Métodos Numéricos 03

Parte II: Análisis Numérico 1

5. Raíces de ecuaciones

5.1 Métodos cerrados


5.1.1 Métodos Gráficos

Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de laecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruzael eje x.

Ejemplo: Utilizar gráficas por computadora para localizar las raíces def(x) = x3 + x2 -3·x+5Solución. Utilizando MATLAB,<< x=0:0.01:5;<< y=x.^3+x.^2-3*x+5;<< plot(x,y);<< grid on;


La gráfica muestra la existencia de varias raíces, incluyendo quizásuna doble raíz alrededor de x=4.2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

x

y


Reduciendo la escala horizontal se obtiene:

» x=4.1:0.001:4.4;» y=sin(10*x)+cos(3*x);» plot(x,y);» grid on;

En efecto, hay dos raíces diferentes entre x=4.23 y x=4.26


5.1.2 El método de bisección

En general, si f(x) es real y continua en el intervalo que va desde xlhasta xu y f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, es decirf(xl) f(xu) < 0entonces hay al menos una raíz real entre xl y xu

El método de bisección, conocido también como de corte binario, departición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsquedaincremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si elvalor de la función cambia de signo, sobre un intervalo, se evalúa elvalor de la función en el punto medio. La posición de la raíz sedetermina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro delcual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obteneruna mejor aproximación.


Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xl , y superior, xu , que encierrenla raíz, de forma que la función cambie de signo en elintervalo. Esto se verifica comprobando que f(xl) f(xu) < 0

Paso 2: Una aproximación de la raíz xl se determina mediante:

Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo está la raíz:a. Si f(xl) f(xr) < 0 , entonces la raíz se encuentra dentro del

subintervalo inferior o izquierdo. Por tanto, haga xu = xr yvuelva al paso 2.

b. Si f(xl) f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, , haga xl = xr y vuelva al paso 2.

c. Si f(xl) f(xr) = 0, entonces la raíz es igual a xr; termina el cálculo

2ul

rxxx +

=


Ejemplo BisecciónPlanteamiento del problema. Emplee el método de bisección para resolver la ecuación f(x)=(667.38/x)*(1-exp(-0.146843 x))-40Solución. Primera iteración: xl = 12; xu = 16

xr = (12+16) / 2 = 14f(12) f(14) = (6.067)(1.569) = 9.517 > 0 No hay cambio de signo entre el límite inferior y el punto medio. En consecuencia la raíz debe estar localizada entre 14 y 16.

Segunda iteración: xl = 14; xu = 16 xr = (14+16) / 2 = 15f(14) f(15) = (1.569)(-0.425) = -0.666 < 0


Tercera iteración: xl = 14; xu = 15 xr = (14+15) / 2 = 14.5

12 16

14 15

14 16


Criterios de paro y estimaciones de errores

Un criterio objetivo de definir cuándo un método numérico debeterminar, es estimar el error de forma tal que no se necesite elconocimiento previo de la raíz. Como se estudió previamente, sepuede calcular el error relativo porcentual εa de la siguiente manera

Cuando εa es menor que un valor previamente fijado εs, termina elcálculo.

nuevor

anteriorr

nuevor

a xxx −

=ε


Ejemplo Estimación del error en la bisecciónPlanteamiento del problema. Continuar con el ejemploanterior hasta que el error aproximado sea menor que elcriterio de terminación εs = 0.5%.Solución. Tomando las dos primeras iteraciones,

15; 14|εa| = | (15-14) / 15 | = 0.0667 ≡ 6.667%

=nuevorx =anterior

rx

Iteración xl xu xr εa (%) εt (%)1 12 16 14 5.2792 14 16 15 6.667 1.4873 14 15 14.5 3.448 1.8964 14.5 15 14.75 1.695 0.2045 14.75 15 14.875 0.840 0.6416 14.75 14.875 14.8125 0.422 0.219


FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)iter = 0Do

xrold = xrxr = (xl + xu) / 2iter = iter + 1IF xr ≠ 0 THEN

ea = ABS((xr – xrold)/ xr)*100END IFtest = f(x1)*f(xr)IF test < 0 THEN

xu = xrELSE IF test > 0 THEN

xl = xrELSE

ea = 0END IFIF ea < es OR iter ≥ imax EXIT

END DOBisect = xr

END Bisect


5.1.3 Método de la falsa posición

Una técnica alternativa al método de bisección, consiste en unir f(xl) yf(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de lasx representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que seremplace la curva por una línea recta da una falsa posición de la raíz;de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín regulafalsi. También se la conoce como método de interpolación lineal.


f(x)

x

f(xl)

f(xu)

xl xu

xr

Usando triángulos semejantes:

en la cual se despeja xr

Ésta es la ecuación de la falsaposición. El valor de xr calculadoreemplazará, después, acualquiera de los dos valoresiniciales xl o xu

ur

u

lr

l

xxxf

xxxf

−=

−)()(

)()())((

ul

uluur xfxf

xxxfxx−

−−=


Ejemplo Falsa posiciónPlanteamiento del problema. Con el método de la falsaposición determine la raíz de la ecuación f(x)=(667.38/x)*(1-exp(- 0.146843 x))-40SoluciónPrimera iteración: xl=12 f(xl)=6.0699

xu=16 f(xu)=-2.2688xr=16-(-2.2688(12-16) / …

… (6.0669-(-2.2688)) = 14.9113 Segunda iteración: f(xl) f(xr) = -1.5426 < 0

xl=12 f(xl)= 6.0699xu=14.9113 f(xu)= -0.2543xr=14.9113-(-0.2543(12-14.9113) / …

… (6.0669-(-0.2543)) = 14.7942


Ejemplo Un caso en el que la bisección es preferible a la falsaposiciónPlanteamiento del problema. Con los métodos de biseccióny falsa posición, localice la raíz de f(x) = x10-1Solución.Usando bisección,

Iteración xl xu xr εa(%) εr(%)

1 0 1.3 0.65 100.0 35

2 0.65 1.3 0.975 33.3 2.5

3 0.975 1.3 1.1375 14.3 13.8

4 0.975 1.375 1.05625 7.7 5.6

5 0.975 1.05625 1.015625 4.0 1.6


Con el método de falsa posición

Iteración xl xu xr εa(%) εt(%)

1 0 1.3 0.09430 90.6

2 0.0943 1.3 0.18176 48.1 81.8

3 0.18176 1.3 0.26287 30.9 73.7

4 0.26287 1.3 0.33811 22.3 66.2

5 0.33811 1.3 0.40788 17.1 59.2


f(x)

5

10

15

10

x


Falsa posición modificada

Una forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posiciónconsiste en obtener un algoritmo que detecte cuando se estanca unode los límites del intervalo. Si ocurre esto, se divide a la mitad el valorde la función en el punto de estancamiento. A éste método se le llamamétodo de la falsa posición modificado.


FUNCTION ModFalsePos(xl, xu, es, imax, xr)iter = 0fl = f(xl)fu = f(xu)DO

xrold = xrxr = xu-fu*(xl - xu)/(fl - fu)fr = f(xr)iter = iter+1IF xr<>0 THEN

ea = Abs((xr-xrold)/xr)*100END IFtest = fl * frIF test < 0 THEN

xu = xrfu = f(xu) iu = 0il = il+1IF il ≥ 2 THEN fl = fl / 2

ELSE IF test > 0 THENxl = xrfl = f(xl)il = 0iu = iu+1IF iu ≥ 2 THEN fu = fu/2

ELSEea = 0

END IFIF ea < es OR iter ≥ imax THEN EXIT

END DOModFalsePos = xr

END ModFalsePos


Ejercicios

Ejercicio 5.1 Determine las raíces reales de f(x) = -0.4x2 + 2.2x + 4.7:a. Gráficamenteb. Usando el método de bisección para determinar la raíz más grande.

Emplee como valores iniciales xl=5 y xu=10. Calcule el errorestimado εa y el error verdadero εt para cada iteración.

