หน่วยที่ 4 ดีเทอร์มิแนนซ์...แบบทดสอบก อนเร ยน หน วยท 4 ด เทอร ม แนนต และแมททร

99

แบบทดสอบกอนเรยน

หนวยท0 4 ดเทอรมแนนตและแมททรกซ

จงเลอกคาตอบท/ถกท/สดเพยง 1 ขอ

1. กาหนดให det B มคาเทาใด

ก. 2 ข. 10

ค. – 2 ง. – 10


ก. 4 ข. 7

ค. 14 ง. 10

3. กาหนดให ไมเนอร ของแมททรกซ C คอขอใด

ก. ข.

ค. ง.

4. จากขอ 3. โคแฟกเตอร ของแมททรกซ C มคาเทาใด

ก. – 2 ข. – 4

ค. 2 ง. 4

5. กาหนดให จงหา det A

ก. – 10 ข. 10

ค. – 22 ง. 22

úû

ùêë

é=

2431

B

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

421113112

A

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--=

312212201

C 13M

úû

ùêë

é -1212

úû

ùêë

é-3222

úû

ùêë

é-3120

úû

ùêë

é-

-3121

13C

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

250320412

A

100

จงใช กฎของคราเมอรแกระบบสมการตอไปนK แลว ใชสาหรบคาถามขอ 6 – 10

................(1)

................(2)

................(3)

6. มคาเทาใด

ก. 16 ข. 13

ค. 22 ง. 19


ก. 40 ข. 80

ค. 20 ง. 60


ก. 40 ข. 80

ค. 20 ง. 60


ก. 40 ข. 80

ค. 20 ง. 60


ก. 10 ข. 20

ค. 5 ง. 2.5

10cba3 =--

0cb3a =+-

0c3ba =-+

D

aD

bD

cD

a

101

หนวยท0หนวยท0 44 ดเทอรมแนนตและดเทอรมแนนตและแมททรกซแมททรกซ

สาระสาคญ

ดเทอรมแนนตและแมททรกซเปนวธการทางคณตศาสตรท/ใชแกปญหาในระบบสมการท/

ซบซอน เน/องจากมตวแปรมากกวา 1 ตว การศกษาวธการและขKนตอนนKนประกอบดวย ดเทอรมแนนต

ไมเนอร โคแฟกเตอร การหาดเทอรมแนนตโดยการลดขนาด การแกสมการเชงเสนโดยใชกฎของครา

เมอร

เน?อหาสาระ

4.1 ดเทอรมแนนตและแมททรกซ

4.2 ไมเนอรของสมาชกของแมททรกซจตรส

4.3 โคแฟกเตอรของสมาชกของแมททรกซจตรส

4.4 การหาคาดเทอรมแนนตโดยการลดขนาด

4.5 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร

จดประสงคการเรยนร

จดประสงคท0วไป เพ/อใหผเรยนมความรและเขาใจในเร/อง :

