2]

กรณีของคานรองรับแบบธรรมดา (simply supported beam) ที่ถูกกระทําดวยแรง Point load เมื่อทํา

การแกสมการที่ [2] จะไดสมการการแอนตัวของคานในรูปแบบดังตอไปนี้

3WLv aEI

= [3]

3. การทําการทดลองเพื่อหาคาการแอนตัวของคาน 3.1 อุปกรณการทดลอง

- เครื่องมือทดสอบ SM 104 Mk III Beam Apparatus ดังแสดงในรูปที่ 4 - ชุดวัดแรงเปนโหลดเซลล ชนิดรับแรงได 40 นิวตัน - Dial gauges ขนาด 0-25 มม. อานไดละเอียด 0.1 มม. และฐานยึดเปนแมเหล็ก - ชุดแขวนน้ําหนัก - ชุดกอนน้ําหนัก 2 นิวตัน, 5 นิวตัน และ 10 นิวตัน - คานทดลองมีขนาดความกวาง 19 มม. และความยาวไมนอยกวา 1,350 มม. (คานเหล็กขนาด 3

มม., 4.5 มม., และ 6 มม. อยางละ 1 ช้ิน, คานอะลูมิเนียม และทองเหลือง ขนาด 6 มม. อยางละ 1 ช้ิน)


รูปที่ 4 ชุดทดลอง SM 104 Mk III Beam Apparatus

3.2 ขั้นตอนการทดลอง 1) ทําการติดตั้งโหลดเซลลและจุดรองรับที่ระยะ

4L จากปลายคานทางดานซายและขวา ดังรูปที่ 5

2) นําคานไปติดตั้งบนจุดรองรับที่เตรียมไว 3) นําชุดแขวนน้ําหนักติดตั้งที่กึ่งกลางคาน 4) ทําการติดตั้ง Dial gage ที่ตําแหนงกึ่งกลางคาน (ตําแหนงที่แรงกระทํา) และเซตศูนย Dial gage 5) ใสน้ําหนักลงบนคานและเพิ่มคาตามตาราง อานคา Dial gage แลวบันทึกขอมูลลงในตาราง

บันทึกผล 6) ทําการทดลองขั้นตอน 2-5 ซํ้าโดยเปลี่ยนคานทดลองที่ทําจากวัสดุแบบตางๆ 7) ทําการคํานวณหาคาการแอนตัวที่ไดจากทฤษฎีและเปรียบเทียบผลการทดลอง

รูปที่ 5 ลักษณะการติดตั้งตวัอยาง


4. ตารางบันทึกผลการทดลอง ลําดับที่ คานทดลอง น้ําหนกัที่กระทํา,W (N) ระยะการแอนตัว, v (mm)

1 5 2 10 3 15 4 20 5 25 6

Steel 6 mm

30 7 5 8 10 9 15 10 20 11 25 12

Steel 4.5 mm

30 13 5 14 10 15 15 16 20 17 25 18

Steel 3 mm

30 19 5 20 10 21 15 22 20 23 25 24

Brass 6 mm

30 25 2 26 4 27 6 28 8 29

Aluminum 6 mm

10


5. การสรุปและวิเคราะหผลการทดลอง - Plot กราฟโดยใชขอมูลตางๆ ของแรงที่กระทําและคาการแอนตัวตามที่ไดจากการทดลอง ให

แกนตั้งเปนคาการแอนตัวและแกนนอนเปนแรงที่กระทํา - แสดงผลการคํานวณหาคาการแอนตัวที่ไดจากทฤษฎีและเปรียบเทียบกับผลการทดลอง มีคา

เทากันหรือตางกันอยางไร - สรุปผลการทดลองวาคาการแอนตัวของคานขึ้นอยูกับอะไรบาง

6. ตอบคาํถาม

- พิสูจนสมการการแอนตัว M EI ρ=

- เหตุใดจึงตองทําการทดลองโดยใชคานที่ทําจากวัสดุตางกัน มีประโยชนอะไรบาง จงอธิบาย - จากขอมูลการทดลองสามารถหาคา Modulus of elasticity ไดหรือไม ถาไดจงแสดงการคํานวณ

พรอมอธิบาย 7. โจทยประยุกต

จงหาสมการของ Slope ที่จุด B และการแอนตัว (deflection) ที่จุด C ของคานยื่น (cantilever beam) ซ่ึงถูกกระทําโดยแรง P คานมีคา flexural rigidity ( EI ) คงที่ตลอดความยาวคาน ดังแสดงในรูปที่ 6

