Aplicaciones de los métodos numéricos en las ciencias

Aplicaciones de los métodos numéricos

Integrantes:

Kevin Roberto, Castillo Ramos. CR12008Roberto Ernesto, Molina Rodas. MR11140José Luis, Osorio Moran. OM13001Kevin Edgardo, Rivera Martinez. RM11014

Nombre del grupo:NTN.

Grupo de laboratorio:03

UNIVERSIDAD DE EL SALVADORAnálisis Numerico-2015

30-06-2015

Resumen

La importancia de los métodos numéricos ha aumentado en forma drástica en la enseñanza de la ingeniería y la ciencia, lo cual refleja el uso actual y sin precedentes de las computadoras. En los primeros apartados se navega en el uso de los métodos para resolver ecuaciones no lineales, a través de métodos iterativos. Para el caso de interpolación se revisan los métodos más predominantes para interpolar aquellos valores que no aparecen en una tabla de valores discretas, tales valores pudieron haber sido obtenido a través de experimentos empíricos. Siguiendo con lo habitual, se estudia la derivación e integración numérica como métodos precedentes a la presentación de métodos que solucionan ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, de matera iterativa nuevamente.

CONTENIDOIntroducción.......................................................................................................................................1

Aplicaciones de los métodos numéricos............................................................................................2

Solución ecuaciones no lineales.....................................................................................................2

Ejemplos.....................................................................................................................................2

Solución para gases de van der Waals aplicando Newton-Raphson...........................................6

Interpolación polinomial..............................................................................................................10

Descripción...............................................................................................................................10

Ejemplos...................................................................................................................................10

Brazo robótico: Camino más corto...........................................................................................14

Derivación e integración numérica...............................................................................................20

Ejemplos...................................................................................................................................20

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de carreras............................................................22

Ecuaciones diferenciales con problemas de valor inicial..............................................................32

Descripción...............................................................................................................................32

Ejemplos...................................................................................................................................32

Modelo de contagio epidemiológico........................................................................................34

Conclusión........................................................................................................................................39

Bibliografía.......................................................................................................................................40

1

INTRODUCCIÓNLa matemática es una herramienta que permite a las personas comprender el mundo que los rodea; a base de postulados, axiomas, teoremas, que relacionan cantidades abstractas o símbolos. Existe una estrecha relación entre la ciencia y la matemática, ya que sin esta última no se podría establecer un nexo entre la realidad y la abstracción del modelado de la realidad.

Sin embargo, no todo es explicado de manera sencilla. A veces surgen problemas cuya resolución conlleva cálculos demasiado grandes o enormes que son imposibles para una persona terminar la odisea en un tiempo determinado. Otras ocasiones, se desconoce o es imposible, por medio de métodos analíticos, llegar a una respuesta exacta o precisa, es por ello que se necesita de una aproximación cercana a la realidad; nuevamente esta tarea no es fácil de lograr a través del esfuerzo humano.

Los científicos trabajan a base de modelos, esto es, realizando ciertas abstracciones del medio y asumiendo postulados de hechos anteriormente estudiados o analizados, se logra reducir la complejidad en gran medida. Este modelo identifica, capta y explica el entorno que nos rodea de una manera muy aproximada.

El ordenador, una maquina o una computadora (según se le conozca) fue inventada para realizar cálculos grandes en cantidades sorprendentes de tiempo. Esto produjo una reducción en los costes de los proyectos ya que el tiempo para analizar un determinado problema se redujo considerablemente. Con ayuda de esta capacidad de procesamiento de las computadoras, se pueden establecer métodos, pasos, guías, para resolver problemas matemáticos que conllevan una gran cantidad de cálculos o necesiten aproximaciones bastante considerables.

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando de la solución del problema.

2

APLICACIONES DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Solución ecuaciones no lineales.

EjemplosIngeniería Civil y Ambiental

Un problema general se relaciona con el flujo de agua en canales abiertos. La velocidad de flujo, que se mide frecuentemente en ríos y arroyos se define como el volumen de agua que pasa por un punto específico de un canal por unidad de tiempo.

Aunque la velocidad de flujo es una cantidad útil, una cuestión adicional se relaciona con lo que sucede cuando se tiene una velocidad de flujo específico en un canal con pendiente. El agua alcanzará una profundidad específica H (m) y se moverá a una velocidad específica U (m /s)

La relación fundamental entre flujo y profundidad es la ecuación de continuidad Q=U Ac, Donde Ac= área de la sección transversal del canal. Para un canal rectangular Ac=BH , entonces: Q=UBH suponiendo que se conoce B se tiene una ecuación de dos incógnitas (U y H) por lo que

se requiere de una ecuación adicional. La ecuación de Manning para flujo uniforme U=1nR23 S

12

donde n es el coeficiente de rugosidad de Manning, S es la pendiente del canal y R es el radio

hidráulico, el cual se relaciona con los parámetros fundamentales mediante R= BHB+2H entonces:

Q= BHn

R2/3S1/2

Q= S1 /2

n(BH )5 /3

(B+2H )2 /3

De esa forma la ecuación queda con una incógnita H junto con el valor dado de Q y los parámetros del canal (n, S y B). Aunque se tiene con una incógnita, es imposible resolverla en forma explícita para encontrar H. Sin embargo, la profundidad se determina numéricamente al reformular la ecuación como un problema de raíces.

3

f (H )=S1/2

n(BH )5/3

(B+2H )2/3−Q=0

Para poder encontrar buenos valores iniciales el mejor método aplicable es el de punto fijo, ya que, para la ecuación hay dos formas de despejar H:

H=(Qn )3/5 (B+2H )2/5

BS3 /10O bien,

H=12 [ S3 (BH )5 /2

(Qn )3/2−B]

Ingeniería Eléctrica

En el diseño de un circuito eléctrico. Cuando se cierra el interruptor la corriente experimenta una serie de oscilaciones hasta que alcance un nuevo estado estacionario. En tal caso, existe un periodo de ajuste al cerrar el interruptor hasta que se alcance un nuevo estado estacionario. La longitud de este periodo de ajuste está íntimamente relacionada con las propiedades de almacenamiento de energía, tanto del capacitor como del inductor.

