ส่วนหน้า บร.คณิตศาสตร์ ม4 B2 [เน้นวิทย์]academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1521722290_example.pdf · คณิตน่ารู

ผเรยบเรยงนางกนกวล อษณกรกล รศ.ดร. อาพล ธรรมเจรญ นายไอศรย สดประเสรฐ

นางจนดา อยเปนสข นายรณชย มาเจรญทรพย นายวฒชย ศรวสธากล

นางนพรตน วนแกว นางสาวสายสณ สทธจกษ

ผตรวจดร. ขวญ เพยซาย นางสาวรจรา พพธพจนการณ นางสาวบรนาถ เฉยฉน

บรรณาธการนางสาวจนทรเพญ ชมคช

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม

ตามผลการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2561

พมพครงท 1 จานวนพมพ 10,000 เลมISBN : 978-616-203-779-5

รหสสนคา 3416005

คาแนะนาในการใชสอ

(1) คอนดบ การเขยนคอนดบแทนความสมพนธระหวางสมาชกของเซตสองเซต จะตองมล�าดบทหนงและล�าดบทสองซงเขยนในรป(a,b)แทนคอนดบเรยกaวาสมาชกตวหนาหรอสมาชกตวทหนงของคอนดบและเรยกbวาสมาชกตวหลงหรอสมาชกตวทสองของคอนดบถาเขยนคอนดบ(b,a)หมายถงbเปนสมาชกตวหนาของคอนดบและaเปนสมาชกตวหลงของคอนดบกลาวไดวา(a,b)และ(b,a)เปนคอนดบทไมเทากนยกเวนa=b เชน คอนดบ(1,5)และ(5,1) คอนดบ(1,5)มสมาชกตวหนาคอ1และสมาชกตวหลงคอ5 คอนดบ(5,1)มสมาชกตวหนาคอ5และสมาชกตวหลงคอ1 การลงจดของคอนดบ(1,5)และ(5,1)บนระนาบXYจะไดจด2จดทไมใช

จดเดยวกนดงรป

ควÃÃÙŒ¡‹ÍนàÃÕÂน

จากกราฟพบวาจดของคอนดบ(1,5)และ(5,1)อยต�าแหนงตางกนดงนนคอนดบ(1,5)และ (5,1) ไมใชคอนดบเดยวกน และไมสามารถใชแทนกนไดหรอ(1,5)≠(5,1)

(2) กราฟเสนตรง กราฟเสนตรงy=ax+b ถาa>0จะไดเสนตรงตดกบแกนXเปนมมแหลมในทศทางทวนเขมนาฬกาเชน

ถาa<0จะไดเสนตรงตดกบแกนXเปนมมปานในทศทางทวนเขมนาฬกาเชน

y=x-1y=x+3

y=-4-xy=2-x

Y

(5,1)

0

12345

1 2 3 4 5X

(1,5)

Y

12345

0 1-5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5X

Y

0

12345

1-5 -4 -3 -2 -1-2-3

2 3 4 5X

Y

0

12345

1-5 -4 -3 -2 -1-1

-2-3-4-5

2 3 4 5X

Y

0

12345

1-5 -4 -3 -2 -1-1

-2-3-4-5

2 3 4 5X

-1

ฟงกชน 3

1. ใหนกเรยนแบงกลมกลมละ3-5คนเพอวเคราะหและตอบค�าถามตอไปน

1)รานขายอปกรณตกแตงบานแหงหนงใหคาจางพนกงานขาย3,000บาทตอสปดาหและ

ใหคานายหนา3%จากยอดขายทมากกวา10,000บาทสมมตวาสปดาหนพนกงาน

ขายของไดมากเพยงพอทจะไดคานายหนาถาใหf(x)=0.30xและg(x)=x-10,000นกเรยนคดวาฟงกชน(f◦g)(x)หรอ(g◦f)(x)เปนฟงกชนทแสดงคานายหนาทพนกงานไดรบจากการขายในสปดาหนเพราะเหตใด

2)นกเรยนซอสนคาจากหางสรรพสนคาแหงหนง แตสนคาทนกเรยนซอมขนาดใหญ

ไมสามารถน�ากลบบานเองได ทางหางสรรพสนคามบรการจดสงสนคา ซงนกเรยน

จะตองจายคาสนคารวมกบคาภาษมลคาเพมและคาธรรมเนยมการจดสงสนคาถาคาภาษ

มลคาเพมคดเปน 7% ของราคาสนคา และคาธรรมเนยมการจดสงสนคา 500 บาท

ใหxแทนราคาสนคา

กจกรรม คณตศาสตร

2.1) เขยนฟงก ชน f(x ) แสดงราคาสนคาเมอรวมภาษมลคา

เพมแลว และฟงกชน g(x)แสดงราคาสนคาเมอรวมคา

ธรรมเนยมจดสงสนคาแลว

2.2) ค�านวณและเปรยบเทยบคา

ของฟงกชนระหวาง (f◦g)(x)

และ(g◦f)(x)ฟงกชนใดสงผลใหนกเรยนซอสนคาไดในราคาทถกกวา 2.3) สมมตวาในทางกฎหมายไมคดภาษคาธรรมเนยมการจดสงสนคานกเรยนจะเลอก

ใชฟงกชน(f◦g)(x)หรอ(g◦f)(x)เพราะเหตใด

2. ใหนกเรยนแตละกลมสงตวแทนมาน�าเสนอผลการวเคราะหและค�าตอบทได

74

ตวอยางท 7

ใหเขยนจ�านวนทก�าหนดในรปอยางงาย

1) 6•7•23 2) 316236

3) 51253

วธท�า 1) 6•7•23 2) 316236

= 31626 3)

51253

= 5123

= 26×7×3 = 327 = 54

= 29×14 = 3

= 2(314)

= 614

ลองทาด

ใหเขยนจ�านวนทก�าหนดในรปอยางงาย

1) 5×6×72 2) 4224414

แนวขอสอบ PAT 1

ใหเขยน35 ( 10 + 2 5)ในรปอยางงาย

แนวคด

35 (10+25) = 35 (2×5+25)

= 35 (2×5+25)

= (35 ×5)(2+2)

= (3 ×5)(2+2)

ดงนน 35 (10+25) = 15(2+2)

4. การหาผลคณและผลหารของกรณฑ กรณฑทจะน�ามาหาผลคณและผลหาร จะตองมอนดบของกรณฑทเทากนกอนและมสมบต

ของรากทสองทไมเปนจ�านวนลบตามทฤษฎบท 1-2 และสมบตของรากท n ตามทฤษฎ

บท3-4

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม

89


ก�าหนด f(x) = x2 - 2 และ g(x) = x + 1 หาฟงกชน g◦f และ f◦g พรอมทง

โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบทงสอง

วธท�า จาก Df =RและRf=[-2,∞)

Dg=RและRg =R

เนองจาก Rf ∩ Dg =[-2,∞) จงมg◦f

และ Rg ∩ Df =R จงมf◦g

จาก (g◦f)(x) = g(f(x)) = g(x2-2)

= (x2-2)+1=x2-1

ดงนน g◦f = {(x,y)∙ y=x2-1}

จะได Dg◦f = {x∊Df∙ f(x)∊Dg}

= {x∊R∙ f(x)∊R}=R

หาRg◦fจาก(g◦f)(x)=x2-1,x∊Rจะไดx2≥0

x2+(-1) ≥ 0+(-1)

x2-1 ≥ -1

ดงนนRg◦f=[-1,∞)

จาก (f◦g)(x) = f(g(x)) = f(x+1)=(x+1)2-2 ดงนน f◦g = {(x,y)∙ y=x2-2x-1} จะได Df◦g = {x∊Dg∙ g(x)∊Df}

= {x∊R∙ g(x)∊R}=R

หาRf◦gจาก(f◦g)(x) = (x+1)2-2,x∊Rจะได(x+1)2≥0

(x+1)2+(-2) ≥ 0+(-2)

(x+1)2-2 ≥ -2

ดงนน Rf◦g=[-2,∞)

¢Ñé¹µÍ¹¡ÒÃËÒ Dg◦f1. ËÒ Rf áÅÐ Dg2. ËÒ Rf ∩ Dg

1) ¶ŒÒ Rf ∩ Dg = ∅ áÅŒÇäÁ‹à¡Ô (g◦f)(x) 2) ¶ŒÒ Rf ∩ Dg ≠ ∅ áÅŒÇà¡Ô´ (g◦f)(x)3. ËÒà«µ¢Í§ x ·Õè f(x)∊Rf ∩ Dg «Öè§¨Ðä Œ Dg◦f ¤×อ à«µ¢อง x

แนะแนวคด

ก�าหนดf={(1,3),(2,5),(3,8)}และg={(3,0),(5,4),(6,8)}

ใหหาฟงกชนg◦fและf◦g(ถาม)

ลองทาด

คณตนาร โดยทวไป

Rg◦f≠Rf◦g

62

1. ใหเขยนสมการตอไปนในรปสมการลอการทม

1) 34=81 2) (12)3=18

3) (0.5)2=0.25 4) 70=1

5) -102=0.01 6) 11-2= 1121

2. ใหเขยนสมการตอไปนในรปสมการเลขยกก�าลง

1) log416=2 2) log7343

3) log39=2 4) log81=0

5) log77=1 7) log107=0.8451

3. ใหเขยนกราฟของฟงกชนตอไปน

1) y=log3x 2) y=log12

x

4. ใหหาคาลอการทมในแตละขอตอไปน

1) log51 2) log664

3) log204+log205 4) log4120-log430

แบบฝกทกษะ 2.5

ระดบพนฐาน

ระดบกลาง

5. ใหเขยนกราฟของฟงกชนตอไปน

1) y=log2x+1 2) y=log14(x-2)

6. ใหหาคาลอการทมในแตละขอตอไปน

1) 2log93 2) log41664

3) 8log85+2log24 4) log42+log432

5) 1+log48-log42 6) 1log880

+ 1log580

+ 1log280

7) log4(log3(log28)) 8) log28×log82×log327×log273

118

คณตศาสตรในชวตจรง

อตราคาโดยสารเรอคลองแสนแสบ

อตราคาโดยสารเรอคลองแสนแสบจากผานฟาลลาศไปยงม.รามค�าแหง1เปนดงน

จากตวอยางการศกษาขางตน ใหนกเรยนคนควาขอมลเรองการน�าความรเกยวกบฟงกชน

มาประยกตใชในชวตประจ�าวน โดยเลอกเรองทสนใจและเปนเรองทเกดขนในชวตประจ�าวนของนกเรยน

มา1เรองแลวเขยนกราฟของฟงกชน

จ�านวนทาเรอ (ทา)

อตราคาโดยสาร (บาท)

ไมเกน5ทา 8

เกน5ทาแตไมเกน8ทา 10



1 8 ผานฟาลลาศ2 8 8 ตลาดโบเบ3 8 8 8 สะพานเจรญผล4 8 8 8 8 บานครวเหนอ5 8 8 8 8 8 สะพานหวชาง6 10 8 8 8 8 8 ประตน�า7 10 10 10 8 8 8 8 ชดลม8 10 10 10 10 8 8 8 8 สะพานวทย9 12 10 10 10 10 10 8 8 8 นานาเหนอ10 12 12 10 10 10 10 8 8 8 8 นานาชาต11 12 12 10 10 10 10 10 8 8 8 8 อโศก12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 813 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 814 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 8 8 8 815 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 816 14 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 8 8 817 14 14 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 8 8 818 14 14 14 14 14 14 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 819 14 14 14 14 14 14 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 820 14 14 14 14 14 14 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 8

สเหราบานดอนซอยทองหลอ

ชาญอสระรร.วจตร

สะพานคลองตน

รามหนง

วดใหมชองลม

มศว.ประสานมตรอตลไทย

ทมา:กลมสถตวเคราะหส�านกแผนงานกรมเจาทา

จากขอมลสามารถเขยนกราฟของฟงกชนไดดงน

3

5

6

9

12

10 15 20 25

15

Y อตราคาโดยสาร(บาท)

จ�านวนทาเรอ(ทา)X

ฟงกชน 75

3แบบฝกทกษะ ประจาหนวยการเรยนรท

คาชแจง : ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

1. ก�าหนดA(-2,5),B(5,4)และC(1,8)เปนจดยอดมมของรปสามเหลยมABCใหแสดงวา

รปสามเหลยมABCเปนรปสามเหลยมมมฉาก

2. ถาระยะระหวางจด(2,k)และจด(8,15)เปนสองเทาของระยะระหวางจด(-2,3)และ

จด(1,7)แลวคาของk2+3เทากบเทาไร

3. ก�าหนดA(-3,-1),B(5,-1),C(5,5)และD(1,5)เปนจดยอดมมของรปสเหลยมคางหม

ระยะทางระหวางจดกงกลางของเสนทแยงมมทงสองเสนเทากบเทาไร

4. ถาA(2,-2),B(5,4)และC(8,x)อยบนเสนตรงเดยวกนคาของxเทากบเทาใด

5. ถาเสนตรงทลากผานจด(-4,-7)และจด(t,-2)ขนานกบเสนตรงทลากผานจด(1,5)และ

จด(3,6)คาของtเทากบเทาไร

6. ใหแสดงวาA(-2,3),B(2,6),C(5,2)และD(1,-1)เปนจดยอดมมของรปสเหลยมจตรส

7. ใหหาสมการเสนตรงทผานจดตดของเสนตรง5x+7y-19=0กบเสนตรง2x-5y+8=0และตงฉากกบเสนตรง4x+11y+15=0

8. ถาเสนตรง7x+24y+8=0เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนงซงหางกน 12หนวยใหหาสมการของเสนขนานคน

9. ใหหาสมการเสนตรงทลากผานจดศนยกลางของวงกลมx2+y2-2x-4y-20=0และตงฉากกบเสนตรงทสมผสวงกลมทจดP(4,-2)

10.

ใหหาสมการวงกลม จากรปทก�าหนด

Y

X

B(6,2)

A(-1,3)

C(h,k)0

เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย

263

QR Code

รองรบการเรยนรผานสอดจทอล

ลองทาด

เพอใหผเรยนไดฝกทาจนเกดความชานาญ

กจกรรมคณตศาสตร

เพอสงเสรมการเรยนรแบบ Active Learning

แนวขอสอบ

เขาศกษาตอในระดบอดมศกษา เพอใหผเรยนไดศกษาแนวคดกอนสอบจรง

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนร

เพอประเมนความรความเขาใจของผเรยนประจาหนวยการเรยนร

แนะแนวคด

เทคนคตาง ๆ ทชแนะวธการแกโจทยทางคณตศาสตร

แบบฝกทกษะ

แบงระดบความยากงาย เหมาะสมกบระดบการเรยนรของผเรยน

องคประกอบตาง ๆ ในแตละหนวย

ฟงกชนหนวยการเรยนรท1

ในสวนสาธารณะแหงหนง มน�าพอย ตรงกลางสวนโดยความสงของน�าพสมพนธกบเวลาตามสมการh(t)=-t2+3tเมอh แทนความสงของน�าพ มหนวยเปนเมตร และtแทนเวลามหนวยเปนวนาท

¹Ñ¡àÃÕÂ¹ÊÒÁÒÃ¶¹�¤ÇÒÁÃÙŒàÃ×èÍ§

¿˜§¡�ªÑ¹ ÁÒãªŒã¹¡ÒÃËÒ¤ÇÒÁÊÙ§¢³Ð·Õè¹ é�¾ØÍÂÙ‹·Õè

¨Ø ÊÙ§ÊØ ¨Ò¡¾×é¹¹ é�ä´ŒÍÂ‹Ò§äÃ

ผลการเรยนร• ใชฟงกชนและกราฟของฟงกชนอธบายสถานการณทก�าหนด• หาผลลพธของการบวกการลบการคณการหารฟงกชนหาฟงกชนประกอบและฟงกชนผกผน• ใชสมบตของฟงกชนในการแกปญหา

สาระการเรยนรเพมเตม• ฟงกชนและกราฟ • การบวกการลบการคณการหารฟงกชน • ฟงกชนประกอบ • ฟงกชนผกผน

สรปแนวคดหลก


d=(x1-x2)2+(y1-y2)

2

ระยะหางระหวางจดสองจด

d

(x2,y2)

(x1,y1)

0 X

Y

พกดของจดPคอ(x1+x22 ,

y1+y22 )

จดกงกลางระหวางจดสองจด

(x2,y2)

(x1,y1)

0

P

X

Y

ก�าหนดเสนตรงlผานจดA(x1,y1)และจดB(x2,y2)

โดยทx1≠ x2

ml

=y1-y2x1-x2

ความชนของเสนตรง

Y

X0

A(x1,y1)

B(x2,y2)

l

เสนตรงท�ามมแหลมกบแกนXm>0

เสนตรงท�ามมปานกบแกนXm<0

เสนตรงขนานกบแกนXm=0

เสนตรงขนานกบแกนY

ไมนยามความชน

ลกษณะความชนของเสนตรง

Y

0 X0

Y

X0

Y

X0

Y

X

258

กราฟของสมการAx2+By2+Cx+Dy+E=0เมอAและBไมเปนศนยพรอมกนและไมเปนภาคตดกรวยลดรปมลกษณะของกราฟดงน•กราฟเปนวงกลม เมอ A = B •กราฟเปนพาราโบลา เมอ AB = 0•กราฟเปนวงร เมอ AB>0 •กราฟเปนไฮเพอรโบลา เมอ AB<0

ไฮเพอรโบลามมฉาก

สมการทวไปของภาคตดกรวย

ไฮเพอรโบลาแกนตามขวางขนานกบแกน X ไฮเพอรโบลาแกนตามขวางขนานกบแกน Y

•สมการรปแบบมาตรฐาน:(x-h)2

a2 -(y-k)2

b2 =1

•จดศนยกลางอยท(h,k)•จดยอดอยทV1(h-a,k)และV2(h+a,k)

• โฟกสอยทF1(h-c,k)และF2(h+c,k)•แกนตามขวางยาว2aหนวยแกนสงยคยาว 2bหนวย

• เลตสเรกตมยาว2b2

aหนวย

•สมการเสนก�ากบ:y-k=± (x-h)

•สมการรปแบบมาตรฐาน:(y-k)2

a2 -(x-h)2

b2 =1

•จดศนยกลางอยท(h,k)•จดยอดอยทV1(h,k-a)และV2(h,k+a)• โฟกสอยทF1(h,k-c)และF2(h,k+c)•แกนตามขวางยาว2aหนวยแกนสงยคยาว 2bหนวย

• เลตสเรกตมยาว2b2

aหนวย

•สมการเสนก�ากบ:y-k=± (x-h)

กราฟไฮเพอรโบลาทอยในควอดรนตท 1 และ 3 กราฟไฮเพอรโบลาทอยในควอดรนตท 2 และ 4

Y

X

V1(h+P,k+P)

V2(h-P,k-P)

F1(h+2P,k+2P)

F2(h-2P,k-2P)

(h,k)

0

•สมการรปแบบทวไป:(x-h)(y-k)=P;P>0•จดศนยกลางอยท(h,k)• จดยอดอยทV1(h+P,k+P)และ V2(h-P,k-P)• โฟกสอยทF1(h+2P,k+2P)และ F2(h-2P,k-2P)

X

Y

V1(h--P,k+-P)

V2(h+-P,k--P)

F1(h--2P,k+-2P)

F2(h+-2P,k--2P)

(h,k)

0

•สมการรปแบบทวไป:(x-h)(y-k)=P;P<0•จดศนยกลางอยท(h,k)• จดยอดอยทV1(h--P,k+-P)และ V2(h+-P,k--P)

• โฟกสอยทF1(h--2P,k+-2P)และ F2(h+-2P,k--2P)

Y

X

F1(h-c,k) F2(h+c,k)

V1(h-a,k)V2(h+a,k)

(h,k)

0

Y

0 X

F2(h,k+c)

V2(h,k+a)

V1(h,k-a)

F1(h,k-c)

(h,k)

262

ควรรกอนเรยน

ทบทวนความรเดม เพอเชอมโยงเขาสเนอหาใหม

คณตนาร

เสรมความร หรอขอสงเกตทไดจากเนอหาทเรยน

Thinking Time

คาถามกระตนใหผเรยนไดคดตอยอดจากเนอหาทเรยน


ทเชอมโยงความรคณตศาสตรไปใชในชวตจรง


โดยรวมของหนวยการเรยนร เพอทบทวนความรใหแกผเรยน



ใหเขยนสมการลอการทมทก�าหนดในรปสมการเลขยกก�าลง

1) log24=2 2) log13

27=-3 3) log77=1

วธท�า 1) log24=2 เขยนในรปสมการเลขยกก�าลงได 4 = 22

2) log13

27=-3 เขยนในรปสมการเลขยกก�าลงได 27= (13)-3

3) log77=1 เขยนในรปสมการเลขยกก�าลงได 7 = 71

ใหหาคาของ

1) log5125 2) log13

181 3) log1

232

วธท�า 1) ให x = log5125 2) ให x = log13

181

จะได 5x = 125 จะได (13)x = 1

81

5x = 53 (13)x = (13)

4

x = 3 x = 4

ดงนนlog5125=3 ดงนนlog13

181=4

ใหเขยนสมการลอกาลทมทก�าหนดในรปสมการเลขยกก�าลง

1) log2128=7 2) log15625=-4

ลองทาด

✘ ✔

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇÑ§ใหเขยนสมการ(45)

