Al7ma11tepa0012 Sequence 06

1Squence 6 MA11

Squence 6

Fonctions drives

Sommaire

Pr-requis Dfinition Drives des fonctions usuelles Drivation et oprations algbriques Applications de la drivation Synthse de la squence Exercices dapprofondissement

Cned - Acadmie en ligne

3Squence 6 MA11

1 Pr-requisFonctions de rfrence

Fonction carr f x x: 2

La fonction carr est :

tEDSPJTTBOUFTVS ] ; 0]

tDSPJTTBOUFTVS [ [0 ; +

fFTUEmOJFTVS.f est paire : f x f x( ) ( ) =Variation

x 0 +

f x( )0

-BDPVSCFFTUVOFQBSBCPMFTZNUSJRVFQBSSBQQPSUMBYFEFTPSEPOOFT

A

2 1 1

1

2

3

4

y

2 x0

y = x2

Dans le plan muni dun repre, la fonction carr est dfinie par

f x x( ) = 2 o x est un nombre rel.

savoir


4 Squence 6 MA11

Fonction inverse f xx

: 1

2 1 1

1

2

1

2

y

2 x0

y = x

asymptotes

1

-B DPVSCF FTUVOF IZQFSCPMF TZNUSJRVF QBSSBQQPSU MPSJHJOFEVSFQSF

Fonction racine carre f x x: La fonction fFTUEGJOJFTVS

5Squence 6 MA11

y = x

1 2 3 4 5

1

2

3

y

x

Fonction cube f x x: 3

-BGPODUJPOjDVCFxFTUDSPJTTBOUFTVS> +

6 Squence 6 MA11

Nombre driv

Maximum et minimum dune fonctionDfinitions

Soit f VOFGPODUJPOEGJOJFTVSVOJOUFSWBMMFI.0OEJURVFMBGPODUJPOf atteint un maximum en a I MPSTRVFQPVStoutSFMx I , f x f a( ) ( ).-FNBYJNVNFTU f a( ) DFOFTUQBTa.0OEJURVFMBGPODUJPOf atteint un minimum en a I MPSTRVFQPVStoutSFMx I , f x f a( ) ( ).-FNJOJNVNFTU f a( ) DFOFTUQBTa. -PSTRVF f a( ) FTUVONJOJNVNPVVONBYJNVNPOEJURVFDFTUVOextremum.

00123456789

10111213141516171819202122232425

1234562

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

m1 m2

P

Q

M

B

C

On donne une fonction f et un nombre a.

t4JMBMJNJUF lim( ) ( )

h

f a h f ah

++ 0

existe on lappelle nombre driv de

f en a et on la note f a'( ).On dit alors que f est drivable en a.

t4Jf est drivable en a, le nombre driv f a'( ) est le coefficient directeur de la tangente f au point A a f a ) .( )t6OFRVBUJPOEF MB UBOHFOUFf au point A a f a )( ) est donc :

y f a f a x a == ( ) ( )( ).

savoir


7Squence 6 MA11

1PVSMBDPVSCFEFMBGPODUJPOfEGJOJFTVSMJOUFSWBMMF < >6 18 EFTTJOFDJEFTTVT-FNJOJNVNEFfFTU*MFTUBUUFJOUFOEFVYQPJOUTm1 et m2. -FNBYJNVNEFfFTU*MFTUBUUFJOUFOVOTFVMQPJOUM. -FT QPJOUT P et Q OF TPOU QBT EFT FYUSFNB EF MB GPODUJPO f TVS MJOUFSWBMMF< >6 18

Exemple


8 Squence 6 MA11

2 Dfinition Drives des fonctions usuellesActivits

Nombre driv dune fonction f en un point dabscisse a (a quelconque)

Cas de la fonction carr +VTRVQSTFOUOPVTBWPOTDBMDVMMFOPNCSFESJWEVOFGPODUJPOfFOVOQPJOUaQBSUJDVMJFSQBSFYFNQMFQPVSf x x( ) = 2 et a = 0 8, EBOTMFDPVSTEVDIBQJUSFEFMBTRVFODF*DJOPVTBMMPOTUFOUFSEFMFGBJSFEBOTVODBTQMVTHOSBMTBOTEPOOFSaVOFWBMFVSOVNSJRVFQBSUJDVMJSF

-BDPVSCFDJEFTTPVTFTUDFMMFEFMBGPODUJPOjDBSSx f x x: . 2

012345 1 2 3 4 50123456789

1011121314151617181920212223242526

Cf

A


9Squence 6 MA11

"MBJEFEVHSBQIJRVFDPNQMUFSMFUBCMFBVTVJWBOU

a 1 0 1 2 3 4 5

f a'( )

2VFMMFDPOKFDUVSFQFVUPOGBJSFRVBOUMFYQSFTTJPOEF f a( ) FOGPODUJPOEFa ?

Cas dune fonction constante0ODPOTJESFMBGPODUJPOfEGJOJFQPVSUPVU x par f x( ) .= 3

$PNQMUFSMFTQISBTFTTVJWBOUFT

Cf FTUVOFyyyy yyyyyyMBYFEFTBCTDJTTFT-BUBOHFOUFCf BVQPJOUEBCTDJTTFaFTUEPODyyy-FDPFGGJDJFOUEJSFDUFVSEFDFUUFESPJUFUBOHFOUFFTUEPODHBMyyyEPODf a'( ) ......=

Cas dune fonction affinea) 0ODPOTJESFMBGPODUJPOBGGJOFfEGJOJFQPVSUPVU x par f x x( ) .= +7 3


Cf FTUVOFyyyy ERVBUJPOyyyyyy-BUBOHFOUFCf BVQPJOUEBCTDJTTFaFTUEPODyyy-FDPFGGJDJFOUEJSFDUFVSEFDFUUFESPJUFUBOHFOUFFTUEPODHBMyyyEPOD

=f a( ) ......

C&OPCTFSWBOU BUUFOUJWFNFOU MFT FYQSFTTJPOTEF f x( ) FU EF f x'( ) QSDEFOUFTDPNQMUFSMBQISBTFTVJWBOUF

Si HFTUMBGPODUJPOBGGJOFEGJOJFQPVSUPVU x par H Y mx p( ) = + (m et p sont EFTOPNCSFTGJYTBMPSTQPVSUPVUSFMa, on a =H B( ) ......

CoursMBTRVFODFOPVTBWPOTEGJOJMFOPNCSFESJWEVOFGPODUJPOf en x a= . /PVTBWPOTOPUDFOPNCSF f a'( ). /PVTBMMPOTNBJOUFOBOUQPVWPJSEPOOFSVOFFYQMJDBUJPODFUUFOPUBUJPO

DfinitionDfinition4JVOFGPODUJPOfFTUESJWBCMFFOUPVUQPJOUEVOJOUFSWBMMFIPOEJURVFfFTUESJWBCMFTVSI0OBQQFMMFBMPSTfonction drive de f RVPOOPUF f MBGPODUJPORVJUPVUSFMxEFIBTTPDJFMFOPNCSFESJWEFf en x : f I

x f x' :

'( )

B


10 Squence 6 MA11

Drives des fonctions usuelles"MBTRVFODFOPVTBWPOTEGJOJMFOPNCSFESJWMBJEFEVOFMJNJUF1MVUURVF EVUJMJTFS DFUUF EGJOJUJPO jBCTUSBJUFx EV OPNCSF ESJW f a'( ) OPVT BMMPOTWPJSVONPZFOEFDBMDVMEJSFDUEF f x'( ) QBSUJSEF f x( ) EVNPJOTQPVSEFTGPODtions f CUJFTQBSUJSEFGPODUJPOTVTVFMMFTDFRVJTFSBMBSHFNFOUTVGGJTBOU-F UBCMFBV TVJWBOU SDBQJUVMF MFT GPODUJPOT ESJWFT EFT GPODUJPOT VTVFMMFT connatre.

Fonction f Drive f Intervalle I

(1) f x c( ) = (cFTUVOFDPOTUBOUF f x'( ) = 0

I =

(2) f x mx p( ) = + f x m'( ) =

(3) f x x( ) = 2 f x x'( ) = 2

(4) f x x( ) = 3 f x x'( ) = 3 2

(5) f x xn( ) = , n { }0 f x nxn'( ) = 1

(6) f x x( ) = f x x'( ) =

1

2 I = +>

11Squence 6 MA11

-BGPSNVMFEFMBMJHOFEVUBCMFBVFTUVODBTQBSUJDVMJFSEFDFMMFEFMBMJHOF(avec m p c= =0 et ).

%NPOUSPOTQBSVODBMDVMOPVTBWPOTEKWVFVOFFYQMJDBUJPOHSBQIJRVFEBOTMBDUJWJUj$BTEVOFGPODUJPOBGGJOFxMBGPSNVMFEFMBMJHOF

1BSUPOTEF f x mx p( ) = + FUENPOUSPOTRVF =f x m( ) .

1BSEGJOJUJPOPOTBJURVF f x f x I G xII

'( ) MJN ( ) ( )= + 0

.

0ODBMDVMFQPVS I0 f x I G x

Im x I Nx

Imx NI mx

INII

m( ) ( ) ( )+

=

+ =

+ = =

EPODQPVSUPVU I0 , f x I G xI

m( ) ( )+

=

FUFOGBJTBOUUFOESFIWFST[SP MJm ( ) ( ) .I

f x I G xI

m

+ =

0

f x m'( ) .=

-FTENPOTUSBUJPOTEFTGPSNVMFTEFTMJHOFT

FUEVUBCMFBVTFSPOUGBJUFTFOFYFSDJDFFOTBJEBOUTJODFTTBJSFEVOMPHJDJFMEFDBMDVMGPSNFM

Exercices dapprentissage

%NPOTUSBUJPOEFMBGPSNVMFEFMBESJWFEFMBGPODUJPOjDBSSx f x x: 2

On posef x x( ) = 2

Conclusion

C

Exercice 1

On dit souvent la drive de la fonction f la place de la fonction drive de la fonction f .