El flujo de corriente a través del resistor provoca una caída de voltaje V R, dada por V R=iR, donde i es la corriente y R la resistencia.

De manera semejante, un inductor se opone a cambios de corriente tales que la caída de voltaje a

través del inductor V L es: V R=Ldidt

, donde L es la inductancia.

La caída de voltaje del capacitor V C depende de la carga q sobre éste: V C=qC

, donde C es la

capacitancia.

La segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de un circuito cerrado es cero. Así que, después de cerrar el interruptor se tiene

Ldidt

+Ri+ qC

=0

Sin embargo, como la corriente se relaciona con la carga de acuerdo con i=dq /dt , por lo tanto,

4

Ld2qd t 2

+R dqdt

+ 1Cq=0

Ésta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden que se resuelve usando los métodos de cálculo. Esta solución está dada por

q (t )=q0 e−Rt /(2L)cos[√ 1

LC−( R2 L )

2

t ]Es necesario despejar R para valores conocidos para q ,q0 , L y C. Sin embargo, debe emplear una técnica de aproximación numérica, ya que R es una variable implícita en la ecuación. Usando el método de bisección para dicho propósito.

Reordenando la ecuación

f (R )=e−Rt /(2L)cos [√ 1LC

−( R2 L )

2

t ]− qq0

Con esto ya se puede estimar un valor de resistencia adecuado para el circuito consistente con los requisitos del problema.

Hidrodinámica y Mecánica Ondulatoria

La ecuación de una ola estacionaria reflejada en un puerto está dada por:

5

h=h0[ sen( 2πxλ )cos( 2πtvλ )+e−x ]Para λ=16 , t=12 , v=48 ,h=0.4 h0 , 40% de altura inicial.

Movimiento de las moléculas de agua, en la zona superficial del mar, provocado por la acción del viento.

Cuando una ola se aproxima a la costa, el movimiento típico del mar libre, movimiento circular, se transforma, por rozamiento de fondo, en un movimiento más deprisa que en su punto opuesto en la vertical y se produce un desplazamiento horizontal de masa de agua que provoca la ruptura de la ola al llegar a la costa.

El objetivo es hallar el punto donde rompe la ola, dado por x.

Para hallar esta solución se usó el método de Newton.

La solución más pequeña positiva se encuentra en el intervalo de [5,10].

Física, Mecánica Cuántica

Ecuación de Schrödinger

Ejemplos de ecuaciones trascendentales al resolver la Ecuación de Schrödinger (ES) para una partícula en una caja de potencial. La ES para una partícula de masa m es:

−ħ2

2md2udr x2

+V ( x )u ( x )=Eu ( x )V (r )={−V 00≤x<a0 x>a

Estados ligados corresponden a energía negativa E y estados de Scattering a energías positivas.

d2u ( x )d x2

+ 2mħ2

(V 0+E )u ( x )=0 x<a d2u ( x )d x2

+ 2mħ2

Eu (x )=0x>a

6

Si vemos los estados límite E < 0 e implementamos las CF en la función de onda se obtiene:

u (r )=Asen(√2m (V 0−|E|)rħ )r<au (r )=Bexp(−√2m|E|r

ħ )r>aPor continuidad de función de onda en r = a se obtiene la ecuación trascendental

√2m (V 0−|E|)cot(√2ma2 (V 0−|E|)ħ )=−√2m|E|

Este tipo de ecuaciones puede resolverse por los métodos de Bisección, Secante, Falsa Posición o Newton-Raphson.

La estrategia consiste en hallar las raíces de

f (E )=√2m (V 0−|E|)cot(√2ma2 (V 0−|E|)ħ )+√2m|E|

Química

Uno de los casos en química donde se puede aplicar la solución de ecuaciones no lineales es para el estudio de gases no ideales.

La ecuación para un gas ideal viene dada por pV=nRT ; sin embargo, solo es aplicable a un rango limitado de presión y temperatura.

La ecuación alternativa utilizada para el estudio de estos gases es la de Van der Waals, que viene dada por:

( p+ a

v2 ) ( v−b )=RTdonde v=Vn

es el volumen molar, a y b son constantes empíricas que

dependen del gas que se estudie.

Los cálculos de volumen molar vienen dados por la siguiente función:

f ( v )=( p+ a

v2 ) (v−b )−RT

En éste caso como la derivada de f ( v ) se determina fácilmente, entonces es conveniente usar el método de Newton-Raphson. La derivada de f ( v ) respecto a v está dada por:

f ' ( v )=p− a

v2+ 2ab

v3

Y el método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación:

v i+1=v i−f (v i )f ' (v i )

7

Solución para gases de van der Waals aplicando Newton-RaphsonDado que contamos con la función para los gases de van der Waals y su derivada el método más inmediato para solución de la ecuación no lineal es el de Newton-Raphson.