4.1 ดเทอรมแนนต และแมททรกซ

4.2 ไมเนอรของสมาชกของแมททรกซจตรส

4.3 โคแฟกเตอรของสมาชกของแมททรกซจตรส

4.4 การหาคาดเทอรมแนนตโดยการลดขนาด

4.5 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร

จดประสงคเชงพฤตกรรม หลงจากเรยนจบหนวยเรยนนKแลว ผเรยนควรมความสามารถดงนK

4.1 หาคาดเทอรมแนนตของแมททรกซ ได

4.2 หาคาไมเนอรของสมาชกของแมททรกซจตรสได

4.3 หาคาโคแฟกเตอรของสมาชกของแมททรกซจตรสได

4.4 หาคาดเทอรมแนนตโดยการลดขนาดได

4.5 แกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอรได

102


แมททรกซเปนวธการทางคณตศาสตร สาหรบแกปญหาในระบบสมการท/ซบซอน อยางเชน

ในโครงขายวงจรไฟฟา ท/ประกอบดวยโหลดหลายๆ ตว และแหลงจายพลงงานหลายๆ ตว ประกอบกน

เปนระบบท/ใหญ การใชแมททรกซและดเทอรมแนนต ในการแกปญหาจะทาไดอยางสะดวกและ

รวดเรว สามารถชวยลดความยงยากไดเปนอยางมาก เปนเคร/องมอท/มประสทธภาพสง หากผใชศกษา

ใหเขาใจและมความชานาญ

4.1 ดเทอรมแนนตและแมททรกซ

4.1.1 แมททรกซ

แมททรกซ หมายถง กลมของจานวนใดๆ ท/นามาเรยงกนเปนแถวและหลกอยางเปน

ระเบยบ เปนรปส/ เหล/ยมมมฉาก ซ/ งแตละแถวหรอหลกประกอบดวยจานวนเทาๆ กน โดยม

เคร/องหมาย ลอมรอบจานวนเหลานKนไว ตวอยางของแมททรกซเชน

เปนแมททรกซขนาด หมายถงแมททรกซขนาด 2 แถว คณ 2 หลก



สญลกษณของแมททรกซ

ถากาหนดให A เปนแมททรกซประกอบดวย แถว และ หลก เขยนเปนสมการได

ดงนK

[ ]

úû

ùêë

é5213

22´

úúú

û

ù

êêê

ë

é

562314251

33´

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

1423258963570741

44´

m n

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

=

mn434241

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A!

"

!!!"

"

" แถวท& 1

แถวท& 2

แถวท& 3

แถวท& n

หลกท& 1 หลกท& 2 หลกท& 3 หลกท& m

103

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

-

+ + +

- -

แมททรกซท/ประกอบไปดวย แถว และ หลกเราเรยกวา แมททรกซ หรอแมททรกซ

ขนาด นยมเขยนเปนสญลกษณยอๆ ไดดงนK

หรอ

4.1.2 ดเทอรมแนนต

นยาม กาหนดให A เปนแมททรกซจตรสใดๆ ดเทอรมแนนตของ A เขยนแทนดวย

หรอ ถา แลวหา ไดดงนK

ตวอยางท0 4.1 จงหาดเทอรมแนนตของแมททรกซตอไปนK

วธทา

.....................ตอบ

.....................ตอบ

ดเทอรมแนนตของแมททรกซขนาด

ถา แลวหา det A ไดดงนK

การคดเคร/องหมายเชนเดยวกบกรณแมททรกซ คอคณลงเปนบวก คณขKนเปนลบ จะได

m n nm´

nm´

[ ]nmij

aA´

= nmA ´

AD

Adet úû

ùêë

é=

2221

1211

aaaa

A Adet

222122112221

1211 aaaaaaaa

Adet -==

úû

ùêë

é -=ú

û

ùêë

é-

=4132

B,4652

A

)5)(6()4)(2(4652

Adet --+=-

=

308--=

Adet\ 38-=

)3)(1()4)(2(4132

Bdet --+=-

=

38+=

Bdet\ 11=

33´

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Α

Adet

22´

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )122133112332132231322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaAdet ---+++=