La fonction racine carre f x x: est dfinie sur <

12 Squence 6 MA11

1PVS I0,DBMDVMFS f x I G xI

( ) ( )+ .

7SJGJFSRVF MJm ( ) ( ) .I

f x I G xI

x

+ =

02 &OEEVJSFRVF f x x'( ) .= 2

%NPOTUSBUJPOEFMBGPSNVMFEFMBESJWFEFMBGPODUJPOjDVCFx f x x: 3

On posef x x( ) = 3


( ) ( )+ MBJEFEVMPHJDJFMEFDBMDVMGPSNFM9$"4


f x I G xI

x

+ =

0

23 &OEEVJSFRVF f x x'( ) .= 3 2

%NPOTUSBUJPO EF MB GPSNVMF EF MB ESJWF EF MB GPODUJPO jSBDJOFDBSSFx f x x:

On posef x x( ) =




f x I G xI x

+ =

0

1

2&OEEVJSFRVF f x

x'( ) .=

1

2

%NPOTUSBUJPOEFMBGPSNVMFEFMBESJWFEFMBGPODUJPOJOWFSTF f xx

: 1

On posef xx

( ) =1




f x I G xI x

+ =

0 21 &OEEVJSFRVF f x

x'( ) .=

12

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4


13Squence 6 MA11

3 Drivation et oprations algbriques"VDIBQJUSFQSDEFOUOPVTBWPOTMJTUMFTESJWFTEFGPODUJPOTVTVFMMFT/PVTBMMPOTWPJSJDJDPNNFOUDPNCJOFSDFTGPSNVMFTQPVSDBMDVMFSMFTESJWFTEFGPODUJPOTCUJFTQBSUJSEFDFTGPODUJPOTVTVFMMFT

Activits

En somme, cest simple !

0ODPOTJESFMFTGPODUJPOTV et vEGJOJFTTVS par V Y x( ) = +7 1 et v x x( ) .= 2

Les fonctions V et vTPOUESJWBCMFTTVS.

%POOFSMBWBMFVSEFV '( )3 etv '( ).3

0OBQQFMMFfMBGPODUJPOEGJOJFTVS, HBMFMBTPNNFEFTEFVYGPODUJPOTV et v : G V v= + .

&OVUJMJTBOUMBEGJOJUJPOEVOPNCSFESJWEFMBGPODUJPOf en a ENPOUSFSRVFMBfonction fFTUESJWBCMFFOa = 3.

2VFMMFFTUMBWBMFVSEF f '( )3 2VPCTFSWFUPO

Un produit driv pas si docile !

0ODPOTJESFMFTGPODUJPOTVet vEGJOJFTTVS par V Y x( ) = 4 et v x x( ) , .= 0 25

0OBWVQSDEFNNFOURVFMFTGPODUJPOTBGGJOFTV et vTPOUESJWBCMFTTVS.

%POOFSMBWBMFVSEFV '( )3 et v '( ).3

0OBQQFMMFfMBGPODUJPOEGJOJFTVS

14 Squence 6 MA11

Drive dune somme

Proprit Soient u et v deux fonctions drivables sur un intervalle I et k un rel.

La fonction k u est drivable sur I et ( ) .k u k u = La fonction u v+ est drivable sur I et ( ) .u v u v+ = +

0OWFVUDBMDVMFSMBESJWFEFMBGPODUJPOfEGJOJFQBS f x x x( ) .= + 2 3 7

0OQFVUDSJSF f x x x V Y v x( ) ( ) ( )= + ( ) = +2 3 7 oV Y x( ) = 2 etv x x( ) .= 3 7 %BQSTMFUBCMFBVEFTESJWFTEFTGPODUJPOTVTVFMMFT V Y x'( ) = 2 etv x'( ) = 3 .

%BQST MB QSPQSJU QSDEFOUF ( )'( ) '( ) '( )V W Y V x v x x+ = + = +2 3 EPODf x x'( ) .= +2 3

Drive dun produit

0OWFVUDBMDVMFSMBESJWFEFMBGPODUJPOfEGJOJFQBS f x x x( ) ( ).= +3 2

0OQFVUDSJSF f x V Y v x( ) ( ) ( )= oV Y x( ) = etv x x( ) .= +3 2

%BQSTMFUBCMFBVEFTESJWFTEFTGPODUJPOTVTVFMMFTV Yx

'( ) =1

2 et =v x( ) 3 .

%BQSTMBQSPQSJUQSDEFOUF

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )V W Y V x v Y V x v xx

x x = + = + + 1

23 2 3

soit f x xx

x'( ) = +

92

.

0OQFVUBVTTJDBMDVMFS = =V Wx

xx

3

2

32

FUPCTFSWFSRVFMFSTVMUBUFTUEJGGSFOUEF f x'( ).

Exemple

Soient u et v deux fonctions drivables sur un intervalle I.

La fonction u v est drivable sur I et ( ) .u v u v u v = +

Exemple

On peut rsumer la proprit en disant que la drive de la somme est la somme des drives . De mme pour la multiplication par un rel.Lactivit 2 soulevait le problme : nous allons voir que la driva-tion (cest--dire le calcul de la drive) ne se comporte pas aussi agrablement que laddition vis--vis de la multiplication et de la division entre fonctions.