รูปที่ 6 คําถามทายการทดลอง


ปฏิบัติการ F เคร่ืองจักรกล (Machines)

1. วัตถุประสงค

- นักศึกษาเขาใจคํานิยามของเครื่องจักรกล - นักศึกษาสามารถวิเคราะหหาแรงที่กระทําตอช้ินสวนภายในโครงสรางของเครื่องจักรกลได - นักศึกษาสามารถบอกอัตราสวนการไดเปรียบเชิงกลของเครื่องจักรกลได


เครื่องจักรกล (machines) เปนโครงสรางที่ประกอบขึ้นจากชิ้นสวนจํานวนมากกวาสองชิ้นขึ้นไป โดยมีช้ินสวนที่มีคุณสมบัติเปน ช้ินสวนที่รับแรงอยางนอย 3 จุด (three-force member) หรือ ช้ินสวนที่รับแรงหลายจุด (multi-force member) ภายในโครงสรางอยางนอยหนึ่งชิ้น โดยเครื่องจักรกลมักถูกออกแบบใหแตละชิ้นสวนมีการเคลื่อนที่สัมพัทธกันเพื่อสงถายแรงไปยังชิ้นสวนอื่นภายในโครงสราง ซ่ึงเครื่องจักรกลสวนใหญมักถูกออกแบบใหมีการไดเปรียบเชิงกล กลาวคือ แรงเอาตพุต (output force) ที่ไดจากโครงสรางของเครื่องจักรกลจะมีคาสูงกวา แรงอินพุต (input force) ที่กระทําตอโครงสราง ตัวอยางของเครื่องจักรกลที่พบไดในชีวิตประจําวันของคนเรา เชน กรรไกรตัดกิ่งไม สวาน รถขุดตักดิน คีมตัดลวด กรรไกรตัดเล็บ เปนตน

หลักการของการวิเคราะหแรงของโครงสรางเครื่องจักรกลเพื่อหาแรงที่กระทําตอแตละชิ้นสวนและประสิทธิภาพของการไดเปรียบเชิงกลสามารถทําไดโดยการแยกชิ้นสวนของเครื่องจักรกลแตละชิ้นสวนหรือบางสวนของโครงสรางออกมาเขียนเปนแผนภาพวัตถุอิสระ จากนั้นจึงทําการเขียนสมการสมดุลของแรงและการหมุนเพื่อวิเคราะหการสงถายแรงอินพุตจากชิ้นสวนหนึ่งไปยังชิ้นสวนชิ้นอื่นภายในโครงสรางเพื่อเปลี่ยนเปนแรงเอาตพุต

รูปที่ 1 แผนภาพวัตถุอิสระ


เพื่อใหเขาใจหลักการทํางานและการวิเคราะหแรงของเครื่องจักรกล พิจารณาเครื่องจักรกลที่มีกลไกการทํางานที่งายที่สุดซึ่งไดแก คีมตักลวด ที่แสดงอยูใน รูปที่ 1 ซ่ึงจะเห็นไดวาโครงสรางของคีมตัดลวดประกอบขึ้นจากโครงสรางจํานวนสองชิ้นที่ยึดกันดวยหมุด (pin) ที่จุด A เมื่อทําการออกแรงบีบ P ที่ดามจับของคีม (แรงอินพุต) ที่ดานใบมีดลวดจะออกแรงกดลงบนเสนลวดเทากับแรง Q (แรงเอาตพุต) ขณะเดียวกันเสนลวดเองก็ออกแรงปฏิกิริยากระทําตอใบมีดดวยแรงที่มีขนาดเทากันคือแรง Q โดยแรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาดังกลาวนี้มีขนาดเทากันแตมีทิศทางตรงกันขาม ในการหาความสัมพันธระหวางแรง P และ Q สามารถทําไดโดยแยกชิ้นสวนของคีมตัดลวดสองชิ้นอกจากกันดังแสดงไวใน รูปที่ 2

รูปที่ 2 แผนภาพวัตถุอิสระหลังจากแยกชิ้นสวน

จากแผนภาพวัตถุอิสระของชิ้นสวนของคีมตัดลวดทั้งสอง ถาเลือกมาพิจารณาสมดุลช้ินใดชิ้นหนึ่ง เชน เลือกชิ้นสวนในรูป (a) มาพิจารณาจะสามารถเขียนเปนสมการสมดุลไดดังนี้

0=∑ xF ; 0=xA [1] 0=∑ yF ; 0=−+− QAP y [2] 0=∑ AM ; 0))(())(( =−+ bQaP [3]

จากสมการสมดุล [2] สามารถหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A ไดเทากับ QPAy += และจากสมการ

