สรุปเข้มคณิตศาสตร์ เล่ม 5 ...2 ค. ส าหร บข อม ลแจกแจงความถ าเฉล ยเลขคณ ตหาได

สรปเขมคณตศาสตร เลม 5 http://www.pec9.com บทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน

1

บทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน

13.1 การวดคากลางของขอมล

คากลางของขอมล คอคาทใชเปนตวแทนของขอมลทงหมดได คากลางทจะน ามาศกษาในทนม 5 ชนดไดแก คาเฉลยเลขคณต , มธยฐาน , ฐานนยม , คาเฉลยเรขาคณต และคาเฉลยฮารมอนก

13.1.1 คาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขคณตของประชากรจะใชสญลกษณแทนดวย คาเฉลยเลขคณตของกลมตวอยางจะใชสญลกษณแทนดวย x ในทนจะเนนหาคาเฉลยเลขคณตของกลมตวอยางเปนหลก การหาคาเฉลยเลขคณตแบงไดเปน 4 กรณยอยไดแก ก. ส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ คาเฉลยเลขคณตหาไดจากสมการ

x = N

N1 = i ix

เขยนยอเปน x = NixΣ

เมอ x คอคาเฉลยเลขคณต xi คอคาของขอมลตวท i

ixΣ คอผลรวมของขอมลทกตว N คอจ านวนตวขอมลทงหมดทม

ข. คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก ( ใชในกรณทขอมล แตละคามความส าคญไมเทากน ) ให w1 , w2 , w3 , , wk เปนความส าคญ หรอน าหนกถวงของขอมล x1 , x2 , x3 , , xk ตามล าดบ จะไดวา

x =

k

1 = i iw

k1 = i ix iw

เขยนยอเปน x = iix i

wΣw Σ

เมอ iΣw คอผลรวมน าหนกถวงขอมล

ixiΣw คอผลรวมของผลคณน าหนกถวงกบขอมลนนๆ


2

ค. ส าหรบขอมลแจกแจงความถ คาเฉลยเลขคณตหาไดจากสมการ

สตรตรง

x =

k

1 = i if

k1 = i ix if

เขยนยอเปน x = iix i

f Σf Σ

เมอ xi คอจดกงกลางอนตรภาคชนท i fi คอความถหรอจ านวนขอมลชนท i

iΣf คอผลรวมความถทกอนตรภาคชน

ixiΣf คอผลรวมของผลคณความถกบจดกงกลางชนทกอนตรภาคชน

ง. คาเฉลยเลขคณตรวม ถา 1x , 2x , …. , kx เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 , 2 , , k

N1 , N2 , , Nk เปนจ านวนคาจากการสงเกตในขอมลชดท 1 , 2 , , k

x =

k

1 = i iN

k1 = i ix iN

เขยนยอเปน x = ii i

N Σ

N Σ x

เมอ iΣN คอผลรวมจ านวนขอมลทกกลมยอย

i i x N Σ คอผลรวมของผลคณจ านวนขอมลกบคาเฉลยแตละกลมยอย

1. คาเฉลยเลขคณตของขอมลดบ 3 , 7 , 10 , 15 , 25 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 10 2. 12 3. 13 4. 18

2. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยน 6 คนเปน 20 คะแนน แตครท าคะแนนของนาย สมชายหายไปเหลอแตคะแนนของนกเรยน 5 คนดงน 12 , 17 , 14 , 27 , 13 แลว จงหา คะแนนของนายสมชาย


3

3(แนว 9 สามญ) ในการสอบวชาคณตศาสตรมการสอบ 5 ครง โดยทอาจารยผสอนใหน าหนกของ ผลการสอบครงสดทายเปนสองเทาของผลการสอบครงอน ในการสอบแตละครง เดกชายเอก สอบไดคะแนน 84 , 86 , 86 , 88 , 98 เปอรเซนต ถามวาเขาจะสอบไดคะแนนเฉลยของ การสอบทงหมดนเทากบกเปอรเซนต 4. นกศกษาคนหนงลงทะเบยนเรยนวชาตางๆ และไดผลการเรยนดงตาราง จงหาเกรดเฉลยของ นกศกษาคนน

วชา หนวยกจ เกรดทได ฟสกส 4 1 เคม 3 3

ชววทยา 2 3 พละศกษา 1 4

1. 56 2. 1.98 3. 2.30 4. 2.90

5(แนว En) สอบยอย

การบาน ครงท 1 ครงท 2 ปลายภาค

เกณฑการคดคะแนน (%) คะแนนทได

(จากคะแนนเตม 100)

20 85

20 95

30 80

30

ตารางขางบนน เปนเกณฑการคดคะแนนทผสอนก าหนดไว และผลการเรยนของนกเรยนคน หนง ถานกเรยนคนนไดคะแนนเฉลยตลอดภาคเปน 87% แลวคะแนนการสอบปลายภาคของ เขา เทากบขอใดตอไปน

1. 82 2. 83 3. 87 4. 90


4

6(แนว PAT1) ถาตารางแจกแจงความถแสดงน าหนกของเดกจ านวน 40 คน เปนดงน น าหนก(กโลกรม) จ านวน

9 – 11 15 12 – 14 5 15 – 17 5 18 – 20 10 21 – 23 5

ถา x แทนคาเฉลยของน าหนกเดกกลมน แลวขอใดตอไปนถก 1. x = 17.444 2. x = 14.875 3. x = 17.444 4. x = 14.875 7. ผลการสอบวชาเคมของนกเรยน 2 กลม ปรากฏผลดงตาราง จงหาคะแนนสอบเฉลยของ นกเรยนทงสองกลมน

จ านวนคน คาเฉลยเลขคณต

กลมท 1 4 15 กลมท 2 6 12

1. 10.5 2. 14.5 3. 20.5 4. 25.5

8(แนว En) ในการสอบวชาสถตของนกเรยนหองหนง 30 คน ปรากฏวาไดคะแนนเฉลยเปน 52 คะแนน และในการสอบครงนมผทไดคะแนนต าสดจ านวน 6 คน ซงในจ านวน 6 คนนม คะแนนเฉลย 31 คะแนน แลวคะแนนเฉลยของนกเรยนทเหลอมคาเทากบกคะแนน 1. 55.50 2. 57.25 3. 57.50 4. 55.75


5

9(แนว มช) ผลรวมของคาสงเกตของขอมลชดท 1 ชดท 2 และ ชดท 3 มคาเปน 50 , 60 และ 70 ตามล าดบ ถาทราบวาคาเฉลยเลขคณตรวมของขอมล 3 ชดนมคาเปน 6.00 และ จ านวนคา สงเกตในขอมลชดท 1 และชดท 2 มคาเปน 10 และ 15 ตามล าดบ แลวจะไดวาจ านวนคา สงเกตในขอมลชดท 3 มคาเปน 1. 2 2. 5 3. 20 4. 30

สมบตของคาเฉลยเลขคณต

1. ให X เปนคาเฉลยเลขคณตของ X1 , X2 , , XN ถา Xmin และ Xmax เปนคาสงเกตทมคาต าสด และ สงตามล าดบแลว Xmin X Xmax

2. ถา X เปนคาเฉลยเลขคณตของ X1 , X2 , , XN จะไดวา N

1 i iX = N X

3. ถา X เปนคาเฉลยเลขคณตของ X1 , X2 , , XN จะไดวา

N1 i

)Xi(X = 0

4. ให X เปนคาเฉลยเลขคณตของ X1 , X2 , , XN

ถา a เปนคาคงตวใดๆ แลว

N1i

2a)i(X จะมคานอยทสดเมอ a = X เทานน

5. ให X เปนคาเฉลยเลขคณตของ X1 , X2 , , XN ถา Yi = a Xi + b โดยท a และ b เปนคาคงตว จะไดวา Y = a X + b

10(แนว En) ความสมพนธระหวางราคาขาย ( Y ) และตนทน ( X ) ของสนคาในรานแหงหนงเปน Y = 2X – 30 ถาตนทนของสนคา 5 ชนด คอ 31 , 34 , 35 , 36 และ 39 บาทแลว คาเฉลย เลขคณตของราคาขายสนคา 5 ชนดน เทากบขอใดตอไปน 1. 25 บาท 2. 30 บาท 3. 35 บาท 4. 40 บาท


6

13.1.2 มธยฐาน มธยฐาน คอคาทมต าแหนงอยกงกลางของขอมลทงหมดเมอเรยงขอมลจากคานอยไปคามาก หรอจากคามากไปหาคานอย การหาคามธยฐานสามารถแบงไดเปน 2 กรณยอยไดแก ก. ส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ ขนตอนการหาคามธยฐานจากขอมลทไมไดแจกแจงความถ มดงน ขนท 1 เรยงล าดบขอมลจากคานอยไปหาคามาก หรอจากคามากไปหาคานอย ขนท 2 หาต าแหนงของมธยฐาน จาก

ต าแหนงของมธยฐาน = 21 + N

เมอ N คอจ านวนตวขอมลทงหมด ขนท 3 หากต าแหนงทค านวณไดเปนจ านวนเตม มธยฐาน = ขอมลต าแหนงทค านวณไดจากขน 2 นน

หากต าแหนงทค านวณไดไมเปนจ านวนเตม มธยฐาน = ( ขอมลต าแหนงท x + ขอมลต าแหนงท y ) 2

เมอ x คอคาของจ านวนเตมของต าแหนงทค านวณได y = x + 1 เชนสมมตค านวณต าแหนงได 6.5 จะไดวา x = 6 , y = 6 + 1 = 7

ข. ส าหรบขอมลแจกแจงความถ ขนตอนการหาคามธยฐานจากขอมลทแจกแจงความถแลว มดงน ขนท 1 เรยงล าดบขอมลจากคานอยไปหาคามาก แลวหาคาความถสะสม

ขนท 2 หาต าแหนงมธยฐานโดย ต าแหนงมธยฐาน = 2

N เมอ N = จ านวนขอมลทงหมด = ผลรวมความถ

ขนท 3 ถา 2N เทากบความถสะสมของชนใดชนหนง

มธยฐาน = ขอบบนของชนนน ถา 2

N ไมเทากบความถสะสมของชนใดเลย ใหเลอกคดชนซงมคาความถสะสมมากกวา 2

N อยเลกนอย เพราะมธยฐานจะอยในชนน และหาคามธยฐานไดจาก


7

มธยฐาน =

mfLf 2

N I + L

เมอ L คอขอบลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย fL คอผลรวมของความถของทกอนตรภาคชนทเปนชวงคะแนนต ากวาชน ทมมธยฐานอย

fm คอความถของชนทมมธยฐานอย I คอความกวางของอนตรภาคทมมธยฐานอย

11. จากขอมลซงเรยงล าดบจากนอยไปมากแตละขอตอไปน จงหาคามธยฐาน ก. 2 , 8 , 9 , 11 , 15 ข. 2 , 4 , 5 , 8 , 9 , 10 , 16 , 19 , 20 , 35 ค. 10 , 12 , 12 , 13 , 16 , 17 , 22 , 24 , 29 , 33 , 49 , 50 , 67 , 67 , 67 , 68 , 69 , 70 , 71

1. ก. 9 ข. 10 ค. 33 2. ก. 9 ข. 9 ค. 49 3. ก. 9 ข. 9.5 ค. 33 4. ก. 9 ข. 10 ค. 49

12(แนว มช) จากตารางแจกแจงความถแสดงอายของคนไขทมารกษาทโรงพยาบาลแหงหนง จงหา คามธยฐานของอายคนไขกลมน

ชวงอาย(ป) 14 – 23 24 – 33 34 – 43 44 – 53 54 – 63 รวม จ านวนคน 7 9 5 7 2 30


8

13. จากตารางแจกแจงความถทก าหนด คาของมธยฐานมคาเทากบขอใดตอไปน คะแนนสอบ จ านวน

40 – 49 8 50 – 59 12 60 – 69 40 70 – 79 48 80 – 89 8 90 – 99 4

1. 62.5 2. 63.0 3. 67.0 4. 69.5

คณสมบตทส าคญของมธยฐาน

ส าหรบจ านวนจรง a ใดๆ

N

1i ai X

จะมคานอยทสดเมอ a = มธยฐาน เทานน

14(แนว En) ขอมลชดหนงประกอบดวย x1 , x2 , …, x5 โดยท xn = 5 – n

a เปนจ านวนจรงทท าให

51 i

2a) i(x มคานอยทสด

และ b เปนจ านวนจรงทท าให

51 i

| b ix| มคานอยทสด

แลว a + b มคาเทาใด


9

13.1.3 ฐานนยม ฐานนยม คอคาขอขอมลทมความถสงสด การหาคาฐานนยมสามารถแบงไดเปน 2 กรณยอยไดแก

ก. ส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ การหาคาฐานนยมส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ ใหถอหลกวา

ฐานนยม = ขอมลตวทซ ากนบอยทสด ส าหรบขอมล 1 ชดใดๆ อาจมฐานนยมไดหลายคา หรออาจไมมฐานนยมเลยกได ข. ส าหรบขอมลแจกแจงความถ หากทกอนตรภาคชนมความกวางเทากนหมด ใหเลอกคดชนทมความถสงสด เพราะฐาน-นยมอยในชนน หาคาฐานนยมไดจาก

ฐานนยม = L +

2d 1d1d

I

เมอ L คอขอบลางของชนทมฐานนยมอย d1 คอผลตางความถของชนทมฐานนยมอยกบความถของชนทต ากวาทตดกน d2 คอผลตางความถของชนทมฐานนยมอยกบความถของชนทสงกวาทตดกน I คอความกวางของอนตรภาคชนทมฐานนยมอย หากทกอนตรภาคชนมความกวางเทากนหมด และมชนทมความถสงสดเทากนหลายชน และชนเหลานนไมอยตดกน ใหคดทละชนโดยใชสตรเดม จะท าใหไดคาฐานนยมหลายคาดวย

หากทกอนตรภาคชนมความกวางเทากนหมด และมชนทมความถสงสดเทากนหลายชน และชนเหลานนอยตดกน ใหรวมชนเหลานนเปนชนเดยวกอนแลวจงหาคาฐานนยม

หากอนตรภาคชนมความกวางไมเทากน ใหหาคา If ของแตละชนกอน แลวจงเลอกคดชนทมคา If

สงสด เพราะฐานนยมอยในชนน หาคาฐานนยมไดจาก

ฐานนยม = L +

2d 1d1d

I

เมอ L คอขอบลางของชนทมฐานนยมอย d1 คอผลตางคา If ของชนทมฐานนยมอยกบความถของชนทต ากวาทตดกน d2 คอผลตางคา If

ของชนทมฐานนยมอยกบความถของชนทสงกวาทตดกน I คอความกวางของอนตรภาคชนทมฐานนยมอย


10

15. คาฐานนยมแตละขอยอยตอไปนมคาเทากบเทาใด ก) 3 , 6 , 2 , 6 , 5 , 6 , 4 , 1 , 1 , 6 ข) 21 , 13 , 12 , 6 , 23 , 23 , 20 , 19 , 13 ค) 3 , 4 , 5 , 8 , 10 1. ก) 6 ข) 13 ค) – 2. ก) 6 ข) 23 ค) – 3. ก) 6 ข) – ค) – 4. ก) 6 ข) 13 , 23 ค) –

16(แนว En) ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน

10 , 20 , 30 , 30 , a , b , 60 , 60 , 90 , 120 ถาฐานนยมและมธยฐานของคะแนนชดนเปน 30 และ 40 ตามล าดบ แลวคาเฉลยเลขคณต

ของขอมลชดนมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 30 2. 35 3. 40 4. 50

17(แนว PAT1) ถาตารางแจกแจงความถแสดงน าหนกของเดกจ านวน 40 คน เปนดงน น าหนก จ านวน น.ร f 9 – 11

12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23

5 5

15 10 5

คาของฐานนยมมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 15.5 2. 16.0 3. 16.5 4. 16.8


11

ขอสงเกตและหลกเกณฑทส าคญในการใชคากลางชนดตางๆ 1) การค านวณหาคาเฉลยเลขคณตจะใชขอมลทกๆ ตว แตมธยฐานและฐานนยมใชขอมลบางคาเทานน 2) ถามขอมลบางคามคาสงหรอต ากวาขอมลอนมากๆ คาเฉลยเลขคณตจะเปนคากลางทไมเหมาะทจะเปนตวแทนของขอมล 3) ถาการแจกแจงความถของขอมลประกอบดวยอนตรภาคชนเปด จะไมสามารถหาคาคาเฉลยเลขคณต แตอาจหามธยฐานหรอฐานนยมได 4) ถาความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน อาจท าใหคาเฉลยเลขคณตหรอฐานนยมคลาดเคลอนไปจากทควรจะเปน แตจะไมกระทบกระเทอนการหามธยฐาน 5) มธยฐานและฐานนยมหาจากกราฟได แตคาเฉลยเลขคณตหาจากกราฟไมได 6) ในกรณทขอมลเปนขอมลเชงคณภาพ จะหาไดเฉพาะฐานนยมเทานน จะหาคาเฉลยเลขคณตและมธยฐานไมได 7) ในสถตชนสงคาเฉลยเลขคณตมทใชมาก สวนมธยฐานกบฐานนยมแทบไมมทใช 18(แนว มช) ขอมลตอไปนคอเบอรรองเทา และจ านวนคทผลตไดของรองเทาแตะทผลตโดย โรงงานแหงหนง

เบอรรองเทา 5 6 7 8 9 10

จ านวนทผลต (ค) 1000 2400 2900 5200 3300 1100

คากลางทเหมาะสมส าหรบขอมลชดนคอขอใด 1. คาฐานนยม 2. คาเฉลยเลขคณต 3. คามธยฐาน 4. คาเฉลยฮารมอนก

13.1.4 คาเฉลยเรขาคณต การหาคาเฉลยเรขาคณตสามารถแบงไดเปน 2 กรณยอยไดแก ก. ส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ ให x1 , x2 , x3 , , xN เปนขอมล N จ านวน

G.M. = NNx3x2x1x หรอ log G.M. =

N

1i = i xlogN

1

เมอ G.M. คอคาเฉลยเรขามอนก


12

ข. ส าหรบขอมลแจกแจงความถ ให f1 , f2 , f3 , , fk เปนความถของขอมล x1 , x2 , x3 , , xk ตามล าดบ

G.M = N

kk332211fx ....fx fx fx หรอ log G.M =

k1 = i ixlog if N

1

เมอ G.M. คอคาเฉลยเรขามอนก

13.1.5 คาเฉลยฮารมอนก คาเฉลยฮารมอนก เปนคากลางทใชกบขอมลทอยในรปอตราสวน เชนคาอตราเรว เปนตน การหาคาเฉลยฮารมอนกสามารถแบงไดเปน 2 กรณยอยไดแก

ก. ส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ ให x1 , x2 , x3 , , xN เปนขอมล N จ านวน จะไดวา

H.M. = nx1 + ..... + 3x1 + 2x1 + 1x1

N = N

1 = i ix1 N

เมอ H.M. คอคาเฉลยฮารมอนก ข. ส าหรบขอมลแจกแจงความถ

ให f1 , f2 , f3 , , fk เปนความถของขอมล x1 , x2 , x3 , , xk ตามล าดบ H.M. =

nxnf + ..... + 3x3f

+ 2x2f + 1x1f

N = N

1 = i ixif

N

เมอ H.M. คอคาเฉลยฮารมอนก

13.2 การวดต าแหนงทหรอต าแหนงสมพทธของขอมล

ควอรไทล เปนคาทแบงจ านวนขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆ กน เมอเรยงขอมลจากคานอยไปคามาก ส าหรบขอมลชดหนงๆ แลว จะมคาควอรไทลอย 3 คาไดแก ควอรไทลท 1 ( Q1 ) , ควอรไทลท 2 ( Q2 ) , ควอรไทลท 3 ( Q3 ) ( เรยงตามล าดบจากคานอยไปคามาก ) เดไซด เปนคาทแบงจ านวนขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆ กน เมอเรยงขอมลจากคานอยไปมาก ส าหรบขอมลชดหนงๆ แลว จะมคาเดไซดอย 9 คาไดแก เดไซดท 1 (D1) , เดไซดท 2 (D2) , … , เดไซดท 9 ( D9 ) ( เรยงตามล าดบจากคานอยไปคามาก ) เปอรเซนไทล เปนคาทแบงจ านวนขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆ กน เมอเรยงขอมลจากคานอยไปมาก ส าหรบขอมลชดหนงๆ แลว จะมคาเปอรเซนไทลอย 99 คาไดแก เปอรเซนไทลท 1


13

(P1) , เปอรเซนไทลท 2 (P2) , ……. , เปอรเซนไทลท 99 ( P99 ) ( เรยงตามล าดบจากคานอยไปคามาก )

โปรดสงเกต 1) Q2 = D5 = P50 = มธยฐาน 2) P25 = Q1 เพราะมขอมลทนอยกวาอย 1 ใน 4 เชนกน 3) P75 = Q3 เพราะมขอมลทนอยกวาอย 3 ใน 4 เชนกน

ขนตอนการหาคา ควอรไทล เดไซด เปอรเซนไทล จากขอมลทไมไดแจกแจงความถ การหาคากงกลางพสยสามารถแบงไดเปน 2 กรณยอยไดแก ก. ส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ ขนท 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก ขนท 2 หาต าแหนงของควอรไทล เดไซล เปอรเซนไทลทตองการ โดย ต าแหนงของ Qr = ( N + 1 ) ( 4

r ) ต าแหนงของ Dr = ( N + 1 ) ( 10

r ) ต าแหนงของ Pr = ( N + 1 ) ( 100

r ) เมอ N คอจ านวนตวขอมล r คอล าดบทของควอรไทล เดไซล เปอรเซนไทลทตองการ ขนท 3 หากต าแหนงทค านวณไดเปนจ านวนเตม คา Qr หรอ Dr หรอ Pr = ขอมลต าแหนงทค านวณไดจากขน 2 นน

หากต าแหนงทค านวณไดไมเปนจ านวนเตม คา Qr หรอ Dr หรอ Pr = ขอมลต าแหนงท x + z (ขอมลต าแหนงท y – ขอมลต าแหนงท x)


14

เมอ x คอคาของจ านวนเตมของต าแหนงทค านวณได y = x + 1 z คอคาของทศนยมของต าแหนงทค านวณได เชน สมมตค านวณต าแหนงได 6.23 จะไดวา x = 6 , y = 7 , z = 0.23

ข. ส าหรบขอมลแจกแจงความถ ขน 1 เรยงขอมลจากนอยไปมาก แลวหาความถสะสม

ขน 2 หาต าแหนงของควอรไทล เดไซล เปอรเซนไทลทตองการ โดย ต าแหนงของ Qr = N ( 4

r ) ต าแหนงของ Dr = N ( 10

r ) ต าแหนงของ Pr = N ( 100

r ) เมอ N คอจ านวนตวขอมล ( เทากบผลรวมความถ ) r คอล าดบทของควอรไทล เดไซล เปอรเซนไทลทตองการ

ขน 3 ถาต าแหนงทค านวณไดในขน 2. มคาเทากบความถสะสมของชนใดชนหนง คา Qr หรอ Dr หรอ Pr = ขอบบนของชนนน

ถาต าแหนงทค านวณไดในขน 2. ไมเทากบความถสะสมของชนใดเลย ใหเลอกคดชนซงมคาความถสะสมมากกวาต าแหนงอยเลกนอย เพราะคา Qr หรอ Dr หรอ Pr จะอยในชนน และหาคา Qr หรอ Dr หรอ Pr ไดจาก

คา Qr หรอ Dr หรอ Pr =

mfLf 2

N I + L

เมอ L = ขอบลางของอนตรภาคชนทม Qr หรอ Dr หรอ Pr อย fL = ผลรวมของความถของทกอนตรภาคชนทเปนชวงคะแนนต ากวาชนทม Qr หรอ Dr หรอ Pr อย fm = ความถของชนทม Qr หรอ Dr หรอ Pr อย I = ความกวางของอนตรภาคทม Qr หรอ Dr หรอ Pr อย


15

19. จากขอมลตอไปน 89 , 91 , 94 , 95 , 95 , 105 , 116 , 118 , 131 คาของเปอรเซนไทลท 28 ( P28) , ควอรไทลท 3 (Q3) และเดไซดท 4 ( D4) มคาเทากบ

ขอใดตอไปน 1. P28 = 93.4 , Q3= 117.0 , D4 = 95.0 2. P28 = 93.0 , Q3 = 117.5 , D4 = 95.0 3. P28 = 93.4 , Q3= 118.0 , D4 = 93.0 4. P28 = 93.0 , Q3 = 118.5 , D4 = 93.0

20(แนว มช) ตารางตอไปนเปนคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 60 คน

คะแนน จ านวนนกเรยน 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

2 3 5

10 22 15 3

ใหหาคาคะแนนซงอยตรงกบควอรไทลท 1 ตางกบเปอรเซนไทลท 70 กคะแนน


16

21(แนว A–Net) ในโรงงานแหงหนงมพนกงานจ านวน 40 คน และตารางแจกแจงความถสะสม ของอายพนกงานเปนดงน

อาย (ป) ความถสะสม 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60

6 14 26 36 40

ถาสมชายมอาย 48.5 ป แลวพนกงานทมอายมากกวาสมชายมจ านวนประมาณเทากบขอใด 1. 15% 2. 25% 3. 35% 4. 85% 22(แนว En) อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงความถดงน

อาย ( ป ) จ านวนเดก 1 – 3 4 – 6 7 – 9

10 – 12 13 – 15

2 a 8 7 3

ถาเปอรเซนไทลท 25 ของอายของเดกกลมนเทากบ 6.5 ป แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5


17

13.3 การวดการกระจายของขอมล

คาการกระจายขอมล เปนคาทบอกถงความแตกตางของคาจากการสงเกตแตละคาในขอมลชดหนงๆ ถาคาจากการสงเกตเหลานนมลกษณะเกาะกลมกน ( มความแตกตางกนนอย ) คาการกระจายขอมลนนจะมคานอย หากคาจากการสงเกตเหลานนมความแตกตางมาก คาการกระจายขอมลชดนนจะมคามาก การวดกระจายของขอมล แบงออกไดเปน 2 วธ ไดแก 1. การวดการกระจายสมบรณ (Absolute Variation) 2. การวดการกระจายสมพทธ (Relative Variation)

13.3.1 การวดการกระจายสมบรณ การวดการกระจายสมบรณ คอการวดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยว เพอดวาขอมลชดนมความแตกตางกนมากหรอนอยเพยงใด การวดการกระจายสมบรณ สามารถท าได 4 แบบ คอ 13.3.1.1 พสย ( Range )

พสย คอคาทใชวดการกระจายทหาไดจากการน าขอมลทมคาสงสดลบดวยขอมลทมคาต าสด

การหาคาพสยสามารถแบงไดเปน 2 กรณยอยไดแก ก. ส าหรบขอมลไมแจกแจงความถ

พสย = xmax – xmin เมอ xmax = ขอมลทมคาสงสด xmin = ขอมลทมคาต าสด

ข. การหาพสยจากขอมลทแจกแจงความถแลว

พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนทมคาสงสด – ขอบลางของอนตรภาคชนทมคาต าสด ควรทราบ หากเปนอนตรภาคชนเปด จงหาพสยไมได

23. จากขอมลตอไปน จงหาพสย 3 , 5 , 9 , 12 , 15


18

24. จงหาพสยของขอมลตอไปน คะแนน ความถ 10 – 14 15 – 19 20 – 24

3 5 2

13.3.1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (Quartile Diviation , Q.D. ) การหาสวนเบยงเบนควอรไทลจากขอมลทงทแจกแจงและไมไดแจกแจงความถ หาไดจาก

สมการ Q.D. = 21Q 3Q

เมอ Q.D. คอสวนเบยงเบนควอรไทล Q3 คอคาของควอรไทลท 3 Q1 คอคาของควอรไทล

25(แนว A–Net) ก าหนดใหตารางแสดงเงนคาอาหารกลางว นทนกเรยนหองหนงไดรบจาก ผปกครองเปนดงน

คาอาหารกลางวน (บาท) จ านวนนกเรยน (คน) 29 – 31 32 – 34 35 – 37 38 – 40 41 – 43

1 4 5 5 5

สวนเบยงเบนควอไทล มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 34.5 3. 37.5 4. 40.5


19

13.3.1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation ; M. D. ) สวนเบยงเบนเฉลย คอคาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากการเฉลยคาสมบรณของความแตกตางระหวางคาของขอมลแตละคา กบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน การหาคาสวนเบยงเบนเฉลยสามารถแบงไดเปน 2 กรณยอยไดแก

ก. การหาสวนเบยงเบนเฉลยจากขอมลทไมไดแจกแจงความถ

หาไดจากสมการ M.D. = N| x ix |

N1iΣ เขยนยอเปน M.D. = N

| x x | Σ เมอ M.D. คอสวนเบยงเบนเฉลย xi หรอ x คอคาของขอมลตวท i x คอคาเฉลยเลขคณต N คอจ านวนตวของขอมล

ข. การหาสวนเบยงเบนเฉลยจากขอมลทแจกแจงความถแลว

หาไดจาก M.D. = if

N

1i

| x ix | if N

1i

เขยนยอเปน M.D. =

f| x x | f

เมอ M.D. คอสวนเบยงเบนเฉลย

xi หรอ x คอจดกงกลางของแตละอนตรภาคชนท i = 2ขอบลาง ขอบบน

x คอคาเฉลยเลขคณต fi คอความถของแตละอนตรภาคชนท i

26. จงหาคาสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลตอไปน 2 , 7 , 10 , 6 , 5 27. จงหาคาสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลตอไปน

คะแนน ความถ 10 – 14 15 – 19 20 – 24

3 5 2


20

13.3.1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation , S.D. ) สวนเบยงเบนมาตรฐาน คอคาทใชวดการกระจายของขอมลทไดจากการหารากทสองทเปน

บวกของคาเฉลยของก าลงสองของผลตางระหวางคาของขอมลแตละคากบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนน

ก. การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานจากขอมลทไมแจกแจงความถ

หาไดจาก S.D. = N

2)x i(x ΣN

1i

หรอ S.D. = 2x N

2ix Σ

N1i

เขยนยอเปน S.D. = N

2)x i(x หรอ S.D. =

2x N

2ix

เมอ S.D. คอสวนเบยงเบนมาตรฐาน ( อาจใชสญลกษณ S กได ) xi หรอ x คอคาของขอมลแตละคา

x คอคาเฉลยเลขคณต N คอจ านวนตวของขอมล

ข. การหาสวนเบยงเบนมาตรฐานจากขอมลทแจกแจงความถแลว

สตรตรง S.D. =

if N

1i

2)xi(xif N1i

หรอ S.D. = 2x

if N1i

2ix if N1i

เขยนยอเปน S.D. = f2)x(x f

หรอ S.D. = 2x f

2x f

เมอ S.D. คอสวนเบยงเบนมาตรฐาน

xi หรอ x คอจดกงกลางของแตละอนตรภาคชนท i = 2ขอบลาง ขอบบน

x คอคาเฉลยเลขคณต fi คอความถของแตละอนตรภาคชนท i

สตรลด ( วธทอนขอมล ) (ใชเมอความกวางของอนตรภาคชนกวางเทากนทกชน )

S.D. = I 2d if N

1i

2id if N

1i

Σ

Σ เขยนยอเปน S.D. = I 2d f

2d f


21

โดยท di = Ia ix

และ d = f d f

เมอ a คอจดกงกลางของอนตรภาคชนใดชนหนง I คอความกวางอนตรภาคชนซงเทากนทกชน xi คอจดกงกลางชนท i fi คอความถชนท i

28(แนว En) กระเปา 4 ใบ มน าหนกเปน 3 , 1 , 7 และ 5 กโลกรม ถาชงน าหนกของกระเปา 4 ใบน รวมกบกระเปาอกใบหนงไดคาเฉลยเลขคณตของน าหนกของกระเปา 5 ใบนเปน 5 กโล- กรม แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของน าหนกของกระเปาทงหาใบนมคาเทากบขอใด ตอไปน 1. 1.58 2. 2.22 3. 2.83 4. 3.13

29. จงหาคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลตอไปน

คะแนน ความถ 10 – 14 15 – 19 20 – 24

3 5 2


22

ความแปรปรวน (Variance , V ) ความแปรปรวน คอคาก าลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐาน นนคอ V = s2

30(แนว En) ในการกอสรางตกใหญแหงหนงมคนงานจ านวน 100 คน โดยเฉลยแลวไดคาจาง รายวนคนละ 75 บาท ถาผลรวมของก าลงสองของคาจางรายวนของคนงานแตละคนมคาเทากบ 575,000 (บาท)2 คาความแปรปรวนของคาจางรายวนของคนงานกลมนเปนเทาไร

1. 11.18 (บาท)2 2. 111.8 (บาท)2 3. 125 (บาท)2 4. 12,500 (บาท)2

การหาคาความแปรปรวนรวมของขอมล 2 ชด ก าหนด ขอมล 2 ชด มคาดงน ขอมลชดท 1 ขอมลชดท 2 จ านวนขอมล = N1 จ านวนขอมล = N2 คาเฉลยเลขคณต = 1x คาเฉลยเลขคณต = 2x

สวนเบยงเบนมาตรฐาน = s1 สวนเบยงเบนมาตรฐาน = s2

เมอน าขอมลทง 2 ชด มารวมกน จะไดวา

2รวมs =

2N 1N2N 1N

2)2x 1x(2N1N 2

2s2N 21s1N

ในกรณท 1x = 2x จะไดวา

2รวมs =

2N 1N2N 1N

2)0(2N1N 2

2s2N 21s1N

2รวมs =

2N 1N 2

2s2N 21s1N


23

31. ขอมล 2 ชด ชดท 1 มจ านวน 20 ขอมล x = 9 , s = 3 ขอมลชดท 2 มจ านวน 15 ขอมล x = 12 , s = 4 จงหาความแปรปรวนของขอมลทง 2 ชดน 1. 14.20 2. 14 3. 12.20 4. 13 คณสมบตของการวดการกระจายสมบรณ

1. ขอมล 1 ชดใด ๆ จะมสวนเบยงเบนมาตรฐานเพยงคาเดยว และ s 0 เสมอ 2. ถาขอมลทกตวมคาเทากน คาการกระจายสมบรณทกชนดจะมคาเปน 0 หมด

พสย = Q.D. = M.D. = s = 0 3. x = N x และ x2 = N ( s2 + 2x ) 4. สมมต ขอมลชดหนงเปน x1 , x2 , x3 , x4

เมอปรบโดยเอา a คณตลอด แลว + b ตลอด จะไดขอมลใหมเปน a x1 + b , a x2 + b , a x3 + b , a x4 + b จะไดวา x ใหม = a x เดม+ b Rใหม = | a | Rเดม Q.D.ใหม = | a | Q.D.เดม M.D.ใหม = | a | M.D.เดม S.D.ใหม = | a | S.D.เดม Vใหม = a2 Vเดม

32. ถาขอมล x , y , z มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 50 แลวขอมล –4x+5 , –4y+5 , –4z+5 จะมคาเฉลยเลขคณตเทาใด


24

33(แนว มช) ก าหนดให x1 , x2 , … , xn เปนขอมลชดหนงทมความแปรปรวนเทากบ v ถา ขอมลชดใหมคอ ax1 + b , ax2 + b , .... , axn + b เมอ a + b คอคาคงทใด ๆ ความ แปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบขอใด 1. av 2. av + b 3. a2v 4. a2v + b2

34(แนว En) ถาขอมล คอ a , b , c , d สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ความบายเบนมาตรฐาน) ของ ขอมล คอ p ถาขอมลคอ 1 – a , 1 – b , 1 – c , 1 – d สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลคอ 1. p 2. 1 – p 3. p1 4. 1 – p

35. ก าหนด x1 , x2 , … , xN เปนขอมลชดท 1 y1 , y2 , … , yN เปนขอมลชดท 2 โดยท yi = xi + b เมอ i = 1 , 2 , 3 , … , N และ b เปนคาคงตวทไมเทากบศนย แลว จงพจารณาขอความตอไปน ก. สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทงสองชดมคาเทากน ข. พสยของขอมลทงสองชดมคาเทากน

ขอใดสรปไดถกตอง 1. ขอ ก. ถกเพยงขอเดยว 2. ขอ ข. ถกเพยงขอเดยว 3. ขอ ก. และขอ ข. ถก 4. ขอ ก. และ ขอ ข. ผด


25

13.3.2 การวดการกระจายสมพทธ การวดการกระจายสมพทธ คอการวดกระจายขอมลหลายชด เพอเปรยบเทยบวาขอมลชดใดมการกระจายนอยหรอมากกวากน การวดการกระจายสมพทธ สามารถท าได 4 แบบ คอ

ชอ สตรทใชหาคา สมประสทธของพสย ( coefficent of range , C.R. )

C.R = minxmaxx minxmaxx

สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล (coeffcient of quartile deviation , C.Q.)

C.Q = 1Q3Q1Q3Q

สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (coefficent of Mean deviation , C.M.)

C.M = x

M.D

สมประสทธของการแปรผน (coefficent of variation , ) (สมประสทธของสวนเบยงเบนมาตรฐาน)

= x S

36(En 39) ก าหนดขอมล 2 ชด ดงน ชดท 1 : 6 , 12 , 9 , 10 , 6 , 8 ชดท 2 : 60 , 64 , 56 , 70 , 52 , 63 ขอความใดตอไปนถก 1. ขอมลชดท 1 กระจายนอยกวาชดท 2 2. ขอมลชดท 1 กระจายมากกวาชดท 2 3. ขอมลชดท 1 กระจายเทากบชดท 2 4. เปรยบเทยบการกระจายของขอมล 2 ชด นไมได


26

37(แนว A–Net) พจารณาขอมลชดหนง ซงเรยงล าดบจากนอยไปมาก ดงตอไปน 8 a 12 17 22 b 26

ถาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 17 ควอไทลท 1 เทากบ 10 แลว สมประสทธของสวนเบยงเบน ควอไทลเทากบคาในขอใดตอไปน

1. 0.41 2. 0.50 3. 0.55 4. 0.60

38(แนว A–Net) ถาขอมลชดหนงมสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.30 สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 6 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 แลว สมประสทธของการแปรผนมคาเทากบเทาใด

39(แนว En) นกเรยนอนบาล 5 คน มอายเปน x1 , x2 , x3 , x4 , x4 ป , 5

1 ix = 25 และ

5

1i2x = 150 แลวสมประสทธของการแปรผนของอายนกเรยนทง 5 คนน เทากบขอใด

1. 55 2. 1 3. 5

52 4. 5


27

เฉลยบทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบ 37 3. ตอบ 90 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบ 32.39 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบ 4 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 4. 17. ตอบขอ 3 . 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบ 15 21. ตอบขอ 1. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบ 12 24. ตอบ 15 25. ตอบขอ 1. 26. ตอบ 2 27. ตอบ 2.7 28. ตอบขอ 3. 29. ตอบ 3.5 30. ตอบขอ 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบ –195 33. ตอบขอ 3. 34. ตอบขอ 1. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 1. 38. ตอบ 0.25 39. ตอบขอ 1.


28

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน ชดท 1

13.1 การวดคากลางของขอมล 13.1.1 คาเฉลยเลขคณต

1(En41 เม.ย.) การบาน สอบยอย ปลายภาค ครงท 1 ครงท 2

เกณฑการคดคะแนน 20% 20% 30% 30% คะแนนทได

(จากคะแนนเตม 100) 92 84 63

ตารางขางบนน เปนเกณฑการคดคะแนนทผสอนก าหนดไว และผลการเรยนของนกเรยนคนหนง ถานกเรยนคนนไดคะแนนเฉลยตลอดภาคเปน 79 เปอรเซนต แลวคะแนนสอบปลายภาคของเขาเทากบขอใดตอไปน

1. 57.2 2. 74.7 3. 77.0 4. 83.0

2(แนว 9 สามญ) ในการสอบวชาภาษาไทยมการสอบ 5 ครง โดยทอาจารยผสอนใหน าหนกของ ผลการสอบครงสดทายเปนสองเทาของผลการสอบครงอน ในการสอบสครงแรก เดกชายเอก สอบไดคะแนนเฉลย 86 เปอรเซนต ถาเขาตองการผลการสอบวชานเปน 90 เปอรเซนต แลว เขาจะตองไดคะแนนในการสอบครงท 5 เทากบกเปอรเซนต

3(แนว Pat1) ก าหนดตารางแจกแจงความถแสดงอายของคนในหมบานแหงหนง เปนดงน อาย (ป) จ านวน (คน)

0 – 9 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59

5 10 A 20 10 10


29

ถาอายเฉลยของคนในหมบานนเทากบ 32.83 ป แลว A มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 8 3. 15 4. 20 4(แนว PAT1) ตารางตอไปนเปนขอมลเกยวกบอายของพนกงานจ านวน 50 คน

อายไมเกน(ป) จ านวน(คน) 25 9 30 17 35 24 40 37 45 43 50 50

ถาอายต าสดของพนกงานคอ 21 ป แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลเทากบขอใดตอไปน 1. 35 2. 37.5 3. 41 4. 43 5(แนว 9 สามญ) โรงเรยนอนบาลแหงหนงมนกเรยนอย 4 หอง ครบนทกคาเฉลยของน าหนกของ นกเรยนแตละหองไวตามตารางตอไปน

หองท จ านวนนกเรยน (คน) คาเฉลยของน าหนกนกเรยน(กโลกรม) 1 2 3 4

22 23 25 30

17 16 14 15

คาเฉลยของน าหนกของนกเรยนทงโรงเรยนมคาเทากบกกโลกรม 6(มช 32) ในการสอบแขงขนครงหนง ผทสอบผานจะตองสอบ 5 วชา และคาเฉลยเลขคณต ตองไมต ากวา 74 คะแนน ถา น.ส. เลกสอบไปแลว 3 วชา ไดคาเฉลยเลขคณต 68 คะแนน หลงจากท น.ส.เลก ทราบคะแนนของวชาท 4 เปน 70 คะแนน น.ส.เลก จะตองสอบวชาท 5 ใหไดคะแนนเทาไร จงจะท าใหคาเฉลยเลขคณตของทง 5 วชานเปน 74 คะแนน ก าหนดทก วชามคะแนนเตมเทากน


30

7(En41 เม.ย.) ความสมพนธระหวางก าไร ( y ) และราคาทน ( x ) ของสนคาชนดหนงทเปน y = 7 + 0.25 x ถาราคาทนของสนคา 5 ชนเปนดงน 32 48 40 56 และ 44 บาท แลว จง หาคาเฉลยเลขคณตของก าไรของสนคา 8(En43 ม.ค.) ถาใหสมการทใชแทนความสมพนธเชงฟงกชนทใชส าหรบการประมาณจ านวน หองพกทมแขกมาพกจรง ( แทนดวย y ) จากจ านวนหองพกทมการจองลวงหนา ( แทนดวย x ) คอ y = a + 0.75 x โดยท x = 40 และ y = 60 ถา x = 60 แลวจ านวนหองพกทม แขกมาพกจรงโดยประมาณเทากบเทาใด 9(En 22) จากการวเคราะหความสมพนธระหวางน าหนก ( W) คดเปนกโลกรมและสวนสง ( H ) คดเปนเซนตเมตร ของนกศกษาหญง สรปไดวา W = 1

3 (H – 15) ถาคาเฉลยเลขคณตของ ความสงของนกศกษาหญงกลมท 1 จ านวน 6 คน เทากบ 159 เซนตเมตร และคาเฉลยเลข คณตของความสงของนกศกษาหญงกลมท 2 จ านวน 9 คน เทากบ 156 เซนตเมตร จงหา คาเฉลยของน าหนกของนกศกษาหญงทงสองกลมนรวมกน 1. 47.3 2. 47.4 3. 47.5 4. 47.6 13.1.2 มธยฐาน 10(En 38) จากขอมลทก าหนดให ขอมลชด A 1 , 3 , 2 , 2 , 5 , 3 , 4 , 4 , 3 ขอมลชด B 1 , 2 , 4 , 1 , 2 , 5 , 2 , 5 , 1 , 5 , 5 , 3 ขอใดตอไปนถก 1. คาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน และมธยฐานของขอมลทงสองชดเทากน 2. คาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน แตคามธยฐานของขอมลสองชดนไมเทากน 3. มธยฐานของขอมลทงสองชดเทากน แตคาเฉลยเลขคณตของขอมลสองชดนไมเทากน 4. มธยฐานของขอมลทงสองชดนไมเทากน และคาเฉลยเลขคณตของขอมลสองชดนไม เทากน


31

11(มช 55) จากตารางแจกแจงความถแสดงอายของคนไขทมารกษาทโรงพยาบาลแหงหนง จงหา คามธยฐานของอายคนไขกลมน

ชวงอาย(ป) 14 – 23 24 – 33 34 – 43 44 – 53 54 – 63 รวม จ านวนคน 7 9 5 7 2 30

12(มช 45) จากตารางแจกแจงความถของความยาวของทารกแรกเกด 45 คน ทมมธยฐานอย ในชวง 41 – 48 เซนตเมตร ถาทารกแรกเกดทมความยาวนอยกวา 40.5 เซนตเมตร ม 16 คน และทารกแรกเกดทมความยาวนอยกวา 48.5 เซนตเมตร มอย 24 คน แลวมธยฐานมคาเทากบ

1. 44 2. 45 3. 46 4. 47 13(En42 ม.ค.) เมอสรางตารางแจกแจงความถของคะแนนของนกเรยน 36 คน โดยใชความกวาง ของแตละอนตรภาคชนเปน 10 แลวปรากฏกวามธยฐานของคะแนนทงหมดอยในชวง 50 – 59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนต ากวา 49.5 คะแนน อยจ านวน 12 คน และมนกเรยนได คะแนนต ากวา 59.5 อยจ านวน 20 คน แลวมธยฐานของคะแนนการสอบครงนมคาเทากบเทาใด 1. 53 2. 54 3. 56 4. 57 14(En 38) อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงดงน

อาย (ป) จ านวนเดก 1 – 3 4 – 6 7 – 9

10 – 12

3 a 6 4

ถามธยฐานของอายเดกกลมนเทากบ 7 ป แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6


32

15(En47 ต.ค.) ก าหนดตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาสถตทเปนจ านวนเตมของ นกเรยน 40 คน ดงน

คะแนน จ านวนนกเรยน 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84

4 a

10 b 7

เมอสมเลอกนกเรยนกลมนมาหนงคน ไดวาความนาจะเปนทนกเรยนคนนไดคะแนนนอยกวา 70 คะแนนมคาเทากบ 0.30 มธยฐานของคะแนนชดนเทากบขอใดตอไปน 1. 71.50 2. 73.50 3. 73.75 4. 74.50 16(En41 ต.ค.) ขอมลชดหนงเรยงล าดบจากนอยไปมากไดเปน 10 , 20 , 30 , 30 , a , b , 60 , 60 , 90 , 120 ถาฐานนยมและมธยฐานของคะแนนชดนเปน 30 และ 40 ตามล าดบ แลวขอมลชดตอไปน คอ 11 , 22 , 23 , 34 , a + 5 , b + 6 , 67 , 68 , 99 , 130 มคาเฉลยเลขคณตเทากบขอใดตอไปน 1. 50 2. 55.5 3. 60 4. 60.5

17(En48 ม.ค.) ขอมลชดหนงประกอบดวย x1 , x2 , … , x13 โดยท xn = 5 – n

เมอ n = 1 , 2 , … , 13 จ านวนจรง a ทท าให

13

1n a nx มคานอยทสดเทากบเทาใด

18(แนว 9 สามญ) ขอมลชดท 1 คอ x1 , x2, x3 , … , x9 โดยท xi = 3 – 5i ทก i ขอมลชดท 2 คอ y1 , y2, y3 , … , y9 โดยท yi = a – j ทก j

เมอ a เปนจ านวนจรงทท าให

9

1 i2a) i(x มคานอยทสด

เมอ b เปนจ านวนจรงทท าให

9

1 j biy มคานอยทสด

แลว b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5


33

13.1.3 ฐานนยม

19(แนว Pat1) ก าหนดใหขอมลชดหนงมดงน 2 , 4 , 3 , 5 , 12 , 5 , 18 , 6 , 4 , 2 , 9 , 4 ขอใดตอไปนถกตอง 1. มธยฐานนอยกวาฐานนยม 2. คาเฉลยเลขคณตมากกวามธยฐาน 3. คาเฉลยเลขคณตเทากบมธยฐาน 4. ฐานนยมมากกวาคาเฉลยเลขคณต 20(แนว PAT1) ถาตารางแจกแจงความถแสดงน าหนกของเดกจ านวน 40 คน เปนดงน

น าหนก(กโลกรม) จ านวน 9 – 10 15

12 – 14 5 15 – 17 5 18 – 20 10 21 –23 5

ถา x แนวคดเฉลยของน าหนกเดกกลมน แลวขอใดตอไปนถก 1. x = 17.444 และมธยฐานนอยกวาฐานนยม 2. x = 14.875 และมธยฐานนอยกวาฐานนยม 3. x = 17.444 และมธยฐานมากกวาฐานนยม 4. x = 14.875 และมธยฐานมากกวาฐานนยม

13.1.4 คาเฉลยเรขาคณต 13.1.5 คาเฉลยฮารมอนก

13.2 การวดต าแหนงทหรอต าแหนงสมพทธของขอมล

21(มช 43) ก าหนดขอมลตอไปน 7 10 12 12 13 15 15 20 ขอความใดถก 1. ขอมลขางตนไมสามารถหาคาเดไซลท 9 ได เพราะมขอมลเพยง 8 คา 2. ขอมลขางตนหาฐานนยมไมได 3. คามธยฐานของขอมลมคาเทากบ 13 4. คาเฉลยเลขคณตของขอมลมคาเทากบ 13


34

22(แนว Pat1) จากการแจกแจงขอมลเงนเดอนของพนกงานบรษทแหงหนงพบวา เดไซลท 1 3 5 7 9

เงนเดอน (บาท) 10,000 15,000 20,000 25,000 40,000 ถานายเอกและนายยศมเงนเดอนรวมกนเทากบ 40,000 บาท และมจ านวนพนกงานทไดเงน เดอนมากกวานายยศอยประมาณ 30% ของพนกงานท งหมด แลวเปอรเซนตของจ านวน พนกงานทไดเงนเดอนมากกวานายเอกเทากบขอใดตอไปน 1. 10% 2. 30% 3. 50% 4. 70%

23(แนว Pat1) ขอมลชดหนงม 5 จ านวน มผลรวมของทกจ านวนเทากบ 60 ถาควอไทลท 1 และท 3 ของขอมลชดนมคาเทากบ 5 และ 20 ตามล าดบ แลวเปอรเซนไทลท 50 ของขอมล ชดน มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 9 3. 10 4. 11

24(มช 43) ตารางแจกแจงความถซงแสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 120 คน ดงน

คะแนนสอบ จ านวน 40 – 49 8 50 – 59 12 60 – 69 40 70 – 79 48 80 – 89 8 90 – 99 4

จงหาคาของขอมลทตรงกบต าแหนงเปอรเซนไทลท 60

25(แนว PAT1) จากตารางแจกแจงความถตอไปน คะแนน ความถ 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34

2 5 8 6 4

ถา a เปนคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบ และ b เปน P88 จงหาคาของ b – a 1. 8.50 2. 7.75 3. 6.50 4. 5.25


35

26(En 35) คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมแจกแจงดงน


2 5 8

24 6 9 6

สมตรและนารรตนเปนนกเรยนในกลมนสมตรไดคะแนนในต าแหนงควอรไทลท 3 และนาร ไดคะแนนต าแหนงเดไซลท 9 ถาคะแนนเตม 100 คะแนน นารไดคะแนนมากกวาสมตรก %

1. 5 2. 10 3. 15 4. 20

27(มช 46) ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงเปนดงน คะแนน จ านวนนกเรยน 90 – 100 80 – 89 70 – 79 60 – 69 50 – 59 40 – 49 30 – 39

10 25 30 20 10 4 1

คะแนนเตมของการสอบดงกลาวเทากบ 100 คะแนน สดา และ สรชย เปนนกเรยนในหอง เรยนดงกลาว สดาไดคะแนนในต าแหนงควอรไทลท 3 และสรชย ไดคะแนนในต าแหนง เดไซลท 5 สดาไดคะแนนมากกวาสรชยกเปอรเซนต 1. 11 % 2. 10 % 3. 9 % 4. 8 %


36

28(มช 41) ตารางตอไปนเปนคะแนนสอบวชาคอมพวเตอรของนกเรยน 60 คน


2 3 5

10 22 15 3

ธดาพรสอบไดเปนเปอรเซนไทลท 70 จงหาวาเธอหางจากเดไซลท 5 กคะแนน 1. 5.46 2. 7.40 3. 7.95 4. 12.00 29(แนว 9 สามญ) ตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลม หนงเปนดงน

คะแนนสอบ ความถสะสม (คน) 10 – 19 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69

70 ขนไป

10 35 80

145 185 195 200

ถาสมเลอกนกเรยนมาหนงคนจากกลมน ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทไดคะแนนสอบในชวง 50 – 59 คะแนน เทากบเทาใด


37

30(แนว A–Net) ในโรงงานแหงหนงมพนกงานจ านวน 40 คน และตารางแจกแจงความถสะสมของ อายพนกงานเปนดงน

อาย (ป) ความถสะสม 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60

6 14 26 36 40

ถาสมชายมอาย 48.5 ป แลวพนกงานทมอายระหวางคามธยฐานของอายพนกงาน และอายของ สมชายมจ านวนประมาณเทากบขอใดตอไปน 1. 31.5% 2. 33.7% 3. 35.0% 4. 37.0% 31(En41 เม.ย.) อายของเดกกลมหนงมการแจกแจงความถดงน

อาย(ป) 1 – 3 4 – 6 7 – 9 10 – 12 13 – 15 จ านวนเดก 2 a 8 7 3

a เปนจ านวนจรง ถาเปอรเซนไทลท 25 ของอายของเดกกลมนเทากบ 6.5 ป แลวเดกในกลมนทมอายต ากวา 10 ป มจ านวนเทากบขอใดตอไปน

1. 14 คน 2. 15 คน 3. 16 คน 4. 17 คน 32(En46 ม.ค.) ใหตารางแจกแจงความถของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงดงน

คะแนน ความถ 16 – 18 19 – 21 22 – 24 25 – 27 28 – 30

a 2 3 6 4

ถาควอรไทลทหนง(Q1) เทากบ 18.5 คะแนนแลว มธยฐานของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ของนกเรยนหองนเทากบเทาใด


38

13.3 การวดการกระจายของขอมล 13.3.1 การวดการกระจายสมบรณ

33(แนว Pat1) ก าหนดขอมล 10 จ านวน ดงน 30 32 28 35 42 45 40 48 50 65 พจารณาขอความตอไปน (ก) ถา D7 แทนขอมลทเปนเดไซลท 7 และ M แทนคามธยฐานของขอมล แลว D7 – M เทากบ 6.5 (ข) สวนเบยงเบนควอไทล เทากบ 8.6 ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด 34(แนว A–Net) ก าหนดใหตารางแสดงเงนคาอาหารกลางวนทนกเรยนหองหนงไดรบจาก ผปกครองเปนดงน

คาอาหารกลางวน (บาท) จ านวนนกเรยน (คน) 29 – 31 32 – 34 35 – 37 38 – 40 41 – 43

1 4 5 5 5

คาเฉลยเลขคณต คามธยฐาน และสวนเบยงเบนควอไทล ตามล าดบ มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 37.35 , 37.5 และ 3 2. 37.5 , 37.5 และ 3 3. 37.35 , 37.5 และ 3.5 4. 37.5 , 37.0 และ 3


39

35(มช 47) เมอน าอณหภมต าสดในแตละวนของฤดหนาวบนดอยอางขางจ านวน 100 วน มาสรางตารางแจกแจงความถสะสม ไดดงน

จดกงกลางชน ความถสะสม 0 5

10 15 20

100 92 75 35 15

สวนเบยงเบนควอรไทลของอณหภมต าสดในแตละวนของฤดหนาวบนดอยอางขางเทากบ 1. 3.75 2. 7.50 3. 11.25 4. 15.00 36(แนว Pat1) ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากเปนดงน 1 , 4 , x , y , 9 , 10 ถามธยฐานของ ขอมลชดนเทากบคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนเฉลยของขอมลชดนเทากบ 3

8 แลว y – x มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 37(แนว PAT1) โรงเรยนประถมแหงหนงมนกเรยน 80 คน โดยการแจกแจงของอายนกเรยนเปนดง ตาราง

อาย(ป) 3.5 4 4.5 5 5.5 6 จ านวนนกเรยน (คน) a 15 10 20 b 5

ถาคาอายเฉลยของนกเรยนมคา 4.5 ป แลวสวนเบยงเบนเฉลยของอายนกเรยนมคาเทากบขอใด ตอไปน 1. 16

5 2. 167 3. 16

9 4. 1611

38(มช 40) ให X แทนอายการท างานของหลอดไฟแตละหลอด ฝายตรวจสอบคณภาพของ โรงงาน ผลตหลอดไฟแหงหนงไดท าการสมตวอยางหลอดไฟทผลตโดยโรงงานแหงนมา จ านวน 50 หลอด ปรากฏวาท าแตกไป 1 หลอด ไดคาเฉลยอายการท างานของหลอดไฟท เหลอ 49 หลอด เปน 1x = 2000 ชวโมง หวหนาฝายตรวจสอบคณภาพของโรงงานแหงน


40

ตองการหาคาเบยงเบนมาตรฐานจากหลอดไฟ 50 หลอด จงใหใชคาของ 1x เปนคาแทนอาย การท างานของหลอดไฟทแตกไป 1 หลอดน น อยากทราบวาคาเบยงเบนมาตรฐานของ

หลอดไฟ 50 หลอด ดงกลาวคอขอใด เมอ

501i

2ix = 200,500,000

1. 44.27 2. 100 3. 1960 4. 10000 39(En47 ต.ค.) ก าหนดให x1 , x2 , … , x5 เปนขอมลชดหนงซงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 6

ถา 305

1i24ix

แลว สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 2 3. 6 4. 22 40(แนว PAT1) ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต โดยมมธยฐานเทากบ 12 สวนเบยงเบนมาตรฐาน