Remarque


15Squence 6 MA11

#JFOTSMFSSFVSne pas commettreFTUEDSJSFRVFMBESJWFEFV W FTUHBMFV W' '.

Drive dun quotient

0OWFVUDBMDVMFSMBESJWFEFMBGPODUJPOfEGJOJFQBS f x x xx

( ) .=+

+

34 1

2

PosonsV Y x x( ) = +3 2 etv x x( ) .= +4 1

0OTFQMBDFQBSFYFNQMFTVSMJOUFSWBMMF I = + >o

16 Squence 6 MA11

0OWFVUDBMDVMFSMBESJWFEFMBGPODUJPOfEGJOJFQBS f xx

( ) .=1

PosonsV Y x( ) = EFTPSUFRVF f xV Y

( )( )

.=1

%BQSTMFUBCMFBVEFTESJWFTEFTGPODUJPOTVTVFMMFT =V Yx

( )1

2

%BQSTMBQSPQSJUQSDEFOUF f x V Y

V Y

x

x x x'( )

'( )

( ).=

( ) = ( ) = 2 21

2 1

2

'JOBMFNFOU f xx x

'( ) .= 1

2


$BMDVMFS f x( ) MPSTRVFMBGPODUJPOfFTUEGJOJFQBS

f x x x( ) = +2 7 4 f xx

( ) = +7 1

11 f x x x( ) ,= +0 1

75

310 5

f x x x( ) = +2 7 12 f x x( ) .= 932

4 f x xx

( ) = +557


f xx

( ) =2

f xx

x( ) = 5

2 3 f xx

xx( ) ( )=

+ +4

2 12

2

*NBHJOFS EFVY GPODUJPOT f et H EGJOJFT TVS EPOU MB ESJWF FTU MB GPODUJPO

x x x 6 2 12 +

$BMDVMFSMBESJWFEFMBGPODUJPOfEBCPSEFOEWFMPQQBOUf x( ) QVJTFOVUJMJTBOUMBGPSNVMFEPOOBOUMBESJWFEVOQSPEVJUEBOTMFTDBTTVJWBOUT

f x x x( ) ( )( )= 3 4

f x x x( ) ( )( )= +3 2 3 2

f x x x xx

x( ) =


f xxx

( ) =+

5 13 1

f xx

x( ) =

33

f xx

x( ) =

+

3

21

1

$BMDVMFS f x( ) MPSTRVFMBGPODUJPOfFTUEGJOJFQBS f xxx

( ) =+

+

3 61

MBJEFEFMBGPSNVMFEPOOBOUMBESJWFEVORVPUJFOU

FOENPOUSBOUBVQSBMBCMFRVF f xx

( ) .= ++

33

1

Exemple

C

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6


17Squence 6 MA11

4 Applications de la drivationActivits

Des tangentes horizontales

-B DPVSCF TVJWBOUF FTU DFMMF EVOF GPODUJPO f EGJOJF TVS MJOUFSWBMMF < >4 5

0

2

2

4

6

8

10

0

1234 1 2 3 4 5


j-PSTRVF MBUBOHFOUF MBDPVSCFC f FTUIPSJ[POUBMFTPODPFGGJDJFOUEJSFDUFVSFTUHBMyyyx

-FTBCTDJTTFTEFTQPJOUTEFMBDPVSCFC f QSDEFOUFPMBUBOHFOUFFTUIPSJ[POUBMFTPOUx1 = ......... , x2 = ......... , x3 = .........

0OBEPOD f x'( ) .........1 = , f x'( ) .........2 = , f x'( ) .........3 =

$PNQMUFS

j4VSMJOUFSWBMMF < > 4 2 MBGPODUJPOfFTUyyyyyx

j4VSMJOUFSWBMMF < >2 1 MBGPODUJPOfFTUyyyyyx



A


18 Squence 6 MA11

Variations et signe de la drive

-BDPVSCFTVJWBOUFFTUDFMMFEVOFGPODUJPOfEGJOJFTVSMJOUFSWBMMF < >10 15

6

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161

5432

123456781

0

$PNQMUFSMFTCPSOFTEFTJOUFSWBMMFT

Si f x'( ) 0 BMPST x < ..... ...... > < ...... ..... >

Si f x'( ) 0 BMPST x < ..... ...... > < ...... ..... >

Cours/PVTBMMPOTWPJSJDJEFTTFSWJDFTRVFQFVUOPVTSFOESFMBOPUJPOEFESJWF

Drive et sens de variations

Thormes

6OFENPOTUSBUJPOEFDFUIPSNFFTUQSPQPTFFOFYFSDJDFEBQQSPGPOEJTTFNFOU

-FQSFNJFSQPJOUDFMVJDPODFSOBOUMFTGPODUJPOTDPOTUBOUFTSTVMUFEVUBCMFBVEFTESJWFTVTVFMMFT

0ODPOTJESFMBGPODUJPOfEGJOJFTVS >

19Squence 6 MA11

"WFD DF SBJTPOOFNFOU HSBQIJRVF MF UIPSNF QFSNFU EBGGJSNFS RVF QPVS UPVUx +> DFTUEJSF f x'( ) .> 01BSDPOTRVFOUEBQSTMFUIPSNFMBGPODUJPOfFTUDSPJTTBOUFTVS.

0ODPOTJESFMBGPODUJPOHEGJOJFTVS >

21Squence 6 MA11

%BOTMBQBSFOUITFPOSFDPOOBJUVOFJEFOUJUSFNBSRVBCMF

H Yx

x'( ) .= ( )2 22 2 2$PNNF VO DBSS FTU UPVKPVST QPTJUJG PV OVM MPQQPT EVO DBSS FTU UPVKPVSTOHBUJGPVOVM

%PODQPVSUPVUxEF >

22 Squence 6 MA11

Extremum dune fonction

0ODPOTJESFMBGPODUJPOf EGJOJFTVS <

23Squence 6 MA11

La fonction fBENFUEPODCJFOVONJOJNVNFO x = 1DFNJOJNVNFTUHBM 1&OSTVNOPVTBWPOTENPOUSRVFTJ x 0, x x( ) . 2 1

0ODPOTJESFMBGPODUJPOf EGJOJFTVS par f x x( ) ( ) .= +1 23

-BDPVSCFEFMBGPODUJPOfFTUUSBDFDJDPOUSF

0ODBMDVMF f x x'( ) ( ) ,= 3 1 2 EPOD f '( ) .1 0=$FQFOEBOUMBGPODUJPOf OBUUFJOUQBTEFNBYJNVNFO x = 1, QVJTRVFtQPVS x >1 ( )x >1 03 EPOD

( )x + > +1 2 0 23 DFTUEJSFf x f( ) ( ).> 1

tQPVS x

24 Squence 6 MA11

Optimisation

&OOPVTBQQVZBOUTVSMFTUIPSNFTFUOPVTBWPOTWVQSDEFNNFOUDPNNFOUPCUFOJSMFTWBSJBUJPOTEVOFGPODUJPOESJWBCMFFUDPNNFOUEUFSNJOFSMFTWFOUVFMTFYUSFNBTVSVOJOUFSWBMMF

7PJDJTVSVOFYFNQMFVOFBQQMJDBUJPOVOQSPCMNFEPQUJNJTBUJPO

0OETJSFDPOTUSVJSFVOFCPJUFQBSUJSEVOFGFVJMMFDBSUPOOFDBSSFEFENEFDU1PVSDFMBPOEDPVQFEBOTDIBRVFDPJOEFMBGFVJMMFVONNFDBSSEFDUx EN RVPOFOMWF0ODPOTUSVJUFOTVJUFMBCPJUFFOSFQMJBOUMFTCPSET

X

X

/PUSFPCKFDUJGFTUEFEUFSNJOFSxQPVSRVFMFWPMVNFEFMBCPUFTPJUNBYJNVN

7PVTQPVWF[FTTBZFSEF STPVESF DFQSPCMNF TBOT SFHBSEFS MB TVJUFEBOTVOpremier temps.

%BCPSExQFVUQSFOESFEFTWBMFVSTEBOTMJOUFSWBMMF 0 32

&YQSJNPOTMFWPMVNFV x( ) EFMBCPUFFOGPODUJPOEFx.

-F GPOE EF MB CPUF FTU VO DBSS EF DU 3 2 x EN FU TB IBVUFVS NFTVSF x EN TPO WPMVNF FTU EPOD HBM V x x x( ) ( )= 3 2 2 EN3 &O EWFMPQQBOUV x x x x( ) .= +4 12 93 2

La fonction VFTUESJWBCMFTVSMJOUFSWBMMF 0 32

etV x x x'( ) .= +12 24 9

2

1PVSUVEJFSMFTJHOFEFV x'( ) OPVTDIFSDIPOTDPNNFEIBCJUVEFGBDUPSJTFSDFQPMZONF

%BCPSEV x x x x x'( )= + = +

12 24 9 3 4 8 32 2

-F EJTDSJNJOBOU EV QPMZONF EV OE EFHS 4 8 32x x + FTU HBM = = =( )8 4 4 3 16 42 2

Exemple


25Squence 6 MA11

/PVTBWPOTWVBVDPVSTEFMBTRVFODFj4FDPOEEFHSxRVFMPSTRVF>0MBGPSNF GBDUPSJTF EV QPMZONFEV 2OE EFHS 4 8 32x x + est 4 1 2( )( )x x x x

o x182 4

12

=

=

( ) x282 4

32

= +

=

( )

1BSDPOTRVFOUV x x x'( ) ( )( ) ,=

3 4

32

12

DFTUEJSFV x x x'( ) ( )( ).= 12 32

12

&OTVJUF OPVT GBJTPOT BQQBSBUSF MF TJHOF EF12 32

12

( )( )x x TVS EBOT MFUBCMFBVEFTJHOFTTVJWBOU

x 0,5 1,5 +

x 32

0 +

x 12

0 + +

1232

12

( )( )x x + 0 0 +

0OFOEEVJUMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOTEFVTVSMJOUFSWBMMF 0 32

x 0 0,5 1,5

4JHOFEFV ' + 0 0

V0

2

0

V ( ) ,0 4 0 12 0 9 0 03 2= + = V ( , ) , , ,0 5 4 0 5 12 0 5 9 0 5 23 2= + = etV ( , ) , , , .1 5 4 1 5 12 1 5 9 1 5 03 2= + =

&O DPODMVTJPO QPVS SBMJTFS VOF CPUF EF WPMVNFNBYJNVN JM GBVU FOMFWFS DIBRVFDPJOVODBSSEFDUENTPJUDN-FWPMVNFNBYJNVNEFMBCPUFPCUFOVFFTUBMPSTHBM Em3, BVUSFNFOUEJUMJUSFT

0OSFUJFOESBEFDFUFYFNQMFRVF MPSTRVJMTBHJUEUVEJFS MFTWBSJBUJPOTPVEFDIFSDIFSMFTFYUSFNBEVOFGPODUJPOfMFTSGMFYFTBWPJSTPOU

MFDBMDVMMPSTRVFDFTUQPTTJCMFEFMBGPODUJPOESJWF f 'MUVEFEVTJHOFEFDFUUFESJWFPOGBDUPSJTFTPVWFOU f x'( ) QPVSDFMBMVUJMJTBUJPOEFTUIPSNFTFU


26 Squence 6 MA11


Soit fMBGPODUJPOEGJOJFTVS 4 3 par f x x x x( ) .= + +2 3 12 1

3 2

$BMDVMFSMBESJWF f ' EFf.

UVEJFSMFTJHOFEF f x'( ).

%SFTTFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOEFf TVS 4 3

2VFMTTPOUMFTFYUSFNBEFfFUFORVFMTQPJOUTTPOUJMTBUUFJOUT

a. TVS 3 2 ?

CTVS 4 3 ?

$PNCJFOEFTPMVUJPOTEBOTMJOUFSWBMMF 3 2 MRVBUJPO f x( ) = 0 QPTTEFU

FMMF

Soit f MBGPODUJPOEGJOJFTVS

4 0 0 4 parf x x x

( ) .= + 2 14

$BMDVMFSMBESJWF f ' EFf.

UVEJFSMFTJHOFEF f x'( ) .

%SFTTFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOEFf TVS 4 4

Soit fMBGPODUJPOEGJOJFTVS > < > < >

27Squence 6 MA11

Si f x'( ) 0 QPVS UPVU x I DFTU RVFO UPVT MFT QPJOUTM EF MB DPVSCFCf EBCTDJTTF x I MBUBOHFOUFCf BVODPFGGJDJFOUEJSFDUFVSQPTJUJGEPODDFTUVOFESPJUFRVJjNPOUFxEPODMBGPODUJPOf est croissante .-FOJUBFYQMJRVFBMPST7BMFOUJODFRVVOUIPSNFEVDPVSTTJHOJGJFQPVSFMMFj4JMBGPODUJPOfFTUDSPJTTBOUFBVWPJTJOBHFEFDIBRVFQPJOUEFMBDPVSCFCf BMPSTMBDPVSCFjNPOUFxEPODMBUBOHFOUFjOFQFVUBVTTJRVFNPOUFSxEPODf x'( ) 0 .&OPODFSMFUIPSNFFYQMJRVQBS-FOJUB%FNNFQPVSDFMVJEF7BMFOUJO

7SBJ'BVY Si =f a( ) 0 BMPSTMBUBOHFOUFBVQPJOUEBCTDJTTFaFTUQBSBMMMFx) . Si =f a( ) 0 BMPSTMBGPODUJPOBENFUVOFYUSFNVNDFTUEJSFVONBYJNVNPVVONJOJNVNBVQPJOUEBCTDJTTFa .

0ODPOTJESFVOFGPODUJPOfEGJOJFTVS > < > 1 1 ?

-FT USPJT DPVSCFT C C C1 2 3, , DJEFTTPVT TPOU DFMMFT EF USPJT GPODUJPOT f, H et I EGJOJFTFUESJWBCMFTTVS > >1 8

2

3

4

5

6

7

1

1

0

2

3

4

5

6C3

C2

C17

10 2 3 4 5 6 7 8

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8


28 Squence 6 MA11

La fonction fFTUMBESJWFEFMBGPODUJPOHFUMBGPODUJPOHFTUMBESJWFEFMBfonction I."UUSJCVFSDIBDVOFEFTGPODUJPOTf, H et IMBDPVSCFRVJFTUMBTJFOOF


29Squence 6 MA11

5 Synthse de la squence Drives des fonctions usuelles

Fonction f Drive f Intervalle I

f x c( ) = (cFTUVOFDPOTUBOUF f x'( ) = 0 I =

f x mx p( ) = + f x m'( ) =

f x x( ) = 2 f x x'( ) = 2

f x x( ) = 3 f x x'( ) = 3 2

f x xn( ) = , n { }0 f x nxn'( ) = 1

f x x( ) = f xx

'( ) =1

2I = +>

30 Squence 6 MA11

1V

(VFTUVOFGPODUJPOOFTBOOVMBOUQBTTVSI) 12VV

V

=

''

Vv

(vFTUVOFGPODUJPOOFTBOOVMBOUQBTTVSI) Vv

V W V W

v

=

'

' '2

Applications de la drivation

*DJPODPOTJESFVOFGPODUJPOfESJWBCMFTVSVOJOUFSWBMMFI.