104

úû

ùêë

é-

=1456

B

úû

ùêë

é-

=1456

B

úû

ùêë

é-

=1456

B

ตวอยางท0 4.2 จงหาดเทอรมแนนตของแมททรกซ A และ B

วธทา นา 2 หลกแรกมาตอถดจากหลกท/ 3 ในแมททรกซ A จะได

.....................ตอบ

นา 2 หลกแรกมาตอถดจากหลกท/ 3 ในแมททรกซ B จะได

.....................ตอบ

4.2 ไมเนอร (minor) ของสมาชกของแมททรกซจตรส

นยาม ถา หรอ A เปนแมททรกซจตรส ไมเนอรของ คอ ดเทอรมแนนตของ

สมาชก A ท/เหลอจากการตดแถวท/ i และหลกท/ j ของ A ออกไปไมเนอรของ เขยนแทนดวย

ตวอยางท0 4.3 กาหนดแมททรกซ B จงหาไมเนอรของสมาชก B ทKงหมด

วธทา

ไดจากการตดแถวท/ 1 หลกท/ 1


úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-=

346012231

B,346104321

A

460421

346104321

Adet-

-

--

-=

)2)(4)(3()1)(1)(4()3)(0)(6()4)(4)(3()6)(1)(2()3)(0)(1( -------+--++=

)24(40)48(120 -----++=

Adet\ 162444812 -=+--=

461231

346012231

Bdet--

-

--

-=

)3)(2)(3()1)(0)(4()2)(1)(6()4)(2)(2()6)(0)(3()3)(1)(1( -------++--+=

)18()0()12()16()0()3( -----+++=

Bdet\ 191812163 -=-+-=

ija

ija ijM

úû

ùêë

é-

=1456

B

1M11 =

4M12 -=

[ ]n×mij

a=A

105

úû

ùêë

é-

=1456

B



ตวอยางท0 4.4 กาหนดแมททรกซ A จงหา , ,

วธทา หา ตดแถวท/ 1 หลกท/ 3 ออกไป

จะได

.....................ตอบ

หา ตดแถวท/ 2 หลกท/ 2 ออกไป

จะได

...................ตอบ


จะได

.....................ตอบ

4.3 โคแฟกเตอร (Cofactor) ของสมาชกของแมททรกซจตรส

นยาม ถา หรอ A เปนแมททรกซจตรสโคแฟกเตอรของ เขยนแทนดวย

หาไดจาก

5M21 =

6M22 =

13M 22M 32M

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-=

346104321

A

13M

4604

M13 -=

)0)(6()4)(4( --+=

16016M13 -=--=\

22M

3631

M22 =

)3)(6()3)(1( -+=

15183M22 -=-=\

32M

1431

M32 -=

)3)(4()1)(1( --+=

13121M32 -=--=\

ija ijC

ijji

ij M)1(C +-=

[ ]n×mij

a=A

106

ตวอยางท0 4.5 กาหนดแมททรกซ B จงหาโคแฟกเตอรของสมาชก B ทกตว

วธทา

สรป 1) ถา เปนเลขค แลว (เคร/องหมายเหมอนกน)

2) ถา เปนเลขค/ แลว (เคร/องหมายตรงกนขาม)

3) การคดเคร/องหมายของ เทยบกบ สรปเปนแผนผงไดดงนK

แมททรกซขนาด แมททรกซขนาด

4.4 การหาดเทอรมแนนตโดยการลดขนาด

นยาม ถา A เปนแมททรกซจตรสขนาด ดเทอรมแนนตของ A เทากบผลบวก

ของผลคณของสมาชกในแถวใดแถวหน/ง (หรอหลกใดหลกหน/ง) กบโคแฟกเตอรของสมาชกตวนKน

úû

ùêë

é-

=3542

B

1111

11 M)1(C +-=

)3()1(C 211 -=

1111 M3)3)(1(C ===

1221

12 M)1(C +-=

)5()1(C 312 --=

1212 M5)5)(1(C -==--=

2112

21 M)1(C +-=

)4()1(C 321 -=

2121 M4)4)(1(C -=-=-=

2222

22 M)1(C +-=

)2()1(C 422 -=

2222 M2)2)(1(C ===

ji+ ijij MC =

ji+ ijij MC -=

ijC ijM

úúú

û

ù

êêê

ë

é

+-+-+-+-+

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

+-+--+-++-+--+-+

33´ 44´

( )2nnn ³´

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

=

nnnj2n1n

inij2i1i

n2j22221

n1j11211

aaaa

aaaaaaaaaaaa

A

!!""

!

"

!

"

!!!!

107

237040263

Adet-

-=

-+-

เลอกแถวท0 i

เลอกหลกท0 j

ตวอยางท0 4.6 กาหนดให จงหา โดยการลดขนาด

วธทา เลอกแถวท/ 2 (เพราะแถวท/ 2 มสมาชกเปนศนย 2 ตว)

เน/องจาก และ จะได

.....................ตอบ

4.5 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชกฎของคราเมอร (Cramer’s Rule)

การแกระบบสมการเชงเสน มหลายวธดวยกน เชน การแกระบบสมการเชงเสนโดยวธของเกาส

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชอนเวอรสของแมททรกซ และ การแกระบบสมการเชงเสนโดยกฎของ

คราเมอร ในหนวยนKนกเรยนจะศกษาการแกระบบสมการ โดยใชกฎของคราเมอร ซ/งงายและสะดวก

เหมาะสาหรบสาขาไฟฟาและอเลกทรอนกส

รปแบบของระบบสมการเชงเสน 3 ตวแปร เปนดงนK

โดยท/ และ คอตวแปรท/ตองการทราบคา a และ b คอคาคงท/ และใชสญลกษณท/

เรยกวา เดลตา เปนคาดเทอรมแนนตซ/งสมาชกประกอบดวยสมประสทธ] ของ และ

เรยงตามลาดบจากหลกท/ 1 ถงหลกท/ 3

ininijij2i2i1i1i cacacacaAdet +++++= !!

njnjijijj2j2j1j1 cacacacaAdet +++++= !!