เทากบ 8 และ

N

1i5440210)i(x คาของ N มคาเทากบเทาใด

41(En45 ม.ค.) ในการชงน าหนกกระเปาเดนทาง 4 ใบ ปรากฏวาไดน าหนกเปน 15.5 , 14.8 , 14.5 และ 15.2 กโลกรม ถาชงน าหนกของกระเปาเดนทาง 4 ใบน รวมกบกระเปาเดนทางอก ใบหนง ไดคาเฉลยเลขคณตของน าหนกของกระเปา 5 ใบนเปน 16 กโลกรม แลวคามธยฐาน และความแปรปรวนของน าหนกของกระเปาเดนทางทงหาใบนตามล าดบเทากบขอใดตอไปน 1. 15 , 4.58 2. 15.2 , 4.58 3. 15 , 4.116 4. 15.2 , 4.116

42(En42 ม.ค.) ขอมลชดหนงม 5 จ านวน มฐานนยม มธยฐาน และคาเฉลยเลขคณตเปน 15 , 16 และ 17 ตามล าดบและพสยของขอมลชดนเทากบ 5 ความแปรปรวนของขอมลชดน มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 531 2. 524 3. 522 4. 5

19 43(แนว PAT1) ขอมลชดหนงม 5 จ านวน มมธยฐาน = ฐานนยม = 15 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 16 ควอรไทลท 1 เทากบ 14 และพสยเทากบ 7 จงหาความแปรปรวนของขอมลชดน


41

44(แนว Pat1) ถาความยาวรศมของวงกลม 10 วง มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 3 และมความ แปรปรวนเทากบ 4 แลวผลรวมของพนทวงกลมทง 10 วงน มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 90 2. 95 3. 130 4. 140 45(มช 43) ในการสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนชน ม.1 ซงมสองหองเรยน แตละหองมนก

เรยน 40 และ 60 คน ตามล าดบ การสอบครงนมคะแนนเตม 50 คะแนน ถาผลสอบ ปรากฏวา หองทหนงมคะแนนเฉลย 35 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 4 คะแนน

หองทสองมคะแนนเฉลย 35 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 6 คะแนน แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานรวมของคะแนนภาษาไทยของนกเรยนชน ม.1 ทงหมดมคา เทากบคาในขอใดตอไปน 1. 5.00 2. 5.29 3. 6.00 4. 6.39

46(มช 41) ถาตวแปร y สมพนธกบตวแปร x ในรปแบบฟงกชน เสนตรง yi = 50xi + 200 โดย i = 1 , 2 , 3 , … , 100 ขอใดตอไปนถกตอง

1. y = 50 x + 2 2. y = 0.5 x + 200 3. y = 0.5 x + 2 4. y = 50 x + 200

47(มช 38) ก าหนดให x1 , x2 , … , xn เปนขอมลชดหนงทมความแปรปรวนเทากบ v ถา ขอมลชดใหมคอ ax1 + b , ax2 + b , .... , axn + b เมอ a + b คอคาคงทใด ๆ ความ แปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบขอใด 1. av 2. av + b 3. a2v 4. a2v + b2

13.3.2 การวดการกระจายสมพทธ 48(มช 45) บรษทแหงหนงขายยางรถยนต 4 ชนด คอ B , F , G และ M ค านวณคาเฉลย

เลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของอายการใชงานของยางรถยนต (หนวยเดอน)ไดดงน

ชนดของยางรถยนต B F G M คาเฉลยเลขคณต 38 45 24 48

สวนเบยงเบนมาตรฐาน 3 9 2 6

ยางรถยนตชนดใด มการกระจายของอายการใชงานนอยทสด 1. B 2. F 3. G 4. M


42

49(แนว A–Net) ถาขอมลชดหนงมสมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 0.12 สวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 6 และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 25 แลวสมประสทธของการแปรผนมคาเทากบเทาใด 50(En 39) ถาคะแนนวชาสถต และคะแนนวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

นกเรยนคนท 1 2 3 4 5 คะแนนวชาสถต คะแนนวชาคณตศาสตร

8 5 4 2 1 9 6 5 3 2

แลวอตราสวนของสมประสทธของความแปรผนระหวางคะแนนวชาสถต และคะแนนวชา คณตศาสตรเทากบขอใดตอไปน 1. 16

25 2. 2516 3. 54 4. 4

5

51(แนว PAT1) นกเรยนชนจ านวน 20 คน แบงเปน 2 กลมๆ ละ 10 คนท าแบบทดสอบวดความ ถนดฉบบหนงมคะแนนเตม 20 คะแนน ไดคะแนนของนกเรยนแตละคนดงน

กลมท 1 7 6 5 8 3 6 9 7 6 10 กลมท 2 6 9 15 12 1 8 7 7 5 6

พจารณาขอความตอไปน ก. ความสามารถของนกเรยนกลมท 1 มความแตกตางกนมากกวานกเรยนกลมท 2 ข. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของกลมท 1 และกลมท 2 เทากบ 14

5 และ 143

ตามล าดบ ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก แต ข. ผด 3. ก. ผด แต ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 52(En 37) จากขอมลทก าหนดให ชด A 5 10 15 20 25 ชด B 15 30 45 60 50


43

พจารณาขอความตอไปน ก. ขอมลชด B มสวนเบยงเบนมาตรฐาน มากกวาขอมลชด A ข. ขอมลชด B มสมประสทธของการแปรผนนอยกวาขอมลชด A ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

53(En46 ต.ค.) ในการส ารวจน าหนกตวของนกเรยน 200 คน มการแจกแจงความถดงน น าหนกตว (ก.ก.) ความถ

19 – 22 23 – 26 27 – 30 31 – 34 35 – 38

20 60 30 40 50

จงพจารณาขอความตอไปน

ก. น าหนกตวของนกเรยน 200 คนน มฐานนยมมากกวามธยฐาน

ข. สมประสทธสวนเบยงเบนควอไทลของน าหนกตวของนกเรยน 200 คนน เทากบ 0.15

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด

3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

54(En45 ต.ค.) ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปมากคอ a 4 5 6 b ซงมคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนเฉลยเทากบ 6 และ 3 ตามล าดบ สมประสทธของ พสยของขอมลชดนเทากบเทาใด

55(แนว A–Net) พจารณาขอมลชดหนง ซงเรยงล าดบจากนอยไปมาก ดงตอไปน 8 a 12 17 22 b 26

ถาคาเฉลยเลขคณตเทากบ 17 ควอไทลท 1 เทากบ 10 แลว สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย และสมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล ตามล าดบเทากบคาในขอใดตอไปน

1. 0.35 , 0.45 2. 0.35 , 0.41 3. 0.42 , 0.45 4. 0.42 , 0.41


44

56(แนว PAT1) น าขอมล 3 จ านวนทแตกตางกน มารวมกนมผลรวมเทากบ 195 ถาขอมลชดนม คามธยฐานและสมประสทธของพสยเทากบ 60 และ 0.2 ตามล าดบ แลวความแปรปรวนของขอมลชดนเทากบเทาใด

57(En41 เม.ย.) ในการสอบวชาภาษาองกฤษ ถาคะแนนสอบของนกเรยนหญงจ านวน 200 คน ม ความแปรปรวนเทากบ 8,100 และสมประสทธของการแปรผนเทากบ 1.5 และคะแนนสอบ ของนกเรยนชายจ านวน 300 คน มคาเฉลยเลขคณตของคะแนนเปน 51 แลวคาเฉลยของ คะแนนสอบของนกเรยนทงหมดเทากบขอใดตอไปน 1. 54.3 2. 54.6 3. 55.5 4. 55.8 58(En44 ต.ค.) นกเรยนอนบาล 4 คน มอายเปน x1 , x2 , x3 , x4 ป โดยมคาเฉลยเลขคณต ของ

อาย เปน 5.5 ป และ

41 i

2ix = 141 ถามนกเรยนทมอาย 3 ป มาเพมอก 1 คน แลว

สมประสทธของการแปรผนของอายนกเรยนทง 5 คนน เทากบขอใดตอไปน

1. 55 2. 1 3. 5

52 4. 5

59(มช 35) ขอใดเปนการวดการกระจาย 1. สวนเบยงเบนมาตรฐาน 2. สมประสทธของการแปรผน 3. ความแปรปรวน 4. ถกทกขอ

60(แนว 9 สามญ) ขอมลชดหนงเปนคะแนนจากการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนง ถา เพมคะแนนใหนกเรยนทกคนๆ ละ 3 คะแนน แลวจะท าใหคาสถตในขอใดตอไปนมคาลดลง 1. สวนเบยงเบนเฉลยของคะแนน 2. สมประสทธของพสยของคะแนน 3. คาเฉลยเลขคณตของคะแนน 4. คามธยฐานของคะแนน 5. สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนน


45

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 13 การวเคราะหขอมลเบองตน ชดท 1

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบ 98 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบ 15.42 6. ตอบ 96 7. ตอบ 18 8. ตอบ 75 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 2. 11. ตอบ 32.39 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 4. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 2. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบ 3. 18. ตอบขอ 3. 19. ตอบขอ 2. 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบขอ 4. 22 ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 3. 24. ตอบ 72 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 2. 27. ตอบขอ 3. 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบ 0.20 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 1 32. ตอบ 24.5 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 1. 35. ตอบขอ 1. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 4. 38. ตอบขอ 2. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบ 80 41. ตอบขอ 4. 42. ตอบขอ 3. 43. ตอบ 5.6 44. ตอบขอ 3. 45. ตอบขอ 2. 46. ตอบขอ 4. 47. ตอบขอ 3. 48. ตอบขอ 1. 49. ตอบ 0.5 50. ตอบขอ 4. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 1. 53. ตอบขอ 4. 54. ตอบ 0.8 55. ตอบขอ 2. 56. ตอบ 134 57. ตอบขอ 2. 58. ตอบขอ 1. 59. ตอบขอ 4. 60. ตอบขอ 2.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 5 http://www.pec9.com บทท 14 การแจกแจงปกต

45

บทท 14 การแจกแจงปกต

14.1 คะแนนมาตรฐาน

ในการเปรยบเทยบคณภาพของขอมลนน หากใชขอมลดบมาท าการเปรยบเทยบจะท าใหเกดความคลาดเคลอนได ดงนนกอนท าการเปรยบเทยบตองน าขอมลดบมาแปลงเปนคามาตรฐานกอนแลวจงท าการเปรยบเทยบ การหาคามาตรฐานของขอมลดบใดๆ สามารถหาไดจาก

z = Sx x

เมอ z คอคามาตรฐาน x คอคะแนนธรรมดา (คะแนนเดม) x คอคาเฉลยเลขคณต S คอสวนเบยงเบนมาตรฐาน

1(แนว En) ในการสอบวชาคณตศาสตรและวชาเคมของนกเรยน 9 คน คะแนนสอบของแตละ วชาเปนดงน วชาคณตศาสตรมคาเฉลยเลขคณต 90 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทา กบ 8.6 วชาเคมมคาเฉลยเลขคณต 78 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 14.2 ถา นายปญญาสอบวชาคณตศาสตรได 90 คะแนนและวชาเคมได 90 คะแนนแลว สรปวานาย ปญญาเรยนวชานเปนจรงดงตอไปน 1. เรยนไดดเทากนเพราะคะแนนเทากน 2. เรยนเคมไดดกวาคณตศาสตร 3. เรยนคณตศาสตรไดดกวาเคม 4. เรยนทงสองวชาไดดเทากนเพราะไดคะแนนต าแหนงเปอรเซนตไทลเดยวกน

2(แนว En) โรงงานแหงหนงคดเลอกคนงานจากผสมครเขาท างานทงหมด โดยมเงอนไขวาผทจะ ไดรบการพจารณาคดเลอกเขาท างานตองมคามาตรฐานของอายไมนอยกวา 1.5 ถาคาเฉลยเลข คณตและความแปรปรวนของอายของผ สมครท งหมดเปน 23 ป และ 4 ป ตามล าดบ ผสมครทอยในขายทจะไดรบการคดเลอกเขาท างานจะตองมอายตามขอใด 1. ไมนอยกวา 26 ป 2. ไมนอยกวา 29 ป 3. ไมเกน 26 ป 4. ไมเกน 29 ป


46

3(แนว PAT1) ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต ถาหยบขอมล a , b , c , d มาค านวณคา มาตรฐาน ปรากฏวาไดคาดงตาราง

ขอมล ( x ) a b c d คามาตรฐาน ( z ) –3 –2 0.5 –1

คาของ a + b + 2c – 4 d มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. 0 3. 2 4. 4 4(แนว Pat1) ก าหนดใหขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต หยบขอมล x1 , x2 , x3 มาค านวณ คามาตรฐานปรากฏวาไดคาเปน z1 , z2 , z3 ตามล าดบ ถา z1 – z2 = z3 แลวคาเฉลย เลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน 1. x3 – x1 + x2 2. x1 – x2 – x3 3. x3 – x2 – x1 4. x1 + x2 + x3 คณสมบตของคามาตรฐาน 1. คามาตรฐานเปนตวเลขส าเรจทไมมหนวย 2. โดยทวไป –3 z +3 แตอาจมบางโอกาสทมคานอกจากนไปเลกนอย 3. ผลบวกของคามาตรฐานทกคาของขอมลชดหนงๆ จะมคาเทากบ 0 เสมอ นนคอ

n

1iiZ = Z1 + Z + … + Z n = 0

4. คาเฉลยเลขคณตของคามาตรฐานของขอมลชดหนงๆ จะมคาเทากบ 0 เสมอ นนคอ

Z = N

N

1iZ

= 0


47

5. ผลบวกของก าลงสองของคามาตรฐานทกคา ของขอมลชดหนงๆ จะมคาเทากบจ านวน

ขอมลนนๆ เสมอ นนคอ

n

1i

2iZ = N

6. สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของคามาตรฐาน ของขอมลชดหนงๆ จะมคาเทากบ 1 เสมอ นนคอ Sz = 1 และ Vz = 1 7. ถา x = x จะไดคา z = 0 ถา x = x + n S จะไดคา z = n

8. z2 – z1 = S1x 2x

และ z2 + z1 = Sx 2 1x 2x

5(แนว A–Net) นกศกษาหองหนงจ านวน 10 คน มอายเฉลยเทากบ 20 ป และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 0.4 ป

ถาผลรวมของคามาตรฐานของอายนกศกษาหองนจ านวน 9 คน มคาเทากบ 2.5 แลว นกศกษา อก 1 คนทเหลอมเงนอายเทากบขอใดตอไปน 1. 17 ป 2. 18 ป 3. 19 ป 4. 21 ป 6(แนว En) วทยาลยแหงหนงคดเลอกผเขาเรยนตอโดยมเงอนไขวา ผทจะไดรบการพจารณา คดเลอกตองมคามาตรฐานของคะแนนสอบคดเลอกไมนอยกวา 1.0 และไมเกน 2.5 ถา คาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของคะแนนสอบคดเลอกของผสมครท งหมดเปน 23 และ a คะแนน ตามล าดบ และถาน าคามาตรฐานของอายผสมครทงหมดมาหาความแปรปรวน ไดความแปรปรวนเทากบ 4

a แลว ผสมครทอยในขายทจะไดรบการคดเลอกเขาเรยนตอ จะตองมคะแนนสอบคดเลอกตามขอใดตอไปน 1. 25 ถง 26 คะแนน 2. 25 ถง 28 คะแนน 3. 26 ถง 27 คะแนน 4. 20 ถง 24 คะแนน


48

7(แนว En) ขอมลเกยวกบการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 6 คน เปนดงน นกเรยนคนท คะแนน คามาตรฐาน

1 2 3 4 5 6

30 40 45 60 85

100

–1.2 –0.8 –0.6

0 1.0 1.6

สวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนขางตนเทากบขอใดตอไปน 1. 10 2. 15 3. 20 4. 25 8. ในการสอบครงหนง นายแดงสอบไดคะแนนนอยกวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบอย 1.2 S สวนนายด าสอบไดคะแนนมากกวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบอย 1.6 S เมอ S คอสวน เบยงเบนมาตรฐาน จงหาคาคะแนนมาตรฐานของนายแดงและนายด าแตกตางกนเทากบขอใด 1. 0.4 2. 2.0 3. 2.8 4. 3.2 9(แนว Pat1) คะแนนสอบวชาความถนดของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต ถาผลรวมของคา มาตรฐานของคะแนนของนายแดงและนายด าเทากบ 0 และผลรวมของคะแนนนายแดงและ นายด าเปน 4 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบมคาเปน 20 คะแนน แลวคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบนมคาเทากบขอใด 1. 5 2. 10 3. 13 4. 14


49

14.2 เสนโคงความถของขอมล

สมมตขอมลคะแนนสอบครงหนง หากเปนการสอบปกต คนทไดคะแนนปานกลางจะมจ านวนมาก คนทไดคะแนนนอยหรอมากกวาปกตจะมจ านวนนอยดงตาราง

คะแนนสอบ ( x ) จ านวนคน ( f ) 0 – 19

20 – 39 40 – 59 60 – 79 80 – 99

8 15 60 13 4

เมอเขยนกราฟความถจะไดเสนโคงรประฆงคว าสมมาตร เรยกเสนโคงปกต

หากเปนการสอบซง คนจ านวนมากไดคะแนนต ากวาปกต ดงตาราง


20 – 39 40 – 59 60 – 79 80 – 99

15 52 16 13 4

เมอเขยนกราฟความถ จะไดเสนโคงดงรป เรยกเสนโคงเบลาดทางขวา

หากเปนการสอบซง คนจ านวนมากไดคะแนนสงกวาปกต ดงตาราง


20 – 39 40 – 59 60 – 79 80 – 99

2 10 18 58 12

เมอเขยนกราฟความถ จะไดเสนโคงดงรป เรยกเสนโคงเบลาดทางซาย


50

สมบตส าคญของเสนโคงแตละอยาง 1) เสนโคงปกต คะแนนซงอยตรงจดกงกลาง = x = มธยฐาน = ฐานนยม

2) เสนโคงเบลาดทางขวา ฐานนยม < มธยฐาน < x

3) เสนโคงเบลาดทางซาย x < มธยฐาน < ฐานนยม

ความโดงของเสนโคงปกต ถาขอมลมการกระจายมาก ถาขอมลมการกระจายนอย เสนโคงปกตจะมความโดงนอย เสนโคงปกตจะมความโดงมาก (โคงคอนขางแบน ) (โคงคอนขางสง )

พจารณาตวอยางตอไปน

ตวอยาง ตวอยาง

@ 1x = 2x @ 1x < 2x

@ s1 > s2 @ s1 = s2 (เพราะเสนแรก มความโดงนอยกวา) (เพราะทงสองเสนมความโดงเทากน) @ ชด 1 กระจายมากกวาชด 2 @ ชด 1 กระจายมากกวาชด 2

เพราะ 1x1s

> 2x2s

เพราะ 1x1s

> 2x2s

คอ 1 > 2 คอ 1 > 2


51

ตวอยาง @ 1x < 2x

@ s1 < s2 (เพราะเสนแรก มความโดงมากกวา)

@ ขอนจะบอกไมไดวาขอมลชดใดมการกระจาย มากกวากน จนกวาจะทราบคา x และ s ท แนนอนของขอมลแตละชด

10(แนว En) คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกตโดยมคาสมประสทธของการ

แปรผนเทากบ 51 ถาสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเทากบ 2 มธยฐานของคะแนน

สอบของนกเรยนกลมนเทากบขอใดตอไปน 1. 4

3 2. 34 3. 12 4. 36

14.3 การแจกแจงปกตและเสนโคงปกต

เกยวกบพนทใตเสนโคงปกต มสงทควรรดงน 1) โดยทวไปเราจะก าหนดให พนทใตเสนโคงทงหมด = 100% = 100

100 = 1.0000

พนทครงซาย = 50% = 0.5000 พนทครงขวา = 50% = 0.5000

2) ทจดกงกลางเสนโคงจะไดวาคา z = 0 เสมอ ทางซกซายมอของจดกงกลางจะไดวา คา z มคาเปนลบ ทางซกชวามอของจดกงกลางจะไดวา คา z มคาเปนบวก ดงรป


52

บวก

3) หากเราทราบคา z ณ จดใดๆ เราสามารถหาพนทใตเสนโคงจากจดกงกลาง (z = 0 ) ถงจด z ใดๆ ไดเสมอ โดยใชตารางพนทใตเสนโคง


53

ฝกท า. จงหาพนทใตเสนโคงปกตตามเงอนไขน ( ใชตารางพนทใตเสนโคง ) 1. ระหวาง z = 0 ถง z = 1.58 2. ระหวาง z = 0 ถง z = –1.63

3. ระหวาง z = –1.58 ถง z = 1.63 4. ระหวาง z = 1.58 ถง z = 1.63

5. ระหวาง z > 1.58 6. ระหวาง z < 1.58

11(แนว En) อายของคนกลมหนงมการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลยเลขคณตเปน x และสวน เบยงเบนมาตรฐาน S สมหวงมอาย x – S ป จ านวนคนในกลมนทมอายนอยกวาสมหวง มก เปอรเซนต ( พนทใตโคงปกตระหวาง z = 0 และ z = 1 เทากบ 0.3413 )

12(แนว A–Net) ถาน าหนกของนกเรยนชนประถมปท 1 ของโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจง ปกต โดยมมธยฐานเทากบ 10 กโลกรม และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 แลว นกเรยนทหนก มากกวา 13 กโลกรม หรอหนกนอยกวา 8 กโลกรม คดเปนเปอรเซนต เทากบขอใดตอไปน 1. 9.19 % 2. 22.55% 3. 40.81% 4. 69.19%

Z 0.75 1 1.25 1.5 พนทใตเสนโคง 0.2734 0.3413 0.3944 0.4332


54

13(แนว En) ก าหนดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1 เทากบ 0.3413 ถาคะแนนสอบ วชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงซงมจ านวน 20000 คน มการแจกแจงปกตแลวจ านวน นกเรยนทสอบไดคะแนนซงสงกวาคะแนนเฉลยมากกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบขอใด ตอไปน 1. 1587 2. 3174 3. 6826 4. 13652 14(แนว En) คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมสมประสทธของการ

แปรผนเปน 24% และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 12 คะแนน ( ถาก าหนด พนทใตเสน โคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.0 เปน 0.3413 แลวขอใดตอไปน เปนต าแหนง

เปอรเซนตไทลของนกเรยนทสอบได 62 คะแนน 1. 38.49 2. 39.44 3. 84.13 4. 89.44 15(แนว En) พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1.2 เทากบ 0.3849 คะแนนสอบ ของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 50 และ 10 คะแนน ตามล าดบ ถานายค านวณสอบไดในต าแหนงเปอรเซนตไทล เทากบ 88.49 แลวนายค านวณสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน

1. 58 คะแนน 2. 60 คะแนน 3. 62 คะแนน 4. 65 คะแนน


55

16(แนว En) ถาความสงของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกตมมธยฐานเปน 160 เซนตเมตร และมนกเรยนทสงนอยกวา 158 เซนตเมตร อย 34.46% สวนเบยงเบนมาตรฐานของความ สงของนกเรยนหองนเทากบขอใดตอไปน ตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต

Z 0.3 0.4 0.5 A 0.1179 0.1554 0.1915

1. 1 2. 3 3. 4 4. 5 17(แนว En) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนหนง มการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลย เลขคณตเปน 64 คะแนน ถานกเรยนทสอบไดคะแนนมากกวา 80 คะแนน มอย 15.87% แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชานคอขอใดตอไปน

( พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1 คอ 0.3413 ) 1. 2 2. 8 3. 12 4. 16 18(แนว Pat1) ก าหนดใหความสงของคนกลมหนงมการแจกแจงแบบปกต ถามคนสงกวา 145 เซนตเมตร และ 165 เซนตเมตร อย 84.13% และ 15.87% ตามล าดบ แลวสวนเบยงเบน มาตรฐานของความสงของคนกลมนเทากบขอใดตอไปน

Z 1.00 1.12 1.14 1.16 พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจาก 0 ถง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770

1. 8 2. 10 3. 12 4. 16


56

เฉลยบทท 14 การแจกแจงปกต 1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 4. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบขอ 3. 11. ตอบ 15.87 12. ตอบขอ 2. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 4. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 2.


57

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 14 การแจกแจงปกต ชดท 1

14.1 คะแนนมาตรฐาน

1(มช 46) ในการสอบคดเลอกเขาศกษาในสถาบนอดมศกษาแหงหนง นายวระวฒนเขาสอบ 4 วชาคอ คณตศาสตร1 เคม ฟสกส และชววทยา สมมตวาคาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐานของ คะแนนแตละวชา และคะแนนของนายวระวฒน เปนดงน

คณตศาสตร 1 เคม ฟสกส ชววทยา คาเฉลยเลขคณต 27 25 21 35 สวนเบยงเบนมาตรฐาน 14 16 10 10 คะแนนของนายวระวฒน 62 57 51 50

นายวระวฒนท าคะแนนวชาใดไดดทสด 1. คณตศาสตร 1 2. เคม 3. ฟสกส 4. ชววทยา

2(มช 44) สถาบนการศกษาแหงหนงใชคะแนนสอบวดความรวชาคณตศาสตรเพอคดเลอกเขาศกษา ตอใน 4 สาขาวชา ซงในแตละสาขาวชาไดระบคะแนนเฉลยและความแปรปรวนของคะแนน วชาคณตศาสตรของผสมครกอนหนานไวดงน

สาขาวชา ก. มคะแนนเฉลย 76 และ ความแปรปรวน 25 สาขาวชา ข. มคะแนนเฉลย 74 และ ความแปรปรวน 9 สาขาวชา ค. มคะแนนเฉลย 72 และ ความแปรปรวน 36 สาขาวชา ง. มคะแนนเฉลย 70 และ ความแปรปรวน 64

ถาทานเปนผสมครคนสดทายและทานสอบวดความรวชาคณตศาสตรได 80 คะแนน และ เพอใหมโอกาสไดรบการคดเลอกมากทสด ทานจะตดสนใจเลอกสมครสาขาวชาใด 1. สาขาวชา ก. 2. สาขาวชา ข. 3. สาขาวชา ค. 4. สาขาวชา ง.

