EKONOMSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU

Seminarski rad iz predmeta: „Matematika za ekonomiste“

TEMA: „Kramerov metor rješavanja sistema linearnih

jednačina sa tri ili više nepoznatih“

1

Sarajevo, decembar 2010.

2

1. UVOD:Tema mog seminarskog rada je Kramerov metod rješavanja sistema linearnih jednačina sa tri ili više nepoznatih. Da bismo obradili ovu temu prvo se moramo pozvati na sam sistem linearnih jednačina i načine na koji se on rješava. Jedna od tih metoda ili načina je i Kramerov metod rješavanja sistema linearnih jednačina a koji se opet bazira na metodu determinanti. Ovaj metod se primjenjuje svakodnevno jer olakšava projektovanje i dr. Rješavanje problema kako u prirodi tako i u nauci. Ali prije nego vas dublje uvedemo u naš zadatak željeli bismo da kažemo nešto o čovjeku koji je osmislio ovaj metod i čije ime isti nosi.

Gabrijel Kramer (fr. Gabriel Cramer; 31. jul 1704. — 4. januar 1752) bio je švajcarski matematičar, rođen u Ženevi.Pokazao je interesovanje za matematiku veoma rano. Sa 18 godina je doktorirao, a sa 20 je bio zamjenik šefa katedre za matematiku.Godine 1728, predložio je rješenje za sanktpeterzburški paradoks, koje je bilo veoma blisko konceptu teorije očekivane korisnosti koju je dao Danijel Bernuli deset godina kasnije.Djelo po kome je najviše poznat nastalo je u njegovim četrdesetim godinama. To djelo je njegova rasprava o algebarskim krivima ("Introduction à l'analyse des lignes courbes algébraique") objavljena 1750. godine. Ono sadrži najranije dokaze da je kriva n-tog stepena određena sa n(n + 3)/2 tačaka. Uređivao je djela dva starija Bernulija. Pisao je o fizičkom uzroku sferoidnog oblika planeta i kretanju njihovih apsida (1730), kao i o Njutnovom tretiranju kubnih krivih (1746). Bio je profesor u Ženevi, a umro je u Banjol sir Sezu.Bio je sin ljekara Žana Kramera i An Male Kramer.

3

RJEŠAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

1.1 Sistemi linearnih jednačina

Problem rješavanja sistema jednačina je jedan od najčešćih problema sa kojima se susreću inženjeri i naučnici. Pri tome jednačine mogu biti algebarske, transcendentne, obične ili parcijalne diferencijalne jednačine. Također, one mogu biti i linearne ili nelinearne. Ipak, ovdje ce se obraditi samo (numeričko) rješavanje sistema linearnih jednačina. Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih se može napisati u obliku :

(1.1)

gdje xi (i = 1; 2; : : : ; n) predstavljaju nepoznate promjenljive, aij (i; j =1; 2; : : : ; n) konstantne koeficijente, a bi (i = 1; 2; : : : ; n) nehomogene članove.

4

Riješiti sistem (1.1), znači naći vrijednosti xi (i = 1; : : : ; n) koje istovremeno zadovoljavaju sve jednačine sistema. Pri tome, mogu se desiti 4 slučaja:

- Jedinstveno rješenje - sistem je određen.- Nema rješenja - sistem je protivrječan.- Beskonačan broj rješenja - sistem ima nedovoljan broj jednačina, tj. neodređen je.- Trivijalno rješenje - sistem je homogen i xi = 0 (i = 1; : : : ; n)

U rješavanju sistema linearnih algebarskih jednačina postoje dva fundamentalnorazličita pristupa:

- Direktne metode- Iterativne metode

Direktne metode predstavljaju sistematske procedure koje se zasnivaju na principu eliminacije. Za razliku od njih, iterativne metode asimptotski dovode do rješenja pomoću neke iterativne procedure u kojoj se pretpostavi neko rješenje, ono se uvrsti u sistem jednačina kako bi se dobilo odstupanje, ili greška, a zatim se na osnovu tog odstupanja, odnosno greške, dobije poboljšano rješenje.

Primjer:

Posmatrajmo jedan jednostavan sistem linearnih jednačina:

(1.2)

_________________

Iz prve jednačine možemo izraziti neku od promjenjivih preko one preostale pa za primjer izrazimo promjenjivu u funkciji promjenjive , pa dobijamo:

(1.3)

Pa taj izraz za uvrstimo u drugu jednačinu pa ćemo dobiti jednu jednačinu sa jednom promjenjivom, tj :

(1.4)

5

Sređivanjem (1.7) dobiti ćemo:

(1.5)

Pa je rješenje jednačine (1.7):

(1.6)

Sada imamo vrijednost jedne nepoznate, i uvrštavajući je u bilo koju jednačinu sistema možemo izračunati i preostalu nepoznatu. Uvrstimo je u prvu pa imamo:

(1.7)

I. NEHOMOGEN SISTEM

Nehomogen sistem je sistem jednačina gdje u bar jednoj jednačini sistema, pored članova sa nepoznatim, figuriše bar jedan član bez nepoznate različit od nule. U protivnom, sistem se zove homogen

Sistem jednačina:

je nehomogen, dok je sistem jednačina:

Homogen.

Ako je dat nehomogen sistem od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate:

6

...(1)

onda je njegovo rješenje dato Kramerovim formulama.

...(2)

Pri čemu je:

...(3)

Posmatrajući rješenja (2) napisana u obliku količnika determinanti, vidi se da su oba nazivnika D i da je ta determinanta obazovana od koeficijenta uz nepoznate. Tako formirana determinanta D zove se DETERMINANTA SISTEMA.

Determinante u brojnicima, i , dobijaju se iz determinante sistema D zamjenom koeficijenata uz traženu nepoznatu slobodnim članovima i .

Kod rješavanja nehomogenog sistema od dvije linearne jednačine sa dvije nepoznate, mogu se pojaviti sljedeći slučajevi:

1. Kada je determinanta sistema , sistem jednačina (1) ima JEDNO ODREĐENO RJEŠENJE dato Kramerovim formulama (2) bez obzira na vrijednosti i . Za jednačine takvog sistema kažemo da su SAGLASNE. Geometrijski posmatran ovaj slučaj znači da jednačine sistema (1) predstavljaju dvije prave koje se sijeku u tački:

2. Kada je determinanta sistema , a bar jedna od determinanti i različita od nule, onda sistem (1) NEMA RJEŠENJA, a za jednačine kažemo da su PROTIVRJEČNE, tj. što jedna jednačina tvrdi, to druga poriče. Geometrijski interpretiran ovaj slučaj znači da jednačine sistema predstavljaju dvije paralelne prave.

7

3. Kada je , onda sistem jednačina (1) ima BESKONAČNO MNOGO RJEŠENJA, a za jednačine kažemo da su ZAVISNE, tj. što jedna tvrdi to tvrdi i druga. Geometrijski tretiran ovaj slučaj znači da jednačine sistema (1) predstavljaju dvije prave koje se poklapaju.

Primjeri:

1) Riješiti sistem jednačina:

Rješenje:

Prvo ćemo sistem svesti na oblik (1):

Kako bi upotrijebili Kramerove formule (2), prvo moramo izračunati vrijednost determinanti ! :

Prema tome, rješenje datog sistema jednačina glasi:

S obzirom da je determinanta sistema , to je dobijeno rješenje jednoznačno, a za jednačine kažemo da su saglasne.

8

2) Riješiti sistem jednačina:

Rješenje:

Pošto je determinanta datog sistema , a to sistem jednačina nema rješenje, a za jednačine kažemo da su proturječne, jer prva jednačina tvrdi da je , dok druga to poriče i tvrdi da je

.

3) Riješiti sistem jednačina:

Rješenje:

9

Pošto je , to dati sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja, za jednačine kažemo da su zavisne. Zaista, ako prvu jednačinu podijelimo sa 3, a drugu sa 2 dobit ćemo sistem:

Kao što se vidi, ovdje se radi o jednoj jednačini sa dvije nepoznate, pa za proizvoljno x dobijamo određenu vrijednost y. Pošto to možemo učiniti na beskonačno različitih načina, zato kažemo da dati sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

II. Rješavanje nehomogenog sistema tri linearne jednačine sa tri nepoznate

Za nehomogeni sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate:

Rješenje dato Kramerovim pravilom glasi:

Pri čemu je:

10

Gdje je D determinanta sistema formirana od koeficijenata uz nepoznate, dok determinante u brojnicima dobijemo iz determinante sistema D zamjenom koeficijenata uz traženu nepoznatu slobodnim članovima

.

Na isti način se rješavaju i nelinearni sistemi sa četiri ili čak n nepoznatih kod kojih je . I u ovom slučaju koristi se Kramerovo pravilo.

Kako bi bolje razumjeli Kramerov metod rješavanja sistema linearnih jednačina morate prvenstveno da razumijete determinante. U sljedećem poglavlju objašnjene su determinante i njihova primjena u Kramerovom metodu.

Fokusirala sam se samo na ono izračunavanje koje ustvari prethodi Kramerovim formulama.

1. DETERMINANTERješavajući sistem linearnih jednačina sa dvije (i više) nepoznatih kao :

Rješenja su :

11

Nameće se potreba brojnik i nazivnik rješenja predstaviti jednostavnije pa se došlo do šeme

Koja se zove DETERMINANTA DRUGOG REDA.

Def. REZULTAT DETERMINANTE

Od proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali oduzme se proizvod na sporednoj dijagonali.

Determinanta može biti SAMO KVADRATNA, kažemo reda 2 ( 2x2 ), reda 3 ( 3x3 ), reda 4 ( 4x4 ) itd., i rezultat determinante je broj ako su njeni elementi konstante ili algebarski izraz ako su njeni elementi algebarski izrazi

DETERMINANTA TREĆEG REDA

Ima oblik:

Rješava se SARUSOVIM PRAVILOM: Od zbira proizvoda elemenata na glavnoj dijagonali i na trouglovima koji imaju jednu stranicu paralelnu glavnoj dijagonali

.Oduzimamo proizvode na sporednoj dijagonali i na vrhovima trouglova na sporednoj dijagonali

; ;

12

tj.

Ovo je pravilo TROUGLA i koristi se (važi) samo za determinante trećeg reda.Ako determinanti trećeg reda dopišemo prve dvije kolone to pravilo se može uprostiti

SARUSOVO PRAVILO GLASI:

Od zbira proizvoda na glavnoj dijagonali i dvije njene paralele oduzimaju se proizvodi na sporednoj dijagonali i njene dvije paralele.

Općenito determinanta n-tog reda ( n x n ) je :

Elementi

tj. su i- ta vrsta ili redak

Elementi

13

tj. predstavljaju j-tu kolonu ili stupac

Sarusovo pravilo vrijedi samo za determinante trećeg reda, zato je nepohodno naći pravilo za rješavanje (razvijanje) determinanata bilo kojeg reda.

LAPLASOVO PRAVILORAZVIJANJE DETERMINANTE BILO KOJEG REDA PO BILO

KOJOJ VRSTI ILI KOLONI

Radi jasnoće koristit ćemo determinante trećeg reda

Ako je

Def. Minor elementa date determinante je determinanta koja se

dobije ako se uklone vrsta i kolona elementa . (dakle uklone se i-ta vrsta i j-ta kolona)

U primjeru:

Minor od je

Minor od 32a je 11 13

3221 23

a aM a a

Def.

14

Kažemo da je element na parnom mjestu ako je zbir indeksa i+j – paran na neparnom za i+j – neparan broj

Def.MINOR elementa sa svojim znakom zove se

ALGEBARSKI KOMPLEMENT ili KOFAKTOR elementa .

tj. kofaktor elementa je :

Iz prethodnog primjera

itd.

Koristeći kofaktore možemo dati pravilo po kome svaku determinantu možemo razviti po bilo kojoj vrsti ili bilo kojoj koloni, koje se zove LAPLASOVO PRAVILO.

VRIJEDI:

Th: Vrijednost determinante jednaka je zbiru proizvoda elemenata i njihovih kofaktora jedne vrste (kolone).

Razvoj po i-toj vrsti

15

OSOBINE DETERMINANTI

Reći ćemo osobinu riječima i formulski i pokazati na determinantama drugog reda.

1. Determinanta je jednaka svojoj TRANSPONOVANOJ

Tj:

Ovaj postupak se zove transpozicija ili preklapanje preko glavne dijagonale. Determinanta dobivena transpozicijom zove se transponovana determinanta.

2. Determinanta mijenja svoj znak, ako u njoj bilo koje dvije vrste ili bilo koje dvije kolone međusobno zamjene mjesta:

vrste zamijenile mjesta

16

3. Determinanta je jednaka nuli, ako su u njoj elementi jedne vrste (odnosno kolone) jednaki sa elementima neke druge vrste (odnosno kolone):

4. Determinanta se množi ili dijeli jednim brojem k, ako se tim brojem pomnože ili podijele svi elementi jedne vrste ili jedne kolone:Ako neka vrsta (kolon) ima zajednički faktor onda se taj FAKTOR može izvući PRED determinantu:

5. Ako su u determinanti elementi jedne vrste ili jedne kolone proporcionalni sa odgovarajućim elementima druge vrste ili kolone, determinanta je jednaka nuli:

6. Ako su elementi neke vrste (kolone) svi nule determinanta je jednaka nuli:

17

7. Ako su determinanti elementi neke kolone (vrste) dati kao zbir dva sabirka (ili istog konačnog broja sabirka), tada je ona jednaka zbiru dvije determinante (ili zbiru konačnog broja determinanata) istog reda kao i data determinanta, a koje se formiraju zadržavanjem po jednog sabirka iz svakog elementa te kolone (vrste) i dopisivanjem elemenata ostalih kolona (vrsti) istim redom kao i u datoj determinanti, tj:

8. Vrijednost determinante se ne mijenja, ako elementima jedne kolone (vrste) dodamo odgovarajuće elemente ma koje kolone (vrste) pomnožene jednim istim brojem:

Dokaz sa desna na lijevo!

18

3. KRAMEROVA METODA RJEŠAVANJA SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA (METODA DETERMINANTI)

2.1. Kramerovo pravilo

Kramerova metoda rješavanja sistema od n jednačina sa n nepoznatih zasniva se na Kramerovom pravilu. Posmatrajmo sistem linearnih algebarskih jednačina, Ax=B, sa n jednačina. Kramerovo pravilo kaže da je rješenje takvog sistema dato sa

(2.1)

gdje je (Aj) matrica n x n koja se dobiva zamjenom kolone j matrice A sa kolonom vektora B. Na primjer, za sistem sa dvije algebarske jednačine:

(2.2)

Rješenje je:

i (2.3)

U ovom slučaju determinante se vrlo lako izračunaju pomoću pravila dijagonala. Međutim, za sisteme sa više jednačina to pravilo ne važi i neophodno je koristiti metodu kofaktora. Broj množenja i dijeljenja pri korištenju metode kofaktora jednak je (n-1)(n+1)!, pri čemu je n dimenzija kvadratne matrice. Lako je izračunati da je za slučaj 10 jednačina, koji predstavlja mali sistem jednačina, broj operacija jednak 360,000,000, a za samo 100 jednačina ovaj broj je reda . Očigledno je da Kramerovo pravilo nije efikasno u rješavanju velikih sistema jednačina, tako da je

19

neophodno koristiti neke druge metode. Pored metode dijagonala determinante se mogu računati i metodom razvijanja subdeterminanti po redovima ili kolonama.

2.2 Kramerova metoda za rješavanje sistema od jednačina sa nepoznatih.

Sistem opisan relacijom (1.1) je sistem jednačina kvadratnog oblika može se rješavati Kramerovom ili metodom determinanti.

U ovom slučaju matrica sistema je kvadratna matrica i tad ima determinantu

, tzv determinantu sistema (2.4)

Sa označimo determinantu dobijenu tako što u determinanti elemente te kolone zamijenimo kolonom slobodnih članova sistema ( vektora B). Tada vrijedi slijedeći teorem.

Teorem (Kramerov teorem):

1) Ako je determinanta sistema sistem (1.1) ima jedinstveno rješenje, n-torku , gdje je . Dakle, u ovom slučaju sistem je određen;2) ako je i barem jedna od determinanti , tada je sistem protivrječan;3) ako je i (tj. SVE determinante su jednake

nuli) tada jea) sistem neodređen ako je bar jedna subdeterminanta reda

determinante različita od nule;

20

b) ako je svaka subdeterminanta reda determinante jednaka nuli, a barem jedna od subdeterminanti reda determinanti različita od nule, sistem je protivrječan;

c) ako je svaka subdeterminanta reda svih determinanti jednaka nuli nastavljamo postupak pod a), b) i c) za subdeterminante jednog reda manje.

Očigledno je da je ispitivanje saglasnosti sistema u slučaju 3. Kramerovom metodom veoma komplikovano, jer je potrebno izračunati subdeterminante reda determinante , možda i sve njih (ima ih ), pa zatim subdeterminante determinanti , itd. U ovom slučaju je mnogo efikasnije koristiti neku drugu metodu za ispitivanje saglasnosti sistema.Međutim, Kramerova metoda ima i svojih prednosti. Naime, ukoliko je determinanta sistema različita od nule, nakon izračunavanja determinanti

, odmah imamo rješenje sistema.

Primjer 2. Pokažimo kako Kramerovom metodom riješiti sistem jednačina

i diskutovati njegova rješenja u zavisnosti od realnog parametra .

Rješenje:

To znači da ćemo za sve vrijednosti parametra naći rješenja sistema ili konstatovati da tih rješenja nema.Kao prvo, izračunat ćemo determinantu sistema i determinante pridružene nepoznatim. Imamo:

,

21

, .

Sada posmatramo slijedeća dva slučaja.

1. Ukoliko je , odnosno , sistem ima jedinstveno rješenje.Dakle, za i sistem ima jedinstveno rješenje. Ono je dato sa:

, ,

, tj. rješenje je uređena trojka

.

2. Ukoliko je , tada je ili ili je , pa imamo slijedeća dva podslučaja:a) Ako je , tada je , pa bi prema Kramerovom pravilu trebali za određivati subdeterminante. Međutim, jednostavnije je uvrstiti vrijednost parametra u sistem i riješiti taj sistem nekom drugom metodom (npr. Gaussovom). Za naš sistem postaje:

.

Nakon množenja prve jednačine sa -2 i -3, te njenog sabiranja sa drugom i trećom jednačinom, sistem postaje:

.

22

Kako su dvije posljednje jednačine u sistemu jednake, sistem je neodređen, ima beskonačno mnogo rješenja i svodi se na sistem

,

kod kojeg možemo jednu nepoznatu, npr. , uzeti za proizvoljnu.

Sada je , pa uvrštavanjem u prvu jednačinu dobijamo da je .Dakle, u slučaju da je sistem je neodređen i njegovo rješenje je trojka

, gdje je proizvoljno.

b) Ostalo je da pogledamo šta se događa sa sistemom kada je . Tada je, očigledno, , pa je sistem, na osnovu Kramerove teoreme protivrječan, tj. nema rješenja.

23

4. ZADACI

Zadatak 1.

Determinanta sistema:

Razvijamo po prvoj koloni!

Determinanta od x:

Razvijamo po prvoj koloni!

Determinanta od y:

Razvijamo po prvoj koloni!

24

Determinanta od z:

Razvijanje po prvoj koloni!

Zadatak 2.Ako je x=1, y=2,z=3 sljedeće jednačine će biti tačne. Provjerimo to sistemom od tri jednačine sa tri nepoznate koji ćemo rješavati Kramerovom metodom.

Determinanta sistema :

25

Razvijanje po prvom redu!

Determinanta x:

Razvijanje po prvoj koloni!

Determinanta y:

Razvijanje po drugoj koloni!

Determinanta z :

Razvijanje po 3. koloni!

26

Zadatak 3.

Sa parametrima

Riješiti sistem u zavisnosti od parametara i diskutovati rješenje!

Determinanta sistema:

Determinanta od x:

Determinanta od y:

27

28

Determinanta od z:

1. Za tj. i sistem ima jedinstveno rješenje, a jednačine su saglasne.

2. Za proizvoljno, imamo da je , pa je sistem neodređen i ima beskonačno mnogo rješenja, a za jednačine kažemo da su zavisne.

3. Za proizvoljno, imamo da je:

Pa mogu nastupiti sljedeći slučajevi:

a) Za sistem nema rješenja jer jednačine postaju proturječne.

b) Za je , pa dati sistem jednačina je neodređen i ima beskonačno mnogo rješenja, a jednačine su zavisne.

29

Zadatak 4.

Riješiti sistem jednačina:

I dobiveno rješenje diskutovati u zavisnosti od parametara a i c.

Rješenje:

1. Za sistem ima jedno određeno rješenje, a jednačine su saglasne

30

2. Za sistem se svodi na sistem:

Pa je sistem zavisan i ima beskonačno mnogo rješenja.

3. Za sistem nema rješenje, a jednačine su proturječne.

4. Za sistem se svodi na jednačinu :

Odakle slijedi da je :

proizvoljni.

Zadatak 5.

Riješiti sistem jednačina!

Determinanta sistema:

Rješavamo po prvoj koloni!

31

Determinanta od x:

Rješavamo po prvoj koloni!

Determinanta od y:

Rješavamo po prvoj koloni!

Determinanta od z:

Rješavamo po prvoj koloni!

32

Zadatak 6.

Riješiti sistem jednačina:

_____________________

Rješavamo po prvoj koloni!:

Determinanta sistema:

Determinanta od t:

33

Determinanta od y:

Determinanta od z:

Determinanta od t:

Prema tome:

; ; ;

34

Zadatak 7:

Izračunati vrijednost varijabale y iz sistema jednačina:

_________________

Rješavamo po prvoj koloni:

Determinanta sistema:

Determinanta od y:

Prema tome:

35

Zadatak 8:

Dokazati da sistem ima beskonačno mnogo riješenja

Vidimo da su sve determinante jednake nuli pa možemo konstatovati da sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

36

Zadatak 9:

Rješavamo Sarusovim pravilom!

37

Vidimo da je determinanta sistema jednaka nuli i da postoji bar jedna determinanta različita od nule (determinante promjenjivih y i v) pa možemo konstatovati da sistem nije saglasan i da su jednačine proturječne.

38

ZAKLJUČAK:

Bilo da se nešto projektuje, gradi, analizira kako u prirodi tako i u nauci uvijek se pokušava opisati matematičkim modelom. Pri projektovanju se prvo pravi model a taj model opisan je sistemom jednačina u kojima figurišu karakteristične veličine kao promjenjive. Kod komplikovanih modela, modeliranje se lakše opisuje rješavajući sistem Kramerovom metodom tj. metodom determinanti. Na taj način brže i lakše dolazimo do rješenja nego da smo ih rješavali postepeno nekom drugom metodom. Što nam jasno govori kako Kramerov metod ustvari povećava efikasnost i štedi vrijeme ujedno tačno rješavajući date probleme.

Bilo nam je zanimljivo saznanje da baš determinante možemo koristiti kao budući marketeri i ekonomisti pri istraživanju tržišta kao i u vođenju preduzeća te pri izračunavanju različitih varijabli koje figurišu u različitim sistemima, a koje su od ekonomskog značaja. Doktor Jurica Pavičić s Ekonomskog fakulteta, Sveučilišta u Zagrebu, detaljnije je objasnio i razradio ovu temu.

39

LITERATURA:

JOVIĆEVIĆ, Miodrag i LUČIĆ, Blagota. Matematika za ekonomiste. 2. izd. Sarajevo: Udžbenici, priručnici i didaktička sredstva; 1991. 375 str. ISBN: 86-25-00033-9

Zbirka riješenih zadataka iz matematike:V.Stojanović, Matematika za gimnazije i stručne škole:Miličić-Stojanović-

Kalderburg-Boričić www.google.ba www.etf.unsa.ba

40