-2=2516ในรปสมการลอการทม

(45)-2=2516เขยนในรปสมการลอการทมได

-2 = log2516

45

(45)-2=2516เขยนในรปสมการลอการทมได

-2 = log45

2516

110

ขอควรระวง

อธบายในสงทผเรยนมกเขาใจผดหรอคลาดเคลอน

ใหแสดงวา

1) log22=1

2) log352=2log35

3) log36=log32+log33

4) log53=log23log25

ลองทาด Thinking Time ถาloga xy=4แลวนกเรยนคดวา

loga x+logay=4หรอไม

ตวอยางท 23 ใหหาคาของ

1) log44 2) log446 3) log264

วธทา 1) จากสมบตของลอการทมlogaa=1เมอa>0และa≠1 ดงนนlog44=1

3) ให loga M = xและloga N = y

M = ax ……(1)

N = ay ……(2)

(1)×(2);MN = ax ×ay

= ax + y

logaMN = logaax + y

จะได loga MN = x + y ดงนน logaMN = logaM+loga N

4) ใหy=logN MเมอN>0และN≠ 1 จะได M = Ny

ดงนน logaM = loga Nyเมอa>0และa≠ 1

logaM = yloga N

จะได y =logaMlogaN

นนคอlogN M = logaMlogaN

114

2.จดกงกลางระหวางจดสองจด(MidpointbetweenTwoPoints)

ก�าหนดP(x,y)เปนจดกงกลางระหวางจดA(x1,y1)และจดB(x2,y2)ดงรป

X

Y

0

A(x1,y1)

B(x2,y2)

C(x2,y1)

P(x,y)

D(x,y1)

จากรปลากACขนานกบแกนXและตงฉากกบPDและBCซงขนานกบแกนYทจดD

และจดCตามล�าดบดงนนจดCมพกดเปนC(x2,y1)และจดDมพกดเปนD(x,y1) เนองจาก∆ABC∼∆APD

จะไดวา ADAC =

APAB

x-x1x2-x1

= 12

2x-2x1 = x2-x1 2x= x1+x2

ดงนน x =x1+x2

2

และ PDBC =

APAB

y-y1y2-y1

= 12

2y-2y1 = y2-y1

2y= y1+y2

ดงนน y =y1+y2

2

นนคอถาจดP(x,y)เปนจดกงกลางระหวางจดA(x1,y1)และจดB(x2,y2)แลว

x=x1+x2

2 และy=y1+y2

2


157การแบงสวนของเสนตรงออกเปนอตราสวน

ผลการเรยนร

ทสอดคลองกบเนอหาในหนวยการเรยนร

คาถามประจาหนวยการเรยนร

ทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยการเรยนร

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2 จดทาขน

สาหรบใชประกอบการเรยนการสอน ชนมธยมศกษาปท 4 โดยดาเนนการจดทาใหสอดคลองตามผลการเรยนร

ในสาระการเรยนรเพมเตม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560) ตามหลกสตรแกนกลาง

การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ทกประการ สงเสรมทกษะทจาเปนสาหรบการเรยนรในศตวรรษท 21

ทงทกษะดานการคดวเคราะห การคดอยางมวจารณญาณ การแกปญหา การคดสรางสรรค การใชเทคโนโลย

การสอสาร และการรวมมอ เพอใหผเรยนรเทาทนการเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจ สงคม วฒนธรรม และ

สภาพแวดลอม สามารถแขงขนและอยรวมกบประชาคมโลกได

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 น คณะผเรยบเรยงไดจดแบง

ออกเปน 2 เลม ดงน

หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 4หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 3

สาระการเรยนรเพมเตม

ขอบขายเนอหาในหนวยการเรยนร

สารบญ

หนวยการเรยนรท 1

หนวยการเรยนรท 2

หนวยการเรยนรท 3 ฟงกชน 2

1.1 ความสมพนธ 4

1.2 ตวผกผนของความสมพนธ 15

1.3 ฟงกชนและกราฟ 20

1.4 ฟงกชนผกผน 48

1.5 การดาเนนการของฟงกชน 53

1.6 ฟงกชนประกอบ 60

1.7 การนาความรเกยวกบเรองฟงกชน

และกราฟไปใชในการแกปญหา 66

คณตศาสตรในชวตจรง 75

สรปแนวคดหลก 76

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 79

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และฟงกชนลอการทม 80

2.1 รากท n ในระบบจานวนจรง

และจานวนจรงในรปกรณฑ 82

2.2 เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ 91

2.3 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล 98

2.4 สมการเอกซโพเนนเชยล 105

2.5 ฟงกชนลอการทม 109

2.6 การหาคาลอการทมฐานสบหรอลอการทมสามญ 119

2.7 การเปลยนฐานลอการทม 126

2.8 สมการลอการทม 129

2.9 การประยกตของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

และฟงกชนลอการทม 135




เรขาคณตวเคราะห และภาคตดกรวย 148

3.1 ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห 150

3.2 ภาคตดกรวย 192




บรรณานกรม 265

ภาคผนวก 266

คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4 เลม 2

(1) คอนดบ การเขยนคอนดบแทนความสมพนธระหวางสมาชกของเซตสองเซต จะตองมล�าดบทหนงและล�าดบทสองซงเขยนในรป (a, b) แทนคอนดบ เรยก a วา สมาชกตวหนาหรอสมาชกตวทหนงของคอนดบ และเรยก b วา สมาชกตวหลงหรอสมาชกตวทสองของคอนดบ ถาเขยนคอนดบ (b, a) หมายถง b เปนสมาชกตวหนาของคอนดบ และ a เปนสมาชกตวหลงของคอนดบ กลาวไดวา (a, b) และ (b, a) เปนคอนดบทไมเทากน ยกเวน a = b เชน คอนดบ (1, 5) และ (5, 1) คอนดบ (1, 5) มสมาชกตวหนา คอ 1 และสมาชกตวหลง คอ 5 คอนดบ (5, 1) มสมาชกตวหนา คอ 5 และสมาชกตวหลง คอ 1 การลงจดของคอนดบ (1, 5) และ (5, 1) บนระนาบ XY จะไดจด 2 จด ทไมใช

จดเดยวกน ดงรป

ฟงกชนหนวยการเรยนรท1 ¤ÇÃÃÙŒ¡‹Í¹àÃÕÂ¹

ในสวนสาธารณะแหงหนง มน�าพอย ตรงกลางสวนโดย

ความสงของน�าพสมพนธกบเวลาตามสมการ h(t) = -t2 + 3t

เมอ h แทนความสงของน�าพ มหนวยเปนเมตร และ t

แทนเวลา มหนวยเปนวนาท

¹Ñ¡àÃÕÂ¹ÊÒÁÒÃ¶¹�¤ÇÒÁÃÙŒàÃ×èÍ§

¿˜§¡�ªÑ¹ ÁÒãªŒã¹¡ÒÃËÒ¤ÇÒÁÊÙ§¢³Ð·Õè¹ é�¾ØÍÂÙ‹·Õè

¨Ø ÊÙ§ÊØ ¨Ò¡¾×é¹¹ é�ä´ŒÍÂ‹Ò§äÃ

จากกราฟ พบวา จดของคอนดบ (1, 5) และ (5, 1) อยต�าแหนงตางกน ดงนนคอนดบ (1, 5) และ (5, 1) ไมใชคอนดบเดยวกน และไมสามารถใชแทนกนได หรอ (1, 5) ≠ (5, 1)

(2) กราฟเสนตรง กราฟเสนตรง y = ax + b ถา a > 0 จะไดเสนตรงตดกบแกน X เปนมมแหลมในทศทางทวนเขมนาฬกา เชน

ถา a < 0 จะไดเสนตรงตดกบแกน X เปนมมปานในทศทางทวนเขมนาฬกา เชน

y = x - 1y = x + 3

y = -4 - xy = 2 - x

Y

(5, 1)

0

12345

1 2 3 4 5X

(1, 5)

Y

12345

0 1-5 -4 -3 -2 -1 2 3 4 5X

Y

0

12345

1-5 -4 -3 -2 -1-2-3

2 3 4 5X

Y

0

12345

1-5 -4 -3 -2 -1-1

-2-3-4-5

2 3 4 5X

Y

0

12345

1-5 -4 -3 -2 -1-1

-2-3-4-5

2 3 4 5X

-1

ผลการเรยนร• ใชฟงกชนและกราฟของฟงกชนอธบายสถานการณทก�าหนด• หาผลลพธของการบวก การลบ การคณ การหารฟงกชน หาฟงกชนประกอบและฟงกชนผกผน• ใชสมบตของฟงกชนในการแกปญหา

สาระการเรยนรเพมเตม• ฟงกชนและกราฟ • การบวก การลบ การคณ การหารฟงกชน • ฟงกชนประกอบ • ฟงกชนผกผน

ฟงกชน 3

ความสมพนธ หมายถง สงทมความเกยวของ ความเกยวพน หรอความของเกยว เชน

สมาชกในครอบครวมความสมพนธแบบเครอญาตพนอง สมาชกในองคกรมความสมพนธแบบ

ผบงคบบญชาและผใตบงคบบญชา เปนตน ส�าหรบทางคณตศาสตรจะกลาวถงความสมพนธ

ระหวางสมาชกของเซตของจ�านวนจรงสองเซต

1. ผลคณคารทเซยน(CartesianProduct) ก�าหนด A = { 5, 8 } และ B = { 2, 4, 6 }

เซตของคอนดบตอไปนมสมาชกตวหนาจากเซต A และสมาชกตวหลงจากเซต B

{ (5, 2), (5, 4), (5, 6), (8, 2), (8, 4), (8, 6) }

จะเหนวา เซตของคอนดบนใชสมาชกตวหนาจากเซต A ทกตว และใชสมาชกตวหลงจากเซต B

ทกตว เรยกเซตคอนดบนวา ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B ดงบทนยาม

1.1 ความสมพนธ(Relation)

ผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B คอ เซตของค อนดบ (a, b) ทงหมด โดยท

a เปนสมาชกของเซต A และ b เปนสมาชกของเซต B เขยนแทนดวย A × B

บทนยาม

กาหนด A และ B เปนเซตใด ๆ

1. r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r ⊂ A × B

2. r เปนความสมพนธจาก A ไป A หรอความสมพนธในเซต A กตอเมอ r ⊂ A × A

บทนยาม

จากบทนยาม สามารถเขยน A × B แทนดวย { (a, b) ∙ a∊A และ b∊B }


ก�าหนด A = { 1, 3, 5 } และ B = { 2, 4 } ใหหา A × B, B × A, A × A และ B × B

วธท�า จาก A × B = { (a, b) ∙ a∊A และ b∊B }

ดงนน A × B = { (1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4) }

จาก B × A = { (a, b) ∙ a∊B และ b∊A }

ดงนน B × A = { (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5) }

จาก A × A = { (a, b) ∙ a∊A และ b∊A }

ดงนน A × A = { (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5) }

จาก B × B = { (a, b) ∙ a∊B และ b∊B }

ดงนน B × B = { (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }

จากตวอยางท 1 จะเหนวา A × B ≠ B × A และถานกเรยนสนใจสมาชกทงหมดของผลคณ

คารทเซยน จะเหนวาจ�านวนสมาชกของ A × B เขยนแทนดวย n(A × B) เทากบจ�านวนสมาชก

ของ B × A เขยนแทนดวย n(B × A) ซงเทากบ 6 แตจ�านวนสมาชกของ A เขยนแทนดวย

n(A) เทากบ 3 และจ�านวนสมาชกของ B เขยนแทนดวย n(B) เทากบ 2 ซง n(A) × n(B) = 6

ดงนน n(A × B) = n(A) × n(B) ซงสอดคลองและเปนไปตามสมบตของผลคณคารทเซยน

ลองทาด

ก�าหนด A = { 0, 4, 8 } และ B = { -1, -2 } ใหหา A × B, B × A, A × A และ B × B

คณตนาร ส�าหรบ เซต A และเซต B ใด ๆ ทไมเปนเซตวาง จะไดวา ถา A ≠ B แลว A × B ≠ B × Aแต n(A × B) = n(B × A)

2.ความสมพนธ(Relation)

พจารณาผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B ทก�าหนดตอไปน

A = { 1, 2, 5 } และ B = { 2, 4 }

จะได A × B = { (1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (5, 2), (5, 4) }

ซงสบเซตของ A × B มไดหลายเซต เชน { (2, 2), (2, 4) }, { (1, 2), (2, 2), (5, 2) } และ

{ (1, 2), (1, 4), (2, 4), (5, 4) } เปนตน เรยกสบเซตเหลานวา ความสมพนธของผลคณคารทเซยน

ของเซต A และเซต B

ถา r1 = { (1, 2), (1, 4), (2, 4) }

r2 = { (5, 2), (5, 4) }

r3 = { (2, 2) }

พจารณาการใชสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลง ของ r1, r2, และ r3 จะเหนวา

r1 เปนความสมพนธทใชสมาชกจาก A เพยงบางตว และใชสมาชกจาก B หมดทกตว

r2 เปนความสมพนธทใชสมาชกจาก A เพยงหนงตว และใชสมาชกจาก B หมดทกตว

r3 เปนความสมพนธทใชสมาชกจาก A เพยงหนงตว และใชสมาชกจาก B เพยงหนงตว

ซงมการน�าแนวคดดงกลาว ก�าหนดเปนบทนยามของความสมพนธ ดงน

ฟงกชน4 5



ก�าหนด A = { 2, 3, 5 } และ B = { 1, 4, 7 } ใหเขยนความสมพนธทก�าหนด

แบบแจกแจงสมาชก

1) ความสมพนธนอยกวาจาก A ไป B

2) ความสมพนธรากทสองจาก A ไป B

วธท�า จาก A = { 2, 3, 5 } และ B = { 1, 4, 7 } และความสมพนธตองเปนสบเซตของ A × B

จะได A × B = { (2, 1), (2, 4), (2, 7), (3, 1), (3, 4), (3, 7), (5, 1), (5, 4), (5, 7) }

1) ก�าหนด r1 แทนความสมพนธนอยกวาจาก A ไป B ซงหมายถง สมาชกตวหนา

นอยกวาสมาชกตวหลง

ดงนน r1 = { (2, 4), (2, 7), (3, 4), (3, 7), (5, 7) }

2) ก�าหนด r2 แทนความสมพนธรากทสองจาก A ไป B ซงหมายถง สมาชกตวหนา

เปนรากทสองของสมาชกตวหลง

ดงนน r2 = { (2, 4) }

ก�าหนด A = { 1, 2, 3, …, 100 } และ B = { 1, 3, 5, …, 49 } ใหเขยนความสมพนธ

ทก�าหนดแบบแจกแจงสมาชกและแบบบอกเงอนไข

1) ความสมพนธมากกวาจาก A ไป B 2) ความสมพนธก�าลงสองจาก A ไป B

วธท�า จาก A = { 1, 2, 3, …, 100 } และ B = { 1, 3, 5, …, 49 } และความสมพนธตองเปน

สบเซตของ A × B จะได A × B = { (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), …, (100, 49) }

1) ก�าหนด r1 แทนความสมพนธมากกวาจาก A ไป B ซงหมายถง สมาชกตวหนา

มากกวาสมาชกตวหลง จะได r1 = { (2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 3), … }

ดงนน r1 = { (x, y) ∊ A × B ∙ x > y }

2) ก�าหนด r2 แทนความสมพนธก�าลงสองจาก A ไป B ซงหมายถง สมาชกตวหนา

เปนก�าลงสองของสมาชกตวหลง จะได r2 = { (1, 1), (9, 3), (25, 5), (49, 7), … }

ดงนน r2 = { (x, y) ∊ A × B ∙ x = y2 }

ลองทาด

ลองทาด

ก�าหนด A = { 1, 2, 3 } และ B = { 4, 5, 6 } ใหเขยนความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B แบบแจกแจงสมาชก

ก�าหนด A = { 1, 2, 3, …, 50 } และ B = { 2, 4, 6, …, 100 } ใหเขยนความสมพนธ “ไมนอยกวา” จาก A ไป B แบบแจกแจงสมาชกและแบบบอกเงอนไข

เนองจากความสมพนธเปนเซตของคอนดบ การเขยนความสมพนธจงเขยนไดทงแบบแจกแจง

สมาชกและแบบบอกเงอนไข ดงตวอยางตอไปน

กาหนด r เปนความสมพนธจาก A ไป B

โดเมนของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr

เรนจของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

บทนยาม

ส�าหรบการเขยนความสมพนธแบบบอกเงอนไข เมอผลคณคารทเซยนเปน R × R ไมนยม

เขยน r = { (x, y)∊R × R ∙ x + y = 5 } แตนยมเขยนเปน r = { (x, y) ∙ x + y = 5 } หรออาจเขยน

เฉพาะเงอนไขของความสมพนธ คอ x + y = 5 นอกจากนอาจเขยนแทน (x, y)∊r ดวย “x r y” ซงอานวา เอกซมความสมพนธอารกบวาย และ (x, y)∉r อาจเขยนแทนดวย “x r y” ซงอานวา

เอกซไมมความสมพนธอารกบวาย

3. โดเมนและเรนจของความสมพนธ(DomainandRangeofRelation) นกเรยนทราบมาแลววา ความสมพนธเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนของเซตใด ๆ สองเซต

จงท�าใหสมาชกตวหนาหรอสมาชกตวหลงของคอนดบในความสมพนธเปนสมาชกของเซตทงสอง

ซงหมายความวา มสมาชกบางตวในเซตทงสองทก�าหนดไมไดเปนสมาชกตวหนา หรอสมาชก

ตวหลงของความสมพนธ ดงนน การหาสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของความสมพนธแบบ

บอกเงอนไข ตองน�าสมบตเกยวกบจ�านวนจรงมาใช และไดมการใหบทนยามเกยวกบเซตของสมาชก

ตวหนาและสมาชกตวหลงในความสมพนธ ดงน

จากบทนยาม สามารถเขยน Dr แทนดวย { x ∙ x∊A, y∊B ซง (x, y)∊r } กลาวไดวา

จะตองหาคาของ x ทท�าใหมคาของ y จงตองจดความสมพนธให y อยในรปของ x และ

สามารถเขยน Rr แทนดวย { y ∙ y∊B, x∊A ซง (x, y)∊r } กลาวไดวา จะตองหาคาของ y

ทท�าใหมคาของ x ดงนน จงตองจดความสมพนธให x อยในรปของ y ซงการจดความสมพนธ

ของตวแปร y ในรปของ x และ x ในรปของ y ดงกลาวขางตน เพอใหสามารถเลอกสมบตตาง ๆ

ทเกยวของกบจ�านวนจรงมาใชไดอยางถกตองและเหมาะสม แตการหาโดเมนและเรนจของบาง

ความสมพนธไมจ�าเปนตองจด y ในรปของ x หรอ x ในรปของ y สามารถเลอกจดรปแบบใด

รปแบบหนงไดตามความเหมาะสม

ฟงกชน6 7


ให หาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r = { (-1, 1), (-2, 4), (-3, 7), (-4, 10), (-5, 13) }

วธท�า จากบทนยาม โดเมน คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r และเรนจ คอ

เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r

ดงนน Dr = { -1, -2, -3, -4, -5 }

และ Rr = { 1, 4, 7, 10, 13 }

ลองทาด

ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r = { (0, 0), (1, -1), (2, -2), (3, -3) }


ก�าหนด r = { (x, y)∊I × I ∙ 3x + 4y = 24 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r

วธท�า หาโดเมนของความสมพนธ

จาก 3x + 4y = 24 จดตวแปร y ในรปของ x

จะได y = 24 - 3x4

y = 244 - 3x4

y = 6 - 3x4

เนองจาก 3x4 ตองเปนจ�านวนเตม แสดงวา x เปนจ�านวนเตมทม 4 เปนตวประกอบ

โดยคาของ x เปนแบบรปของจ�านวนทเพมขนครงละ 4 คอ …, -8, -4, 0, 4, 8, …

ดงนน Dr = { x ∙ x∊I และม 4 เปนตวประกอบ } หรอ Dr = { …, -8, -4, 0, 4, 8, … }

หาเรนจของความสมพนธ

จาก 3x + 4y = 24 จดตวแปร x ในรปของ y

จะได x = 24 - 4y3

x = 243 - 4y

3

x = 8 - 4y3

ลองทาด

ก�าหนด r = { (x, y)∊I × I ∙ 2x + 5y = 10 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r


ก�าหนด r = { (x, y)∊R × R ∙ 3x + 4y = 24 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r


จาก 3x + 4y = 24 จดตวแปร y ในรปของ x

จะได y = 24 - 3x4

y = 244 - 3x4

y = 6 - 3x4

เนองจาก y = 6 - 3x4 จะพบวา x เปนจ�านวนจรงใด ๆ กได

ดงนน Dr = R


จาก 3x + 4y = 24 จดตวแปร x ในรปของ y

จะได x = 24 - 4y3

x = 243 - 4y

3 x = 8 - 4y3

เนองจาก x = 8 - 4y3 จะพบวา y เปนจ�านวนจรงใด ๆ กได

ดงนน Rr = R

ลองทาด

ก�าหนด r = { (x, y)∊R × R ∙ 2x + 5y = 10 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r

เนองจาก 4y3 ตองเปนจ�านวนเตม แสดงวา y เปนจ�านวนเตมทม 3 เปนตวประกอบ

โดยคาของ y เปนแบบรปของจ�านวนทเพมขนครงละ 3 คอ …, -6, -3, 0, 3, 6, …

ดงนน Rr = { y ∙ y∊I และม 3 เปนตวประกอบ } หรอ Rr = { …, -6, -3, 0, 3, 6, … }

ฟงกชน8 9



ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = ∙x∙ } ใหหาโดเมนและเรนจของ r