3(En41 เม.ย.) ในการสอบยอยครงทหนงคะแนนเตม 100 คะแนน มนกเรยน 9 คน สอบวชา คณตศาสตรและวชาเคมไดคะแนนดงน คณตศาสตร 70 70 70 78 79 80 90 91 92 เคม 50 60 72 78 80 82 90 92 95 ปรากฏวา สวนเบยงเบนมาตรฐานของวชาคณตศาสตรเทากบ 8.6 และสวนเบยงเบนมาตร


58

ฐานของวชาเคมเทากบ 14.2 ถานายปญญาสอบวชาคณตศาสตรได 90 คะแนนและวชาเคมได 90 คะแนนแลว สรปวานายปญญาเรยนวชานเปนจรงดงตอไปน 1. เรยนไดดเทากนเพราะคะแนนเทากน 2. เรยนเคมไดดกวาคณตศาสตร 3. เรยนคณตศาสตรไดดกวาเคม 4. เรยนทงสองวชาไดดเทากนเพราะไดคะแนนต าแหนงเปอรเซนตไทลเดยวกน

4(มช 40) ถาคามาตรฐานของขอมลชดใด ๆ มคาไมเกน –3 หรออยางนอย 3 จะเรยกวาขอมลชด นนเปนคาผดปกตก าหนด x มการแจกแจงปกตมคาเฉลย และคาความแปรปรวนของ x เปน 10 และ 9 ตามล าดบ คาของ x ทเปน คาไมผดปกตคอขอใด

1. 1 x 19 2. 1 x 19 3. x 1 หรอ x 19 4. x = 1 หรอ x = 19

5(มช 37) การทดสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนหนงมคะแนนเฉลยและ สมประสทธความแปรผนเทากบ 60 คะแนน และ 25% ตามล าดบ ซงสอบไดคะแนน มาตรฐานเทากบ 2 อยากทราบวากลยาทดสอบครงนไดคะแนนเทากบขอใด

1. 90 2. 85 3. 84 4. 64.8

6(มช 43) การคดเลอกบคคลเขาท างานบรษทแหงหนงมการสอบขอเขยนและสมภาษณ ผสอบ ขอเขยนมจ านวน 50 คน และสอบผานเขาสมภาษณจ านวน 30 คน ผลการสอบขอเขยน พบวามคะแนนเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 60 และ 10 คะแนนตามล าดบ ผลการ สอบสมภาษณพบวามคะแนนเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 70 และ 16 คะแนน ตามล าดบ ถานางสาวนโคลเปนคนหนงทสอบผานทงขอเขยนและสมภาษณ โดยมคะแนน มาตรฐานในการสอบแตละครงเทากบ 1 แลว คะแนนเฉลยของการสอบขอเขยนและ สมภาษณของนางสาวนโคล เทากบคาในขอใด 1. 64 2. 65 3. 78 4. 80

7(แนว PAT1) ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต ถาหยบขอมล a , b , c , d มาค านวณคา มาตรฐาน ปรากฏวาไดคาดงตาราง

ขอมล a b c d คามาตรฐาน(z) –3 –0.45 0.45 1


59

คาของ 2b – a + 2c – 3d มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. 0 3. 2 4. 4

8(En 38) ขอมลเกยวกบการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 6 คน เปนดงน นกเรยนคนท คะแนน คามาตรฐาน

1 2 3 4 5 6

30 40 45 60 85

100

–1.2 –0.8 –0.6

0 1.0 1.6

สมประสทธของการแปรผนของคะแนนขางตนเทากบขอใดตอไปน 1. 12

1 2. 125 3. 12

7 4. 1211

9(มช 47) ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คน ไดคะแนน (X) สรปผลดงน

201 i

2iX

= 52420 และ

201 i

(X i – X )2 = 2420

ถาคามาตรฐานของคะแนนนกเรยนคนหนงในกลมนเทากบ 2.0 แลวเขาสอบไดคะแนนวชา คณตศาสตรเทากบขอใด 1. 39 2. 50 3. 61 4. 72

ขอมลตอไปน ส าหรบตอบค าถาม 2 ขอถดไป ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง มนกเรยนจ านวน 30 คน ปรากฏวามนกเรยน 17 คน สอบไดคะแนนในชวง 10 – 39 คะแนน มนกเรยน 10 คน สอบไดคะแนนในชวง 40 – 49 คะแนน และมนกเรยน 3 คน สอบไดคะแนนในชวง 50 – 59 คะแนน

10(แนว PAT1) ถาแบงคะแนนเปนเกรด 3 ระดบ คอ เกรด A เกรด B และเกรด C โดยท 10% ของนกเรยนไดเกรด A และ 20% ของนกเรยนไดเกรด B แลว คะแนนสงสดของเกรด C เทากบกคะแนน


60

11(แนว PAT1) จากขอมลขางตน สมมตวาคะแนนมการแจกแจงปกต มสมประสทธการแปรผน เปน 3

1 ถาคะแนนสงสดของเกรด B มคะแนนมาตรฐานเปน 1.5 แลว คะแนนเฉลยของ นกเรยนหองนเทากบกคะแนน

12(แนว PAT1) ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนสองหอง ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณตของ คะแนนสอบเทากบ 65 คะแนน นกเรยนหองแรกม 40 คน หองทสองมนกเรยน 30 คน ถา คะแนนสอบของนกเรยนหองแรกมสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.2 นาย ก. เปนนกเรยน หองแรกสอบได 65 คะแนนคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.5 คะแนนสอบของนกเรยนหองท สองมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 12 คะแนน และนาย ข. เปนนกเรยนหองทสองสอบได คะแนนคดเปนคามาตรฐานเทากบ –2 แลว นาย ข. สอบไดกคะแนน

13(En 33) ผลการสอบของนกเรยนวชาคณตศาสตรจ านวน 20 คน มคะแนนเฉลยเปน 60 สวน เบยงเบนมาตรฐานเปน 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเพยง 19 คน เทากบ 2.5 แลวนกเรยนอก 1 คนทเหลอสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน 1. 35 2. 57.5 3. 62.5 4. 85

14(En46 ต.ค.) โรงงานแหงหนงคดเลอกคนงานจากผสมครเขาท างานทงหมด โดยมเงอนไขวาผท จะไดรบการพจารณาคดเลอกเขาท างานตองมคามาตรฐานของอายไมนอยกวา 1.5 และไมเกน 3.5 ถาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของอายของผสมครทงหมดเปน 23 ป และ a ป ตามล าดบ และถาน าคามาตรฐานของอายผ สมครท งหมดมาหาความแปรปรวนไดความ แปรปรวนเทากบ 4

a แลว ผสมครทอยในขายทจะไดรบการคดเลอกเขาท างานจะตองมอายตาม ขอใดตอไปน 1. ไมนอยกวา 26 ป และไมเกน 37 ป 2. ไมนอยกวา 29 ป และไมเกน 37 ป 3. ไมนอยกวา 26 ป และไมเกน 30 ป 4. ไมนอยกวา 29 ป และไมเกน 37 ป

15(แนว PAT1) ก าหนด

N1i ix = 1125 , N = 45 x เปนคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวน

เทากบ 6.25 ถา A และ B เปนนกเรยนของหองน A ได 30 คะแนน มคามาตรฐาน มากกวาคามาตรฐานของ B อย 0.8 แลว B สอบไดกคะแนน

1. 26 2. 27 3. 28 4. 30


61

16(แนว Pat1) คะแนนสอบวชาความถนดของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต ถาผลรวมของ คามาตรฐานของคะแนนของนายแดงและนายด าเทากบ 0 และผลรวมของคะแนนนาย แดงและนายด าเปน 4 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน แลวสมประสทธของความแปรผน ของคะแนนสอบของนกเรยนกลมนเทากบขอใดตอไปน

1. 0.5 2. 1.1 3. 1.5 4. 2.0

17(มช 49) การสอบวชาภาษาองกฤษครงหนงคะแนนเตม 80 คะแนน คาสมประสทธการแปรผน ของคะแนน สอบมคาเทากบ 0.25 และคาความแปรปรวนของคะแนนสอบเทากบ 100 คะแนน2 กลยาและปราณเปนนกเรยนทเขาสอบครงนไดคะแนนสอบรวมกน 120 คะแนน ถา คามาตรฐานของคะแนนสอบของกลยามคาเทากบ 0.8 แลว คามาตรฐานของคะแนนสอบของ

ปราณตางจากของกลยาเทากบขอใด 1. 0.7 2. 1.5 3. 2.4 4. 3.2

14.2 เสนโคงความถของขอมล

18(En 40) ขอมลเชงปรมาณชดหนงมการแจกแจงปกต ขอใดตอไปนผด 1. คาเฉลยเลขคณตมคาอยระหวางเดไซลท 2.5 และ เดไซลท 7.5 2. มธยฐานมคาอยระหวางเดไซลท 2.5 และเดไซลท 7.5 3. ฐานนยมมคาอยระหวางเดไซลท 2.5 และเดไซลท 7.5

4. มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม

19(En 39) คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกตโดยมคาสมประสทธของการแปร ผนเทากบ 4

1 ถาสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเทากบ 3 มธยฐานของคะแนนสอบ ของนกเรยนกลมนเทากบขอใดตอไปน 1. 4

3 2. 34 3. 12 4. 36

20(แนว Pat1) ในการสอบวชาคณตศาสตรพบวา คะแนนสอบของนกเรยนมการแจกแจงปกต สวนเบยงเบนควอไทลเทากบ 6 สมประสทธควอไทลเทากบ 0.6 คะแนนเฉลยของการสอบ ครงนมคาเทากบเทาใด


62

21(En 40) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงมเสนโคง ความถเปนเสนโคงเบ ทางซาย โดยท 80 เปอรเซนตของนกเรยนท งหมดสอบไดคะแนนเทากนคอ 75 คะแนน สมชายสอบไดคะแนนเทากบคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมน โดยทคะแนน ของสมชายตางจากฐานนยมของคะแนนสอบอย 6 คะแนน สมชายสอบไดคะแนนเทากบขอใด ตอไปน 1. 81 2. 69 3. 60 4. 48

22(มช 45) ถาคาเฉลยเลขคณตของยอดการขายตอสปดาหของขนมไทยชนดหนงเทากบ 1100 บาท จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถามธยฐาน และฐานนยม เทากบ 1000 และ 950 บาท ตามล าดบแลว เสนโคงของ ความถเปนแบบเบลาดทางขวา

ข. ถามธยฐาน และฐานนยมเทากบ 1300 และ 1200 บาท ตามล าดบแลว เสนโคงของ ความถเปนแบบเบลาดทางซาย

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

14.3 การแจกแจงปกตและเสนโคงปกต

23(มช 45) ราคาขายบานในหมบานจดสรรขนาดใหญแหงหนงมการแจกแจงปกตทมคาเฉลยเลข คณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 1.5 และ 0.25 ลานบาท ตามล าดบ บานทมราคาขาย นอยกวา 1 ลานบาท มกเปอรเซนต

( ก าหนดให พนทใตเสนโคงปกตระหวาง Z = 0 และ Z = 2 มคาเทากบ 0.477 ) 1. 2.28 2. 4.56 3. 47.72 4. 97.72

24(En43 ต.ค.) อายของคนกลมหนงมการแจกแจงปกตโดยมคาเฉลยเลขคณตเปน x และความ แปรปรวนเปน s2 สมหวงมอาย x – 0.51 s ป จ านวนคนในกลมนทมอายนอยกวาสมหวงเปน จ านวนรอยละเทาใด (พนทใตโคงปกตระหวาง z = 0 และ z = 0.51 เทากบ 0.195)


63

25(มช 48) น าหนกของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกต โดยมมธยฐานเทากบ 40 กโลกรม และสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.125 ถานายแดงซงเปนนกเรยนในหองดงกลาวหนก 37 กโลกรม แลวจะมนกเรยนจ านวนกเปอรเซนตทหนกนอยกวานายแดง

โดยก าหนดพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานดงตาราง ชวงคะแนนมาตรฐาน 0–0.1 0–0.2 0–0.3 0.–0.4 0–0.5 0–0.6

พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐาน 0.0398 0.0796 0.1179 0.1554 0.1915 0.2258

1. 22.58% 2. 27.42% 3. 72.58% 4. 77.42%

26(แนว Pat1) ถาน าหนกของนกเรยนชนประถมปท 1 ของโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต โดยมมธยฐานเทากบ 10 กโลกรม และสมประสทธของการแปรผนเทากบ 0.2 แลว นกเรยนท หนกมากกวา 13 กโลกรม และหนกนอยกวา 8 กโลกรม คดเปนเปอรเซนตเทากบขอใด ตอไปน 1. 9.19 % 2. 22.55% 3. 40.81% 4. 69.19%

Z .75 1 1.25 1.5 พนทใตเสนโคง 0.2734 0.3413 0.3944 0.4332

27(มช 37) ก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต มาตรฐานทอยระหวาง 0 ถง z ดงน z 0.85 0.9 0.95 1.0 1.05 A 0.0323 0.3159 0.389 0.3413 0.3531

คะแนนการทดสอบเขาศกษาในมหาวทยาลยแหงหนงจ านวน 10000 คน มการแจกแจงแบบ ปกตมคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 75 และ 15 คะแนนตามล าดบ ถา มหาวทยาลยตองการคนทไดคะแนนต าสด 90 คะแนน จงหาจ านวนคนทสอบเขามหาวทยาลย ไดจากการทดสอบครงน

28(แนว PAT1) คะแนนสอบของนกเรยน 500 คน กลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลข คณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 60 และ 6 คะแนน ตามล าดบ จงหาจ านวนนกเรยนท ไดคะแนนมากกวา 51 คะแนน แตนอยกวา 66 คะแนน ก าหนด

z 0.5 1.0 1.5 2.0A 0.191 0.341 0.433 0.477


64

29(แนว Pat1) ตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน z 0.016 0.168 1.5 2.5

พนทใตเสนโคง 0.0062 0.0668 0.4332 0.4938

ถาคะแนนสอบเขามหาวทยาลยของนกเรยนจ านวน 1000 คน มการแจกแจงแบบปกตและมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 58 คะแนน โดยมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 6 คะแนน แลว นกเรยนทมคะแนนระหวาง 49 – 73 คะแนน มจ านวนเทากบขอใดตอไปน

1. 440 คน 2. 561 คน 3. 730 คน 4. 927 คน

30(En48 ม.ค.) ก าหนดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1 เทากบ 0.3413 ถาคะแนน สอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงซงมจ านวน 20000 คน มการแจกแจงปกตแลว จ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนซงตางจากคะแนนเฉลยมากกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทา กบขอใดตอไปน 1. 341 2. 6348 3. 6826 4. 13652

31(En 40) คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมสมประสทธของการแปร ผนเปน 24% และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 12 คะแนน ( ถาก าหนด พนทใตเสนโคงปกต ระหวาง z = 0 ถง z = 1.2 และถง z = 1.25 เปน 0.3849 และ 0.3944 ตามล าดบ ) แลวขอใดตอไปน เปนต าแหนงเปอรเซนตไทลของนกเรยนทสอบได 65 คะแนน 1. 38.49 2. 39.44 3. 88.49 4. 89.44

32(แนว Pat1) ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกต นาย ก. และ นาย ข. เปนนกเรยนในหองน ถามนกเรยนในหองนรอยละ 9.48 สอบไดคะแนน มากกวาคะแนนสอบของนาย ก. มนกเรยนรอยละ 10.64 สอบไดคะแนนนอยกวาคะแนน ส อบ ขอ ง นาย ข. และนาย ข. สอบไดคะแนนนอยกวาคะแนนสอบของนาย ก. อย 51 คะแนน แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครงนเทากบเทาใด

เมอก าหนดพนทใตเสนโคงปกต ระหวาง 0 ถง z ดงตารางตอไปน Z 0.24 0.27 1.24 1.31

พนท 0.0948 0.1064 0.3936 0.4052


65

33(En41 เม.ย.) คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 40 คะแนน สวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 คะแนน และจ านวนนกเรยนสอบไดคะแนนทมคามาตรฐานอยระหวาง –1 และ 1 มอย 75% ของนกเรยนท งหมด ถานาย ก. สอบได 50 คะแนนแลว ขอใดตอไปนเปนต าแหนงเปอรเซนไทลของคะแนนของนาย ก.

1. 37.5 2. 50 3. 75 4. 87.5

34(En44 ต.ค.) พนทใตเสนโคงปกตระหวาง Z = –1.2 ถง Z = 0 เทากบ 0.3849 คะแนนสอบ ของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 50 คะแนน และ 10 คะแนนตามล าดบ ถานายค านวณสอบไดในต าแหนงเปอรเซนต ไทลเทากบ 88.49 แลว นายค านวณสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน


35(มช 35) คะแนนสอบของวชาฟสกสของนกเรยนหองหนงมคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบน มาตรฐานเปน 60 และ 20 คะแนนตามล าดบ ถาครก าหนดวาจะใหเกรด 4 ในวชาน 5% นาย ปญญาและนายสามารถไดคะแนน 90 และ 95 ตามล าดบ นกเรยนทงสองไดเกรด 4 หรอไม ถา พนทใตเสนโคงปกตเปนดงรป

1. ไดทงสองคน 2. นายสามารถสอบไดเกรด 4 คนเดยว 3. ไมไดทงสองคน 4. ไมสามารถสรปได

36(En45 ม .ค .) ถาความสงของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกตทมมธยฐานเทากบ 160 เซนตเมตร และมนกเรยนทสงนอยกวา 158 เซนตเมตรอย 34.46% สมประสทธของการแปร ผนของความสงของนกเรยนหองนเทากบขอใดตอไปน ตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกต

Z 0.3 0.4 0.5 A 0.1179 0.1554 0.1915

1. 1.563% 2. 2.432% 3. 3.125% 4. 4.346%

z = 0 z = 1.65

0.4500


66

37(En42 ม.ค.) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชนหนง มการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลย เลขคณตเปน 64 คะแนน ถานกเรยนทสอบไดคะแนนมากกวา 80 คะแนน มอย 18.87% แลว สมประสทธของการแปรผนของคะแนนสอบวชานคอขอใดตอไปน

(พนทใตเสนโคงปกตระหวาง z = 0 ถง z = 1 คอ 0.3143) 1. 35% 2. 30% 3. 25% 4. 20% 38(มช 39) คะแนนสอบวชาสถตซงคะแนนเตม 100 มการแจกแจงปกต ปรากฏวาค านวณคาเฉลย เลขคณตไดเทากบ 62 คะแนน ธดาสอบไดคะแนน 75 คะแนน โดยมผสอบไดคะแนน มากกวาธดาอย 20% ของจ านวนผสอบ จงหาสมประสทธของการแปรผนคะแนนสอบครงน (ก าหนด ตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตดงน)

z 0.00 0.50 0.84 1.00 A 0.000 0.192 0.300 0.341

39(แนว 9 สามญ) อายการใชงานของถานไฟฉายชนดหนงมการแจกแจงปกต มคาเฉลยเลขคณตเทา กบ นาท และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ นาท ถา a เปนจ านวนจรงทท าใหถาน ไฟฉายทใชงานไดนานระหวาง – a และ + a นาท มจ านวน 34% แลวถานไฟฉาย ทใชงานไดนานระหวาง – 2a และ + a นาท มจ านวนคดเปนเปอรเซนตเทากบขอใด ตอไปน

เมอก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตดงน Z 0.215 0.34 0.44 0.68 0.88 0.99 พนท 0.085 0.133 0.17 0.25 0.31 0.34

1. 58.5 2. 62 3. 64 4. 68 5. 81 40(En45 ต.ค.) ถาน าหนกของนกเรยนชนอนบาลในโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต โดยม คามธยฐานเปนสามเทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอรเซนต ของนกเรยนกลมนม น าหนกนอยกวา 15.7 กโลกรม แลวเปอรเซนตของนกเรยนกลมนทมน าหนกอยระหวาง 13 กโลกรม ถง 18 กโลกรม เทากบขอใดตอไปน ก าหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตมาตรฐานทอยระหวาง 0 ถง Z

Z 0.13 0.14 0.2 0.4 0.6 0.7 พนท 0.0517 0.0557 0.0793 0.1554 0.2258 0.2580

1. 30.51% 2. 33.73% 3. 38.12% 4. 41.34%


67

41(En46 ม.ค.) การแจกแจงความสงของนกเรยนกลมหนงเปนการแจกแจงปกต ถานกเรยนทม ความสงมากกวา 149.4 เซนตเมตร มอย 3% และนกเรยนทมความสงนอยกวาฐานนยมแต มากกวา 136.5 เซนตเมตร มอย 25.8% แลว ขอใดตอไปนคอฐานนยมและความแปรปรวน ของความสงของนกเรยนกลมนตามล าดบ (หนวยเปนเซนตเมตร)

ก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานทอยระหวาง 0 ถง 2 z 0.3 0.7 1.49 1.88

พนท 0.1179 0.2580 0.4319 0.4700 1. 144.4 , 5 2. 144.4 , 25 3. 140 , 5 4. 140 , 25

42(แนว Pat1) ก าหนดใหความสงของคนกลมหนงมการแจกแจงแบบปกต ถามคนสงกวา 145 เซนตเมตร และ 165 เซนตเมตร อย 84.13% และ 15.87% ตามล าดบ แลว สมประสทธของ ความแปรผนของความสงของคนกลมนเทากบขอใดตอไปน

Z 1.00 1.12 1.14 1.16 พนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานจาก 0 ถง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770

1. 311 2. 31

2 3. 313 4. 31

4

43(En 38) ขอมลชดหนงมการแจกแจงแบบปกต โดยทคาสงสดของขอมลมคาเทากบคาเปอร– เซนไทลท 97.5 และคาต าสดของขอมลมคาเทากบเปอรเซนไทลท 33 ถาสวนเบยงเบน มาตรฐานของขอมลเทากบ 10 แลว พสยของขอมลชดน เทากบเทาใด ก าหนดตารางแสดง พนทใตเสนโคงดงน

Z 0.44 1.96 A 0.17 0.475

44(แนว PAT1) ขอมลความสงของนกศกษาป 1 วทยาลยแหงหนงมการแจกแจงปกต ถาจ านวน นกศกษาทมความสงนอยกวา 140.6 เซนตเมตร มอย 3.01% และจ านวนนกศกษาทมความ สงมากกวาคามธยฐานแตนอยกวา 159.4 เซนตเมตร มอย 46.99% แลวจ านวนนกศกษาทม ความสงไมนอยกวา 155 เซนตเมตร แตไมเกน 160 เซนตเมตร มเปอรเซนตเทากบขอใด ก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานระหวาง 0 ถง z เปนดงน

z 1.00 1.12 1.88 2.00 พนทใตเสนโคง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772

1. 12.86% 2. 13.14 % 3. 15.87 % 4. 13.59 %


68

45(มช 42) จากรปเสนโคงความถน คาวดการกระจายสมพทธของขอ

มลชดนคอขอใด 1. 0.88 2. 0.72 3. 0.50 4. 0.25

46(มช 41) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรมการแจกแจงปกตมคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวน 54 และ 100 ตามล าดบ ในการตดเกรดจะพจารณา 3 เกรดคอ ตก (เกรด F) ผาน (เกรด P) และด (เกรด G) ซงม 25% , 50% และ 25% ของผเขาสอบทงหมดทไดเกรดดงกลาว ตามล าดบ ดงนนสวนเบยงเบนควอรไทลของคะแนนสอบครงน มคาเทากบขอใด

ใหตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตดงน Z 0.00 0.25 0.50 0.67 A 0.000 0.099 0.192 0.250

1. 2.5 2. 5.0 3. 6.7 4. 13.4

47(แนว Pat1) คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมมธยฐานเทากบ 66.2 คะแนน ถา 39% ของนกเรยนกลมนสอบไดคะแนนระหวาง 56 และ 76.4 คะแนน แลวสวน เบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครงนเทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 12 3. 20 4. 25

48(มช 47) สวนสงของนกเรยนในโรงเรยนมธยมแหงหนงมการแจกแจงปกต โดยจ านวนนกเรยนท มผลตางระหวางสวนสงและคาเฉลยเลขคณตมากกวา 10 เซนตเมตร ขนไปมจ านวน 31.74% ถาเดกชายรงมสวนสงต ากวา สวนสงมธยฐาน 11 เซนตเมตร แลวโรงเรยนมธยมแหงนม นกเรยนทมสวนสงต ากวาเดกชายรงเปนจ านวนเทาใด ก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตดงน

Z 0.99 1.00 1.10 1.20 A 0.3389 0.3413 0.3643 0.3849

1. 11.51% 2. 13.57% 3. 15.87% 4. 18.26%

.10 .10 .20

0.05

5 20 40 60 70 80

0.05 .25 .25


69

49(แนว 9 สามญ) ในการสอบครงหนงคะแนนสอบมการแจกแจงปกต ถาจ านวนนกเรยนทสอบได มากกวา 80 คะแนนม 10% ของจ านวนนกเรยนทงหมด และจ านวนนกเรยนทสอบไดนอย กวา 40 คะแนนม 10% ของจ านวนนกเรยนท งหมด แลวนกเรยนทสอบไดมากกวา 65 คะแนน มจ านวนคดเปนเปอรเซนตของจ านวนนกเรยนทงหมดเทากบขอใดตอไปน ก าหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตดงน

Z 0.1 0.32 0.4 1 1.28 พนท 0.0398 0.1255 0.1554 0.3413 0.4

1. 37.45 % 2. 46.12% 3. 57.45% 4. 62.55 % 5. 77.45%

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 14 การแจกแจงปกต ชดท 1

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 3 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 3. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบ 43.5 11. ตอบ 33 12. ตอบ 61 13. ตอบขอ 1. 14. ตอบขอ 3. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 1. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบ 10 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบ 30.50 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 2. 27. ตอบ 1587 28. ตอบ 387 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบ 20 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 2. 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบ 0.25 39. ตอบขอ 2. 40. ตอบขอ 3. 41. ตอบขอ 4. 42. ตอบขอ 2. 43. ตอบ 24 44. ตอบขอ 4. 45. ตอบขอ 3. 46. ตอบขอ 3. 47. ตอบขอ 3. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 1.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 5 http://www.pec9.com บทท 15 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

69

บทท 15 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

15.1 การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

ในบทน เราจะศกษาเกยวกบความสมพนธระหวางสงของสองสงซงมความเกยวของกน เชน ความสงของเดกกบน าหนกตว พรอมกนนนเราจะสรางฟงกชนแสดงความสมพนธระหวางของสองสงนน แลวใชฟงกชนทไดไปท านายคาตวแปรหนง เมอเราทราบคาตวแปรอกตวทเหลอ เชนเมอเราทราบความสง เรากสามารถท านายคาน าหนกตวได เปนตน ตวแปรทเราทราบคาแลวจะเรยกวาตวแปรตน ( x ) สวนตวแปรทจะท านายคาเรยกตวแปรตาม( y ) เชนในตวอยางทกลาวมาขางตน ความสงเปนสงททราบคา ความสงจงเปนตวแปรตน ( x ) และเราตองการท านายน าหนก น าหนกตวจงเปนตวแปรตาม ( y ) ในระดบชนนเราจะศกษาความสมพนธของตวแปรตน (x) และตวแปรตาม (y) 3 รปแบบ คอแบบเสนตรง , แบบพาราโบลา , แบบเอกโปแนนเซยล

15.2 การประมาณคาของคาคงตวโดยใชวธก าลงสองนอยสด

หลกการในการสรางความสมพนธเชงฟงกชน (คราวๆ ) ขนท 1 ตองน าขอมลทโจทยบอกมา ไปเขยนแผนภาพการกระจาย เพอดแนวโนมวาขอมลนน จะมความสมพนธกนในรปแบบใด ( ในระดบชนนจะศกษาความสมพนธ 3 แบบ คอแบบเสนตรง , แบบพาราโบลา , แบบอกโปแนนเซยล ) ขนท 2 ท าการสรางฟงกชนแสดงความสมพนธของขอมล โดยเลอกใชสมการรปทวไปและสมการปกตดงน กรณทความสมพนธของขอมลอยในรปเสนตรง สมการรปทวไป y = b x + a สมการปกต y = b x + n a xy = b x2 + a x


70

กรณทความสมพนธของขอมลอยในรปพาราโบลา สมการรปทวไป y = a x2 + bx + c สมการปกต y = a x2 + b x + nc

xy = a x3 + b x2 + c x

x2 = a x4 + b x3 + c x2

กรณทความสมพนธของขอมลอยในเอกซโพแนนเซยล สมการรปทวไป log y = (log b) x + log a สมการปกต log y = (log b) x + n log a x . log y = (log b) x2 + (log x) x

ขอควรระวง ; ความสมพนธเชงฟงกชนทสรางมาไดน จะใชท านายคาตวแปรตาม ( y ) เมอทราบคาตวแปรตน( x ) เทานน ( คอใชแทนคา x เพอหาคา y จะแทนคา y แลวหาคา x ไมได )

1(แนว En) ความสมพนธระหวางเวลา (วนาท) และระยะทาง (เมตร) ของวตถทเคลอนทเปนดงน เวลา ( วนาท ) 1 2 3 4 ระยะทาง (เมตร) 2 8 18 32

ถาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลชดนเปนแบบเสนตรงแลว เราจะท านายระยะทางทวตถ เคลอนทไดขณะทเวลาเทากบ 3.5 วนาท ไดเทากบขอใดตอไปน 1. 20 เมตร 2. 23 เมตร 3. 25 เมตร 4. 28 เมตร


71

2(แนว En) ก าหนดใหรานขายของช ารานหนงมขอมลของเงนใชในการโฆษณา และก าไรทไดใน แตละเดอน มความสมพนธกนดงตารางตอไปน

เงนคาโฆษณา (พนบาท ) 1 2 3 3 ก าไร (พนบาท ) 1 3 4 6

ถาความสมพนธเชงฟงกชนของเงนคาโฆษณากบก าไรอยในรปเสนตรงแลว ขอความใดตอไปนถกตอง ก. ถาเพมคาโฆษณา 1 พนบาท ก าไรจะเพมขน 2 พนบาท ข. ถาไมมการโฆษณา ก าไรทไดจะมคา 1 พนบาท 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด

3(แนว PAT1) ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (X) และวชา ฟสกส (Y) ของนกเรยน 100 คนของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆ ทใชในการค านวณคาคง ตวจากสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนทมรปสมการเปน Y = mX + c ดงน

1001i

1000 iy100

1i ix ,

100

1i2000iyix ,

1001i

40002ix

ถานายสมชายสอบไดคะแนนวชาคณตศาสตรเพมขน 6 คะแนน จะสอบไดคะแนนวชาฟสกส เพมขนกคะแนน 1. 8 คะแนน 2. 10 คะแนน 3. 13 คะแนน 4. 17 คะแนน


72

4(แนว มช) ให Y = 4.5 X + 1.6 แทนความสมพนธเชงฟงกชนส าหรบประมาณ Y จาก X เมอ Y เปนรายไดจากการขายสนคา และ X เปนคาใชจายในโฆษณา (หนวยเปนลานบาท ตอเดอน) จงพจารณาขอความตอไปน ก. ถาไมมการโฆษณาจะประมาณรายได จากการขายสนคาไดเทากบ 1.6 ลานบาท ข. ถาคาใชจายในการโฆษณาเพมขน 2 ลานบาท รายไดจากการขายสนคาจะเพมขน ประมาณ 9.0 ลานบาท ขอใดตอไปน จรง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

15.3 การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

5. ขอมลตอไปนแสดงจ านวนจ านวนรถยนตทบรษทแหงหนงขายได ( หนวยรอยคน ) ในชวงป พ.ศ. 2550 ถงป พ.ศ. 2554

พ.ศ. 2550 2551 2552 2553 2554 จ านวนรถยนต (รอยคน) 5 8 12 15 20

ถาความสมพนธระหวางป พ.ศ. กบจ านวนรถยนตทขายได มความสมพนธเชงฟงกชนแบบ สมการเสนตรงแลวจงท านายจ านวนรถยนตทจะขายไดในป พ.ศ. 2557

1. 25.20 2. 30.50 3. 2520 4. 3050


73

6. ใหใชความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรงกบขอมลตอไปน พ. ศ. จ านวนขายของเครองจกร (พนเครอง) 2550 1 2551 2 2552 4 2553 5 2554 7 ในป พ.ศ. 2557 จ านวนขายเครองจกรควรจะเปนเทาใด 1. 8300 เครอง 2. 11300 เครอง 3. 12800 เครอง 4. 15800 เครอง 7. ขอมลตอไปนแสดงผลตภณฑกระเปาทผลตได (หนวยเปนพนใบ) ในชวงป พ.ศ. 2546 ถง พ.ศ. 2551 ถาป พ. ศ. กบปรมาณทผลตมความสมพนธเปนสมการเสนตรง จงท านายวาในชวง 6 เดอนแรกของป พ. ศ. 2560 จะผลตกระเปาไดจ านวนเทากบคาในขอใด