úúú

û

ù

êêê

ë

é

-

-=

237040263

A Adet

232322222121 cacaca -+-=

0a21 = 0a23 =

23222221 c0))(c(ac0Adet ++=

2723

4Adet-

+=

[ ])2)(7()2)(3(4 --+=

[ ])14()6(4 --+=

Adet\ 80)20(4 ==

1131211 bzayaxa =++

2232221 bzayaxa =++

3333231 bzayaxa =++

y,x z

( ) D:delta y,x z

108

จากรปแบบระบบสมการเชงเสนขางบน เขยนใหอยในรปสมการแมททรกซได ดงนK

ขKนตอนในการหาคา , และ สรปไดดงนK

1) หาเดลตา :

2) การหาคา ,

การหา ทาไดโดยการนาขอมลของหลก มาแทนในหลกท/ 1 ในแมททรกซของ

ดงนK


ดงนK


ดงนK

3) หาคาตอบของสมการ เม/อหาคาตางๆ ไดแลว คอ , , ขKนตอไปคอ หาคา

และ ท/ทาใหสมการเปนจรง

ซ/งจะได และ

สาหรบระบบสมการเชงเสน n ตวแปร n สมการ กจะเปนไปในทานองเดยวกบระบบสมการ

เชงเสน 3 ตวแปร

ตวอยางท0 4.7 จงหาคาตอบของระบบสมการ

วธทา เขยนใหอยในรปสมการแมททรกซ :

