หน่วยที่ 1 สมบัติของจ านวนนับ · ~ 1 ~ หน่วยที่ 1 สมบัติของจ านวนนับ ตัวชี้วัด

~ 1 ~

หนวยท 1 สมบตของจ านวนนบ ตวชวด

1. การหา ห.ร.ม. ค.ร.น.ของจ านวนทก าหนดใหและน าไปใชแกปญหา 2. ใชวธการทหลากหลายแกปญหา

3. ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆได อยางเหมาะสม 4. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม 5. ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมายและการน าเสนอไดอยางถกตองและ ชดเจน 6. เชอมโยงความรตางๆในคณตศาสตรและน าความร หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบ ศาสตรอนๆ 7. มความคดรเรมสรางสรรค

สาระการเรยนร

1. จ านวนนบ 2. จ านวนเฉพาะ 3. การหา ห.ร.ม. และค.ร.น.ของจ านวนนบ

4. การหา ห.ร.ม. แบบยคลด 5. การแกปญหาโดยใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

เนอหาทสอบ ลกษณะขอสอบ จ านวนขอสอบของการสอบยอยมรายละเอยดดงน

หวขอ/เนอหาทใชในการสอบ ลกษณะและจ านวนขอสอบ

คะแนน

จ านวนนบ , จ านวนเฉพาะ เตมค าตอบ 2 ขอ 1 การหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. แสดงวธท า 2 ขอ 2 การหา ห.ร.ม. แบบยคลด แสดงวธท า 1 ขอ 1 การแกปญหาโดยใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น. แสดงวธท า 2 ขอ 2

รวม เตมค าตอบ 2 ขอ แสดงวธท า 5 ขอ

6

~ 2 ~

จ านวนนบ (Counting Number)

หมายถงจ านวนตงแต 1, 2, 3, 4, 5, … เพมขนไปเรอย ๆ ไมมทสนสด ตวประกอบ (factor)

หมายถง จ านวนนบใด ๆ ทสามารถหารจ านวนนบจ านวนหนงไดลงตว เชน ตวประกอบของ 2 คอจ านวนนบทหาร 2 ไดลงตว นนคอ 1 และ 2 หรออาจกลาววาตวประกอบของ 2 คอ 1 และ 2 ตวประกอบของ 15 คอจ านวนนบทหาร 15 ไดลงตว นนคอ 1, 3, 5 และ 15 ซงอาจกลาววา ตวประกอบของ 15 คอ 1, 3, 5 และ 15 ตวประกอบของ 60 คอ ……………………………………………………………….. ดงนน สามารถสรปไดดงนคอ

1) 1 เปนตวประกอบของจ านวนนบทกจ านวน 2) 2 เปนตวประกอบของจ านวนคทกจ านวน 3) จ านวนนบใด ๆ ยอมเปนตวประกอบของตวมนเอง

ตวประกอบรวม (common factors)

หมายถงตวประกอบทเหมอนกนของจ านวนนบสองจ านวนขนไป เชน ตวประกอบรวมของ 15 และ 60 คอ 1, 3, 5, 15 ตวประกอบรวมของ 14 และ 15 คอ 1

จ านวนนบ

~ 3 ~

วชา ค21101 คณตศาสตรพนฐาน 1 ชนมธยมศกษาปท 1 หนวยท 1 เรอง สมบตของจ านวนนบ ชอ……………………………………. นามสกล……………………………………… เลขท………. ชน………

ใบงาน 1/1 ค าสงตอนท 1 จงพจารณาจ านวนตอไปน แลวน าจ านวนทเปนจ านวนนบเขยนไวดานลาง

1.5 1 + 2 160 0 9 + 0

4

5 25

10 7

1 2

2 6

3

4 – 0 3 5 8,000,000 5.00 3.33

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ค าสงตอนท 2 จงหาตวประกอบของจ านวนนบตอไปนมาใหครบ

1. ตวประกอบของ 16 ไดแก…………………………………………………………………………………………………….……………..

2. ตวประกอบของ 24 ไดแก…………………………………………………………………………………..…………………………..…..

3. ตวประกอบของ 53 ไดแก…………………………………………………………………………………….……………………..……..

4. ตวประกอบของ 81 ไดแก…………………………………………………………………………………..……………………………..

5. ตวประกอบของ 130 ไดแก…………………………………………………………………………………………………………………..

~ 4 ~

จ านวนเฉพาะ (Prime Number)

หมายถง จ านวนนบทมตวประกอบเพยงสองตวเทานน คอ 1 และตวมนเอง จ านวนเฉพาะทมคานอยทสดคอ 2 เนองจาก 2 มตวประกอบ 2 ตว คอ 1 และ 2 ดงนน 2 จงเปนจ านวนเฉพาะ แต 1 ไมเปนจ านวนเฉพาะ เนองจาก 1 มตวประกอบเพยง 1 ตว คอ 1 ตวประกอบเฉพาะ (Prime factor)

หมายถง ตวประกอบทเปนจ านวนเฉพาะของจ านวนนบใด ๆ เชน ตวประกอบของ 36 คอ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ 36 แตตวประกอบเฉพาะของ 36 คอ 2 และ 3 เทานน การแยกตวประกอบ (factoring)

หมายถงการเขยนจ านวนนบใด ๆ ในรปการคณของตวประกอบเฉพาะ เชน 12 แยกตวประกอบไดดงน 12

3 4

2 2

ดงนน 12 = 2 2 3

105 แยกตวประกอบไดดงน 135

9 15

3 3 3 5

ดงนน 135 = 3 3 3 5

12 = 2 2 3

28 = 2 2 7

90 = 2 3 3 5

105 = 3 5 7

133 = 7 19

จ านวนเฉพาะ

~ 5 ~


ใบงาน 1/2

ค าสง จงแยกตวประกอบของจ านวนนบตอไปน 1. 36 = …………………………………………………………………………………..

2. 64 = …………………………………………………………………………………..

3. 93 = …………………………………………………………………………………..

4. 160 = …………………………………………………………………………………..

5. 225 = …………………………………………………………………………………..

6. 343 = …………………………………………………………………………………..

7. 512 = …………………………………………………………………………………..

~ 6 ~

การหาจ านวนเฉพาะ เอราทอสเทนส แหง ไซรน (Eratostheses of Cyrene) เปนนกคณตศาสตรชาวกรก ซงมชวตอยประมาณ 276 – 194 ป กอนครสตศกราช ไดคดวธหาจ านวนเฉพาะทอยระหวาง 1 กบจ านวนนบทก าหนดให โดยตดจ านวนทไมใชจ านวนเฉพาะทง วธการนเรยกวา “ตะแกรงของเอราทอสเทนส”(Sieve of Ertosthenes) ตวอยางการใชตะแกรงของเอราทอสเทนส ในการหาจ านวนเฉพาะระหวาง 1 ถง 30 มขนตอนดงน 1. เขยนจ านวนนบตามล าดบตงแต 1 ถง 30 2. ขดฆา 1 ทง เนองจาก 1 ไมใชจ านวนเฉพาะ 3. วง 2 ซงเปนจ านวนเฉพาะจ านวนแรก ตอจากนนนบไปครงละสองจ านวน แลวขดฆาทก ๆ จ านวนทสอง 4. วง 3 ซงเปนจ านวนเฉพาะจ านวนถดไป ตอจากนนนบไปครงละสามจ านวนแลวขดฆาทก ๆ จ านวนทสาม 5. วง 5 ซงเปนจ านวนเฉพาะ ตอจากนนนบไปครงละหาจ านวนแลวขดฆาทก ๆ จ านวนทหา 6. วงกลมลอมรอบจ านวนทไมถกขดฆา นนคอจ านวนเฉพาะ ซงมทงหมด ………..…..จ านวน ไดแก……………………………………………………………………………………………………….……………………………………… จากวธการของเอราทอสเทนส มาจากหลกการทกลาววา “ในการหาจ านวนเฉพาะระหวาง 1 ถง n ใหใชจ านวนเฉพาะทกจ านวนทเมอคณดวยตวของมนเองแลวผลคณทไดไมเกน n มาเปนตวขดฆาจ านวนอน ๆ” ในทน n คอ 30 ดงนน จ านวนเฉพาะทน ามาใชคอ 2 , 3 และ 5 เทานน (เนองจากจ านวนเฉพาะจ านวนถดไปคอ 7 แต 7