สมดุล [3] จะไดความสัมพันธระหวางแรงอินพุต P และแรงเอาตพุต Q ดังนี้

PbaQ )(= [4]


โดยทั่วไปความยาวของดามจับของคีมจะยาวกวาดานใบมีด ( ba > ) ดังนั้นเทอม 1/ >ba เสมอ นั่นแสดงวาแรงที่ใบมีดกดลงบนลวดจึงมีคามากกวาแรงที่บีบที่ดามคีมเสมอนั่นเอง ความสามารถของการทํางานของเครื่องจักรกลสามารถแสดงในรูปของอัตราสวนระหวางแรงเอาตพุตกับแรงเอาตพุตซึ่งเรียกวา การไดเปรียบเชิงกล (mechanical advantage,α ) ซ่ึงเขียนเปนสมการไดดังนี้

PQ

=α [5]

นั่นหมายความวาเมื่อออกแรงอินพุต P กระทําตอบางชิ้นสวนเครื่องจักรกล เครื่องจักรกลสามารถ

สงถายแรงอินพุตใหแกช้ินสวนอื่นๆภายในโครงสรางของเครื่องจักรกลจนไดแรงเอาตพุต Q ซ่ึงมีขนาดเปน α เทาของแรงอินพุตที่ใสเขาไปนั่นเอง เขียนเปนสมการไดดังนี้

PQ α= [6]

3. เคร่ืองมือและอุปกรณการทดลอง เครื่องมือที่ใชในการทดลองนี้ถูกขยายขนาดขึ้นมาจากปากกาจับยึดชิ้นสวนขณะทํางานในโรงงานทั่วไป โครงสรางประกอบขึ้นจากชิ้นสวนจํานวนหลายชิ้น หลักการทํางานของเครื่องจักรกลนี้คือออกแรงกดที่มือจับ (แรงอินพุต) เพื่อสงถายแรงจากมือจับไปยังชิ้นสวนอื่นๆ ภายในโครงสรางเพื่อสรางแรงกดบนช้ินสวนที่ตองการยึดไมใหมีการเคลื่อนที่ (แรงกดบนชิ้นสวนชวยทําใหมีแรงเสียดทานระหวางผิวของปากกายึดกับชิ้นสวนเพื่อปองกันไมใหช้ินสวนเลื่อนหลุดไดงาย) แรงอินพุตที่ใหแกเครื่องจักรกลชิ้นนี้เกิดจากการถวงตุมน้ําหนักที่ดามจับ สวนแรงเอาตพุตที่ไดออกมาสามารถวัดไดโดยการวัดการยึดหดของสปริงแลวเปลี่ยนเปนแรงที่กระทําบนสปริง


4. วิธีการทดลอง 4.1 การสอบเทียบการหดตัวของสปริง

1) วัดความยาวของสปริงทั้งหมด บันทึกคาเก็บไว 2) ช่ังน้ําหนักของฐานติดตั้งน้ําหนักถวง จากนั้นจึงนําไปวางลงดานบนของสปริงและวัดความยาว

สปริง เก็บบันทึกคาไว 3) นําตุมน้ําหนักใสเพิ่มลงบนฐานติดตั้งน้ําหนัก 1 ช้ิน บันทึกคาน้ําหนักที่ใสเพิ่มเขาไปและความ

ยาวของสปริงลงในตาราง 4) ทําการทดลองในขอ 3 ซํ้า โดยเพิ่มน้ําหนักทีละชิ้นและจดบันทึกคาการยึดหดของสปริงไว 5) นําคาน้ําหนักที่วางลงบนสปริงและระยะการหดตัวของสปริงไปเขียนกราฟความสัมพันธเพื่อ

หาคาสัมประสิทธิ์การหดตัวของสปริง (spring coefficient, k ) โดยในการเขียนกราฟกําหนดใหแกนนอนของกราฟแทนคาระยะยืดหดตัว x สวนแกนตั้งเปนน้ําหนักที่กดลงบนสปริง F ซ่ึงแนวโนมความสัมพันธของทั้งสองตัวแปรจะเปนเชิงเสนตรงตามสมการ kxF = (กราฟจะมีจุดเริ่มตนที่ 0,0 เสมอ เนื่องจากหากไมมีแรงกดลงบนสปริงๆจะไมมีการหดตัว) คาสัมประสิทธิ์ดังหลาวนี้จะถูกนําไปใชในการวัดแรงเอาตพุตของเครื่องมือในการทดลองตอไป