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

zyx

aaaaaaaaa

D y,x z

0aaaaaaaaa

Δ

333231

232221

131211

¹=

xD Δz,yD

xD 321 b,b,b D

33323

23222

13121

aabaabaab

Δx =

yD 321 b,b,b D

33331

23221

13111

abaabaaba

Δy =

Δz 321 b,b,b D

33231

22221

11211

baabaabaa

Δz =

D xD Δz,yD

y,x z

ΔΔyy,

ΔΔxx ==

ΔΔzz =

4yx2 =-

5yx3 =+

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é -54

yx

1312

)1)(3()1)(2(1312

--+=-

=D

109

941321111

=D

+-+

.....................ตอบ

.....................ตอบ



เลอกแถวบนสด


5)3()2( =--+=D

)1)(5()1)(4(1514

x --+=-

=D

9)5()4(x =--+=D

)4)(3()5)(2(5342

y -+==D

2)12()10(y -=-+=D

ΔΔxx =\

59

=

ΔΔyy =\

52-

=

6zyx =++

14z3y2x =++

36z9y4x =++

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

36146

zyx

941321111

4121

)1(9131

)1(9432

)1(941321111

Δ +-+==

[ ] [ ] [ ])2)(1()4)(1()1()3)(1()9)(1()1()3)(4()9)(2()1( -++-+--++=D

)24()39()1218( -+---+=D

2)2()6()6( =+-+=D

94363214116

xΔ =

436214

)1(936314

)1(9432

)6(94363214116

xΔ +-+==

[ ] [ ] [ ])2)(36()4)(14()1()3)(36()9)(14()1()3)(4()9)(2()6(Δx -++-+--++=

[ ] [ ] [ ])72()56()1()108()126()1()12()18()6(Δx -++-+--++=

110



จะได .....................ตอบ

.....................ตอบ

และ .....................ตอบ


วธทา เขยนใหอยในรปสมการแมททรกซ ไดดงนK

)16)(1()18)(1()6)(6(Δx -+-+=

2161836Δx =--=

93613141161

yΔ =

361141

)1(9131

)6(936314

)1(93613141161

yΔ +-+==

[ ] [ ] [ ])14)(1()36)(1()1()3)(1()9)(1()6()3)(36()9)(14()1(Δy -++-+--++=

[ ] [ ] [ ])14()36()1()3()9()6()108()126()1(Δy -++-+--++=

)22)(1()6)(6()18)(1(Δy +-+=

4223618Δy =+-=

36411421611

zΔ =

4121

)6(361141

)1(364142

)1(36411421611

zΔ +-+==

[ ] [ ] [ ])2)(1()4)(1()6()14)(1()36)(1()1()14)(4()36)(2()1(Δz -++-+--++=

[ ] [ ] [ ])2()4()6()14()36()1()56()72()1(Δz -++-+--++=

)2)(6()22)(1()16)(1(Δz +-+=

6122216Δz =+-=

122xx ==

DD

=

224yy ==

DD

=

326zz ==

DD

=

10023 21 =+- II

0492 321 =-+- III

094 32 =+- II

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

-

0010

940492023

3

2

1

III

111

940492023

--

-=D

+-+

9404900210

1

-

-=DI+-+


เลอกหลกท/ 1



4092

)0(9042

)2(9449

)3(940492023

Δ-

-+

----

--

+=-

---

=

[ ] [ ] )0()4)(0()9)(2()2()4)(4()9)(9()3( +---+-----++=D

[ ] [ ] )0()0()18()2()16()81()3( +--+---++=D

)0()18)(2()65)(3( +-++=D

15936195 =-=D

4902

)0(9402

)0(9449

)10(9404900210

Δ 1 --

+--

--

-+=

--

-=I

[ ] )0()0()4)(4()9)(9()10(Δ 1 +----++=I

[ ])16()81()10(Δ 1 -++=I

650)65)(10(Δ 1 ==I

9004020103

Δ 2 --=I

4203

)0(9003

)0(9042

)10(9004020103

Δ 2 ---+

---=--=I

[ ] )0()0()4)(0()9)(2()10(Δ 2 -+---+-=I

00)18)(10(Δ 2 -+--=I

180Δ 2 =I

0400921023

Δ 3

--

-=I

112

จะได .....................ตอบ

.....................ตอบ

และ .....................ตอบ

9223

)0(4023

)0(4092

)10(0400921023

Δ 3 --

+--

--

-+=

--

-=I

[ ] )0()0()9)(0()4)(2()10(Δ 3 -+---++=I

[ ] )0()0()0()8()10(Δ 3 -+-++=I

80)8)(10(Δ 3 ==I

1596501

1 =DD

=II

1591802

2 =DD

=II

159803

3 =DD

=II

113

สรปสาระสาคญ

ดเทอรมแนนตและแมททรกซ เปนเคร/องมอท/ใชในการแกปญหาในระบบสมการท/มตวแปร

ตKงแต 2 ตวแปรขKนไป โดยท/คาเดลตา ของแมททรกซนKน ตองไมเปน 0 การหาคาดเทอร

มแนนต โดยการลดขนาด จะทาใหชวยลดความผดพลาดลงได เพราะตวเลขนอยลง ถามสมาชก ของแม

ททรกซตวใดตวหน/งมคาเปนศนย การลดขนาดกจะทาไดงายขKน การแกระบบสมการเชงเสน โดยใช

กฎของคราเมอร เหมาะสาหรบงานในสาขาไฟฟาและอเลกทรอนกส ชวยแกปญหาใดสะดวกและ

รวดเรว

( )D

114

แบบฝกหด


1. กาหนดแมททรกซ , , ,

จงหา det A , det B , det C , det D

2. กาหนดแมททรกซ จงหา det A

3. กาหนดแมททรกซ A ให จงหา , ,

4. กาหนดแมททรกซ B ให จงหา , ,

5. จงหาคาดเทอรมแนนตของแมททรกซตอไปนK โดยการลดขนาด

6. จงแกระบบสมการตอไปนKโดยใชกฎของคราเมอร

................(1)

................(2)


................(1)

................(2)


................(1)

................(2)

................(3)

úû

ùêë

é-

=2342

A úû

ùêë

é--

=6523

B úû

ùêë

é--

=1023

C úû

ùêë

é -=

3224

D

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

346021132

A

12M 21M 32M

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-=

346021132

A

12C 22C 31C

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

246521112

B

úúú

û

ù

êêê

ë

é-

-=

046021132

A

1yx =-

10y6x4 =-

7y2x4 =+

3y3x3 =-

6zyx =++

3zyx2 =+-

7z2yx =++-

115


................(1)

................(2)

................(3)


................(1)

................(2)

................(3)

คาตอบ 1) , , ,

2)

3) , ,

4) , ,

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11zy3x2 =++

15z3y2x2 =++

11z3yx4 =+-

0cba2 =++

2c2b3a4 =++

0c3ba2 =--

16Adet -= 8Bdet -= 3Cdet -= 16Ddet =

5detA -=

3M12 -= 5M21 -= 1M32 =

28C12 = 2C22 -= 3C31 =

16Adet -=

3y,2x,2Δ -=-=-=

2/1y,2/3x,18Δ ==-=

3z,2y,1x,7 ===-=D

3z,2y,1x,26 ====D

1c,2b,2/1a,8 -==-=-=D

116

แบบทดสอบหลงเรยน


จงเลอกคาตอบท/ถกท/สดเพยง 1 ขอ


ก. 2 ข. – 10

ค. – 2 ง. 10


ก. 4 ข. 14

ค. 7 ง. 10

3. กาหนดให ไมเนอร ของแมททรกซ C คอขอใด

ก. ข.

ค. ง.

4. จากขอ 3. โคแฟกเตอร ของแมททรกซ C มคาเทาใด

ก. – 4 ข. – 2

ค. 2 ง. 4

5. กาหนดให จงหา det A

ก. – 22 ข. 10

ค. – 10 ง. 22

úû

ùêë

é=

2431

B

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

421113112

A

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--=

312212201

C 13M

úû

ùêë

é-

-3121

úû

ùêë

é-3222

úû

ùêë

é-3120

úû

ùêë

é -1212

13C

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

250320412

A

117

จงใช กฎของคราเมอรแกระบบสมการตอไปนK แลว ใชสาหรบคาถามขอ 6 – 10

................(1)

................(2)

................(3)


ก. 19 ข. 13

ค. 22 ง. 16


ก. 40 ข. 20

ค. 80 ง. 60


ก. 80 ข. 40

ค. 20 ง. 60


ก. 20 ข. 80

ค. 40 ง. 60


ก. 10 ข. 20

ค. 2.5 ง. 5

10cba3 =--

0cb3a =+-

0c3ba =-+

D

aD

bD

cD

a

118

เอกสารอางอง

มนส ประสงค. (2558). คณตศาสตร 2. กรงเทพฯ : ศนยสงเสรมวชาการ.

ธารงศกด] หมนกาหรม , อนวตน ทองสกล . (2555). คณตศาสตรอเลกทรอนกส. กรงเทพฯ : บรษท

พฒนาวชาการ.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2551). คณตศาสตร เลม 2 กลมสาระการเรยนร

เพ/มเตม ชKนมธยมศกษาปท/ 4. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภาลาดพราว.

Alan Jeffrey. ESSENTIALS OF ENGIEERING MATHEMATICS. Singapore. Chapman & Hall. 1992.

Erwin Kreyszig. Advanced Engineering Mathematics. (7 th. Ed.) John Wiley & Sons, Inc.

Singapore. 1993.

119

ภาคผนวก

- เฉลยแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

- เฉลยแบบฝกหดทายหนวย

120

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยน

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

1) ง 2) ข 3) ก 4) ข 5) ค 6) ก 7) ข 8) ก 9) ก 10) ค

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1) ข 2) ค 3) ง 4) ก 5) ก 6) ง 7) ค 8) ข 9) ค 10) ง