7 = 49 ซงมคามากกวา 30 จงไมน ามาเปนตวขดฆา)

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

~ 7 ~


ใบงาน 1/3 ค าสง จงหาจ านวนเฉพาะทมคาตงแต 1 ถง 120 โดยใชตะแกรงเอราทอสเทนส

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54

55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66

67 68 69 70 71 72

73 74 75 76 77 78

79 80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96

97 98 99 100 101 102

103 104 105 106 107 108

109 110 111 112 113 114

115 116 117 118 119 120 จ านวนเฉพาะทน ามาใชในการขดฆาคอ……………………………………………………………………… จ านวนเฉพาะทมคาตงแต 1 – 120 ม………….จ านวน ไดแก……………………………………..……………………………….…….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… การตรวจสอบจ านวนใด ๆ วาเปนจ านวนเฉพาะหรอไม

~ 8 ~

ใหใชวธการตอไปน ขนท 1 หาจ านวนเฉพาะทกจ านวนทเมอคณตวมนเองแลว ผลคณทไดไมเกนจ านวนนน ขนท 2 น าจ านวนเฉพาะทไดในขนท 1 ไปหารจ านวนนน เพอดวาหารลงตวหรอไม ถาจ านวนนนถกหารได ลงตวดวยจ านวนเฉพาะจ านวนใดกตาม จ านวนนนจะไมใชจ านวนเฉพาะ แตถาจ านวนเฉพาะในขนท 1 ทกจ านวน ไมสามารถหารจ านวนนนไดลงตว แสดงวาจ านวนนนเปนจ านวนเฉพาะ ตวอยาง 97 เปนจ านวนเฉพาะหรอไม วธตรวจสอบ ขนท 1 หาจ านวนเฉพาะทกจ านวนทเมอคณตวมนเองแลว ผลคณทไดไมเกน 97 ไดแก 2 , 3 , 5 และ 7 ขนท 2 น าจ านวนเฉพาะทไดในขนท 1 คอ 2 , 3 , 5 และ 7 ไปหาร 97 ทละจ านวน ปรากฏวาไมมจ านวนเฉพาะใดหาร 97 ไดลงตว ดงนน 97 เปนจ านวนเฉพาะ ## ตวอยาง 123 เปนจ านวนเฉพาะหรอไม วธตรวจสอบ ขนท 1 หาจ านวนเฉพาะทกจ านวนทเมอคณตวมนเองแลว ผลคณทไดไมเกน 123 ไดแก 2 , 3 , 5 , 7 และ 11 ขนท 2 น าจ านวนเฉพาะทไดในขนท 1 คอ 2 , 3 , 5 , 7 และ 11 ไปหาร 123 ทละจ านวน ปรากฏวาสามารถน า 3 มาหาร 123 ไดลงตว ดงนน 123 ไมใชจ านวนเฉพาะ ##

วชา ค21101 คณตศาสตรพนฐาน 1 ชนมธยมศกษาปท 1 หนวยท 1 เรอง สมบตของจ านวนนบ

~ 9 ~

ชอ……………………………………. นามสกล……………………………………… เลขท………. ชน………

ใบงาน 1/4 ค าสง จงตรวจสอบวา จ านวนใดบางทเปนจ านวนเฉพาะ

1. 143

2. 149

3. 257

4. 299

5. 303

6. 371

7. 501

8. 503

9. 679

10. 837

การหา ห.ร.ม. และค.ร.น.ของจ านวนนบ

~ 10 ~

ห.ร.ม. หรอ หารรวมมาก (Great Common Division) หมายถงตวประกอบรวมทมากทสดของของจ านวนนบอยางนอย 2 จ านวนขนไป หรอหมายถง จ านวนนบทมากทสดทน าไปหารจ านวนนบอยางนอยสองจ านวนขนไป ไดลงตว

เชน ห.ร.ม. ของ 8 และ 20 หมายถงจ านวนนบทมากทสดทน าไปหาร 8 และ 20 ไดลงตว นนคอ 4 ซงแสดงวา 4 เปน ห.ร.ม. ของ 8 และ 20 วธการหา ห.ร.ม. มดงน

วธท 1 วธพจารณาจากตวประกอบ โดยการหาตวประกอบของจ านวนนบแตละตว แลวพจารณาดตวประกอบทมคามากทสด

ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 12 และ 30 วธท า ตวประกอบของ 12 คอ 1, 2, 3, 4, 6, 12

ตวประกอบของ 30 คอ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 ตวประกอบรวมคอ 1, 2, 3, 6 ตวประกอบรวมทมคามากทสดคอ 6 ดงนน ห.ร.ม. ของ 12 และ 30 คอ 6 ##

ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 12, 30 และ 40 วธท า ตวประกอบของ 12 คอ 1, 2, 3, 4, 6, 12

ตวประกอบของ 30 คอ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 ตวประกอบของ 40 คอ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 ตวประกอบรวมคอ……………………………………..… ตวประกอบรวมทมคามากทสดคอ……………………….. ดงนน ห.ร.ม. ของ 12, 30 และ 40 คอ ……………………….. ##

วธท 2 วธแยกตวประกอบ

โดยการน าจ านวนนบทตองการหา ห.ร.ม. มาแยกตวประกอบ แลวน าตวประกอบรวมมาคณกน ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 20, 32

วธท า 20 แยกตวประกอบไดเทากบ 2 2 5 32 แยกตวประกอบไดเทากบ 2 2 2 2 2 ตวประกอบรวมของ 20, 32 คอ 2 2 ดงนน ห.ร.ม. ของ 20, 32 คอ 2 2 = 4 ##

ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 20, 32 และ 15 วธท า 20 แยกตวประกอบไดเทากบ 2 2 5

32 แยกตวประกอบไดเทากบ 2 2 2 2 2 15 แยกตวประกอบไดเทากบ 3 5 ตวประกอบรวมของ 20, 32 และ 15 ………………………… ดงนน ห.ร.ม. ของ 20, 32 และ 15 คอ……………………….. ##


~ 11 ~

ชอ……………………………………. นามสกล……………………………………… เลขท………. ชน………

ใบงาน 1/5 ค าสง จงหา ห.ร.ม. ของจ านวนนบตอไปน โดยใชวธพจารณาจากตวประกอบ หรอวธการแยกตวประกอบ (แสดงวธท า)

1. 27, 21

2. 34, 17

3. 28, 45

4. 102, 64

5. 40, 50

6. 18, 54

7. 231, 99

8. 75, 50, 108

9. 49, 21, 140

10. 96, 224, 32

วธท 3 วธหารสน

~ 12 ~

โดยการน าจ านวนนบใด ๆ ทสามารถหารจ านวนนบทตองการหา ห.ร.ม.ไดทกจ านวน มาหาร ไปเรอย ๆ จนกวาจะหารไมได ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 36, 18 วธท า 2 ) 36 18

3 ) 18 9

3 ) 6 3

2 1

ดงนน ห.ร.ม. ของ 36, 18 คอ 2 3 3 = 18 ##

ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 36, 18 และ 42 วธท า ) 36 18 42

)

ดงนน ห.ร.ม. ของ 36, 18 และ 42 คอ …………….….. = ………......##

วธท 4 ขนตอนวธแบบยคลด

ยคลดแหงอะเลกซานเดรย (Euclid of Alexandria) เปนนกคณตศาสตรชาวกรก ซงมชวตอยประมาณ 450 – 380 ปกอนครสตศกราช เปนผคนพบวธการหา ห.ร.ม. ของจ านวนนบสองจ านวนทมคามาก ๆ ไดอยางรวดเรว ซงเรยกวา ขนตอนวธแบบยคลด (Euclidean algorithm) ขนตอนวธแบบยคลดมวธการดงน ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 256 และ 408 วธท า ขนท 1 หารจ านวนทมคามาก ดวยจ านวนทมคานอย 256 408 1 เขยนผลลพธไวดานขาง เขยนเศษไวดานลาง 256 (ในทนคอ น า 256 ไปหาร 408 ได 1 เหลอเศษ 152) 152 ขนท 2 น าเศษทไดไปหารจ านวนทมคานอย 1 256 408 1

การหา ห.ร.ม. โดยใชขนตอนวธแบบยคลด

–

–

–

~ 13 ~

เขยนผลลพธไวดานขาง เขยนเศษไวดานลาง 152 256 (น า 152 ไปหาร 256 ได 1 เหลอเศษ 104) 104 152