พ.ศ. 2546 2547 2548 2549 2550 2551 จ านวนกระเปา (พนใบ) 4 7 8 10 13 15

1. 17055 ใบ 2. 17905 ใบ 3. 34110 ใบ 4. 35810 ใบ


74

8. ความสมพนธ ระหวางรายได ( x ) และรายจาย ( y ) ของครอบครวตางๆ ในหมบานแหงหนง เปนดงน y = 0.68 x + 0.42 ซงถาครอบครวมรายได 1000 บาท จะมรายจาย 680.42 บาท หากครอบครวน มรายจาย 500 บาท แลวรายไดคอคาในขอใดตอไปน 1. 734.68 บาท 2. 730.58 บาท

3. 698.12 บาท 4. หาไมไดเพราะรายไดจากสมการนเปนตวแปรอสระ

9. จากขอมลรายจายของครอบครว 8 ครอบครว ทมรายไดตงแต 1000 บาท ถง 14000 บาท ได สมการทใชแทนความสมพนธของรายได ( x ) และรายจาย ( y ) คอ y = 0.636 x + 0.545 พจารณาขอความตอไปน ก. เราสามารถใชสมการขางตน ท านายรายไดเมอทราบรายจาย

ข. ถาเพมขอมลโดยการสอบถามเพมอก 7 ครอบครว สมการทใชแทนความสมพนธของ x และ y ยงคงเปนสมการเดม

ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. และ ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. และ ข. ผด


75

10. ก าหนดขอมลดงน x 1 2 3 4 y 5 2 3 10

ถาความสมพนธระหวาง x กบ y เปนสมการพาราโบลา แลวคา y เมอ x = 5 มคาเทากบ เทาใด 11. ขอมลแสดงมลคาสงสนคาออกชนดหนง ในชวงป พ.ศ. 2551 – 2555

พ.ศ. 2551 2552 2553 2554 2555 มลคาสนคา (ลานบาท) 1 2 4 6 16

ถาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทงสองเปนแบบสมการเอกซโพเนนเซยล แลวมลคา สนคาสงออกในป พ.ศ. 2558 มคาเทากบกลานบาท ( ก าหนด log 1.46 = 0.0195 )


76

เฉลยบทท 15 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 1. 5. ตอบขอ 4. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบขอ 4. 9. ตอบขอ 4. 10. ตอบ 2.15 11. ตอบ 146

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 15 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ชดท 1

15.1 การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

15.2 การประมาณคาของคาคงตวโดยใชวธก าลงสองนอยสด

1(En 38) ความสมพนธระหวางเวลา (วนาท) และระยะทาง (เมตร) ของวตถทเคลอนทเปนดงน เวลา ( วนาท ) 1 2 3 4 ระยะทาง (เมตร) 2 8 18 32

ถาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลชดนเปนแบบเสนตรงแลว เราจะท านายระยะทางทวตถ เคลอนทได ขณะทเวลาเทากบ 1.5 วนาท ไดเทากบขอใดตอไปน 1. 3 เมตร 2. 4 เมตร 3. 5 เมตร 4. 5 เมตร

2(En47 ต.ค.) จากรายการซอมแซมเครองซกผา 6 เครอง ปรากฏผลดงน เครองซกผาเครองท 1 2 3 4 5 6 จ านวนปทใชงาน : x 1 2 3 2 1 3 คาซอมแซมตอป : y (รอยบาท) 4 7 10 8 3 10

สมการทใชแทนความสมพนธเชงฟงกชนส าหรบการประมาณซอมแซมจากจ านวนปทใชคอ ขอใดตอไปน 1. Y = 3.25X + 0.5 2. Y = 3.5X + 0.5 3. Y = 3.5X + 0.75 4. Y = 3.75X + 0.25


77

3(แนว PAT1) ก าหนดใหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทก าหนดใหตอไปนเปนเสนตรง x 1 2 3 4 5 Y 3 4 6 7 10

พจารณาขอความตอไปน (ก) ถาสมการของความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลคอ y = mx + c แลว m + c

เทากบ 2.6 (ข) ถา x = 15 แลว y = 26.4 ขอใดตอไปนถกตอง 1. (ก) ถก และ (ข) ถก 2. (ก) ถก แต (ข) ผด 3. (ก) ผด แต (ข) ถก 4. (ก) ผด และ (ข) ผด

4(แนว A–Net) ถาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลชดหนงระหวางตวแปร x และ y มกราฟ เปนเสนตรง โดยท

32 8

1i ix , 61

81 i iy

, 65

81 i iyix

, 140

81i

2ix

, 34

81i

2iy

ถา x = 4 แลวจะประมาณคา y ไดเทาใด (ตอบเปนทศนยมสองต าแหนง)

5(แนว PAT1) ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (X) และวชา ฟสกส (Y) ของนกเรยน 100 คน ของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆ ทใชในการค านวณคา คงตวจากสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนทมรปสมการเปน Y = a + bX ดงน

1001i

1000 iy100

1i ix ,

100

1i2000iyix ,

1001i

40002ix

ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนายสมชายเทากบ 10 คะแนน แลวคะแนนสอบวชาฟสกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทากบขอใดตอไปน


6(แนว Pat1) ก าหนดใหรานขายของช ารานหนงมขอมลของเงนใชในการโฆษณา และก าไรทไดใน แตละเดอนมความสมพนธกนดงตารางตอไปน

เงนคาโฆษณา (พนบาท ) 1 2 3 3 ก าไร (พนบาท ) 1 3 4 6


78

ถาความสมพนธเชงฟงกชนของเงนคาโฆษณากบก าไรอยในรปเสนตรงแลว ขอความใดตอ ไปนถกตอง ก. ถาเพมคาโฆษณา 1 พนบาท ก าไรจะเพมขน 2 พนบาท ข. ถาไมมการโฆษณา ก าไรทไดจะมคา 1 พนบาท 1. ก. ถก ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. ผด ข. ผด 7(มช 44) ขอมลผลผลตขาวตอปรมาณการใชปยระดบตางๆ ของเกษตรกร 5 ครวเรอน

ครวเรอน ผลผลตขาว (ถง/ไร) ป ย (กก./ไร) 1 2 3 4 5

40 60 50 70 90

4 6 7

10 13

รวม 310 40

ถาเกษตรกรใชปยเพมขน 1 กก./ไร จะไดปรมาณผลผลตขาวเพมขนเทาใด (ก าหนดความสมพนธในขอนเปนแบบเสนตรง)

8(แนว PAT1) ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางคะแนนสอบวชาคณตศาสตร (X) และวชา ฟสกส (Y) ของนกเรยน 100 คนของโรงเรยนแหงหนง ไดพจนตางๆ ทใชในการค านวณคาคง ตวจากสมการปกตของความสมพนธเชงฟงกชนทมรปสมการเปน Y = a + bX ดงน

1001i

1000 iy100

1i ix ,

100

1i2000iyix ,

1001i

40002ix

ถาสมศรสอบไดคะแนนวชาคณตศาสตรเพมขน 9 คะแนน จะสอบไดคะแนนวชาฟสกสเพมขน กคะแนน 1. 8 คะแนน 2. 10 คะแนน 3. 12 คะแนน 4. 17 คะแนน


79

9(En46 ม.ค.) จากการศกษาความสมพนธระหวางยอดขาย (y) (หนวยเปนหมนบาท) ของพนกงาน ขายประกนในบรษทประกนภยแหงหนงกบประสบการณการขาย (x) (หนวยเปนป) ของ พนกงานขาย โดยเกบขอมลจากพนกงานขายประกน 8 คน ไดขอมลดงน

81 i ix = 48 ,

81 i iy = 41 , y

81 i ix

= 286 ,

81 i

2ix = 348

พจารณาขอความตอไปน ก. ถาพนกงานขายประกนคนหนงมประสบการณขาย 6 ป ยอดขายโดยประมาณของ พนกงานคนนเทากบ 51250 บาท

ข. ประสบการณในการขายเพมขน 1 ป ท าใหยอดขายประกนเพมขน 11250 บาท ขอใดตอไปนถก

1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

10(มช 47) คะแนนสอบปลายภาค (Y) และจ านวนครงทขาดเรยน (X) ในวชาคณตศาสตรของ นกเรยนหองหนงจ านวน 30 คน เมอแสดงดวยแผนภาพกระจายแลวอนโลมไดว าอยในรป เสนตรงและสรปขอมลเบองตนดงน

301 i i X = 90 ,

301 i

2i X = 386 ,

301 i iX Yi = 4750 , 60 Y

ถานกเรยนคนหนงในหองนขาดเรยนเพมขน 1 ครง จะมผลตอการลดลงของคะแนนสอบ ปลายภาคเทากบเทาใด

11(แนว Pat1) ในการหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณสารปนเปอนชนดท 1 (X) และ ปรมาณสารปนเปอนชนดท 2 (Y) จากตวอยางอาหารจ านวน 100 ตวอยาง พบวาความ แปรปรวนของปรมาณสารชนดท 1 มคาเทากบ 1.75 , คาเฉลยเลขคณตของปรมาณสารชนด

ท 2 มคาเทากบ 0.5 ,

1001 i iyix = 100 และ

1001 i

2ix = 200 ถาสมการปกตของ

ความสมพนธเชงฟงกชนดงกลาวอยในรป Y = a + bX แลว เมอพบสารปนเปอนชนดท 1 อย 4 หนวย จะพบสารปนเปอนชนดท 2 (โดยประมาณ) เทากบขอใดตอไปน 1. 0.5 หนวย 2. 1 หนวย 3. 1.5 หนวย 4. 2 หนวย


80

12(มช 45) ก าหนด Y = 3.2 X + 1.5 แทนความความสมพนธเชงฟงกชนส าหรบประมาณ Y จาก X เมอ Y เปนรายไดจากการขายสนคา และ X เปนคาใชจายในการโฆษณา (หนวย เปนลานบาทตอเดอน) จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถาไมมการโฆษณา จะประมาณรายไดจากการขายสนคาไดเทากบ 1.5 ลานบาท ข. ถาคาใชจายในการโฆษณาเพมขน 1 ลานบาท รายไดจากการขายสนคาจะเพมขน

ประมาณ 3.2 ลานบาท ขอใดตอไปนจรง 1. ก ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด

3. ก ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

13(En41 ต.ค.) ก าหนดใหความสมพนธระหวางรายได ( x ) และรายจาย ( y ) ตอเดอนของ ครอบครวทอาศยในอ าเภอหนงมสมการเปน y = 200 + 0.85 x ครอบครวสองครอบครวใน อ าเภอนซงมรายไดตางกน 1000 บาท จะมรายจายโดยประมาณตางกนเทาใด

14(มช 43) บรษทหนงศกษาความสมพนธของ X และ Y โดยท X แทนงบประมาณในการโฆษณาสนคา และ Y แทนก าไรทไดจากการขายสนคา บรษทไดสมการทใชในการประมาณก าไรทไดจากการขายสนคาคอ Y = 1.8 X – 0.38 ขอความใดสรป ผด 1. ถาไมมการลงทนโฆษณาสนคาบรษทจะไดก าไร 0.38 หนวย 2. ในการลงทนเพมขนทกๆ หนงหนวย บรษทจะไดก าไร 1.8 เทา ตอหนวยลงทน 3. สมการทใชในการประมาณก าไรจากการขายสนคาเปนสมการทแสดงความสมพนธ เชงฟงกชนทกราฟเปนเสนตรง 4. ถาเขยนกราฟจากสมการขางตน จะพบวาระยะตด แกน Y มคานอยกวาศนย

15.3 การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

15(มช 49) ขอมลในตารางทก าหนดใหตอไปนเปนปรมาณการสงออกอาหารทะเลแชแขงชนดหนง ในชวงป พ.ศ. 2543 – 2547 ( หนวยพนตน )

ป พ.ศ. 2543 2544 2545 2546 2547 ปรมาณการสงออก (พนตน) 5 6 8 9 12


81

ก าหนดใหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางปรมาณการสงออกและชวงเวลาของขอมลนม ลกษณะเปนเชงเสน ตรง คาดวาปรมาณการสงออกอาหารทะเลแชแขงในป พ.ศ. 2549 ควรเปน เทาไร ( พนตน ) 1. 13.1 2. 13.9 3. 14.5 4. 14.8

16(En 31) มลคาอตสาหกรรมสงทอทไทยสงออกไปขายตางประเทศ ระหวางป พ.ศ. 2520 – 2524 พ. ศ. 2520 2521 2522 2523 2524 มลคาลานบาท 1 3 4 5 9

ถาพยากรณโดยใชความสมพนธเชงฟงกชนแบบเสนตรง โดยวธก าลงสองนอยทสดแลวมลคา การสงออกโดยเฉลย 6 เดอนแรกของป 2525 จะมคาเทากบขอใดตอไปน 1. 4.5 ลานบาท 2. 4.9 ลานบาท

3. 9.8 ลานบาท 4. ขอ 1 , 2 และ 3 ไมมขอถก

17(มช 46) ขอมลการขายสนคาบรษทแหงหนงมหนวยเปนลานบาทระหวางป พ.ศ. 2541 – 2545 เปนดงน

พ.ศ. 2541 2542 2543 2544 2545 มลคาการขาย (ลานบาท) 7 10 9 11 13

ถาความสมพนธขอมลนเปนแบบเสนตรงแลว เราจะท านายมลคาการขายโดยเฉลยใน 6 เดอน แรกของป พ.ศ. 2546 จะมคาเทากบขอใด

1. 13.9 2. 5.15 3. 6.90 4. 6.95

18(มช 40) ขอมลขางลางนเปนยอดขายตกตาของโรงงานท าตกตาแหงหนงเปนรายงวด 6 เดอน ของ พ.ศ. 2537 – 2539

ก าหนด y : ยอดขายในแตละงวด (หนวยพนบาท) x : หนวยเวลาในแตละงวด

งวด ยอดขาย (พนบาท)

2537 2538 2539 ม.ค. – ม.ย. 4 3.5 4 ก.ค. – ธ.ค. 6 5.5 7


82

จากขอมลชดนสมการแนวโนมเสนตรง โดยใชระเบยบวธก าลงสองนอยทสดคอขอใด 1. y = 5 + 0.16x 2. y = 5 + 0.31x 3. y = 15 + 0.5x 4. y = 4.5 + 2x

19(En46 ต.ค.) ในการศกษาความสมพนธเชงฟงกชนของปรมาณนมโดยเฉลย (ลตร) ทเดกแตละ คนในต าบลหนงบรโภคตอป (y) ระหวางป พ.ศ. 2538 – 2545 พบวาเมอเปลยนชวงเวลาใหอย ในรปคาของ x ดงน

พ.ศ. 2538 2539 2540 2541 2542 2543 2544 2545 x –7 –5 –3 –1 1 3 5 7

จะไดสมการแสดงความสมพนธ (ทศนยม 2 ต าแหนง) เปน y = 0.54x + 38.85 ถาใช ความสมพนธนท านายปรมาณนมโดยเฉลยทเดกแตละคนในต าบลนบรโภคใน พ.ศ. 2547 แลว จะไดวาปรมาณนมโดยเฉลยทเดกแคละคนบรโภคโดยประมาณเทากบเทาใด

20. จากการสอบถามถงรายจายของครอบครว 8 ครอบครว ทมรายไดต งแต 1000 บาท ถง 14000 บาท ไดสมการทใชแทนความสมพนธของรายได (x) และรายจาย (y) คอ

y = 0.636 x + 0.545 พจารณาขอความตอไปน ก. เราสามารถใชสมการขางตน ท านายรายไดเมอทราบรายจาย

ข. ถาเพมขอมลโดยการสอบถามเพมอก 7 ครอบครว สมการทใชแทนความสมพนธ ของ x และ y ยงคงเปนสมการเดม ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. และ ข. ถก 2. ก. ถก ข. ผด 3. ก. ผด ข. ถก 4. ก. และ ข. ผด

21(En44 ต.ค.) ถาจากการศกษาความสมพนธระหวางจ านวนชวโมงตอสปดาหทใชในการทบทวน วชาตางๆ (แทนดวย X) และผลการเรยนเฉลยหรอ GPA (แทนดวย Y) ไดสมการทใชประมาณ ผลการเรยนเฉลย จากจ านวนชวโมงตอสปดาหทใชในการทบทวนวชาตางๆ เปนสมการ เสนตรงทมความชนเทากบ 0.02 และระยะตดแกน Y เทากบ 2.7 พจารณาขอความตอไปน ก. ถาจ านวนชวโมงทใชในการทบทวนวชาตางๆ เพมขน 10 ชวโมงตอสปดาห ผลการ เรยนเฉลยเพมขน 0.2


83

ข. ถาผลการเรยนเฉลยเทากบ 3 ท านายวาจ านวนชวโมงทใชในการทบทวนเทากบ 15 ชวโมงตอสปดาห ขอใดตอไปนเปนจรง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด

3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

22(แนว Pat1) จากการส ารวจคะแนนสอบของนกเรยน 6 คน ทมคะแนนสอบวชาฟสกส (xi) และ คะแนนสอบวชาคณตศาสตร (yi) ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาฟสกส เทากบ 9 คะแนน คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรเทากบ 6 คะแนน และ

4286

1 i iyix , 694

61 i

2ix

และ 268

61 i

2iy

ถาคะแนนสอบวชาทงสองมความสมพนธเชงฟงกชนแบบเสนตรง และนกเรยนคนหนงทม คะแนนวชาคณตศาสตรเทากบ 7.5 คะแนน แลวคะแนนสอบวชาฟสกสโดยประมาณควรจะม คาเทากบเทาใด

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 15 ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ชดท 1

1. ตอบขอ 3. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 1. 4. ตอบ 2 5. ตอบขอ 2. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบ 5.2 8. ตอบขอ 3. 9. ตอบขอ 2. 10. ตอบ 5.60 11. ตอบขอ 4. 12. ตอบขอ 1. 13. ตอบ 850 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 2. 17. ตอบขอ 4. 18. ตอบขอ 1. 19. ตอบ 44.79 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบขอ 2. 22. ตอบ 12

สรปเขมคณตศาสตร เลม 6 http://www.pec9.com บทท 16 ล าดบและอนกรม

1

บทท 16 ล ำดบและอนกรม

16.1 ล ำดบ

16.1.1 ควำมหมำยของล ำดบ ล ำดบ คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ ำนวนเตมบวกตงแต 1 เรยงกนไป เชน f = { (1 , 5) , (2 , 7) , (3 , 9) , (4 , 11) , … } ฟงกชนนถอวำเปนล ำดบไดเพรำะโดเมน ( สมำชกตวหนำ ) เปนจ ำนวนเตมบวกตงแต 1 คอ 1 , 2 , 3 , 4 , ……… เรยงกนไป

ล ำดบทมจ ำนวนสมำชกจ ำกด เรยกล ำดบจ ำกด ล ำดบทมจ ำนวนสมำชกมำกมำยไมมทสนสด เรยกล ำดบอนนต

16.1.2 รปแบบกำรก ำหนดล ำดบ โดยทวไปแลวกำรเขยนล ำดบจะเขยนแสดงเฉพำะเรนจ ( สมำชกตวหลง ) เทำนน

เชน { (1 , 5) , (2 , 7) , (3 , 9) , (4 , 11) , … } สำมำรถเขยนเปน 5 , 7 , 9 , 11 , ……

สมำชกตวแรกของล ำดบจะเรยกเปนพจนท 1 ( a1) ถดไปจะเรยกเปนพจนท 2 ( a2 ) , พจนท 3 ( a3 ) , ….. ไปถงสมำชกตวท n จะเรยกพจนทวไป ( an )

5 , 7 , 9 , 11 , …… ?

พจนท 1 พจนท 2 พจนท 3 พนจท 4 พจนท n ฝกท ำ. พจำรณำล ำดบ 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , ........ เลข 5 เรยกวำเปนพจนท ......... ... ... ... เขยนสญลกษณเปน ............ เลข 7 เรยกวำเปนพจนท ......... ... ... .. เขยนสญลกษณเปน ............ พจนท n ของล ำดบเรยก..................... เขยนสญลกษณเปน ............

a1 a2 a3 a4 (พจนทวไป , an)


2

16.1.3 ล ำดบเลขคณต ล ำดบเลขคณต คอล ำดบซงเมอน ำพจนขวำมอตงแลวลบออกดวยพจนซำยมอทอยตดกนแลวผลจำกกำรลบจะมคำคงทเสมอ คำคงทนเรยกวำ “ ผลตำงรวม ( d ) ” เชน 5 , 7 , 9 , 11 , …… เมอน ำพจนขวำมอตงแลวลบออกดวยพจนซำยมอทอยตดกนจะไดดงน 7 – 5 = 2 9 – 7 = 2 11 – 9 = 2 จะเหนวำผลลบของพจนขวำกบพจนซำยทอยตดกนจะมคำคงททกชวง ล ำดบนจงเปนล ำดบเลขคณต ผลลบทไดนนเรยกผลตำงรวม ( d ) ส ำหรบตวอยำงน d = 2 ส ำหรบพจนทวไป ( an) ของล ำดบเลขคณตใดๆ จะหำไดจำกสมกำร an = a1 + (n – 1) d หรอ an = d n + (a1 – d) หรอ an = am + k d

เมอ an คอพจนทวไป a1 คอพจนท 1 n คอล ำดบทของพจนทจะหำ d คอผลตำงรวม k = n – m

1. พจนท 11 ของล ำดบเลขคณต 5 , 7 , 9 , 11 , …… มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 23 2. 25 3. 27 4. 29 2. พจนทวไป ( an ) ของล ำดบเลขคณต 4 , 7 , 10 , …. มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. n + 1 2. n + 3 3. 3n + 1 4. 3n + 3


3

3. ก ำหนดพจนท 6 และพจนท 9 ของล ำดบเลขคณตเทำกบ 18 และ 36 ตำมล ำดบ จงหำ ผลตำงรวม

4(แนว O–Net) ถำ a1 , a2 , a3 , … เปนล ำดบเลขคณต ซง a20 – a10 = 30 แลวผลตำงรวม ของล ำดบ เลขคณตนมคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 3.0

5(En41 ต.ค.) จ ำนวนสมำชกในเซต { 100 , 101 , 102 , … , 600 } ซงหำรดวย 8 หรอ 12 ลงตว เทำกบขอใดตอไปน 1. 84 2. 92 3. 100 4. 125

16.1.4 ล ำดบเรขำคณต ล ำดบเรขำคณต คอล ำดบซงเมอน ำพจนขวำมอตงแลวหำรดวยพจนซำยมอทอยตดกนแลว ผลจำกกำรหำรจะมคำคงทเสมอ คำคงทนเรยกวำ “อตรำสวนรวม ( r )” เชน 2 , 4 , 8 , 16 , …… เมอพจนขวำมอตงแลวหำรดวยพจนซำยมอทอยตดกนจะไดดงน 4 2 = 2 8 4 = 2 16 8 = 2

จะเหนวำผลหำรของพจนขวำกบพจนซำยทอยตดกนจะมคำคงททกชวง ล ำดบนจงเปนล ำดบเรขำคณต และผลลบทไดนเรยกอตรำสวนรวม ( r ) ซงในตวอยำงน r = 2


4

ส ำหรบพจนทวไป ( an) ของล ำดบเลขคณตใดๆ จะหำไดจำกสมกำร

an = a1 r(n – 1) หรอ an = r1a

( rn ) หรอ an = am rk

เมอ an คอพจนทวไป a1 คอพจนท 1 n คอล ำดบทของพจนทจะหำ r คออตรำสวนรวม k = n – m

6. พจนท 8 ของล ำดบเรขำคณต 3 , 6 , 12 , …. มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 384 2. 768 3. 1536 4. 3072 7(แนว O-Net) ถำพจนท 5 และพจนท 8 ของล ำดบเรขำคณตเปน 21 และ 161 ตำมล ำดบ แลว พจนท 4 เทำกบขอใด 1. –1 2. 21 3. 41 4. 1 5. 2

8. เมอจ ำนวนจ ำนวนหนงไปบวกกบแตละจ ำนวนตอไปนคอ 1 , 9 , 25 ตำมล ำดบ แลวผลบวก ทไดจะเปน 3 พจนเรยงกนในล ำดบเรขำคณต จงหำจ ำนวนทน ำไปบวกนน 9(แนว En) ก ำหนดให a , b , c เปน 3 พจนเรยงตดกนในล ำดบเรขำคณต และมผลคณเปน 8 ถำ a , b+3 , c+2 เปน 3 พจนเรยงตดกนในล ำดบเลขคณตแลว a – b + c มคำเทำกบ เทำใด


5

16.1.5 ลมตของล ำดบ ลมตของล ำดบ คอคำซง an เขำใกลหรอเทำกบ เมอ n มคำมำกมำยไมสนสด เชน ล ำดบ 1 , 21 , 31 , 41 , …… ล ำดบนเมอ n เพมขนมำกมำยจนเขำใกล แลว an จะเขำใกล 0 ดงนนลมตของล ำดบนเทำกบ 0 เขยนเปนสญลกษณจะได

nlim an = 2 อำนวำ “ ลมต an เมอ n เขำใกล

เทำกบ 2 ”

ล ำดบ 1 , 1 , 1 , 1 , …… ล ำดบนเมอ n เพมขนมำกมำยจนเขำใกล แลว an จะเทำกบ 1 ดงนนลมตของล ำดบนเทำกบ 1 เขยนเปนสญลกษณจะได

nlim an = 1 อำนวำ “ ลมต an เมอ n เขำใกล

เทำกบ 1 ”

ล ำดบ 1 , 2 , 3 , 4 , …… ล ำดบนเมอ n เพมขนมำกมำยจนเขำใกล แลว an จะมคำมำกมำย ลมตของล ำดบนจงหำคำไมได

ล ำดบ 1 , –1 , 1 , –1 , …… ล ำดบนเมอ n เพมขนมำกมำยจนเขำใกล แลว จะไมสำมำรถบอกคำทแนนอนของ an ได ลมตของล ำดบนจงหำคำไมได

ล ำดบอนนตทมลมต เรยกวำล ำดบลเขำ (convergent sequence) ล ำดบอนนตทไมมลมต เรยกวำล ำดบลออก (divergent sequence)

สมบตของลมตของล ำดบ 1) cnlim = c เมอ c เปนคำคงท

2) nlim (an bn) =

nlim an nlim bn

3) nlim (an bn) =

nlim an . nlim bn

4) nlim nbna = nblimn

nalimn

5) nlim (an)k = knanlim

6) nlim

kna = k

nanlim


6

7) nlim an =

nlim

8) nlim (log an ) = log (

nlim an )

9) nlim (sin an ) = sin (

nlim an )

10) nlimn

ba

=

| b| | a | เมอ

| b| | a | เมอ 0

11) nlim [ kn

1 ] = 0 เมอ k R+

12) nlim [ nb

1 ] = 0 เมอ b 0

ฝกท ำ. จงเตมค ำลงในชองวำงตอไปน 1) cnlim =

2) nlim (an bn) =

3) nlim (an bn) =

4) nlim nbna =

5) nlim (an)k =

6) nlim

kna =

7) nlim an =

8)

nlim (log an ) =

9) nlim (sin an ) =

ฝกท ำ. จงเตมค ำลงในชองวำงตอไปน

1) nlimn

ba

=

..........................................

..........................................

2) nlim [ kn

1 ] = ..................................

3) nlim [ nb

1 ] = ..................................