เนองจาก ∙x∙ เปนการก�าหนดคาสมบรณ ซงจ�านวนในคาสมบรณเปนจ�านวนจรงใด ๆ

ดงนน x∊R นนคอ Dr = { x ∙ x∊R } หรอ Dr = R


เนองจาก y = ∙x∙ และ ∙x∙ มคามากกวาหรอเทากบศนยทกจ�านวนจรง x ใด ๆ ดงนน y ≥ 0 นนคอ Rr = { y ∙ y ≥ 0 } หรอ Rr = [0, ∞)

ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = 9 - x2 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r


เนองจาก 9 - x2 เปนการก�าหนดคารากทสอง ซงจ�านวนในรากทสองตองไมเปน

จ�านวนลบ

ดงนน 9 - x2 ≥ 0

จดอสมการใหสมประสทธของ x2 เปนจ�านวนบวก

จะได 0 ≥ x2 - 9

0 ≥ (x - 3)(x + 3) หรอ (x - 3)(x + 3) ≤ 0

จากอสมการ แสดงไดบนเสนจ�านวนจรง ดงน

-3 3

ค�าตอบของอสมการ คอ { x ∙ -3 ≤ x ≤ 3 } หรอ [-3, 3]

ดงนน Dr = { x ∙ -3 ≤ x ≤ 3 } หรอ Dr = [-3, 3]


จดตวแปร x ในรปของ y ซงตองยกก�าลงสองทงสองขางของสมการ

จะได y = 9 - x2 และ y ≥ 0

y2 = 9 - x2

x2 = 9 - y2

x = ± 9 - y2

ดงนน 9 - y2 ≥ 0

จดอสมการใหสมประสทธของ y2 เปนจ�านวนบวก

จะได 0 ≥ y2 - 9 และ y ≥ 0

0 ≥ (y - 3)(y + 3)

หรอ (y - 3)(y + 3) ≤ 0 และ y ≥ 0

ลองทาด

ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = ∙2x∙ } ใหหาโดเมนและเรนจของ r


ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = 2xx - 5 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r


เนองจาก 2xx - 5 เปนเศษสวนทมตวสวนเปนพหนามก�าลงหนง

ซง x - 5 จะเปนศนยไดเมอ x = 5 แตในทน x ≠ 5 เพราะเศษสวนจะไมนยาม

เมอตวสวนเปนศนย ดงนน คาของ x เปนจ�านวนจรงใด ๆ ยกเวน 5

นนคอ Dr = { x ∙ x ≠ 5 } หรอ Dr = R - { 5 }


จาก y = 2xx - 5 จดตวแปร x ในรปของ y

จะได y(x - 5) = 2x xy - 2x = 5y

x(y - 2) = 5y

x = 5yy - 2

เนองจาก 5yy - 2 เปนเศษสวนทมตวสวนเปนพหนามก�าลงหนง

ซง y - 2 จะเปนศนยไดเมอ y = 2 แตในทน y ≠ 2 เพราะเศษสวนจะไมนยาม

เมอตวสวนเปนศนย ดงนน คาของ y เปนจ�านวนจรงใด ๆ ยกเวน 2

นนคอ Rr = { y ∙ y ≠ 2 } หรอ Rr = R - { 2 }

ลองทาด

ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = 3xx - 4 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r

ฟงกชน10 11

การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทก�าหนดดวยกราฟ

การหาโดเมน จะพจารณาตามแนวแกน X จากทางซายไปทางขวาวา เสนกราฟเรมตนจาก

จ�านวนใดไปยงจ�านวนใด

การหาเรนจ จะพจารณาตามแนวแกน Y จากดานลางขนดานบนวา เสนกราฟเรมตนจาก

จ�านวนใดไปยงจ�านวนใด

1. ก�าหนดกราฟของความสมพนธ r ดงรปY

X3

3

6

0-6 -3-3

-6

6

จากกราฟจะเหนวาเสนโคงเรมจาก x ตงแต 0 ถง 6 และเรมจาก y ตงแต -6 ถง 6

ดงนน Dr = [0, 6] และ Rr = [-6, 6]

2. ก�าหนดกราฟของความสมพนธ r ดงรป

Y

2

-4 -2 2 40

4

6

X

จากกราฟจะเหนวาเสนโคงเรมจาก x ตงแต -2 แตไมถง 2 และเรมจาก y ตงแต 0 ถง 6

ดงนน Dr = [-2, 2) และ Rr = [0, 6]

จากอสมการ แสดงไดบนเสนจ�านวนจรง ดงน

ค�าตอบของอสมการ คอ { y ∙ 0 ≤ y ≤ 3 } หรอ [0, 3]

ดงนน Rr = { y ∙ 0 ≤ y ≤ 3 } หรอ Rr = [0, 3]

ลองทาด

ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = 1 - x2 } ใหหาโดเมนและเรนจของ r

3. ก�าหนดกราฟของความสมพนธ r ดงรป

Y

X2

2

4

0-4 4-2-2

-4

พจารณาตามแนวแกน X ทางขวา เรมตนจาก 0 เสนกราฟมปลายลกศร แสดงวา x เปนจ�านวนจรงบวกทกจ�านวน และพจารณาตามแนวแกน X ทางซาย เรมตนจาก 0

เสนกราฟมปลายลกศร แสดงวา x เปนจ�านวนจรงลบทกจ�านวน

ดงนน x เปนจ�านวนจรงใด ๆ นนคอ Dr = R

พจารณาตามแนวแกน Y จะเหนวา เสนกราฟเรมจาก y ตงแต -4 และเสนกราฟ

มปลายลกศร แสดงวา y เปนจ�านวนจรงตงแต -4 ขนไป

ดงนน Rr = [-4, ∞)



1. ใหหา A × B เมอก�าหนด A และ B ตอไปน

1) A = { 0, 1 }, B = { -1 }

2) A = { -1, 0, 1 }, B = { 0, 1, 4 }

3) A = { 1, 2, 3 }, B = { a, b }

4) A = { a, b, c }, B = { -2, 0, 2 }

2. ก�าหนด A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } ใหเขยนความสมพนธทก�าหนดแบบแจกแจงสมาชก

พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

1) r1 = { (x, y) ∊ A × A ∙ x + y = 4 } 2) r2 = { (x, y) ∊ A × A ∙ x - y = 8 } 3) r3 = { (x, y) ∊ A × A ∙ x = 2 และ y > 3 }

-3 30


นกเรยนทราบมาแลววา ความสมพนธเปนสบเซตของผลคณคารทเซยน จงอาจท�าให

ความสมพนธสองเซตมสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงสลบทกนได โดยมการน�าแนวคดนมา

ก�าหนดความสมพนธเกยวกบตวผกผนของความสมพนธ ดงน

ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธทก�าหนดใหตอไปน

r1 = { (-1, 1), (-2, 4), (-3, 9) } r2 = { (1, -1), (4, -2), (9, -3) }

r3 = { (x, y) ∙ y = 3x - 1 } r4 = { (x, y) ∙ y = x + 13 } จากความสมพนธทงส จะเหนวา

• r1 และ r2 เปนการเขยนความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก ซงแตละสมาชกใน r2 เปนการ

สลบทระหวางสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของ r1 • r3 และ r4 เปนการเขยนความสมพนธแบบบอกเงอนไข ซงยงไมสามารถบอกไดวาเงอนไข

ทงสองจะท�าใหมการสลบทระหวางสมาชกตวหนา กบสมาชกตวหลงหรอไม แตสามารถตรวจสอบได

โดยน�าเงอนไขของ r4 มาจดรป ดงน

จาก y = x + 13

จะได 3y = x + 1

x = 3y - 1

เมอน�าเงอนไขของ r3 คอ y = 3x - 1 และเงอนไขของ r4 ทจดรปแลว คอ x = 3y - 1มาเปรยบเทยบกน จะเหนวามการสลบทระหวางสมาชกตวหนากบสมาชกตวหลงของ r3 และ r4จากความสมพนธทงส เรยก r2 วาเปนตวผกผนของความสมพนธ r1 และเรยก r4 วาเปน

ตวผกผนของความสมพนธ r3 ซงมการก�าหนดบทนยามตวผกผนของความสมพนธ ดงน

1.2 ตวผกผนของความสมพนธ(InverseofRelation)


3. ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน

1) r1 = { (0, 0), (1, -2), (2, -4), (3, -6), (4, -8), (5, -10) }

2) r2 = { (x, y)∊A × A ∙ y = x2 } เมอ A = { 1, 2, 3, 4 }

4. ก�าหนด A = { 0, 3 }, B = { 3, 4 } และ C = { 8, 9 } ใหเขยนเซตตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1) A × (B ∪ C)

2) A × (B ∩ C)

3) (A × B) ∪ (A × C)

4) (A × B) ∩ (A × C)

5. ใหหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน

1) r1 = { (x, y)∊I × I ∙ y = 32x - 1 }

2) r2 = { (x, y) ∙ y = x + 1x - 2 } 3) r3 = { (x, y) ∙ y = ∙ x + 5 ∙ }

4) r4 = { (x, y) ∙ y = 5x2x - 3 }

5) r5 = { (x, y) ∙ y = x2 - 4 }

6) r6 = { (x, y) ∙ y = 125 - x2

}

6. การจดขบวนพาเหรดของโรงเรยนแหงหนง จดเปนรปสเหลยมผนผา ประกอบดวยผเดน

เปนแถวตงแต 5 แถว ถง 10 แถว แตละแถวมจ�านวนคนเทากนตงแต 10 คน ถง 25 คน

ผอยรมดานนอกแตงกายสแดง ซงมทงหมด 50 คน ใหนกเรยนเขยนสมการแสดงความ

สมพนธระหวางจ�านวนแถวและจ�านวนคนทอยในแถว

ระดบทาทาย ตวผกผนของความสมพนธ r คอ ความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและ

สมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r ซงเขยนแทนดวย r-1 อานวา ตวผกผนของ r

บทนยาม

การสลบทระหวางสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในคอนดบ เพอหาตวผกผนของความสมพนธ

ในทนเขยนแทนดวย x ↔ y จากบทนยามจะไดวา โดเมนของความสมพนธจะเปนเรนจของตวผกผนของความสมพนธ

และเรนจของความสมพนธจะเปนโดเมนของตวผกผนของความสมพนธ กลาวคอ

Dr = Rr-1 และ Rr = Dr-1


การเขยนตวผกผนของความสมพนธแบบบอกเงอนไขม 2 แบบ คอ

1) ใชคอนดบ (x, y) แตตองเปลยนเงอนไขโดยสลบทระหวาง x กบ y คอ ทม x เขยน y แทน

และทม y เขยน x แทน และจดรปของเงอนไขโดยให y อยในรปของ x เชน r = { (x, y) ∙ y = x - 5 } สลบทระหวาง x กบ y เปน x = y - 5 และจด y ในรปของ x ได y = x + 5 จะได r-1 = { (x, y) ∙ y = x + 5 } 2) ใชคอนดบ (y, x) และไมตองสลบทตวแปร x และ y ในเงอนไข

เชน r = { (x, y) ∙ y = x - 5 } จะได r-1 = { (y, x) ∙ y = x - 5 }

ตวอยางท 10 ก�าหนด r = { (-2, 1), (-1, 2), (0, 3), (1, 4) } ใหหาตวผกผนของ r พรอมทงหา

โดเมนและเรนจ

วธท�า จาก r = { (-2, 1), (-1, 2), (0, 3), (1, 4) }

สลบทสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r

จะได r-1 = { (1, -2), (2, -1), (3, 0), (4, 1) }

Dr-1 = { 1, 2, 3, 4 }

Rr-1 = { -2, -1, 0, 1 }

ตวอยางท 11 ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = 2x + 3 } ใหหาตวผกผนของ r พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

วธท�า แบบท 1 ใชคอนดบ (x, y) และสลบทระหวาง x กบ y ในเงอนไข

จาก y = 2x + 3 หา r-1 โดยแทน x ↔ y จะได x = 2y + 3 แตความสมพนธนยมเขยนตวแปร y ในรปของ x จะได x - 3 = 2y

x - 32 = y

ดงนน r-1 = { (x, y) ∙ y = x - 32 } Dr-1 = R

Rr-1 = R

ลองทาด

ก�าหนด r = { (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8) } ใหหาตวผกผนของ r พรอมทงหาโดเมนและเรนจ


ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = x - 2 } ใหหาตวผกผนของ r พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

วธท�า จาก y = x - 2 เปนความสมพนธทมโดเมนเปนจ�านวนจรงทมคาตงแต 2 ขนไป

และเรนจเปนจ�านวนจรงทมคาตงแต 0 ขนไป

หา r-1 โดยแทน x ↔ y จะได x = y - 2 แสดงวา x ≥ 0

เขยนตวแปร y ในรปของ x จะตองยกก�าลงสองทงสองขางของสมการ

จะได x = y - 2

x2 = y - 2

y = x2 + 2

จะเปนความสมพนธซงมโดเมนเปนจ�านวนจรงใด ๆ และเรนจเปนจ�านวนจรงมคาตงแต

2 ขนไป จะเหนวา y = x2 + 2 เปนความสมพนธซงเกดจาก x ↔ y มเรนจ

เทากบโดเมนของ y = x - 2 แตโดเมนไมเทากบเรนจของ y = x - 2 ดงนน y = x2 + 2 และ x ≥ 0 จะท�าใหมโดเมนเทากบเรนจของ y = x - 2 นนคอ r-1 = { (x, y) ∙ y = x2 + 2 และ x ≥ 0 }

Dr-1 = [0, ∞)

Rr-1 = [2, ∞)

แบบท 2 ใชคอนดบ (y, x) และไมตองสลบทตวแปร x และ y ในเงอนไข

จาก r = { (x, y) ∙ y = 2x + 3 } ดงนน r-1 = { (y, x) ∙ y = 2x + 3 } Dr-1 = R และ Rr-1 = R

ลองทาด

ใหหาตวผกผนของความสมพนธทก�าหนด พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

1) r = { (x, y) ∙ y = 4x - 1 } 2) s = { (x, y) ∙ y = x - 5 }

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇÑ§

การหาตวผกผนของ r ทมการยกก�าลงเลขคเพอจด y ในรปของ x จะท�าใหมการขยาย

ขอบเขตของคอนดบในความสมพนธ จงตองตรวจสอบ Dr = Rr-1 และ Rr = Dr-1


ตวอยางท 13 ใหเขยนกราฟของความสมพนธและตวผกผนของความสมพนธทก�าหนด

บนระบบพกดฉากเดยวกน

1) r = { (x, y) ∙ y = 3x - 4 } 2) r = { (x, y) ∙ y ≥ 3x }

วธท�า 1) จาก r = { (x, y) ∙ y = 3x - 4 } จะได r-1 = { (x, y) ∙ x = 3y - 4 } หรอ r-1 = { (x, y) ∙ y = x + 43 } เขยนกราฟของ r และ r-1 ได ดงน

Y

r-1

r

-2

-2

-4

-6

-4-6 0 42

2

X

y = x

2) จาก r = { (x, y) ∙ y ≥ 3x } จะได r-1 = { (x, y) ∙ x ≥ 3y }

หรอ r-1 = { (x, y) ∙ y ≤ x3 }

เขยนกราฟของ r และ r-1 ได ดงนY

r-1

r

-2

-2

-4

-4 2

2

4

40 X

y = x

คณตนาร ก ร า ฟ ข อ ง ค ว า ม

สมพนธ ใด ๆ กบกราฟ

ของตวผกผนของความ

สมพนธ จะมกราฟของ

เสนตรง y = x เปนแกน

สมมาตร ซ งถ าพบรป

กราฟตามแนวเส นตรง

y = x แลวกราฟของ r และ

r-1 จะทบกนสนทพอด

ลองทาด

ใหเขยนกราฟของความสมพนธและตวผกผนของความสมพนธทก�าหนดบนระบบ พกดฉากเดยวกน

1) r = { (x, y) ∙ y = 2x - 1 } 2) r = { (x, y) ∙ y ≥ 2x }

1. ใหหาโดเมน เรนจ และตวผกผนของความสมพนธ เมอก�าหนด r ตอไปน

1) r = { (-2, 2), (-1, 1), (0, 0), (1, -1), (2, -2) }

2) r = { (3, 2), (2, 1), (1, 0), (0, -1) }

3) r = { (1, 5), (2, 6), (4, 8), (5, 10) }

4) r = { (-5, -2), (-3, 0), (-1, 2), (1, 4), … }

5) r = { …, (-3, 4), (-1, 2), (1, 0), (3, 2), … }

2. ใหหาตวผกผนของความสมพนธทก�าหนด พรอมทงหาโดเมนและเรนจของตวผกผน

ของความสมพนธดงกลาว

1) p = { (x, y) ∙ y = x + 5 } 2) q = { (x, y) ∙ y = 4x + 3 } 3) r = { (x, y) ∙ x - 4y = 3 } 4) s = { (x, y) ∙ y = 5 - 2x } 5) t = { (x, y) ∙ y = x + 1 }

3. ใหเขยนกราฟของ r และ r-1 บนระบบพกดฉากเดยวกน เมอก�าหนด r ตอไปน

1) r = { (x, y) ∊ A × A ∙ y = x + 4 }, A = { -2, -1, 0, 2, 3, 4 }

2) r = { (x, y) ∊ B × B ∙ y = x - 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3) r = { (x, y) ∊ I × I ∙ x = y2 }

4) r = { (x, y) ∙ y = 3x } 5) r = { (x, y) ∙ y > x }





ฟงกชนและกราฟ เปนแบบจ�าลองทางคณตศาสตรทน�าไปใชแกปญหาตาง ๆ ในชวตประจ�าวน

และน�าไปประยกตใชไดในหลายสาขาวชา เชน การหาคาสงสดหรอต�าสดของการเคลอนทของวตถ

การเพมขนของจ�านวนประชากร การค�านวณดอกเบยเงนฝากหรอเงนก การประกนภยหรอ

ประกนชวต เปนตน

ฟงกชนและกราฟมความเกยวของกบความสมพนธทกลาวมากอนหนานแลว กลาวคอ

ความสมพนธบางสมพนธมสมาชกตวหนาซ�ากน บางความสมพนธมสมาชกตวหลงซ�ากน หรอบาง

ความสมพนธอาจจะไมมสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงซ�ากนเลย จงไดมการน�าความสมพนธ

ทไมมการใชสมาชกตวหนาซ�ากนเลยมานยามเปนฟงกชน

1. ความหมายของฟงกชน ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธตอไปน

1.3 ฟงกชนและกราฟ(FunctionandGraph)

4

5

64

4

5

6

1

2

3

1

2

3

1

3r1 r2 r3

r1 = { (1, 4), (2, 5), (3, 6) }

r2 = { (1, 4), (2, 4), (3, 4) }

r3 = { (1, 4), (1, 5), (3, 6) }

จากแผนภาพทงสาม พบวา

• สมาชกแตละตวในโดเมนของ r1 จบคกบสมาชกแตละตวในเรนจของ r1

• สมาชกแตละตวในโดเมนของ r2 จบคกบสมาชกในเรนจของ r2 เพยงตวเดยว

• สมาชกบางตวในโดเมนของ r3 จบคกบสมาชกในเรนจของ r3 มากกวา 1 ตว

เรยก r1 และ r2 วา ความสมพนธทเปนฟงกชน และเรยก r3 วา ความสมพนธทไมเปนฟงกชน

ซงไดมการก�าหนดบทนยามความสมพนธทเปนฟงกชน ดงน

ฟงกชน คอ ความสมพนธซงสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจของความสมพนธ

เพยงตวเดยวเทานน

บทนยาม

จากบทนยาม จะนยมเขยนฟงกชนแทนดวย f และฟงกชนเปนสบเซตของความสมพนธ

โดยทส�าหรบ x, y และ z ใด ๆ ถา (x, y)∊f และ (x, z)∊f แลว y = z


ใหพจารณาความสมพนธในแตละขอตอไปนวา ความสมพนธขอใดเปนฟงกชน

และความสมพนธขอใดไมเปนฟงกชน

1) r1 = { (-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4) }

2) r2 = { (0, 0), (4, -2), (4, -1) }

3) r3 = { (a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 2) }

วธท�า 1) เนองจากคอนดบใน r1 ไมมสองคอนดบใด ใชสมาชกตวหนาซ�ากน

ดงนน r1 เปนฟงกชน

2) เนองจากคอนดบใน r2 มคอนดบสองค ใชสมาชกตวหนาซ�ากน คอ (4, -2)

และ (4, -1) ดงนน r2 ไมเปนฟงกชน

3) เนองจากคอนดบใน r3 ไมมสองคอนดบใด ใชสมาชกตวหนาซ�ากน

ดงนน r3 เปนฟงกชน

ใหพจารณาความสมพนธในแตละขอตอไปนวา ความสมพนธขอใดเปนฟงกชน และความสมพนธขอใดไมเปนฟงกชน