ขนท 3 น าเศษทมคานอยกวา หารเศษทมคามากกวา 1 256 408 1 เขยนผลลพธไวดานขาง เขยนเศษไวดานลาง 152 256 (น า 104 ไปหาร 152 ได 1 เหลอเศษ 48) 104 152 1 104

48

ขนท 4 น าเศษทมคานอยกวา หารเศษทมคามากกวา 1 256 408 1 เขยนผลลพธไวดานขาง เขยนเศษไวดานลาง 152 256 (น า 48 ไปหาร 104 ได 2 เหลอเศษ 8) 2 104 152 1 96 104 8 48 ขนท 5 น าเศษทมคานอยกวา หารเศษทมคามากกวา 1 256 408 1 เขยนผลลพธไวดานขาง เขยนเศษไวดานลาง 152 256 (น า 8 ไปหาร 48 ได 6 เหลอเศษ 0) 2 104 152 1 96 104

8 48 6 48 0

ขนสดทาย เศษทเหลอครงสดทายทไมใชศนย 1 256 408 1

–

–

–

–

– –

–

–

–

–

–

–

–

–

~ 14 ~

คอ ห.ร.ม. ของสองจ านวนนน 152 256 ดงนน ห.ร.ม. ของ 256 และ 408 คอ 8 2 104 152 1 96 104

8 48 6 48 0

ดงนน ห.ร.ม. ของ 256 และ 408 คอ 8 ##

ตวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 84, 210 และ 320

วธท า ใหหา ห.ร.ม. ของจ านวนนบคใดคหนงกอน เมอได ห.ร.ม.แลว จงน า ห.ร.ม. มาหา ห.ร.ม. กบอกจ านวนหนง

ขนแรก หา ห.ร.ม. ของ 84 กบ 210

2 84 210 2

84 168

0 42

ห.ร.ม. ของ 84 กบ 210 คอ 42

ขนตอไป น า 42 กบ 320 มาหา ห.ร.ม. อกครงหนง

42 320

ดงนน ห.ร.ม. ของ 42, 210 และ 320 คอ ……………………..##


–

–

–

~ 15 ~

ชอ……………………………………. นามสกล……………………………………… เลขท………. ชน………

ใบงาน 1/6 ค าสง จงหาห.ร.ม. ของจ านวนตอไปน โดยใชวธการหารสน หรอขนตอนวธแบบยคลด

1. 243, 144

2. 187, 374

3. 259, 420

4. 560, 1,015

5. 450, 966, 324

6. 108, 756, 252

7. 559, 1,326, 143

8. 628, 501, 1,312

9. 324, 378, 3,240

10. 2,700, 875, 1,850

ค.ร.น. หรอตวคณรวมนอย (Least Common Multiple)

~ 16 ~

หมายถง จ านวนนบทนอยทสด ซงสามารถน าจ านวนนบอยางนอยสองจ านวนนนไปหารไดลงตว วธการหา ค.ร.น. ม 3 วธ คอ

วธท 1 วธพจารณาพหคณ (Multiple) พหคณ หมายถง จ านวนนบทสามารถน าไปหารจ านวนนบใด ๆ ไดลงตว เชน พหคณของ 2 หมายถง

จ านวนนบทน า 2 ไปหารไดลงตว ไดแก 2, 4, 6, 8, 10, ฯลฯ โดยการหาพหคณทเหมอนกนและมคานอยทสด ตวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 15, 20 วธท า พหคณของ 15 ไดแก 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210,… พหคณของ 20 ไดแก 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220,…

พหคณของ 15 และ 20 ทเหมอนกนคอ 60, 120, 180,… พหคณทเหมอนกนและมคานอยทสดของ 15 และ 20 คอ 60

ดงนน ค.ร.น. ของ 15, 20 คอ 60 ## ตวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 15, 20, 45 วธท า พหคณของ 15 ไดแก 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210,… พหคณของ 20 ไดแก 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220,… พหคณของ 45 ไดแก ……………………………………………………………………………..