4.2 การทดลองกับเครื่องมือการทดลอง

1) นําฐานน้ําหนักไปชั่งแลวนําไปโยงยึดติดกับมือจับของเครื่องมือดวยเชือกใหแนนหนา 2) นําสปริงไปใสไวที่ดานปากคีบของเครื่องมือ 3) เพิ่มน้ําหนักลงบนฐานทีละนอย (แรงอินพุต, P ) และวัดการหดตัวของสปริง (นําไปคํานวณหา

แรงเอาตพุต,Q ) บันทึกคาลงในตาราง 4) เขียนกราฟความสัมพันธระหวาง แรงอินพุต และ แรงเอาตพุต โดยใหแกนนอนแทนคา แรง

อินพุต และแกนตั้งแทน แรงเอาตพุต 5) จากกราฟความสัมพันธที่ไดในขอ 4) นําไปใชหาความชันของกราฟ ซ่ึงความชันที่ไดจะมีคา

เทากับ คาอัตราสวนของการไดเปรียบเชิงกล (α ) ซ่ึงเปนไปตามความสัมพันธในสมการที่ [5] 6) วัดขนาดมิติระยะและมุมตางๆ ที่จําเปนของชิ้นสวนเครื่องจักรกลที่ใชในการทดลองแตละชิ้น

จากนั้นนําไปวิเคราะหโครงสรางเพื่อคํานวณหา คาอัตราสวนของการไดเปรียบเชิงกล นําคาแรงอินพุตและแรงเอาตพุตที่ไดจากการวิเคราะหไปเขียนลงบนกราฟ (กราฟที่เขียนในขั้นตอนที่ 5) เพื่อเปรียบเทียบผลที่ไดจากการทดลองและจากการวิเคราะหโครงสรางของเครื่องจักรกล


5. ตารางบันทึกผลการทดลอง 5.1 ตารางบันทึกผลการสอบเทียบการหดตัวของสปริง

ลําดับที่ น้ําหนกับนสปริง F (N)

ความยาวของสปริง l (mm)

ระยะการหดตวัของสปริง x (mm) = lL −

1 0 L 0 2 3 4 5 6

5.2 ตารางบันทึกผลการทดลองวัดหาการไดเปรียบเชิงกล

แรงเอาตพุต (Output) ลําดับที่ แรงอินพุต (Input Force)

WP = (N)

ระยะหดตวัของสปริง x (mm)

kxQ = (N) จากการวิเคราะห

เปอรเซ็นต แตกตาง (%)

1 0 0 0 0 0 2 3 4 5 6


6. การสรุปและวิเคราะหผลการทดลอง - คาสัมประสิทธิ์การยืดหดตัวของสปริงที่ใชในการทดลอง - เปรียบเทียบคาการไดเปรียบเชิงกลของเครื่องมือที่ไดจากผลการทดลอง กับ การไดเปรียบ

เชิงกลของเครื่องมือที่ไดจากผลการวิเคราะหทางทฤษฎี วามีคาคลาดเคลื่อนกี่เปอรเซ็นต ทําไมจึงเปนเชนนั้น ใหอธิบายเหตุผล ยกตัวอยาง และวาดภาพประกอบคําอธิบาย พรอมแนะนําวิธีการลดความคลาดเคลื่อนนั้นดวย

7. ตอบคําถาม

- เครื่องจักรกลมีหลักการทํางานอยางไร มีประโยชนอยางไร - จงยกตัวอยางชนิดเครื่องจักรกลที่พบเห็นในชีวิตประจําวัน พรอมวาดรูปประกอบคําอธิบาย

กลไลการทํางานของเครื่องจักรกลเพื่อใหไดเปรียบเชิงกล - เหตุใดแรงเอาตพตุที่คํานวณไดจากวิเคราะหสภาพสมดุลของโครงสรางเครื่องจักรกลจึงมีคาไม

เทากับแรงเอาตพุตที่ไดจากการทดลอง สามารถลดความแตกตางระหวางคาทั้งสองไดอยางไร 8. โจทยประยุกต จงวิเคราะหการไดเปรียบเชิงกลของเครื่องจักรกลในรูปตอไปนี้

(a) (b)