7

กำรหำคำลมตของฟงกชนพหนำมโดยวธลด กำรหำคำลมตของฟงกชนพหนำมโดยวธลด ใหพจำรณำเฉพำะเทอมของ n ทมก ำลงสงสดของเศษและสวน โดยแบงคดเปน 3 กรณยอยดงน กรณท 1 หำกก ำลงสงสดของเศษ < ก ำลงสงสดของสวน จะไดค ำตอบของลมตนนคอ 0 เชน

nlim

1 33n1 2n 2n6

= 0

กรณท 2 หำกก ำลงสงสดของเศษ > ก ำลงสงสดของสวน จะไดวำ ค ำตอบของลมตนน จะหำคำไมได เชน

nlim

1 3n 1 2n 2n6

= หำคำไมได

กรณท 3 หำกก ำลงสงสดของเศษ = ก ำลงสงสดของสวน

จะไดวำ ค ำตอบของลมตนน = ธสวน สมประสทธเศษ สมประสท

เชน

nlim

1 33n1 22n 3n5

= 35

ฝกท ำ. จงหำลมตของล ำดบทมพจนทวไปดงตอไปน

1. an = 1 23n4 27n

2. an = 9 8n 23n

8 5n 22n 3. an = 5 3n 2n

n

4. an = 1 2n 8 5n 2n

5. an = 1 32n

1 35n

ก ำลงสงสดคอ 3

( เพรำะ ก ำลงสงสดของเศษ นอยกวำก ำลงสงสดของสวน )

ก ำลงสงสดคอ


( เพรำะ ก ำลงสงสดของเศษ มำกกวำก ำลงสงสดของสวน )




( เพรำะ ก ำลงสงสดของเศษ เทำกบก ำลงสงสดของสวน )


8

10. ลมตของล ำดบ an = 3n2 + 4n มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 3 4. หำคำไมได

11. ลมตของล ำดบ an = n 6 1 7n

4 1 32n 5 37n

มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 3 4. หำคำไมได

12. ก ำหนดให A = nlim3

8n 24n1 23n

และ B = nlim

31 8n 2n

22n

แลวคำของ A.B3

คอคำในขอใด 1. 41

8 2. 359 3. 64

27 4. 3227

กำรหำคำลมตของฟงกชนเอกโพแนนเซยลโดยวธลด กำรหำคำลมตของฟงกชนเอกโพแนนเซยลโดยวธลด ใหพจำรณำเฉพำะเทอมทมฐำนสงสดของเศษและสวน โดยแบงคดเปน 3 กรณยอยดงน กรณท 1 หำกฐำนสงสดของเศษ < ฐำนสงสดของสวน จะไดค ำตอบของลมตนนคอ 0 เชน

n lim

1 )n7(5

n2 )n2(3

= 0

ฐำนสงสดคอ 3


( เพรำะ ฐำนสงสดของเศษ นอยกวำฐำนสงสดของสวน )


9

กรณท 2 หำกฐำนสงสดของเศษ > ฐำนสงสดของสวน จะไดวำ ค ำตอบของลมตนน จะหำคำไมได เชน

n lim

1 n7(4

n2 )n2(5

= หำคำไมได

กรณท 3 หำกฐำนสงสดของเศษ = ฐำนสงสดของสวน

จะไดวำ ค ำตอบของลมตนน = ธสวน สมประสทธเศษ สมประสท

เชน

n lim

1 )n7(3

n2 )n2(3

= 72

ฝกท ำ. จงหำลมตของล ำดบทมพจนทวไปดงตอไปน

1. nlim

1 )n7(5

n2 )n2(3

2. nlim

1 )n7(3

n2 )n2(3

3. nlim

1 n7(4

n2 )n2(5

13(แนว En) nlim 1 n 7 1 n 3 1 n 5 1 n 7

มคำเทำกบเทำใด

14(แนว มช) nlim n3 1) (n )n3 (15n


1. –5 2. 0 3. 1 4. 5



( เพรำะ ฐำนสงสดของเศษ มำกกวำฐำนสงสดของสวน )



( เพรำะ ฐำนสงสดของเศษ เทำกบฐำนสงสดของสวน )


10

16.2 อนกรม

อนกรม (S) คอผลบวกของสมำชกของล ำดบ เรำใชสญลกษณ Sn แทนผลบวกของสมำชก n ตวแรกของล ำดบ

เชน S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S3 = a1 + a2 + a3 อนกรมจ ำกด S2 = a1 + a2 S1 = a1

S = So = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + …. อนกรมอนนต

อนกรมทสำมำรถบอกจ ำนวนพจนทบวกกนไดวำมกพจนเรยกเปนอนกรมจ ำกด อนกรมทมจ ำนวนพจนทบวกกนอยมำกมำยจนนบจ ำนวนพจนไมไดเรยกเปนอนกรมอนนต อนกรม

อนกรมจ ำกด อนกรมอนนต

อนกรมจ ำกดเลขคณต อนกรมจ ำกดเรขำคณต อนกรมอนนตเลขคณต อนกรมอนนตเรขำคณต

16.2.1 ผลบวกของอนกรมจ ำกด 16.2.1.1 อนกรมจ ำกดเลขคณต อนกรมจ ำกดเลขคณต คออนกรมทไดจำกล ำดบเลขคณตจ ำกด เรำสำมำรถหำผลบวกของสมำชก n ตวแรกของอนกรมจ ำกดเลขคณต ไดจำก

Sn = 2n [ a1 + an ] หรอ Sn = 2

n [ 2 a1 + (n – 1) d ]

เมอ Sn คอผลบวก n พจนแรก n คอจ ำนวนพจนทบวก

d คอผลตำงรวม a1 คอพจนแรกของอนกรม an คอพจนสดทำยของอนกรม


11

15(แนว มช) ผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมเลขคณต –3 + 2 + 7 + 12 + ... มคำเทำกบขอใด 1. 890 2. 980 3. 1010 4. 1100

16(แนว En) นำยแดงน ำเงนไปฝำกธนำคำรออมสนโดยฝำกเดอนแรก 100 บำท เดอนตอไปฝำก เพมขนเดอนละ 50 บำท ทกเดอน เมอครบ 2 ป นำยแดงน ำเงนไปฝำกทงหมดเทำใด

17(แนว En) ให 5 , x , 20 , … เปนล ำดบเลขคณตทมผลบวกของ 12 พจนแรกเปน a และ 5 , y , 20 , … เปนล ำดบเรขำคณตทมอตรำสวนรวมเปน b เมอ b < 0 แลว a + b มคำ เทำกบขอใดตอไปน 1. 205 2. 395 3. 553 4. 845

16.2.1.2 อนกรมจ ำกดเรขำคณต

อนกรมจ ำกดเรขำคณต คออนกรมทไดจำกล ำดบเรขำคณตจ ำกด เรำสำมำรถหำผลบวกของสมำชก n ตวแรกของอนกรมจ ำกดเรขำคณต ไดจำก

Sn = 1 r )1n(r 1a

หรอ Sn = 1 r 1a r na

เมอ Sn คอผลบวก n พจนแรก n คอจ ำนวนพจนทบวก r คออตรำสวนรวม a1 คอพจนแรกของอนกรม an คอพจนสดทำยของอนกรม


12

18. ผลบวก 5 พจนแรกของล ำดบเรขำคณต 3 , –9 , 27 , .... มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –60 2. –183 3. 60 4. 183 19. ในอนกรมเรขำคณตชดหนงพจนแรกมคำเทำกบ 9 พจนท n เทำกบ 576 และผลบวก n พจนแรกของอนกรมนเทำกบ 1143 จงหำอตรำสวนรวมของอนกรม 1. 2 2. 3 3. 2

3 4. 4

20. ก ำหนดอนกรม 2

1 + 41 + 8

1 + …+ n21 + ….. แลวผลบวกยอย n พจนแรก (Sn) ของอนกรม

นคอขอใด 1. (1 – n2

1 ) 2. (1 + n21 ) 3. 2

1 (1 – n21 ) 4. 2

1 (1 + n21 )

16.2.2 ผลบวกของอนกรมอนนต ส ำหรบอนกรมอนนตชดหนงๆ ใด หำกก ำหนดให Sn เปนผลบวกยอย n พจนแรก และ S เปนตงแตพจนท 1 ถงพจนท แลวจะไดวำ S = nlim Sn

หำก S หำคำไดจะเรยกอนกรมนนเปน “ อนกรมลเขำ (convergent series) ” หำก S หำคำไมไดจะเรยกอนกรมนนเปน “ อนกรมลออก (divergent series) ”

21. อนกรมชดหนงมผลบวกยอย n พจนแรกเปน 322n

3n 5nS

แลว ผลบวกถงอนนต (s)

ของอนกรมนมคำเทำกบขอใด 1. 0 2. – 2

3 3. 25 4. หำคำไมได


13

22. อนกรมชดหนงมผลบวกยอย n พจนแรกเปน 726n

1 3n 25nnS

แลว ผลบวกถงอนนต

(s) ของอนกรมนมคำเทำกบขอใด 1. 0 2. – 2


16.2.2.1 อนกรมอนนตเลขคณต อนกรมอนนตเลขคณต คออนกรมทเกดจำกล ำดบเลขคณตอนนต เชน 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... จะไดวำ S = nlim Sn = nlim 2

n [ 2 a1 + (n – 1) d ]

อนกรมแบบนจะไมสำมำรถหำผลบวกได เพรำะยงบวกยงไดคำเขำใกล หรอ –

( ยกเวนอนกรม 0 + 0 + 0 + 0 + ...... จะไดวำ S = 0 )

16.2.2.2 อนกรมอนนตเรขำคณต อนกรมอนนตเรขำคณต คออนกรมทเกดจำกล ำดบเรขำคณตอนนต กำรหำคำอนกรมอนนตเรขำคณต ตองแบงคดเปน 2 กรณดงน

กรณท 1 หำก r 1 กรณน จะไมสำมำรถหำผลบวกได เพรำะยงบวกยงไดคำเขำใกล หรอ – เชน 1 – 4 + 16 – 64 + 256 – ..... ตวอยำงน r = – 4 = 4 ซงมคำมำกกวำ 1 จงหำคำผลบวกอนนตไมได

กรณท 2 หำก r < 1 กรณน จะสำมำรถหำผลบวกได โดยใชสตร เชน 1 + 3

1 + 91 + 27

1 + …

S = nlim Sn = nlim 1 r 1) n(r1a

S = r 11a


14

เมอ S คอผลบวกตงแตพจนแรกถงพจนท n คอจ ำนวนพจนทบวก r คออตรำสวนรวม a1 คอพจนแรก an คอพจนสดทำย

23. ผลบวกถงอนนตของอนกรม 9 + 3 + 1 + …….. มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 0 2. – 1 3. 2

27 4. –

24(แนว A–Net) ถำ 332a 23

a 31 a1 +……. เปนอนกรมเรขำคณต ซงมผลบวกเทำกบ 3

4

แลวคำอตรำสวนรวมของอนกรมนมคำเทำใด

16.2.3 สญลกษณแทนกำรบวก พจำรณำตวอยำงตอไปน

ตวอยำง จงหำคำของ

51i

3)(i

แนวคด 1. แทนคำ i ดวยจ ำนวนเตมตง 1 ถง 5 ลงใน ( i + 3 ) ทละตว 2. น ำผลลพธทไดจำกกำรแทน i ทกตวมำบวกกน

จะได

51i

3)(i = (1 + 3) + (2 + 3) + (3 + 3) + (4 + 3) + ( 5 + 3)

= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30


15


41i

)2(i

แนวคด 1. แทนคำ i ดวยจ ำนวนเตมตง 1 ถง 4 ลงใน i2 ทละตว 2. น ำผลลพธทไดจำกกำรแทน i ทกตวมำบวกกน

จะได

41i

)2(i = 12 + 22 + 32 + 42

= 1 + 4 + 9 + 16 = 30


53i

1) (2i

แนวคด 1. แทนคำ i ดวยจ ำนวนเตมตง 3 ถง 5 ลงใน ( 2i – 1 ) ทละตว 2. น ำผลลพธทไดจำกกำรแทน i ทกตวมำบวกกน

จะได

53i

1) (2i = ( 2[3] – 1) + (2 [4] – 1) + (2 [5] – 1)

= 5 + 7 + 9 = 20

25. ก ำหนดให A =

4

1 i 3i

และ B =

3

1 i1) (2i แลว A + B มคำเทำใด

1. 16 2. 39 3. 65 4. 97

สตรส ำหรบหำคำ

1 )

n1i

C = n C เมอ C เปนคำคงตว เชน

101i

5 = 10 (5) = 50

2)

n1i

i = 21)(nn เชน

91i

i = 21)(9 9 = 45

3)

n1i

2i = 61) (2n 1)(nn เชน

61i

2i = 61) (2[6] 1) (6 6 = 91

4)

n1i

3i = 221)(n n เชน

81i

i = 221) (8 8 = 1296


16

5)

n1i

C ai = C

n1i ia เชน

n1i

2i 5 = 5

n1i

2i

6)

n

1i )

ib

i(a =

n1i

i bn1i

ia


1 )

n1i

C = ........ ........ ........ ........ .. เชน

101i

5 = ........ ........ ........ ........

2)

n1i

C ai = ........ ........ ........ ........ เชน

n1i

2i 5 = ........ ........ ........ ..

3)

n

1i )

ib

i(a = ........ ........ ........ ..


1)

n1i

i = ........ ........ ........ ........ เชน

91i

i = ........ ........ ........ ........ ......…

2)

n1i

2i = ........ ........ ........ ...... เชน

61i

2i = ..........................................

3)

n1i

3i = ........ ........ ........ ...... เชน

8

1i 3i = ........ ........ ........ ........ ........

26.

101 i

25i


27.

10

1 i 8)3(i


1. 1620 2. 2520 3. 2800 4. 3105


17

28.

105 i

5) (3i มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 120 2. 165 3. 320 4. 355

29. ถำ

71n

2)(An = 74 แลว A มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 215 2. 7

15 3. 21 4. 3

2

16.2.4 กำรหำอนกรมลกษณะพเศษ 16.2.4.1 กำรหำอนกรมทตองใช เขำมำชวยหำ

30. คำของ 350 ...333231 ตรงกบคำในขอใด 1. 2550 2. 1940 3. 1525 4. 1275


18

31. ผลบวกของ 112 + 122 + 132 + … + 502 มคำเทำกบคำในขอใดตอไปน 1. 35480 2. 37280 3. 39440 4. 42540 32(แนว En) อนกรม 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ….. + 19 . 20 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 1200 2. 1330 3. 2400 4. 2660 33. ผลบวก n พจนแรกของอนกรม 1.4 + 2.5 + 3.6 +… + n (n+3) เทำกบขอใด 1. 3

n (n + 1)2(n + 5) 2. 3n (n + 1) (n + 5)

3. n (n + 1)2(n + 5) 4. n (n + 1) (n + 5)

34(แนว En) ส ำหรบแตละจ ำนวนเตม n 4 ให an = 3n... 33 32 311 43n

ล ำดบ an

เปนจรงตำมขอใด 1. มลมตเปน 3 2. มลมตเปน 4 3. มลมตเปน 12 4. เปนล ำดบไดเวอรเจนต


19

16.2.4.2 กำรหำอนกรม Telescopic อนกรม Telescopic จะมรปแบบทวไปเปน

ra ...3a 2a 1a 1 + 1ra ... 4a 3a 2a 1

+ …………

อนกรมแบบนจะไดวำ Sn =

1a ra k (

1ra ...3a 2a 1a k

– 1 rn3n2n1n a ... a a a k )

S = 1a ra k

(1ra ...3a 2a 1a k

)

35. ผลบวก n พจนแรกของอนกรม ...3)(2n 1)(2n 1...7.9

15.71

3.51

เทำกบขอใด

1. 0 2. 1 3. 9 6n n 4. 9 6n

n2

36. จำกขอทผำนมำ ผลบวกถงอนนต (S) ของอนกรมดงกลำว มคำเทำกบขอใด 1. 2 2. 3


37. ผลบวก n พจนแรกของอนกรม

n

1i2) (i 1) (i i

2 เทำกบขอใด

1. ) 23n 2(n

3n 2n

2. ) 23n 2(n

3n) 22(n

3. )3n 2(n 2 23n 2n

4.

) 23n 2(n 23n 2n

38. จำกขอทผำนมำ ผลบวก 6 พจนแรกของอนกรมดงกลำว มคำเทำกบขอใด 1. 112

33 2. 11227 3. 112

52 4. 11254


20

39. จำกขอทผำนมำ ผลบวกถงอนนต (S) ของอนกรมดงกลำว มคำเทำกบขอใด 1. 1 2. 2 3. 4

1 4. หำคำไมได

16.4.2.3 กำรหำอนกรมผสมเลขคณตผสมกบเรขำคณต 40. ผลบวกถงอนนตของอนกรม 3

1 + 94 + 27

7 + 8110 + … มคำตรงกบคำในขอใด

1. 45 2. 2

7 3. 4 4. 5

41. ผลบวกของอนกรมอนนต 3 + 4

5 + 169 + 64

17 + ... มคำตรงกบคำในขอใด 1. 3

16 2. 418 3. 4 4. 6


21

42. ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม 1 . 3 + 2 . 32 + 3 . 33 + + 4 . 34 …. + n . 3n + … เทำกบขอใดตอไปน 1. 4

3 + 311 2. 419 + 311 3. 4

3 + 419 . 311 4. 4

19 + 43 . 311

43. จำกขอทผำนมำ ผลบวกถงอนนต (S) ของอนกรมดงกลำว มคำเทำกบขอใด 1. 1 2. 2 3. 4

1 4. หำคำไมได

44. อนกรมตอไปน ขอใดเปนอนกรมลออก

1.

1 n 1) (n e 2.

1 n 1) (n 21) (n 1)(

3.

1 n n1009 4.

1 n 1) n(n 5


22

เฉลยบทท 16 ล ำดบและอนกรม 1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบ 6 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 1. 8. ตอบ 7 9. ตอบ 6 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 4. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบ 49 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบ 16200 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 4. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบขอ 1. 22. ตอบขอ 3. 23. ตอบขอ 2. 24. ตอบ 0.5 25. ตอบขอ 2. 26. ตอบขอ 3. 27. ตอบขอ 4. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 2. 30. ตอบขอ 4. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบขอ 2. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 3. 37. ตอบขอ 4. 38. ตอบขอ 4. 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 1. 42. ตอบขอ 3. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 2.


23

ตะลยขอสอบเขำมหำวทยำลย บทท 16 ล ำดบและอนกรม ชดท 1

16.1 ล ำดบ 16.1.1 ควำมหมำยของล ำดบ 16.1.2 รปแบบกำรก ำหนดล ำดบ

1(แนว O-Net) ถำ 3 2n nn1)( 2na

แลวขอใดถก 1. a1 = 5

1 2. a2 = 74 3. a2 = 9

1 4. a4 = 1122 5. a5 = 13

7

2(แนว O-Net) ผลบวก 3 พจนแรกของล ำดบ an = 1 n n1 n 1)(

เทำกบขอใดตอไปน

1. – 127 2. – 12

5 3. 127 4. 1211 5. 12

13 16.1.3 ล ำดบเลขคณต 3(แนว O-Net) ถำพจนท 5 และพจนท 10 ของล ำดบเลขคณตเปน 14 และ 29 ตำมล ำดบ แลวพจนท 99 เทำกบขอใดตอไปน 1. 276 2. 287 3. 296 4. 297 5. 299

4(แนว O-Net) ล ำดบ –24 , –15 , –6 , 3 , 12 , 21 , … , 1776 มกพจน 1. 199 2. 200 3. 201 4. 202 5. 203

5(En 40) จ ำนวนเตมต งแต 1 ถง 500 และหำรดวย 3 หรอ 5 ลงตว มจ ำนวนเทำกบขอใด ตอไปน 1. 167 2. 200 3. 233 4. 266

6(มช 45) ก ำหนดให a1 , a2 , a3 , … เปนล ำดบเลขคณต ถำ a1 + a5 + a9 + a13 = 220 แลว a1 + a7 + a13 เทำกบขอใด

1. 55 2. 110 3. 135 4. 165

7(แนว O–Net) ถำผลบวกและผลคณของสำมพจนแรกของล ำดบเลขคณตทม d เปนผลตำงรวม เทำกบ 15 และ 80 ตำมล ำดบ แลว d ทมคำมำกกวำ 0 มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 9 4. 16


24

16.1.4 ล ำดบเรขำคณต 8(En44 ม.ค.) ก ำหนดให a , b , c เปน 3 พจนเรยงตดกนในล ำดบเรขำคณต และมผลคณเปน 27 ถำ a , b+3 , c+2 เปน 3 พจนเรยงตดกนในล ำดบเลขคณตแลว a + b + c มคำเทำกบ เทำใด

16.1.5 ลมตของล ำดบ

9(แนว 9 สำมญ) ถา 3n2n

2 2n3nna

เมอ n = 1 , 2 , 3 , … แลว na n lim ม

คาเทากบเทาใด

10(มช 54) 6n

3 38nn

4n2n 1) (3n nlim

มคำเทำกบเทำใด

11(แนว Pat1) ให an = 2 2n3 16n 2n เมอ n = 1 , 2 , 3 , … จงหำวำคำ

ของ 3nanlim มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 4 5. 8

12(แนว 9 สำมญ ) ให an หำลมตได และ an = ] [ . nan2n) (1 แลว nlim an มค ำ

เทำกบเทำใด

13(En 33) จงหำคำของ nlim 1 n 5 1 n 2 1 n 3 1n 5

14(มช 38) nlim n5 1) (n )n5 (12n


1. –2 2. 0 3. 1 4. 2

15(En41 เม.ย.) ถำ an = 1 23n1n 2n

และ bn = 9 n5

n5 n2

แลวลมตของล ำดบทมพจนท n เปน

an – bn + anbn มคำเทำกบขอใดตอไปน 1. –1 2. – 3

1 3. i 4. 1

16(แนว A–Net) พจำรณำล ำดบ an และ bn ซง

10 n เมอ 2

10 n เมอ 1 4 n 4n

na และ

10 n เมอ 1 4 n 4n

10 n เมอ 2 nb


25

ขอใดตอไปนถก 1. an และ bn เปนล ำดบลเขำ

2. an และ bn เปนล ำดบลออก 3. an เปนล ำดบลเขำ และ bn เปนล ำดบลออก

4. an เปนล ำดบลออก และ bn เปนล ำดบลเขำ

17(มช 33) ลมตของล ำดบ 42 , 74 , 10

6 , 138 , .... มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 32 2. 7

5 3. 119 4. 19

17

18(มช 36) จงหำลมตของล ำดบ 215x 3 , 22

7x 5 , 239x 7 , …….

19(แนว Pat1) ให an เปนล ำดบเลขคณตทสอดคลองกบเงอนไข

n 1a n anlim = 2

แลว a9 – a5 เทำกบขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 8 4. 12

20(แนว Pat1) ถำ an เปนล ำดบเลขคณตซง

n

na 1nan lim = 8 แลว 2

12a 20a

มคำเทำใด

16.2 อนกรม

16.2.1 ผลบวกของอนกรมจ ำกด 16.2.1.1 อนกรมจ ำกดเลขคณต 21(En48 ม.ค.) นำยแดงน ำเงนไปฝำกธนำคำรออมสนโดยฝำกเดอนแรก 100 บำท เดอนตอไป ฝำกเพมขนเดอนละ 5 บำท ทกเดอน เมอครบ 2 ป นำยแดงน ำเงนไปฝำกทงหมดเทำใด

22(En43 ต.ค.) ให 5 , x , 20 , … เปนล ำดบเลขคณตทมผลบวกของ 12 พจนแรกเปน a และ 5 , y , 20 , ... เปนล ำดบเรขำคณตทมพจนท 6 เปน b

โดยท y < 0 แลว a + b มคำเทำใด 1. 205 2. 395 3. 435 4. 845

23. ผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + …. เทำกบ


26

24(แนว 9 สำมญ) ก าหนดให a1 , a2 , ….., a9 เปนขอมลชดหนง ถา a1 , a2 , …., a9 เปนล าดบเลขคณต และมมธยฐานเทากบ 15 แลว ผลบวกของ

a1 , a2 , ….a9 มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 117 2. 125 3. 135 4. 145 5. 153

16.2.1.2 อนกรมจ ำกดเรขำคณต 25(En44 ม.ค.) ก ำหนดให n เปนจ ำนวนเตมบวกทท ำใหผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต

7 + 15 + 23 + ... มคำเทำกบ 217 แลว 822n2 ... 1n2 n2 มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 127 2. 128 3. 127.5 4. 128.5

16.2.2 ผลบวกของอนกรมอนนต

26(มช 35) อนกรม 0.1 + 0.001 + 0.00001 + .... มผลบวกเทำกบ.................

27(มช 40) ก ำหนดให a1 + a2 +…+ an + … เปนอนกรมเรขำคณตซงม a2 = 59 และ a3 = 25

27 จงหำผลบวกของอนกรมน

28(แนว A–Net) ถำ 332a 23

a 31 a1 +……. เปนอนกรมเรขำคณต ซงมผลบวกเทำกบ 3

4

แลว 2 a มคำเทำเทำใด

16.2.3 สญลกษณแทนกำรบวก

29(En43 ม.ค.) ถำล ำดบเลขคณต a1 , a2 , a3 , … มพจนท 10 และพจนท 15 เปน –19 และ

–34 ตำมล ำดบแลว

20

1ii) 2i(a เทำกบขอใดตอไปน

1. –30 2. –15 3. 10 4. 20

30(แนว En) ถำ

101 i ix

= 10 ,

101 i iy

= 8 และ

10

1 i)ix(5

(yi + 2) = 80 แลว

101 i iyix


1. –60 2. –40 3. 40 4. 60


27

31(แนว 9 สำมญ) ถา an =

ตมบวกคเปนจ ำนวนเn เมอ2n ตมบวกคเปนจ ำนวนเ n เมอ n

แลว

401k ka

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 860 2. 1060 3. 1080 4. 1240 5. 1440

32(แนว 9 สำมญ) ถา 3 31x แลว

0n3nx n1)(

มคาเทากบเทาใด

33(มช 37) จงหำผลบวกของอนกรม

0 n n1)( cosn 3

1. 25 2. 3

5 3. 21 4. 3

2

34(มช 38) ผลบวกของอนกรม

1 n 1 n 3

ne 1n1)( เทำกบขอใด

1. e 3e 2. e3

e 3. e 3

3e 4. e 3

3e

35(En 40) ให a + 3 , a , a – 2 เปน 3 พจนเรยงกนของล ำดบของเรขำคณตทมอตรำสวนรวม

เปน r แลว

1 n 1 n ra มคำเทำกบขอใดตอไปน

1. 8 2. 9 3. 16 4. 18

16.2.4 กำรหำอนกรมลกษณะพเศษ 16.2.4.1 กำรหำอนกรมทตองใช เขำมำชวยหำ

36(En 40) พจำรณำขอควำม ก. 3 + 3.4 + 3.42 + ... + 3.419 = 420 – 1 ข. 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ...... + 19 . 20 = 2660 ขอใดตอไปนถกตอง 1. ก. และ ข. ถก 2. ก. และ ข. ผด

3. ก. ถก แต ข. ผด 4. ก. ผด แต ข. ถก


28

37(En 39) ส ำหรบแตละจ ำนวนเตม n 4 ให an = 3n... 33 32 311 4n

ล ำดบ an เปนจรงตำมขอใด 1. มลมตเปน 1 2. มลมตเปน 2 3. มลมตเปน 4 4. เปนล ำดบไดเวอรเจนต

38(แนว Pat1) จงหำคำของ

3n... 27 8 142n

nlim

39(แนว 9 สำมญ) ให 1) (2n ... 5 3 1nna และ 2n ... 6 4 2

nnb

จะไดวาอนกรม

1 i)n bn(a เปนอนกรมดงขอใดตอไปน

1. มผลบวกเทากบ – 21 2. มผลบวกเทากบ 0 3. มผลบวกเทากบ 1

4. มผลบวกเทากบ 21 5. ลออก

16.2.4.2 กำรหำอนกรม Telescopic

40(มช 36) เรำทรำบวำ 1)n.(n 1

= n1 – 1 n 1

จงหำผลบวกของอนกรม 8 71 + 9 8

1 + 10 91 + …

1. 71 2. 31 3. 2

1 4. 32

41(แนว มช) เรำทรำบวำ 1)n.(n 1

= n1 – 1 n 1 ดงนนอนกรม

1 n 1)n.(n

3 n25

มผลบวกเทำกบคำในขอใด 1. 0 2. 2 3. 4 4. 5

16.4.2.3 กำรหำอนกรมผสมเลขคณตผสมกบเรขำคณต

42. ผลบวกถงอนนตของอนกรม ... 8110

277

94

31 มคำตรงกบคำในขอใด

1. 45 2. 2

7 3. 4 4. 5


29

เฉลยตะลยขอสอบเขำมหำวทยำลย บทท 16 ล ำดบและอนกรม ชดท 1

1. ตอบขอ 5. 2. ตอบขอ 3. 3. ตอบขอ 3. 4. ตอบขอ 3. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 4. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบ 13 9. ตอบ 3 10. ตอบ 0.5 11. ตอบขอ 3. 12. ตอบ 0002.00 13. ตอบ 25 14. ตอบขอ 1. 15. ตอบขอ 4. 16. ตอบขอ 3. 17. ตอบขอ 1. 18. ตอบ 4 19. ตอบขอ 3. 20. ตอบ 4 21. ตอบ 16200 22. ตอบขอ 2. 23. ตอบ 55 log 2 24. ตอบขอ 3. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบ 0.101 27. ตอบ 7.5 28. ตอบ 3. 29. ตอบขอ 3. 30. ตอบขอ 3. 31. ตอบขอ 4. 32. ตอบ 0.75 33. ตอบขอ 4. 34. ตอบขอ 3. 35. ตอบขอ 4. 36. ตอบขอ 1. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบ 8 39. ตอบขอ 3. 40. ตอบขอ 1. 41. ตอบขอ 2. 42. ตอบขอ 1.

สรปเขมคณตศาสตร เลม 6 http://www.pec9.com บทท 17 แคลคลสเบองตน

1

บทท 17 แคลคลสเบองตน

17.1 ลมตของฟงกชน

ถา x เขาใกล a ทางดานซาย ( x มคานอยกวา a ) และฟงกชน f (x) มคาเขาใกลจ านวนจรง L แลว เรยกจ านวนจรง L วาเปน " ลมตทางซายของ f (x) ท a " และเขยนแทนดวยสญลกษณ f(x)

a x lim

= L ( อานวา ลมต f (x) เมอ x เขาใกล a ทางซายเทากบ L )

ถา x เขาใกล a ทางดานขวา ( x มคามากกวา a ) และฟงกชน f (x) มคาเขาใกลจ านวนจรง L แลว เรยกจ านวนจรง L วาเปน " ลมตทางขวาของ f (x) ท a " และเขยนแทนดวยสญลกษณ f(x)

a x lim

= L ( อานวา ลมต f (x) เมอ x เขาใกล a ทางขวาเทากบ L )

ถาลมตทางซายของ f (x) ท a กบลมตทางขวาของ f (x) ท a มคาเทากน อาจเรยกรวมกนเปนลมตของ f (x) ท a เขยนแทนดวยสญลกษณ f(x)a x lim ( อานวาลมต f (x) เมอ x เขาใกล a

เทากบ L ) แตตองระวงวา f(x)a x lim จะหาคาไดกตอเมอ f(x)a x

lim

= f(x)a x

lim

เทานน

1. จากรปจงหาคา ก. 7xLim f(x) ข. 7x

Lim f(x)

ค. 7xLim

f(x)

1. ก. 5 , ข. 5 , ค. 5 2. ก. 5 , ข. 5 , ค. 5 3. ก. 5 , ข. 5 , ค. 5 4. ก. 5 , ข. 5 , ค. หาไมได


2

2. จากรปจงหาคา ก. 4x Lim f(x) ข. 4x

Lim f(x)

ค. 4xLim

f(x) ง. f (–4)

1. ก. 9.5 , ข. –2 , ค. 0 ง. 0 2. ก. 9.5 , ข. –2 , ค. หาไมได ง. 8 3. ก. 9.5 , ข. 9.5 , ค. 9.5 ง. 9.5 4. ก. –2 , ข. –2 , ค. –2 ง. –2

สมบตเบองตนของลมต (1) a x lim C = C เมอ C เปนคาคงตวใดๆ

(2) a x lim [ f (x) g(x) ] = a x lim f (x) a x lim g(x)

(3) a x lim [ f (x) . g(x) ] = a x lim f (x) . a x lim g(x)

(4) a x lim

g(x)f(x) = g(x) ax lim

f(x) a x lim

(5) a x lim [ f (x) ]n = [ a x lim f (x) ]n

(6) a x lim n

f(x) = n

f(x) axLim

(7) ถา f (x) เปนฟงกชนโพลโนเมยล แลวจะได a x lim f (x) = f(a)

( คอถาผลการแทน x = a ลงใน f (x) ไดเปนจ านวนจรงใดแลว คานนคอคาของ a x lim f (x) )


3

ฝกท า. จงเตมขอความลงในชองวางตอไปนใหถกตอง (1) a x lim C = ………… เมอ C เปนคาคงตวใดๆ

(2) a x lim [ f (x) g(x) ] = ………………………….