1) r1 = { (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4) }

2) r2 = { (0, -1), (2, -1), (4, -2), (4, -3) }

ลองทาด

สญลกษณทใชเกยวกบฟงกชน

1) ถาความสมพนธ f เปนฟงกชน และ (x, y) ∊ f เรยก f(x) วา คาของฟงกชน f ท x ซง x แทนจ�านวนจรงใด ๆ อาจอย ในรปของเอกนามหรอพหนาม เชน f(x + 4) และ

f( x3 - 1) เปนตน เขยนแทนดวย y = f(x) และอาน f(x) วา เอฟเอกซ หรอ เอฟทเอกซ

นนคอ f(x) กคอ y และ y กคอ f(x) 2) เซตของสมาชกตวหนาในฟงกชน เขยนแทนดวย Df และเซตของสมาชกตวหลง

ในฟงกชน เขยนแทนดวย Rf

3) ถา f : R → R แลว Df ⊂ R และ Rf ⊂ R

การพจารณาความสมพนธทก�าหนดดวยเงอนไขวา เปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน จะตองใช

บทนยามแลวใชสมบตการเทากน พจารณาคาของ y และ z

“ส�าหรบ x, y และ z ใด ๆ ถา (x, y)∊f และ (x, z)∊f แลว y = z”


ใหพจารณาความสมพนธในแตละขอตอไปนวา ความสมพนธขอใดเปนฟงกชน และความสมพนธขอใดไมเปนฟงกชน

1) r1 = { (x, y) ∙ y = x + 7 } 2) r2 = { (x, y) ∙ y = x2 - 1 }

ลองทาด


ใหพจารณาความสมพนธในแตละขอตอไปนวา ความสมพนธขอใดเปนฟงกชน

และความสมพนธขอใดไมเปนฟงกชน

1) r1 = { (x, y) ∙ y = x - 4 } 2) r2 = { (x, y) ∙ y = x2 + 3 }

3) r3 = { (x, y) ∙ y2 = x } 4) r4 = { (x, y) ∙ y = x }

วธท�า 1) ก�าหนด (x, y) และ (x, z) เปนคอนดบใน r1 จะไดวา y = x - 4 และ z = x - 4 ดงนน y = z

นนคอ r1 = { (x, y) ∙ y = x - 4 } เปนฟงกชน

2) ก�าหนด (x, y) และ (x, z) เปนคอนดบใน r2 จะไดวา y = x2 + 3 และ z = x2 + 3

ดงนน y = z

นนคอ r2 = { (x, y) ∙ y = x2 + 3 } เปนฟงกชน

3) ก�าหนด (x, y) และ (x, z) เปนคอนดบใน r3 จะไดวา y2 = x และ z2 = x ดงนน y2 = z2

y = z หรอ -z

แสดงวา มคา x ทท�าใหไดคา y มากกวา 1 คา

นนคอ r3 = { (x, y) ∙ y2 = x } ไมเปนฟงกชน

4) ก�าหนด (x, y) และ (x, z) เปนคอนดบใน r4 จะไดวา y = x และ z = x ดงนน y = z

นนคอ r4 = { (x, y) ∙ y = x } เปนฟงกชน


ใหพจารณาความสมพนธทก�าหนดดวยกราฟในแตละขอตอไปนวา ความสมพนธขอใด

เปนฟงกชน และความสมพนธขอใดไมเปนฟงกชน

1) Y

X0

2) Y

0 X

3) Y

X0

4) Y

0 X

วธท�า 1) Y

X0

เนองจากเสนตรงทขนานกบแกน Y ทกเสน ตดกราฟ

ของความสมพนธเพยง 1 จด เทานน

ดงนน ความสมพนธนเปนฟงกชน

การพจารณาความสมพนธทก�าหนดดวยกราฟวา เปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน จะตองใช

บทนยาม

“ส�าหรบ x, y และ z ใด ๆ ถา (x, y) ∊ f และ (x, z) ∊ f แลว y = z”

และจากบทนยาม ถาลากเสนตรงทเชอมจด (x, y) และ (x, z) จะเปนเสนตรงทขนานกบ

แกน Y ดงนน ในการพจารณาฟงกชนจากความสมพนธจงตองลากเสนตรงทขนานกบแกน Y

แลวพจารณาจ�านวนจดตดทเสนตรงนตดกบกราฟ ถามจ�านวนจดตดเพยง 1 จด ความสมพนธนน

เปนฟงกชน ถามจ�านวนจดตดมากกวา 1 จด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน ดงตวอยาง


2) Y

X0

เนองจากมเสนตรงทขนานกบแกน Y

ตดกราฟของความสมพนธมากกวา 1 จด

ดงนน ความสมพนธนไมเปนฟงกชน

3) Y

X0

เนองจากมเสนตรงทขนานกบแกน Y

ตดกราฟของความสมพนธมากกวา 1 จด

ดงนน ความสมพนธนไมเปนฟงกชน

4) Y

X0

เนองจากเสนตรงทขนานกบแกน Y ทกเสน ตดกราฟ

ของความสมพนธเพยง 1 จด เทานน

ดงนน ความสมพนธนเปนฟงกชน

ใหพจารณาความสมพนธทก�าหนดดวยกราฟในแตละขอตอไปนวา ความสมพนธขอใด เปนฟงกชน และความสมพนธขอใดไมเปนฟงกชน

1) Y

0 X

2)

ลองทาด

Y

X0

2.กราฟของฟงกชนและเทคนคการเขยนกราฟของฟงกชน การเขยนกราฟของฟงกชนบางฟงกชน นกเรยนสามารถเขยนกราฟไดสะดวกและรวดเรวขน

โดยใชการเลอนขนานจากกราฟของฟงกชนพนฐาน

กราฟของฟงกชนพนฐานทนกเรยนตองน�ามาใช เพอเขยนกราฟโดยการเลอนขนาน มดงน

ฟงกชนเอกลกษณf(x) = x หรอ y = x

ฟงกชนก�าลงสองf(x) = x2 หรอ y = x2

X X

Y Y

1 12 23 34 4

1

2

3

4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-1

-2

-3

-4

f f

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

ฟงกชนสวนกลบf(x) = 1x หรอ y = 1x

ฟงกชนคาสมบรณf(x) = ∙x∙ หรอ y = ∙x∙

X X

Y Y

1 12 23 34 4

1

2

3

4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-1

-2

-3

-4

f f

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

ฟงกชนก�าลงสามf(x) = x3 หรอ y = x3

ฟงกชนรากทสองf(x) = x หรอ y = x

X X

Y Y

1 12 23 34 4

1

2

3

4

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-1

-2

-3

-4

f

f

-1 -1-2 -2-3 -3-4 -4

0

0 0

00

0


1) การเลอนกราฟ

(1) การเลอนกราฟในแนวตง

พจารณาการเขยนกราฟของฟงกชนตอไปนบนระบบพกดฉากเดยวกน

y1 = x2, y2 = x2 + 2 และ y3 = x

2 - 3

สรางตารางเลอกคาของ x บางคา แลวหาคาของฟงกชน ดงน

x -2 -1 0 1 2

y1 = x2 4 1 0 1 4

y2 = x2 + 2 6 3 2 3 6

y3 = x2 - 3 1 -2 -3 -2 1

เขยนกราฟไดดงรป

Y

0 2-2

-2

-4

-4

2

4

4

y3 = x2 - 3

y2 = x2 + 2 y1 = x

2

X

พจารณาความสมพนธของกราฟเหลาน เมอใชกราฟ y1 = x2 เปนหลกในการอางอง จะเหนวา

กราฟ y2 = x2 + 2 และกราฟ y3 = x2 - 3 มรปรางเหมอนกนกบกราฟ y1 = x2

โดยกราฟ y2 = x2 + 2 เกดจากการเลอนกราฟ y1 = x

2 ขน 2 หนวย และกราฟ y3 = x2 - 3

เกดจากการเลอนกราฟ y1 = x2 ลง 3 หนวย

ในกรณทวไป ถานกเรยนทราบลกษณะของกราฟ y = f(x) แลว นกเรยนสามารถเขยนกราฟ

y = f(x) + k และ y = f(x) - k โดยอาศยการเลอนกราฟ y = f(x) ในแนวตง ซงสรปได ดงน

• y = f(x) + k ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ขนไปตามแนวตง k หนวย เมอ k > 0

• y = f(x) - k ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตง k หนวย เมอ k > 0

ใหเขยนกราฟของฟงกชนแตละฟงกชนตอไปนบนระบบพกดฉากเดยวกนโดยใช

กราฟพนฐาน y = ∙x∙

1) y1 = ∙x∙ + 5 2) y2 = ∙x∙ - 5

ลองทาด

(2) การเลอนกราฟในแนวนอน

พจารณาการเขยนกราฟของฟงกชนตอไปนบนระบบพกดฉากเดยวกน

y1 = x2, y2 = (x + 2)

2 และ y3 = (x - 3)2

สรางตารางเลอกคาของ x บางคา แลวหาคาของฟงกชน ดงน

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y1 = x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

y2 = (x + 2)2 4 1 0 1 4 9 16 25 36

y3 = (x - 3)2 49 36 25 16 9 4 1 0 1


ใหเขยนกราฟของฟงกชนแตละฟงกชนตอไปนบนระบบพกดฉากเดยวกน

โดยใชกราฟพนฐาน y = ∙x∙

1) y1 = ∙x∙ + 2 2) y2 = ∙x∙ - 3

วธท�า เขยนกราฟ y = ∙x∙ ซงเปนกราฟพนฐาน

กราฟ y1 = ∙x∙ + 2 ตองเลอนกราฟ y = ∙x∙

Y

20

2

y = ∙x∙

4

4

X-2-4

ขนไปตามแนวตง 2 หนวย

และกราฟ y2 = ∙x∙ - 3 ตองเลอนกราฟ y = ∙x∙

ลงไปตามแนวตง 3 หนวย

จะไดกราฟ ดงน

Y

2-2-4

-2

-4

2

4

y1 = ∙x∙ + 2

y2 = ∙x∙ - 3

y = ∙x∙

0 4 X


เขยนกราฟไดดงรป

Y

0 2

2

4

4X

-2-4

y2 = (x + 2)2

y3 = (x - 3)2

y1 = x2

พจารณาความสมพนธของกราฟเหลาน เมอใชกราฟ y1 = x2 เปนหลกในการอางอง

จะเหนวากราฟ y2 = (x + 2)2 และกราฟ y3 = (x - 3)2 มรปรางเหมอนกนกบกราฟ

y1 = x2 โดยกราฟ y2 = (x + 2)

2 เกดจากการเลอนกราฟ y1 = x2 ไปทางซาย 2 หนวย และกราฟ

y3 = (x - 3)2 เกดจากการเลอนกราฟ y1 = x

2 ไปทางขวา 3 หนวย

ในกรณทวไป ถานกเรยนทราบลกษณะของกราฟ y = f(x) แลว นกเรยนสามารถเขยนกราฟของ

y = f(x + k) และ y = f(x - k) โดยอาศยการเลอนกราฟ y = f(x) ในแนวนอน ซงสรปได ดงน

• y = f(x + k) ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ไปทางซาย k หนวย เมอ k > 0

• y = f(x - k) ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หนวย เมอ k > 0

ตวอยางท 18 ใหเขยนกราฟของฟงกชนแตละฟงกชนตอไปนบนระบบพกดฉากเดยวกน

โดยใชกราฟพนฐาน y = ∙x∙ 1) y1 = ∙x + 3∙ 2) y2 = ∙x - 2∙

วธท�า เขยนกราฟ y = ∙x∙ ซงเปนกราฟพนฐาน

กราฟ y1 = ∙x + 3∙ ตองเลอนกราฟ y = ∙x∙ y = ∙x∙

Y

2

2

4

0 4 X-2-4

ไปทางซาย 3 หนวย

และกราฟ y2 = ∙x - 2∙ ตองเลอนกราฟ y = ∙x∙ ไปทางขวา 2 หนวย

จะไดกราฟ ดงนY

2

2

4

0 4 6 8 X-2-4-6-8

y1 = ∙x + 3∙y2 = ∙x - 2∙

y = ∙x∙

ใหเขยนกราฟของฟงกชนแตละฟงกชนตอไปนบนระบบพกดฉากเดยวกนโดยใช

กราฟพนฐาน y = ∙x∙

1) y1 = ∙x + 2∙ 2) y2 = ∙x - 1∙

ลองทาด

ตวอยางท 19 ก�าหนด f = { (3, 8), (4, 9), (5, 10) } ใหหา f(3), f(4) และ f(5)

วธท�า เนองจาก (3, 8) ∊ f ดงนน f(3) = 8

(4, 9) ∊ f ดงนน f(4) = 9

(5, 10) ∊ f ดงนน f(5) = 10

ลองทาด

ก�าหนด f = { (1, 1), (2, 8), (3, 27) } ใหหา f(1), f(2) และ f(3)

ตวอยางท 20 ก�าหนด f(x) = 3x - 7 ใหหา f(0), f(-5), f(x + 4) และ f(x2 - x + 1)

วธท�า จาก f(x) = 3x - 7 f(0) เปนคาของฟงกชน เมอสมาชกตวหนาเทากบ 0

จะได f(0) = 3(0) - 7 = -7

f(-5) เปนคาของฟงกชน เมอสมาชกตวหนาเทากบ -5

จะได f(-5) = 3(-5) - 7 = -22

f(x + 4) เปนคาของฟงกชน เมอสมาชกตวหนาเทากบ x + 4 จะได f(x + 4) = 3(x + 4) - 7 = 3x + 5 f(x2 - x + 1) เปนคาของฟงกชน เมอสมาชกตวหนาเทากบ x2 - x + 1 จะได f(x2 - x + 1) = 3(x2 - x + 1) - 7 = 3x2 - 3x - 4

ลองทาด

ก�าหนด f(x) = 4x - 5 ใหหา f(1), f(-2), f(x - 2) และ f(x2 + 2x - 3)


จากตวอยางท 20 คาของฟงกชนเมอ x เปนคาคงตวใด ๆ จะไดคาของฟงกชนเปนคาคงตว

และเมอ x เปนจ�านวนในรปพหนาม จะไดคาของฟงกชนเปนจ�านวนในรปพหนามเชนกน

ซงเลขชก�าลงของพหนามจะสมพนธกบเลขชก�าลงของฟงกชนเดม ซงสามารถน�าความรนไปใช

เพอหา y = f(x) ดงตวอยาง

ตวอยางท 21 ก�าหนด f(x - 5) = x + 7 ใหหา f(x)

วธท�า วธท 1 จาก f(x - 5) = x + 7 หมายความวา เมอสมาชกตวหนาเทากบ x - 5 จะไดสมาชกตวหลงเทากบ x + 7 แสดงวา เมอแทน x ดวย x - 5 คาของฟงกชน

เทากบ x + 7 ซง x - 5 และ x + 7 เปนพหนามดกร 1 ม 2 พจน

ดงนน f(x) ทตองการจะตองเปนพหนามดกร 1 และม 2 พจน

ให f(x) = ax + b และแทน x ดวย x - 5 จะได f(x - 5) = a(x - 5) + b x + 7 = ax - 5a + b x + 7 = ax + (b - 5a) x - ax + 7 - (b - 5a) = 0

(1 - a)x + [7 - (b - 5a)] = 0

จากการเทากนของสมการ

จะได 1 - a = 0 และ 7 - (b - 5a) = 0

ดงนน a = 1

และ b - 5a = 7

b - 5(1) = 7

b = 12

ดงนน f(x) = x + 12

วธท 2 สามารถจดรป x + 7 ใหอยในรป x - 5 ไดดงน

จาก f(x - 5) = x + 7 = (x - 5) + 5 + 7 = (x - 5) + 12 แสดงวา f(x - 5) = (x - 5) + 12 ดงนน f(x) = x + 12

ลองทาด

ก�าหนด f(x - 3) = x + 8 ใหหา f(x)

วธท 3 หา f(x) โดยใชการเลอนขนานกราฟของ f(x - 5) = x + 7 จาก f(x - 5) = x + 7 เปนฟงกชนทไดจากการแทนท x ดวย x - 5 และจาก

การเขยนกราฟโดยใชการเลอนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หนวย เมอ k > 0

มรปทวไปคอ y = f(x) ให f(x - 5) = y

จะได y = x + 7 ซงจะเปนกราฟเสนตรง ทเกดจากการเลอนกราฟเสนตรง y = f(x) มา

ทางขวา 5 หนวย ดงนน เมอน�ากราฟ y = x + 7 เลอนไปทางซาย 5 หนวย

จะไดกราฟเสนตรง y = f(x) นนคอ การหา f(x) ซงก�าหนด f(x - 5) = x + 7 อาศยการเลอนกราฟในแนวนอนทเปนการยอนกลบทศทาง

Y

X

y = f(x)y = f(x - 5)

20

2468

4 6 8 10

1012141618

12 14 16-2-2-6-8

-4-6

(-7, 0)

(0, 7)

(0, 12)

(-12, 0)-8-10-12-14

กราฟเสนตรงมรปทวไป คอ f(x) = ax + b หาคา a และ b โดยเลอกคอนดบ

สองคบนเสนตรง y = f(x) ในทนเลอกคอนดบ (-12, 0) และ (0, 12) แทนคา

ใน f(x) = ax + b เลอกคอนดบ (-12, 0) แทนคาใน f(x) = ax + b จะได -12a + b = 0 …..(1)

และคอนดบ (0, 12) แทนคาใน f(x) = ax + b จะได b = 12 …..(2)

จาก (1) และ (2) จะได a = 1 และ b = 12

ดงนน f(x) = x + 12


ลองทาด

ก�าหนด f(2x + 1) = 16x2 + 10x - 3 ใหหา f(x)


ก�าหนด f(3x - 1) = 18x2 - 15x + 4 ใหหา f(x)

วธท�า เนองจากแทน x ดวยพหนามก�าลงหนง คอ 3x - 1 แลวท�าใหไดคาของฟงกชนเปน

พหนามก�าลงสองม 3 พจน แสดงวา f(x) ตองเปนพหนามก�าลงสองม 3 พจนดวย

วธท 1 ให f(x) = ax2 + bx + c f(3x - 1) = a(3x - 1)2 + b(3x - 1) + c 18x2 - 15x + 4 = 9ax2 - 6ax + a + 3bx - b + c 18x2 - 15x + 4 = 9ax2 - (6ax - 3bx) + (a - b + c) 18x2 - 15x + 4 = 9ax2 - 3x(2a - b) + (a - b + c) (18 - 9a)x2 - (15 + 3b - 6a)x + (4 - a + b - c) = 0 จากการเทากนของสมการ จะไดวา

18 - 9a = 0 ดงนน a = 2

15 + 3b - 6a = 0 ดงนน b = -1

4 - a + b - c = 0 ดงนน c = 1

ดงนน f(x) = 2x2 - x + 1

วธท 2 สามารถจดรป 18x2 - 15x + 4 ใหอยในรปของ 3x - 1 ไดดงน

เนองจาก 18x2 - 15x + 4 เปนพหนามก�าลงสอง

และ (3x - 1)2 = 9x2 - 6x + 1 จาก f(3x - 1) = 18x2 - 15x + 4 จะได f(3x - 1) = (9x2 - 6x + 1) + (9x2 - 6x + 1) - 3x + 2 = (3x - 1)2 + (3x - 1)2 - (3x - 2) = 2(3x - 1)2 - (3x - 1) + 1 แสดงวา f(3x - 1) = 2(3x - 1)2 - (3x - 1) + 1 ดงนน f(x) = 2x2 - x + 1

วธท 3 จาก f(3x - 1) = 18x2 - 15x + 4 ให 3x - 1 = a

จะได x = a + 13

3. ฟงกชนจากเซตหนงไปอกเซตหนง ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { -1, -2, -3, -4 } พจารณาฟงกชนทก�าหนดดวยแผนภาพ

ตอไปน

A A AB B B

-1

-2

-3

-4

-1

-2

-3

-4

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4f1 f2 f3

จากแผนภาพทงสาม จะเหนวา

• f1 และ f2 เปนฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของเซต A และมเรนจเปนสบเซตของเซต B

• f3 เปนฟงกชนทมโดเมน คอ เซต A และมเรนจเปนสบเซตของเซต B

เรยก f3 วา ฟงกชนจาก A ไป B (Function from A into B) ซงไดมการก�าหนดบทนยาม

ของฟงกชนจาก A ไป B ดงน

f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนทมเซต A เปนโดเมนและมเรนจเปน

สบเซตของเซต B ซงเขยนแทนดวย f : A B

บทนยาม

ดงนน f(a) = 18 (a + 13 )2 - 15 (a + 13 ) + 4

= 2(a2 + 2a + 1) - 5(a + 1) + 4

= 2a2 + 4a + 2 - 5a - 5 + 4

= 2a2 - a + 1

นนคอ f(x) = 2x2 - x + 1


ก�าหนด A = { 4, 5, 6, 7 }, B = { 0, 1, 2 } และ f1, f2 ดงแผนภาพ

1) 2)

ลองทาด

A B

4567

012

f1

A B

-1-2-3

4567

f2

ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4 } และ B = { -1, -2, -3, -4 } พจารณาฟงกชนทก�าหนดดวยแผนภาพ

ตอไปนA B

-1-2-3-4

1234

f1

A B

-1-2-3-4

1234

f3

A B

-1-2-3-4

1234

f2

f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนทมเซต A เปนโดเมนและมเซต B เปนเรนจ