El código usado para la ejecución de este método fue el siguiente:

clc; funcprot(0);//método de Newton para gas de van der Waalsfunction [v]=newton(v0, eps, maxit, p0, a0, b0, T0) //definiendo las contantes //constante de los gases ideales R = 0.082054 p = p0 a = a0 b = b0 T = T0 v = v0 //función del volumen molar deff('y = f(v)','y = (p + a/(v.^2))*(v - b) - R*T') //derivada de f(v) deff('dy = df(v)','dy = p - a/(v.^2) + (2*a*b)/(v.^3)') eps0 = 1.0e-8 for i = 0:maxit

fv = f(v) dfv = df(v)

if (abs(fv) <= eps) then return end if (abs(dfv) <= eps0) then return end v = v - fv/dfv endendfunction

printf('APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON PARA SOLUCIÓN DE ECUACION DE LOS GASES DE VAN DER WAALS PARA BIÓXIDO DE CARBONO Y OXIGENO');

printf('\nIntroduzca los datos de 3 temperaturas y 3 presiones para comparar\n\nPresiones:\n');

//Constantes empiricas del bióxido de carbonoac = 3.592bc = 0.04267//Constantes empiricas del oxígenoao = 1.360bo = 0.03183

8

//Presiones de interés (en tamósferas):P1 = input('Presión 1 (atmósferas):-->');P2 = input('Presión 2 (atmósferas):-->');P3 = input('Presión 3 (atmósferas):-->');//Temperaturas en Kelvinprintf('\nTemperaturas:\n');T1 = input('Temperatura 1 (Kelvin):-->');T2 = input('Temperatura 2 (Kelvin):-->');T3 = input('Temperatura 3 (Kelvin):-->');

//Ocupando como valor de aproximación el dado por la ecuación de los gases idealesfunction [v0]=gasIdeal(T, p) R = 0.082054 v0 = (R*T)/pendfunction

printf('\nComparación de los datos obtenidos a partir de la ecuación de los gases ideales\ny la ecuación de van deer Waals para CO2 y O2\n\n');

printf('Temperatura\tPresion \t Volumen Molar\t Volumen Molar\t Volumen Molar\n (K) \t (atm) \t(Gases Ideales)\t(van der Waals CO2)\t(van der Waals O2)');

[v0] = gasIdeal(T1,P1)[vc] = newton(v0,1e-8,50,P1,ac,bc,T1)[vo] = newton(v0,1e-8,50,P1,ao,bo,T1)

printf('\n %d \t %d \t\t %f\t %f\t\t %f',T1,P1,v0,vc,vo);


printf('\n \t %d \t\t %f\t %f\t\t %f',P2,v0,vc,vo);


printf('\n \t %d \t\t %f\t %f\t\t %f\n',P3,v0,vc,vo);





9


printf('\n \t %d \t\t %f\t %f\t\t %f\n',P3,v0,vc,vo);







Los resultados al comparar ciertas temperaturas y presiones en para dos gases fueron los siguientes:

10

Interpolación polinomial.

Descripción.En muchas ocasiones tenemos datos discretos (esto es: un conjunto de puntos tabulares) que se han obtenido a partir de un experimento, muchas veces se desea obtener un valor entre el intervalo de puntos que no está especificado en la tabla. A este procedimiento se le conoce como Interpolación.

Cuando las calculadoras no estaban totalmente desarrolladas para valores de x, cuyo valor era el argumento de una función trigonométrica o logarítmica, se utilizaban tablas en donde la variación del argumento estaba igualmente espaciados entre los valores. Si por ejemplo se deseaba calcular el valor x=0.125, se obtenía el resultado como el valor medio entre x=0.12 y x=0.13. Si los valores estaban muy cerca entre si y la función no cambiaba rápidamente entre esos valores, esta estimación lineal era suficientemente precisa para realizar cálculos.

Se desean realizar cálculos interpolatorios por las siguientes razones: Los métodos de interpolación son básicos para desarrollar soluciones numéricas a derivación e integración, se pueden utilizar las técnicas de interpolación para simplificar los cálculos de una función complicada, etc.

Los métodos de interpolación comenzaron cuando los astrónomos decidieron predecir el movimiento de cuerpos celestiales, todo esto era determinado por observaciones periódicas. Algunas técnicas tienen nombres de matemáticos famosos: Gauss, Newton, Bessel.

11

Ejemplos.Transferencia de calor.

Los lagos de la zona templada llegan a dividirse en estratos térmicos durante el verano. Cerca de la superficie el agua es tibia y ligera, mientras que en el fondo es más fría y densa. La estratificación térmica divide el lago en dos capas: el epilimnion y el hipolimnion, separadas por un plano conocido como termoclina.

Esta capa impide la mezcla en gran medida de las dos capas antes habladas, como resultado puede ocasionar una reducción significativa del oxígeno en el fondo aislado de las aguas. La ubicación de la termoclina, se puede conocer obteniendo el punto de inflexión de la curva temperatura-profundidad; es decir: el punto donde la segunda derivada de la función temperatura con respecto a la profundad sea cero. Se pueden utilizar trazadores cúbicos (por su versatilidad y suavidad) para construir un polinomio sobre datos empíricos y luego encontrar los valores para la segunda derivada de la interpolación, a través de dataos tabulares como los que se muestran.

T(°C) 22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1h(m) 0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2

Variable Cefeida

Una Cefeida es una estrella que pulsa radialmente, variando tanto temperatura como diámetro para producir cambios de brillo con un periodo y amplitud muy estable regulares. Con estos cambios de brillo se pueden establecer como marco de referencia para la medición de distancias a través del espacio.

Sus periodos de pulsación varían entre un día y unos cuatro meses, y sus variaciones de luminosidad pueden ser de entre un 50 y un 600% entre el máximo y el mínimo. Su nombre proviene de su prototipo o estrella representativa, Delta Cefei.

12

La relación entre su luminosidad media y el periodo de pulsación fue descubierta en 1912 por Henrietta S. Leavitt, y se conoce como relación periodo-luminosidad. Leavitt encontró que la luminosidad de una cefeida aumenta de manera proporcional a su periodo de pulsación.

Así, los astrónomos pueden determinar la luminosidad intrínseca de una cefeida simplemente midiendo el periodo de pulsación. La luminosidad aparente de una estrella en el cielo depende de su distancia a la Tierra; comparando esta luminosidad con su luminosidad intrínseca se puede determinar la distancia a la que se encuentra. De este modo, las cefeidas pueden utilizarse como indicadores de distancias tanto dentro como fuera de la Vía Láctea.

