Métodos Numéricos U5

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MTODOS NUMRICOS UNIDAD 5 INTERPOLACIN INTRODUCCINSiguiendolainvestigacinrealizadapudeencontraryapreciarqueennumerosos fenmenosdelanaturaleza,podemosobservarciertaregularidadenlaformade producirse,estonospermitesacarconclusionesdelamarchadeunfenmenoen situaciones que no hemos medido directamente. Asmismoencontrqueestosepodrausarseparaestimarrazonablemente,algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando una funcin que ajuste los datos. Este es un tema llamado Interpolacin. El mtodo de interpolacin es un mtodo cientfico lgico que consiste en suponer que el curso de los acontecimientos continuar en el futuro, convirtindose en las reglas que utilizamos para llegar a una nueva conclusin.Consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. Utilizado para buscar la solucin a un problema (lgica) o de ensear la misma (pedagoga), lo que lo convierte en una herramienta muy utilizadas en el marco profesional y de enseanza.INTERPOLACIN LainterpolacinconsisteenencontrarelvalordelafuncinF(x),delacualslose conocenalgunospuntos,paraunvalordexqueseencuentreentredosvalores consecutivos conocidos. En pocas palabras podramos decir que: "La interpolacin consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos". El problema general de la interpolacin se nos presenta cuando nos dan una funcin de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn) Y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta funcin. Interpolacin. Eleccin de la interpolacin ms adecuada. Consideremos una funcin de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma: (xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn) EJEMPLO Deseamos encontrar la expresin analtica de dicha funcin para poder estudiarla en otros puntos. Ahorabien,porn+1puntospasaninfinitasfunciones,conculdeellasnosquedamos? Lomslgicoesrecurriralamssencilla.Lacualesladelospolinomios,portanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.Lafuncinpolinmicademenorgradoquepasaporlospuntosesenprincipiodegrado n: y= anxn+...+a1x+ao Yseobtieneresolviendoelsistemaden+1ecuacionesconn+1incgnitas(sistemaque tienesolucinnicayaqueeldeterminantedelamatrizdeloscoeficientesesde Vandermonde y por lo tanto distinto de cero) POLINOMIO DE INTERPOLACIN DE NEWTON Unodeestasformastrabajadirectamenteenlatablaobtenidamedianteelprocesode DiferenciasDivididas;Eneldesarrollodeestasdiferenciasfinitas,seobtuvoenprimer lugar las diferencias finitas ordinarias y luego las diferencias finitas divididas. INTERPOLACIN POLINOMIAL DE NEWTON Algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado. Interpolacin lineal Utilizando tringulos semejantes Reordenando El nmero de puntos considerados oscila entre dos y seis, y grados del polinomio entre uno y cinco. Si los datos proceden de un polinomio que tiene grado tres, el hecho queda claro en los clculos, ya que la tercera columna de la tabla de diferencias divididas ser constante, con todos sus elementos iguales, y por tanto, las columnas que siguen son todas nulas. La ltima columna no nula decide por tanto el grado del polinomio de interpolacin. EJEMPLO 01 Estimar ln 2 mediante interpolacin lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294 Valor real ln 2 = 0.6931472 Error relativo porcentual = 33.3% EJEMPLO 02 Obtener el polinomio de interpolacin usando la frmula de interpolacin de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuacin, e interpolar en el punto x = 5. Sabemos que si tenemos los n+1 puntos (xi,yi), i=0... n, y queremos calcular el polinomio que interpola en dichos puntos utilizando la frmula de interpolacin de Newton en diferencias divididas. O tambin: pn(x)= f[x0] + f[x0,x1](xx0)+ f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)++f[x0,x1,,xn] (xx0)(xx1)...(xxn1) En las que aparecen las diferencias divididas f[x0,...,xi], obtenidas a partir de los valores proporcionados por la tabla inicial. Calculamos entonces la tabla de diferencias divididas: Donde se ha expresado por brevedad la diferencia divididaf[xk,xk+1,...,xk+p] como f[xk || xk+p]. La diagonal de la tabla de diferencias divididas, en color rojo, es entonces: [15,5], que se corresponde exactamente con el conjunto de valores que aparece en la frmula y por tanto, los polinomios de Newton son los siguientes: p0(x) = 15 (interpola en el primer punto) p1(x) = 5 (x-4) + p0(x) = 5+5 x (interpola en todos los puntos) O tambin: p(x) = 15 +5 (x4) = 5+5 x La grafica de polinomio de interpolacin: p(x) = -5+5x y de los puntos (xi, yi), i=01 es la que viene a continuacin. Si se quiere interpolar en un punto concreto, lo mejor es tomar el polinomio de interpolacin en su forma de Newton y reordenarlo al estilo Ruffini-Horner expresando el polinomio como: p(x) = 15 +(x4) (5) Lo que supone realizar a lo sumo 2 sumas/restas y 1 multiplicaciones para interpolar en un punto x. Para interpolar entonces en x= 5, basta sustituir la x de la expresin reordenada anterior por su valor 5 para obtener p(5) = 30. Si se tuviera el polinomio en su forma normal, como combinacin lineal de {1,x,x2,...,xn}, deberamos usar el algoritmo clsico de Ruffini Horner, ya que supondra 1 sumas y 1 multiplicaciones, como se ve a continuacin. En este caso, para obtener el valor en x = 5 del polinomio de interpolacin p(x) = 5+5 x colocamos los coeficientes de mayor a menor exponente y operamos de la forma usual: O bien p(5) = 5 . (5) 5 = 30 Obteniendo el mismo resultado que antes, p(5) = 30, con el mismo nmero de multiplicaciones y la mitad de sumas/restas. POLINOMIO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE En anlisis numrico, el polinomio de Lagrange, llamado as en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto ms tarde por Leonhard Euler en 1783. La frmula clsica de interpolacin de Lagrange. En los ejercicios se consideran de dos a cinco puntos, y los grados resultantes van desde grado cero a grado cuatro en el polinomio de interpolacin. A lo largo de los ejercicios se puede comprobar que la obtencin del polinomio con Lagrange se vuelve una operacin ms laboriosa a medida que aumenta el nmero de puntos considerados, aunque los puntos correspondan a un polinomio de pequeo grado. INTERPOLACIN Y POLINOMIO DE INTERPOLACIN DE LAGRANGE Setratadeencontrarunpolinomiodegrado n quepaseporlospuntos(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que Ln,k(xi) = 0 cuando i k y Ln,k(xk) = 1 Se requiere entonces que el numerador contenga (x x0) (x x1)... (x xk1)(x xk+1)... (x xn) El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk. EJEMPLO 01 Obtener el polinomio de interpolacin usando la frmula de interpolacin de Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto: x = 4 Sabemos que la frmula de interpolacin de Lagrange para los n+1 puntos (xi,yi), i=0,,n, viene dada por: Dados los puntos (x0,y0) = (7,30), (x1,y1) = (-6,-22), tenemos entonces que los polinomios de Lagrange son los siguientes: El polinomio solucin es por tanto: Y la grfica del polinomio de interpolacin y de los puntos (xi,yi), i=0,...,1 es la siguiente: Si en lugar de obtener el polinomio de interpolacin se quiere interpolar en un punto, o sea, se quiere calcular el valor del polinomio de interpolacin en un punto concreto, basta sustituir la variable "x" de la frmula por ese valor y realizar las operaciones correspondientes. En nuestro caso, si se quiere interpolar en el punto x=4, usando alguna de las expresiones ya vistas para Lk(x), obtenemos: L0(4) = 2/13, L1(4) = 11/13 y por tanto: Si ya se tuviera el polinomio explcitamente tal como se ha calculado aqu, en potencias de x multiplicadas por sus coeficientes, es preferible utilizar el algoritmo de Ruffini-Horner para evaluar el polinomio en los puntos deseados, ya que entonces el coste es lineal (ver apuntes asignatura).En este caso, para obtener el valor en x = 4 del polinomio de interpolacin p(x) = 2+4 x colocamos los coeficientes de mayor a menor exponente y operamos de la forma usual: O bien p(4) = 4 . (4) +2 = 14 Obteniendo el mismo resultado que antes, p(4) = 14, con muchas menos operaciones. Sabemos que con Ruffini-Horner a lo sumo son necesarios n productos y n sumas para obtener el valor de un polinomio de grado n. Claro que para llegar a este punto se han debido realizar antes todas las operaciones necesarias para obtener el polinomio en potencias de x. INTERPOLACIN SEGMENTADA La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolacin. Una funcin spline est formadapor varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre s bajo ciertas condiciones de continuidad. INTERPOLACIN SEGMENTARIA LINEAL En l, vamos a interpolar una funcin f(x) de la que se nos dan un nmero N de pares (x,f(x)) por los que tendr que pasar nuestra funcin polinmica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b. Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, hacindolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la funcin P(x) ser el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra funcin ser continua en dichos puntos, pero no derivable en general. INTERPOLACIN SEGMENTARIA CUADRTICA En este caso, los polinomios P(x) a travs de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax + bx + c Como en la interpolacin segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la funcin). La interpolacin cuadrtica nos va a asegurar que la funcin que nosotros ge