ซงเขยนแทนดวย f : A Bทวถง

บทนยาม

จากแผนภาพ จะเหนวา

• f1 เปนฟงกชนทมโดเมน คอ เซต A และมเรนจเปนสบเซตของเซต B

• f2 และ f3 เปนฟงกชนทมโดเมน คอ เซต A และมเรนจ คอ เซต B

จะเหนวา f1 เปนฟงกชนจาก A ไป B และเรยก f2 และ f3 วา ฟงกชนจาก A ไปทวถง B

(Function from A onto B) ซงไดมการก�าหนดบทนยามของฟงกชนจาก A ไปทวถง B ดงน

ใหพจารณาวาแผนภาพใดเปนฟงกชนจาก A ไป B


ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4 }, B = { -1, -2, -3 } และ f1, f2 และ f3 ดงแผนภาพ

1) A B

-1

-2

-3

1

2

3

4f1

2) A B

-1

-2

-3

1

2

3

4f2

3) A B

-1

-2

-3

1

2

3

4f3

ใหพจารณาวาแผนภาพใดเปนฟงกชนจาก A ไป B

วธท�า 1) จากแผนภาพ จะเหนวา โดเมนของ f1 เปนสบเซตของเซต A

ดงนน f1 ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B แตเปนฟงกชน จาก { 1, 2, 4 } ไป B

2) จากแผนภาพ จะเหนวา โดเมนของ f2 เทากบเซต A และเรนจของ f2 เทากบเซต B

ดงนน f2 เปนฟงกชนจาก A ไป B

3) จากแผนภาพ จะเหนวา โดเมนของ f3 เทากบเซต A และเรนจของ f3 เปนสบเซต

ของเซต B

ดงนน f3 เปนฟงกชนจาก A ไป B พจารณาฟงกชนทก�าหนดดวยแผนภาพตอไปน

A B

-1

-2

-3

-4

1

2

3

f1

A B

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4f2

จากแผนภาพ จะเหนวา f1 เปนฟงกชนจาก A ไป B และ f2 เปนฟงกชนจาก A

ไปทวถง B แต f1 และ f2 เปนการจบคสมาชกตวหนาหนงตวกบสมาชกตวหลงหนงตว จงเรยก

f1 และ f2 วา ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B (One - to - One Function from A into B)

ซงไดมการก�าหนดบทนยามของฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B ดงน

f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B

สาหรบ x1, x

2 ใด ๆ ในเซต A ถา f(x

1) = f(x

2) แลว x

1 = x

2 ซงเขยนแทนดวย f : A B1 - 1

บทนยาม

และเรยก f2 วา เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B (One - to - One Function

from A onto B) ซงเขยนแทนดวย f : A Bทวถง

1 - 1



ใหพจารณาวาฟงกชนทก�าหนดตอไปน ฟงกชนใดเปนฟงกชนหนงตอหนง

1) f = { (x, y) ∙ y = x + 2 } 2) g = { (x, y) ∙ y = x2 }

3) h = { (x, y) ∙ y = ∙x∙ }

วธท�า 1) จาก f = { (x, y) ∙ y = x + 2 } พจารณา y = x + 2 หรอ f(x) = x + 2 ถา f(x1) = f(x2) จะได x1 + 2 = x2 + 2

ดงนน x1 = x2

นนคอ f = { (x, y) ∙ y = x + 2 } เปนฟงกชนหนงตอหนง

2) จาก g = { (x, y) ∙ y = x2 }

พจารณา y = x2 หรอ f(x) = x2

ถา g(x1) = g(x2) จะได x12 = x2

2

ดงนน x1 = x2 หรอ x1 = -x2

จะเหนวา มกรณท x1 ≠ x2 แตท�าให g(x1) = g(x2)

นนคอ g = { (x, y) ∙ y = x2 } ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

3) จาก h = { (x, y) ∙ y = ∙x∙ }

พจารณา y = ∙x∙ หรอ f(x) = ∙x∙

ถา h(x1) = h(x2) จะได ∙x1∙ = ∙x2∙

ดงนน x1 = x2 หรอ x1 = -x2

จะเหนวา มกรณท x1 ≠ x2 แตท�าให h(x1) = h(x2)

นนคอ h = { (x, y) ∙ y = ∙x∙ } ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

ใหพจารณาวาฟงกชนทก�าหนดตอไปน ฟงกชนใดเปนฟงกชนหนงตอหนง

1) f = { (x, y) ∙ y = x - 5 }2) g = { (x, y) ∙ y = x2 + 1 }

3) h = { (x, y) ∙ y = ∙x∙ - 2 }

ลองทาด

ในการพจารณาวา ฟงกชนทก�าหนดดวยกราฟ เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไมเปนฟงกชน

หนงตอหนง จะใชบทนยาม “f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก

A ไป B ส�าหรบ x1, x2 ใด ๆ ในเซต A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2” ซงแสดงวา คาของ x หนงคา

จะท�าใหมคาของ f(x) ไดเพยงหนงคา ดงนนการพจารณาฟงกชนหนงตอหนง จงลากเสนตรง

ทขนานกบแกน X แลวพจารณาจ�านวนจดตดทเสนตรงนตดกบเสนกราฟ ถามจดตดเพยง 1 จด

ฟงกชนนนเปนฟงกชนหนงตอหนง ถามจ�านวนจดตดมากกวา 1 จด ฟงกชนนนไมเปนฟงกชน

หนงตอหนง ดงตวอยาง


ใหพจารณากราฟของฟงกชนในแตละขอตอไปนวา ฟงกชนขอใดเปนฟงกชน

หนงตอหนงและฟงกชนขอใดไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

1) Y

0

f

X

2) Y

0

g

X

วธท�า 1) Y

X0

f

เนองจากไมมเสนตรงใดทลากขนานกบแกน X

แลวตดเสนกราฟมากกวา 1 จด

ดงนน f เปนฟงกชนหนงตอหนง

2)

X

Y

0

g

เนองจากมเสนตรงทลากขนานกบแกน X

แลวตดเสนกราฟมากกวา 1 จด

ดงนน g ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง


ใหพจารณากราฟของฟงกชนในแตละขอตอไปนวา ฟงกชนขอใดเปนฟงกชนหนงตอหนงและฟงกชนขอใดไมเปนฟงกชนหนงตอหนง

1)

0 X

Yf

2)

0-1 1 X

Y

ลองทาด

g

แบบฝกทกษะ 1.3 ก


1. ใหตรวจสอบวาความสมพนธทก�าหนดดวยแผนภาพหรอกราฟในแตละขอตอไปน เปนฟงกชน

หรอไมเปนฟงกชน และถาเปนฟงกชนเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม

1) A B

01

-101

2) A B

4567

123

3) Y

X0

4) Y

X0

2. ใหตรวจสอบวาความสมพนธทก�าหนดในแตละขอตอไปน เปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน

และถาเปนฟงกชนเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม เพราะเหตใด

1) { (a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3) } 2) { (m, -1), (n, -2), (r, -3), (s, -3) }

3. ใหเขยนกราฟของฟงกชนแตละฟงกชนตอไปนบนระบบพกดฉากเดยวกน โดยใชเทคนค

การเลอนกราฟ

1) y1 = 2x, y2 = 2x + 2 และ y3 = 2x - 3 2) y1 = -x

2, y2 = -x2 + 2 และ y3 = -x

2 - 2


4. ใหเขยนกราฟและสมการของกราฟทไดในขนสดทายจากการเลอนขนานตามทก�าหนดตอไปน

และเขยนฟงกชนทได

1) y = x2 เลอนกราฟขนไปตามแนวตง 2 หนวย แลวเลอนไปทางขวาอก 4 หนวย

2) y = ∙x∙ เลอนกราฟไปทางซาย 2 หนวย แลวเลอนกราฟขนไปตามแนวตงอก 3 หนวย

5. ใหตรวจสอบวาความสมพนธทก�าหนดในแตละขอตอไปน เปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน

และถาเปนฟงกชนจะเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม เพราะเหตใด

1) r1 = { (x, y) ∊ A × A ∙ y = x + 3 }, A = { -2, -1, 0, 1, 2 }

2) r2 = { (x, y) ∙ y = 3 เมอ x ≤ 0 และ y = -3 เมอ x ≥ 0 }

3) r3 = { (x, y) ∙ y = 2x + 1 } 4) r4 = { (x, y) ∙ y = x

2 + x } 5) r5 = { (x, y) ∙ y = x + 3 } 6) r6 = { (x, y) ∙ y = ∙x - 1∙ }

6. ก�าหนด f(x) = x2 - 2x + 1 ใหตรวจสอบวา

1) f(2 + 5) และ f(2) + f(5) เทากนหรอไม

2) f(2 × 5) และ f(2) × f(5) เทากนหรอไม

7. ก�าหนด f(x + 3) = x - 8 ใหหา f(-5), f(x - 1), f(2x + 5) และ f(a)

8. ก�าหนด f(4x - 1) = x2 + 3x ใหหา f(7), f(-5) และ f(x)

9. ก�าหนด f(x) = x2 - 1 และโดเมนของ f คอ { x ∙ -3 < x < 2 } ใหหาเรนจของ f

10. ก�าหนด g(x) = 4 - x2 และโดเมนของ g คอ { x ∙ -5 < x < 3 } ใหหาเรนจของ g

11. ก�าหนด A = { 1, 2, 3 }, B = { a, b, c }

f1 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3) }

f2 = { (1, a), (2, c), (3, b) }

f3 = { (1, a), (2, a), (3, a) }

f4 = { (a, 3), (b, 2), (c, 2) }

f5 = { (a, 1), (b, 3), (c, 2) }

f6 = { (a, a), (b, b), (c, a) }

ใหพจารณาวาฟงกชนทก�าหนดฟงกชนใดเปน

1) ฟงกชนจาก A ไป B

3) ฟงกชนจาก A ไปทวถง B

5) ฟงกชนจาก B ไป B

7) ฟงกชนหนงตอหนง

2) ฟงกชนจาก B ไป A

4) ฟงกชนจาก B ไปทวถง A

6) ฟงกชนจาก A ไปทวถง A

8) ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B


4. ฟงกชนเพม(IncreasingFunction)และฟงกชนลด(DecreasingFunction)

นกเรยนไดศกษาการหาคาของฟงกชนมาแลว จะเหนวา เมอคาของ x เปลยนไป จะท�าให

คาของฟงกชนบางฟงกชนเปลยนแปลงได แตบางฟงกชนคาของฟงกชนไมเปลยนแปลง

ตวอยางเชน

1) f(x) = -7 เมอคาของ x เปลยนไป จะท�าใหคาของฟงกชนเทากบ -7 เสมอ

2) f(x) = 2x + 3 เมอคาของ x เปลยนไป จะท�าใหคาของฟงกชนเปลยนแปลง

เชน x = 1 ท�าให f(1) = 5 และ x = 2 ท�าให f(2) = 7 เปนตน

3) f(x) = 2 - 3x เมอคาของ x เปลยนไป จะท�าใหคาของฟงกชนเปลยนแปลง

เชน x = 2 ท�าให f(2) = -4 และ x = 4 ท�าให f(4) = -10 เปนตน

จากฟงกชนทยกตวอยาง จะเหนวา บางฟงกชนเมอคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของ

ฟงกชนเพมขนดวย แตบางฟงกชนเมอคาของ x เพมขนกลบท�าใหคาของฟงกชนลดลง

พจารณาคาของฟงกชนจากกราฟของฟงกชนทก�าหนดตอไปน

1)

f(x) = 2x + 3

Y

2

2

4

0-2

-2

-4

-4 4X

รปท 1

จากกราฟ จะเหนวา เมอ x เปนจ�านวนจรงใด ๆ และคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของฟงกชน

เพมขน และเมอ x เปนจ�านวนจรงใด ๆ และคาของ x ลดลง จะท�าใหคาของฟงกชนลดลง

หรอกลาวไดวา เมอคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของฟงกชนเพมขน และเมอคาของ x ลดลง จะท�าใหคาของฟงกชนลดลง เรยกฟงกชนลกษณะนวา ฟงกชนเพม เมอ x∊R

Y

2

2

4

0-2

-2

-4

-4 4X

รปท 2

f(x) = -3x + 4 2)

จากกราฟ จะเหนวา เมอ x เปนจ�านวนจรงใด ๆ และคาของ x เพมขนจะท�าใหคาของฟงกชน

ลดลง และเมอ x เปนจ�านวนจรงใด ๆ และคาของ x ลดลง จะท�าใหคาของฟงกชนเพมขนหรอ

กลาวไดวา เมอคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของฟงกชนลดลง และเมอคาของ x ลดลง จะท�าให

คาของฟงกชนเพมขน เรยกฟงกชนลกษณะนวา ฟงกชนลด เมอ x∊R

3)

2

2

4

6

Y

8

0-2-4 4X

รปท 3

f(x) = x2 + 2

จากกราฟ จะเหนวา เมอ x ≥ 0 และคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของฟงกชนเพมขนดวย

หรอกลาวไดวา เมอคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของฟงกชนเพมขน เรยกวา เปนฟงกชนเพม

เมอ x ≥ 0 แตเมอ x < 0 และคาของ x ลดลง จะท�าใหคาของฟงกชนเพมขน หรอกลาวไดวา

เมอคาของ x ลดลง จะท�าใหคาของฟงกชนเพมขน เรยกวา เปนฟงกชนลด เมอ x < 0

กลาวโดยสรปจากกราฟรปท 1 ฟงกชน f(x) = 2x + 3 เปนฟงกชนเพม เมอ x∊R กราฟรปท 2

ฟงกชน f(x) = -3x + 4 เปนฟงกชนลด เมอ x∊R แตกราฟรปท 3 ฟงกชน f(x) = x2 + 2

เปนฟงกชนเพม เมอ x ≥ 0 และเปนฟงกชนลด เมอ x < 0 ซงนกเรยนจะเหนวา บางฟงกชน

เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดเพยงอยางเดยวเทานน แตบางฟงกชนเปนไดทงฟงกชนเพมและ

ฟงกชนลด ฟงกชน40 41

ดงนน ฟงกชนทก�าหนดเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดตองพจารณาจากการเปลยนแปลง

คาของ x และคาของฟงกชนตามชวงของโดเมน ดงน

1. เปนฟงกชนเพม เมอคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของฟงกชนเพมขน หรอเมอคาของ

x ลดลง จะท�าใหคาของฟงกชนลดลง

2. เปนฟงกชนลด เมอคาของ x เพมขน จะท�าใหคาของฟงกชนลดลง หรอเมอคาของ x ลดลงจะท�าใหคาของฟงกชนเพมขน

พจารณาฟงกชนเพมและฟงกชนลดในกรณทวไป

ให f เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง และ A เปนสบเซตของโดเมน

โดยม x1 และ x

2 เปนสมาชกใด ๆ ในชวง A

1. f เปนฟงกชนเพมในชวง A กตอเมอ ถา x1 < x

2 แลว f(x

1) < f(x

2)

2. f เปนฟงกชนลดในชวง A กตอเมอ ถา x1 < x

2 แลว f(x

1) > f(x

2)

บทนยาม

Y

X

y = f(x)

x1x20

(x2, f(x2))

(x1, f(x1))

รปท 4

จากกราฟ จะเหนวาเมอ x < x1 และ f(x) < f(x1) กลาวไดวาคาของ x และคาของฟงกชน

มความสมพนธในทศทางเดยวกน นนคอ y = f(x) เปนฟงกชนเพม เมอ x < x1

เมอคาของ x เพมขนโดย x1 < x < x2 และ f(x1) > f(x2) กลาวไดวาคาของ x และคาของฟงกชนมความสมพนธในทศทางตรงขามกน ดงนน y = f(x) เปนฟงกชนลด เมอ x1 < x < x2

และเมอ x > x2 และ f(x) > f(x2) กลาวไดวาคาของ x และคาของฟงกชนมความสมพนธ

ในทศทางเดยวกน ดงนน y = f(x) เปนฟงกชนเพม เมอ x > x2

จากกราฟในรปท 4 นกเรยนจะเหนวา y = f(x) เปนฟงกชนเพม เมอ x < x1 และ x > x2

แตเปนฟงกชนลด เมอ x1 < x < x2 ซงเปนไปตามบทนยามของฟงกชนเพมและฟงกชนลด ดงน


ก�าหนดกราฟของฟงกชน f ใหระบชวงท f เปนฟงกชนเพมและชวงท f เปนฟงกชนลด

วธท�า จากกราฟ จะเหนวาเมอ x < -1 คาของฟงกชนเพมขน เมอ x > 13 คาของฟงกชนเพมขน

และเมอ -1 < x < 13 คาของฟงกชนลดลง

ดงนน f เปนฟงกชนเพม เมอ x∊(-∞, -1) และ x∊(13, ∞) และ f เปนฟงกชนลด

เมอ x∊(-1, 13)

ตวอยางท 27 ใหพจารณาวาฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนเซตทก�าหนด

1) f(x) = 5 - 2x ในเซต R

2) g(x) = x3 + 1 ในเซต R

3) h(x) = x2 - 6x + 13 ในชวง (-∞, 3) และในชวง (3, ∞)

4) s(x) = 3x ในชวง (-∞, 0) และในชวง (0, ∞)

ก�าหนดกราฟของฟงกชน f ใหระบชวงท f เปนฟงกชนเพมและชวงท f เปนฟงกชนลด

ลองทาด

Y

X-1-1

-2

10

1

2

3

2 3-2-3

จากบทนยาม เมอกลาวถงฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด ตองก�าหนดเซตหรอชวงซงเปนสบเซต

ของโดเมน แตฟงกชนทเปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดเพยงอยางเดยว (Monotone Function)

ทกฟงกชน x∊R ไมนยมก�าหนดเซตหรอชวง เชน f(x) = x + 5 เปนฟงกชนเพม และ f(x) = 2 - x เปนฟงกชนลด

(-1, 2)

(13, 2227)

Y

X-1

-1

10

1

2

2-2

(1, 2)

(0, 1)


วธท�า 1) จาก f(x) = 5 - 2x ก�าหนด x1, x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ซง x1 < x2

จะได -2x1 > -2x2

5 - 2x1 > 5 - 2x2

ดงนน f(x1) > f(x2)

นนคอ f เปนฟงกชนลดในเซต R

2) จาก g(x) = x3 + 1

ก�าหนด x1, x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ซง x1 < x2

จะได x13 < x2

3

x13 + 1 < x2

3 + 1

ดงนน g(x1) < g(x2)

นนคอ g เปนฟงกชนเพมในเซต R

3) จาก h(x) = x2 - 6x + 13 จะได h(x) = x2 - 6x + 9 + 4 h(x) = (x - 3)2 + 4 ก�าหนด x1, x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ในชวง (-∞, 3) ซง x1 < x2 < 3

แสดงวา x1 และ x2 ตองนอยกวา 3 ท�าให x1 - 3 และ x2 - 3 เปนจ�านวนลบ

จะได x1 - 3 < x2 - 3 < 3 - 3

x1 - 3 < x2 - 3 < 0

(x1 - 3)2 > (x2 - 3)

2

(x1 - 3)2 + 4 > (x2 - 3)

2 + 4

ดงนน h(x1) > h(x2)

นนคอ h เปนฟงกชนลดในชวง (-∞, 3)

ก�าหนด x1, x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ในชวง (3, ∞) ซง 3 < x1 < x2

แสดงวา x1 และ x2 ตองมากกวา 3

จะได 3 - 3 < x1 - 3 < x2 - 3

0 < x1 - 3 < x2 - 3

(x1 - 3)2 < (x2 - 3)

2

(x1 - 3)2 + 4 < (x2 - 3)

2 + 4

ดงนน h(x1) < h(x2)

นนคอ h เปนฟงกชนเพมในชวง (3, ∞)

4) จาก s(x) = 3x ก�าหนด x1, x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ในชวง (-∞, 0) ซง x1 < x2 < 0

แสดงวา x1 และ x2 เปนจ�านวนลบ

จะได x1 < x2 < 0

3x1 < 3x2 < 0

3x1x1x2

< 3x2x1x2

เมอ x1x2 > 0

3x2

< 3x1

3x1

> 3x2

ดงนน s(x1) > s(x2)

นนคอ s เปนฟงกชนลดในชวง (-∞, 0)

ก�าหนด x1, x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ในชวง (0, ∞) ซง x1 > x2 > 0

แสดงวา x1 และ x2 เปนจ�านวนบวก

จะได x1 > x2 > 0

3x1 > 3x2 > 0

3x1x1x2

> 3x2x1x2

เมอ x1x2 > 0

3x2

> 3x1

3x1

< 3x2

ดงนน s(x1) < s(x2)

นนคอ s เปนฟงกชนลดในชวง (0, ∞)

ดงนน s จงเปนฟงกชนลดในชวง (-∞, 0) ∪ (0, ∞)

จากตวอยางท 27 ฟงกชน s ม Ds = R - { 0 } แตการพจารณาฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด

จะแยกพจารณา 2 ชวง คอ (-∞, 0) และ (0, ∞) ซงไดผลสรปวา s เปนฟงกชนลดทงสองชวง

แตจะไมสรปวา s เปนฟงกชนลดในชวง R - { 0 } ทงนเพราะวามคาของ x บางคเกดขอขดแยง

กบบทนยามฟงกชนเพมหรอฟงกชนลด เชน x = -3 และ 1 ซง -3 < 1 แต s(-3) = 3-3 = -1

และ s(1) = 31 = 3 ซง s(-3) < s(1) ซงจะใหผลสรปวา s เปนฟงกชนเพม

ใหพจารณาวาฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนเซตทก�าหนด1) f(x) = 4 - 3x ในเซต R 2) g(x) = 1x ในชวง (-∞, 0) และชวง (0, ∞)