Teniendo una tabla de valores, se puede interpolar entre un valor desconocido en el intervalo y conocer la magnitud aparente de la cefeida. Digamos:

Tiempo 0.0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0Magnitud aparente 0.302 0.185 0.106 0.093 0.240 0.579 0.561 0.468 0.302

Camino más corto

En una empresa manufacturera se utiliza un brazo de robot para realizar un chequeo rápido de calidad a los radios de seis agujeros en un plato rectangular de 15”x10” , los puntos se muestran a continuación.

X Y2.00 7.24.5 7.1

5.25 6.07.81 5.09.20 3.510.6

05.0

Si se introduce un polinomio de orden superior (En este caso de quinto orden) se obtiene un camino muy largo para que el robot realice la secuencia. Para suavizar el camino, o establecer un camino más corto, es posible realizar una interpolación por splines que acorten la longitud del camino.

Aproximación de una curva sin función explicita.

13

La siguiente figura muestra a un pato en pleno vuelo, si se quisiera aproximar las curvas de la parte superior, se podrían escoger puntos a lo largo de la curva por los cuales, se tome una aproximación deseada.

Los puntos a considerar podrían ser como siguen:

De una forma tabular más precisa se pueden acomodar y preparar los puntos para realizar una interpolación por medio de trazadores cúbicos sujetos, que brindarían una aproximación muy buena de las curvas a obtener.

Interpolación espacial.

La interpolación espacial es el proceso de utilizar puntos con valores conocidos para estimar valores desconocidos en otros puntos. Por ejemplo, para realizar un mapa de precipitación (lluvia) para un país o un área en especial, no se encontrarán suficientes estaciones meteorológicas distribuidas uniformemente para cubrir toda la región. La interpolación espacial puede estimar las temperaturas en lugares que no tienen ese dato utilizando lecturas de temperatura conocida en estaciones meteorológicas cercanas (ver figura). A este tipo de superficie interpolada con frecuencia se le llama una superficie estadística. Datos de elevación, precipitación, acumulación de nieve, tabla de agua y

14

densidad de población son otros tipos de datos que pueden ser calculados utilizando la interpolación.

Brazo robótico: Camino más corto.Como se mencionó anteriormente, utilizando la interpolación por trazadores cúbicos, se puede obtener una curvatura suave, que no cambie bruscamente de valor en intervalos pequeños y que se ajuste a todos los puntos con muy buenas aproximaciones.

Antes de pasar a la solución con trazadores, se mostrara porque un polinomio que utilice todos los nodos de la tabla, esto es, un polinomio de grado superior, puede ocasionar graves problemas de aproximaciones.

Tabla de valores.

X Y2.00 7.24.5 7.1

5.25 6.07.81 5.09.20 3.510.6

05.0

En este caso se utilizara interpolación de LaGrange, cuya grafica se muestra a continuación:

15

Si se da un vistazo detallado a la gráfica, si el brazo se mueve de x=2 a x=4.5 el brazo realiza un movimiento muy exagerado entre esos puntos, este comportamiento lo exhiben todos los polinomios de grado superior, ya está en su naturaleza oscilar de esa manera en los extremos de un intervalo dado.

Usando trazadores cúbicos, se pueden alcanzar curvas bastante suaves entre los puntos, así se logra un camino más corto.

CódigoLa siguiente implementación que se muestra, es en el software de Scilab.

funcprot(0); ieee(2);

clc; TRUE=1; FALSE=0; printf('This is the natural cubic spline interpolation.\n'); OK = FALSE; while OK == FALSE printf('Input n-1\n'); N = input(' '); if N > 0

16

OK = TRUE; X = zeros(1,N+1); A = zeros(1,N+1); for I = 0:N printf('Input X(%d) and F(X(%d)) ', I, I); printf('on separate lines.\n'); X(I+1) = input(' '); A(I+1) = input(' '); end else printf('Number must be a positive integer\n'); end end if OK == TRUE M = N - 1;//% STEP 1 H = zeros(1,M+1); for I = 0:M H(I+1) = X(I+2) - X(I+1); end//% STEP 2//% Use XA in place of ALPHA XA = zeros(1,M+1); for I = 1:M XA(I+1) = 3.0*(A(I+2)*H(I)-A(I+1)*(X(I+2)-X(I))+A(I)*H(I+1))/(H(I+1)*H(I)); end//% STEP 3//% STEPs 3, 4, 5 and part of 6 solve the tridiagonal system using //% Crout reduction.//% use XL, XU, XZ in place of L, MU, Z resp. XL = zeros(1,N+1); XU = zeros(1,N+1); XZ = zeros(1,N+1); XL(1) = 1; XU(1) = 0; XZ(1) = 0;//% STEP 4 for I = 1:M XL(I+1) = 2*(X(I+2)-X(I))-H(I)*XU(I); XU(I+1) = H(I+1)/XL(I+1); XZ(I+1) = (XA(I+1)-H(I)*XZ(I))/XL(I+1); end//% STEP 5 XL(N+1) = 1; XZ(N+1) = 0; B = zeros(1,N+1); C = zeros(1,N+1); D = zeros(1,N+1); C(N+1) = XZ(N+1);//% STEP 6

17

for I = 0:M J = M-I; C(J+1) = XZ(J+1)-XU(J+1)*C(J+2); B(J+1) = (A(J+2)-A(J+1))/H(J+1) - H(J+1) * (C(J+2) + 2.0 * C(J+1)) / 3.0; D(J+1) = (C(J+2) - C(J+1)) / (3.0 * H(J+1)); end//% STEP 7 printf('NATURAL CUBIC SPLINE INTERPOLATION\n\n'); printf('The numbers X(0),...,X(N) are:\n');

// printf('NATURAL CUBIC SPLINE INTERPOLATION\n\n');// printf('The numbers X(0), ..., X(N) are:\n'); printf('\n\nThe coefficients of the spline on the subintervals '); printf('are:\n'); printf('for I = 0, ..., N-1\n'); printf(' A(I) B(I) C(I) D(I)\n'); // printf('\n\nThe coefficients of the spline on the subintervals '); // printf('are:\n');// printf('for I = 0, ..., N-1\n');// printf(' A(I) B(I) C(I) D(I)\n'); for I = 0:M printf('%13.8f %13.8f %13.8f %13.8f\n',A(I+1),B(I+1),C(I+1),D(I+1)); // printf('%13.8f %13.8f %13.8f %13.8f \n',A(I+1),B(I+1),C(I+1),D(I+1)); end

ResultadosEl algoritmo anterior obtiene el valor de los coeficientes en los intervalos de los nodos, usando trazadores cúbicos libres, estos coeficientes se utilizan para construir un polinomio de aproximación, que incluya a los nodos de manera seccionada o partidos por segmentos.