0OQFVUSFHSPVQFSMFTOPODTEFTUIPSNFTFUEFMBNBOJSFTVJWBOUF

fFTUDPOTUBOUFTVSI xRVJWBVUjQPVSUPVUSFM x I , f x'( ) = 0 . fFTUDSPJTTBOUFTVSI x RVJWBVUjQPVSUPVUSFM x I , f x'( ) 0 . fFTUEDSPJTTBOUFTVSI xRVJWBVUjQPVSUPVUSFM x I , f x'( ) 0 .0ODPOTJESFVOFGPODUJPOfESJWBCMFTVSVOJOUFSWBMMFPVWFSUI.

Si fBVOFYUSFNVNFOVOQPJOUEBCTDJTTFaBMPST f a'( ) .= 0

Thormes 1 et 2

Thorme 3


31Squence 6 MA11

5 Exercices dapprofondissement%NPOTUSBUJPOEVUIPSNFEVDPVST

I Dmontrons dabord le premier point du thorme savoir :

Si fFTUDSPJTTBOUFTVSI BMPSTQPVSUPVUSFM x I , f x'( ) . 0

1PVSDFMBOPVTDPOTJESPOTVOFGPODUJPOfESJWBCMFTVSVOJOUFSWBMMF*

4VQQPTPOTRVFfTPJUVOFGPODUJPODSPJTTBOUF/PVTBMMPOTENPOUSFSRVF

1PVSUPVUSFM x I , f x'( ) . 0

'JYPOTEBCPSEBSCJUSBJSFNFOUVOSFMa I .

3BQQFMFSMBEGJOJUJPOEF f a'( ).

a)%NPOUSFSRVFQPVSUPVU I > 0, f a I G a( ) ( ).+

C&OEEVJSFRVFQPVSUPVU I > 0, f a I G aI

( ) ( ).

+ 0

a)%NPOUSFSRVFQPVSUPVU I < 0, f a I G a( ) ( ).+

C&OEEVJSFRVFQPVSUPVU I < 0, f a I G aI

( ) ( ).

+ 0

%NPOUSFSGJOBMFNFOURVF f a'( ) . 0

$PODMVSFRVFQPVSUPVUSFM x I , f x'( ) . 0

II Dmontrons ensuite le second point du thorme 1, savoir :

Si fFTUEDSPJTTBOUFTVS*BMPSTQPVSUPVUSFM x I , f x'( ) . 0

.POUSFSRVFMBGPODUJPO f FTUDSPJTTBOUFTVS*

&OBQQMJRVBOUMFSTVMUBUENPOUSEBOTMBQBSUJF*MBGPODUJPO f DPODMVSF

0ODPOTJESFMBGPODUJPOfEGJOJFQBS f x x x x x( ) ( ) .= + + 2 2 1 24

2

a)"MBJEFEVMPHJDJFM(FPHFCSBUSBDFSMBDPVSCFEFf.

C1BSMFDUVSFHSBQIJRVFEPOOFSMFTJHOFEF f '( ).1

-BGPODUJPOj[PPNxEFMBNPMFUUFEFMBTPVSJTGBDJMJUFMBHSBOEJTTFNFOUEVOF[POFEVHSBQIJRVF

Exercice I

Exercice II


32 Squence 6 MA11

c)%POOFSVOFWBMFVSBQQSPDIFEFMBQMVTQFUJUFWBMFVSa UFMMFRVF f a'( ) . 0

E%UFSNJOFSVOJOUFSWBMMFMFQMVTHSBOEQPTTJCMFTVSMFRVFMMBGPODUJPOf est croissante.

"MBJEFEVMPHJDJFM(FPHFCSBUSBDFSMBDPVSCFEF f '.

-BTBJTJFBVDMBWJFSEFGYBQPVSFGGFUEFDBMDVMFS f x'( ) FUEFUSBDFSTBDPVSCF

a)7SJGJFSRVF f x x x'( ) .= + 3 12

1

C+VTUJGJFS HSBQIJRVFNFOU RVF QPVS x a +< < MJOHBMJU TVJWBOUF FTU

vraie 3 12

1xx

+ + .

6OFFOUSFQSJTFDPNNFSDJBMJTBOUEFMBQVSFEFTBVDFUPNBUFWFVUBNMJPSFSTBDIBJOF EF QSPEVDUJPO 1PVS OF QBT USPQ BCNFS MFT GSVJUT MPST EF MFVS BDIFNJOFNFOUEVQPTUFEFMBWBHFBVQPTUFEFCSPZBHFFMMFEDJEFEFQMBDFSVOQMBOJODMJOQPVSGBJSFMBKPODUJPOMBNPJOTBOHVMFVTFQPTTJCMFFOUSFMBTPSUJFEVer QPTUFFUMFSDFQUBDMFEVOE poste.

$JEFTTPVTFTUSFQSTFOUVOFWVFFODPVQFEFTEFVYQPTUFTGPODUJPOTf et H) et EVQMBOTPVIBJUTFHNFOUFOQPJOUJMMT

La fonction fFTUEGJOJFTVS < >0 2 parf x x( ) .= +12

152

La fonction HFTUEGJOJFTVS < >5 12 par H Y x( ) ( ) .= 17

12 2

0ODIFSDIFWSJGJFSRVFMBESPJUF ( )SR BTTVSFVOSBDDPSETBOTCPTTFOJBOHMF

a)%UFSNJOFSMRVBUJPOEFMBUBOHFOUFMBDPVSCFCf BVQPJOU STPOBCTDJTTFFTUHBMF

Exercice III

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Cg

Cf

S

R

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14


33Squence 6 MA11

C%UFSNJOFSMRVBUJPOEFMBUBOHFOUFMBDPVSCFCH BVQPJOU RTPOBCTDJTTFFTUHBMF

"MBJEFEVMPHJDJFM(FPHFCSB

a)3FQSTFOUFSMFTEFVYQBSBCPMFTEFTGPODUJPOTf et H.

0OQPVSSBVUJMJTFSMBDPNNBOEFFonction[f,a,b]EF(FPHFCSBQPVSOBGGJDIFSMBDPVSCFEFMBGPODUJPOGRVFTVSMJOUFSWBMMF

C2VFWBVUMFDPFGGJDJFOUEJSFDUFVSEFMBESPJUF ( )SR .c)5SBDFSMFTUBOHFOUFTUVEJFTMBRVFTUJPOE2VFQFVUPOFODPODMVSF

6ODZMJOESFEFSWPMVUJPOEFSBZPOxDNFTUJOTDSJUEBOTVODOFEFSWPMVUJPOEFSBZPODNFUEFIBVUFVSDN-FWPMVNFEFDFDZMJOESFFYQSJNFODN3, est EPOOQBSMBGPSNVMFTVJWBOUF

V xx

=

30 1 10

2 o 0 10 x .

Dterminer xQPVSRVFMFWPMVNFEVDZMJOESFTPJUNBYJNVN

-F OPNCSF EF TBOHMJFST EF DFSGT FU EF DIFWSFVJMT FO 'SBODF FTU EPOO QBS

f tt

t( ) =

+

+

24 108

o t FTU MF OPNCSFEBOOFT DPVMFT EFQVJT FU f t( ) est

MFOPNCSFEFNJMMJFSTEBOJNBVY

-BESJWF f t'( ) FTUBQQFMSZUINFEFDSPJTTBODFEFMBQPQVMBUJPOEBOJNBVY

a)$PNQMUFSMFUBCMFBVTVJWBOU

t 10 30

Anne1980 +t 2008 2009

/PNCSFEBOJNBVY

C$BMDVMFSMBWBSJBUJPOEV OPNCSFEBOJNBVYFOUSFFU

$BMDVMFS MBESJWFEF f QVJTFOEEVJSF MWPMVUJPOEF MBQPQVMBUJPOEBOJNBVY

a)%POOFSVOFWBMFVSBQQSPDIFEF f '( )28 FUEF f '( ).29 C$PNQBSFSMFTWBMFVSTBQQSPDIFTQSDEFOUFTMBWBSJBUJPODBMDVMFBVC

2VFMOPNCSFEBOJNBVYQFVUPOQSWPJSQPVSMBOOF

4VJUFMUVEFTVSQMVTJFVSTBOOFTEFMWPMVUJPOEVWJSVTEFMBHSJQQFMFTBVUPSJUTTBOJUBJSFTPOUBEPQUMFNPEMFTVJWBOUWBMBCMFBVDPVSTEVQSFNJFSNPJT

Exercice IV

Exercice V

Exercice VI


34 Squence 6 MA11

4JM TFTUDPVMx KPVSTEFQVJT MBQQBSJUJPOEVer DBTBMPST MFOPNCSFEFQFSTPOOFTBZBOUDPOUSBDUFTMFWJSVTFTUHBMG x x x( ) , ,= 50 1 52 3 o 0 31 x .

-BESJWFEFGFTUBQQFMWJUFTTFEFQSPQBHBUJPOEFMBHSJQQF.

Dterminer G x( ).

$PNQMUFSMFUBCMFBVTVJWBOU

x 0 1 2 3 5 10 15 20 25 30

G x( )

%POOFSMFUBCMFBVEFWBSJBUJPOEFMBGPODUJPOG.

%UFSNJOFSMFKPVSPMFOPNCSFEFNBMBEFTBVHNFOUFMFQMVTFUEPOOFSMFOPNCSFEFOPVWFBVYNBMBEFTDFKPVSM


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Al7ma11tepa0012 Sequence 06