ลองทาด


5.ฟงกชนพหนาม(PolynomialFunction) ฟงกชนพหนาม หมายถง ฟงกชนทอยในรป f(x) = anx

n + an - 1xn - 1 + an - 2x

n - 2 + …

+ a2x2 + a1x + 0 ซง an, an - 2, …, a2, a1, a0 เปนคาคงตว และ n เปนจ�านวนเตมทมากกวา

หรอเทากบศนย

พจารณาฟงกชนตอไปน

f(x) = x2 + x - 6 f(x) = 3x - 4 f(x) = x3 + 3x2 - x + 1 f(x) = 8 f(x) = x4 + 1

จะเหนวา ทกฟงกชนเขยนในรปพหนามส�าเรจรปในการบวกเอกนาม ซงมเลขชก�าลงเปน

จ�านวนเตมบวกจงเปนฟงกชนพหนาม

1) ฟงกชนเชงเสน (Linear Function)

ฟงกชนเชงเสน หมายถง ฟงกชนทอยในรป f(x) = a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn

ซงในระดบชนนจะพจารณาฟงกชนทเขยนอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจ�านวนจรง

และ a ≠ 0 ซงมกราฟเปนเสนตรง ดงรป

ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a = 0 จะได f(x) = b เรยกฟงกชนนวา

ฟงกชนคงตว (Constant Function) ซงมกราฟเปนเสนตรงทขนานกบแกน X ดงรป

f(x) = 3

f(x) = -2

Y

2

2

4

6

-2-2

-4

-6

-4-6-8-10-12-14 4 6 8 10 12 14 16X0

2

f(x) = -1 - x

f(x) = 3x + 4

2

4

6

Y

X-2

-2

-4

-6

-4-6-8-10-12-14 4 6 8 10 12 140

2) ฟงกชนก�าลงสอง (Quadratic Function)

ฟงกชนก�าลงสอง หมายถง ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b และ c

เปนจ�านวนจรงใด ๆ และ a ≠ 0 ซงมกราฟเปนเสนโคงหงายและคว�า ดงรป

จากรปจะเหนวา เมอ a > 0 กราฟของฟงกชนก�าลงสองจะเปนเสนโคงหงายขน และ

เมอ a < 0 กราฟของฟงกชนก�าลงสองจะเปนเสนโคงคว�าลง

1. จากกราฟของฟงกชนทก�าหนดในแตละขอ ใหหาคาของ x ทท�าใหเปนฟงกชนเพมและหาคา

ของ x ทท�าใหเปนฟงกชนลด

1) 2) 3)

แบบฝกทกษะ 1.3 ข



2. จากกราฟของฟงกชนทก�าหนดในแตละขอ ใหหาคาของ x ทท�าใหเปนฟงกชนเพมและ

หาคาของ x ทท�าใหเปนฟงกชนลด

1) 2)

3. ใหพจารณาวาฟงกชนในแตละขอ เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนเซตทก�าหนด

1) f(x) = 4x + 1 ในเซต (-∞, 0) 2) f(x) = x2 + 4x + 5 ในเซต (-∞, -2)

3) f(x) = ∙x - 7∙ ในเซต (8, 15) 4) f(x) = 1x ในเซต (-∞, 0)

Y

0

-5

-5

5

5 X

Y

50

5

X-5

-5

Y

0

4

4X X

Y

-3

-3

3

3

Y

50-5

4

X

y = x2

y = -x2 + 5

108642

-10 -8 -6 -4 -2 2 64 8 10

-10 -8 -6 -4 -2

-6-4-2 10860 42

246

0

Y Y

X

X


นกเรยนไดศกษาการหาตวผกผนของความสมพนธ และทราบแลววาฟงกชนเปนสบเซต

ของความสมพนธ ดงนน การหาฟงกชนผกผนใชวธการเดยวกบการหาตวผกผนของความสมพนธ

พจารณาฟงกชนและตวผกผนของฟงกชน f และ g ทก�าหนด

f = { (1, 5), (3, 9), (6, 4) }

ตวผกผนของฟงกชน f คอ { (5, 1), (9, 3), (4, 6) }

g = { (1, 5), (2, 4), (3, 4) }

ตวผกผนของฟงกชน g คอ { (5, 1), (4, 2), (4, 3) }

จะพบวาตวผกผนของฟงกชน f เปนฟงกชน แตตวผกผนของฟงกชน g ไมเปนฟงกชน

1.4 ฟงกชนผกผน(InverseFunction)

กาหนด f เปนฟงกชน

f มฟงกชนผกผน กตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนง

ทฤษฎบท 1

ตวผกผนของฟงกชน f คอ ความสมพนธทเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชก

ตวหลงแตละคอนดบ ตวผกผนของฟงกชนทเปนฟงกชน เรยกวา ฟงกชนผกผน

บทนยาม

ฟงกชนทเปนฟงกชนผกผนตองเปนฟงกชนหนงตอหนง

จากทฤษฎบท 1 ฟงกชนทเปนฟงกชนผกผน f เขยนแทนดวย f-1 เมอใชรปแบบของประพจน

ทสมมลกนของ p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) จะไดวาถา f-1 เปนฟงกชนแลว f เปนฟงกชน 1-1

และถา f เปนฟงกชน 1-1 แลว f-1 เปนฟงกชน

การตรวจสอบวาตวผกผนของฟงกชน f เปนฟงกชน ม 2 วธ คอ

วธท 1 ใชบทนยามของฟงกชน

ให (x, y) ∊ f-1 และ (x, z) ∊ f-1

แลวแสดงใหเหนวา y = z

วธท 2 ใชทฤษฎบท 1 โดยแสดงวา f เปนฟงกชนหนงตอหนง

ให x1 และ x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ซงท�าให f(x1) = f(x2)

แลวแสดงใหเหนวา x1 = x2

ก�าหนดฟงกชน f = { (x, y) ∙ y = 3x + 1 } ใหตรวจสอบวา f -1 เปนตวผกผนของฟงกชนหรอเปนฟงกชนผกผน

ลองทาด

ตวอยางท 28 ก�าหนดฟงกชน f = { (x, y) ∙ y = 2x + 1 } ใหตรวจสอบวา f -1 เปนตวผกผนของ

ฟงกชนหรอเปนฟงกชนผกผน

วธท�า วธท 1 ใชบทนยามของฟงกชน

จากฟงกชน f = { (x, y) ∙ y = 2x + 1 } จะได f -1 = { (x, y) ∙ x = 2y + 1 } หรอ f -1 = { (x, y) ∙ y = x - 12 } ให x, y และ z เปนจ�านวนจรงใด ๆ ซง (x, y) ∊ f -1 และ (x, z) ∊ f-1

จะได y = x - 12 และ z = x - 12 ดงนน y = z เสมอ

นนคอ f -1 เปนฟงกชน หรอกลาววา f -1 เปนฟงกชนผกผนของ f

วธท 2 ใชทฤษฎบท 1

ให x1 และ x2 เปนจ�านวนจรงใด ๆ ซงท�าให f(x1) = f(x2)

จาก f(x) = 2x + 1 จะได 2x1 + 1 = 2x2 + 1

x1 = x2

ดงนน f เปนฟงกชน 1-1 และโดยทฤษฎบท 1 จะไดวา f -1 เปนฟงกชน

การหาฟงกชนผกผนของฟงกชนทเขยนในรปเซตแบบบอกเงอนไข

ถา y = f(x) เปนฟงกชนหนงตอหนง แลวท�าใหตวผกผนของ y = f(x) เปนฟงกชน

ซงแทนดวย y = f-1(x) เปนฟงกชนหนงตอหนงดวย

ดงนน Df-1 = Rf และ Rf-1 = Df

และ (x, y) ∊ f กตอเมอ (y, x) ∊ f-1

นนคอ y = f(x) กตอเมอ x = f-1(y) ซงมความหมายเหมอนกบการสลบทของ x และ y แลวจด y ในรปของ x จะไดฟงกชน

ผกผน ดงตวอยาง


ก�าหนด f(x) = 3x2 + 1 ใหหา f-1(x)ลองทาด


ก�าหนด f(x) = 3x + 4 ใหหา f -1(x)

วธท�า จาก f(x) = 3x + 4 หรอ y = 3x + 4 เปนฟงกชน 1-1

ดงนน f-1(x) เปนฟงกชน

หา f-1(x) โดยสลบทระหวาง x กบ y จะได x = 3y + 4 เขยนสมการในรป y = f-1(x) จะได 3y = x - 4

y = x - 43

ดงนน f-1(x) = x - 43

นกเรยนทราบมาแลววาฟงกชนเปนสบเซตของความสมพนธ และกราฟของความสมพนธ

กบกราฟของตวผกผนของความสมพนธสมมาตรกนโดยมเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร

ในท�านองเดยวกน กราฟของฟงกชนและกราฟของฟงกชนผกผน จะมเสน y = x เปนแกน

สมมาตร ดงตวอยาง

ตวอยางท 30 ก�าหนด f(x) = x3 + 1 ใหเขยนกราฟของฟงกชน f และตวผกผนของฟงกชน f

บนระบบพกดฉากเดยวกน และแสดงใหเหนวาตวผกผนของฟงกชน f เปนฟงกชน

พรอมหาเงอนไข

วธท�า

กราฟของ f และ f-1 สมมาตรกน โดยมเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร

ซงกลาวไดวา กราฟของ f-1 เปนภาพทเกดจากการสะทอน f โดยมเสนตรง y = x เปนเสนสะทอน

20

2

4

4

y = x

Y y = f(x) = x3 + 1

y = f-1(x) = 3 x - 1X-2

-2

-4

-4

ตองแสดงใหเหนวา f(x) = x3 + 1 เปนฟงกชน 1-1

ให x1 และ x2 ซงท�าให f(x1) = f(x2)

จะได x13 + 1 = x2

3 + 1

x13 = x2

3

x1 = x2

สรปไดวา f(x) = x3 + 1 เปนฟงกชน 1-1 จงมฟงกชนผกผน

หา f-1 (x) จาก f(x) = x3 + 1 หรอ y = x3 + 1

สลบทระหวาง x กบ y จะได

x = y3 + 1

y3 = x - 1 y = 3 x - 1 หรอ f-1(x) = 3 x - 1

ตวอยางท 31 ก�าหนด f(x) = x2 ใหเขยนกราฟของฟงกชน f และตวผกผนของฟงกชน f บนระบบ

พกดฉากเดยวกน และใหพจารณาวา ตวผกผนของฟงกชน f เปนฟงกชนหรอไม

วธท�า หา f-1(x) จาก f(x) = x2 หรอ y = x2

สลบทระหวาง x กบ y จะได

x = y2

y = x หรอ - x ดงนน f-1(x) = x หรอ f-1(x) = - x เขยนกราฟของ f และ f-1 โดยมเสนตรง y = x เปนเสนสะทอน ไดดงน

จากกราฟจะเหนวา ถาลากเสนตรงขนานกบแกน Y จะตดกราฟของ f-1 ไดมากกวา 1 จด

ดงนน ตวผกผนของฟงกชน f ไมเปนฟงกชน

y = f -1(x) = ± x

y = f(x) = x2

Y

X

y = x

-1-4 -2-3 -1

-2

54321

10 2 3 4 5 6


ก�าหนด f(x) = x3 + 2 ใหเขยนกราฟของฟงกชน f และตวผกผนของฟงกชน f บนระบบพกดฉากเดยวกน และแสดงใหเหนวาตวผกผนของฟงกชน f เปนฟงกชนพรอมหาเงอนไข

ลองทาด

1. ใหหา f -1 พรอมทง Df -1 และ Rf -1

1) f = { (1, 3), (2, 0), (3, 2), (6, 5), (8, 1) } 2) f = { (1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 6), (5, 2) }

2. ใหหา f -1(x) พรอมทง Df -1 และ Rf -1

1) f(x) = 3x + 2 2) f(x) = 1x - 3

3) f(x) = x - 3 4) f(x) = x2 - 1, x ≥ 0

3. ก�าหนด f(x) = 2x - 5 ใหหา f -1 (x)

4. ก�าหนด f(x) = x3 ใหหา f -1 (x)

5. ใหเขยนกราฟของ f และตวผกผนของ f เมอก�าหนดฟงกชนตอไปน

1) f(x) = 2x + 5 2) f(x) = 12 x + 2

3) f(x) = x2, x ≥ 0 4) f(x) = ∙x∙ - 1

6. ก�าหนด f(x) = x2 - 9 ใหตรวจสอบวา f มฟงกชนผกผนหรอไม




7. ก�าหนด f(2x - 1) = 3x + 2 ใหหา f(x) และ f -1(x)

x2 - 4 เมอ 2 < x < 10 8. ก�าหนด f(x) = 2x - 10 เมอ 0 ≤ x ≤ 2 และ f -1(x) เปนฟงกชนผกผนของฟงกชน f(x) ใหหา f -1(x)

ระดบทาทาย

9. ก�าหนด f(x) = x + 2 และ g(x) = 3x + 1 ใหหา f -1(x) และ g -1(x)

10. ก�าหนด f -1(3x - 2) = x - 1 ใหหา f(x)

นกเรยนทราบมาแลววา การบวก การลบ การคณ และการหาร เปนการด�าเนนการเบองตน

ของจ�านวนสองจ�านวน และฟงกชนเปนเซตของคอนดบของจ�านวนจรง ดงนนนกเรยนสามารถ

น�าฟงกชนตงแตสองฟงกชนขนไปมา บวก ลบ คณ และหารกน แลวเรยกฟงกชนทไดจากการ

ด�าเนนการนวา พชคณตของฟงกชน (Algebra of Function) ซงมบทนยาม ดงน

1.5 การดาเนนการของฟงกชน(FunctionOperation)

กาหนด f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง ผลบวก (sum)

ผลตาง (difference) ผลคณ (product) และผลหาร (quotient) ของฟงกชนกาหนดโดย

(f + g)(x) = f(x) + g(x) เมอ x ∊ Df ∩ D

g

(f - g)(x) = f(x) - g(x) เมอ x ∊ Df ∩ D

g

(f • g)(x) = f(x) • g(x) เมอ x ∊ Df ∩ D

g

( fg)(x) = f(x)g(x) เมอ x ∊ D

f ∩ D

g และ g(x) ≠ 0

บทนยาม

จากบทนยาม นกเรยนจะเหนวา

1. โดเมนของ f + g, f - g และ f • g คอ อนเตอรเซกชนของโดเมนของฟงกชนทงสอง

2. โดเมนของ fg คอ อนเตอรเซกชนของโดเมนของฟงกชนทงสอง โดยทฟงกชน g(x) ≠ 0

ตวอยางท 32 ก�าหนด f = { (1, 6), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 3) }

g = { (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 0), (8, 2), (6, 4) }

ใหหา f + g, (f + g)(1), f - g, (f - g)(2), f • g, (f • g)(3), fg และ ( fg)(1)

วธท�า จาก f = { (1, 6), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 3) }

g = { (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 0), (8, 2), (6, 4) }

จะได Df = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ Dg = { 1, 2, 3, 4, 6, 8 }

โดเมนของ f + g, f - g และ f • g คอ Df ∩ Dg = { 1, 2, 3, 4 }

จะได f + g = { (1, 6 + 2), (2, 9 + 3), (3, 8 + 5), (4, 7 + 0) }

= { (1, 8), (2, 12), (3, 13), (4, 7) }

และ (f + g)(1) = f(1) + g(1) = 6 + 2 = 8

จะได f - g = { (1, 6 - 2), (2, 9 - 3), (3, 8 - 5), (4, 7 - 0) }

= { (1, 4), (2, 6), (3, 3), (4, 7) }



ก�าหนด f = { (x, y) ∙ y = 3x + 1 } g = { (x, y) ∙ y = x + 2 } 1) ใหหา (f + g)(x), (f - g)(x), (f • g)(x) และ ( fg)(x) พรอมทงหาโดเมน

ของแตละฟงกชน

2) ใหหา (f + g)(1), (f - g)(2), (f • g)(3) และ ( fg)(3)

วธท�า 1) จาก f = { (x, y) ∙ y = 3x + 1 } g = { (x, y) ∙ y = x + 2 } โดเมนของ f คอ R และโดเมนของ g คอ R

โดเมนของ f + g, f - g และ f • g คอ Df ∩ Dg = R

โดเมนของ fg คอ { x ∙ x ∊ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 } = R - { -2 }

และ (f - g)(2) = f(2) - g(2) = 9 - 3 = 6

จะได f • g = { (1, 6 × 2), (2, 9 × 3), (3, 8 × 5), (4, 7 × 0) }

= { (1, 12), (2, 27), (3, 40), (4, 0) }

และ (f • g)(3) = f(3) • g(3) = 40

โดเมนของ fg คอ { x ∙ x ∊ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 }

แต g(x) = 0 เมอ x = 4 จะได D f

g = Df ∩ Dg - { 4 }

= { 1, 2, 3, 4 } - { 4 } = { 1, 2, 3 }

ดงนน fg = { (1, 62), (2,

93), (3,

85) }

= { (1, 3), (2, 3), (3, 85) } และ ( fg)(1) = f(1)

g(1) = 62 = 3

ก�าหนด f = { (0, 1), (1, -1), (2, 0), (3, 2), (4, -2), (5, 1), (6, -4) }

g = { (0, 3), (2, 1), (4, 5), (6, 8), (7, -3), (8, 2) }

ใหหา f + g, (f + g)(1), f - g, (f - g)(2), f • g, (f • g)(3), fg และ ( fg)(1)

ลองทาด

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = (3x + 1) + (x + 2) = 4x + 3, x∊R

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = (3x + 1) - (x + 2) = 2x - 1, x∊R

(f • g)(x) = f(x) • g(x) = (3x + 1)(x + 2) = 3x2 + 7x + 2, x∊R

( fg)(x) = f(x)g(x) = 3x + 1

x + 2 เมอ x ≠ -2

2) (f + g)(1) = 4(1) + 3 = 7

(f - g)(2) = 2(2) - 1 = 3

(f • g)(3) = 3(3)2 + 7(3) + 2 = 50

( fg)(3) = 3(3) + 13 + 2 = 2

ก�าหนด f = { (x, y) ∙ y = 2x + 1 } g = { (x, y) ∙ y = x + 3 }1) ใหหา (f + g)(x), (f - g)(x), (f • g)(x) และ ( fg)(x) พรอมทงหาโดเมนของแตละฟงกชน

2) ใหหา (f + g)(1), (f - g)(2), (f • g)(0) และ ( fg)(-2)

ลองทาด


ก�าหนด f = { (x, y) ∙ y = x + 2 และ x∊[ -1, 3 ] }

g = { (x, y) ∙ y = 2x - 1 และ x∊[ -2, 2 ] }

ใหหา f + g พรอมทงหาโดเมนและเรนจของ f + g และเขยนกราฟ f, g และ f + g

วธท�า จาก f(x) = x + 2 เมอ x∊[ -1, 3 ]

g(x) = 2x - 1 และ x∊[ -2, 2 ]

จะได Df = [ -1, 3 ] และ Dg = [ -2, 2 ]

เขยนแสดงโดยใชเสนจ�านวนได ดงน

ดงนน Df + g = Df ∩ Dg = [ -1, 2 ]

-1-2-3 10 2 3 4 5

[-1, 3][-2, 2]

-4



ก�าหนด f = { (x, y) ∙ y = 4x - 2 และ x ∊ [-2, 3] } g = { (x, y) ∙ y = -2x และ x ∊ [-1, 5] } ใหหา (f + g)(x), (f - g)(x), (f • g)(x) และ ( fg)(x) พรอมทงหาเรนจของแตละฟงกชน

วธท�า 1) จาก f(x) = 4x - 2 เมอ x ∊ [-2, 3] g(x) = -2x เมอ x ∊ [-1, 5]

จะได Df = [-2, 3] และ Dg = [-1, 5]

เขยนแสดงโดยใชเสนจ�านวนได ดงน

-1-2 10 2 3 4 5

[-1, 5][-2, 3]

-3

ดงนน Df ∩ Dg = [-1, 3]

โดเมนของ f + g, f - g และ f • g คอ Df ∩ Dg = [-1, 3]

(f + g)(x) = f(x) + g(x) , x ∊ [-1, 3]

= (4x - 2) + (-2x) , x ∊ [-1, 3]

= 2x - 2 , x ∊ [-1, 3]

(f + g)(x) = f(x) + g(x) , x ∊ [ -1, 2 ]

= (x + 2) + (2x - 1) , x ∊ [ -1, 2 ]

= 3x + 1 , x ∊ [ -1, 2 ]

เขยนกราฟของ f, g และ f + g ไดดงน

จากกราฟ จะเหนวา Df + g = [ -1, 2 ]

Rf + g = [ -2, 7 ]Y

Xg

f

f + g

2

2

4

6

8

-2-2

-4

-6

-4-6 4 60

(f - g)(x) = f(x) - g(x) , x ∊ [-1, 3]

= (4x - 2) - (-2x) , x ∊ [-1, 3]

= 6x - 2 , x ∊ [-1, 3]

(f • g)(x) = f(x) • g(x) , x ∊ [-1, 3]

= (4x - 2)(-2x) , x ∊ [-1, 3]

= -8x2 + 4x , x ∊ [-1, 3]

โดเมนของ fg คอ { x ∙ x ∊ Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0 }

แต g(x) = 0 เมอ x = 0 จะได D f

g = Df ∩ Dg - { 0 }

= [-1, 3] - { 0 }

= [-1, 0) ∪ (0, 3]

( fg)(x) = f(x)g(x)