18

Con estos coeficientes se obtienen el siguiente conjunto de polinomios:

S ( x )={ 7.20+0.59300575 ( x−2 )−0.10128092 ( x−2 )3 ,∧2≤ x≤4.57.1−1.30601151 ( x−4.5 )−0.75960691 ( x−4.5 )2+0.72720004 ( x−4.5 )3 ,4.5≤x ≤5.25

6.0−1.21827180 ( x−5.25 )+0.87659318 ( x−5.25 )2−0.21613033 ( x−5.25 )3 ,5.25≤ x≤7.815−0.97940994 ( x−7.81 )−0.78328777 ( x−7.81 )2+0.51190065 ( x−7.81 )3 ,7.81≤ x≤9.203.5−0.18982019 ( x−9.20 )+1.35133795 ( x−9.20 )2−0.32174713 ( x−9.20 )3 ,9.20≤ x ≤10.60

Con estos polinomios se puede realizar una gráfica, en el intervalo de [2,11].

19

Ahora las curvas tienen más suavidad al pasar de un punto a otro, y se ha optimizado el camino que ha de seguir el brazo robótico entre los segmentos.

Aplicación conceptualSe ha demostrado que, a medida un polinomio aumenta de orden, este presenta un comportamiento oscilatorio, Runge uso un ejemplo particular para demostrar esto. Como en este caso, se utilizó trazadores cúbicos para realizar la ruta del camino más suave y corto, la siguiente grafica muestra en comparación el polinomio de orden superior y los trazadores cúbicos.

20

Sea S la longitud de la curva desde un punto a, hasta un b, en un intervalo, digamos: [a,b]. Es posible obtener el valor de la longitud de arco con la siguiente formula:

S=∫a

b

√1+( dfdx

)2

dx

Los resultados de ambas curvas se muestran a continuación:

Tipo de interpolación

Polinomio de 5to orden Trazador cubico libre

Longitud de la curva 14.919” 11.248”

Derivación e integración numérica.

EjemplosCálculo de distancia

Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Para este caso, la velocidad se calcula con

v (t )=√ gmCd

tanh ¿)

21

Donde cd = coeficiente de arrastre de segundo orden. a) Si g =

9.8 m/s2, m = 68.1 kg y cd = 0.25 kg/m, use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el objeto en 10 segundos. b) Haga lo mismo, pero evalúe la integral con la regla del trapecio de segmento múltiple. Use una n suficientemente grande para obtener tres dígitos significativos de exactitud.

Determinación del momento flexionante

Una viga de 11 m está sujeta a una carga, y la fuerza cortante sigue la ecuación:

V ( x )=5+0.25 x2

Donde V es la fuerza cortante y x es la distancia a lo largo de la viga. Se sabe que V=dM /dx, y M es el momento flexionante. La integración conduce a la relación

M=M 0+∫0

x

V dx

Si M 0 es cero y x=11, calcule M con el empleo de a) integración analítica, b) aplicación múltiple de la regla del trapecio, y c) aplicación múltiple de las reglas de Simpson. Para los incisos b) y c) use incrementos de 1 m.

Determinación del número de autos que transitan por un punto en un lapso de tiempo

Un estudio de ingeniería del transporte requiere que usted determine el número de autos que pasan por una intersección cuando viajan durante la hora pico de la mañana. Usted se para al lado de la carretera y cuenta el número de autos que pasan cada cuatro minutos a varias horas, como se muestra en la tabla a continuación. Utilice el mejor método numérico para determinar a) el número total de autos que pasan entre las 7:30 y las 9:15, y b) la tasa de autos que cruzan la intersección por minuto. (Recomendación: tenga cuidado con las unidades.)

Tiempo (h) 7:30 7:45 8:00 8:15 8:45 9:15

22

Tasa (autos por 4 min) 18 24 14 24 21 9

Obtención de la masa de cuerpos con densidad variable

La masa total de una barra de densidad variable está dada por

m=∫0

L

ρ ( x ) Ac ( x )dx

Donde m = masa, r(x) = densidad, Ac(x) = área de la sección transversal, x = distancia a lo largo de la barra y L = longitud total de la barra. Se midieron los datos siguientes para una barra de 10 m de longitud. Determine la masa en kilogramos con la exactitud mejor posible.

X,m 0 2 3 4 5 8 10

Ρ, g/cm3 4.00 3.95 3.89 3.80 3.60 3.41 3.30

Ac , cm2 100 103 106 110 120 133 150

Fuerza efectiva sobre el mástil de un bote de carreras.

En la figura se muestra un corte transversal de un bote de carreras. Las fuerzas del viento ejercidas por pie de mástil desde las velas carían en función de la distancia sobre la cubierta del bote.

23

Calcúlese la fuerza de tensión en el cable.

Supóngase que el soporte del cable derecho está flojo y el mástil se une al casco de manera que transmita fuerzas verticales y horizontales pero no momentos. El mástil permanece vertical.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

SUMATORIAS DE FUERZAS Y MOMENTOS EN 0

ΣFH=0=F−Tsin (Θ )−H

ΣM 0=0=3V −Fd

ΣF V=0=V −Tcos (Θ )

Donde T es la tensión en el cable.H y V son las reacciones que se desconocen sobre el mástil transmitidas al casco.