ปฏิบัติการ G การแขงขันสะพานเหล็กจําลอง

(Competition of Steel Bridge Model) 1. วัตถุประสงค

การแขงขันในครั้งนี้ เปนสวนหนึ่งของวิชา 430213 ปฏิบัติการกลศาสตรประยุกต (Applied Mechanics Laboratory) เปนการแขงขันที่จัดขึ้นเพื่อใหนักศึกษาไดมีโอกาสนําความรูตางๆ ที่ไดศึกษามาจากในวิชาทฤษฎี (Engineering Statics และ Mechanics of Materials I) มาประยุกตใชในการแขงขัน เร่ิมจากการศึกษา กฎ กติกา วางแผนงาน วิเคราะหโครงสราง ออกแบบโครงสราง วางแผนกอสรางและกอสรางโครงสรางตามที่ออกแบบไว ทดสอบและปรับแกโครงสรางใหมีประสิทธิภาพสูงที่สุด ประหยัดที่สุด นอกจากนี้ การแขงขันจะใหนักศึกษาทดสอบการรับน้ําหนักของโครงสรางจนถึงภาวะวิบัติ เพื่อใหนักศึกษาไดเห็นถึงปญหาที่จะเกิดขึ้นจริง สภาวะวิบัติจริง ซ่ึงเปนประโยชนอยางยิ่งตอนักศึกษาสรางสํานึกและไดตระหนักถึงความปลอดภัยในโครงสรางที่ตนมีสวนเกี่ยวของ 2. วัสดุ

1) สวนประกอบของโครงสรางทั้งหมดตองเปนเหล็ก และไมอนุญาตใหใชสายสลิงรับแรงดึงรวมได โดยทางหองปฏิบัติการจะเตรียมวัสดุ และอุปกรณให

2) ช้ินสวนโครงสรางสะพานเปนเหล็กรูปพรรณในงานโครงสรางเหล็กตามมาตรฐาน มอก. 3) หามใชการเชื่อมในชิ้นสวนใดๆ ทั้งการแขงขันและขณะแขงขัน

3. ขอกําหนดเกี่ยวกับโครงสรางสะพานเหล็กจําลอง

1) โครงสรางสะพานมีความยาวชวง 0.60 เมตร (วัดจากศูนยกลางที่รองรับ) ความสูงไมเกิน 0.15 เมตร (วัดจากขอบนอกถึงขอบนอก) และความกวางไมเกิน 0.10 เมตร (วัดจากขอบในถึงขอบใน) ดังแสดงในรูปที่ 1 ความผิดพลาดของขนาดที่ยอมให ± 2 เซนติเมตร หากเกนิถึงวาไมผานเกณฑเบื้องตน ปรับตก

2) บริเวณชวงกลางความยาวของสะพานดานบนจะตองมพีืน้ที่ที่อยูในแนวราบ สามารถติดตั้งแผนรับแรงแบกทาน (bearing plate) เพื่อสามารถรับแรงกระทําจากเครื่องกดได

3) การตัดสิน โดยดูจากอัตราสวนของแรงกระทําตอน้ําหนกัของสะพานเหล็ก (P/W ratio) ซ่ึงทีมใดมีอัตราสวนดังกลาวสูงสุด จะเปนทมีชนะ


0.60 m

P

0.10 m

0.15 m

รูปที่ 1 มิติของแบบจําลองสะพานเหล็ก 4. การประกอบสะพาน

1) กอนเริ่มการประกอบสะพาน นักศึกษาจะตองวางอุปกรณทั้งหมดในบริเวณพื้นที่ที่เตรียมไว 2) ไมอนุญาตใหใชเครื่องมือที่ใชกระแสไฟฟา ไมวาจะเปนกระแสตรง หรือกระแสสลับ เพื่อชวย

ในการประกอบสะพาน 3) กอนเริ่มแขงขันหามประกอบชิ้นสวนใดๆ หรือสวนประกอบใดๆ ลวงหนา ไมวาจะเปน แผน

เหล็กประกับ สลักเกลียว หรือช้ินสวนประกอบอื่นๆ 4) เมื่อประกอบสะพานเสร็จแลว แจงใหผูควบคุมปฏิบัติการทราบเพื่อบันทึกเวลา หากไมแจงเวลา

จะถูกนับไปเรื่อยๆ 5) ทําการชั่งน้ําหนักสะพานเหล็กจําลองกอนนําไปทดสอบ


บรรณานุกรม

1. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Eisenberg, E.R., 2007, Vector Mechanics for Engineers: Statics, the 8th Edition, USA: McGraw-Hill.

2. Hibbeler, R.C., 2007, Engineering Mechanics Statics, the 11th Edition in SI Units, Singapore: Prentice Hall.

3. Hibbeler, R.C., 2007, Mechanics of Materials, the 7th Edition, Singapore: Prentice Hall.

Documents

430213 ปฏิิบััติิการกลศาสตร ประยุ ...eng.sut.ac.th/ce/oldce/CourseOnline/manualappliedmechlab.pdf · 2010-01-04 · ปฏิบัติการกลศาสตร