= 4x - 2-2x = -2 + 1x, x ∊ [-1, 0) ∪ (0, 3]

หา Rf + g

เนองจาก โดเมนของ f + g เปนสบเซตของจ�านวนจรง ดงนนจงตองหาเรนจ

โดยใชคาของโดเมน x∊[-1, 3] ดงน

จาก -1 ≤ x ≤ 3 ตองหาคาของ 2x - 2 น�า 2 คณทงอสมการ จะได

-2 ≤ 2x ≤ 6

บวกอสมการดวย -2 จะได

-2 - 2 ≤ 2x - 2 ≤ 6 - 2

-4 ≤ 2x - 2 ≤ 4

-4 ≤ y ≤ 4

ดงนน Rf + g = { y ∙ -4 ≤ y ≤ 4 } หรอ Rf + g = [-4, 4]

หา Rf - g

เนองจาก โดเมนของ f - g เปนสบเซตของจ�านวนจรง ดงนนจงตองหาเรนจ

โดยใชคาของโดเมน x∊[-1, 3] ดงน

จาก -1 ≤ x ≤ 3 ตองหาคาของ 6x - 2 น�า 6 คณทงอสมการ จะได

-6 ≤ 6x ≤ 18

บวกอสมการดวย -2 จะไดฟงกชน56 57

-6 - 2 ≤ 6x - 2 ≤ 18 - 2

-8 ≤ 6x - 2 ≤ 16

-8 ≤ y ≤ 16

ดงนน Rf - g = { y ∙ -8 ≤ y ≤ 16 } หรอ Rf - g = [-8, 16]

หา Rf • g โดยจดรป (f • g)(x) = -8x2 + 4x ใหอยในรปก�าลงสองสมบรณ ดงน

จาก (f • g)(x) = -8x2 + 4x, x∊ [-1, 3]

= -8 (x2 - 12x + 116) +

12

= -8 (x - 14)2

+ 12 จะเหนวา (f • g)(x) มคามากทสด คอ 12 เมอ x = 14

และเมอ x∊[-1, 3] จ�านวนอน ๆ จะมคาลดลง

เมอ x = 3 จะได (f • g)(3) = -8(3 - 14)2

+ 12 = -60 ดงนน Rf • g = [-60, 12] หา R f

g โดยพจารณาจากกราฟ

จาก ( fg)(x) = -2 + 1x, x ∊ [-1, 0) ∪ (0, 3]

ซงเขยนกราฟได ดงน

ดงนน R fg = (-∞, -3] ∪ (- 53, ∞)

ก�าหนด f = { (x, y) ∙ y = 3x + 5 และ x∊[-1, 4] }

g = { (x, y) ∙ y = 2x และ x∊[-3, 2] }

ใหหา (f + g)(x), (f - g)(x), (f • g)(x) และ ( fg)(x) พรอมทงหาเรนจของแตละฟงกชน

ลองทาด

Y

20

2

4

-2

-2

-4

-6

4 6-4-6X

แนวขอสอบ PAT 1 x + 1 ; -1 < x < 1ก�าหนด f และ g เปนฟงกชน โดยท f(x) = 3 ; x ≥ 1

และ g(x) = 11 - x2 เมอ -1 < x < 1 ใหหา (f • g)(x)

แนวคด

จาก (f • g)(x) = f(x) • g(x) เมอ x∊Df ∩ Dg

จะได Df ∩ Dg∊(-1, 1)

ดงนน (f • g)(x) = (x + 1)( 11 - x2 ) = x + 1

1 - x2

1. ก�าหนด f = { (1, 3), (2, 5), (3, 0), (4, 8), (5, 9) } และ g = { (1, 4), (2, 1), (3, 2), (4, 0) }

ใหหา f + g, f - g, f • g, fg, gf และ f + 2g

2. ใหหา Df + g เมอก�าหนดฟงกชน f(x) และ g(x) ดงตอไปน

1) f(x) = 3x + 1 และ g(x) = x2 - 1 2) f(x) = 1x - 2 และ g(x) =

1∙x∙ - 1

3. ใหหา D fg เมอก�าหนดฟงกชน f(x) และ g(x) ดงตอไปน

1) f(x) = x3 - 2 และ g(x) = x - 3 2) f(x) = x + 1 และ g(x) = x - 1





4. ก�าหนด f = { (x, y) ∙ y = 2x + 1 เมอ x∊(0, 4] } และ g = { (x, y) ∙ y = x2 เมอ x∊[1, 6) }

ใหหา (f • g)(x) และเรนจของ f • g

5. ใหหา f + gh และโดเมนของ f + gh จากฟงกชน f = { (x, y)∊I × I ∙ y = x2 },

g = { (x, y) ∙ y = 3x + 2 } และ h = { (x, y)∊R+ × R+ ∙ y = x + 2 }


โดยทวไปการผลตบรรจภณฑมขนตอนหลายขนตอน แตละขนตอนจ�าเปนตองใชเครองจกร

ซงผลตชนงานทแตกตางกน งานทไดจากเครองจกรหนงตองน�าไปเปนวตถดบปอนใหอกเครองจกร

หนง ด�าเนนการตอเนองอยางนไปเรอย ๆ จนกวาชนงานจะเสรจสมบรณ เรยกกระบวนการผลตน

วา กระบวนการถายทอด และอาจใชฟงกชนเปนแบบจ�าลองได ดงน

ให x เปนวตถดบของเครองจกร A และ A(x) เปนผลผลตจากเครองจกร A

B เปนเครองจกรทตองใชวตถดบจากเครองจกร A คอ A(x) และผลผลตจากเครองจกร B

เขยนแทนดวย B(A(x)) ซงเปนกระบวนการถายทอดจากเครองจกร A ไปยงเครองจกร B

เมอเขยนเปนแบบจ�าลองทางคณตศาสตรใหฟงกชน f แทนเครองจกร A และฟงกชน g

แทนเครองจกร B จะไดวา

f(x) แทนผลผลตจากเครองจกร A ซงม x เปนวตถดบ

g(x) แทนผลผลตจากเครองจกร B ซงม f(x) เปนวตถดบ

เรยก g(f(x)) วา ฟงกชนประกอบ โดยมบทนยาม ดงน

1.6 ฟงกชนประกอบ(CompositeFunction)

กาหนด f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจานวนจรง ฟงกชนประกอบ

ของ f และ g เขยนแทนดวย g◦f คอ ฟงกชนทกาหนดโดเมนโดย

Dg◦f

= { x ∊ Df ∙ f(x) ∊ D

g }

และกาหนด g◦f โดย (g◦f)(x) = g(f(x)) สาหรบทก x ใน Dg◦f

บทนยาม

จากบทนยาม x ∊ Df และ f(x) ∊ Dg จะไดวา Rf ∩ Dg ≠ ∅, Dg◦f ⊂ Df และ Rg◦f ⊂ Rg

ฟงกชนประกอบ f◦g คอ ฟงกชนทก�าหนดโดเมนโดย Df◦g = { x∊Dg ∙ g(x)∊Df }


ก�าหนดแผนภาพของฟงกชน f และ g ใหหาฟงกชนประกอบ g◦f

1234

-1-2581114

57-7-13-19

gf

ก�าหนดแผนภาพฟงกชน f และ g ใหหาฟงกชนประกอบ g◦f

ลองทาด

วธท�า จากแผนภาพ เขยนโดเมนและเรนจของ f และ g ดงน

Df = { 1, 2, 3, 4 } และ Rf = { 5, 8, 11, 14 }

Dg = { -1, -2, 5, 8, 11 } และ Rg = { 5, 7, -7, -13, -19 }

จะได Rf ∩ Dg = { 5, 8, 11 } จงเกดฟงกชนประกอบ g◦f โดยม 5, 8 และ 11

เปนตวถายทอด

จาก (1, 5)∊ f และ (5, -7)∊ g จะได (g◦f)(1) = -7 (2, 8)∊ f และ (8, -13)∊ g จะได (g◦f)(2) = -13 (3, 11)∊ f และ (11, -19)∊ g จะได (g◦f)(3) = -19

จะได g◦f = { (1, -7), (2, -13), (3, -19) }


ก�าหนด f = { (1, 3), (2, 5), (4, 8), (6, 9) } และ g = { (3, a), (5, b), (7, c), (9, d) }

ใหหาฟงกชน g◦f และ f◦g (ถาม)

วธท�า จาก Df = { 1, 2, 4, 6 } และ Rf = { 3, 5, 8, 9 }

Dg = { 3, 5, 7, 9 } และ Rg = { a, b, c, d }

เนองจาก Rf ∩ Dg = { 3, 5, 9 } ดงนน จงมฟงกชนประกอบ g◦f

โดยมสมาชก 3, 5 และ 9 เปนตวถายทอด

จาก (1, 3) ∊ f และ (3, a) ∊ g จะได (g◦f)(1) = a

จาก (2, 5) ∊ f และ (5, b) ∊ g จะได (g◦f)(2) = b

จาก (6, 9) ∊ f และ (9, d) ∊ g จะได (g◦f)(6) = d

ดงนน g◦f = { (1, a), (2, b), (6, d) }

เนองจาก Rg ∩ Df = ∅ ดงนน จงไมเกดฟงกชนประกอบ f◦g

f g

3

4

1

8

-4

5

6

10

1

5

-2

คณตนาร

โดยทวไป

g◦f ≠ f◦g



ก�าหนด f(x) = x2 - 2 และ g(x) = x + 1 หาฟงกชน g◦f และ f◦g พรอมทง

โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบทงสอง

วธท�า จาก Df = R และ Rf = [-2, ∞)

Dg = R และ Rg = R

เนองจาก Rf ∩ Dg = [-2, ∞) จงม g◦f

และ Rg ∩ Df = R จงม f◦g

จาก (g◦f)(x) = g(f(x)) = g(x2 - 2)

= (x2 - 2) + 1 = x2 - 1

ดงนน g◦f = { (x, y) ∙ y = x2 - 1 }

จะได Dg◦f = { x ∊ Df ∙ f(x) ∊ Dg }

= { x ∊ R ∙ f(x) ∊ R } = R

หา Rg◦f จาก (g◦f)(x) = x2 - 1, x∊R จะได x2 ≥ 0

x2 + (-1) ≥ 0 + (-1)

x2 - 1 ≥ -1

ดงนน Rg◦f = [-1, ∞)

จาก (f◦g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 - 2 ดงนน f◦g = { (x, y) ∙ y = x2 - 2x - 1 } จะได Df◦g = { x∊Dg ∙ g(x)∊Df }

= { x∊R ∙ g(x)∊R } = R

หา Rf◦g จาก (f◦g)(x) = (x + 1)2 - 2, x∊R จะได (x + 1)2 ≥ 0

(x + 1)2 + (-2) ≥ 0 + (-2)

(x + 1)2 - 2 ≥ -2

ดงนน Rf◦g = [-2, ∞)

¢Ñé¹µÍ¹¡ÒÃËÒ Dg◦f1. ËÒ Rf áÅÐ Dg2. ËÒ Rf ∩ Dg

1) ¶ŒÒ Rf ∩ Dg = ∅ áÅŒÇäÁ‹à¡Ô´ (g◦f)(x) 2) ¶ŒÒ Rf ∩ Dg ≠ ∅ áÅŒÇà¡Ô´ (g◦f)(x)3. ËÒà«µ¢Í§ x ·Õè f(x)∊Rf ∩ Dg «Öè§¨Ðä´Œ Dg◦f ¤×Í à«µ¢Í§ x

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

ก�าหนด f = { (1, 3), (2, 5), (3, 8) } และ g = { (3, 0), (5, 4), (6, 8) }


ลองทาด

คณตนาร โดยทวไป

Rg◦f ≠ Rf◦g

ก�าหนด f(x) = 2x และ g(x) = 3x + 1 ใหหาฟงกชน g◦f และ f◦g พรอมทงโดเมนและ

เรนจของฟงกชนประกอบทงสอง

ลองทาด


ก�าหนด f(x) = 3x + 1 ใหหา

1) (f ◦f-1)(x) 2) (f -1◦f)(x)

วธท�า จาก f(x) = 3x + 1 …..(1)

จะได f-1(3x + 1) = x ให 3x + 1 = k

จะได x = k - 13

ดงนน f-1(k) = k - 13

หรอ f-1(x) = x - 13

…..(2)

1) (f ◦ f-1)(x) = f(f-1(x)) จาก (2) จะได f(f-1(x)) = f (x - 13 ) จาก (1) จะได f (x - 13 ) = 3 (x - 13 ) + 1 = x ดงนน (f ◦ f-1)(x) = x เมอ x∊R

2) (f -1◦f)(x) = f-1(f(x)) จาก (1) จะได f-1(f(x)) = f-1(3x + 1)

จาก (2) จะได f-1(3x + 1) = (3x + 1) - 13 = x

ดงนน (f -1◦f)(x) = x เมอ x∊R

ก�าหนด f(x) = 2x + 3 ใหหา (f ◦ f-1)(x) และ (f-1◦ f)(x)ลองทาด


ก�าหนด (f◦g)(x) = x2 + 3x - 5 และ g(x) = 2x + 1 ใหหา f(x)ลองทาด

ตวอยางท 40 ก�าหนด (f◦g)(x) = -3x2 + 6x - 7 และ g(x) = x2 - 2x + 3 ใหหา f(x)

วธท�า วธท 1 จาก (f◦g)(x) = -3x2 + 6x - 7 จะได f(g(x)) = -3x2 + 6x - 7 f(x2 - 2x + 3) = -3x2 + 6x - 7 แสดงวา เมอแทน x ใน f ดวย x2 - 2x + 3 จะใหผลเปนพหนามทม 3 พจน

คอ พจนก�าลงสอง พจนก�าลงหนง และพจนคาคงตว

ดงนน f(x) จะเปนฟงกชนทมก�าลงสงสดเปนหนง

ให f(x) = ax + b และแทน x ดวย x2 - 2x + 3 จะได f(x2 - 2x + 3) = a(x2 - 2x + 3) + b -3x2 + 6x - 7 = ax2 - 2ax + 3a + b -3x2 + 6x - 7 = ax2 - 2ax + (3a + b)

จากการเทากนของสมการ จะไดวา a = -3

และ 3a + b = -7

จะได 3(-3) + b = -7

b = 2

ดงนน f(x) = -3x + 2

วธท 2 จาก (f◦g)(x) = -3x2 + 6x - 7 จะได f(g(x)) = -3x2 + 6x - 7 = -3(x - 1)2 - 4 …..(1)

และ g(x) = x2 - 2x + 3 = (x - 1)2 + 2 จะได (x - 1)2 = g(x) - 2 …..(2)

แทน (2) ใน (1) จะได f(g(x)) = -3(g(x) - 2) - 4 = -3g(x) + 2 f(x) = -3x + 2

ถา f : A 1-1

ทวถง

B แลว

1) (f-1◦f)(x) = x สาหรบทก x∊R 2) (f◦f

-1)(x) = x สาหรบทก x∊R

ทฤษฎบท

1. ก�าหนด f = { (1, a), (2, b), (3, b), (4, c), (5, d) }

g = { (a, 3), (b, 5), (c, 4), (e, 6) }

ใหหาฟงกชน g◦f และ f◦g พรอมเขยนแผนภาพประกอบ

2. ก�าหนด f = {(1, 3), (2, 5), (4, 8), (6, 9)}

g = {(3, a), (5, b), (7, c), (9, d)}


1) (g◦f)(1), (g◦f)(2), (g◦f)(6) 2) (f◦g)(3)

3. ก�าหนด f(x) = x2 และ g(x) = x3 + 1 ใหหาฟงกชน g◦f และ f◦g พรอมทงโดเมนและ

เรนจของฟงกชนประกอบทงสอง

4. ก�าหนด (f◦g)(x) = -x และ f(x) = 3x ใหหา g(x)




5. ก�าหนด f(x) = x, g(x) = 3x + 7 และ h(x) = x2 ใหหา (f◦g◦h)(x)

6. ก�าหนด f(x) = x2 - 3x + 1, g(x) = x + 2 และ h(x) = 2x + 1 ใหหา (f◦g◦h)(x)

7. ก�าหนด f(x) = 2xx - 3 และ g(x) = x + 2 ใหหา

1) (g◦f)(x), (g◦f)(4) และ Dg◦f 2) (f◦g)(x), (f◦g)(2) และ Df◦g

8. ก�าหนด f(x) = 2x + 3 และ g(x) = x - 5 ใหหา (f◦g)-1(x) และ (g◦f)-1(x)

9. ก�าหนด f(g(x)) = x + 1 และ f(x) = x - 1 ใหหา g(x)

10. ก�าหนด f(g(x)) = 2x2 + 1 และ f(x) = 2x ใหหา g(x)

11. ก�าหนด f(x) = 3x + 1 และ (g◦f)(x) = x2 + 1 ใหหา g(x)

12. ก�าหนด f(x) = 2x และ g(x) = 1x - 2 ใหหาคาของ x ทท�าให (g◦f)(x) = (f◦g)(x)

13. ก�าหนด f(x) = 2 - 3x และ h(x) = 9x2 - 6x + 3 ใหหาฟงกชน g ซง g◦f = h


¿˜§¡�ªÑ¹àªÔ§àÊŒ¹f(x) = ax + b àÁ×èÍ a, b ¨íÒ¹Ç¹¨ÃÔ§ áÅÐ a ≠ b à»š¹¿§¡�ªÑ¹·ÕèÁÕ¡íÒÅÑ§ÊÙ§ÊØà»š¹Ë¹Öè§

á¹Ðá¹Ç¤Ô´

จากตวอยางท 39 จะไดทฤษฎบทของฟงกชนผกผน ดงน


นกเรยนไดศกษาเกยวกบฟงกชนและกราฟของฟงกชนมาแลว ในหวขอนนกเรยนจะได

น�าความรไปใชในการแกปญหาตาง ๆ ทพบในชวตประจ�าวน ดงตวอยาง

1.7 การนาความรเกยวกบเรองฟงกชนและกราฟไปใช ในการแกปญหา


ใหเขยนกราฟของอตราคาไปรษณยากรส�าหรบสงพสดไปรษณยทางอากาศจากไทย

ไปยงมาเลเซย ดงขอมลในตาราง

พกดน�าหนก อตราคาไปรษณยากร (บาท)

ไมเกน 1,000 กรม 500

เกน 1,000 กรม แตไมเกน 2,000 กรม 600




เกน 5,000 กรม แตไมเกน 6,000 กรม 1,000


ทมา : บรษทไปรษณยไทย จ�ากด

วธท�า เขยนฟงกชนในรป f(x) เมอ x เปนน�าหนกของพสดไปรษณยทางอากาศ และ f(x) เปนอตราคาไปรษณยากรได ดงน

500 ; 0 < x ≤ 1,000

600 ; 1,000 < x ≤ 2,000

700 ; 2,000 < x ≤ 3,000

f(x) = 800 ; 3,000 < x ≤ 4,000

900 ; 4,000 < x ≤ 5,000

1,000 ; 5,000 < x ≤ 6,000

1,100 ; 6,000 < x ≤ 7,000

จากขอมลจะเหนวา อตราคาไปรษณยากรในแตละชวงจะเปนชวงครงเปด ซงเมอ

น�าไปเขยนกราฟจะมจดทเปนจดโปรงทางดานซายมอในแตละชวง เขยนกราฟของ

ฟงกชน f ได ดงน

ใหเขยนกราฟของอตราคาไปรษณยากรส�าหรบสงพสดไปรษณยทางอากาศจากไทย

ไปยงสหรฐอเมรกา ดงขอมลในตาราง

พกดน�าหนก อตราคาไปรษณยากร (บาท)

ไมเกน 1,000 กรม 950







ทมา : บรษทไปรษณยไทย จ�ากด

ลองทาด

Y

1,000

100

0

200300400500600700800900

10001100120013001400

2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000X

อตราคาไปรษณยากร (บาท)

พกดน�าหนก (กรม)


ตวอยางท 42 สรางกลองกระดาษฝาเปดรปสเหลยมผนผาจากกระดาษแขงซงมความกวาง 12 นว

และความยาว 18 นว มาตดมมทงสใหเปนรปสเหลยมจตรสแลวพบดานทงสขน

ก�าหนด x แทนความยาวดานของรปสเหลยมจตรส ใหเขยนฟงกชนในรปของ x ซงม

คาของฟงกชนเปนปรมาตรของกลองกระดาษ

วธท�า ก�าหนด V(x) แทนปรมาตรของกลองกระดาษ และ x แทนความยาวดานของรปสเหลยม

จตรสx

x

x

x

x

x

x

x

12 - 2x

18 - 2x

ดงนน V(x) = ความกวาง × ความยาว × ความสง

= (12 - 2x)(18 - 2x)x = 4x3 - 60x2 + 216x

จ�านวนนบจ�านวนหนง เมอรวมกบจ�านวนนบอกจ�านวนหนงมผลบวกเทากบ 100

ใหเขยนฟงกชนในรปของ x ซงมคาของฟงกชนเปนผลคณของจ�านวนนบทงสองจ�านวน

ลองทาด


บรษทผลตสนคาแปรรปแหงหนง ถาขายสนคาชนละ 150 บาท จะขายได 2,000 ชน

แตถาขายสนคาชนละ 100 บาท จะขายได 2,500 ชน ซงราคาสนคาตอชนกบจ�านวน

สนคาทขายไดมความสมพนธเปนฟงกชนเชงเสน ใหหา

1) ฟงกชนในรปของ x ซงมคาของฟงกชนเปนจ�านวนสนคาทขายได

2) ถาขายสนคาชนละ 200 บาท จะขายสนคาไดกชน

วธท�า 1) ให x แทนราคาสนคาตอชน

f(x) แทนจ�านวนสนคาทขายได

จากรปทวไปของฟงกชนเชงเสนจะได

f(x) = ax + b …..(1)