Para hallar el ángulo usamos la tangente:

24

tan (θ )= 330

→ tan−10.1→θ=5.72 °=0.09967

Para la solución del problema se debe encontrar la Fuerza F que equivale a la conversión de las fuerzas distribuidas sobre el mástil en una sola. F se puede calcular mediante la integral de la siguiente función continua:

F=∫0

30

200( x5+x )e

−2x30 dx

REGLA TRAPEZOIDAL

25

METODO DE SIMPSON

26

REGLA DE 3/8 DE SIMPSON

27

Código//Traducido por: Oscar Moreira

//

//ENTRADAS: tipo de formula (abierta o cerrada), n, x0, xn y fx.

//SALIDAS: r (aproximacion).

//

clc;

funcprot(0);

ieee(2);

format(25);

printf('\nAPROXIMACION DE INTEGRALES MEDIANTE NEWTON-COTES.\n');

printf('Recuerde que:\nEn las formulas cerradas,\n si n=1: Regla trapezoidal,\n si n=2: De Simpson,\n si n=3: Regla de tres octavos de Simpson.');

printf('\nEn las formulas abiertas,\n si n=0: Regla del punto medio.\n\n');

OK = 0;

while OK == 0

printf('Ingrese el tipo de formula\n1. Cerrada\n2. Abierta\n');

tipoFormula = input(' ');

if tipoFormula == 1 | tipoFormula == 2

OK = 1;

else

printf('ERROR: Ingrese nuevamente.\n');

end

end

if tipoFormula == 1

OK = 0;

while OK == 0

printf('Ingrese n (entre 1 y 4):\n');

n = input(' ');

if n == 1 | n == 2 | n == 3 | n == 4

28

OK = 1;

else


end

end

else

OK = 0;

while OK == 0

printf('Ingrese n (entre 0 y 3):\n');

n = input(' ');

if n == 0 | n == 1 | n == 2 | n == 3

OK = 1;

else


end

end

end

if tipoFormula == 1

printf('Ingrese x0:\n');

else

printf('Ingrese x-1:\n');

//x0 = input(' ');

end

x0 = input(' ');

if tipoFormula == 1

printf('Ingrese x%d:\n', n);

else

printf('Ingrese x%d:\n', n+1);

end

29

xn = input(' ');

//printf('Ingrese f(x) en terminos de x:\n');

//printf('Por ejemplo: sin(x)\n');

deff('y=f(x)',input('Digite la funcion en el formato y=f(x), Por ejemplo: y=sin(x)',"s"));

//f = inline(funcion,'x');

if tipoFormula == 1

h=(xn-x0)/n;

if n == 1

r = (h/2)*(f(x0)+f(xn));

end

if n == 2

r = (h/3)*(f(x0)+4*f(x0+h)+f(xn));

end

if n == 3

r = ((3*h)/8)*(f(x0)+3*f(x0+h)+3*f(x0+2*h)+f(xn));

end

if n == 4

r = ((2*h)/45)*(7*f(x0)+32*f(x0+h)+12*f(x0+2*h)+32*f(x0+3*h)+7*f(xn));

end

else

h=(xn-x0)/(n+2);

if n == 0

r = 2*h*f(x0+h);

end

if n == 1

r = ((3*h)/2)*(f(x0+h)+f(xn-h));

end

if n == 2

30

r = ((4*h)/3)*(2*f(x0+h)-f(x0+2*h)+2*f(xn-h));

end

if n == 3

r = ((5*h)/24)*(11*f(x0+h)+f(x0+2*h)+f(xn-2*h)+11*f(xn-h));

end

end

err = abs(double(intg(x0,xn,f))- r);

printf('\nSeleccione el tipo de salida\n');

printf('1. En pantalla\n');

printf('2. En archivo de texto\n');

printf('3. En pantalla y archivo de texto\n');

opcion = input(' ');

//imprime en archivo o en pantalla

if opcion == 1 | opcion == 2

if opcion == 2

printf('Ingrese el nombre del archivo de la forma: drive:\\name.ext\n');

printf('Por ejemplo: A:\\Output.dta\n');

nombre = input(' ',"s");

salida = mopen(nombre,'wt');

end

printf('\n');

if opcion == 1

printf('*** Aproximaciones con algunas formulas abiertas y cerradas de Newton-Cotes ***\n\n');

else

mputl('*** Aproximaciones con algunas formulas abiertas y cerradas de Newton-Cotes ***\n\n',salida);

end

if tipoFormula == 1

31

if opcion == 1

printf('Formula cerrada con n = %d\n', n);

else

mfprintf(salida,'Formula cerrada con n = %d\n', n);

end

else

if opcion == 1

printf('Formula abierta con n = %d\n', n);

else

mfprintf(salida,'Formula abierta con n = %d\n', n);

end

end

if opcion == 1

printf('Aproximaci�n = %.10e\n', r);

printf('Error = %.10e\n', err);

else

mfprintf(salida,'Aproximaci�n = %.10e\n', r);

mfprintf(salida,'Error = %.10e\n', err);

end

if opcion ~= 1

mclose(salida);

printf('Archivo %s creado exitosamente\n',nombre);

end

//imprime en archivo y en pantalla

else

printf('Ingrese el nombre del archivo de la forma: drive:\\name.ext\n');

printf('Por ejemplo: A:\\Output.dta\n');

nombre = input(' ',"s");

salida = mopen(nombre,'wt');

32

//impresion en pantalla

printf('\n*** Resultados de aproximaciones mediante Newton-Cotes ***\n\n');

if tipoFormula == 1

printf('Formula cerrada con n = %d\n', n);

else

printf('Formula abierta con n = %d\n', n);

end

printf('Aproximacion = %.10e\n', r);

printf('Error = %.10e\n', err);

//impresion en archivo

mfprintf(salida,'\n*** Resultados de aproximaciones mediante Newton-Cotes ***\n\n');

if tipoFormula == 1

mfprintf(salida,'Formula cerrada con n = %d\n', n);

else

mfprintf(salida,'Formula abierta con n = %d\n', n);

end

mfprintf(salida,'Aproximacion = %.10e\n', r);

mfprintf(salida,'Error = %.10e\n', err);

mclose(salida);

printf('Archivo %s creado exitosamente\n',nombre);

end

Según los resultados podemos notar cómo existen ciertas diferencias en la utilización de las reglas del trapecio, Simpson y Simpson 3/8.

Sin embargo tal como muestran las imágenes de la solución, realizadas utilizando Scilab, que la mejor aproximación en ésta caso viene dada por la regla del trapecio, pues el error es menor que el obtenido en las otras dos reglas.

33

Ecuaciones diferenciales con problemas de valor inicial.

Descripción.Una ecuación diferencial es aquella que establece una relación entre una variable independiente, una variable dependiente y sus derivadas. En el mundo real, estas relaciones son bastante útiles para modelar problemas de nuestro entorno. Un ejemplo obvio es la segunda ley de newton, cuya relación establece una proporcionalidad entre la fuerza, la masa y la aceleración de un objeto, esta última variable no es más que el cambio de la velocidad. A su vez, la velocidad también establece otra variable que cambia: la posición.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por orden, que no es más que el valor de la mayor derivada en la ecuación diferencial. Si en una ecuación diferencial, la variable dependiente solamente depende de una variable independiente, estamos en presencia de una ecuación diferencial ordinaria (O por su abreviatura: E.D.O.).

Para ciertas condiciones especiales la solución de una EDO tiene la siguiente forma:

y=g (x , c1 ,…,cn)

En donde la letra c, representa constantes arbitrarias.

Los métodos considerados para resolver EDO ordinarias se ejemplifican a ecuaciones de primer orden, ya que es muy simple llegar a reducir el orden de la ecuación diferencial con una sustitución de variables.

Ya que la solución general involucra una cantidad arbitraria de constantes dadas, podemos establecer una condición inicial: Supongamos que en un intervalo [a,b] establecemos que cierta EDO de la forma y’=f(x,y) tiene solución y=g(x,c) cuya condición está sujeta a y(x0)=y0 en donde por lo general, x0 equivale al valor inferior del intervalo.

Ejemplos.Modelo depredador-presa.

Las ecuaciones de Lotka-Volterra, también conocidas como ecuación predador-presa o presa-predador, son un par de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales que se usan para describir dinámicas de sistemas biológicos en el que dos especies interactúan, una como presa y otra como depredador. Las ecuaciones fueron propuestas de forma independiente por Alfred J. Lotka en 1925 y Vito Volterra en 1926. Tales ecuaciones se definen como:

dxdt

=ax−bxy

dydt

=−cy+dxy

En donde:

34

X equivale al número de presas en un determinado tiempo. Y es el número de predadores o depredadores en función de t. A es la razón de crecimiento de la presa. B y D la razón que caracteriza el efecto de la interacción depredador-presa. C es la razón de muerte del depredador.

Estos modelos son útiles en el estudio de ciclo de los nutrientes y contaminantes tóxicos en las cadenas alimenticias acuáticas y de sistemas de tratamiento biológicos.

Drenado de un tanque.

El principio de Torriceli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. Y establece lo siguiente:

La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio.

v=c √2 ghLa ecuación anterior relaciona la velocidad a la que el líquido es drenado del tanque, donde c es la constante de viscosidad en el líquido; para problemas ideales se toma c como el valor de la unidad. El problema consiste en saber en cuanto tiempo la altura h de la columna de líquido se va a vaciar.

Péndulo oscilante.

En la ingeniería se estudia en muchas ocasiones, cuerpos que presentan un comportamiento oscilante o periódico. Un ejemplo sencillo es clásico modelo de un péndulo simple que consiste en un cuerpo de peso W sostenido a un eje por medio de una cuerda de longitud l, Las únicas fuerzas que actúan en este sistema son: la tensión de la cuerda y el peso del cuerpo antes mencionado.

Si se realiza un análisis para el comportamiento dinámico y estático del cuerpo de la partícula por medio de un diagrama de cuerpo libre, abstrayendo o colocando las fuerzas correspondientes en el diagrama para luego realizar unos artificios matemáticos, se llega a la siguiente ecuación que describe el movimiento:

35

d2θd t2

+ glsinθ=0

Compuesto químico

Una reacción química irreversible en la cual dos moléculas de potasio dicromático solido (K2Cr2O7), dos moléculas de agua, y tres átomos de sulfuro (S) se combinan para dar paso a tres moléculas de gas de óxido de azufre (SO2), cuatro moléculas de hidróxido de potasio (KOH) y dos moléculas de óxido de cromo. Pueden representarse en la siguiente ecuación de estequiometria:

Si n1 moléculas de K2Cr2O7, n2 de agua y n3 moléculas de S están originalmente disponibles la siguiente ecuación diferencial describe la cantidad x(t) de KOH después de un tiempo t:

Donde k es una constante de la velocidad de reacción.

Se puede utilizar los métodos de Runge-Kutta para resolver esta ecuación diferencial.

Modelo de contagio epidemiológico.

Un problema importante de biología y medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa; esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otros. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia. Un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad es:

dydt

=kxy

En donde x y y equivalen a la cantidad de personas total en cierta región, teniendo como x a las personas o individuos susceptibles al contagio y a y como la cantidad de personas infectadas, ambas variables en algún determinado tiempo t.

Modelo de contagio epidemiológico.Como se estableció anteriormente, una ecuación elemental puede describir y/o predecir la propagación de la cierta infección contagiosa a una cantidad determinada de personas. Sea x(t) la cantidad de individuos potenciales para contraer la enfermedad y sea y(t) el número de población infectada, en determinados tiempos t. Debemos asumir, para simplificar el modelo, que todas las

36

personas tienen igual capacidad de quedar enfermas o de ser contagiadas sin importar muchos factores. Ahora podemos establecer una variable m, tal que:

m=x (t )+ y ( t )

Que se presentara constante, con objeto de sencillez. Así, la ecuación descrita anteriormente se puede reescribir en términos de y únicamente.

dydt

=k (m− y) y

Asumiendo que, que la población total es de 100,000, la cantidad de personas infectadas en el tiempo cero es 1000, que el tiempo se mida en días y con una constante equivalente a 2x10-6 encuentre la cantidad de ínvidos infectados al final de 30 días.

CódigoSe utilizara el algoritmo de Runge-Kutta de orden 4 para la solución de una ecuación diferencial ordinaria, implementado en Scilab.

clc;clear;funcprot(0);ieee(0);//EDO DE PRIMER ORDENdeff("dy=f(x,y)","dy=kmy-y^2");//–2x 3 + 12x 2 – 20x + 8.5

printf("\n=========================================================================");printf("\n METODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN SUPERIOR PARA EDO DE PRIMER ORDEN ");printf("\n LA E.D.O. SE DEFINE INTERNAMENTE. ");printf("\n (NOTA: SE HA CAMBIADO x POR t) ");printf("\n==========================================================================");a=input("Ingrese el extremo inferior del intervalo a: ");b=input("Ingrese el extremo superior del intervalo b: ");while a>=b printf("El valor de a debe ser menor que b"); a=input("Ingrese el extremo inferior del intervalo a: ");endn=input("Ingrese el valor de n, subintervalos: ");while n<=0 printf("n, debe ser un entero positivo."); n=input("Ingrese el valor de n, subintervalos: ");end//matriz para valores de x y y,Y=zeros(1:n+1);X=zeros(1:n+1);//Calculando el valor de h//Calculo de otros valores para la solucion.h=(b-a)/n;

37

mp=h/2;printf("\nCondiciones iniciales: y(x0)=y0 ");x0=input("Ingrese el valor de x0: ");y0=input("Ingrese el valor de y0: ");yi=y0;xi=x0;printf("\n----------------------------------------------------------");printf("\n| I || X || Y || F(X,Y) ||");printf("\n----------------------------------------------------------");for i=1:n+1 printf("\n %d %f %.8f %f",i,xi,yi,f(xi,yi)); Y(i)=yi; X(i)=xi; k1=h*f(xi,yi); k2=h*f(xi+mp,yi+(k1/2)); k3=h*f(xi+mp,yi+(k2/2)); aux=a+i*h; k4=h*f(aux,yi+k3); yi=yi+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; //Formula de Euler xi=a+i*h;endprintf("\n----------------------------------------------------------");printf("\nPara un valor de h: %.5f en el intervalo I[%.4f,%.4f]",h,a,b);printf("\nCondicion inicial: y(%f)=%f",x0,y0);xgrid;plot2d(X,Y)title("Solucion para la EDO de primer orden, por el metodo de Runge-Kutta orden superior:");fchamp(f,0,X,Y);

ResultadosSe ha cambiado la variable t por x, por cotidianidad.

38

Como se muestra en la tabla anterior, para el día 30 se tendrá una cantidad aproximada de 80,288 personas infectadas. Lo cual demuestra una tendencia creciente de los contagios, como era lo más lógico. A este ritmo, y a largo plazo, se tendrá una población contagiada del 100% con el pasar de los días, así como lo demuestra el siguiente grafico de nuestros resultados.

39

Aplicación conceptual.La aproximación puede mejorar al determinar un número mayor de pasos o segmentos a subdividir.

La aproximación mejora de alguna manera y se vuelve más precisa, esto demuestra la adaptabilidad de los métodos de Runge-Kutta, con algunas evaluaciones a la función original, lo que pone a razón la superior de este método con respecto a muchos otros existentes de este mismo tipo.

40

CONCLUSIÓNLa matemática juega un rol crucial en las aplicaciones de uso diario en la ingeniería. La etapa del diseño, o del ‘como’ hacerlo, requiere de un ingenio y creatividad notables para resolver los problemas, dentro del proceso de diseño de ingeniería. Al ser responsable de crear nuevas técnicas para suplir las deficiencias de la humanidad, pueden surgir problemas que conllevan mayor complejidad en los cálculos y en la resolución de problemas. Los algoritmos y procesos que se estudian en el análisis numérico, pueden ayudar a calcular con rapidez una cantidad inimaginable de problemas y situaciones que requieran de una precisión bastante alta. Los métodos numéricos son una herramienta potente en el procesamiento de cálculo y de datos, con estas técnicas es posible adaptarlas a necesidades específicas con problemas específicos para encontrar aproximaciones muy buenas, con unos cuantos segundos invertidos en su búsqueda. Además, fomentan el proceso científico y ayudan a fomentar nuevas y mejores teorías en el campo del conocimiento, todo esto resulta en aproximaciones y paradigmas cada vez más exactos acerca de la realidad.

41

BIBLIOGRAFÍABaroni, S. (1952). Numerical methods in Engineering. Prentice-Hall.

Burden R, F. D. (2011). Numerical Analysis 9th edition. Boston: CENGAGE Learning.

Chapra S, C. R. (2007). Metodos numericos para ingenieros, 5ta edicion. Mexico D.F.: McGraw-Hill.

Curtis G, W. P. (2004). Applied numerical analysis . Pearson Education.

Kaw, A. (Junio de 2015). Holistic numerical Methods . Obtenido de Math for College: http://mathforcollege.com/nm/topics/textbook_index.html

Documents

Aplicaciones de los métodos numéricos en las ciencias