(3) a x lim [ f (x) . g(x) ] = ………………………….

(4) a x lim

g(x)f(x) = ………………………….

(5) a x lim [ f (x) ]n = ………………………….

(6) a x lim n

f(x) = ………………………….

(7) a x lim f (x) = ………………………….

การค านวณหาคาลมต โจทยแบบท 1 โจทยซงแทน x = a ลงใน f (x) แลวไดจ านวนจรง จะไดวา a x lim f (x) = จ านวนจรงทไดจากการแทนคานน

เชน 1xLim (3x2 + 5) = 3(1)2 + 5 = 8

2xLim x2 + 1 = 22 + 1 = 5

49xLim x + 1 = 49 + 1 = 7 + 1 = 8

โจทยแบบท 2 โจทยซงแทน x = a ลงใน f (x) แลวไดผลอยในรป 0ตวเลข

จะไดวา a x lim f (x) หาคาไมได

เชน 3xLim

3 x 4 25x = 3 3

425(3)

= 049 = หาคาไมได

โจทยแบบท 3 โจทยซงแทน x = a ลงใน f (x) แลวไดผลอยในรป 00 หรอ

การหาคาลมตของโจทยแบบน อาจหาไดโดยใชเทคนคตอไปน 1) แยกตวประกอบแลวตด 2) ใชตวคลายสงยคคณทงเศษและสวน 3) ใชอนพนธของฟงกชนเขาชวย โจทยแบบท 4 โจทยซงการหาลมตซายและลมตขวา ใชฟงกชนไมเหมอนกน โจทยแบบนตองแยกคดเปนลมตซาย และลมตขวา หากลมตซายและลมตขวามคาเทากน ใหใชคาลมตนนเปนค าตอบของลมตรวมไดเลย แตถาลมตซายและลมตขวา มคาไมเทากน ลมตรวมจะหาค าตอบไมได


4

3. จงหาคาตอไปน

ก. 0xLim (–2) ข. 1xLim (x2 – 3x + 5) ค. 2xLim 3 x 4 35x

1. ก. 0 ข. 3 ค. –44 2. ก. –2 ข. 3 ค. –44 3. ก. 0 ข. 3 ค. 0 4. ก. –2 ข. 3 ค. 0

4. จงหาคาของ 2 2x 3x 22x

1xlim

1. 0 2. 1 3. –1 4. ไมมลมต

5. จงหาคา 3xLim

3 x 9 2x

1. 0 2. 3 3. 6 4. ไมมลมต

6. จงหาคา 2xLim

6 x 2x4 2x

1. 0 2. 54 3. 32 4. ไมมลมต


5

7. 0 xLim x 11x มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 31 2. 2

1 3. 2 4. 3

8. ก าหนดให f(x) =

2 x เมอ 23x

2 x เมอ x 33 x

จงหาคา 2xlim f(x)

1. 0 2. 5 3. 25 4. ไมมลมต

17.2 ความตอเนองของฟงกชน

นยาม ฟงกชน f (x) ใดๆ จะมความตอเนองทจด x = a ไดกตอเมอ 1) สามารถหาคา f(a) โดยตรงได ( คอเมอแทนคา x = a ลงใน f (x) ตรงๆ แลว ตองหาคาเปนจ านวนจรงออกมาได ) 2) สามารถหา axLim f (x) ได

3) axLim f (x) = f(a)

9. ก าหนดให f (x) =

3 x เมอ 3 2x

3 x เมอ 2x ฟงกชนนตอเนองท x = 3 หรอไม

1. f ตอเนอง 2. f ไมตอเนอง เพราะ f(x) 3xlim หาคาไมได

3. f ไมตอเนอง เพราะ f (3) หาคาไมได 4. f ไมตอเนอง เพราะ f(x) 3xlim ≠ f (3)


6

10. ก าหนดให f (x) =

2 x เมอ 23 x

2 x เมอ x 33 x

ฟงกชนนมความตอเนองทจด x = 2 หรอไม 1. ตอเนอง 2. ไมตอเนอง 3. ทงตอเนองและไมตอเนอง 4. ขอมลไมเพยงพอทจะหาค าตอบ

11(แนว En) ก าหนดให g ( x ) =

1x เมอ 8x 2x 3a

1x เมอ 1 24x 3x a

ถา g ( x ) ตอเนองท x = 1 แลว a เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

5 3. 38 4. 3

12(แนว A–Net) ก าหนดให a , b เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนซงนยามโดย

f(x) =

1 >x เมอ bx

1 x 0 เมอ bx a 3x

0 <x เมอ 121)(x

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [–2 , 2] แลว f (0) เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. 0 3. 1 4. 2


7

13(แนว En) ให

4x เมอ bx 2

4 x เมอ 8

4 x เมอ 2 xa 4) (x

f(x) โดยท a , b เปนจ านวนจรง

ถา f ตอเนองทจด x = 4 แลว f a + b เทากบขอใดตอไปน 1. –14 2. –11 3. 11 4. 14

17.3 อตราการเปลยนแปลง

อตราการเปลยนแปลงเฉลยในชวงหนงๆ ใดๆ พจารณาฟงกชน y = f (x)

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x คออตราสวนของคา y ทเปลยนตอคา x ทเปลยน นนคอ อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x = x

y Δ Δ

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x = 1x2x 1y2y

ถาก าหนดให x1 = x จะได y1 = f (x) x2 = x + h จะได y2 = f (x + h) และ x = x2 – x1 = (x + h) – x = h y = y2 – y1 = f(x + h) – f (x)

ดงนน อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x = hf(x) h)(x f

เมอ x คอคาของ x ทจดเรมตน h คอคาของ x ทเปลยนไป

อตราการเปลยนแปลง ณ จดหนงๆ ใดๆ อตราการเปลยนแปลง ณ จด x หนงๆ ใดๆ หาไดจาก

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ณ จดใดๆ = hf(x) h)(x f เมอ h 0

อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ณ จดใดๆ = 0hLim hf(x) h)(x f


8

17.4 อนพนธของฟงกชน

อนพนธของฟงกชน คออตราการเปลยนแปลง ณ จดใดๆ นนคอ อนพนธของฟงกชน = อตราการเปลยนแปลง ณ. จดใดๆ อนพนธของฟงกชน = h

f(x) h)(x f เมอ h 0

อนพนธของฟงกชน = 0hLim hf(x) h)(x f

อนพนธของฟงกชน อาจเขยนแทนดวยสญลกษณ dxdy , dx

f(x)d , f (x) , y

หมายเหต : วธการหาอนพนธของฟงกชนเรยก differentiation

17.5 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร

สตรส าหรบหาอนพนธ สตรท 1 xd

cd = 0 เมอ c เปนคาคงตว

สตรท 2 xd xd = 1

สตรท 3 xd nxd = n xn – 1

สตรท 4 xd f(x) cd = c xd

f(x)d เมอ c เปนคาคงตว

สตรท 5 dxg(x)) d(f(x) = xd

f(x)d xd g(x)d

สตรท 6 xd nd u n un–1 xd

d u

สตรท 7 xd v).(u d = xd

d uv + xd d vu

สตรท 8 dxvud

= 2vxd

d v u xd d uv

เมอ u = f (x) , v = g (x)

14. ก าหนดให y = 2x5 + 10x4 – 7x3 – 9x2 + 3x + 6 แลว dxdy เทากบขอใดตอไปน

1. 2x4 + 10x3 – 7x2 – 9x + 3 2. 10x4 + 40x3 – 21x2 – 18x + 3 3. 10x5 + 40x4 – 21x3 – 18x2 + 3x 4. 10x6 + 40x5 – 21x4 – 18x3 + 3x2


9

15. ก าหนดให y = 7x5 – 10x3 – 3x2 – 9x + 6 + 4x–2 –2x–3 แลว dxdy เทากบขอใดตอไปน

1. 7x6 – 10x4 – 3x3 – 9x2 + 6x + 4x–1 –2x–2 2. 35x6 – 30x4 – 6x3 – 9x2 + 6x – 8x–1 + 6x–2 3. 35x4 – 30x2 – 6x – 9 – 8x–3 + 6x–4 4. 7x4 – 10x2 – 3x – 9 + 4x–3 – 2x–4 16. ก าหนดให f (x) = 2x20 + 10x13 – 2x7 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 20x21 + 13x14 – 7x8 2. 40x19 + 130x12 – 14x6 3. 20x21 + 13x14 – 7x8 4. 40x19 + 130x12 – 14x6 17. ก าหนดให f (x) = 6x

7 4x3 2x

1 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน

1. –2x–2 – 12x–4 – 42 x–6 2. –x–2 + 3x–4 + 7 x–6 3. – 3x

2 – 5x12 – 7x

42 4. – 3x1 – 5x

4 – 7x6


10

18. ก าหนดให f (x) = 35

x + 32

x แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน

1. 35

x35 + 3

2x3

2 2. 32

x35 + 3

1x3

2

3. 38

x35 + 3

5x3

2 4. 32

x + 31

x

19. ก าหนดให f (x) = x แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน

1. x21 2.

3x2

1 3. 3x2

1 4. x2

1

20. ก าหนดให f (x) = 6 x แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน

1. 3 x 2. 3 3

x 3. 3x2

3 4. x2

3


11

21. ก าหนดให f (x) = )x3x3x( แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน

1. 3x + 1 2. 2x + 1 3. 3x 4. 2x

22. ก าหนดให f (x) = (4x2 – 5)7 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. (4x2 – 5)6 2. 7(4x2 – 5)6 3. 8x (4x2 – 5)6 4. 56x (4x2 – 5)6

23. ก าหนดให f (x) = (2x – 3)8 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 8 x7 2. 16 x7 3. 8 (2x – 3)7 4. 16 (2x – 3)7

24. ก าหนดให f (x) = 84x แลว f ( 3 ) เทากบขอใดตอไปน 1. 4

1 2. 21 3. 1 4. 2


12

25. ก าหนดให f (x) = (4x2 – 3) ( 3x + 5) แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 8 2. 36x + 1 3. 36x2 + 40x – 9 4. 8x2 + 12x – 9

26. ก าหนดให f (x) = ( 2x – 3) (3x2 + 5) แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. 18x2 – 18x + 10 2. 18x3 – 18x2 + 10x 3. 6x2 – 12x + 10 2. 6x3 – 12x2 + 10x

27. ก าหนดให f (x) = (2x + 1) (x – 3)3 แลว f (0) เทากบขอใดตอไปน 1. 18 2. 27 3. 54 4. 81

28. ก าหนด f (x) = x . h (x) และ h (0) = 2 , h (0) = 1 แลวคาของ f (0) มคาเทากบ 1. 0 2. 2 3. 3 4. หาคาไมได


13

29. ก าหนดให f (x) = 2x 11 2x

แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน

1. 42x) (1 2. 4

22x) (1 3. 2x) (14

4. 22x) (14

30(แนว En) ให u และ v เปนฟงกชนของ x โดยท v (x) = 2x2 – 17 ถา f(x) = (x)v (x)u

และ u (3) = 1 , u (3) = 0 แลวคาของ f ( 3 ) เทากบเทาใด 1. –12 2. –5 3. 5 4. 12

17.6 อนพนธของฟงกชนประกอบ

ถา y = (gof) (x) = g[f (x)] แลว จะไดวา dx

dy = dxf(x)d f(x)d

[f(x)]g d

หรอ (gof) (x) = g ( f (x) ) . f(x)

และหากก าหนดให u = f (x) และ y = g (u) แลว จะไดวา dx

dy = dxd u d u

d y

สตรนเรยก “กฎลกโซ (chain rule) ”

31. ก าหนดให g (x) = 3x2 และ f (x) = x + 2 แลว (g o f)(x) เทากบขอใดตอไปน 1. 6x + 12 2. 6x 3. 6x2 + 12 4. 6x2


14

32. ก าหนดให g (x) = 2x2 และ f (x) = 3x2 + 1 แลว (g o f)(1) เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 12 3. 72 4. 96 33(แนว En) ก าหนดให f(x) = 3x + 1 และ (f o g)(x) = 3x2 + 3 แลว g ( 0 ) มคา เทากบเทาใด

17.7 อนพนธอนดบสง

พจารณาตวอยาง ให f (x) = 5x3 – 6x2 + 2x – 3 จะได f (x) = dx

dy = 15x2 – 12x + 2 เรยกอนพนธอนดบ 1

f (x) = 2xd y2d = xd

2) 12x 2(15xd = 30x – 12 เรยกอนพนธอนดบ 2

f (x) = 3xd y3d = xd

12) (30x d = 30 เรยกอนพนธอนดบ 3

f(4) (x) = 4xd y4d = xd

30d = 0 เรยกอนพนธอนดบ 4

: f (n) (x) = ndx

ynd เรยกอนพนธอนดบ n

34. ก าหนด f(x) = x4 – 2x3 + x2 – 5x + 4 แลว f (1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 6 2. 12 3. 18 4. 24


15

17.8 การประยกตของอนพนธ

17.8.1 การหาลมตของฟงกชนโดยใชอนพนธ

35. 42x83x

2xlim

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 3 4. 4

36. คาของ 1x23x

1xlim

เทากบคาในขอใดตอไปน

1. –2 2. 41 3. 0 4. ไมมลมตท 1

17.8.2 การหาความชนเสนโคง ถา y = f (x) เปนสมการเสนโคง แลวจะไดวา 1. ความชนของเสนโคงทจด (x , y) ใดๆ จะเทา กบความชนของเสนสมผสเสนโคง ณ. จดนนๆ เสมอ 2. ความชนของเสนโคงทจด (x , y) ใดๆ = dx

dy = f (x)

ขนตอนการหาความชนเสนโคง ณ จด (x , y) ใดๆ

ขนท 1 หา f (x) ของฟงกชนเสนโคงนน ขนท 2 แทนคา x และ y ของจด (x , y) นนลงใน f (x) แลวผลลพธทไดจะเทากบความชนเสนโคงทตองการ


16

37. ก าหนดเสนโคงหนงมสมการเปน y = x2 + 2x + 3 คาความชนของเสนโคงทจด (1 , 6) มคา ตรงกบคาในขอใด 1. –4 2. 0 3. 4 4. 6 38(แนว มช) จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคง y = x2 – 5 x + 6 ทจด (3 , 0) 1. 2x + y – 6 = 0 2. x = 3 3. x – y – 3 = 0 4. x + y – 3 = 0 39(แนว Pat1) เสนตรงซงตดตงฉากกบเสนสมผสของเสนโคง y = 2x3 + x ทจด x = 1 คอ เสนตรงในขอใดตอไปน 1. x + 7y – 22 = 0 2. x + 7y – 20 = 0 3. 7 x + y – 22 = 0 4. 7 x + y – 20 = 0


17

17.8.3 การตรวจสอบความเปนฟงกชนเพมและฟงกชนลด ฟงกชน f จะเปนฟงกชนเพมในชวงใดๆ ได กตอเมอ ถาโดเมน ( x ) มคาเพมขนแลวเรนจ ( y ) เพมขนเชนกน กราฟของฟงกชนแบบนจะม ลกษณะสงขนไปทางดานขวามอ ความชนเสน กราฟจะมคาเปนบวก ฟงกชน f จะเปนฟงกชนลดในชวงใดๆ ได กตอเมอ ถาโดเมน ( x ) มคาเพมขนแลวเรนจ ( y ) จะตองมคาลดลง กราฟของฟงกชนแบบนจะม ลกษณะต าลงไปทางดานขวามอ ความชนเสน กราฟจะมคาเปนลบ

ขนตอนการตรวจสอบความเปนฟงกชนเพมหรอลดของฟงกชน ณ.จด (x , y) ใดๆ

ขนท 1 หา f (x) ของฟงกชนเสนโคงนน ขนท 2 แทนคา x และ y ของจด (x , y) นนลงใน f (x) ขนท 3 ถา f (x) > 0 จะสรปไดวาเปนฟงกชนเพม ณ.จด (x , y) นน ถา f (x) < 0 จะสรปไดวาเปนฟงกชนลด ณ.จด (x , y) นน

หมายเหต : หากคา f (x) = 0 แสดงวา ณ.จด (x , y) นน ฟงกชนจะไมเพมไมลด เรยกจดนนวาเปนจดวกฤตของฟงกชน ซงอาจเปนจดสงสด หรอจดต าสดของฟงกชนกได ดงแสดงในรป และคา x ณ.ทจดวกฤต เรยกวาคาวกฤต

40. ทจด x = –2 ฟงกชนตอไปนจะเปนฟงกชนเพมหรอลด ก. f (x) = x3 + 2x2 + x – 5 ข. f (x) = 2x4 + x – 6 1. ก. เพม ข. เพม 2. ก. เพม ข . ลด 3. ก. ลด ข. เพม 4. ก. ลด ข . ลด

X

Y

X

Y


18

41(แนว Pat1) ก าหนดให f(x) = x4 – 3x2 + 7 แลว f เปนฟงกชนเพมบนเซตในขอใดตอไปน 1. (–3 , –2) (2 , 3) 2. (–3, –2) (1 , 2) 3. (–1 , 0) (2 , 3) 4. (–1 , 0) (1 , 2) 17.8.4 การหาคาต าสดและคาสงสด บทนยาม ฟงกชน f มคาสงสดสมพทธท x = c ถามชวง (a , b) Df และ

c (a , b) โดยท f ( c) > f (x) ส าหรบทก x ในชวง (a , b) ท x c ฟงกชน f มคาต าสดสมพทธท x = c ถามชวง (a , b) Df และ c (a , b) โดยท f ( c) < f (x) ส าหรบทก x ในชวง (a , b) ท x c

บทนยาม ฟงกชน f มคาสงสดสมบรณท x = c ท f(c) > f (x) ส าหรบทก x ในโดเมนของ f ท x c

ฟงกชน f มคาต าสดสมบรณท x = c ท f(c) < f (x) ส าหรบทก x ในโดเมนของ f ท x c

หรอจะกลาวงายๆอกอยางกคอ คาสงสดสมพทธ คอคาสงสดของเสนโคงของกราฟของฟงกชนซงอาจมหลายคากได หากกราฟมเสนโคงหลายชวง คาต าสดสมพทธ คอคาลกสดของเสนโคงของกราฟของฟงกชนซงอาจมหลายคากได หากกราฟมเสนโคงหลายชวง คาสงสดสมบรณ คอคาทสงทสดของกราฟของฟงกชนตลอดชวงทพจารณา ซงจะมคาเดยว คาต าสดสมบรณ คอคาทต าทสดของกราฟของฟงกชนตลอดชวงทพจารณา ซงจะมคาเดยว


19

ตวอยางเชน จากกราฟของฟงกชนตอไปนจะไดวา

จากรป 1 f(x2) และ f(x4) เปนคาต าสดสมพทธ จากรป 2 f(x2) เปนคาสงสดสมพทธ f(x3) และ f(x5) เปนคาสงสดสมพทธ f(x3) เปนคาต าสดสมพทธ f(x1) เปนคาสงสดสมบรณ f(x4) เปนคาสงสดสมบรณ f(x6) เปนคาต าสดสมบรณ f(x3) เปนคาต าสดสมบรณ

ขนตอนการหาคาสงสดและคาต าสดสมพทธ

ขนท 1 หา f (x) ของฟงกชนเสนโคง ขนท 2 ก าหนดให f (x) = 0 แลวแกสมการหาคา x ขนท 3 แทนคา x ลงในฟงกชนเสนโคง จะได f (x) อนเปนคาสงสดสมพทธ หรอต าสดสมพทธ หรอจดเปลยนเวาเสนโคง ฝกท า จากกราฟทก าหนดให จงหาคาต าสด สงสด สมพทธและสมบรณ

คาต าสดสมพทธคอ ......... คาต าสดสมพทธคอ ......... คาสงสดสมพทธคอ ......... คาสงสดสมพทธคอ ......... คาต าสดสมบรณคอ ......... คาต าสดสมบรณคอ ......... คาสงสดสมบรณคอ ......... คาสงสดสมบรณคอ .........


20

42. ฟงกชน f (x) = x2 + 4x + 8 จะมคาสงสดสมพทธหรอต าสดสมพทธเทากบเทาใด 1. มคาต าสดสมพทธเทากบ 4 2. มคาสงสดสมพทธเทากบ 4 3. มคาต าสดสมพทธเทากบ –4 4. มคาสงสดสมพทธเทากบ –4

43. ฟงกชน f (x) = –x2 + 4x – 10 จะมคาสงสดสมพทธหรอต าสดสมพทธเทากบเทาใด 1. มคาต าสดสมพทธเทากบ 6 2. มคาสงสดสมพทธเทากบ 6 3. มคาต าสดสมพทธเทากบ –6 4. มคาสงสดสมพทธเทากบ –6 44(แนว มช) ฟงกชน f (x) = x + x1 มคาสงสดสมพนธเทากบเทาใด 1. 1 2. –1 3. 2 4. –2

45(แนว มช) ถา x เปนคาทท าให y = 12x – x3 มคาต าสด แลว x มคาเทาใด


21

46. ก าหนดสมการเสนโคงเปน f (x) = x3 – 6x2 + 9x – 8 ถา a และ b เปนคาสงสดสมพทธ และคาต าสดสมพทธตามล าดบแลวคาของ a + b ตรงกบขอใด 1. –12 2. –10 3. 2 4. 8 การหาคาสงสดและคาต าสดสมบรณ ขนท 1 หาคาต าสดและคาสดสมพทธกอน ขนท 2 หาคา f (x) ณ จดตรงปลายเสนโคง ขนท 3 เปรยบเทยบค าตอบของขน 1 และขน 2 f (x) ทสงทสดจากการเปรยบเทยบจะเปน คาสงสดสมบรณ f (x) ทต าทสดจากการเปรยบเทยบจะเปน คาต าสดสมบรณ

47. ให f (x) = x4 –8x2 + 16 จงหาผลบวกของคาสงสด และคาต าสดสมบรณของ f ในชวง [–3 , 4]

หลกการทวๆ ไป ของการท าโจทยประยกตหาคาสงสดหรอคาต าสด 1. ก าหนดสงทมคามากทสดหรอนอยทสดเปน y และสงทมการแปรเปลยนในโจทยเปน x 2. น าขอมลของโจทยมาสรางสมการแสดงความสมพนธระหวาง y กบ x ใหไดและสมการน จะตองมแตตวแปร x และ y เพยง 2 ตวแปรเทานน 3. หา dx

dy

4. ให dxdy = 0 แกสมการหาคา x

5. แทนคา x ลงใน f (x) จะไดคาสงสดหรอต าสดทตองการ


22

48. มเสนลวดยาว 100 ม. จะน าไปลอมสวนผกรม แมน า ตองลอมรวรปสเหลยมผนผารอบสวนผก รมแมน าใหมความกวางกเมตร จงจะท าใหสวน ผกมพนทมากทสด โดยใชแนวแมน าเปนดานๆ หนงของรว ( ถอวาแนวแมน าตรงทจะลอมรวเปนเสนตรง และไมตองลอมรวดานน )

49. จากขอทผานมา พนทมากทสดทลอมไดมคากตารางเมตร

50(แนว En) นายแดงตองการจะกนรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาไวปลกสม โดยใชรวบานเปนรว ดานหนงของทดนแปลงน ถาเขามลวดหนามยาว 400 เมตร เขาจะลอมไดพนทมากทสดก ตารางเมตร 1. 10000 2. 15000 3. 20000 4. 40000

แมน ำ


23

17.9 ปฏยานพนธ

การหาปรพนธ (integration) คอการกระท าตรงกนขามกบการหาอนพนธของฟงกชน ผลลพธทไดจากการหาปรพนธ เรยกปฏยานพนธ (Antiderivative)

ตวอยาง ถา dxdy = f (x)

จะไดวา y + c = dx f(x)

ถา F (x) = f (x) จะไดวา F (x) + c = dx f(x) dx f(x) อานวา “ ปรพนธ (integral) ไมจ ากดเขตของ f (x) เทยบกบ x ”

17.10 ปรพนธไมจ ากดเขต

สตรส าหรบการหาปรพนธ (integration) ไมจ ากดเขต สตรท 1 c x k dx k เมอ k , c คอคาคงตว

สตรท 2 dx nx = 1n1nx

+ c เมอ c คอคาคงตว

สตรท 3 dx f(x) k = dx f(x)k + c เมอ k , c คอคาคงตว สตรท 4 dx g(x) f(x) = dx g(x) dx f(x)

51. ก าหนดให dxdy = 8 x3 – 6 x2 + 10x + 5 แลว y เทากบขอใดตอไปน

1. 2 x4 – 2 x3 + 5 x2 + 5x 2. 2 x4 – 2 x3 + 5 x2 + 5x + C 3. 24 x3 – 12 x2 + 10 4. 24 x3 – 12 x2 + 10 + C

เครองหมำยปรพนธ ผลตำงเชงอนพนธ

ปรพทธ ปฏยำนพนธ


24

52. ก าหนดให f (x) = 10x – 7 แลว f (x) เทากบขอใดตอไปน 1. f (x) = 5x2 – 7x 3. f (x) = 5x2 – 7x + C 3. f (x) = 10 + C 4. f (x) = 10

โปรดสงเกต dxdy อนทเกรตแลวจะได y

ดงนน f (x) อนทเกรตแลวจะได f (x) f (x) อนทเกรตแลวจะได f (x)

53. จงหาสมการเสนโคง y = f (x) เมอก าหนดความชนของเสนตรงสมผสเสนโคงทจด (x , y) ใดๆ ทเสนโคงผานเปน 2x + 1 และเสนโคงผานจด (2 , 1) 1. y = x2 + x 2. y = x2 + x – 6 3. y = x2 + x – 5 4. y = x2 + x + 1

54. ถา f (x) = 4x3 + 2 x และ f (0) = 2 จงหา f (x) 1. f (x) = 12 x2 + 2 2. f (x) = 12 x2 + 2 + C 3. f (x) = x4 + x2 4. f (x) = x4 + x2 + 2


25

55(แนว En) ก าหนดให f เปนฟงกชนซง f (2) = –1 แลว f(1) = –3 และ f (x) = 3 ทกคา x แลว f (4) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –5 2. –1 3. 1 4. 5

56(En45 ม.ค.) ก าหนดให g (x) = x2 f(x) ถา f (x) = 2x + 3 และ g (1) = 0 แลว f (4) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 11 3. 13 4. 28

17.11 ปรพนธจ ากดเขต

ปรพนธ (integral) จ ากดเขตของฟงกชน f บนชวง [a , b] เขยนแทนดวย dx f(x)ba

อานวา “ ปรพนธ (integral) จ ากดเขตของ f จาก x = a ถง x = b ”

ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส ให f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b] F (x) เปนผลทไดจากการอนทเกรต f (x) แลว

dx f(x)ba = b

a F(x) = F(b) – F(a)


26

57. จงหาคา 4

1dx2x 6

58(แนว Pat1) ถา f (x) = 3x2 + x – 5 และ f (0) = 1 แลว 1

0f(x)dx มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 35 2. 12

25 3. – 35 4. – 12

25

59(แนว Pat1) ถา f (x) = x2 – 1 และ 1

0dx f(x) = 0 แลว f (0) มคาเทากบเทาใด


27

17.12 พนททปดลอมดวยเสนโคง

ก าหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a , b] และ A เปนพนท ทปดลอมดวยเสนโคง f กบแกน x จาก x = a ถง x = b แลว 1. ถา f (x) 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a , b] และ A คอพนททอยเหนอ แกน X

จะได A = b

adx f(x)

2. ถา f (x) 0 ส าหรบทกคาของ x ทอยในชวง [a , b] และ A คอพนททอยใต แกน x

จะได A = – b

adx f(x)

3. ให f และ g เปนฟงกชนตอ เนองบนชวง [a , b] และ f (x) g(x) ส าหรบทกๆ x [a , b] และ A คอ พนท ทปดลอมดวยเสนโคง f และ g จาก x = a ถง x = b แลวจะได

A = b

af(x) [ – g(x) ] dx

60. พนททปดลอมดวยเสนโคงในรปภาพ มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 3 2. 6 3. 9 4. 10

Y y = x2

–3 0 X


28

61. พนททปดลอมดวยเสนโคงในรปภาพ มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 30 2. 48 3. 66 4. 80 62(แนว มช) จงหาพนททปดลอมดวยกราฟของ f (x) = 4 – x2 และ y = 0 จาก x = 0 ถง x = 4

63. พนททปดลอมดวยเสนโคง f(x) = x2 และเสนตรง g(x) = x + 2 จาก x = 1 ถง x = 2 มคาเทากบกตารางหนวย 1. 6

8 2. 67

3. 65 4. 6

4

Y X

y = x2 – 25

0 3

f(x) = x2

g(x) = x + 2

(2 , 4)

0 1 X

Y


29

เฉลยบทท 17 แคลคลสเบองตน

1. ตอบขอ 2. 2. ตอบขอ 2. 3. ตอบขอ 2. 4. ตอบขอ 4. 5. ตอบขอ 3. 6. ตอบขอ 2. 7. ตอบขอ 2. 8. ตอบขอ 2. 9. ตอบขอ 1. 10. ตอบขอ 1. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 4. 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 2. 15. ตอบขอ 3. 16. ตอบขอ 4. 17. ตอบขอ 3. 18. ตอบขอ 2. 19. ตอบขอ 4. 20. ตอบขอ 4. 21. ตอบขอ 4. 22. ตอบขอ 4. 23. ตอบขอ 4. 24. ตอบขอ 3. 25. ตอบขอ 3. 26. ตอบขอ 1. 27. ตอบขอ 2. 28. ตอบขอ 2. 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบขอ 1. 31. ตอบขอ 1. 32. ตอบขอ 4. 33. ตอบ 1 34. ตอบขอ 2. 35. ตอบขอ 3. 36. ตอบขอ 2. 37. ตอบขอ 3. 38. ตอบขอ 3. 39. ตอบขอ 1. 40. ตอบขอ 2. 41. ตอบขอ 3. 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 4. 44. ตอบขอ 4. 45. ตอบ 2. 46. ตอบขอ 1. 47. ตอบ 144 48. ตอบ 25 49. ตอบ 1250 50. ตอบขอ 3. 51. ตอบขอ 2. 52. ตอบขอ 2. 53. ตอบขอ 3. 54. ตอบขอ 4. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบ 126 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบ 1 60. ตอบขอ 3. 61. ตอบขอ 3. 62. ตอบ 16.00 63. ตอบขอ 2.


