ALGEBRA

Algebra

WYKŁAD 8

2

Geometria analityczna

3

Geometria analityczna

ALGEBRA 3

Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się

badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi

(obliczeniowymi) i algebraicznymi.

Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii

analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań,

które opisują badane figury.

Początki geometrii analitycznej są związane z nazwiskami

Fermata, Pascala oraz Kartezjusza, którzy jako pierwsi

punktom na płaszczyźnie przypisali pary liczb nazywane

ich współrzędnymi, a pewne zależności między współrzędnymi

w danym układzie współrzędnych utożsamili z krzywymi

na płaszczyźnie

4

Geometria analityczna

ALGEBRA

Definicja

Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ

współrzędnych, w którym zadane są:

punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego

wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą

O lub cyfrą 0.

zestaw parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami

układu współrzędnych.

Kartezjusz (René Descartes) x

0 y

z

Na zajęciach będziemy zajmować się głównie obiektami

w przestrzeni trójwymiarowej.

Pierwsze dwa wykłady stanowią przypomnienie

i uzupełnienie pojęć znanych ze szkoły średniej

w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie)

ALGEBRA

Geometria analityczna

ALGEBRA

Krzywa stożkowa – zbiór punktów będący częścią wspólną powierzchni stożka obrotowego, i płaszczyzny.

Krzywe stożkowe

okrąg elipsa parabola hiperbola

para prostych punkt prosta

ALGEBRA

Typ krzywej zależy od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i jego tworzącą:

Gdy płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka i nie przechodzi przez jego wierzchołek otrzymujemy okrąg.

W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, krzywą stożkową jest elipsa.

Jeżeli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.

W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymujemy prostą (nie zaliczaną do krzywych stożkowych).

Krzywe stożkowe

ALGEBRA

Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana krzywa stożkowa jest hiperbolą.

Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi.

W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymujemy parę przecinających się prostych, nie zaliczaną do stożkowych.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA

Krzywe stożkowe mogą być definiowane (równoważnie) na kilka sposobów.

Są również nazywane krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniami algebraicznymi drugiego stopnia względem zmiennych x i y.

Krzywe stożkowe

ALGEBRA

Definicja

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których

suma odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stała i większa

od odległości tych punktów.

Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami elipsy.

Promieniami wodzącymi punktu P nazywamy odcinki PF1 oraz PF2

Środek odcinka łączącego ogniska nazywamy środkiem elipsy.

P’(x,y)

P’’(x,y)

Elipsa

ALGEBRA

Osią wielką elipsy nazywamy odcinek A1A2 (punkty A1 i A2 to punkty

przecięcia prostej wyznaczonej przez ogniska z elipsą).

Osią małą elipsy nazywamy odcinek B1B2 (punkty B1 i B2 to punkty przecięcia

symetralnej osi wielkiej z elipsą).

Odległość ognisk elipsy |F1F2| nazywamy ogniskową elipsy.

Stosunek ogniskowej do długości osi wielkiej nazywamy mimośrodem elipsy

i oznaczamy literą e:

Elipsa

1||

||

21

21 AA

FFe

ALGEBRA

Niech |PF1| +|PF2| = 2a, gdzie a > 0

aycxycx 2)()( 2222

2222 )(2)( ycxaycx

222222 )()(44)( ycxycxaaycx

222 44)(4 acxycxa

42222222 2)2( acxaxcycxcxa

42222222222 22 acxaxcyacaxcaxa

Elipsa

ALGEBRA

22422222 )( caayaxca

)()( 22222222 caayaxca

222 cabNiech 222222 bayaxb

12

2

2

2

b

y

a

xPostać standardowa równania elipsy

a - długość półosi wielkiej

b - długość półosi małej

Elipsa

ALGEBRA

wierzchołki

oś wielka

oś mała

długość półosi wielkiej = a

długość półosi małej = b

Elipsa

12

2

2

2

b

y

a

x

ALGEBRA

Kierownicami elipsy nazywamy proste o równaniach

c

ax

c

ax

22

oraz

Ponieważ mimośród a

ce

równania kierownic można zapisać

w równoważnej postaci

e

ax

e

ax oraz

Uwaga Stosunek odległości punktu elipsy od ogniska do odległości tego punktu od kierownicy (leżącej po tej samej stronie co ognisko) jest stały i równy mimośrodowi.

Elipsa

ALGEBRA

kierownica

Elipsa

ALGEBRA

długość odcinka jest równa

Elipsa

a

bp

222

Parametrem elipsy nazywamy długość cięciwy przechodzącej przez

ognisko i prostopadłej do osi wielkiej. Oznaczamy go przez 2p.

Półparametr p ma wartość

a

bp

2

ALGEBRA

Elipsa

Normalna do elipsy jest dwusieczną kąta między promieniami wodzącymi. Stąd sygnały świetlne, lub dźwiękowe wysłane z jednego ogniska, po odbiciu się od elipsy dochodzą jednocześnie do drugiego ogniska.

ALGEBRA

Równanie elipsy o środku (x0, y0) oraz osiach 2a i 2b, równoległych do osi układu współrzędnych ma postać.

1)()(

2

2

0

2

2

0

b

yy

a

xx

Jej ogniska F1 i F2 maja współrzędne

),(,),( 002001 yxcFyxcF

gdzie 2c jest ogniskową elipsy.

Elipsa

ALGEBRA

Elipsa

Jeżeli odcinek o długości a+b ślizga się jednym końcem po osi Ox, a drugim

po osi Oy, to punkt M dzielący ten odcinek w stosunku a:b zakreśla elipsę o

półosiach a, b gdy a b , lub okrąg gdy a = b.

Każdy punkt przedłużenia tego odcinka również zakreśla pewną elipsę.

Jest to podstawą konstrukcji przyrządu do kreślenia elips – elipsografu.

ALGEBRA

Elipsa

Elipsa jest szczególnym przypadkiem hypotrochoidy, gdy R = 2r;

(na rysunku R = 10, r = 5, d = 1).

ALGEBRA

Orbity planet

Definicja

Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których moduł różnicy

odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stały i mniejszy od |F1F2|.

Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami hiperboli.

Odległość między ogniskami hiperboli |F1F2| nazywamy ogniskową hiperboli.

Punkty przecięcia hiperboli i prostej wyznaczonej przez ogniska nazywamy wierzchołkami hiperboli.

Odcinek |A1A2| o końcach w wierzchołkach nazywamy osią rzeczywistą hiperboli.

Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek ogniskowej do długości osi rzeczywistej:

1||

||

21

21 AA

FFe

Hiperbola

Niech | |PF1| - |PF2| | = 2a gdzie a > 0

aycxycx 2|)()(| 2222

2222 )(2)( ycxaycx

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

222 44)(4 acxycxa

42222222 2)2( acxaxcycxcxa

42222222222 22 acxaxcyacaxcaxa

Hiperbola

42222222 )( acayaxac

)()( 22222222 acayaxac

222Niech acb 222222 bayaxb

12

2

2

2

b

y

a

x Postać standardowa równania

hiperboli

Hiperbola

wierzchołki

oś rzeczywista

oś urojona

Hiperbola

asymptoty

xa

by Równania asymptot :

Hiperbola

ALGEBRA

Kierownicami hiperboli nazywamy proste o równaniach

c

ax

c

ax

22

oraz

Ponieważ mimośród a

ce

równania kierownic można zapisać

w równoważnej postaci

e

ax

e

ax oraz

Uwaga Stosunek odległości punktu hiperboli od ogniska do odległości tego punktu od kierownicy (leżącej po tej samej stronie co ognisko) jest stały i równy mimośrodowi.

Hiperbola

ALGEBRA

Hiperbola

kierownice

ALGEBRA

długość odcinka jest równa

Hiperbola

a

bp

222

Parametrem hiperboli nazywamy długość cięciwy przechodzącej

przez ognisko i prostopadłej do osi wielkiej i oznaczamy 2p. Półparametr ma wartość

a

bp

2

Inna postać hiperboli

12

2

2

2

a

x

b

y

Hiperbola

Jeżeli a = b, wówczas hiperbola jest równoosiowa

222 ayx 12

2

2

2

b

y

a

x

Hiperbola

12

2

2

2

b

x

a

y 222 axy

Hiperbola

Przy obrocie o 45o równanie hiperboli równoosiowej

x2 – y2 = a2 przyjmuje postać 2

2axy

Hiperbola

ALGEBRA

Równanie hiperboli o środku (x0, y0), ogniskowej 2c oraz osi

rzeczywistej 2a, która jest równoległa do osi Ox ma postać

1)()(

2

2

0

2

2

0

b

yy

a

xx

gdzie 22 acb .

Jej ogniska F1 i F2 mają współrzędne

),(,),( 002001 yxcFyxcF

Hiperbola

ALGEBRA

Definicja Parabolą nazywamy zbiór punktów płaszczyzny równo oddalonych od ustalonego punktu F (ogniska) oraz prostej k nieprzechodzącej przez punkt F. Prostą k nazywamy kierownicą paraboli.

Parabola

O F(p/2, 0)

- p/2 x

y

P N

k: x= - p/2

|PF |= |PN|

Z definicji paraboli |PF |= |PN|

2)

2( 22 p

xyp

x

222 )2

()2

(p

xyp

x

44

222

22 p

pxxyp

pxx

pxy 22 standardowa postać rownania

paraboli

Parabola

ALGEBRA

Stała 2p jest nazywana parametrem paraboli, zaś p półparametrem.

Mimośród paraboli jest równy 1.

Parabola

O F(p/2, 0) - p/2 x

y

N

k: x= - p/2

|PF |= |PN|

długość odcinka jest równa 2p

ALGEBRA

Równanie paraboli o wierzchołku (x0, y0), parametrze 2p,

której oś symetrii jest równoległa do osi Ox ma postać

)(2)( 0

2

0 xxpyy

Równanie kierownicy takiej paraboli

20

pxx

Ognisko F ma współrzędne

),2

( 00 yp

xF

Parabola

ALGEBRA

Własności odbiciowe paraboli:

każdy promień "wpadający" do paraboli, prostopadły do kierownicy po odbiciu się od paraboli trafia w ognisko,

promienie wychodzące z ogniska po odbiciu się od paraboli tworzą wiązkę równoległą.

Parabola

O F(p/2, 0) x

y

All rays parallel to the axis are concentrated to a point (the

focus).

All paths from a wavefront to the focus are of equal length.

Parabola: wavefront

Hyperbola:

A

B

• Light converging towards B -> reflecting off the

hyperbola: converges at A

• For an arbitrary point P on the hyperbola,

(AP – BP) = constant

P

Ellipse:

.

Source at one focus.

Rays are reflected by the ellipse to the second focus

And all these paths have the same distance

Correctly focussed antenna:

Equi-length paths from axial

wavefront to the receiver

Signal path: