ANTOLOGIA Orientaciones Didácticas Para El Nivel Inicial

7/25/2019 ANTOLOGIA Orientaciones Didcticas Para El Nivel Inicial

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PENSAMIENTO MATEMTICO

La enseanza de la matemtica en el nivelinicial 2Mara Emilia Quaranta

La serie numrica ral !"Mara Emilia Quaranta

Ls #rcedimients de cnte$ al%unas#r#uestas #ara su enseanza 2&Mara Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno

El tra'a( cn ls n)mers escrits en el nivelinicial *+Mara Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de Moreno

Ls nis , la resluci-n de #r'lemas .*

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/e#resentacines s're el #a#el en ela#rendiza(e , la enseanza de la matemtica

!"0

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Orientaciones didcticas para el nivel inicial - 1a parte -

La enseanzade la matemtica en el nivelinicialMara Emilia Quaranta

1Pr u ensear matemtica en el nivel inicial3

Si el nivel inicial asume, entre sus unciones, la transmisi!n de conocimientos"ue retomen, amplen y proundicen los aprendiza#es e$traescolares de losni%os y la sociedad &a relevado entre tales conocimientos a un con#unto desa'eres matemticos, podramos pre(untarnos, )cul es el sentido ormativode incluir tales sa'eres en la escena de los #ardines* En otros t+rminos, )por"u+ consideramos "ue es importante ense%ar matemtica a los alumnos delnivel inicial*

omenzar a transitar con los alumnos el recorrido de los aprendiza#esmatemticos implicar introducirlos en un modo particular de &acer y producirconocimiento "ue &a sido ela'orado por la cultura .esde esta perspectiva nosinteresa undamentalmente or(anizar la ense%anza de la matemtica en elnivel

En eecto, /&acer matemtica0 supone "ue los ni%os resuelvan pro'lemas, adelanten posi'les soluciones, prue'en, se e"uivo"uen, corri#an intentos allidos, comuni"uen a sus pares modos de resolver, consideren las resoluciones o armaciones de otros3 discutan, deendan posiciones, intenten mostrar la incorrecci!n de un

procedimiento o armaci!n3 esta'lezcan al(unos acuerdos

Se tratar pues de crear en las salas las condiciones didcticas "ue propiciendierentes momentos donde puedan ir teniendo lu(ar y desarrollndoseal(unos de los aspectos del uncionamiento matemtico mencionados

4i5erentes cnce#cines ue 6an sstenid la enseanzamatemtica en el nivel

Se &an dado dierentes respuestas 4"ue no coinciden con la "ue enunciamos alinterro(ante acerca de las razones por las cuales ense%ar matemtica a losalumnos de #ardn, dierentes concepciones &an sostenido o a5n sostienen lanecesidad de ense%ar contenidos de esta disciplina en el nivel inicial 6continuaci!n analizaremos 'revemente al(unas "ue &an co'rado 4y a5nconservan- una uerza particular Entre ellas, se &a undamentado la inclusi!nde conocimientos matemticos en el nivel 'uscando desarrollar la inteli(enciainantil

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8o ense%amos matemtica para desarrollar la inteli(encia ni para avorecer eldesarrollo operatorio

)Ense%amos matemtica en los 9ardines para desarrollar la inteli(encia de losni%os* En principio, &a'ra "ue revisar "u+ entendemos por inteli(encia :orotra parte, creemos "ue, en 5ltima instancia, todos los aprendiza#es escolares

a'onan de al(una manera el desarrollo intelectual y "ue este 5ltimo noconstituye en s mismo un o'#etivo de la ense%anza en nin(uno de sus niveles

.esde a"uella perspectiva "ue 'usca'a el desarrollo de la inteli(encia inantil,una posici!n muy e$tendida &a 'asado la ense%anza matemtica en el 9ardnen la nalidad de avorecer el desarrollo de las operaciones intelectuales "uesu'yacen a la conservaci!n de las cantidades 6s, durante muc&o tiempo,&emos propuesto undamentalmente 4y, muc&as veces, e$clusivamente- anuestros alumnos realizar tareas de clasicaciones y seriaciones ;consideradascomo actividades /prenum+ricas0< y a5n &oy pueden encontrarse materialesimpresos centrados en esta propuesta

8o vamos a detenernos a"u a analizar esta perspectiva pero &oy, desde losavances de la investi(aci!n en didctica de la matemtica, contamos cons!lidos elementos para poner en tela de #uicio el tra'a#o "ue venamosrealizando y "ue &an lle(ado a convertirse casi como en actividades/naturalizadas0 en los 9ardines Muy 'revemente mencionaremos un par decuestiones

:or un lado, las conservaciones pia(etianas constituyen nociones "ue nodependen de la intervenci!n escolar, es decir van a desarrollarse en losintercam'ios de los ni%os con su am'iente :or otro lado, la conservaci!n delas cantidades discretas no a(ota los conocimientos num+ricos ni constituyeuna condici!n para "ue puedan desarrollarse una serie amplia y comple#a de

conocimientos num+ricos "ue comienzan a construirse desde muy tempranaedad tales como la serie oral, los procedimientos de conteo, los conocimientosso're las escrituras num+ricas, el uncionamiento de los n5meros en dierentesconte$tos, etc y so're los cuales s puede incidir decisivamente la ense%anzapara enri"uecerlos, ampliarlos, &acerlos avanzar :ara proundizar en unanlisis crtico al respecto, remitimos al lector a O== ;1>?7>A>


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consecuencia, el tra'a#o matemtico en las dierentes secciones no puederestrin(irse a clasicar, seriar, poner en correspondencia, o contar coleccionesmuy pe"ue%as

N enseams matemtica #ara #re#arar a ls alumns #ara laescuela #rimaria

)Se tratar de prepararlos para el primer a%o de EDB* =a inclusi!n decontenidos matemticos en el nivel inicial se &a entendido muc&as veces comosi se tratara de &acer antes al(o de lo "ue usualmente se &ace en la escuela'sica Se comenzaron a presentar los n5meros de uno en uno y en orden, conuna uerte centraci!n en su trazado 6s, veamos a los alumnos caminar so'rela escritura del 7 so're el piso del patio, lue(o picar so're un 7 escrito en una&o#a, repetirlo una cantidad de veces, escri'irlo #unto a dierentes coleccionesde tres elementos, etc

Este no es el lu(ar para a'ordar crticamente la ense%anza &a'itual de lasescrituras num+ricas pero s "ueremos mencionar "ue no se trata de

/adelantar0 las cosas "ue se venan &aciendo en la escuela primaria Si 'ien escierto "ue todo nivel de ense%anza recupera los conocimientos de los "ue se&an ocupado los niveles anteriores y prepara para los si(uientes, se trata de'uscar razones "ue nos se%alen la necesidad de incluir contenidosmatemticos "ue sea posi'le e interese a'ordar especcamente en el nivelinicial

N enseams matemtica s-l #ara transmitir a ls alumnscncimients #ara la vida ctidiana7

)Se tratar entonces de ense%arles los conocimientos matemticos "uenecesitarn para mane#arse en su vida cotidiana* Otra respuesta al

interro(ante "ue plante'amos al comienzo &a lle(ado a sostener "ue lainclusi!n de un sector de la matemtica en la ense%anza reside 'sicamenteen "ue se trata de conocimientos 5tiles

6&ora 'ien, la utilidad prctica como 5nico o principal criterio es peli(roso porvarios motivos Entre ellos, por"ue de ese modo se est colocando al resultadode esta actividad ;los conceptos< como 5nico elemento central y a la actividadmisma en se(undo plano ;Bouc&e et al, 1>>12


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6&ora 'ien, veamos c!mo se en(arza esta intenci!n con los procesosconstructivos "ue involucran conocimientos matemticos "ue vienendesarrollando los ni%os en sus intercam'ios e$traescolares

18u sa'en ls nis3 1Cul es el #a#el del (ard9n 5rente aess cncimients3

Ga es ampliamente aceptado "ue, independientemente del #ardn, los ni%osconstruyen, en su actividad amiliar o cotidiana, una diversidad deconocimientos acerca de los n5meros, el espacio, las ormas y las medidasEstos conocimientos son 'ien diversos entre los dierentes alumnos "uecomparten una sala, no s!lo en cuanto a su e$tensi!n sino tam'i+n en cuantoa los tipos de pro'lemas en los cuales pueden ser utilizados

:or e#emplo, los conocimientos reeridos al conteo varan de acuerdo a la

cantidad de elementos "ue los ni%os pueden lle(ar a contar respetando lacorrespondencia entre cada o'#eto y el nom're de un n5mero, pero tam'i+nvaran de acuerdo a cules son las dierentes situaciones en las "ue el alumnopuede usar el conteo como instrumento de soluci!n Esto es as por"ue, a loso#os de los ni%os "ue estn aprendiendo, no es lo mismo tener "ue contar dos(rupos de cartas para compararlas y sa'er "ui+n tiene ms3 "ue tener "uecontar dos (rupos de cartas para i(ualarlas 4esto es, &acer "ue am'os (ruposlle(uen a tener la misma cantidad de cartas-, etc Campoco es lo mismo contaruna colecci!n donde puedo desplazar sus elementos y, por lo tanto, es mscil controlar los elementos ya contados de los "ue restan por contar, "ue&acerlo con una colecci!n donde no puedo desplazar sus elementos, so'retodo si +stos no tienen una or(anizaci!n espacial "ue acilite dic&o control

acerca de lo ya contado y lo no contado

Esta diversidad de conocimientos se ela'ora a prop!sito de situaciones "ueenrentan y determinan espacios de la e$periencia acerca de los cuales losni%os se interro(an y respecto de los cuales comienzan a ormularse ideasori(inales

:or supuesto, las interacciones con los otros, pares y adultos, en el seno detales situaciones y de los conocimientos "ue en ellas se utilizan, no son a#enasa este proceso de construcci!n 6s, por e#emplo, los ni%os pueden participar desituaciones donde se recurra al conteo para determinar /cuntos &ay0 ycomenzarn a ormularse ideas acerca del papel de los n5meros y el conteo

para determinar el cardinal de una colecci!n7

3 o pueden participar tam'i+n ensituaciones en las cuales se &a(a reerencia a precios y comienzan aormularse ideas acerca de cul ser mayor o menor

6&ora 'ien, )cul es el papel de la instituci!n escolar rente a estosconocimientos* Se(uramente, se trata de partir de reconocer su e$istencia y

7umral Fu G#rsa la canti$a$ $ una colccin.

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considerarlos en la propuesta peda(!(ica Sin em'ar(o, a'rir las puertas de lassalas a los conocimientos matemticos "ue poseen los alumnos, si 'ien es unacondici!n necesaria para el tra'a#o didctico "ue se propone, no constituye sunalidad =imitarse a recuperar lo "ue los alumnos ya sa'en implicara ne(ar launci!n del 8ivel Inicial "ue mencion'amos al comienzo en tanto transmisorde un sector de la cultura Se trata entonces de recuperar los conocimientos

num+ricos, espaciales, so're las ormas y las medidas "ue construyen los ni%osen su am'iente amiliar para e$tenderlos, proundizarlos y ampliarlos

):or "u+ la escuela de'e &acerse car(o de estos sa'eres* :or"ue de &ec&oorman parte de los conocimientos "ue los ni%os comienzan a construir en susinteracciones con el am'iente "ue los rodea En consecuencia, si orman partede las ideas "ue los c&icos se ormulan acerca de la naturaleza y eluncionamiento de ciertos o'#etos sicos y culturales y, adems, constituyenun sector de la cultura recortado por la sociedad como importante de sertransmitido a las uturas (eneraciones 4por el acceso "ue permite a otrosconocimientos, por la interpretaci!n "ue permite &acia ciertas parcelas de larealidad, por el acceso a una orma particular de pensamiento y producci!n de

conocimiento-, pareceran tener un espacio "ue ocupar dentro de laspropuestas de ense%anza en el nivel inicial

En esta direcci!n, el .ise%o urricular de la :rovincia de Buenos 6ires para elnivel inicial se propone recuperar y &acer avanzar los conocimientosmatemticos de los cuales disponen los alumnos acerca de

- onocimientos num+ricos relativos aA

El uncionamiento de los n5meros en dierentes tipos de pro'lemas yconte$tos

El uso y la comprensi!n de la serie num+rica oral y su utilizaci!n enprocedimientos de conteo

El uso y la comprensi!n del sistema de numeraci!n escrito

- onocimientos espaciales relativos a =a u'icaci!n espacial y los desplazamientos propios y de dierentes

o'#etos, #unto con la necesidad de consideraci!n de puntos dereerencia

=a producci!n e interpretaci!n de comunicaciones relativas a posicionesy recorridos

=os dierentes puntos de vista desde los cuales puede ser o'servado uno'#eto o situaci!n

- onocimientos (eom+tricos relativos a =as ormas de (uras =as ormas de cuerpos

- onocimientos relativos a las mediciones y las medidas convencionales y noconvencionales

A Por su#usto, los trs as#ctos Fu s mncionan a continuacin s a7or$ar4n simult4namnt.

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.esde ya, para poder dar cuenta del valor de ense%ar matemtica en lasinstituciones escolares es necesario precisar "u+ matemtica y "u+ ense%anza

Se 'usca proponer pro'lemas "ue involucren dierentes aspectos de estosconocimientos como &erramientas de soluci!n, pro'lemas "ue sern el puntode partida para reKe$iones posteriores

1C-m tra'a(ar en matemtica en el nivel inicial3 1A uestams denminand :#r'lema;3

:ara "ue una situaci!n constituya un pro'lema de'e reunir una serie decondiciones Es necesario

* Que comporte una nalidad desde el punto de vista del alumno, esto es"ue el ni%o advierta "ue tiene al(o "ue alcanzar y en "u+ consiste esameta 6l(unos e#emplos

Craer #usto la cantidad de vestidos para vestir un (rupo de mu%ecas =o(rar "ue un compa%ero pueda reproducir una construcci!n con unas(uras (eom+tricas dadas para lo cual de'er transmitir con la mayorprecisi!n posi'le cules son las (uras y en "u+ posici!n de'e u'icarlasunas en relaci!n con otras

6notar el punta#e de las sucesivas vueltas de un #ue(o para no olvidarloF

* Que no le resulte tan dicil de modo "ue, con los conocimientosdisponi'les, el ni%o pueda comenzar un proceso de '5s"ueda desoluci!n G, sin em'ar(o, al mismo tiempo,

* Que los conocimientos de los cuales dispone, no le resulten sucientespara "ue encuentre la respuesta a la situaci!n de manera inmediata Es

decir, el pro'lema tendr "ue proponer un desao intelectual al alumnoy, para "ue una situaci!n resulte desaante, es necesario "ue opon(aal(una dicultad a "uien intenta resolverla, "ue de'a construir lasoluci!n

* Que la soluci!n pueda alcanzarse a trav+s de dierentes procedimientos

18u ti# de tra'a( cn ests #r'lemas estams 'uscandinstalar en las salas3

F ' a$2irt, n ca$a un $ los &m#los, Fu las situacions in2olucran una Hinali$a$ #ara l alumnoin$#n$intmnt $ la Hinali$a$ $i$4ctica Fu tnga #ara l $ocnt:* n l #rimr &m#lo, mintras la Hinali$a$$i$4ctica consist n =acr usar l conto como rcurso $ solucin " =acrlo 2olucionar, la Hinali$a$ #ara l alumnoconsist n trar &usto la canti$a$ $ 2sti$os5D* n l sgun$o &m#lo, mintras la Hinali$a$ $i$4ctica consist n =acr G#licitar caractrsticas $ las Higurasgom!tricas, la Hinali$a$ $s$ l #unto $ 2ista $l alumno consist n lograr Fu su com#a@ro r#ro$u%ca laconstruccin lo m4s Hilmnt #osi7lD* n l trcr &m#lo, la Hinali$a$ $i$4ctica #o$ra =a7r consisti$o n 7uscar una situacin $ uso $ los nImros scritosFu rFuiris $ la #ro$uccin $ scrituras num!ricas, la Hinali$a$ $s$ l #unto $ 2ista $ los alumnos consist nanotar #ara no ol2i$ars los #unta&s Fu 2an o7tnin$o n ca$a 2ulta.

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El tra'a#o de resoluci!n, donde los ni%os intenten 'uscar una respuesta alpro'lema a partir de lo "ue sa'en, ser el punto de partida para "ue puedancomenzar a instalarse al(unos momentos donde los alumnos comuni"uen susprocedimientos al resto de la sala, discutan acerca de al(unas cuestiones deltra'a#o realizado :or e#emplo, rente a la conrontaci!n de dierentesprocedimientos en una situaci!n donde se trata de ir a 'uscar la cantidad #usta

de &o#as para di'u#ar para cada mesa 4o a prop!sito de la situaci!n de losvestidos mencionada-, podemos escuc&ar por parte de los c&icos al(unas delas si(uientes armaciones /en lu(ar de a(arrar un mont!n, es me#orcontarlos0, o /vos contaste dos veces a 9oa"un, &ay "ue contarlo una solavez0, /te olvidaste de eleste0, etc

En ese intercam'io, conducido por el maestro, +ste podr orecer inormaci!nvinculada con los conocimientos "ue se &an puesto en #ue(o y podr tam'i+n irrecuperando las conclusiones a las "ue &a lle(ado el (rupo 4muc&as vecesprovisorias-, como por e#emplo /.i#eron "ue contar los c&icos les serva parasa'er cuntas &o#as &a'a "ue traer03 o tam'i+n /"ue para contar los c&icos ;olas &o#as< no &a'a "ue olvidarse de nin(uno0, etc, conclusiones "ue se podrn

retomar rente a nuevas situaciones

Al%unas cnsideracines res#ect a las actividades ctidianas ,ls (ue%s

Reci+n mencionamos un e#emplo relativo a una situaci!n cotidiana de la sala:or cierto, las actividades de rutina permiten muc&as veces 'uenasoportunidades para plantear pro'lemas matemticos a los alumnos 8oo'stante, por un lado, ser necesario ser cuidadosos de "ue realmenteestemos planteando un pro'lema "ue los alumnos intenten resolver con suspropios recursos ;en ese caso, &a'r "ue tam'i+n considerar si disponen de undominio de la serie num+rica oral "ue les permita tratar de utilizarla pararesolver esa situaci!n< y no siempre 4o casi siempre- a trav+s de unprocedimiento indicado por la maestra ;como sera si les &acemos col(ar uncartelito por cada alumno presente, o les mostramos directamente c!mocontarse, etc>>H


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(uras (eom+tricas ms simplesJ, eectivamente &ar intervenir un anlisis delas (uras y de c!mo se pueden componer para dar lu(ar a otras

O tam'i+n, el #ue(o de la Duerra con cartas, &ar intervenir criterios paracomparar escrituras num+ricas, o comparaci!n de cantidades en el caso en"ue se tra'a#e con cartas con las colecciones di'u#adas en lu(ar de los

n5meros escritos =ue(o, podr or(anizarse un espacio donde se comenten ydiscutan los criterios utilizados Lemos "ue no es el #ue(o en s mismo a lo "ueestamos apuntando como posi'le situaci!n de ense%anza matemtica sino alos pro'lemas "ue al(unos #ue(os permiten plantear

:or supuesto, los conocimientos 'uscados no aparecen m(icamente, sere"uerir de situaciones "ue los &a(an uncionar y de intervenciones docentes"ue &a'iliten su aparici!n y promuevan su diusi!n dentro de la sala, sudiscusi!n y avance .e ello nos ocuparemos en pr!$imos documentos

6 trav+s de estas idas y vueltas entre resoluciones y anlisis de lo realizado, se'usca al mismo tiempo comenzar a introducir a los ni%os 4reiteramos- en el

uncionamiento del conocimiento matemtico

En sntesis, el inter+s de las situaciones "ue se propon(an para la ense%anza,ya sean a partir de las actividades de rutina del #ardn, de #ue(os, de la /vidacotidiana0, insertas en proyectos, dentro de las unidades didcticas, o comosituaciones especcas planicadas para el tratamiento de determinadocontenido, de'er ser analizado desde el punto de vista de los pro'lemas "uepermitan plantear Esto es, desde el punto de vista de los conocimientos "uere"uieran para ser solucionados, de las posi'ilidades de los ni%os de comenzaral(5n intento 4aun"ue errado, incompleto, etc- de soluci!n, de lasposi'ilidades de (enerar intercam'ios, de or(anizar al(una instancia dereKe$i!n colectiva3 en una pala'ra, de la posi'ilidad de incluirlos dentro del

uncionamiento matemtico "ue estamos 'uscando caracterizar

Nuevamente< 1u es :6acer matemtica; en las salas3

)ules son los elementos constitutivos de este uncionamiento "ue 'uscamosrecuperar tam'i+n para la ense%anza a los c&icos de #ardn* omose%al'amos al comienzo, la actividad matemtica consiste 'sicamente en'5s"uedas personales y compartidas de soluci!n a pro'lemas, anticipaciones,tanteos, comunicaci!n de lo realizado a otros, intentos de ar(umentar a avorde cierta soluci!n o en contra de otra, anlisis de errores, revisiones yesta'lecimiento de acuerdos dentro del (rupo Instalando al(unos momentosdonde pueda desarrollarse al(o de esta actividad, se 'usca (enerar en lassalas un modo de tra'a#o en cierto sentido anlo(o al "ue realizan losmatemticos en el desarrollo de su tarea ;BRO@SSE6@, 1>?H3 6R86G,1>>A?

@no de los primeros conocimientos num+ricos "ue los adultos recuentementereconocemos en los ni%os pe"ue%os consiste en el recitado de una porci!n/ms o menos e$tendida0 de la serie de los n5meros .urante muc&o tiempo,

se interpretaron estas escenas como an+cdotas (raciosas de ni%os "ue nosa'an contar y esta'an tratando de imitar a adultos o &ermanos mayores Enel m'ito docente creamos "ue, mientras estas reerencias a los n5meros noestuvieran al menos acompa%adas del conocimiento de a "u+ cantidad esta'an&aciendo reerencia ;es decir, "ue estos c&icos pudieran identicar /oc&o deal(una cosa0 dentro de cada decena y repite n5meros "ue ya &a nom'rado, menciona

1> :ara evitar transcri'ir toda la serie, se utiliza la convenci!n (rca P para indicar "ue la porci!ncomprendida entre los n5meros mencionados ue recitada convencionalmente

1>


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varios de los /veinte0 se(uidos :arecera &a'er descu'ierto "ue /se dicenvarios de la misma clase se(uidos0

Leamos otros errores "ue cometen los alumnos al nom'rar los n5meros =ose#emplos si(uientes se reeren a errores dentro de la decena del 1,especialmente para los n5meros entre 11 y 1F

9oa"un uno, P, diez, dieciuno, diecid!s, diecitr+s8icols uno, P, catorce, dieci"uince, diecinueveamila uno, P, catorce, once, doce, diecis+is, diecioc&o, diecinueve

uando 9oa"un dice dieciuno, diecid!s, pone de maniesto "ue &adescu'ierto una re(ularidad de nuestro sistema ;aun"ue no pueda e$plicitarla, nos muestra "ue &adescu'ierto "ue, despu+s del 2>, &ay al(o "ue se reinicia ;da el nom're de unnudo de decena y reitera la secuencia del 1 al >


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Leamos otros e#emplos donde los ni%os evidencian &a'er descu'ierto la re(ladel cam'io de decenas despu+s del >

Mara uno, P, veintinueve ;mira a la maestra y"ue all se incluye una cate(ora particular de nom'res de n5meros, los nudos

de las decenas ;n5meros /redondos0 13 23 73 etc


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so're(eneralizada de re(las3 las re(las reKe#an las e$periencias de los ni%os3 yson construidas como resultado de un intento por /comprender0 2

)ules son las venta#as de ir descu'riendo las re(ularidades propias de laor(anizaci!n de nuestra numeraci!n &a'lada* Dracias a la or(anizaci!n de lanumeraci!n oral, no es necesario aprender un nom're dierente para cada

n5mero sino "ue 'asta recordar un con#unto de pala'ras y conocer las re(lasdel sistema para or(anizar los dierentes n5meros Sin la comprensi!n de laor(anizaci!n de los n5meros, decir la serie sera como tener "ue recordar unlistado de nom'res de memoria y siempre en el mismo orden /estorepresentara todo un reto para nuestra memoria si, durante el curso de la&istoria, las culturas no &u'ieran ideado soluciones para este pro'lema =amayora de los sistemas de conteo se encuentran or(anizados de orma tal "uedecir las pala'ras num+ricas en un orden #o se vuelve una tarea sumamentesencilla uando entendemos la l!(ica de un sistema de numeraci!n, podemosormar n5meros "ue nunca antes &a'amos odo021

:or supuesto, esta enorme economa posi'ilitada por la or(anizaci!n de lanumeraci!n es tal para "uienes ya poseen cierto dominio so're ella Sus re(lassern descu'iertas por nuestros ni%os paulatinamente, a partir de diversassituaciones en las cuales se utilice y se reKe$ione acerca de ellas

=os avances en el recitado de la serie num+rica oral =os ni%os se enrentandesde muy temprano con dos pro'lemas centrales en relaci!n con la serienum+rica oral &ay muc&os n5meros "ue aprender y de'en ser dic&os en unorden determinado Se(5n Dins'ur(,22resuelven el primer pro'lemaaprendiendo porciones de la serie num+rica oral on respecto al se(undopro'lema, se resuelve (radualmente descu'riendo re(ularidades en la serie:or supuesto, los avances en el descu'rimiento de las re(las "ue or(anizan laserie num+rica tam'i+n permiten avances en el n5mero de la serie &asta elcual pueden contar convencionalmente Es decir, los pro(resos rente a am'ospro'lemas se nutren mutuamente

6l(unos autores sostienen "ue, en un principio, la serie de los primerosn5meros se aprendera del mismo modo "ue se memoriza una canci!n de lacual no s!lo se de'en recordar las pala'ras sino tam'i+n su orden 6s,alrededor de los 7 a%os, los ni%os dicen los primeros n5meros de maneraconvencional

:or supuesto, e$isten muc&as dierencias individuales en relaci!n con elrecitado de la serie en los ni%os pe"ue%os as como tam'i+n con el resto deconocimientos num+ricos al(unos pueden contar convencionalmente &asta unn5mero mayor "ue otros

2 Dins'ur(, , &ildrens 6rit&metic oT t&ey learn it and &oT you teac& it Ce$as, :ro-ed, 1>?>, p 2>

21 8unes, C y Bryant, :, =as matemticas y su aplicaci!n =a perspectiva del ni%o, M+$ico, Si(lo UUI, 1>>J

22 Duins'ur(, o' cit

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Estos conocimientos no se encuentran asociados en a'soluto a nin(5nindicador de posi'ilidades intelectuales, de aprendiza#e, de predicci!n dedesempe%o escolar, etc S!lo son construcciones "ue &an sido posi'les enunci!n de prcticas en relaci!n con actividades num+ricas de las cuales &anparticipado estos ni%os El #ardn de inantes de'er proporcionarlesoportunidades anlo(as a "uienes no las &ayan tenido y nuevas oportunidades

a todos, de modo de poder ampliar el &orizonte de las situaciones donde seinvolucran los n5meros

Es pro'a'le "ue los ni%os aprendan a recitar los primeros n5meros dememoria, pero muy pronto comienzan sus intentos por comprender c!mo estnor(anizados .e esa manera, al mismo tiempo "ue ad"uieren la serie oral,construyen ideas acerca de ella los n5meros son pala'ras especiales, de'endecirse en un orden determinado, sin saltearse nin(uno, se de'e comenzardesde uno, etc27

:or otra parte, los avances en el aprendiza#e de la serie num+rica oral noconsisten 5nicamente en e$tender la porci!n de la serie "ue pueden nom'rar

convencionalmente Cam'i+n se reeren a un mayor dominio en su uso, a unamayor Ke$i'ilidad (racias a lo cual, paulatinamente, pueden, por e#emplo .etenerse en un n5mero determinado, es decir, controlar el n5mero en

el cual se detendrn Es com5n "ue muc&os c&icos, cuando se les pide"ue cuenten &asta un n5mero, se pasen y contin5en con el recitado dela serie por ellos conocida

omenzar a contar desde un n5mero dierente de uno 6un"ue a los o#osadultos cueste comprenderlo, la dicultad "ue este uso de la serieacarrea a los pe"ue%os se pone de maniesto cuando les pedimos "uecomiencen a contar desde un n5mero determinado y los vemosdetenerse unos instantes y contar para adentro &asta ese n5mero paracontinuar lue(o en voz alta

:or e#emplo, en una actividad de conteo, =uis aca'a'a de entre(ar 12 porotosa su maestra Vsta a(re(! uno y le di#o /Me &a'as dado doce, )no* 6&ora,)cuntos &ay*0 =uis se detuvo, cont! desde uno en voz muy 'a#a y respondi!/Crece0 le ue necesario retomar toda la serie para poder dar el n5merosi(uiente

Estos pro(resos van ntimamente li(ados a las posi'ilidades en relaci!n con losprocedimientos de conteo 8os pareci! de inter+s mencionarlos para mostrar"ue dos ni%os "ue cuentan convencionalmente no necesariamente sa'en lomismo acerca de la serie oral y "ue los aprendiza#es "ue 'uscamos so're dic&aserie no culminan con poder nom'rar los n5meros convencionalmente

.ecimos esto por"ue, a veces, parece "ue los adultos suponemos "ue un ni%o"ue cuenta con errores no sa'e contar y "ue otro "ue lo &aceconvencionalmente, s 6m'os sa'en cosas acerca de la serie num+rica oral yam'os tienen cosas "ue aprender acerca de ella2A

27 8o estamos diciendo "ue estas ideas sean todas correctas, sino "ue son las creencias "ue los ni%os vanconstruyendo y "ue orientan sus recitados num+ricos

27


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@ra%ments de las discusines en las salas

):or "u+ nos propusimos una instancia de anlisis de los recitados por parte delos alumnos* .eterminar cundo un recitado de la serie oral es correcto yd!nde se encuentran errores permite e$plicitar, en ciertos casos, al(unas delas ideas "ue #ustican el nom're de un n5mero o el orden en el cual ue dic&o

.e este modo, se a're un espacio para "ue tales ideas comiencen a circular enla sala, para "ue puedan ser apropiadas por otros alumnos o para "ue eldocente pueda reerir a ellas en otra ocasi!n

)ul es el pro'lema "ue esta nueva instancia plantea al alumno*Simplemente, esta'lecer si el recitado num+rico "ue se escuc&a en el (ra'adorest 'ien o est e"uivocado3 si est e"uivocado, )d!nde* y )"u+ se le diran alc&ico "ue cuenta para ayudarlo y "ue no le vuelva a pasar* 8o se espera conesto "ue todos los alumnos lle(uen a e$plicitar las re(ularidades propias de lanumeraci!n oral .i#imos antes "ue el uso o el descu'rimiento de estasre(ularidades no implica necesariamente "ue puedan reerirse e$plcitamentea ellas

El o'#etivo a"u es promover por parte de todos al(una reKe$i!n so're lorealizado Mediante esa reKe$i!n, al(unos alumnos pueden &acer unareerencia e$plcita a al(una re(ularidad "ue nos interese "ue todo el (rupovaya descu'riendo, por e#emplo, cuando al(unos dicen /Ciene "ue decirveintiuno, veintid!s, veintitr+s, as por"ue es i(ual "ue uno, dos, tres, cuatro0

El &ec&o de "ue al(unos alumnos se reeran a estas re(ularidades del sistemade numeraci!n oral o, tam'i+n, "ue otros simplemente las usen /aun"ue sine$plicitarlas0 para decidir acerca de la validez de lo realizado por el/alumnocontador0 del #ue(o, permite "ue estos conocimientos puedan vivir enla sala /"ue no "ueden restrin(idos al dominio particular de al(unos alumnos0

y "ue se diundan para "ue, poco a poco, sean utilizados por los "ue a5n no lo&acen

Recordemos "ue el tiempo de la discusi!n no puede e$tenderse demasiado, aries(o de "ue los alumnos se cansen y a'andonen la actividad :or ello, esimportante circunscri'ir 'ien a"uello "ue se someter a la discusi!n, siendosiempre posi'le de#ar cuestiones para analizar en otro momento

Cranscri'imos, entonces, al(unos pasa#es de discusiones producidas endierentes salas de tercera secci!n

Maestra En otro #ardn estuvieron #u(ando como nosotros a correr carreraspara #untar cosas 6&ora vamos a escuc&ar lo "ue decan cuando conta'an,

2A Estos y otros conocimientos num+ricos no constituyen etapas por las cuales transitan necesariamentetodos los ni%os, sino "ue dan cuenta de las m5ltiples y variadas construcciones "ue realizan en su

acercamiento a los n5meros y en sus intentos por comprenderlos =a propuesta no es "ue el docente ense%e

/directamente0 estos conocimientos, sino orezca a los ni%os situaciones "ue les permitan ponerlos en #ue(o

y reKe$ionar acerca de ellos 6l respecto, remitimos al documento Orientaciones didcticas para el nivel

inicial /1ra parte0

2A


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para ver si conta'an 'ien o se e"uivoca'an Lamos a c&arlar un poco so'reesto para poder #u(ar cada vez me#or a este #ue(oMorelia ):ara #u(ar a las carreras o para sa'er los n5meros*Maestra :ara las dos cosas, por"ue sa'er ms de los n5meros nos ayuda a

#u(ar me#or a este #ue(o 8os va a permitir contar &asta ms le#os y tener mstiempo para #untar cosas

En una sala, la maestra &a'a seleccionado un recitado donde se omitann5meros y se altera'a el orden dentro de cada decena

Dra'ador @no, P, veintiuno, veinticuatro, veintis+is, veintitr+s, veintinueve,treinta, treinta y uno, treinta y tres, treinta y nueve6lumnos W8oX Est malMaestra )Qu+ es lo "ue est mal*6lumno 8o di#o veintiuno, veintid!s, veintitr+sMaestra )G "u+ le podemos decir a este nene para "ue no vuelva a pasarle*6lumno Que se cuenta as uno, dos6lumno =os tiene "ue decir todos, veintiuno, veintid!s, veintitr+s, veinticuatro,

veinticinco, veintis+is, veintisiete, veintioc&o, veintinueveMaestra Otro nene los deca todos pero as veinte, veintiuno, veinticuatro,veintitr+s, veintid!s, veinticinco, veintioc&o, veintisiete, veintis+is, veintinueveeleste 8o, por"ue los tiene "ue decir siempre i(ual )Liste c!mo es el uno,dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, oc&o, nueve* Bueno, i(ual, veintiuno,veintid!s, veintitr+s, P, veintinueveMaestra Miren lo "ue dice eleste, "ue i(ual "ue se dice uno, dos, P, nueve,&ay "ue decir veintiuno, veintid!s, P, veintinueve6lumnos SMaestra )G despu+s*6lumnos CreintaMaestra )G despu+s*

6lumnos I(ual, treinta y uno, treinta y dosLale la pena destacar "ue, cuando se les pidi! a los alumnos "ue escuc&aranrecitados de la serie num+rica realizados por otros ni%os, en nin(5n casose%alaron como err!neas partes correctas de dic&os recitados Es decir, si 'ienno todos identica'an los errores all donde los &a'a, nin(uno se%al! comoerr!neo al(o "ue uera correcto:or otro lado, "ueremos retomar una respuesta de los ni%os muy recuente alidenticar un error en el recitado /as no se cuenta, se cuenta de esta otramanera0

O sea, en lu(ar de reerir a la re(la "ue no est siendo respetada, los c&icos, deal(una orma, le dicen al docente /mostrale c!mo se cuenta 'ien0 :odemosremitir estas respuestas a la dicultad "ue supone e$plicitar las re(ularidadesdescu'iertas en la serie, conocimiento "ue no esperamos disponi'le por partede la mayora de los alumnos, sino "ue 'uscamos sea utilizado al analizarrecitados de otros, e$plicitado por "uienes s puedan &acerlo y diundido dentrodel (rupo

En este caso aparece, adems, la reerencia a la necesidad de no saltearn5meros y no alterar el orden :ara ello, se apoyan en el orden conocido para

2F


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los n5meros del 1 al > :or otra parte, varios alumnos al se%alar /no di#oveintiuno0 o /tiene "ue decir / estn iniciando la serie desde un lu(ardierente del comienzo, posi'ilidad "ue, como vimos, involucra cierto dominioso're la misma En otra sala, la maestra retom! un recitado "ue deca/dieciuno, diecid!s0

6lumno 8o se dice as6lumno /.ieciuno0, no &ay nin(5n n5mero "ue se llame asMaestra )!mo se dice entonces*6lumno 8o s+6lumno 8o di#o once, a& se e"uivoc!6lumno 8o sa'e los n5merosLarios alumnos comienzan a contar @no, P, diez, once, doce, trece6lumno 6s se llaman once, doce, trece, catorce, "uince, diecis+is6lumno :or"ue es as, se cuenta siempre i(ual

En este caso, se reitera lo se%alado para el e#emplo anterior, pero a"u no ca'epara los alumnos otra posi'ilidad "ue mostrar c!mo sera la respuesta correcta

por"ue #ustamente el error no se de'e a la trans(resi!n de una re(la sino a laso're(eneralizaci!n de una re(la descu'ierta En otros t+rminos, a dierenciade los otros casos en los "ue apelar a la re(ularidad permite corre(ir unae"uivocaci!n, este error o'edece a una irre(ularidad de nuestra numeraci!nrespecto al resto de las decenas )!mo e$plicar "ue se dice once en lu(ar de/dieciuno0 cuando sera l!(ico "ue se di#era de esta 5ltima manera*

Es interesante resaltar "ue los c&icos pueden identicar un nom're "ue nocorresponde a nin(5n n5mero no &ay nin(5n n5mero "ue se llame as,aun"ue "uiz no sepan cul es el nom're "ue va en su lu(ar En elintercam'io, un compa%ero orece la inormaci!n necesaria se llama once Siesto no &u'iera sucedido, la maestra de'era &a'er intervenido de al(5n modo

para procurarles la inormaci!n podra remitirlos a al(5n portador num+rico,dar ella misma la inormaci!n, pre(untar al resto si al(uno sa'a c!mo sellama'a, etc

6 continuaci!n, veremos varios casos donde se discuten errores en el pasa#e ala decena si(uiente despu+s del 1> o del 2>

Dra'ador uno, P, veintinueve, veinte, veintiuno, veintid!s6lumno 8o, ya lo repiti!, no se puede decir un n5mero muc&as vecesMaestra )ul es el n5mero "ue se repiti!*6lumno El veinte6lumno .i#o dos veces /veinte0Maestra )8o se puede decir dos veces /veinte0*6lumno 8o6lumno .os veces veinte no se diceMaestra )G "u+ tiene "ue decir*6lumno Otro, cuarenta, no s+Maestra ).!nde podemos #arnos para sa'erlo*

2H


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@n alumno se diri(e a la 'anda num+rica2F

Maestra Bueno, vamos a contar con la 'anda num+rica para #arnos "u+n5mero si(ue6lumno 6& est el veinte ;se%ala directamente el 2 so're la 'anda


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&a'lada y la escrita, "ue les permiten o'tener yo #usticar la inormaci!n "uenecesitan2H

Dra'ador @no, P, diecinueve, treinta9oel Est mal, despu+s del diecinueve, el veinteNlor 8o, despu+s del veintinueve viene el treinta

Morelia 8o, mir, se dice as ;cuenta convencionalmente &asta el H>, al(unosalumnos cuentan con ella


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Larios alumnos ;entre ellos, al(unos "ue antes lo &a'an ne(ado< arman "uees el veinteMaestra )Estn de acuerdo en "ue despu+s del diecinueve viene el veinte*6lumnos SMaestra @stedes di#eron &oy "ue despu+s del diecinueve viene el veinte ytodos los veinte y, despu+s, todos los treinta

6un cuando &aya ni%os, como :aloma o varios de sus compa%eros, "ue &anesta'lecido o /se(uido0 las relaciones a las "ue reeran al(unos compa%eros,esto no implica "ue se trate de una relaci!n esta'lecida por todo el (rupo8uevas actividades y nuevos de'ates permitirn, en otro momento, nuevasoportunidades para "ue estos conocimientos contin5en diundi+ndose dentrode la sala :or ello, entre otras razones, insistimos en la necesidad del carctersecuencial del tra'a#o "ue proponemos a los alumnos, de dar continuidad a lassituaciones, retomarlas, recuperarlas para ir avanzando dentro de ellas, paraevitar caer en un /salpicado0 de tareas aisladas .e este modo, por un lado,'uscamos "ue, si al(o nuevo ue aprendido por los alumnos, puedanreutilizarlo, ampliarlo, consolidarlo3 y, por otro lado, para a"uellos "ue no &an

podido construir las relaciones 'uscadas, pretendemos "ue se encuentren connuevas ocasiones para &acerlo

=a si(uiente conversaci!n "uiz ayude a aclarar una posi'le raz!n por la cualmuc&os ni%os vuelven al veinte al t+rmino de la decena

Larios alumnos le discuten a 9onat&an "ue no poda repetir /veinte0 por"ue yalo &a'a dic&o, "ue tena "ue decir /treinta0

9onat&an Ga lo s+, pero como ten(o "ue volver a decir uno, dos, no puedo deciruno, dos, por"ue eso es de cuando empezs Cen(o "ue decir veintiuno,veintid!s 8o puedo decir uno, dos, tres, solo6lumno :ero no ten+s "ue decir veintiuno, ten+s "ue decir treintiuno,

veintiuno ya lo di#iste

Este intercam'io permite descu'rir "ue 9onat&an sa'a "ue esta'a repitiendoun n5mero pero necesita'a un nom're para a(re(ar a /uno, dos, tres0, para noreiterar el inicio de la serie Vl sa'a "ue all i'a un nom're de /+sos0;correspondientes a las decenas dentro de cada decena

2>


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Maestra &icos, ustedes dicen si(ue el treinta y todos pueden se(uircontando y sa'en c!mo si(ue, treinta y uno, treinta y dos y as3 despu+s concuarenta, sa'en "ue si(ue cuarenta y uno, cuarenta y dos, cuarenta y tres, yas sa'en &asta ms de cien )!mo &acen*6lumno Go s+ &asta ciento nueveMaestra )G c!mo van &aciendo para sa'er c!mo si(ue*

6lumno :or"ue vienen todos los treinta6lumno :or"ue es como "ue se empiezan todos de nuevo, uno, dos, tres, P,nueve

Intervencines dcentes

:ara completar el anlisis de la situaci!n propuesta, vamos a detenernos enal(unas de posi'les intervenciones docentes, al(unas de ellas reeridas en losra(mentos transcriptos

Nrente a respuestas tanto correctas como err!neas, la maestra intentamantener la '5s"ueda de los c&icos sin dar indicios acerca de la validez

de las mismas3 incluso, pone en duda armaciones correctas Nrente a los errores, las intervenciones no se diri(en a corre(irlosinmediatamente sino "ue procuran provocar conrontaciones con lasopiniones de los compa%eros Esto a're una serie de reKe$iones tantopor parte de los ni%os "ue &an cometido esos errores como de los "ue nolos &an cometido3 por lo tanto, (enera un tra'a#o ructero para todo el(rupo

=a docente propone, para la discusi!n de todo el (rupo, armacionescontradictorias "ue sur(ieron en dierentes momentos El &ec&o desostener posiciones incompati'les en dierentes momentos &ace "ue losalumnos a menudo contin5en sin detenerse a cuestionarlas @n papeldocente importante consiste en proponerlas simultneamente por

e#emplo, /al(unos dicen "ue despu+s del diecinueve viene el treinta yotros dicen "ue viene el veinte0 para "ue todo el (rupo pueda pensaracerca de la contradicci!n entre am'as posiciones y se inicie una'5s"ueda de razones "ue permitan optar por una

=a maestra resalta al(o armado por al(5n alumno, correcto oincorrecto, para &acer de amplicador de la voz del autor y someterlo ala consideraci!n de todos

Orece contrae#emplos3 cuando un alumno se%ala, por e#emplo, "ue unrecitado es err!neo por"ue le altan n5meros, la docente muestra unrecitado sin omisiones pero con alteraciones del orden

=a docente propone a los c&icos conrontar dos recitados dierentes pore#emplo, se enrenta un recitado convencional con otro "ue conten(aal(5n error "ue se &aya ele(ido para analizar Estos c&icos, )contaroni(ual o dierente* ):uede ser "ue se cuente de esas dos maneras*

=a maestra provee directamente una inormaci!n re"uerida o remite aal(una uente de inormaci!n

En cada caso, la docente ocaliza determinados aspectos a tratar Esdecir, las discusiones no se a'ren so're todas las cuestiones "uesur(ieron en los recitados o so're las "ue van apareciendo en elintercam'io colectivo, sino "ue se centran en al(unos pocos puntos "ue

7


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la maestra selecciona, y de#a muc&os otros pendientes para otraoportunidad

=a maestra muestra las conclusiones a las "ue los c&icos &an arri'adoCam'i+n puede recapitular o sintetizar los puntos "ue "uiera resaltar dela discusi!n, se%alar a"uellas cuestiones so're las "ue no se lle(! a unacuerdo y "ue se se(uirn pensando, etc

Al%unas actividades #ara #rimera , se%unda seccines2

En primera secci!n, se tratar de "ue los ni%os participen de dierentessituaciones "ue involucren a la serie num+rica oral,2>como, por e#emplo, lassi(uientes

El maestro esparce una importante cantidad de material ;corc&os,tapitas, papeles, etc< en un espacio ;patio, sala, S@M, etc< y les dice alos c&icos "ue podrn #untar tapitas mientras +l cuenta &asta uandotermina de contar, los c&icos de'en detenerse y se ver cuntas tapitas&an lo(rado #untar o "ui+n &a lo(rado #untar ms

Se puede proponer una variante del #ue(o /i(arrillo A70 el docente,caminando en sentido contrario y de espaldas al (rupo, cuenta &asta unn5mero determinado ;"ue anticipa a sus alumnos :or supuesto, tam'i+n la serie num+rica escrita, s!lo "ue no es o'#eto de este documento Se trata deun portador num+rico consistente en una cuadrcula de 1 $ 1 casilleros donde se u'ican los n5meros del 1

al 1 =os nudos de cada decena se encuentran en la columna de la iz"uierda

71


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se or(anicen instancias de discusi!n so're los recitados, sera interesante "ueel maestro propon(a a todos los alumnos las diversas armaciones ysu(erencias "ue sur#an del (rupo a sus compa%eros para poder contar &astams le#os, y tam'i+n "ue diunda al resto de la sala los intercam'ios "ueten(an lu(ar entre los alumnos-contadores

Cnclusines

emos a'ordado, undamentalmente, cuestiones relativas a un contenido dele#e /85mero0 del .ise%o urricular para el 8ivel Inicial de la :rovincia deBuenos 6ires la sucesi!n de n5meros naturales,7adems de a"uellascuestiones relativas a la Normaci!n Vtica "ue atraviesan el eno"ue para laense%anza del rea y son constitutivas de la (esti!n del tra'a#o "ue se 'uscainstalar en las salas .e todos modos, se%alamos "ue lo "ue a"u presentamoss!lo alcanza aspectos parciales de este contenido

En este documento tratamos de mostrar "ue las construcciones acerca de la

serie num+rica oral constituyen un proceso comple#o y paulatino "ue(eneralmente precede /y siempre e$cede0 al 8ivel Inicial, y "ue orma parte delos procesos "ue llevan a ca'o los ni%os a prop!sito de unos o'#etosparticulares, como son los n5meros, a los cuales los enrenta la cultura

En consecuencia, nos parece un prop!sito del #ardn de inantes &acerse car(ode promover avances tam'i+n en este dominio :or ello, se &an presentadoa"u su(erencias didcticas para tra'a#ar en las dierentes secciones al(unosde los conocimientos all involucrados, en particular con respecto al recitado dela serie num+rica oral :or supuesto, se trata de al(unos e#emplos particulares"ue es necesario incluir en el marco de una (ama muc&o ms amplia depropuestas

Bi'lio(raa

Bisc&op, 6lan 9, Enculturaci!n matemtica =a educaci!n matemtica desdeuna perspectiva cultural Buenos 6ires, :aid!s, 1>>>

.DyE, Orientaciones didcticas para el nivel inicial 1ra parte, .ocumentosde la Revista de Educaci!n, Serie desarrollo curricular 8Z 1, =a :lata, .DyE,22Nuson, aren, /Researc& on T&ole 8um'er 6ddition and Su'traction0, enDrouTs, . ;ed>2

Dins'ur(, er'ert :, &ildrens 6rit&metic oT t&ey learn it and &oT youteac& it Ce$as, :ro-ed, 1>?>

7 El &ec&o de "ue el primer contenido "ue a'ordamos en estos documentos corresponda parcialmente alprimer contenido enunciado en el .ise%o urricular provincial no implica "ue el listado de contenidos "ue all

aparece responda a al(una secuenciaci!n =a selecci!n y la secuenciaci!n de contenidos orma parte de las

decisiones de cada proyecto curricular institucional

72


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=erner, .elia3 Sadovsy, :atricia y otros, El sistema de numeraci!n unpro'lema didctico, en :arra, ecilia y Saiz, Irma ;comp>A

8unes, Cerezin&a y Bryant, :eter, =as matemticas y su aplicaci!n =aperspectiva del ni%o, M+$ico, Si(lo UUI, 1>>J

Quaranta, M Emilia3 CarasoT, :aola y Yolman, Susana, 6pro$imacionesparciales a la comple#idad del sistema de numeraci!n avances de un estudioacerca de las interpretaciones num+ricas, en :anizza, Ma'el ;comp


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Ls #rcedimients de cnte$al%unas Pr#uestas #ara suenseanza

Mara Emilia Quaranta y Beatriz Ressia de MorenoIntrducci-n@no de los prop!sitos de la matemtica en el nivel inicial es el de orecer a losalumnos diversas situaciones "ue permitan el inicio y el avance en el uso deprocedimientos de conteo :or esto, el o'#eto de esta presentaci!n ser lapropuesta de al(unas actividades "ue involucren a esos conocimientosnum+ricos

En el documento anterior, se%alamos la comple#idad comprometida en elconteo, "ue supone muc&o ms "ue decir la serie de los n5meros Se trata deun procedimiento "ue utiliza esa serie en una situaci!n de enumeraci!n, esto

es donde se esta'lece una correspondencia t+rmino a t+rmino entre losnom'res de los n5meros y los elementos a contar, como un procedimiento "uepermite cuanticar una colecci!n, es decir determinar cuntos &ay

:or una cuesti!n de espacio, decidimos "ue a"uel documento se centrara en elrecitado de la serie num+rica y +ste en su uso en situaciones de conteo,aun"ue aclaramos enticamente /El dominio del recitado de la serie no

constituye una condici!n previa a su utilizaci!n en situaciones didcticas "ueinvolucren el conteo de una colecci!n =as situaciones donde, por diversas

razones, es necesario esta'lecer /)cuntos &ay*0 son instancias privile(iadas"ue permiten poner en #ue(o la serie oral de los n5meros y &acerlo pro(resar

=os conocimientos relativos al recitado de la serie num+rica y al conteo se

alimentan recprocamente0 ;.ocumento 8o 2_A

En sntesis, proponemos "ue tam'i+n se planteen situaciones "ue involucrencon(uraciones espaciales #as por"ue avorecen al(unas construccionesnum+ricas, en particular ciertos avances en relaci!n con el conteo y laposi'ilidad de esta'lecer al(unas relaciones "ue permitirn los primerosclculos con n5meros pe"ue%os

Lter9a de resultads

;2a y 7a secci!n 111

12

Or%anizaci-n de la clase

Se #ue(a en su'(rupos de 7 participantes

7J.ados comunes, con puntos

A2


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4esarrll del (ue%

:or turnos, cada alumno tira los dos dados, calcula cuntos puntos &ay entrelos dos y lue(o marca en el ta'lero el resultado o'tenido S!lo podr marcarlo,si el resto de la mesa est de acuerdo en "ue es el punta#e correspondiente alos dados Si ya lo tiene marcado, espera un nuevo turno Dana el "ue primero

complete el ta'lero

Este primer momento involucra, por un lado, la adici!n de dos cantidadesrepresentadas por puntos y, por otro, el reconocimiento de los n5merosescritos &asta 127?

Es posi'le "ue al(unos alumnos no reconozcan la escritura de al(unos de losn5meros involucrados en la situaci!n En ese caso, )la actividad no sera vlidapara esos alumnos* 9ustamente por"ue asumimos "ue no todos van a poderleer todos los n5meros es "ue la proponemos Si los c&icos sa'en contar &astael 12, podrn apoyarse en el ta'lero para averi(uar cul es la cira "ue

corresponde a la cantidad o'tenida, recitando la serie num+rica al mismotiempo "ue con el dedo van marcando los n5meros sucesivamente :ore#emplo, si la suma de los puntos dio 11, comenzarn recitando 2, 7, A, >, 1,11, conorme se%alan las escrituras num+ricas correspondientes coincidiendola 5ltima pala'ra con el n5mero 11 marcado por el dedo .e ese modo, al(unosalumnos podrn averi(uar c!mo se escri'e

Materiales

- .os dados, uno con n5meros del 1 al H y otro con con(uraciones de

puntos ;dado com5n


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El docente podr e$plicar a los alumnos "ue van a #u(ar nuevamente a la/=otera de resultados0 pero con otros dados, uno con n5meros y otro conpuntos .el mismo modo "ue en el #ue(o anterior, de'ern averi(uar "u+cantidad sacaron entre los dos dados y marcar el resultado en el ta'lero Danael "ue primero complete su ta'lero

=a nueva condici!n para el pro'lema "ue se introduce en este se(undomomento ;uno de los dados con n5meros< avorecer la aparici!n deprocedimientos alternativos 6l(unos c&icos necesitarn transormar lacantidad e$presada por la cira en marcas so're un papel, otros utilizarn losdedos con el mismo n y, a partir de all, continuarn el conteo de los puntosdel otro dado :ero al(unos alumnos podrn retener el n5mero y se(uircontando los puntos, es decir &arn so'reconteo

=as reKe$iones "ue el maestro promueva en ese sentido en un momento deanlisis colectivo \como el "ue se descri'e a prop!sito del #ue(o con porotos\sern undamentales 6lentar a los alumnos a la '5s"ueda de nuevos

procedimientos y (enerar los espacios de comparaci!n y discusi!n de losprocedimientos utilizados, son condiciones para el "ue&acer matemtico "ue'uscamos instalar en las salas

ue%s cn cartas cn cnB%uracines de #unts6 continuaci!n, proponemos #ue(os con cartas dise%adas particularmente parae$tender el tra'a#o realizado con los dados @n recurso para ampliar elintervalo num+rico ms all del H ;m$imo posi'le en los dados H_7 y F_A3

\ para el 1 H_A y F_F3

\ para el 11 H_F3

\ y para el 12 H_H3

7>Moreno, Beatriz ;en prensa


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cuidando en todos los casos "ue las con(uraciones aparezcan lo msdierenciadas posi'le

Mostramos a continuaci!n al(unos e#emplos de cartas posi'les

Si el docente no pudiera coneccionar el material, es posi'le utilizar cartas dep!er o 'ara#a espa%ola

Este material posi'ilita "ue los ni%os puedan introducirse en la situaci!n apartir de dierentes conocimientos a'r "uienes, en un principio, necesitencontar todos los puntos para acceder a la cantidad representada3 otros, encam'io, lo &arn reconociendo una de las cantidades y &aciendo so'reconteoso're la se(unda3 otros podrn reconocer la con(uraci!n de las doscantidades y lo resolvern con un clculo mental y tam'i+n &a'r "uienesreconozcan la escritura del n5mero a'itualmente un mismo alumno puede

utilizar dierentes procedimientos se(5n sean las cantidades por e#emplo,&a'r "uienes reconozcan "ue la carta de 2 y 7 puntitos representa al F y, sinem'ar(o, utilicen el so'reconteo para la carta "ue tiene marcados A y F puntoso, incluso, puedan volver a contar todo para la carta de F y H puntos

=a aparici!n de estos dierentes procedimientos no s!lo depender de losconocimientos "ue los alumnos ten(an, sino tam'i+n del tipo de pro'lemas"ue se les planteen y de la inclusi!n o no de la numeraci!n en las cartas En elcaso de usar las 'ara#as comerciales, si la decisi!n del maestro es no incluir losn5meros, es posi'le taparlos

Si la intenci!n del maestro es "ue los alumnos tra'a#en en la lectura de

n5meros, entonces cada carta de'e incluir el n5mero "ue le corresponde y lospro'lemas a seleccionar sern, por e#emplo, todos a"uellos "ue re"uieran de lacomparaci!n de cantidades yo su denominaci!n

Si, en cam'io, el maestro se propone promover el pasa#e del conteo de uno enuno a otros procedimientos ms avanzados ;como el so'reconteo o losprimeros recursos para calcular


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6 partir de este material, se podrn proponer diversos #ue(osA Su(erimosal(unos a modo de e#emplo

ue% de #edidsCntenids

- :rocedimientos de conteo en una situaci!n donde se trata de encontraruna colecci!n "ue ten(a la misma cantidad "ue otra,

- omparaci!n de colecciones /tantos como0

- =ectura de las ciras y n5meros &asta 12A1


Se #ue(a en (rupos de a tres o cuatro #u(adores, cada uno con 1? cartas

4escri#ci-n del (ue%

Se mezclan y se reparten todas las cartas ada #u(ador 'a#a todos los paresde cartas con cantidades i(uales "ue le &ayan tocado "uedndose en la manosolamente con las "ue tienen cantidades dierentes entre s =ue(o cada uno,por turnos, tiene "ue pedirle a un compa%ero A2 la carta "ue necesita paraormar un nuevo par y as poder 'a#arlo3 si el compa%ero tiene la cartasolicitada se la entre(a, si no, pasa el turno Dana el primero "ue lo(re 'a#artodas sus cartasEsta situaci!n pone en #ue(o, en primer lu(ar, la comparaci!n de J cantidadespara lo(rar encontrar dos cartas "ue ten(an la misma cantidad y poder

'a#arlas En se(undo lu(ar, re"uiere la denominaci!n del n5mero para poder&acer el pedido posterior Si un alumno no conociera la denominaci!n deln5mero, podra solicitar ayuda a un compa%ero o al docente @na posi'ilidad esrecurrir a al(5n portador num+rico ;la 'anda num+rica, centmetro, calendario,etc< para contar &aciendo coincidir cada nom're de n5mero con cada n5meroescrito si(uiendo la serie &asta alcanzar el n5mero 'uscado

AInsistimos en "ue, desde el punto de vista del aprendiza#e matemtico, un #ue(o resulta de

inter+s didctico en tanto permite poner en #ue(o unos conocimientos determinados para

alcanzar una nalidad ;(anar en el #ue(o


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omo mencionamos depender de la intencionalidad del maestro "ue lascartas ten(an o no n5meros Si lo "ue el maestro &a decidido tra'a#ar es lalectura de n5meros, por"ue sus alumnos a5n no disponen de ese conocimiento,entonces la inclusi!n de los mismos tendr el sentido de &acerlos aparecercomo una &erramienta ms econ!mica "ue contar todos los puntos En cam'io,si su inter+s es "ue los alumnos descu'ran al(unas composiciones aditivas de

los n5meros y al mismo tiempo evolucionen sus competencias relativas alconteo, utilizar las cartas s!lo con puntos

6l tener "ue encontrar dos cartas con la misma cantidad de puntosdescu'rirn, por e#emplo, "ue tanto la "ue tiene F y 2 como la "ue tiene A y 7suman J y, de este modo, comenzarn a apropiarse de al(unas composicionesaditivas dierentes para un mismo n5mero Es importante "ue estosdescu'rimientos, "ue "uizs realicen en orma individual o aislada al(unosalumnos, puedan e$ponerse a todo el (rupo y discutir si eectivamente &aydierentes cartas "ue pueden valer lo mismo, cules pueden ser, si esto es aspara todos los n5meros de las cartas, si podra serlo para al(5n n5mero "ue noest entre ellas, etc @n apoyo necesario para esta discusi!n es "ue el docenteanote las dierentes composiciones de un mismo n5mero "ue dan los alumnos:or e#emplo, si los c&icos se%alan "ue el H puede ormarse con F y 13 A y 23 7 y73 2 y A3 etc, el maestro puede de#ar asentadas esas posi'ilidades en unac&e Estas anotaciones "uedarn disponi'les para remitir a ellas en otromomento en "ue sea pertinente

=a comple#idad de la tarea es dierente cuando el alumno &ace el pedido "uecuando de'e decidir si al(una de las cartas "ue tiene corresponde al n5mero"ue le &an solicitado uando pide, necesita averi(uar el valor de una carta3mientras "ue cuando reci'e un pedido tiene "ue controlar cada una de lascartas "ue tiene en la mano

Nrente a esa dicultad, si 'ien al(unos c&icos necesitarn contar uno por unotodos los puntos para poder determinar la cantidad, pro(resivamente ;si elmaterial es usado reiteradamente< aparecern procedimientos msevolucionados como el so'reconteo al apoyarse en el reconocimiento de unade las con(uraciones o incluso clculos memorizados en al(unos pares den5merosSer interesante, en al(unas instancias de discusi!n colectiva, poderreKe$ionar acerca de c!mo &acen para darse cuenta de "u+ carta se trata,c!mo &acer para sa'erlo rpido, si se puede sa'er sin contar todo cada vez,etc Cam'i+n, como se%alamos anteriormente, ser una oportunidad paracomenzar a analizar dierentes posi'ilidades para armar cada una de las

cantidades

ue% de la %uerraD+

Cntenids

A7amii, 1>?A

AJ


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Se(5n la versi!n del #ue(o,- @so del conteo en una tarea de comparaci!n de cantidades- omparaci!n de n5meros escritos

A?


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Se #ue(a de a dos participantes, uno contra otro

4escri#ci-n del (ue%

Se reparten todas las cartas y cada #u(ador coloca su pila de cartas 'oca a'a#odelante suyo 6l mismo tiempo, los dos #u(adores dan vuelta la primera carta,el "ue tiene la carta con la cantidad mayor se las lleva Si am'as cartastuvieran la misma cantidad, cada #u(ador tapa la suya con una se(unda carta yda vuelta una tercera, el "ue tiene, en esa tercera carta, la cantidad mayor selleva todas las "ue estn so're la mesa Dana el "ue, al nalizar el #ue(o, &ayalo(rado llevarse ms cartas Si se prolon(a muc&o, puede esta'lecerse unlmite de tiempo para #u(ar ;por e#emplo 1F minutos


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Esta lotera consiste en cartones con H espacios a completar con elementos deuna (ran#a en dierentes cantidades 6s, cada cart!n contiene dierentescantidades de (ran#eros, cone#os, vacas, (allinas, cerdos y ove#as, cada uno deellos en cantidades "ue oscilan entre 1 y H Estas colecciones se encuentranordenadas de dierentes maneras, tanto en los cartones como en las c&aspara completarlos, impidiendo de ese modo "ue el reconocimiento de la

coincidencia de la cantidad se esta'lezca s!lo por la similitud de lascon(uraciones espaciales Entonces, cuando se saca la c&a con A cone#os, laretiene a"u+l "ue ten(a A cone#os en su cart!n

omo cada cantidad se repite s!lo una vez dentro de cada cate(ora decolecciones, las mismas c&as servirn para completar los casilleros Es decir,s!lo un cart!n en el #ue(o contendr /F cone#os0 En el 6ne$o 1, encontrarn amodo de ilustraci!n la reproducci!n de un cart!n y al(unas c&as

Este #ue(o s!lo recurre a colecciones muy pe"ue%as raz!n por la cual podrautilizarse desde la 1` Secci!n En el caso de a'ricar el material para el #ue(o,

las cantidades de cada una de las colecciones podrn aumentarse si laintenci!n del docente es desaar a sus alumnos con elconteo de colecciones mayores

Lter9a de clreson la misma estructura, la lotera de colores contiene cartones ormados porcuadrculas de una cantidad de casilleros \por e#emplo H $ F\, al(unos de loscuales se encuentran pintados de dierentes colores 6s, por e#emplo, uncart!n podr contener 7 casilleros amarillos, u ? azules, o H verdes, etc adac&a puede contener una cantidad de puntos, marcas o /manc&as0 de un colorEntonces, si se saca la c&a "ue contiene 1 marcas ro#as, el #u(ador "ue lasten(a podr marcarlas con porotos

En esta lotera, puede #u(arse a completar los casilleros

a< s!lo en el caso en "ue sal(a la c&a con la misma cantidad de marcasde colores "ue casilleros en el cart!n,

'< en sucesivas #u(adas Esto es, si sale /7 azules0, al(uien con F casillerosde ese color puede completar 7 de ellos y esperar a una nueva vueltapara poder completar los restantes

on cantidades pe"ue%as, tam'i+n podra proponerse este #ue(o desde la 1`

Secci!n Cam'i+n so're la misma 'ase, puede pensarse una lotera concolecciones mayores

F


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@na estructura similar es la del romticoAFo versiones similaresAH 6ll, enlu(ar de e$traerse c&as determinadas, se #ue(a con dos dados uno, conpuntos o n5meros y otro, con un color indicado en cada cara 6l arro#arlos,indican la cantidad de lu(ares de un determinado color =os dados limitan lascantidades a contar :or ello, si se 'usca proponer colecciones mayores a H,pueden utilizarse dos dados o cartas omo se se%al! en el caso de los #ue(os

descritos con anterioridad, la utilizaci!n de dados con puntos o n5merosposi'ilita dierentes procedimientos por parte de los alumnos

=os contenidos a"u involucrados consisten en la comparaci!n de cantidades,entre la colecci!n de la c&a y la del cart!n Es decir, es necesario determinarsi una colecci!n tiene /tantos como otra0 :ara ello, se(5n sean lascantidades involucradas, podrn &acerlo por reconocimiento perceptivoinmediato \si son cantidades muy pe"ue%as-, por correspondencia o a trav+sdel conteo

Otras situacines vinculadas cn el cnte

.entro de los #ue(os comerciales "ue re"uieren el uso del conteo, a"uellos "ueconsisten en recorridos a lo lar(o de una serie de casilleros resultanparticularmente interesantes Esos recorridos pueden ser

^ numerados \como, por e#emplo, en el caso del 9ue(o de la Oca o deEscaleras y Co'o(anesAJ

^ sin numerar \como, por e#emplo, es el caso del ludo

=os recorridos sin numerar, al principio, plantean menos dicultades a losni%os En tanto, para los ms pe"ue%os, a veces es dicil conce'ir c!mo,&a'iendo sacado A en un dado, se acceda a una casilla con un n5merodierente a A

:or otro lado, en am'os casos, con recorridos numerados o sin numerar, lae$tensi!n de los recorridos es un aspecto "ue se puede restrin(ir cuandoreci+n se inicia el tra'a#o con estos #ue(os, si es "ue los ni%os no estnamiliarizados con ellos

Lud:uede #u(arse en principio con un recorrido simplicado con menor cantidad decasilleros, donde todos los participantes comenzaran desde el mismo lu(ar departida y arri'aran al mismo punto de lle(ada Esto es una dierencia con

respecto al ludo tradicional pero "ue, en un primer momento, puede acilitar laamiliarizaci!n con los recorridos a lo lar(o de ta'leros

AF9ue(o comercialAH:or e#emplo Fichines u otrosAJ9ue(os comerciales

F1


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on una estructura similar, Baroody ;1>??< presenta una carrera de autosdonde cada #u(ador de'e desplazar, conorme indican los puntos de un dado,un autito a lo lar(o de un ta'lero constituido por una serie de casillas enespiral =o mismo puede realizarse so're las casillas dispuestas en lnea recta

Feinte Bc6as@na versi!n de este #ue(o orece amii ;1>?A


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Si el docente 'usca "ue sus alumnos ten(an "ue leer los n5meros "ue allaparecen, se podra incluir como re(la "ue el #u(ador primero lea el n5mero, demanera "ue no pueda reconocer el n5mero a partir de la correspondencia entream'as escrituras ;en la prenda y el ta'lero :ara al(unos ni%os noes evidente de entrada "ue, si estn por e#emplo en la casilla H y en el dadosale un 7, el conteo tiene "ue iniciarse a partir de la casilla J :or el contrario,comienzan el conteo en la misma casilla en la "ue esta'an El docente podraretomar este caso tan com5n en una discusi!n colectiva con toda la sala&aciendo conrontar dos desplazamientos dierentes para una misma #u(adapor e#emplo, partiendo de A y &a'i+ndose sacado 7 en el dado, un c&ico "uecuenta desde A y lle(a a H y otro "ue cuenta desde F, lle(ando a J )Es posi'le"ue si salimos del mismo lu(ar y nos sacamos 7 en el dado lle(uemos alu(ares dierentes* )Qu+ pasara si en lu(ar de 7 &u'iese salido 1 en el dado*

)6 d!nde lle(ara cada #u(ador* )Si me saco 1 avanzo o me "uedo en el lu(ar*):uede ser "ue el primer #u(ador no avance nada si se saca 1* )!mo tiene"ue contarlo* )Es lo mismo sacarse 1 "ue no &a'er #u(ado* =as mismaspre(untas acerca de "u+ pasara sacndose 1 en el dado pueden realizarseu'icando la c&a en el lu(ar de partida

@na manera de transormar estos #ue(os para "ue constituyan pro'lemas paraa"uellos alumnos "ue ya dominan esos conocimientos es introducirmodicaciones en al(unas varia'les didcticasF

:or e#emplo, introduciendo prendas "ue permitan la anticipaci!n de resultados:ara ello, es necesario "ue respondan antes de mover la c&a En todos los

casos, podr vericarse lue(o la respuesta desplazndola

A>Que usen esta relaci!n no si(nica "ue puedan e$plicitarla ni "ue 'us"uemos "ue lo F &a(an

inicialmenteF=as varia'les didcticas de una situaci!n, son a"uellos aspectos en cuyo interior una

modicaci!n produce cam'ios en las estrate(ias de resoluci!n de los alumnos y en su relaci!n

con los conocimientos puestos en #ue(o

F7


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:ara mostrar al(unas posi'ilidades

\ Si se cae en la casilla F &ay "ue resolver )cunto tiene "ue salir en eldado para lle(ar a la casilla >* Si la respuesta es correcta, puedeavanzar &asta la casilla >

\ Si caen en la casilla 1J, )en "u+ casillero vas a caer si en el dado sale H*8uevamente, si la respuesta es correcta, podr avanzar &asta la casilla27

\ Si caen en la casilla 2 tienen "ue contestar )cunto alta para lle(ar al2J* Si la respuesta es correcta, puede tirar el dado y avanzar tantoslu(ares como indi"ue

Cam'i+n pueden incluirse prendas destinada a la lectura de n5meros

:or e#emplo

\ si se cae en la casilla 7>, volver a la 7

\ si se cae en la casilla F ir directamente a la H, etc

El tipo y la cantidad de dados "ue se utilicen en el #ue(o constituye unavaria'le didctica iertas modicaciones dentro de ellas, como ya vimos paraotros #ue(os, permiten (enerar avances en las competencias del conteo 6s,puede #u(arse con

\ 2 dados con con(uraciones espaciales #as ;dados comunes?H


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Cnsi%na

/ace lo "ue te parezca me#or para "ue en las dos ca#as &aya la mismacantidad de c&as .espu+s con lpiz y papel, &ac+ lo necesario para mostrarc!mo lo resolviste0

:ara i(ualar las cantidades los alumnos podrn se(uir dierentes caminos

\ tomar dos c&as de la mesa, a(re(arlas a la ca#a "ue tiene tres e i(ualaren cinco

\ sacar dos c&as de la ca#a "ue tiene cinco e i(ualar en tres

\ sacar una c&a de la ca#a "ue tiene cinco a(re(arla a la "ue tiene tres ei(ualar en cuatro

Esta situaci!n permite poner de maniesto "ue un mismo pro'lema puede ser

resuelto de dierentes maneras e incluso o'tener resultados dierentes, todosellos correctos, lo "ue #ustica y enri"uece las conrontaciones posteriores Endiscusiones colectivas con toda la sala, el docente podra proponerles analizarlas dierentes soluciones encontradas \tomando s!lo un e#emplo de cada unade las posi'ilidades-, cules permiten cumplir con la nalidad de i(ualar elcontenido de am'as ca#as y cules no

=a representaci!n (rca, la puesta en com5n de los dierentes procedimientosy las reKe$iones consecuentes, permitirn la toma de conciencia por parte delos alumnos de las acciones realizadasF2

ue% de ls :cincs;;amii, 1>?A


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tercero "uien trata de ormar F con su carta y las "ue estn so're la mesa, silo(ra reunir esa cantidad se lleva las cartas "ue utiliz! y pasa el turno 6ssucesivamente &asta "ue se terminen todas las cartas Dana el "ue &ayalo(rado reunir mayor cantidad de /cincos0

@na e$tensi!n posi'le consiste en #u(ar a componer otros n5meros -H, J, ?, >,

1, etc- para lo cual &a'r "ue a(re(ar cartas cuyas adiciones permitan lacomposici!n del n5mero ele(ido

Este pro'lema permite e$plorar y sistematizar las posi'les composicionesaditivas de los n5meros involucrados En este sentido, es un recurso propiciopara plantear reKe$iones con los alumnos acerca de la '5s"ueda y elesta'lecimiento de dierentes estrate(ias "ue aciliten la resoluci!n de losclculos apoyndose en los resultados "ue ya conocen En el caso de "ue losalumnos no dispon(an a5n de la posi'ilidad de operar con ciras, se puedenutilizar las cartas con con(uraciones espaciales y n5meros, descriptas msarri'a

omo puede o'servarse, el #ue(o en s mismo no (arantiza "ue los alumnos seapropien de las dierentes composiciones y las relaciones entre ellas Esundamental or(anizar instancias de reKe$i!n colectiva, en las cuales,retomando lo ocurrido en el #ue(o, puedan analizarse las dierentescomposiciones propuestas para un n5mero, cules son vlidas cules no, "u+relaciones (uardan entre s, etc @n e#emplo de las relaciones entre lasdierentes composiciones de un n5mero estara dado por el uso de la propiedadconmutativa 6s, por e#emplo, si se &a lle(ado a esta'lecer "ue con 2 y 7 seorman F, )podemos estar se(uros de "ue con 7 y 2 tam'i+n* )esto es as paratodos los n5meros*, etc Quizs sea posi'le avanzar &acia ciertascompensaciones entre los sumandos, por e#emplo si con A y 1 se orman F, con

7 y 2 tam'i+n por"ue /lo "ue le sacaste a uno lo tiene el otro0, etc

Situacines ue im#lican #articines*D

Pe%ad de B%uritas

Primer mment

Materiales

\ 12 (uritas para cada (rupoFF

\ &o#as en cantidad necesaria, en un estante a disposici!n de los alumnos

\ papel para anotar

FAMoreno, Beatriz O' citFFQue pueden coneccionarse con im(enes recortadas de revistas

FH


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En pe"ue%os (rupos

Cnsi%na

/ay "ue pe(ar las 12 (uritas "ue les di en varias &o#as, cada &o#a tiene"ue tener la misma cantidad de (uritas, discutan entre ustedes para sa'ercuntas &o#as van a necesitar, cuando lo decidan un secretario va a venir apedirlas0

El &ec&o de tener "ue realizar el pedido de &o#as insta a la anticipaci!n delresultado de la partici!n =a situaci!n cam'iara totalmente si se les dieran las(uritas y las &o#as al mismo tiempo, ya "ue podran resolver por tanteo :orotra parte, como todos tendran la misma cantidad de &o#as no apareceranresoluciones dierentes con lo "ue la ri"ueza del pro'lema sera otra En losprimeros intentos es posi'le "ue pidan tantas como (uritas tienen 6 partir de

la puesta en com5n y, so're todo en el se(undo momento, se intentar "ue losalumnos "ue as lo &a(an puedan tam'i+n tener en cuenta otras resoluciones

Cam'i+n podra #u(arse, en una actividad previa a +sta, en la "ue ladistri'uci!n no re"uiera ser e"uitativa

sin nin(una restricci!n

con un mnimo y m$imo por p(ina por e#emplo, donde cada &o#a puedatener /no menos de 2 (uritas y no ms de A0

En cada una de estas modalidades, ser importante reKe$ionar acerca de las

dierentes propuestas para pe(ar las (uritas realizadas por cada (rupo, si sonvlidas, si cumplen con las condiciones planteadas en la consi(na8uevamente, nos encontramos con una situaci!n "ue admite dierentesrespuestas vlidas

Se%und mment

@na manera de provocar un avance en los procedimientos, es poner unarestricci!n en la consi(na "ue impida la estrate(ia de pedir 12 &o#as Estacondici!n so're el pedido "ue pueden ormular constituye una varia'ledidctica

Materiales

- 12 (uritas para cada (rupo,

- &o#as en cantidad necesaria, so're un estante

- papel para anotar

FJ


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En pe"ue%os (rupos

Cnsi%na

/8uevamente &ay "ue pe(ar las 12 (uritas "ue les di en varias &o#as, cada&o#a tiene "ue tener la misma cantidad de (uritas, pero esta vez no puedenpedir ms de F &o#as .iscutan entre ustedes para sa'er cuntas &o#as van anecesitar, cuando lo decidan un secretario va a venir a pedirme las0

=a restricci!n introducida, uerza a anticipar la partici!n con un m$imo de F&o#as y al mismo tiempo a descu'rir "ue con F &o#as no es posi'le realizar elreparto e"uitativo Se(uramente, los (rupos pedirn dierentes cantidades de&o#as 23 7 ! A, siendo estas las posi'les resoluciones del pro'lema on estadiversidad de resoluciones, el pedido de e$plicitaci!n de procedimientos yresultados co'ra todo el sentido Entre las dierentes soluciones, ser necesario

reKe$ionar lue(o con todos los (rupos acerca de cules permiten u'icar atodas las &o#as y cules no 8uevamente los ni%os se enrentarn con unaconcepci!n de matemtica "ue es la "ue nos interesa transmitir, esto es unmismo pro'lema puede ser resuelto por dierentes procedimientos y un mismoprocedimiento resuelve dierentes pro'lemas

ue% del tesr;&arnay y Lalentin, 1>>2


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Cnsi%na

/ada uno de ustedes tiene dentro de la ca#a 7 piedras preciosas "ue yo yapuse :or turno tiran el dado y averi(uan cunto van a tener a&ora en sutesoro, a(re(ando tantas piedras como di(a el dado .espu+s &a(an lo "ueconsideren necesario con el lpiz y el papel para poder recordar cuntas tienen

a&ora en su tesoro 6l nal tienen "ue decidir "ui+n (an!0

El #ue(o supone "ue los c&icos "ue ya &an reci'ido los 7 porotos tienen "ueanticipar cuntos tendrn despu+s de &a'er (anado tantos como puntos &ayen el dado "ue aca'an de tirar =os porotos ya reci'idos no son visi'les, elalumno sa'e solamente cuntos &ay ya en su ca#a

Es importante alentar a los ni%os a "ue, ante cada tiro, averi(ben a cuntoascender su tesoro antes de a(re(ar las piedras correspondientes En caso deser necesario, siempre podrn, lue(o de a(re(ar las piedras, vericar lacantidad de piedras "ue disponen

=os procedimientos a los cuales pueden recurrir los ni%os son diversos

a< 6l(unos s!lo podrn encontrar el nuevo valor de su tesoro sacando los 7porotos de la ca#a, a(re(ando tantos porotos como puntos &ayan salidoen el dado y contndolos todos uno a uno

'< Otros &arn tantas marcas en el papel como porotos tienen o usarn losdedos para lue(o contarlos uno a uno

c< 6l(unos ;si el n5mero "ue sali! en el dado es 'a#o< se representarnmentalmente la situaci!n de manera de reproducir /en sus ca'ezas0 las

piedras disponi'les y a a(re(ar Es decir, /ven0 los porotos /en susca'ezas0 y los cuentan uno a uno sin necesitar manipular el material ni&acer nin(una representaci!n (rca

d< Otros podrn &acer so'reconteo Es decir retendrn el 7 y se(uirncontando, apoyndose en los dedos o tocando los puntos del dado ;7, A,F, H, J


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construir con si(nicado nuevos modos de resoluci!n al descu'rir lo costoso"ue resulta el conteo y al comparar sus producciones con otras ms ecientes

=os intercam'ios colectivos "ue pueda or(anizar el docente a prop!sito del#ue(o permitirn comunicar estrate(ias dierentes y "ue, por e#emplo, losalumnos "ue recurren al primer procedimiento comiencen a vislum'rar "ue el

tra'a#o con los n5meros les permite sa'er cuntas piedras preciosasacumularn

)Que necesita sa'er un docente acerca de los conocimientos de sus alumnospara decidir si esta actividad ;El Cesoro< plantea un pro'lema vlido para ellos*

omo vimos, el conocimiento mnimo necesario es disponer del conteo de lascantidades involucradas ;en este caso &asta >>2


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.e cual"uier modo, "ueremos aclarar "ue nos interesa undamentalmente "uelos alumnos avances en sus procedimientos de conteo Si estos avancesalcanzan a utilizar unos primeros clculos aditivos, 'ienvenido sea :ero noconstituye un o'#etivo del 8ivel Inicial "ue los ni%os realicen una transici!n delconteo &acia el clculo, 'uscamos s &acer pro(resar \en e$tensi!n, movilidad,procedimientos, etc- tanto como sea posi'le las posi'ilidades de conteo de los

alumnos

Ji'li%ra59a

Baroody, 6rt&ur ;1>??>>2


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El tra'a( cn ls n)mers escritsen el nivel inicialMara Emilia Quaranta, Beatriz Ressia de Moreno

Presentaci-n

En los documentos anterioresFJnos ocupamos de al(unas caractersticas'sicas del eno"ue para la ense%anza de la matemtica en el nivel inicial y delaprendiza#e y la ense%anza de la numeraci!n oral uera y dentro de conte$tosen los cuales se trata de enumerar una colecci!n 6"u, nos dedicaremos aanalizar al(unas posi'ilidades para el a'orda#e didctico de los n5merosescritos Su presentaci!n en dierentes documentos no implica, en a'soluto,como resaltamos en reiteradas oportunidades,F?"ue su ense%anza si(atemporalmente a la de la serie num+rica oral todo lo contrario, numeraci!n&a'lada y escrita se a'ordan de manera simultnea 'uscando esta'lecer

relaciones entre am'asF>

Las escrituras numricas$ un '(et decncimient #articular=a comprensi!n de las escrituras num+ricas se relaciona evidentemente con elconocimiento de los n5meros en (eneral 8o o'stante, comprender lanumeraci!n escrita conlleva comple#idades propias de un sistema derepresentaci!n particular En otros t+rminos, entender c!mo est construidoeste sistema de notaci!n no depende directa 4o e$clusivamente4 de la noci!n

relativa "ue se ten(a de los n5meros Es decir, no 'asta con poder contar unacolecci!n de o'#etos y decir cuntos &ay para poder escri'irla ya "ue esaescritura, si 'ien est ntimamente li(ada a la cantidad "ue representa, es uno'#eto de conocimiento particular

FJOrientaciones didcticas para el nivel inicial 41` parte, 2` parte y 7` parte4F? 6un"ue nos centremos a"u en el conteo, se propone tra'a#ar en las salas -y en las tres secciones-

simultneamente con diversas propuestas para la ense%anza, al(unas de las cuales apunten a aspectos de la

serie num+rica oral, otras a aspectos de los n5meros escritos y otras a poner en relaci!n am'as series de

n5meros 4orales y escritos4 Orientaciones didcticas para el nivel inicial42` parte4

F>Estas relaciones se reeren a re(ularidades ;es decir, las re(las (enerales relativas a seme#anzas entream'os sistemas< como, por e#emplo, cuando los ni%os descu'ren la similitud entre el nom're de una decenay el de la cira correspondiente 6s, para treinta y cinco, al(unos c&icos dicen /treinta, suena tres, va contres03 o si dos n5meros comienzan con el mismo nom're su escritura tam'i+n comienza i(ual /todos losveinte empiezan con dos03 y tam'i+n a dierencias como, por e#emplo, entre los nom'res y las escrituraspara los n5meros entre 11 y 1F ;=erner, ., El aprendiza#e del sistema de numeraci!n situaciones didcticasy conceptualizaciones inantiles3 Quaranta, ME y otros, Ense%ar matemtica enel nivel inicial y el primerciclo de la EDB 6nlisis y propuestas


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=a escritura no deriva /naturalmente0 de las ideas con respecto a lascantidades Campoco son conocimientos "ue se construyen con independenciaunos de otros ;los relativos a las cantidades y a la representaci!n escrita de lasmismas


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=os resultados de investi(aciones disponi'lesH2acerca de los dierentesconocimientos "ue los ni%os van construyendo con relaci!n al sistema denumeraci!n indican otra direcci!n para su ense%anza

18u sa'ems acerca de c-m ls c6ics sea#r#ian de ls n)mers escrits3on respecto a la construcci!n inantil del sistema de numeraci!n escrita, lainvesti(aci!n de =erner nos aporta la certeza de "ue los ni%os construyen&ip!tesis muy tempranamente,H7ideas particulares para producir e interpretarHA

n5meros escritos6l(unas de estas ideas les permiten comparar n5meros, aun cuandodesconozcan de "u+ n5mero se trata 6s, por e#emplo, con ar(umentossimilares a los "ue descri'en las investi(adoras en los casos analizados,Mercedes ;A a%os


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denominaci!n convencional de estos n5meros, no conoce a "u+ cantidadesremiten y aun as puede esta'lecer una comparaci!n entre ellos

Nrente al pedido de comparaci!n de dos n5meros de i(ual cantidad de ciras,por e#emplo 7? y JA, 9ulin ;F a%os< ar(umenta /es ms (rande este;se%alando el JA< por"ue el J es ms (rande "ue el 70 6 pesar de no sa'er

leerlos, puede ar(umentar poniendo en #ue(o su &ip!tesis acerca de "ue losn5meros /valen0 dierente si estn en lu(ares dierentes Es decir, aparece a"uotro criterio de comparaci!n puesto en #ue(o a&ora rente a n5meros con lamisma cantidad de ciras En relaci!n con este criterio de comparaci!n, lasautoras mencionadas descri'en "ue, cuando en los n5meros a compararcoincide la primera cira 4por e#emplo, para 21 y 274, muc&os ni%osar(umentan "ue /entonces &ay "ue mirar el se(undo n5mero0

Que los ni%os utilicen estos criterios no implica "ue lo &a(an sistemticamentey para todos los n5meros 6s, por e#emplo, comparando n5meros como >? y11, a veces, centrndose en el valor a'soluto de las ciras, pueden sostener"ue el primero es mayor por"ue > y ? es mayor "ue 1 y

6 veces, para comparar dos n5meros, se 'asan en el orden de los mismos en laserie Se'astin ;F a%os, )c!mo pueden poner en #ue(o estos conocimientos* )!mo lle(an autilizar el criterio de la cantidad de ciras para sa'er si un n5mero es mayor omenor "ue otro si no pueden comparar n5meros de dierente cantidad deciras* )!mo es posi'le esta'lecer la re(ularidad de "ue todos los /treinta0comienzan i(ual y todos los /cuarenta0 empiezan i(ual, si no vieron "ue estosucede entre dierentes (rupos de n5meros*

HF


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:or esta raz!n, necesitamos ampliar el ran(o de los n5meros con los cuales setra'a#a .e ese modo, es posi'le proponer situaciones en las "ue &aya "uecomparar y ordenar n5meros escritosH?

^ :recios de artculos para el &o(ar para decidir cules cuestan msdinero, cules menos, etc+tera

^ =as alturas de los dierentes ni%os de la sala ;o lue(o tam'i+n de laspersonas "ue viven con ellos


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6l(uien podra o'#etar cul es el sentido de plantear estas situaciones 4si losalumnos a5n no pueden leer ni escri'ir la mayora de los n5merosinvolucrados4 y ar(umentar "ue primero &a'ra "ue /ense%rselos0 paradespu+s usarlos en estos pro'lemas En este punto, es necesario aclarar "ueno se espera "ue los alumnos puedan ordenar estos n5meros de manera

convencional, sino "ue los utilicen y "ue circulen las ideas "ue vanconstruyendo :recisamente, resolviendo pro'lemas "ue re"uieran de lacomparaci!n, del orden, de la producci!n y de la interpretaci!n de n5merostendrn la posi'ilidad de usar las propiedades "ue su'yacen a los ar(umentosdescriptos Estas situaciones permitirn a los ni%os comenzar a apropiarse delsistema de numeraci!n y, en consecuencia, avanzar tam'i+n &acia surepresentaci!n convencional y la comprensi!n de las relaciones "ue su'yacena esta O'viamente, este proceso e$cede ampliamente los lmites de nuestronivel y ser o'#eto de tra'a#o a lo lar(o de la EDB

En pocas pala'ras, proponer situaciones de ense%anza "ue re"uieran lacomparaci!n de cantidades en dierentes intervalos num+ricos constituye una

de las condiciones para movilizar la apropiaci!n del sistema de numeraci!n

:articularidades en la construcci!n de la escritura de los n5meros

=os ni%os no aprenden los n5meros si(uiendo el orden de la serie num+rica noaprenden primero el 1, despu+s el 2, el 7, y as sucesivamente :or e#emplo,&ay ciertos n5meros como los nudos,H>cuya escritura o denominaci!nconvencional se aprende antes "ue los intervalos entre ellos Es decir, enmuc&os casos, lle(an a leer o escri'ir las decenas enteras, las centenasenteras ;13 13 13 23 73 2, etc< y posteriormente acceden a laescritura convencional de los intervalos entre esos nudos para los cuales estossirven de apoyatura El e#emplo de 9oa"un 4citado en la p(ina 7A4 nosmuestra este conocimiento de los nudos

:ara producir o interpretar n5meros, los ni%os se 'asan en inormacionesdisponi'les la "ue e$traen de la numeraci!n &a'lada y la "ue les da eseconocimiento de la escritura convencional de los nudos 6s, para escri'irn5meros de los cuales a5n no conocen su representaci!n convencional, &acenuso de tales conocimientos y pueden producir, por e#emplo, escrituras como lassi(uientes 1? ;para 1?


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Estas yu$taposiciones, 'asadas en la idea de una correspondencia estricta conla numeraci!n &a'lada 4en la convicci!n de "ue los n5meros se escri'en talcual se los nom'ra4 derivan de las caractersticas mismas "ue la numeraci!noral posee 6 dierencia de la numeraci!n escrita "ue es posicional, lanumeraci!n &a'lada no lo es Si lo uera, al leer un n5mero, por e#emplo elJAF2 diramos /siete, cuatro, cinco, dos0 Sin em'ar(o, leemos 4en unci!n del

conocimiento "ue poseemos4 /siete mil cuatrocientos cincuenta y dos0 Esd

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ANTOLOGIA Orientaciones Didácticas Para El Nivel Inicial