anal2_gyak

7/28/2019 anal2_gyak

1/93

Gyakorlatok

2010. tavasz

Tartalomjegyzk

1. Kznsges differencilegyenletek 2

1.1. Bevezet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Sztvlaszthat vltozj differencilegyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Lineris elsrend differencilegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. j vltoz bevezetse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Irnymez, izoklink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.1. Tovbbi gyakorl feladatok a tmhoz: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6. Magasabbrend, homogn, lineris, lland egytthats differencilegyenletek . 181.7. Magasabbrend, inhomogn, lineris, lland egytthats differencilegyenletek 201.8. Lineris rekurzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.9. Alkalmazsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2. Fggvnysorok 28

2.1. Hnyados- s gykkritrium (numerikus sorok) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Weierstrass-kritrium fggvnysorok egyenletes konvergencijra . . . . . . . . 322.3. Hatvnysorok konvergencia sugara, konvergenciatartomnya . . . . . . . . . . 33

2.4. Hatvnysorok sszegfggvnye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5. Taylor-polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Taylor-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Binomilis sorfejts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.8. Fourier-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. Tbbvltozs fggvnyek 54

3.1. Hatrrtk, folytonossg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2. Parcilis derivltak, totlis derivlt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3. rintsk, differencil, irnymenti derivlt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4. sszetett fggvny derivlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5. Szlsrtkszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6. Ktszeres integrl tglalap- s norml tartomnyokon . . . . . . . . . . . . . . 723.7. Ketts integrlok transzformcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.8. Hrmas integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. Komplex fggvnytan 84

4.1. CauchyRiemann egyenletek, differencilhatsg, regularits, harmonikus trs 844.2. Elemi fggvnyek, egyenletek megoldsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3. Komplex vonalintegrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4. Cauchy-fle integrlformulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1


2/93

1. KZNSGES DIFFERENCILEGYENLETEK 2

1. Kznsges differencilegyenletek

1.1. Bevezet

Nhny egyszer plda az alapfogalmak megrtshez:

1. Feladat: Mutassuk meg, hogy

y = exx

0

et2

dt + 3 ex

megoldsa az albbi differencilegyenletnek!

y y = ex+x2

Megolds.

(Ez egy elsrend differencilegyenlet. Azt, hogy a fggvny megoldsa a differencilegyen-letnek, mondjuk gy is, hogy kielgti a differencilegyenletet.)A megadott fggvny derivlhat, mert derivlhat fggvnyek sszettele. (Felhvjuk a figyel-met az integrlfggvnyre, emlkezznk az integrlszmts II. alapttelre is, az integranduszfolytonos!)

y = (ex) x

0

et2

dt + ex x

0

et2

dt

+ (3 ex) = ex x

0

et2

dt + ex ex2 + 3 ex

Behelyettestve a differencilegyenlet bal oldalba y -t s y -t:

y y = ex ex2

= ex+x2

Teht valban a jobb oldalt kaptuk.

2. Feladat:

y = e3x + 2xa) Adjuk meg a differencilegyenlet ltalnos megoldst!b) Adjuk meg azt a partikulris megoldst, mely eleget tesz az

y(0) = 1 , y(0) = 2 kezdeti feltteleknek!

Megolds.

a) A differencilegyenletbl: y = 13

e3x + x2 + C1

Ebbl az ltalnos megolds: y =1

9e3x +

x3

3+ C1 x + C2 , C1, C2 R

b) y(0) = 1 : a megoldsban x helyre 0 -t, y helyre 1 -et helyettestve:

1 =1

9+ C2 = C2 = 8

9y(0) = 2 : az y -re kapott egyenletben elvgezve a helyettestst (x = 0, y = 2)

2 = 13

+ C1 = C1 = 73

gy a keresett partikulris megolds:y =

1

9e3x +

x3

3+

7

3x +

8

9


3/93


1.2. Sztvlaszthat vltozj differencilegyenletek

Foglaljuk ssze a lnyeget a pldamegolds eltt!

3. Feladat:

Oldjuk meg az albbi differencilegyenletet!

y =x

ye2x3y

2

, y = 0

Megolds.

dy

dx=

e3y2

yx e2x

=

y

e3y2dy

16

6y e3y

2

dy

=

x e2x dx

parcilis integrls. . .

gy a megolds:

1

6e3y

2

=x

2e2x 1

4e2x + C , C R

Nem kell erltetni az y -ra val kifejezst. De, ha kifejezzk, akkor ne felejtsk el a -t!Adott y(x0) = y0 kezdeti rtk problma megoldsnl termszetesen csak az egyik eljelszerepel majd, hiszen a megolds egyrtelm, mert y0 > 0 , vagy y0 < 0 .

4. Feladat:

y =y 2

x y, x = 0 , y = 0

a) Oldja meg a differencilegyenletet!b) Oldja meg az y(1) = 2 , y(1) = 3 , illetve az y(1) = 3

kezdeti rtk problmkat!

Megolds.

a) y 2 megolds. (Persze az x > 0 , vagy x < 0 rsze!)(J lenne felrajzolni azokat a skrszeket, ahova es kezdeti rtk problma egyrtelmenmegoldhat)Ha y = 2 :

y

y 2 1+ 2

y2

dy =

1

xdx

Innen a megolds:

y + 2 ln |y 2| = ln |x| + C


4/93


b) y(1) = 2 : y 2y(1) = 3 : y + 2 ln (y 2) = ln x + 3y(1) = 3 : y + 2 ln (2 y) = l n(x) 3 + 2 ln 5Hvjuk fel a figyelmet az abszolt rtk jelek elhagysra!

5. Feladat:Oldjuk meg az albbi differencilegyenletet!

y =y2 + 4y + 9

(x 1) (x + 5) , x = 1 , x = 5Megolds.

1

(y + 2)2 + 5dy =

1

(x

1) (x + 5)

dx

...

1

5

5 arctg

y + 25

=1

6(ln |x 1| ln |x + 5|) + C

6. Feladat:A rdium bomlsi sebessge arnyos a pillanatnyi rdiummennyisggel.Tudjuk, hogy a rdium felezsi ideje 1600 v.A kiindulsi anyag mennyisgnek hny szzalka bomlik fel 100 v alatt?

Megolds.

Jelljk R(t) -vel a rdium mennyisgt a t idpontban, k -val az arnyossgi tnyezt (po-zitvnak vlasztjuk).A kapott differencilegyenlet:

dR

dt= k R

(A negatv eljel mutatja, hogy a bomls kvetkeztben a rdium mennyisge cskken.) A

sztvlaszthat vltozj differencilegyenlet megoldsa: R = C ek t

Ha a t = 0 idpontban a kiindulsi anyag mennyisge R0 , teht az R(0) = R0 kezdeti rtkproblmnk van:

R0 = Cek 0 = C = R0

Teht a keresett partikulris megolds: R = R0 ek t .Mivel ismerjk a felezsi idt, meghatrozhat a k arnyossgi tnyez:

1

2R0 = R0 e

k1600 = k = ln 21600

Teht a rdium mennyisge az id fggvnyben:

R(t) = R0 e ln 2

1600t


5/93


gy a 100 v mlva megmaradt mennyisg:

R(100) = R0 e

ln 2

16 = R0 e0,0433 = R(100)

R0= e0,0433 = 0, 958

Vagyis 95, 8 % , teht az eredeti mennyisg 4, 2 % - a bomlott el.

Tovbbi feladatok:

Oldja meg az albbi differencilegyenleteket!

7. Feladat: y = (3x 1)5 (y2 4y)

Megolds.

y 0 s y 4 megolds. Egybknt:1

y (y 4) dy =

(3x 1)5 dx

...

1

4( ln |y| + ln |y 4|) = 1

3

(3x 1)66

+ C

Keresse meg az y(0) = 2 , illetve az y(0) = 4 kezdeti feltteleket kielgt megoldsokat!

. . .

8. Feladat: y =sh ych y

x (2x2 + 1)6

Megolds.

y 0 megolds. Ha y = 0 :ch ysh y

dy =

x (2x2 + 1)6 dx

ln | sh y| = 14

(2x2 + 1)7

7+ C

9. Feladat: y = (ctg y) ln(x 2) , y(3) = /3 , illetve y(3) = /2

Megolds.


6/93


x > 2 , y = k y

2+ k megolds. Egybknt:

sin y

cos ydy = ln (x

2) dx

f

falak parcilis integrls

. . .

ln | cos y| = x ln (x 2) x 2 ln (x 2) + C

y(3) = /3 : . . . C = 3 + ln 2 , gy ln(cos y) = x ln (x 2) x 2 ln (x 2) + 3 + ln2 ,

y

(0,

2

) s x > 2

y(3) = /2 : y 2

x > 2 rsze

10. Feladat: y =2y2 + 3

y2x e4x

2

, y = 0

Megolds. y

2y2 + 3dy =

2x e4x

2

dx

f/f f ef

1

4

4y

2y2 + 3dy = 1

4

4 2 x e4x2dx

1

4ln(2y2 + 3) = 1

4e4x

2

+ C

Vagyis ln(2y2 + 3) = e4x2 + C

11. Feladat: y = (y + 3)2 arcsin x , |x| < 1

Megolds.

y 3 , |x| < 1 rsze megolds. Ha y = 3 : 1

(y + 3)2dy =

1 arcsin x dx


7/93


parc. int.

. . .

(y + 3)1

1= x arcsin x +

1

2

1 x2

12

+ C

12. Feladat: y =y2 + 3

y2 + 12x arctg 2x

Megolds.

y2 + 1y2 + 3

dy =

2x arctg 2x dx

ltrt parc. int.

y 23

arctgy

31

3

= x2 arctg 2x 12

x arctg 2x

2

+ C

13. Feladat:

y =(2y2 8) arctg x

y (1 + x2), y = 0

a) Hatrozza meg az x0 = 0 , y0 = 1 ponton thalad megoldst!b) Hatrozza meg az x0 = 0 , y0 = 2 ponton thalad megoldst!

Megolds.

y 2 megolds. Ha |y| = 2 :

14

4y2y2 8 dy =

11 + x2

arctg x dx

= 14

ln |2y2 8| = arctg2 x

2+ C , C R

a) y(0) = 1 : . . . C = 14

ln 6

1

4ln |2y2 8| = arctg

2 x

2+

1

4ln 6 , y < 0

b) y(0) =

1 : y

2


8/93


14. Feladat: y =y2 9

x2 + 25

Megolds.. . .

15. Feladat: y = y ln2 y ln x , x > 0 , y > 0

Megolds.

. . .

16. Feladat:

rjuk fel azoknak az els negyedbe es skgrbknek az egyenlett, melyekre teljesl,hogy br-mely pontjban hzott rintjnek a koordintatengelyek kztti szakaszt az rintsi pontfelezi.

Megolds.

. . .

1.3. Lineris elsrend differencilegyenlet

Beszljk meg elszr a megolds menett!(yia = yH + yip , yH : sztvlaszthat vltozj , yip : lland varilsval)A homogn egyenlet megoldsnl nem alkalmazhat a kplet, minden esetben vgig kellcsinlni az albbi kt pldban mutatott mdszerek valamelyikvel.

17. Feladat:

Oldjuk meg az albbi differencilegyenletet!

y xx2 + 4

y = 6x , y(0) = 4

Megolds. yia = yH + yip


9/93


(H): y xx2 + 4

y = 0 = dydx

=x

x2 + 4y , y 0 megolds

Ha y = 0 :

dy

y=

1

2 2x

x2 + 4dx

= ln |y| = 12

ln (x2 + 4) + C1 = |y| = eC1 eln

x2+4

= y = eC1

x2 + 4 , illetve y 0Teht a homogn egyenlet ltalnos megoldsa:

yHlt = C

x2 + 4 , C RAz inhomogn egyenlet egy partikulris megoldsnak keresse:

yp = c(x)

x2 + 4 , yp = c(x)

x2 + 4 + c(x)

1

2 x2

+ 4

2x

Behelyettestve (I)-be:

c(x) =6x

x2 + 4= c(x) = 3

2x (x2 + 4)1/2 dx = 6

x2 + 4 + K

Mivel egyetlen yp megoldst keresnk, K = 0 vlaszthat, gy

yp = 6 (x2 + 4) .

Az inhomogn egyenlet ltalnos megoldsa:

yIlt = Cx2

+ 4 + 6 (x2

+ 4) (C R)Az y(0)=4 kezdetirtk problma megoldsa:

4 = C 2 + 24 = C = 10 = y = 10

x2 + 4 + 6 (x2 + 4)

18. Feladat:

y 2x

y = x , x = 0

a) ltalnos megolds?b) y(1) = 3 kezdeti felttelt kielgt megolds?c) y(e) = 3 e2 kezdeti felttelt kielgt megolds?

Megolds.

a) Minden olyan tartomnyban, melyben x = 0 a differencilegyenlet egyrtelmen meg-oldhat.

(H): y

2

x

y = 0 =

dy

dx

=2

x

y

Az eladsbl tudjuk, hogy yHlt = C Y(x) alak, ahol Y a homogn egyenlet


10/93


egy megoldsa, mely seholse nulla. Ezt kihasznlva a megolds kevesebb munkval ismegkaphat.

dy

y=

2

xdx = ln y = 2 ln x , gy y = x2 (Y = x2)

Teht a homogn egyenlet ltalnos megoldsa:yHlt = C x

2 , C RKrds:Y(x) = x2 vesz fel 0 rtket, mrpedig a bizonytsban e alakra jtt ki (a jegyzetbenY(x) helyett (x) jells van), teht nem lehetne 0 . Hol az ellentmonds?

Vlasz:Az elejn beszltnk rla, hogy az x > 0 , vagy az x < 0 flskon dolgozunk s ekkormr valban teljesl, hogy Y(x) = 0 a vizsglt tartomnyban.

Az inhomogn egyenlet egy partikulris megoldsnak keresse:yp = c(x) x

2 , yp = c(x) x2 + c(x) 2x

Behelyettestve (I)-be:

c(x) =1

x= c(x) = ln |x|

yp = x2 ln |x| = yIlt = C x2 + x2 ln |x|

b) y(1) = 3 kezdeti rtk problma megoldsa: 3 = C+ ln 1 , teht C = 3 .

gy a keresett megolds: y = 3 x2 + x2 ln x

c) y(e) = 3 e2 kezdeti rtk problma megoldsa: 3 e2 = Ce2 + e2 1 , teht C = 2 .gy a keresett megolds: y = 2 x2 + x2 ln (x)

(Itt mr ne szerepeljen abszolt rtk a megoldsban!)

19. Feladat:

rja fel az albbi differencilegyenlet ltalnos megoldst:

y 3x2 y = 6x2

Megolds.

A differencilegyenlet lineris elsrend, de ugyanakkor szeparbilis is. gy rvidebb a meg-olds, ezrt most gy oldjuk meg:

y = 3x2 y + 6x2 = dydx

= 3x2 (y + 2)

y

2 megolds. Ha y=

2 :

dy

y + 2=

3x2 dx = ln |y + 2| = x3 + C1


11/93


. . .

y + 2 = eC1 ex3 , illetve y 2 = y = 2 + Cex3 , C RmM Oldja meg a differencilegyenletet lineris elsrendknt is s hasonltsa ssze az eredm-

nyeket!

20. Feladat:


y + 2 ex y = 3 e2 ex

Megolds.

(H) y + 2 ex y = 0 . . . yH = C e2 ex

, C R(I) yp = c(x) e

2 ex . . . c(x) = 3x

= yIlt = yH + yp = Ce2 ex + 3x e2 ex

21. Feladat:


y = 2x

y +1

1 + x2, x = 0

Megolds.

(H) y +2

xy = 0 . . . yH =

C

x2, C R

(I) yp =c(x)

x2. . . c(x) =

x2

1 + x2= c(x) = x arctg x

= yIlt = yH + yp =C

x2 +1

x arctg x

x2

22. Feladat:


y +5

xy = ex x4 , x = 0

Megolds.

(H) y +5

xy = 0 . . . yH =

C

x5, C R


12/93


(I) yp =c(x)

x5. . . c(x) = x ex = c(x) = (x1) ex (parc. integrlssal)

= yIlt = yH + yp = Cx5

+(x 1) ex

x5

1.4. j vltoz bevezetse

Mi mindig megadjuk, hogy milyen helyettestst alkalmazzunk.

23. Feladat:

u =y

xhelyettestssel oldja meg az albbi differencilegyenletet!

x y = y (1 + ln y ln x) , x > 0 , y > 0Megolds.

y(x) = u(x) x = y = u x + u 1Behelyettestve a y =

y

x

1 + ln

y

x

differencilegyenletbe:

u x + u = u(1 + ln u) = u x = u ln u (szeparbilis)x > 0 , y > 0 miatt u > 0 .u

1 egyenslyi helyzet , teht y = x megolds.

Ha u = 1 : 1

u ln u f/f alak

du =

1

xdx

Innen a megolds:

ln | ln u| = ln |x| + C1 (C1 R) = | ln u| = eC1 |x| = K|x| (K > 0)= ln u = K x = u = eK x , illetve u 1

gy rhatjuk a kvetkez alakban is: u = eC x , CR

A visszahelyettestst elvgezve kapjuk a vgeredmnyt:y = x eCx , C R

24. Feladat:

Oldja meg az albbi differencilegyenleteket!Szksg esetn alkalmazza az u = x + y helyettestst!

a) y = x + y

b) y =1

x + y


13/93


Megolds.

a) Ez lineris elsrend differencilegyenlet. (Hf.)

b) Ez csak helyettestssel oldhat meg: (x + y= 0)

u(x) := x + y(x) = y = u x = y = u 1Behelyettestve:

u 1 = 1u

= u = 1 + 1u

= dudx

=u + 1

u

Ez szeparlhat differencilegyenlet.u 1 megolds, teht y = 1 x megoldja a differencilegyenletet.Ha u = 1 :

u

u + 1 u+11u+1

= 1 1u+1

du =

dx = u ln |u + 1| = x + C

A visszahelyettestst elvgezve kapjuk a vgeredmnyt:x + y ln |x + y + 1| = x + C ,

azaz y ln |x + y + 1| = C , illetve y = 1 x

25. Feladat:

u = y4 helyettestssel oldja meg az albbi differencilegyenletet!

x y + y =ln x

y3, y

= 0 , x > 0

Adja meg az y(1) = 1 kezdeti felttelnek eleget tev megoldst!Megolds.

u = 4 y3 y

Ezrt trendezzk a differencilegyenletet: x y3 y + y4 = ln xBehelyettestnk:1

4x u + u = ln x = u + 4

xu =

4

xln x

Lineris elsrend differencilegyenletet kaptunk.

(H): u +4

xu = 0 uH = C

x4; C R

(I): uip =c(x)

x4 c = 4x3 ln x

Innen parcilis integrlssal kapjuk:

c(x) = x4 ln x x4

4= uip = ln x 1

4= uia = uH + uip = C

x4+ ln x 1

4

Visszahelyettestssel az eredeti differencilegyenlet ltalnos megoldsa:

y4 =C

x4+ ln x

1

4, C

R

y(1) = 1 : 1 = C+ 0 14

= C = 54


14/93


gy a keresett partikulris megolds:

y = 4

5

4 x4+ ln x 1

4

26. Feladat:

u(x) = y3(x) + x2 helyettestssel oldja meg az albbi kezdeti rtk problmt!

3 y2 y = 2x + cos xsin(y3 + x2)

, y(0) = 3

4

Megolds.

u = 3 y2 y + 2x = 3 y2 y = u 2xElvgezve a behelyettestst:u 2x = 2x + cos x

sin u=

sin u du =

cos x dx

A megolds: cos u = sin x + C = cos(y3 + x2) = sin x + C

y(0) = 3

4:

cos(y3 + x2) = sin x 12

, vagyis

y =3arccos sin x + 12 x2

27. Feladat:

Az u = x + y j vltoz bevezetsvel oldja meg az albbi differencilegyenletet!

y =2

x + y, x > 0 , y > 0

Megolds.

y = u x = y = u 1Behelyettestve:

u 1 = 2u

= u = u + 2u

: szeparbilis differencilegyenlet.

Ezt megoldja:u 2 ( egyenslyi helyzet) = x + y = 2 : ez nem felel meg a kiktseknek.u = 2 :

u

u + 2du =

dx . . . u ln (u + 2)2 = x + C

gy a megolds:

x + y ln (x + y + 2)2 = x + C , C R


15/93


28. Feladat:

Vezesse be az u = y3 j vltozt az albbi differencilegyenletbe, majd

hatrozza meg az y(0) =1

2kezdeti rtkhez tartoz megoldst:

3y2y 2y3 = e2x + xMegolds.

u = 3 y2 y

Behelyettestve:u 2u = e2x + x : lineris elsrend differencilegyenlet.

. . .

uIlt = Ce2x + x e2x x

2 1

4gy az eredeti differencilegyenlet ltalnos megoldsa:

y3 = Ce2x + x e2x x2

14

y(0) =1

2:

1

8= C 1

4= C = 3

8Teht a keresett partikulris megolds:

y3 =3

8e2x + x e2x x

2 1

4y = 3

3

8e2x + x e2x x

2 1

4

29. Feladat:

Hajtsa vgre az u = y3 + 2x helyettestst az albbi kezdetirtk prob-lmnl!

3y2 y = (y3 + 2x + 1)3 cos(x) 2 , y(1) = 1

Milyen differencilegyenlethez jutott?Ne oldja meg a kapott differencilegyenletet!

Megolds.

u = 3y2 y + 2 = 3y2 y = u 2Elvgezve a behelyettestst:

u 2 = (u + 1)3 cos( x) 2 = u = (u + 1)3 cos( x)Sztvlaszthat vltozj differencilegyenletet kaptunk.

y(1) = 1 : u(1) = y3 + 2x|x=1 , y=1 = 1 + 2 = 1


16/93


1.5. Irnymez, izoklink

30. Feladat:

a) rja fel azy = ey+2 x

differencilegyenlet izoklninak egyenlett! Rajzoljon fel kettt!b) Van-e loklis szlsrtke a P0 (e, 1) ponton thalad megoldsnak P0 -ban?

Megolds.

a) y = ey+2 x = K = y = ln (x + K) 2 az izoklnk egyenlete

Pl. K := 0 : y = ln x

2 K :=

1 : y = ln (x

1)

2

(Vonalelemek vzszintesek) ( Vonalelemek hajlsszge: 4

)

1. bra 2. bra

b) y(e) = ey+2 x|x=e , y=1 = e e = 0 : lehet loklis szlsrtky = ey+2 y 1 ; y(e) = e1 0 1 = 1 < 0 = lok. max.

31. Feladat:

y = (y2 4) x + x 1a) A sk mely pontjaiban prhuzamos az irnymez az y =

x egyenessel?

Vzoljuk ezeket a pontokat s jelljnk be nhny vonalelemet!b) Van-e loklis szlsrtke vagy inflexis pontja az x0 = 1 , y0 = 2 ponton tmen

megoldsnak a szbanforg pontban? (Feltve, hogy van ilyen megolds.)

Megolds.

a) y = x meredeksge: 1Az izoklnk egyenlete: (y2 4) x + x 1 = KMost K = 1 rdekel bennnket:(y2

4) x + x

1 =

1 =

(y2

4 + 1) x = 0

Ennek megoldsa: y2 = 3 , teht y = 3 , illetve x = 0 .


17/93


3. bra

b) y(1) = 2

y(1) = (y2 4) x + x 1|x=1 , y =2 = 0 , teht loklis szlsrtk lehet itt.y = 2y y x + (y2 4) 1 + 1y(1) = 2y(1) y(1) 1 + (y(1)2 4) 1 + 1 = 1Teht az adott pontban loklis minimuma van a megoldsfggvnynek.(Inflexis pont nem lehet, mert y(1) = 0 .)

32. Feladat:

Az akrhnyszor derivlhat y = y(x) , x R megoldsa azy = y3 x2

differencilegyenletnek s tmegy az (1, 1) ponton.a) Van-e ennek a megoldsnak loklis szlsrtke az x = 1 helyen?b) rja fel ennek a megoldsnak az x0 = 1 pont krli harmadfok T3(x)

Taylor polinomjt!

Megolds.

a) y(1) = 1

y(1) = 1 1 = 0 , teht loklis szlsrtk lehet itt.y = 3 y2 y 2x = y(1) = 0 2 = 2 < 0Teht az adott pontban loklis maximuma van a megoldsfggvnynek.( y(1) = 1 rtkkel.)

b) Az x0 = 1 bzispont harmadrend Taylor polinom:

T3(x) = y(1) +y(1)

1!(x 1) + y

(1)2!

(x 1)2 + y(1)3!

(x 1)3

(Mg nem tanultuk, majd hamarosan tanuljuk. Az vkzi zrthelyikben nem lesz ilyenplda, de vizsgn lehet.)

Mg y(1) hinyzik a behelyettestshez.

y = 3(2 y y) y + 3 y2 y 2 = y(1) = 8Elvgezve a behelyettestst, kapjuk a keresett Taylor polinomot:

T3(x) = 1

2

2(x

1)2

8

6(x

1)3


18/93


1.5.1. Tovbbi gyakorl feladatok a tmhoz:

33. Feladat: A Feladatgyjtemnybl:

1.4.3. b), c) (Feltve, hogy minden kezdeti rtk problmnak van megoldsa.)1.4.4.

34. Feladat:

y = 3x2 + 6y2 18

a) rja fel az x0 = 3 , y0 = 1 ponton thalad megolds adott pontbeli rintegyenesnek

egyenlett!b) rja fel a differencilegyenlet izoklninak egyenlett!c) Hol lehet loklis szlsrtke a megoldsfggvnyeknek? Rajzolja fel ezeket a pontokat!

35. Feladat:

y = x2 y2 , y(x0) = y0a) Jellje ki azokat a pontokat, melyeken a megoldsgrbe

- loklisan nvekeden,- loklisan cskkenen

halad t.

b) ++ Mely pontokban van loklis szlsrtke a megoldsgrbknek? Milyen jelleg?

36. Feladat: Tudjuk, hogy azy = y2 2y + x2

differencilegyenletnek minden y(x0) = y0 kezdeti rtkhez ltezik pontosan egy megoldsa,amely akrhnyszor differencilhat.

a) Milyen loklis tulajdonsga van a P0(1 , 1) ponton tmen megoldsgrbnek ebbena pontban?

b) rja fel az izoklink egyenlett! Rajzoljon fel nhnyat!Hol lehet loklis szlsrtke a megoldsfggvnyeknek?

c) Vannak-e olyan megoldsok, amelyeknek az x = 0 helyen inflexis pontjuk van?

1.6. Magasabbrend, homogn, lineris, lland egytthats diffe-rencilegyenletek

Oldja meg az albbi homogn differencilegyenleteket!

37. Feladat:y + 2 y + y = 0

Megolds.


19/93


3 + 22 + = ( + 1)2 = 0 = 1 = 0 , 2,3 = 1 (bels rezonancia)yH = C1 + C2 e

x + C3 x ex , C1 , C2 , C3 R

38. Feladat:

y + 4 y + 13 y = 0Megolds.

3 + 4 2 + 13 = (2 + 4 + 13) = 0 = 1 = 0 , 2,3 = 2 j 3yH = C1 + C2 e

2x cos3x + C3 e2x sin3x , C1 , C2 , C3 R

39. Feladat:

rjon fel egy olyan legalacsonyabbrend vals konstans egytthats homogn line-ris differencilegyenletet, melynek megoldsai az albbi fggvnyek! rja fel az

adott differencilegyenlet ltalnos megoldst is!

a) 2 e5x e3x b) 6x2 + 5 e2x

c) 7x , sin5x d) 3 x2 e2x , e3x

e) 6 + e3x sin x

Megolds.

a) e5x miatt 1 = 5 , e3x miatt 2 = 3

gy a karakterisztikus egyenlet:( 5) ( + 3) = 0 = 2 2 15 = 0A differencilegyenlet:

y 2y 15 = 0A differencilegyenlet ltalnos megoldsa:

yH = C1 e5x + C2 e

3x , C1, C2 R

b) x2 miatt 1 = 2 = 3 = 0 , e2x miatt 4 = 2gy a karakterisztikus egyenlet:

( 0)3

( 2) = 0 = 4

23

= 0A differencilegyenlet:

yIV 2y = 0A differencilegyenlet ltalnos megoldsa:

yH = C1 + C2 x + C3 x2 + C4 e

2x , C1, C2, C3, C4 R

c) a karakterisztikus egyenlet:

( 0)2 ( j 5) ( + j 5) = 2 (2 + 25) = 4 + 25 2 = 0A differencilegyenlet: yIV + 25 y = 0

A differencilegyenlet ltalnos megoldsa:yH = C1 + C2 x + C3 sin5x + C4 cos5x , C1, C2, C3, C4 R


20/93


d) ( 2)3 ( 3) = 0

e) ( 0) ( (3 +j)) ( (3 j)) = (( 3) j) (( 3) +j) = (( 3)2 + 1) == 3 62 + 10 = 0

1.7. Magasabbrend, inhomogn, lineris, lland egytthats diffe-rencilegyenletek

40. Feladat: y 5y + 6y = 2 sin 2xMegolds.

2

5 + 6 = 0 = 1 = 2 , 2 = 3A homogn egyenlet ltalnos megoldsa:

yH = C1 e2x + C2 e

3x

6 yip := A sin2x + B cos2x

5 yip = 2A cos2x 2B sin2x

1

yip = 4A sin2x 4B cos2x

A =1

26 , B =

5

26

yia = C1 e2x + C2 e

3x +1

26sin2x +

5

26cos2x , C1 , C2 R

41. Feladat: y 6 y + 13y = 39Megolds.

2 6 + 13 = 0 = 1,2 = 3 j 2

Mivel e(3+j 2)x = e3x (cos2x + j sin2x) , a homogn egyenlet ltalnos megoldsa:yH = C1 e

3x cos2x + C2 e3x sin2x

yip := A , 13 A = 39 = A = 3yia = C1 e

3x cos2x + C2 e3x sin2x + 3 , C1 , C2 R

42. Feladat:

y

5y + 6y = 2 x ex , y(x) = ?

Megolds.

2 5 + 6 = 0 = 1 = 2 , 2 = 3 = yH = C1 e2x + C2 e3x


21/93


yip = (Ax + B) ex alakban keressk.

A = 1 , B = 32

= yip =

x +3

2

ex

gy a keresett ltalnos megolds:

yia = yH + yip = C1 e2x + C2 e

3x +

x + 32

ex

43. Feladat:

y y 2y = 3 e2x , y(0) = 3 , y (0) = 1 , y(x) = ?

Megolds.

2 2 = 0 = 1 = 2 , 2 = 1 = yH = C1 e2x + C2 ex

2 yip := A x e2x (kls rezonancia)1

yip = A e2x + 2A x e2x1 yip = 2A e2x + 2A e2x + 4A x e2x

x e2x (2A 2A + 4A) + e2x (A + 4A) = 3 e2x = 3A = 3 , teht A = 1 .= yip = x e2x


yia = C1 e2x + C2 e

x + x e2x

Mivel yia = 2 C1 e2x C2 ex + e2x + 2x e2x

A keresett partikulris megolds:

y(0) = 3 : 3 = C1 + C2

y (0) = 1 : 1 = 2C1 C2 + 1= C1 = 1 , C2 = 2

Vagyis a keresett partikulris megolds: y = e2x + 2 ex + x e2x

rjuk fel a pldt, rjuk fel a homogn ltalnos megoldst! Beszljk meg a ksrletezfggvnyt s csak a felvett konstansokra kapott rtkeket rjuk fel, legyen hzi feladat a

meghatrozsuk!

44. Feladat:

y(4) 8 y + 16 y = 2 x 9 , y(x) = ?

Megolds.

4 83 + 162 = 2 ( 4)2 = 0 = 1,2 = 0 , 3,4 = 4 (bels rezonancia)= yH = C1 + C2 x + C3 e4x + C4 x e4x

yip = (Ax + B) x2 = Ax3 + Bx2 alakban keressk. (Kls rezonancia)

A = 148

, B = 14

= yip =

1

48x 1

4

x2


22/93



yia = yH + yip = C1 + C2 x + C3 e4x + C4 x e

4x +

1

48x 1

4

x2

45. Feladat:y + y = 2 sin x cos x , y(0) = 1 , y(0) = 1 , y(x) = ?

Megolds.

2 + 1 = 0 = 1,2 = j = yH = C1 cos x + C2 sin xMivel f(x) = sin2x , ezrt a prbafggvny:

yip = A sin2x + B cos2x

A = 13

, B = 0 = yip = 13

sin2x

gy a keresett ltalnos megolds:yia = yH + yip = C1 cos x + C2 sin x 1

3sin2x

Mivel yia = C1 sin x + C2 cos x 2

3cos2x

A keresett partikulris megolds:

y(0) = 1 : 1 = C1 + 0 0 = C1 = 1y(0) = 1 : 1 = 0 + C2 2

3= C2 = 5

3

Vagyis: y = cos x +

5

3 sin x 1

3 sin2x

46. Feladat:

y 2y y + 2y = ch 2x , y(x) = ?

Megolds.

3 22 + 2 = 0 = 2 ( 2) ( 2) = 0 = ( 2) (2 1) = 0= 1 = 2 , 2 = 1 , 3 = 1 = yH = C1 e2x + C2 ex + C3 ex

Mivel f(x) =1

2

e2x +1

2

e2x , ezrt a prbafggvny:

A e2x + B e2x helyett yip = A x e2x + B e2x (kls rezonancia)

A = 16

, B = 124

= yip = 16

x e2x 124

e2x


yia = yH + yip = C1 e2x + C2 e

x + C3 ex +

1

6x e2x 1

24e2x

47. Feladat: A Feladatgyjtemnybl: 1.5.1. - 1.5.11.


23/93


1.8. Lineris rekurzi

48. Feladat:

f(n) = 4 f(n

1)

3 f(n

2)

a) Adja meg a lineris rekurzit kielgt sszes szmsorozatot!b) Adja meg az f(0) = 2, f(1) = 6 kezdeti felttelt kielgt

megoldst!c) rja fel az sszes O(1) tpus megoldst!

Megolds.

a) Tudjuk, hogy van f(n) = qn (q= 0) alak megolds:qn = 4 qn1 3 qn2 , q= 0 = q2 = 4q 3= q2 4q+ 3 = (q 1) (q 3) = 0 = q1 = 1 , q2 = 3

Az ltalnos megolds: f(n) = C1 + C2 3n

, C1 , C2 Rb) f(0) = 2 : C1 + C2 = 2

f(1) = 6 : C1 + 3C2 = 6= C1 = 0 , C2 = 2

Teht f(n) = 2 3n

c) f(n) = O(1) jelentse: K : |f(n)| K 1, n > N (legfeljebb vges sok kivtellel)Teht f(n) - nek korltosnak kell lennie, ehhez C2 = 0 vlaszts kell.

49. Feladat:

a) Adja meg az f(n + 1) =5

2f(n) f(n 1) lineris rekurzit kielgt sszes

szmsorozatot!b) Van-e f(n) = O(1) tulajdonsg megolds?c) Adja meg az f(0) = 1 , f(1) = 5 kezdeti felttelt kielgt megoldst?

Megolds.

a) f(n) = qn alak megoldst keresnk. Helyettestsnk be az egyenletbe!

qn+1 =5

2qn qn1 =

q=0q2 5

2q+ 1 = 0 = q1 = 2 , q2 = 1

2

gy az sszes megolds: f(n) = C1 2n + C2

1

2

n, C1 , C2 R

b) f(n) = O(1) jelentse: f(n) korltos.

Ez C1 = 0 , C2 R esetn teljesl.

c)n = 0 : C1 + C2 = 1

n = 1 : 2 C1 +

1

2 C2 = 1 = C1 = 3 , C2 = 2gy a keresett megolds: f(n) = 3 2n 2

1

2

n


24/93


50. Feladat:

Adja meg a lineris rekurzit kielgt sszes szmsorozatot!rja fel az sszes O(1) , O(n) , illetve O(3n) , tpus megoldst!

a) f(n) =10

3f(n

1)

f(n

2)

b) f(n) = 5 f(n 1) 4 f(n 2)

c) f(n) = 5 f(n 1) 6 f(n 2)

51. Feladat:

rja fel a rekurzi adott kezd rtkhez tartoz megoldst!

a) f(n) =10

3f(n 1) f(n 2) , f(0) = 3, f(1) = 11

3

b) f(n) = f(n 1) + 12 f(n 2) , f(0) = 3, f(1) = 2

c) f(n) = 3 f(n 1) + 10 f(n 2) , f(0) = 3, f(1) = 6

d) f(n) = 5 f(n 1) + 6 f(n 2) , f(0) = 0, f(1) = 1

1.9. Alkalmazsok

52. Feladat: Harmonikus rezgmozgsAz idelis rug ltal kifejtett F er arnyos, s ellenttes irny a rug x megnylsval,F(x) = Dx. Hogyan mozog (egydimenziban) az a test, amelyre egyetlen rug hat?Megolds.

Newton II. trvnye rtelmben F(x) = mx. Berva a ruger alakjt, a

Dx(t) = mx(t)

msodrend differencilegyenlethez jutunk, melynek ltalnos megoldsa

x(t) = A sin(t) + B cos(t),

ahol =

Dm

.

(Az egyenletet visszavezethetjk elsrendre, ha megszorozzuk x(t)-vel, s felhasznljuk, hogy2x(t)x(t) = d

dt

x2(t)

, valamint 2x(t)x(t) = d

dt

x2(t)

.)

53. Feladat: Kondenztor kislse

A C kapacits, Q0 kezdeti tltssel feltlttt kondenztort az R ellenllson keresztl kist-jk. Hatrozzuk meg a kondenztor Q(t) tltsnek idfggst, az ramkrben foly I(t)ramot, valamint a kondenztor kapcsain mrhet U(t) feszltsget az id fggvnyben!

Megolds.A szksges fizikai ismeretek: A kondenztor U(t) feszltsge, Q(t) tltse s C kapacitsakztt minden pillanatban fennll, hogy C = Q

U. Az ellenllson foly ram s a sarkai


25/93


kzt mrhet feszltsg kapcsolata: R = UI

. Vgl a kondenztor tltse s az ram kztikapcsolat: Q(t) = Q0 +

t=t0

I()d, azaz Q(t) = I(t).Az ramkrben nincsen telep, teht az ellenllson s a kondenztoron es feszltsgek sszegeminden pillanatban zrus, UC(t) + UR(t) = 0. Az UC(t) feszltsg a kondenztor tltsvelkifejezve: U

C(t) = Q(t)

C. Az ramkrben foly ram I(t) = Q(t), teht az ellenllson es

feszltsg UR(t) = RI(t) = RQ(t). De e kt feszltsg sszege zrus, teht a

Q(t)

C+ RQ(t) = 0, Q(0) = Q0

differencilegyenletet kapjuk, aminek a kezdeti felttelt kielgt megoldsa:

Q(t) = Q0eCR

t.

54. Feladat: Radioaktv bomlsRadioaktv bomls sorn az idegysg alatt elbomlott atomok szma arnyos a mg el nembomlott atomok szmval. Hatrozzuk meg, hogyan vltozik az id fggvnyben a mg elnem bomlott atomok szma, valamint a minta aktivitsa (idegysgre jut bomlsok szma)!Megolds.

Legyen a mg el nem bomlott atomok szma N(t). Rvid dt id alatt elbomlott atomokszma arnyos (N(t)-vel s dt-vel, azaz N(t) N(t + dt) = N(t)dt, ahonnan N(t) = N(t)differencilegyenlethez jutunk. Ennek megoldsa: N(t) = N0et; a minta aktivitsnakidfggse pedig A(t) = N(t) = N0et.

55. Feladat: Oszlopra tekert ktl

A matrzok gy tartjk a nagy hajkat a partnl, hogy a kiktktelet elbb nhnyszora kikthz betonozott fggleges oszlopra csavarjk, s a felcsavart ktl msik vgt hz-zk. Vajon mirt teszik ezt? Mennyivel tudnak gy nagyobb ert kifejteni, mintha a kteletkzvetlenl hznk?Megolds.

Az oszlopra csavart ktl rfeszl az oszlopra, s az oszlop s a ktl kzt bred srldsier segt megtartani a hajt.Jellje az oszlop sugart R. Legyen az oszlopra csavart ktl pontjait jellemz szg ( = 0 ahaj fel es ktlpont, = 0 pedig a matrz fel es ktlpont), s legyen K() a ktelet a

szggel jellemzett pontban feszt er. (Teht K irnya az oszlop rintjbe esik.) Szemeljnkki egy -nl elhelyezked, kis d ktldarabot. E kis ktldarabra a kt vgnl K(), ill.K( + d K() er hat. A kt er irnya kzel ellenttes, a hatsvonalaik szge d.Egyszer geometriai megfontolsbl addik, hogy (d 1 esetben) a kt er eredje kzelsugr irny, s nagysga dN() K()d. Ekkora nyomernl a tapadsi srldsi ermaximuma dS() = 0dN() 0K()d. A kiszemelt d szg ktldarab nyugalombanvan, teht a r hat rint irny erk eredje zrus, azaz K() = K(+d)+dS(). Innen aktlet feszt erre, mint a felcsavarodsi szg fggvnyre a kvetkez differencilegyenletetkapjuk:

d

d

K() =

0K(); K(0) = K0,

aminek a megoldsa:K() = K0e

0.


26/93


Teht ha a matrz 0 szgben csavarja r a ktelet az oszlopra, s a ktl s az oszlop kztta tapadsi srldsi egytthat 0, akkor a matrz e0-szer kisebb er kifejtsvel kpesmegtartani a hajt.

56. Feladat: Ess nagy magassgbl a vilgrben +++Tegyk fl, hogy egy gonosz varzsl meglltan a Holdat, s az kezdsebessg nlkl szaba-don esne a Fld fel. Hogyan vltozna a FldHold tvolsg az id fggvnyben?Megolds.

Legyen a Fld tmege M, a Hold tmege m, kezdeti tvolsguk h0, s tegyk fl az egy-szersg kedvrt, hogy a Fld nem mozdul el a Hold fel. (Ez a kzelts akkor jogos, haM m.) A gravitcis llandt jellje .Amikor a Fld s a Hold tvolsga r(t), akkor a Fld ltal a Holdra kifejtett gravitcisvonzer F(r) = mM

r2, gy a Hold mozgsegyenlete:

mr(t) = mM

r2(t) .

(A negatv eljel utal arra, hogy az er vonz.) A kapott egyenlet msodrend differencil-egyenlet az r(t) fggvnyre nzve, azonban egy gyes trkkel elsrendv alakthatjuk. Szo-rozzuk meg az egyenlet mindkt oldalt r(t)-vel, s vegyk szre, hogy r(t)r(t) = 1

2ddt

r2(t)

,

valamint r(t)r2(t)

= ddt

1

r(t)

. Teht

1

2

d

dt

r2(t)

= M

d

dt

1r(t)

,

ahonnanr2(t) =

2M

r(t)+ C.

A kapott egyenlet a Holdra felrt mechanikai energiamegmarads trvnynek trendezettalakja. Autonm, szeparlhat differencilegyenlet...

57. Feladat: Lncgrbe +++

Milyen alak egy kt vgpontjban felfggesztett lnc?Megolds.

rjuk le a lnc alakjt az y(x) fggvnnyel, mely a lnc x vzszintes koordintj pontjnak

magassgt adja meg. A lncban bred er vzszintes, ill. fggleges komponenst jelljeKx(x), ill. Ky(x). Vizsgljuk a lncnak az x helyen lev kis dl hosszsg, dm = dl tmegdarabjt! ( a lnc hosszegysgre vonatkoztatott srsge.) Ez a kis lncdarab nyuga-lomban van, teht a r hat erk eredje (vzszintes s fggleges irnyban egyarnt) zrus.Vzszintes irnyban a lncra nem hat kls er, teht Kx(x) = Kx(x+dx), gy a lncot feszter vzszintes komponense lland, Kx(x) Kx. Fggleges irnyban a lncdarabra hat a(dm)g nehzsgi er, teht Ky(x + dx) Ky(x) = gdl. Ezen kvl tudjuk mg, hogy a lncmeredeksge az x pontban y(x), teht dl =

1 + y2(x)dx, valamint a lncban bred er

rint irny, azaz Ky(x) = y(x)Kx. Ezeket felhasznlva a

Kxy(x) = g1 + y2(x).


27/93


differencilegyenletet kapjuk a lnc alakjra, ami az y(x) fggvnyre nzve elsrend, auto-nm, szeparlhat egyenlet. A megoldsa:

y(x) = sh

gx

Kx+ C

, y(x) =

Kxg

ch

gx

Kx+ C

.

Ezrt hvjk sokszor a koszinusz-hiperbolikusz fggvnyt lncgrbnek.

58. Feladat: Mozgs kzegellenllssal nagy sebessgnl

Lgnem vagy folykony kzegben nagy sebessggel mozg testre a sebessg ngyzetvel ar-nyos kzegellenllsi er hat. Meg tudjuk mondani pldul, hogy leszlls utn hogyan mozoga kifutplyn az a replgp, amelyet csak a fkez ernyje fkez. A gp mozgsegyenlete:

mx(t) = x2(t),

ami x(t)-re elsrend, autonm, szeparbilis differencilegyenlet.Pldul a Fld lgkrben szabadon es test mozgsegyenlete

mh(t) = h2(t) mg.

59. Feladat: Mozgs kzegellenllssal kis sebessgnl

Taln egyszerbben megoldhat a feladat akkor, ha a kzegellenllsi er a sebessggel ar-nyos. Egy sr, viszkzus folyadkban lassan sllyed kis goly mozgsegyenlete pldul

my(t) = mg

Ffelh

y(t),

ami x(t)-re elsrend, lineris, inhomogn, lland egytthats egyenlet. (Az egyenletbenFfelh a felhajtert jelli, ami csak a test trfogattl s a folyadk fajslytl fgg lland.)


28/93

2. FGGVNYSOROK 28

2. Fggvnysorok

2.1. Hnyados- s gykkritrium (numerikus sorok)

tismteltk a numerikus sorokrl a mlt flvben tanultakat (majorns, minorns kritri-

umot is). Most a kt j kritriumot gyakoroljuk (a limeszes alakot hasznljuk, de mindktalakot eleventsk fel).

1. Feladat: Vizsglja meg az albbi sorokat konvergencia szempontjbl!

a)

n=1

9 n2

n!

Megolds. an :=9n2

n!

limn

an+1an

= limn

9(n+1)2 n!(n + 1)! 9n2

= limn

9

n + 1= 0 < 1

=

n=0

an konvergens

b)

n=1

53n

n4

Megolds. an :=53n

n4

Lehet hnyados kritrium , de jobb a gykkritrium:

limn

n

an = limn

53

n

n4= 53 lim

n1

( n

n)4 = 5

3 > 1

=

n=0

an divergens

c)

n=1(n + 1)!

nn

Megolds. an :=(n + 1)!

nn

A hnyados kritriumot alkalmazzuk:

limn

an+1an

= limn

(n + 2)! nn

(n + 1)n+1 (n + 1)!= lim

n(n + 2) nn

(n + 1)n+1=

= limn

n + 2

n + 1

n

n + 1

n= = lim

n1 + 2

n

1 + 1n

11 + 1

n

n = 1e < 1=

n=0

an konvergens


29/93

2. FGGVNYSOROK 29

2. Feladat:

n=1

(n + 5) 3n1

5n+1

Megolds.

an :=(n + 5) 3n

1

5n+1

Hnyadoskritriummal clszer dolgozni, mert a gykkritriumnl az n

n + 5 konvergenci-jt a rendrelvvel kellene megmutatni.

limn

an+1an

=(n + 6) 3n 5n+1

5n+2 (n + 5) 3n1=

3

5

n + 6

n + 5=

3

5

1 +6

n

1 +5

n

35

< 1

=

n=0

an konvergens

3. Feladat:

n=1

n4 (3n + 3)n2

(3n + 1)n2

Megolds.

Gykkritriummal:

limn

n

an = . . . = limn

( n

n)4

1 +

3/3

n

n

1 +1/3

n n 14

e

e1/3= e2/3 > 1

=

n=0

an divergens

4. Feladat:

n=1

3 + n2

2 + n2

n3n5

22n+1

Megolds.

Gykkritriummal:

limn

n

an = . . . = limn

1 + 3n2n2

1 +

2

n2

n2 ( nn)54 n2 e3

e215

4 1 =e

4< 1

=

n=0

an konvergens

5. Feladat:

Vizsglja konvergencia szempontjbl az albbi sorokat!


30/93

2. FGGVNYSOROK 30

a1)

n=0

n2 2n2 + 5

n2a2)

n=0

n2 2n2 + 5

na3)

n=0

n2 2n2 + 5

n3

Megolds. an := n2 2

n2 + 5n2

limn

an = e7 , mert . . .

a1) A sor divergens, mivel az ltalnos tag nem tart nullhoz, teht a konvergencia szk-sges felttele nem teljesl.

a2)

n=0

bn , ahol bn = n

an. Mivel limn

bn = 1 (ezt meg kell beszlni, hogy rendr-

elvvel lthat be, de nem kell megcsinlni), gy ez a sor is divergens.

a3)

n=0

cn , ahol cn = ann

A gykkritrium alkalmazsval:

limn

ncn = limn

an = e7 < 1 =

n=0

cn konvergens

6. Feladat:

n=0

2n + 3n+2 + ( 12

)n

(2n)! + 3n2+++

Megolds. cn :=2n + 3n+2 + ( 1

2)n

(2n)! + 3n2

Documents

anal2_gyak