พหคณทเหมอนกนและมคานอยทสดของ 15, 20 และ 45 คอ…………………………….. ดงนน ค.ร.น. ของ 15, 20, 45 คอ……………………………….##

วธท 2 วธแยกตวประกอบ

โดยการน าจ านวนนบทตองการหา ค.ร.น. มาแยกตวประกอบ ดงน ตวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 6, 16

วธท า 6 แยกตวประกอบได 2 3

16 แยกตวประกอบได 2 2 2 2

ดงนน ค.ร.น. ของ 6, 16 คอ 2 3 2 2 2 = 48

ค.ร.น. ของ 6, 16 คอ 48 ##

ตวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 6, 16 , 24

วธท า 6 แยกตวประกอบได 2 3



ดงนน ค.ร.น. ของ 6, 16, 24 คอ 2 2 2 3 2 = 48

~ 17 ~

ค.ร.น. ของ 6, 16, 24 คอ 48 ##

วธท 3 วธการหารสน โดยการน าจ านวนนบใด ๆ ทสามารถหารจ านวนนบทตองการหา ค.ร.น. ไดอยางนอยสองจ านวน

มาหารไปเรอย ๆ จนกวาจะหารไมได ตวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 6, 10 วธท า 2 ) 6 10

3 5

ดงนน ค.ร.น. ของ 6, 10 คอ 2 3 5 = 30

ค.ร.น. ของ 6, 10 คอ 30 ##

ตวอยาง จงหา ค.ร.น.. ของ 36, 18 และ 24 วธท า ) 36 18 24

)

)

)

ดงนน ค.ร.น. ของ 36, 18 และ 24 คอ …………………………….….. = ……...... ค.ร.น. ของ 36, 18 และ 24 คอ ……...... ##


~ 18 ~

ชอ……………………………………. นามสกล……………………………………… เลขท………. ชน………

ใบงาน 1/7 ค าสง จงหา ค.ร.น. ของจ านวนตอไปน โดยใชวธพจารณาพหคณ, แยกตวประกอบ หรอวธการหารสน

1. 18, 24

2. 7, 6

3. 10, 25

4. 54, 81

5. 70, 100

6. 6, 9, 15

7. 9, 11, 33

8. 42, 21, 210

9. 16, 12, 24

10. 6, 8, 15, 30

การแกปญหาโดยใช ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

~ 19 ~

ใชวธการแกปญหาของโพลยา (Polya's Four-Stage Method) ขนท 1 ท าความเขาใจโจทย (Understanding the problem)

โจทยขอนกลาวถงเรองอะไร โจทยก าหนดอะไรใหบาง โจทยตองการทราบอะไร

ขนท 2 วางแผนแกปญหา (Devising a plan) ใ ขนท 3 ปฏบตตามแผน (Carrying out a plan) ขนท 4 ตรวจสอบ (Looking back) ตวอยาง นกเรยนในโรงเรยนแหงหนง เมอเขาแถว ๆ ละ 35 คน หรอ 65 คนกตาม จะเหลอเศษ 2 คนทกครง นกเรยนในโรงเรยนนมอยางนอยทสดกคน วธท า ขนท 1 ท าความเขาใจโจทย

โจทยขอนกลาวถงเรองอะไร จ านวนนกเรยนในโรงเรยนแหงหนง

โจทยก าหนดอะไรใหบาง เมอนกเรยนเขาแถว ๆ ละ 35 คน จะเหลอเศษ 2 คน

เมอนกเรยนเขาแถว ๆ ละ 65 คน จะเหลอเศษ 2 คน

โจทยตองการทราบอะไร จ านวนนกเรยนอยางนอยทสดมกคน

ขนท 2 วางแผนแกปญหา ใชวธการหาจ านวนทสามารถน า 35 และ 65 ไปหารไดลงตว แลวบวกเพมอก 2 นนคอ หา ค.ร.น. ของ 35, 65 แลวบวกเพมอก 2 นนเอง (เนองจากเมอเขาแถวแลวเหลอเศษ 2 คนทกครง) ใช ใ ขนท 3 ปฏบตตามแผน หา ค.ร.น. ของ 35, 65 ดวยวธใดกได (ในทนใชวธการหารสน) 5 ) 35 65 7 13

ซง ค.ร.น. ของ 35, 65 เทากบ 5 7 13 = 455

ดงนน จ านวนนกเรยนของนกเรยนในโรงเรยนน มอยางนอยทสดคอ 455 + 2 = 457 คน ขนท 4 ตรวจสอบ จากโจทย นกเรยนในโรงเรยนแหงหนง เมอเขาแถว ๆ ละ 35 คน หรอ 65 คนกตาม จะเหลอเศษ 2 คนทกครง นกเรยนในโรงเรยนนมอยางนอยทสดกคน น าค าตอบทไดมาตรวจสอบ นนคอ น า 35 ไปหาร 457 จะได 13 และเหลอเศษ 2 และน า 65 ไปหาร 457 จะได 7 และเหลอเศษ 2 ตรงตามโจทยก าหนด

~ 20 ~

ดงนน ค าตอบทไดจงเปนค าตอบทถกตอง จ านวนนกเรยนของนกเรยนในโรงเรยนน อยางนอยทสดคอ 457 คน ##

ความสมพนธของ ห.ร.ม. และค.ร.น. เมอก าหนด a และ b เปนจ านวนนบสองจ านวน ผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ a และ b จะมคา

เทากบ a b

ตวอยาง ถา ห.ร.ม. ของ ของ 256 และ 408 มคาเทากบ 8 จงหา ค.ร.น. วธท า ขนท 1 พจารณาโจทย

โจทยขอนกลาวถงเรองอะไร ค.ร.น.

โจทยก าหนดอะไรใหบาง ห.ร.ม. ของ 256 และ 408 มคาเทากบ 8

โจทยตองการทราบอะไร ค.ร.น. ของ 256 และ 408

ขนท 2 วางแผนแกปญหา ใชความสมพนธของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.ทวา

ให.ร.ม. ของ a และ b ค.ร.น. ของ a และ b = ab

ขนท 3 ปฏบตตามแผน จากความสมพนธของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทวา

ห.ร.ม. ของ a และ b ค.ร.น. ของ a และ b = ab (เมอ a,b แทนจ านวนนบสองจ านวน)

จะได

8 ค.ร.น. = 256 408

ค.ร.น. = 256 408

8

ค.ร.น. = 13,056 ดงนน ค.ร.น. ของ 256 และ 408 คอ 13,056

ขนท 4 ตรวจสอบ จากโจทย ถา ห.ร.ม. ของ ของ 256 และ 408 มคาเทากบ 8 จงหา ค.ร.น. น าค าตอบทไดมาตรวจสอบ โดยการ แทนคา ค.ร.น.ทหามาไดลงในความสมพนธ

8 13,056 = 256 408

104,448 = 104,448 จรง

ดงนน ค.ร.น. ของ 256 และ 408 คอ 13,056


ห.ร.ม. ของ a และ b ค.ร.น. ของ a และ b = ab

~ 21 ~

ใบงาน 1/8 ค าสงตอนท 1 จงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ านวนตอไปนโดยใชวธการใดกได

1. 24, 54

2. 84, 126

3. 42, 98

4. 153, 221

5. 198, 264

6. 375, 150

7. 546, 702

8. 426, 1,917

9. 30, 75, 250

10. 42, 63, 105

ค าสงตอนท 2 จงแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง 11. ห.ร.ม. ของ 121 กบอกจ านวนหนงคอ 11 ค.ร.น. คอ 1,573 จ านวนนนมคาเทาไร 12. ผลคณของจ านวนสองจ านวนเทากบ 1,440 ห.ร.ม. มคาเทากบ 6 ค.ร.น. มคาเทาไร 13. ค.ร.น. ของจ านวนจ านวนหนง กบ 210 มคาเทากบ 1,050 ห.ร.ม. มคาเทากบ 35 จ านวนนนมคาเทาไร 14. ถาห.ร.ม. ของ 15 กบ x เทากบ 5 ค.ร.น.เทากบ 60 แลว x มคาเทาไร


~ 22 ~

ใบงาน 1/9 ค าสง จงแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง

1. จงหาจ านวนทมากทสด ทน าไปหาร 117 และ 324 แลวเหลอเศษ 2 เทากน 2. จงหาจ านวนทมากทสด ทน าไปหาร 649 แลวเหลอเศษ 4 และน าไปหาร 921 แลว เหลอเศษ 6 3. จงหาจ านวนทมากทสด ทน าไปหาร 187, 236 และ 320 แลวเหลอเศษเทากน 4. มเชอก 3 เสน ยาวเสนละ 175 เซนตเมตร, 225 เซนตเมตร และ 450 เซนตเมตร ตามล าดบ จะตดแบง เชอกใหมความยาวเทากน และใหยาวมากทสดเทาทจะยาวได จะไดเชอกกเสน และยาวเสนละกเซนตเมตร 5. ผาผนหนงกวาง 48 นว ยาว 112 นว จะน ามาตดเปนผาเชดหนารปสเหลยมจตรสทใหญทสดเทาท จะตดได จะไดผาซงมความยาวดานกนว และตดไดกชน 6. สม 72 ผล ชมพ 81 ผล และกลวยหอม 117 ผล จะจดใสถาดใหแตละถาดมผลไมชนดเดยวกน และม จ านวนเทากน โดยจดใหมจ านวนผลไมมากทสด จะไดผลไมทงหมดกถาด 7. มดาวหาง 2 ดวง ดาวหาง S และดาวหาง N ดาว S จะโคจรมาใกลโลกพอทจะมองเหนไดทก ๆ 76 ป และดาวหาง N จะโคจรมาใกลโลกทก ๆ 8 ป ถาในป พ.ศ. 2554 นเราสามารถมองเหนดาวหางทงสองดวง ได อกกปมนษยจงจะสามารถมองเหนดาวหางทงสองดวงนพรอมกนไดอก 8. กลองสามใบถกตเปนระยะ ๆ ดงน ใบทหนงถกตทก ๆ 3 ชวโมง ใบทสองถกตทก ๆ 5 ชวโมง และใบทสามถกตทก ๆ 6 ชวโมง ถากลองทงสามใบนถกตพรอมกนในเวลา 08.00 น. ของวนท 12 มถนายน ในวน เวลาใด กลองทงสามใบจะถกตพรอมกนอกครงหนง 9. A, B, C และ D วงรอบสนามรปวงรซงมเสนรอบวงยาว 240 เมตร A วงดวยความเรว 5 เมตรตอวนาท B วงดวยความเรว 10 เมตรตอวนาท C วงดวยความเรว 12 เมตรตอวนาท และ D วงดวยความเรว 8 เมตรตอวนาท เมอทงสคนออกวงพรอมกน ณ จดเรมตนเดยวกน และวงไปในทางเดยวกน อกกนาททงสคนจงจะมาถงจดเรมตนพรอมกนอกครงหนง 10. รถบรรทกคนหนง เฉพาะตวกระบะกวาง 1.5 เมตร ยาว 3.5 เมตร และสง 2.5 เมตร ถาตองการบรรทก สนคาซงบรรจในกลองกระดาษรปลกบาศก ทมขนาดใหญทสดใหเตมกระบะรถพอด จะบรรทกได มากทสดกกลอง และกลองกระดาษจะมขนาดเทาใด


~ 23 ~

ใบงานเพมเตม ค าสง จงแสดงวธการหาค าตอบใหถกตอง โดยใชขนตอนของโพลยา

ขอ ………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………..……

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

วธท า ขนท 1 ท าความเขาใจโจทย

โจทยขอนกลาวถงเรองอะไร : …………………………………………………………………………………..……… โจทยก าหนดอะไรใหบาง : …………………………………………………………………………………..………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

โจทยตองการทราบอะไร : ………………………………………………………………………….……………… ……………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ขนท 2 วางแผนแกปญหา …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขนท 3 ปฏบตตามแผน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……….………………………………………………….……………………………………………………………………………………………….……………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………

…………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขนท 3 (ตอ)

~ 24 ~

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………….……

……………………………………………………………………………………………….………………………………………………………….……………

ขนท 4 ตรวจสอบ ………………………………………………………………………………………………...……………………………………………………..………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………

……………………………………………………………………………...…………………….……………………………………………….….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………

……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………….

ดงนน ค าตอบทไดจงเปนค าตอบทถกตอง

ตอบ …………………………………………………………………………………..

Documents

หน่วยที่ 1 สมบัติของจ านวนนับ · ~ 1 ~ หน่วยที่ 1 สมบัติของจ านวนนับ ตัวชี้วัด