121

เฉลยแบบฝกหด


1. กาหนดแมททรกซ , , ,

จงหา det A , det B , det C , det D

วธทา

.....................ตอบ

.....................ตอบ

.....................ตอบ

.....................ตอบ

2. กาหนดแมททรกซ จงหา det A

วธทา

.....................ตอบ

úû

ùêë

é-

=2342

A úû

ùêë

é--

=6523

B úû

ùêë

é--

=1023

C úû

ùêë

é -=

3224

D

úû

ùêë

é-

=2342

A

)4)(3()2)(2(Adet --+=

16124Adet -=--=\

úû

ùêë

é--

=6523

B

)2)(5()6)(3(Bdet ---+=

81018Bdet -=+-=\

úû

ùêë

é--

=1023

C

)2)(0()1)(3(Cdet ---+=

303Cdet -=--=\

úû

ùêë

é -=

3224

D

)2)(2()3)(4(Ddet --+=

16412Ddet =+=\

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

346021132

A

462132

346021132

Adet =

)3)(1)(3()2)(0)(4()1)(2)(6()4)(1)(1()6)(0)(3()3)(2)(2(Adet ---+++=

)9()0()12()4()0()12(Adet ---+++=

5912412Adet -=--+=\

122

3. กาหนดแมททรกซ A ให จงหา , ,

วธทา หา ตดแถวท/ 1 หลกท/ 2 ออกไป

จะได

.....................ตอบ


จะได

...................ตอบ


จะได

.....................ตอบ

4. กาหนดแมททรกซ B ให จงหา , ,

วธทา

.....................ตอบ

.....................ตอบ

12M 21M 32M

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-=

346021132

A

12M

3601

M12 -=

)0)(6()3)(1( --+=

303M12 -=--=\

21M

3413

M21 --

=

)1)(4()3)(3( ---+=

549M21 -=+-=\

32M

0112

M32-

=

)1)(1()0)(2( --+=

110M32 =+=\

12C 22C 31C

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

246521112

B

1221

21 M)1(C +-=

[ ])5)(6()2)(1()1(2651

)1(C 21 -+-=-=

)28)(1()302)(1(C 21 --=--=

28C12 =\

2222

22 M)1(C +-=

)1)(6()2)(2(2612

)1(C22 -+==

2)6()4(C 22 -=-=\

3113

31 M)1(C +-=

123

.....................ตอบ

5. จงหาคาดเทอรมแนนตของแมททรกซตอไปนK โดยการลดขนาด

วธทา เลอกหลกท/ 3 (เพราะหลกท/ 3 มสมาชกเปนศนย 2 ตว)

เน/องจาก และ จะได

.....................ตอบ


................(1)

................(2)


.....................ตอบ

.....................ตอบ

)1)(2()5)(1(5211

)1(C31 -+==

3)2()5(C31 =-=\

úúú

û

ù

êêê

ë

é-

-=

046021132

A

333332321313 cacacaAdet +-+=

0a23 = 0a33 =

33231313 c0)(c0caAdet ++=

4621

)1(Adet-

-+=

[ ])2)(6()4)(1()1( --+-=

)124(1 +-=

Adet\ 16)16( -=-=

1yx =-

10y6x4 =-

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é--

101

yx

6411

)1)(4()6)(1(6411

---+=--

=D

2)4()6( -=---=D

)1)(10()6)(1(61011

x ---+=--

=D

4)10()6(x =---=D

)1)(4()10)(1(10411

y -+==D

6)4()10(y =-+=D

ΔΔxx =\ 2

24

-=-

=

ΔΔyy =\ 3

26

-=-

=

124


................(1)

................(2)


.....................ตอบ

.....................ตอบ


................(1)

................(2)

................(3)



7y2x4 =+

3y3x3 =-

úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

éúû

ùêë

é- 3

7yx

3324

)2)(3()3)(4(3324

--+=-

=D

18)6()12( -=--=D

)2)(3()3)(7(3327

x --+=-

=D

27)6()21(x -=--=D

)7)(3()3)(4(3374

y -+==D

9)21()12(y -=-+=D

ΔΔxx =\

23

1827

=--

=

ΔΔyy =\

21

189

=--

=

6zyx =++

3zyx2 =+-

7z2yx =++-

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

736

zyx

211112111

211112111

Δ-

-=

1112

)1(2112

)1(2111

)1(211112111

Δ-

-+

--

-+=

--=

[ ] [ ] [ ])1)(1()1)(2()1()1)(1()2)(2()1()1)(1()2)(1()1( ---++--+---++=D

)12()14()12( -++---+=D

7)1()5()3( -=+--=D

125




จะได .....................ตอบ

.....................ตอบ

และ .....................ตอบ

217113116

xΔ -=

1713

)1(2713

)1(2111

)6(217113116

Δx-

+--

+=-=

[ ] [ ] [ ])1)(7()1)(3()1()1)(7()2)(3()1()1)(1()2)(1()6(Δx --++-+---++=

[ ] [ ] [ ])7()3()1()7()6()1()1()2()6(Δx --++-+---++=

)10)(1()1)(1()3)(6(Δx +---+=

710118Δx -=++-=

271132161

yΔ-

=

7132

)1(2112

)6(2713

)1(271132161

Δy-

+-

-+=-

=

[ ] [ ] [ ])3)(1()7)(2()1()1)(1()2)(2()6()1)(7()2)(3()1(Δy --++--+--++=

[ ] [ ] [ ])3()14()1()1()4()6()7()6()1(Δy --++--+--++=

)17)(1()5)(6()1)(1(Δy +--+=

4117301Δy -=+--=

711312611

zΔ-

-=

1112

)6(7132

)1(7131

)1(711312611

Δz-

-+

--

-+=

--=

[ ] [ ] [ ])1)(1()1)(2()6()3)(1()7)(2()1()3)(1()7)(1()1(Δz ---++--+---++=

[ ] [ ] [ ])1()2()6()3()14()1()3()7()1(Δz -++--+---++=

)1)(6()17)(1()10)(1(Δz +--+=

2161710Δz -=+--=

177xx =

--

=DD

=

2714yy =--

=DD

=

3721zz =--

=DD

=

126


................(1)

................(2)

................(3)





11zy3x2 =++

15z3y2x2 =++

11z3yx4 =+-

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

- 111511

zyx

314322132

314322132

Δ-

=

1422

)1(3432

)3(3132

)2(314322132

Δ-

+--

+=-

=

[ ] [ ] [ ])2)(4()1)(2()1()3)(4()3)(2()3()3)(1()3)(2()2( --++-+---++=D

[ ] [ ] [ ])8()2()1()12()6()3()3()6()2( --++-+---++=D

)10)(1()6)(3()9)(2( -+--+=D

26101818 =-+=D

311132151311

xΔ-

=

111215

)1(311315

)3(3132

)11(311132151311

Δx-

+--

+=-

=

[ ] [ ] [ ])2)(11()1)(15()1()3)(11()3)(15()3()3)(1()3)(2()11(Δx --++-+---++=

[ ] [ ] [ ])22()15()1()33()45()3()3()6()11(Δx --++-+---++=

)37)(1()12)(3()9)(11(Δx -+-+=

26373699Δx =--=

311431521112

yΔ =

114152

)1(3432

)11(311315

)2(311431521112

Δy +-+==

[ ] [ ] [ ])15)(4()11)(2()1()3)(4()3)(2()11()3)(11()3)(15()2(Δy -++-+--++=

127


ดงนKน .....................ตอบ

.....................ตอบ

และ .....................ตอบ


................(1)

................(2)

................(3)



[ ] [ ] [ ])60()22()1()12()6()11()33()45()2(Δy -++-+--++=

)38)(1()6)(11()12)(2(Δy -+--+=

52386624Δy =-+=

111415221132

zΔ-

=

1422

)11(114152

)3(111152

)2(111415221132

Δz-

+--

+=-

=

[ ] [ ] [ ])2)(4()1)(2()11()15)(4()11)(2()3()15)(1()11)(2()2(Δz --++-+---++=

[ ] [ ] [ ])8()2()11()60()22()3()15()22()2(Δz --++-+---++=

)10)(11()38)(3()37)(2(Δz -+--+=

7811011474Δz =-+=

12626xx ==

DD

=

22652yy ==

DD

=

32678zz ==

DD

=

0cba2 =++

2c2b3a4 =++

0c3ba2 =--

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúú

û

ù

êêê

ë

é

-- 020

cba

312234112

312234112

Δ--

=

1234

)1(3224

)1(3123

)2(312234112

Δ-

+-

---

+=--

=

[ ] [ ] [ ])3)(2()1)(4()1()2)(2()3)(4()1()2)(1()3)(3()2( --++--+----++=D

[ ] [ ] [ ])6()4()1()4()12()1()2()9()2( --++--+----++=D

)10)(1()16)(1()7)(2( -+---+=D

8101614 -=-+-=D

128

เลอกหลก 1



ดงนKน .....................ตอบ

.....................ตอบ

และ .....................ตอบ

310232110

aΔ--

=

)0(3111

)2()0(310232110

aΔ +--

-+=--

=

[ ])1)(1()3)(1()2(a ---+-=D

4)2)(2(a =--=D

302224102

bΔ-

=

)0(3212

)2()0(302224102

bΔ --

+-=-

=

[ ])1)(2()3)(2()2(b --++=D

)26)(2(b --+=D

16)8)(2(b -=-=D

012234012

cΔ-

=

)0(1212

)2()0(012234012

Δc +-

-+=-

=

[ ])1)(2()1)(2()2(c --+-=D

)22)(2(c ---=D

8)4)(2(c =--=D

21

84aa -=

-=

DD

=

2816bb =--

=DD

=

188cc -=-

=DD

=

Documents

หน่วยที่ 4 ดีเทอร์มิแนนซ์...แบบทดสอบก อนเร ยน หน วยท 4 ด เทอร ม แนนต และแมททร