ยอดขายสนคาชนดใหมของบรษทอยท 18,000 ชนตอป ถาบรษทตองการใหยอดขาย

เพมขนปละ 10% ของยอดขายปจจบน ใหหา

1) สมการแสดงยอดขายสนคาของแตละป

2) อก 10 ปถดไป บรษทนจะมยอดขายเทาใด

วธท�า 1) ให x แทนจ�านวนป

จะได f(x) แทนยอดขายสนคาของปท x

f(x) = 18,000 + 18,000 ( 10100) x

= 18,000 + 1,800x ดงนน สมการแทนยอดขายสนคาของแตละป คอ f(x) = 18,000 + 1,800x

จาก x = 150, f(x) = 2,000 น�า x และ f(x) ไปแทนคาสมการ (1) จะได

2,000 = a(150) + b …..(2)

และ x = 100, f(x) = 2,500 น�า x และ f(x) ไปแทนคาสมการ (1) จะได

2,500 = a(100) + b …..(3)

น�าสมการ (2) - (3) จะได

-500 = 50a

a = -10

น�าคา a แทนใน (2) จะได

2,000 = 150(-10) + b

b = 3,500

ดงนน f(x) = -10x + 3,500 2) ถาขายสนคาชนละ 200 บาท จะขายสนคาไดเทากบ

f(x) = -10x + 3,500 f(200) = -10(200) + 3,500

= 1,500

ดงนน ถาขายสนคาชนละ 200 บาท จะขายสนคาได 1,500 ชน


2) ให x = 10 จาก f(x) = 18,000 + 1,800x จะได f(10) = 18,000 + 1,800(10)

= 36,000 ชน

ดงนน อก 10 ปถดไป บรษทนจะมยอดขาย 36,000 ชน

บรษทแหงหนงตองการขายสนคาส�าเรจรป ถาขายสนคาชนละ 100 บาท จะขายได

1,500 ชน แตถาขายสนคาชนละ 50 บาท จะขายได 200 ชน ใหหา

1) ฟงกชนในรปของ x ซงมคาของฟงกชนเปนจ�านวนสนคาทขายได

2) ถาขายสนคาชนละ 200 บาท จะขายสนคาไดกชน

ลองทาด


เมอโยนกอนหนขนไปบนอากาศในเวลา t วนาทใด ๆ ระยะความสงของกอนหน

จากพนเปนไปตามสมการ h(t) = 16t - 4t2 ใหหา

1) เวลาเมอกอนหนอยสงจากพน 12 เมตร

2) ความสงทกอนหนจะขนสงสด

วธท�า เมอเวลา t วนาทใด ๆ ความสงของกอนหนเปน 16t - 4t2

จาก h(t) = 16t - 4t2

h(t) = -4t2 + 16t

1) เมอ h = 12 แทนคาในสมการ h(t) = 16t - 4t2 จะได

12 = 16t - 4t2

4t2 - 16t + 12 = 0

t2 - 4t + 3 = 0

(t - 1)(t - 3) = 0

t = 1, 3

ดงนน กอนหนอยสงจากพน 12 เมตร เมอเวลา 1 วนาท หรอ 3 วนาท

2) จาก h(t) = 16t - 4t2

หรอ h(t) = -4t2 + 16t

กอนหนจะขนสงสดเมอ t = -b2a

= -162(-4)

= 2

แทนคา h(t) = 16t - 4t2

= 16(2) - 4(22)

= 32 - 16

= 16

ดงนน ความสงทกอนหนจะขนสงสด เทากบ 16 เมตร


บรษทผลตชนสวนเครองจกรไดเสนอเงอนไขการขายสนคาทผลตไดนใหกบโรงงาน

อตสาหกรรม ดงน ถาสงซอไมเกน 50,000 ชน จะใหราคา 2,400 บาท ตอ 100 ชน

ถาสงซอมากกวา 50,000 ชน จะลดราคาสนคาทเกนจาก 50,000 ชน ชนละ 2 บาท

ตอ 100 ชน ก�าหนด x แทนจ�านวนสนคาทสงเกน 50,000 ชน ใหเขยนฟงกชน

ในรปของ x และหาจ�านวนสนคาทสงซอเกน ซงท�าใหไดยอดขายมากทสด

วธท�า ก�าหนด x แทนจ�านวนสนคาทสงเกน 50,000 ชน

ถาสงซอ 50,000 ชน จะใหราคา 2,400 บาท ตอ 100 ชน

ดงนน บรษทจะมยอดขาย เทากบ 50,000100 × 2,400

ถาสงซอมากกวา 50,000 ชน จะลดราคาสนคาทเกนจาก 50,000 ชน ลงชนละ 2 บาท

ตอ 100 ชน

ดงนน ราคาสนคาทเกน 50,000 ชน เทากบ (2,400100 - 2 x100) x ยอดขายสนคาจ�านวน 50,000 + x ชน เทากบ (12 × 105) + (24 - x50) x นนคอ f(x) = (12 × 105) + (24 - x50) x f(x) = 12 × 105 + 24x - x

2

50 หรอ f(x) = - x

2

50 + 24x + (12 × 105)

จะได a = - 150 และ b = 24

¨Ò¡¿˜§¡�ªÑ¹¡íÒÅÑ§ÊÍ§ y = ax2 + bx + c¨ÐÁÕ¨Ø´ÂÍ´ÍÂÙ‹·Õè

(-b2a, 4ac - b2

4a )

á¹Ðá¹Ç¤Ô´


จากสตรฟงกชนก�าลงสอง ซงมคาสงสดท x = -b2a แทนคา a และ b จะได x = -24

2(-150)

= 12 × 50

= 600 ชน

ดงนน จ�านวนสนคาทสงซอเกน เทากบ 600 ชน ซงจะท�าใหไดยอดขายมากทสด

สมชายโยนลกบาสเกตบอลขนไปในอากาศ ถาความสงของลกบาสเกตบอลทถกโยน

ขนไป (เมตร) หาไดจาก h(t) = -t2 + 3.2t เมอ t แทนเวลา (วนาท) ใหหาเวลาและ

ความสงในขณะทลกบาสเกตบอลอยทจดสงสดจากพนดน

ลองทาด



1. เขยนกราฟของอตราคาโดยสารรถบสปรบอากาศในสงคโปร ระยะทาง 29 กโลเมตร

ดงตาราง

ระยะทาง (กโลเมตร)อตราคาโดยสาร

(ดอลลารสงคโปร)

ไมเกน 4 กโลเมตร 0.90

เกน 4 กโลเมตร แตไมเกน 7 กโลเมตร 1.10






ทมา : Transit Link Pte Ltd.


2. การผลตบรรจภณฑเปนรปทรงกระบอกทมฝาเปดและมความจ 100 ลกบาศกนว ใหเขยน

ฟงกชนของวสดทน�ามาใชผลตในรปของรศม

3. บรษทแหงหนงจายคาจางใหพนกงานขายทกคน คนละเทา ๆ กน ซงคดจากคายานพาหนะ

และคาเบย และจายคาจดการเกยวกบการขายซงคดเปนรอยละจากยอดขายทพนกงาน

แตละคนขายได ปรากฏวาเมอเดอนทผานมา ตะวนไดรบเงนจากบรษท 25,000 บาท โดย

มยอดขาย 400,000 บาท และอรณไดรบเงนจากบรษท 26,500 บาท โดยมยอดขาย

450,000 บาท ใหหา

1) ฟงกชนในรปของ x ซงมคาของฟงกชนเปนรายไดทพนกงานไดรบในแตละเดอน

2) บรษทจายคาจดการเกยวกบการขายใหกบพนกงานรอยละเทาใด

4. สมคดยงจรวดขวดน�า โดยมมมยง 45 � ถาความสงของจรวดขวดน�าทถกยงขนไป (เมตร)

หาไดจาก h(t) = -2t2 + 5.5t เมอ t แทนเวลา (วนาท) ใหหาเวลาและความสงในขณะท

จรวดขวดน�าอยทจดสงสดจากพนดน

5. จรศกดตองการลอมรวทดนเปนรปสเหลยมผนผาเพอปลกดอกทานตะวน โดยดานหนงของ

ทดนตดกบคลอง ซงจรศกดไมตองการลอมรวกนและถาเขามลวดส�าหรบท�ารวยาว 180 เมตร

จรศกดจะลอมรวใหมพนทมากทสดเทาไร

6. การสรางบอเลยงกงเปนทรงกระบอก ซงมฐานเปนรปวงกลมและมปรมาตร 354 ลตร

ถาใหรศมของบอยาว x เซนตเมตร และความสง y เซนตเมตร ใหเขยนฟงกชนแทนวสด

ทใชในรปของ x

7. การสรางบรรจภณฑเปนกลองทรงสเหลยมมมฉาก ซงมฐานเปนรปสเหลยมจตรสและ

มปรมาตร 1,000 ลกบาศกนว ใหเขยนฟงกชนแทนวสดทใชในรปของ x

8. กลองทรงสเหลยมมมฉากฐานสเหลยมจตรสมความจ 100 ลกบาศกนว ราคาของวสดท

น�ามาผลตในดานทงสจะเปนสองเทาของราคาวสดดานบนและดานลางของกลอง ถาใหฐาน

ของกลองยาว x นว และความสง y นว ใหเขยนฟงกชนเพอแสดงราคาในการผลตกลอง


1. ใหนกเรยนแบงกลม กลมละ 3 - 5 คน เพอวเคราะหและตอบค�าถามตอไปน

1) รานขายอปกรณตกแตงบานแหงหนง ใหคาจางพนกงานขาย 3,000 บาทตอสปดาห และ

ใหคานายหนา 3% จากยอดขายทมากกวา 10,000 บาท สมมตวา สปดาหนพนกงาน

ขายของไดมากเพยงพอทจะไดคานายหนา ถาให f(x) = 0.30x และ g(x) = x - 10,000 นกเรยนคดวา ฟงกชน (f◦g)(x) หรอ (g◦f)(x) เปนฟงกชนทแสดงคานายหนาทพนกงาน

ไดรบจากการขายในสปดาหน เพราะเหตใด

2) นกเรยนซอสนคาจากหางสรรพสนคาแหงหนง แตสนคาทนกเรยนซอมขนาดใหญ

ไมสามารถน�ากลบบานเองได ทางหางสรรพสนคามบรการจดสงสนคา ซงนกเรยน

จะตองจายคาสนคารวมกบคาภาษมลคาเพมและคาธรรมเนยมการจดสงสนคา ถาคาภาษ

มลคาเพมคดเปน 7% ของราคาสนคา และคาธรรมเนยมการจดสงสนคา 500 บาท

ให x แทนราคาสนคา

กจกรรม คณตศาสตร

2.1) เขยนฟ งก ชน f(x ) แสดง

ราคาสนคาเมอรวมภาษมลคา

เพมแลว และฟงกชน g(x) แสดงราคาสนคาเมอรวมคา

ธรรมเนยมจดสงสนคาแลว

2.2) ค�านวณและเปรยบเทยบคา

ของฟงกชนระหวาง (f◦g)(x) และ (g◦f)(x) ฟงกชนใดสงผลใหนกเรยนซอสนคาไดในราคาทถกกวา

2.3) สมมตวา ในทางกฎหมายไมคดภาษคาธรรมเนยมการจดสงสนคา นกเรยนจะเลอก

ใชฟงกชน (f◦g)(x) หรอ (g◦f)(x) เพราะเหตใด

2. ใหนกเรยนแตละกลมสงตวแทนมาน�าเสนอผลการวเคราะหและค�าตอบทได


อตราคาโดยสารเรอคลองแสนแสบ

อตราคาโดยสารเรอคลองแสนแสบ จากผานฟาลลาศไปยง ม.รามค�าแหง 1 เปนดงน

จากตวอยางการศกษาขางตน ใหนกเรยนคนควาขอมลเรองการน�าความรเกยวกบฟงกชน

มาประยกตใชในชวตประจ�าวน โดยเลอกเรองทสนใจและเปนเรองทเกดขนในชวตประจ�าวนของนกเรยน

มา 1 เรอง แลวเขยนกราฟของฟงกชน

จ�านวนทาเรอ (ทา)

อตราคาโดยสาร (บาท)

ไมเกน 5 ทา 8

เกน 5 ทา แตไมเกน 8 ทา 10



1 8 ผานฟาลลาศ2 8 8 ตลาดโบเบ3 8 8 8 สะพานเจรญผล4 8 8 8 8 บานครวเหนอ5 8 8 8 8 8 สะพานหวชาง6 10 8 8 8 8 8 ประตน�า7 10 10 10 8 8 8 8 ชดลม8 10 10 10 10 8 8 8 8 สะพานวทย9 12 10 10 10 10 10 8 8 8 นานาเหนอ10 12 12 10 10 10 10 8 8 8 8 นานาชาต11 12 12 10 10 10 10 10 8 8 8 8 อโศก12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 813 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 814 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 8 8 8 815 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 816 14 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 10 8 8 817 14 14 12 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 10 8 8 818 14 14 14 14 14 14 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 819 14 14 14 14 14 14 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 820 14 14 14 14 14 14 12 12 12 12 12 12 12 10 10 10 8 8 8 8

สเหราบานดอนซอยทองหลอ

ชาญอสระรร. วจตร

สะพานคลองตน

รามหนง

วดใหมชองลม

มศว. ประสานมตรอตลไทย

ทมา : กลมสถตวเคราะหส�านกแผนงาน กรมเจาทา

จากขอมลสามารถเขยนกราฟของฟงกชนได ดงน

3

5

6

9

12

10 15 20 25

15

Y อตราคาโดยสาร (บาท)

จ�านวนทาเรอ (ทา)X


ความสมพนธ


ฟงกชน

• r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r ⊂ A × B

• r เปนความสมพนธจาก A ไป A หรอความสมพนธในเซต A กตอเมอ r ⊂ A × A

ตวผกผนของความสมพนธ• ตวผกผนของความสมพนธ r คอ ความสมพนธทเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนา และสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r ซงเขยนแทนดวย r-1

r-1 = { (y, x) ∙ (x, y) ∊ r }

• Dr = Rr-1 และ Rr = Dr-1

• การเขยน r-1 แบบบอกเงอนไขม 2 แบบ คอ 1) ใชคอนดบ (x, y) แตตองสลบท x และ y ในเงอนไขขางหลง 2) ใชคอนดบ (y, x) แตตวแปร x และ y ในเงอนไขขางหลงยงคงเดม

• กราฟของ r กบ r-1 จะมเสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร

ผลคณคารทเซยน• ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B คอ เซตของคอนดบทสมาชกตวหนามาจากเซต A และสมาชกตวหลงมาจากเซต B

A × B = { (a, b) ∙ a ∊ A และ b ∊ B }

โดเมนและเรนจของความสมพนธ• โดเมนของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Dr

Dr = { x ∙ (x, y) ∊ r }

• เรนจของ r คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย Rr

Rr = { y ∙ (x, y) ∊ r }

• พจารณา Dr และ Rr ของความสมพนธแบบบอกเงอนไข - Dr : จดตวแปร y ในรปของ x แลวพจารณาคา x ทท�าใหไดคา y ทสอดคลองกบเงอนไข - Rr : จดตวแปร x ในรปของ y แลวพจารณาคา y ทท�าใหไดคา x ทสอดคลองกบเงอนไข

ฟงกชน• ฟงกชน คอ ความสมพนธซงสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจของความสมพนธเพยงตวเดยวเทานน ซงเขยนแทนดวย f

ถา (x, y) ∊ f และ (x, z) ∊ f แลว y = z

• การพจารณาวาความสมพนธเปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน จากกราฟ - ลากเสนตรงทขนานกบแกน Y ถามจดตดเพยง 1 จด ความสมพนธนนเปนฟงกชน ถามจดตด

มากกวา 1 จด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน

Y Y

X X0 0

เปนฟงกชนไมเปนฟงกชน

ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B

ฟงกชนจาก A ไป B• f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมน มเรนจเปนสบเซตของ B

ฟงกชนจาก A ไปทวถง B• f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนทม A เปนโดเมนและม B เปนเรนจ

• f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ 1) f เปนฟงกชนจาก A ไป B 2) ส�าหรบ x1, x2 ใด ๆ ใน A ถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2

• ใชกราฟพจารณาฟงกชนวาเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไมเปนฟงกชนหนงตอหนง - ลากเสนตรงทขนานกบแกน X ถามจดตดเพยง 1 จด จะเปนฟงกชน 1-1 ถามจดตดมากกวา 1 จด

จะไมเปนฟงกชน

Y

0 X

Y

0 X

เปนฟงกชน 1-1 ไมเปนฟงกชน 1-1


การดาเนนการทางพชคณตของฟงกชน• (f + g)(x) = f(x) + g(x) เมอ Df + g = Df ∩ Dg

• (f - g)(x) = f(x) - g(x) เมอ Df - g = Df ∩ Dg

• (f • g)(x) = f(x) • g(x) เมอ Df • g = Df ∩ Dg

• ( fg)(x) = f(x)g(x) เมอ D fg = Df ∩ Dg และ g(x) ≠ 0

ฟงกชนเพมและฟงกชนลด• f เปนฟงกชนเพมใน A กตอเมอ ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)• f เปนฟงกชนลดใน A กตอเมอ ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)

ฟงกชนผกผน• f-1 เปนฟงกชนกตอเมอ f เปนฟงกชน 1-1 เรยก f-1 วา ฟงกชนผกผน

ฟงกชนประกอบ• (g◦f)(x) = g(f(x)) โดย g◦f จะหาไดเมอ Rf ∩ Dg ≠ ∅ • Dg◦f = { x ∊ Df ∙ f(x) ∊ Dg }• (f◦g)(x) = f(g(x)) หาไดเมอ Rg ∩ Df ≠ ∅ และ Df◦g = { x ∊ Dg ∙ f(x) ∊ Df }

การเลอนขนาน

การเลอนขนานในแนวตง• y = f(x) + k ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ขนไปตามแนวตง k หนวย เมอ k > 0• y = f(x) - k ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ลงไปตามแนวตง k หนวย เมอ k > 0

การเลอนขนานในแนวนอน• y = f(x - k) ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ไปทางขวา k หนวย เมอ k > 0• y = f(x + k) ไดจากการเลอนกราฟ y = f(x) ไปทางซาย k หนวย เมอ k > 0

1แบบฝกทกษะ ประจาหนวยการเรยนรท

คาชแจง : ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน

Y

X0

k

k

y = f(x) + k

y = f(x) - k

y = f(x)

Y

X0

k k

y = f(x - k)

y = f(x + k) y = f(x)

1. ก�าหนด A = { 2, 6, 5, 7 } และ B = { 5, 6 } ใหหา A × B, B × A, A × A และ B × B

2. ใหตรวจสอบวา ความสมพนธทก�าหนดในแตละขอตอไปน เปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน

และถาเปนฟงกชนจะเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม เพราะเหตใด

1) r1 = { (a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3) }

2) r2 = { (x, y) ∙ y - 4 = 0 }

3. ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = x - 4 } ใหหา r-1 โดเมนและเรนจของ r-1 พรอมทงเขยนกราฟ

r และ r-1 บนระบบพกดฉากเดยวกน

4. ก�าหนด f = { (1, 2), (3, 4), (5, 8), (6, 7) } และ g(x) = { (1, 4), (3, 6), (9, 0), (10, 6) } ใหหา f + g, f - g, f • g และ gf 5. ก�าหนด f(x) = 2x และ g(x) = x - 3 ใหหาโดเมนของ fg

6. ก�าหนด f = { (x, y) ∙ y = 2x - ∙2x∙ } ใหหา Df และ Rf

7. ใหพจารณาฟงกชนตอไปนวา เปนฟงกชนเพมหรอฟงกชนลดบนเซตทก�าหนดให

1) f(x) = x3 + 2 ในเซต R

2) g(x) = x2 - 4x + 7 ในชวง (-∞, -2) และชวง (2, ∞)

8. ก�าหนด f(x) = 2x + 3 ใหหา f-1 (x)

9. ก�าหนด f(x) = x2 + 2, x ≥ 0 ใหหา f-1 พรอมทงเขยนกราฟ f และ f-1 บนระบบ

พกดฉากเดยวกน

10. ก�าหนด f(x) = x2 และ g(x) = x + 3 ใหหา (g◦f)(x) และ (f◦g)(x)

11. ก�าหนด f(x) = x - 3x แลว g(x) = x + 2 ใหหา (f◦g)(x + 1)

12. ก�าหนด f(x) = x2 + 1 และ g(x) = x2 + 4x + 7 ใหหาคาของ (f◦g)-1(3)

13. ณเดชตองการลอมรวใหเปนรปสเหลยมผนผาเพอท�าสวนผลไม โดยดานหนงของพนท

ทตองการลอมรวจะอยตดคลองซงไมตองมรวกน ถารวทงหมดยาว 160 เมตร ณเดชจะ

ลอมรวใหมพนทมากทสดไดเทาไร โดยความยาวของรวยงคงเทาเดม


Documents

ส่วนหน้า บร.คณิตศาสตร์ ม4 B2 [เน้นวิทย์]academic.obec.go.th/textbook/web/images/book/1521722290_example.pdf · คณิตน่ารู