Ejercicio 5.2 Calcule la raíz real positiva de f(x)=x4-8x3-36x2+462x1010 utilizando el método de la falsa posición. Use una gráfica paraescoger el valor inicial y realice el cálculo con εs = 1.0 %


Ejercicio 5.3 La concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua secalcula con la ecuación

donde Osf = concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua a 1 atm(mg/L) y Ta = Temperatura absoluta (K). Recuerde que Ta = T + 273.15, dondeT = temperatura (ºC). De acuerdo con ésta ecuación, la saturación disminuyecon el incremento de la temperatura. Para aguas naturales típicas en climastemplados, la ecuación sirve para determinar rangos de concentración deoxígeno desde 14.621 mg/L a 0ºC hasta 6.949 mg/L a 35ºC. Dado un valorde concentración de oxígeno, ésta fórmula y el método de bisección son útilespara resolver la temperatura en ºC.Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35ºC, desarrolle y pruebe un programa debisección para determinar T como una función de una concentración deoxígeno dada. Pruebe el programa para Osf=8, 10 y 14 mg/L. Compruebe susresultados

4

11

3

10

2

75 10621949.810243800.110642308.610575701.134411.139lnaaaa

sf TTTTO ×

−×

+×

−×

+−=


5.2 Métodos abiertos


5.2.1 Iteración simple de punto fijo

Los métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Estafórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo(También llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva ométodo de punto fijo), al reordenar la ecuación f(x)=0 de tal modo quex esté del lado izquierdo de la ecuación:x=g(x)Por ejemplo, x2-2x+3 = 0, se reordena para obtener

Mientras que sen(x)=0, puede transformarse sumando x a ambos ladospara obtenerx=sen(x)+x

232 +

=xx


De ésta manera, dado un valor inicial para la raíz xi , la ecuaciónanterior puede usarse para obtener una nueva aproximación xi+1,expresada por la fórmula iterativa

xi+1=g(xi)

El error aproximado se calcula usando el error normalizado:

%1001

1

+

+ −=

i

iia x

xxε


Ejemplo Iteración simple de punto fijoPlanteamiento del problema. Use una iteración simple depunto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x - xSolución.xi+1=e-xi

i xi εa % ετ %1 1 100.0 76.32 0.367879 171.8 35.13 0.692201 46.9 22.14 0.500473 38.3 11.85 0.606244 17.4 6.896 0.545396 11.2 3.837 0.579612 5.90 2.208 0.560115 3.48 1.249 0.571143 1.93 0.70510 0.564479 1.11 0.399


Convergencia

El error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemploanterior, es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de laiteración anterior. Esta propiedad se conoce como convergencia lineal.


f(x)

f(x)

Raíz

Raíz

f(x) = e--xx - x

f1(x) = xf2(x) = e--xx

Un método gráfico alternativoconsiste en separar la ecuación endos partes, de esta manera

f1(x)=f2(x)

Entonces las dos ecuaciones

y1 = f1(x) y y2 = f2(x)

se grafican por separado. Así, losvalores de x correspondientes aLas intersecciones de estas dosfunciones representan las raícesde f(x)=0


y1 = x

y2= g(x)

x0x1x2

yy

xx

y1 = x

y2= g(x)

x0

yy

xx

y1 = xy2= g(x)

x0

yy

xx

y1 = xy2= g(x)

x0

yy

xx


FUNCTION Fixpt(x0, es, imax)xr = x0iter = 0DO

xrold = xrxr = g(xrold)iter = iter+1IF xr ≠ 0 THEN

END IFIF ea < es OR iter ≥ imax EXIT

END DOFixpt = xr

END fixpt

100xrxroldxrea ⋅

−=


5.2.2 Método de Newton-Raphson

A partir de la expansión en seriesde Taylor, se tiene:

que se reordena para obtener

la cual se conoce como fórmulaDe Newton Raphson

1

0)()('

+−−

=ii

ii xx

xfxf

)(')(

1i

iii xf

xfxx −=+

f(x)f(x)

xx00

f(xf(xii))

xxiixxii+1+1

Pendiente = f Pendiente = f ’’(x(xii))


Ejemplo Método de Newton-RaphsonPlanteamiento del problema. Utilice el método de NewtonRaphson para calcular la raíz de f(x)=e-x – x empleandocomo valor inicial x0 = 0Solución. La primer derivada de la función es

f ’(x)=-e-x -1que se sustituye para obtener

11 −−−

−= −

−

+ i

i

xi

x

ii exe

xx

i xi εt (%)0 0 1001 0.500000000 11.82 0.566311003 0.1473 0.567143165 0.00002204 0.567143290 < 10-8


Algoritmo

1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa2. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz final

calculada en la función original, para determinar si el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programa contra aquellos casos en los que se presenta convergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de εa, mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz.

3. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitido del número de iteraciones para estar prevenidos contra soluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes que podrían persistir en forma interminable.

4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta la posibilidad de que f ‘(x) sea igual a cero en cualquier momento durante el cálculo.


5.2.3 El método de la secante

Un problema potencial en la implementación del método de NewtonRaphson es la evaluación de la derivada. En casos complejos, laderivada se puede aproximar mediante una diferencia finita divididahacia atrás

Sustituyendo en la ecuación de Newton - Raphson

ii

iii xx

xfxfxf

−−

≡−

−

1

1 )()()('

xix i-1

f(x i)

f(x i-1)

)()())((

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

−−

−=−

−+


Ejemplo El método de la secantePlanteamiento del problema. Con el método de la secante, calcule la raíz de f(x)=e-x –x. Comience los cálculos iniciales con los valores x-1=0 y x0 = 1.0.Solución.Primera iteración:x-1=0 f(x-1)=1x0 =1 f(x0)=-0.63212x1=1-((-0.63212)(0-1)/(1-(-0.63212)))=0.61270Segunda iteraciónx0=1 f(x0)=-0.63212x1 =0.61270 f(x1)=-0.07081x2=0.61270-((-0.0708)(1-0.61270)/(-0.63212- …

… (0.07081))) = 0.56384


Método de la secante modificada

En lugar de considerar dos valores arbitrarios para aproximar laderivada, un método alternativo considera un cambiofraccionario de la variable independiente para estimar f’(x),

donde d es un pequeño cambio fraccionario. Ésta aproximaciónse sustituya en la ecuación de la secante para obtener lasiguiente expresión iterativa:

i

iii

xxfxxf

xfδ

δ )()()('

−+≅

)()()(

1iii

iiii xfxxf

xfxxx

−+−=+ δ

δ


Ejercicios

Ejercicio 5.4 Evaluar las raíces de las siguientes ecuacionestrascendentesa. sin x - 2exp(-x2) = 0b. ax - ax = 0 para a = 2, e, or 3c. ln(1 + x2) – x1/2= 0 d. e-x/(1 + cos x) - 1 = 0


Ejercicio 5.5 Para el flujo turbulento de un fluido a través de un tuboliso, es posible establecer la siguiente relación entre el factor defricción cf y el número de Reynolds Re:

Calcular cf para Re = 104, 105 y 106.


Ejercicio 5.6 Desarrolle una función para calcular el volumenespecífico de un gas puro, dada la temperatura y la presiónusando la ecuación de estado de Soave-Redlich-Kwong

Las constantes a y b son obtenidas de las ecuaciones


donde Pc y Tc son la presión crítica y temperatura críticarespectivamente. La variable α es una función empírica de laTemperatura

El valor de S es una función del factor acéntrico ω

Las propiedades físicas del n-butano son


y la constante de los gases R es

Calcule el volumen específico del vapor de n-butano a 500 K y en unrango de presiones de 1 a 40 atm. Compare los resultadosgráficamente con aquellos que se obtienen de la ley de los gasesideales. ¿Qué conclusión obtiene de ésta comparación gráfica?


Ejercicio 5.7 Repita el ejercicio 5.6 usando las ecuaciones de estadode Benedict-Webb-Rubin (BWR) y Patel-Teja (PT). Comparegráficamente los resultados con los obtenidos en el ejercicio 3.La ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin (BWR) es

donde A0, B0, C0, a, b, c, α, y γ son constante. Donde P está enatmósferas, V está en litros por mol, y T está en kelvin, