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O
A
B
ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
0º < < 180º 0º < < 180º
0º < < 90º0º < < 90º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
a.1) ÁNGULO AGUDO
= 90º = 90º
90º < < 180º 90º < < 180º
a.2) ÁNGULO RECTO
a.3) ÁNGULO OBTUSO
= 90º = 90º
+ = 180º + = 180º
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
Puede formar más ángulosUn lado común
01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°
04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180°
05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
1 2
34
5 6
78
+ + = x + y + + = x + y
x
y
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
+ + + + = 180° + + + + = 180°
02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
+ = 180° + = 180°
03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°X = 90°
RESOLUCIÓN
Problema Nº 01
La estructura según el enunciado:
Desarrollando se obtiene:
Luego se reduce a:
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
Sean los ángulos: y + = 80° Dato: = 80° - ( 1 )
( 90° - ) = 2 ( 2 )
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - ) = 2 ( 80° - )
90° - = 160° -2
= 10°
= 70°
- = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
Dato:
Diferencia de las medidas
Resolviendo
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.
Sean los ángulos: y
( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )
( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )
Resolviendo: (1) y (2)
+ = 50° - = 10°
(+)
2 = 60°
= 30°
= 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.
A B
O C
M
60°
20°X
De la figura:
= 60° - 20°
Luego:
X = 40° - 20°
= 40°
X = 20°X = 20°
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.
A
O
B
C
X
(- X)
( + X) ( - X) = 30º
2X=30º
X = 15°X = 15°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
M
Construcción de la gráfica según el enunciado
Del enunciado:
AOB - OBC = 30°
-
Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
A
C
B
D
M
N
X
De la figura:
2 + = 90° + 2 = 90°
( + )
2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°
X = + + X = + +
X = 90°X = 90°
Problema Nº 06
RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
80°
30°
X
m
n
Problema Nº 07
2 + 2 = 80° + 30°
Por la propiedad
Propiedad del cuadrilátero cóncavo
+ = 55° (1)
80° = + + X (2)
Reemplazando (1) en (2)
80° = 55° + X
X = 25°X = 25°
80°
30°
X
m
n
RESOLUCIÓN
Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X”
5
4 65°
X
m
n
Problema Nº 08
5
4 65°
X
m
n
Por la propiedad:
4 + 5 = 90°
= 10° = 10°
Ángulo exterior del triángulo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°X = 105°
RESOLUCIÓN
Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”
2
x
m
n
2
Problema Nº 01
3 + 3 = 180°
+ = 60° + = 60°
Ángulos entre líneas poligonales
X = + X = 60° X = 60°
RESOLUCIÓN
2
x
m
n
2
x
Ángulos conjugados internos
PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x
4x
3x L1
L2
m
n
30°
X
PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3
33
m
n
PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
2x
m
n
PROBLEMA 05.- Calcule la m x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3
6
x
4
4
Xm
n
PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m x
88°
24°
x
m
n
PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m x
20°
30°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
PROBLEMA 09.-Si m//n y - = 80°. Calcule la mx
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
x
m
n
PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n
PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2
2m
n
PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
x
80°
m
n
PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°
m
n
x
REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º