30

ตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 17 แคลคลสเบองตน ชดท 1

17.1 ลมตของฟงกชน

1(มช 39) กราฟของฟงกชน f ในขอใดมคณสมบตทง 3 ขอ ดงน 1. f(2) หาคาได 2. f(x)2xlim หาคาได 3. f(2)f(x) 2xlim

1. 2. 3. 4.

2(แนว Pat1) )2x3x 2

1x 1

1( 1x lim

มคาเทาใด

3(มช 41) จงหา x 123

x)(1 0xlim

4(En44 ม.ค.) 1xlim 1x 2 3 2x

มคาเทากบเทาใด

5(En46 ต.ค.) ก าหนดให f(x) = x2 + 4x และ g(x) = x2 – 16 ถา a , b เปนค าตอบทง สองของสมการ f(x) = g(x) แลว a x lim g(x)

f(x) + a x lim g(x)f(x) เทากบขอใดตอไปน

1. 23 2. 6

5 3. 21 4. 3

1

Y

X

2

0 2

Y

X

2

0 2

Y

X

1

0 2

Y

X

1

0 2 –1


31

6(En 40) ก าหนดให f(x) =

0 =x เมอ 1

0x เมอ x 2x4

ขอใดตอไปนเปนจรง 1. 4

1 f(x)0xlim

2. f(x)0xlim = 1

3. f(x)0x

lim

และ f(x)0x

lim

หาคาไมไดทงค

4. f(x)0x

lim

และ f(x)0x

lim

หาคาได แตไมเทากน

7(แนว Pat1) ก าหนดให f(x) =

1 x เมอ x 3

1 x 0 เมอ 1 x 2

0 <x เมอ 2x

คาของ 0x

lim f (x2 ) + 0x

lim f (1 – x) เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

8(En43 ม.ค.) ถา f (x) =

0x เมอ 0

1x0 เมอ 1x

1x เมอ 2x

แลว 0 x

lim f (x2) + 1 x

lim 2x1) f(x

เทากบขอใดตอไปน

1. – 34 2. –1 3. 0 4. 3

1

17.2 ความตอเนองของฟงกชน

9(มช 42) ก าหนด (x) =

1 x เมอ 21

1x เมอ 1 2x

1 x

จงพจารณาวา แตละขอตอไปน ขอใดถก 1. f เปนฟงกชนท ไมมลมตท 1


32

2. f เปนฟงกชนท มลมตท –1 3. f เปนฟงกชน ตอเนองท x = 1 4. f เปนฟงกชน ตอเนองท x = –1

10(มช 45) ก าหนดให f(x) =

2x เมอ 2x2x2x

2x0 เมอ 3

0x เมอ 12x3x

ขอใดตอไปนถก

1. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0 และ x = 2

2. f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 0 และ x = 2

3. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0 แต f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 2

4. f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 0 แต f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2

11(มช 48) ก าหนด f(x) =

1 x; x11x

1x0 ; 5x2x4x2x

0 x; 5x41

ขอใดถก

1. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0 และ x = 1 2. f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 0 และ x = 1 3. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 0 และเปนฟงกชนไมตอเนองท x = 1 4. f เปนฟงกชนไมตอเนองท x = 0 และเปนฟงกชนตอเนองท x = 1

12(En44 ต.ค.) ให

1x เมอ 2

1x เมอ 1x 1

f(x) และ g(x) = x3 + x – 2

ถา h (x) = f (x) . g (x) แลว ขอใดตอไปนถก 1. h ตอเนองทจด x = 1 และ 1xlim h(x) = 0

2. h ตอเนองทจด x = 1 และ 1xlim h(x) = 4

3. h ไมตอเนองทจด x = 1 และ 1xlim h(x) = 0

4. h ไมตอเนองทจด x = 1 และ 1xlim h(x) = 4


33

13(En41 ต.ค.) ก าหนดให f (x) =

1 x เมอ 1xx52

1x เมอ 1

1 x 0 เมอ 13x1

พจารณาขอความตอไปน ก. f(x)

1xlim f(x)

1xlim

ข. f เปนฟงกชนตอเนองท x = 1

ขอใดตอไปนถก 1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด 3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

14(มช 43) ก าหนด f(x) =

1x เมอ k

1x0,x เมอ 1x2x21)(x

จ านวนจรง k ในขอใด ทท าให f ตอเนองท x = 1 1. 0 2. 1 3. 2 4. 4

15(แนว Pat1) ก าหนดให a , b เปนจ านวนจรง และ f เปนฟงกชนซงนยามโดย

f(x) =

1 >x เมอ bx

1 x 0 เมอ bx a 3x

0 <x เมอ 121)(x

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [–2 , 2] แลว f ( 21 ) เทากบขอใดตอไปน

1. –1 2. 0 3. 1 4. 2

16(มช 44) ก าหนด f(x) =

2 x เมอ k 10x

2 x เมอ 65x2x

จงหาจ านวนจรง k ทท าให f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2

17.3 อตราการเปลยนแปลง 17.4 อนพนธของฟงกชน


34

17.5 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร

17(En43 ต.ค.) ก าหนดให f(x) = ax3 – 4x2 + 1 เมอ a เปนคาคงตว

และ

1x เมอ 0

1x เมอ (x)/f

1x เมอ f(x)

g(x)

ถา g ( x ) มลมตท 1 แลว a เทากบขอใดตอไปน 1. 0 2. 2

5 3. 38 4. 3

18(แนว Pat1) ก าหนดให f (x) = ax2 + b x เมอ a และ b เปนจ านวนจรงท b 0 ถา 2 f (1) = f (1) แลว

(4)f(4) f มคาเทาใด

19(En43 ม.ค.) ก าหนดให f ( x ) = ax3 + x2 + x + b เมอ a , b เปนจ านวนจรง และ f (1) = 3 , f (1) = 0 ถา g(x) = f (x) แลว (g o f) (–1) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –16 2. –4 3. 4 4. 16

20(En45 ม.ค.) ก าหนดให f(x) = 13x ถา g เปนฟงกชนซง (fog)(x) = x2 + 1 ทก xR แลว f (1) + g(1) มคา เทากบขอใดตอไปน 1. 12

41 2. 1235 3. 4

33 4. 439

21(En42 ต.ค.) ให u และ v เปนฟงกชนของ x โดยท v (x) = x2 – 2x ถา f(x) = (x)v u(x)

และ u (3) = –9 , u (3) = 3 แลวคาของ f ( 3 ) เทากบเทาใด

22(En42 ม .ค.) ก าหนดให f เปนฟงกชนทหาอนพนธได และ f (3) = –2 , f(3) = 5 ถา g(x) = 1 2x

f(x)

แลว g(3) มคาเทาใด

23(En41 เม.ย.) ก าหนดให f (x) = g(x)31)2(x โดยท g (2) = f (2) = 3 แลว g(2) มคา

เทากบขอใดตอไปน 1. 11 2. 12 3. 13 4. 14


35

24(En43 ต.ค.) ก าหนดให f (x) = x3 – x2 + g(x) และ f(2) = f (2) = 2 แลว fg (2)

มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –2 2. 2

1 3. 0 4. 2

25(แนว Pat1) ถา P(x) เปนพหนามดกรสามซงม 1 , 2 , 3 เปนค าตอบของสมการ P(x) = 0 และ P(4) = 5 แลว P(3) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. – 76 2. – 6

5 3. 54 4. 35

17.6 อนพนธของฟงกชนประกอบ 17.7 อนพนธอนดบสง

26(แนว Pat1) ก าหนดให f (x) = 1 + xa และ g(x) = x2 + b ถา (f o g) ( 0 ) = 21

และ f (–1) = 2 แลว ( gf )(a + b) เทากบขอใดตอไปน 1. – 3

1 2. – 41 3. 4

1 4. 31

17.8 การประยกตของอนพนธ

17.8.1 การหาลมตของฟงกชนโดยใชอนพนธ

17.8.2 การหาความชนเสนโคง

27(มช 33) ความชนของเสนสมผสเสนโคง y = 341

xx ณ จด (1 , 0) คอ ..........

28(En 38) สมการเสนสมผสเสนโคง y = 3 2 2x ทจด x = 5 คอขอใดตอไปน 1. 10x – 27y + 31 = 0 2. 5x – 13y + 14 = 0 3. 27x + 10y – 105 = 0 4. 13x – 5y – 50 = 0

29(แนว Pat1) เสนตรงซงตดตงฉากกบเสนสมผสของเสนโคง y = 2x3 – x1 ทจด x = 1

คอเสนตรงในขอใดตอไปน 1. 13x – 2y – 11 = 0 2. 13x + 2y – 15 = 0 3. 2x – 13y + 11 = 0 4. 2x + 13y – 15 = 0


36

30(มช 48) เสนตรงทสมผสกราฟ y = 2x5 ทจด (2 , 1) จะตดกราฟ y = x2 – 4x + 6 ทจดในขอใด

1. (2 , 2) 2. (1 , 3) 3. (3 , 3) 4. (5 , 11)

31(มช 43) จงหาจ านวนจรง k ทท าใหเสนตรงซงผานจด (–1 , 12) สมผสกราฟของ f (x) = k (x – 2)2 ทจด (1 , k)

32(มช 41) ก าหนดให g(x) = f xx( ) และ g/(1) = –4 จงหาสมการของเสนสมผสเสนโคง

y = f (x) ทจด (1 , 4) 1. y = 4 2. y = 8 3. x = 4 4. x = 8

33(มช 39) ถาเสนตรง x – y = 2 สมผสกราฟ y = f(x) ท x = 3 และ F(x) = x2. f(x) จงหา F/ (3)

34(มช 45) ถาเสนตรง x – 2y + 9 = 0 สมผสเสนโคง y = f (x) ทจด (1 , 5) และ g(x) = x . f(x) แลว จงหา g/(1)

17.8.3 การตรวจสอบความเปนฟงกชนเพมและฟงกชนลด

35(แนว Pat1) ก าหนดให f(x) = x4 – 3x2 + 7 แลว f เปนฟงกชนเพมบนเซตในขอใดตอไปน 1. (–3 , –2) (2 , 3) 2. (–5 , –2) (1 , 2) 3. (–5 , –4) (4 , 5) 4. (–1 , 0) (4 , 5)

17.8.4 การหาคาต าสดและคาสงสด

36(มช 39) ให H ( t ) เปนความสงของตนไม ( หนวยเปนนว ) หลงจากทปลกได t สปดาห ซงก าหนดโดย H ( t ) = 10 t – 2 t เมอ 0 t 20 จงหาวาตนไมตนนจะสงทสด ไดกนว

37(มช 42) ก าหนดให f = 619 2x 2

2x 33x จงหาผลบวกของคาสงสดสมพทธกบคา

ต าสดสมพทธของ f


37

38(มช 37) ถา f(x) = 5x3 – 3x5 แลวจะไดวา 1. f มคาสงสดสมพทธท x = 0 และมคาต าสดสมพทธท x = –1 2. f มคาสงสดสมพทธท x = 1 และมคาต าสดสมพทธท x = 0 3. f มคาสงสดสมพทธท x = 1 และมคาต าสดสมพทธท x = –1 4. f มคาสงสดสมพทธท x = 0 และไมมคาต าสดสมพทธ

39(มช 45) ก าหนดให f(x) = x3 – 3x + k เมอ kR ถาคาต าสดสมพทธของ f เทากบ 5 แลว จงหาคาสงสดสมพทธของ f

40(En46 ต.ค.) ก าหนดให เสนตรง y = –6x – 5 สมผสเสนโคง y = f( x ) ทจด x = –1 ถา f(x) = ax3 + bx2 – 3 เมอ a , b เปนจ านวนจรงแลว คาสงสดสมพทธของ f เทากบเทาใด

41(มช 41) ก าหนดให f เปนฟงกชนทก าหนดโดย f(x) = Ax – 2xB จงหา A + B เมอ A

และ B เปนจ านวนจรงทท าใหจด (–1 , 3) เปนจดยอดของ f

42(En43 ม.ค.) ก าหนดให f(x) = x3 + cx2 – 9x เมอ c เปนจ านวนจรง ถาคาวกฤตคาหนง ของ f คอ 1 แลว f เปนฟงกชนลดในเซตใดตอไปน 1. (–3 , 1) 2. (– , –3) (1 , ) 3. (–1 , 4) 4. (– , –1) (4 , )

43(En 38) สนคาชนดหนงขายในราคาชนละ 24 บาท ตนทนในการผลต x ชนเทากบ 16 + 6x + 0.2x3/2 ถา N เปนจ านวนชนของสนคาทผลตเพอใหไดก าไรสงสด แลวขอใด

ตอไปนเปนจรง 1. 1 N < 2000 2. 2000 N < 4000 3. 4000 N < 6000 4. 6000 N < 8000

44(En 27) นายแดงตองการจะกนรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาไวปลกสม โดยใชรวบานเปนรว ดานหนงของทดนแปลงน ถาเขามลวดหนามยาว 400 เมตร และตองการปลกสมหนงตน ตอทดนทกๆ 5 ตารางเมตร เขาจะปลกสมไดมากทสดกตน 1. 100 2. 200 3. 4000 4. 2000


38

45(มช 47) มวสดยาว 80 เมตร ถาตองการ ลอมคอกสตวเปนรปสเหลยมผนผา โดย ลอมตอจากก าแพงทยาว 20 เมตร(ดงรป) จงหาพนทมากทสดของคอกสตวทลอมได วาเปนกตารางเมตร

46(มช 40) ก าหนด a , b และ c เปนจ านวนจรงบวก โดยท a + b + c = 180 และอตราสวน ของ a + b ตอ c เทากบ 1 ตอ 2 จงหาคา b ทท าใหผลคณ abc มคามากทสด

17.9 ปฏยานพนธ

17.10 ปรพนธไมจ ากดเขต

47(มช 38) ถาความชนของเสนสมผสเสนโคงทจด (x , y) ใดๆ เปน (x + x1 )2 แลวสมการของ เสนโคงทผานจด (1 , 0) คอขอใด 1. y = 2x – 3x

2 2. y = 2x + 3x2 – 4

3. y = 33x + 2x + x1 – 3

10 4. y = 33x + 2x – x1 – 3

4

48(En43 ต.ค.) ถาเสนโคง y = f (x) ผานจด (0 , 1) และ (4 , c) เมอ c เปนจ านวนจรงและ ความชนของเสนโคงนทจด (x , y) ใดๆ มคาเทากบ x – 1 แลว c มคาเทากบขอใด ตอไปน 1. 3

4 2. 37 3. 8 4. 9

49(En41 เม.ย.) ถา dxdy = 5x4 + 3x2 – 4x และ –y(1) = y (–1) แลวคาของ y (0) เทากบ

ขอใดตอไปน 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

50( En 35) ให y = f (x) ถาอตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x เทากบ Kx3 – 10x + 6 เมอ x มคาใดๆ และ K เปนคาคงตว และ f(0) = 1 , f/(1) = 0 แลว f(–1) มคาเทากบขอ ใดตอไปน

1. 6 2. –9 3. 10 4. –13

20 เมตร


39

51(En44 ต.ค.) ก าหนดใหเสนโคง y = f(x) ผานจด (1 , 0) และมความชนทจด (x , y) ใดๆ เปน 3x2 – 4x + 2x

2 ถา (a , b) เปนจดตดระหวางเสนโคงนกบเสนตรง x – 2 = 0 แลว

a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 2

3 2. 2 3. 27 4. 4

52(En 34) ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = f (x) ณ.จดใดๆ มคาเปน x – 1 และเสนโคงมความชนเปน 1 ณ.จด (–1 , 0) แลวสมการของเสนโคงนคอขอใด

1. y = 22x – x – 2

1 2. y = 22x – x + 2

3

3. y = 63x – 2

2x – 2x + 6

1 4. y = x3 – 22x – 2

3x – 613

53(มช 40) ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = f (x) ณ จด (x , y) ใดๆ เปน 2x – 6 และความชนของเสนโคงนทจด (0 , –6) เทากบ 8 แลว f (2) มคาเทากบขอใด 1. –2 2. 0 3. 2

3 4. 143

54(En41 ต.ค.) ก าหนดให f เปนฟงกชนซง f (2) = –1 แลว f(1) = –3 และ f (x) = 3 ทกคา x แลว f (0) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 5 2. 6 3. 12 4. 15

55(En 40) ถาเสนโคง y = f(x) มอตราการเปลยนแปลงของความชนทจด (x , y) ใด ๆ บน เสนโคงเปน 2x – 1 และเสนสมผสเสนโคงทจด (1 , 2) ตงฉากกบเสนตรง x + 2y –1 = 0

แลวความชนของเสนโคงทจด x = 0 เทากบ ขอใดตอไปน 1. –2 2. 0 3. 1 4. 2

56(En42 ต.ค.) ถา f เปนฟงกชนซงมกราฟผานจด (0 , 2) และ f (x) = 3x2 – 12x + 9 แลว คาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 3 3. 6 4. 8

57(แนว Pat1) ให y = f (x) เปนฟงกชนซงมคาสงสดท x = 1 ถา f(x) = –4 ทก x และ f (–1) + f (3) = 0 แลว f มคาสงสดเทาใด


40

58(En46 ม.ค.) ก าหนดให f เปนฟงกชนซง f (x) = 2x + 1 ถาคาสงสดสมพทธของ f เทากบ 2

1 ท x = –1 แลวคาต าสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน 1. –1 2. – 3

1 3. 0 4. 31

59(มช 37) ถา 32x dx = F (x) + C แลว F (x) จะเทากบขอใด

1. 32x 2. 32x1

3. 2

33)(2x 4. 3

23

3)(2x

60(En44 ม.ค.) ก าหนดให f(x) = ax3 + bx2 + 2x – 2 เมอ a , b เปนจ านวนจรง ถา f(1) = 5 และ f(0) = –12 แลว (x)f( + f(x)) dx เทากบขอใดตอไปน 1. 5x3 + 9x2 – 10x + c 2. 5x3 + 9x2 + 10x + c 3. 5x3 – 9x2 + 10x + c 4. 5x3 – 9x2 – 10x + c

17.11 ปรพนธจ ากดเขต

61(En 40) ถา sin

1dx2x = – 3

2 แลว 1 + sin + cos เทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 1 3. 0 4. –1

62(En42 ม.ค.) ถา R และ sin

1(4x – 3) dx = 0 แลว cos 2 เทากบขอใดตอไปน

1. 0 หรอ 23 2. 0 หรอ – 2

3 3. –1 หรอ 21 4. –1 หรอ 1

63(En45 ต.ค.) ก าหนดให b เปนจ านวนจรง และก าหนดให

0x เมอ 1

bx 0 เมอ 123x f(x)

ถา b2 f(x) dx = 12 แลว b มคาเทากบเทาใด

64(มช 46) ก าหนดให f(x) =

2 x ถา 8k1)x8(2 x ถา 2kx

ถา k เปนจ านวนจรงซงท าให f เปนฟงกชนตอเนองท x = 2 จงหาคาของ 2

0f(x)dx


41

65(มช 47) ก าหนดให f และ g เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจ านวนจรง โดยท

2x + 1 , 0 x < 1 f(x) = ax2 , 1 x < 2 และ g(x) = bx3 + x

12 , 2 x

จงหาคาของ a + b ทท าให a

1f(x) dx = g/ (1)

66(En46 ม.ค.) ถาความชนของเสนโคง y = f(x) ทจด (x , y) ใดๆ เทากบ x2 – 3x + 2 และ

20 dx (x) f = 4 แลวจด ( x , y ) ในขอใดตอไปนอยบนเสนโคง y = f(x)

1. (0 , 34 ) 2. (0 , – 3

4 ) 3. (1 , 413 ) 4. (1 , – 4

13 )

67(En45 ต .ค .) ก าหนดให f (x) = ax เมอ a เปนคาคงตว ถาเสนตรง 2x + y – 6 = 0

สมผสกบกราฟของ f ทจด (1 , 4) และ f(0) = 8 แลว 1

0f(x) dx เทากบขอใดตอไปน

1. 422 2. 4

23 3. 442 4. 4

43

68(มช 49) ให f(x) = A(x – 2)3 + B จงหาคา B ทท าให f /(1) = 2 และ 1

0 1f(x)dx

69(En46 ต.ค.) ก าหนดให a , b เปนจ านวนจรงและ f(x) = x3 + ax2 + bx + 1

ถา f ( l ) = 15 และ 10f(x)dx = 12

55 แลว f ( l ) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12

70(แนว Pat1) ถา f(x) = 3x2 + x – 5 และ f(0) = 1 แลว 1

1f(x)dx มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 35 2. 3

7 3. 32 4. 3

1

71(แนว Pat1) ถา f (x) = x2 – 1 และ 1

0dx f(x) = 0 แลว 3 f (0) มคาเทากบเทาใด

72(มช 44) ให f(x) = Ax2 + Bx + C เมอ A , B , C R ถา f สอดคลองเงอนไขตอไปน

f /(1) = –2 , f //(2) = 2 และ 1

0dx f(x) = 3

7 แลวคาของ A – B + C คอขอใด

1. 1 2. 3 3. 9 4. 11


42

73(มช 44) ถา F(t) = x

02(t + t – 2) dt , x [–3 , 2] แลวคาสงสดสมบรณของฟงกชน F

คออะไร 1. 3

2 2. 67 3. 2

3 4. 310

74(En47 ม.ค.) ก าหนดให f เปนฟงกชนพหนามก าลงสามซง f(0) = 1 = f(1) ถา f(0) = 1

และ

1

1f(x)dx = 6 แลว f (–1) มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –7 2. –1 3. 13 4. 15

17.12 พนททปดลอมดวยเสนโคง

75(มช 37) จงหาพนทของบรเวณ สวนทแรเงาในรป

1. 53

2. 65

3. 73

4. 67

76(มช 39) ก าหนดใหพนทสวนทแรเงาใน รปเทากบ 4

7 ตารางหนวย จงหาคา b

77(มช 38) จงหาพนทของบรเวณสวนทแรเงาในรป 1. 3

2

2. 37

3. 314

4. 328

f(x) = 2x1

Y

X 0 b

21

y = x – 2

y = –x2

0 1 2

(1,–1)

Y

X

0 1 4

y2 = x Y

X


43

78(มช 41) จงหาพนทของบรเวณสวน ทแรเงาในรปตอไปน

1. 32

2. 38

3. 316

4. 332

79(En41 ต.ค.) พนทปดลอมดวยเสนโคง y = x2 – 3x + 2 จาก x = 0 ถง x = 2 เฉพาะสวน ทอยเหนอแกน X เทากบขอใดตอไปน 1. 2

3 ตารางหนวย 2. 61 ตารางหนวย

3. 32 ตารางหนวย 4. 6

5 ตารางหนวย

80(แนว Pat1) พนทของบรเวณใดทปดลอมดวยเสนโคง y = x3 – 2x2 + 2x และแกน X จาก x = 0 ถง x = 4 เทากบขอใดตอไปน

1. 16 ตารางหนวย 2. 16.25 ตารางหนวย 3. 33.5 ตารางหนวย 4. 37.33 ตารางหนวย

81(En46 ม.ค.) ก าหนดให A เปนบรเวณในระนาบ XY ซงปดลอมดวยพาราโบลา y = x2 – 7 และแกน X จาก x = 0 ถง x = a เมอ a เปนคาคงตว ถาพนทของบรเวณ A สวนทอย เหนอแกน X มากกวาพนทของบรเวณ A สวนทอยใตแกน X เทากบ 2 a ตารางหนวย แลว a คอจ านวนในขอใดตอไปน 1. 2 3 2. 3 3 3. 5 4. 7

82(แนว Pat1) ก าหนดให A แทนพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง y = 1 – x2 และแกน X

B แทนพนทของบรเวณทใตเสนโคง y = 42x เหนอแกน X จาก x = –c ถง x = c

คาของ c ทท าให A = B เทากบขอใดตอไปน 1. 2 2. 2 3. 2 2 4. 4

83(En43 ต.ค.) ให f ( x ) = x2 – c โดยท c เปนคาคงตวซง c 4 ถาพนททปดลอมดวย เสนโคง y = f ( x ) จาก x = –2 ถง x = 1 เทากบ 24 ตารางหนวย แลว c มคาเทาใด

x = (y –2)2 Y

X 0

2

4


44

เฉลยตะลยขอสอบเขามหาวทยาลย บทท 17 แคลคลสเบองตน ชดท 1

1. ตอบขอ 4. 2. ตอบ 1 3. ตอบ 32 4. ตอบ 0.5

5. ตอบขอ 1. 6. ตอบขอ 1. 7. ตอบขอ 3. 8. ตอบขอ 1. 9. ตอบขอ 3. 10. ตอบขอ 4. 11. ตอบขอ 2. 12. ตอบขอ 4 13. ตอบขอ 2. 14. ตอบขอ 4. 15. ตอบขอ 1. 16. ตอบ 8.00 17. ตอบขอ 2. 18. ตอบ 8. 19. ตอบขอ 1. 20. ตอบขอ 1. 21. ตอบ 5 22. ตอบ 0.62 23. ตอบขอ 1. 24. ตอบขอ 1. 25. ตอบขอ 4. 26. ตอบขอ 4. 27. ตอบ –4 28. ตอบขอ 1. 29. ตอบขอ 4. 30. ตอบขอ 2. 31. ตอบ 2.4 32. ตอบขอ 1. 33. ตอบ 15 34. ตอบ 3 35. ตอบขอ 4. 36. ตอบ 12.5 37. ตอบ 8.5 38. ตอบขอ 3. 39. ตอบ 9 40. ตอบ 5 41. ตอบ –3 42. ตอบขอ 1. 43. ตอบขอ 2. 44. ตอบ 45. ตอบ 625 46. ตอบ 30 47. ตอบขอ 4. 48. ตอบขอ 2. 49. ตอบขอ 3. 50. ตอบขอ 2. 51. ตอบขอ 4. 52. ตอบขอ 3. 53. ตอบขอ 3. 54. ตอบขอ 1. 55. ตอบขอ 4. 56. ตอบขอ 3. 57. ตอบ 8 58. ตอบขอ 4. 59. ตอบ ขอ 1. 60. ตอบขอ 1. 61. ตอบขอ 3. 62. ตอบขอ 3. 63. ตอบ 2 64. ตอบ 4 65. ตอบ 9 66. ตอบขอ 1 67. ตอบขอ 2. 68. ตอบ 3.50 69. ตอบขอ 2. 70. ตอบขอ 2. 71. ตอบ 1.25 72. ตอบขอ 3. 73. ตอบขอ 4. 74. ตอบขอ 3. 75. ตอบขอ 2. 76. ตอบ 4 77. ตอบขอ 3. 78. ตอบขอ 2. 79. ตอบขอ 4. 80. ตอบขอ 4. 81. ตอบขอ 2. 82. ตอบขอ 2. 83. ตอบ 9

Documents

สรุปเข้มคณิตศาสตร์ เล่ม 5 ...2 ค. ส าหร บข อม ลแจกแจงความถ าเฉล ยเลขคณ ตหาได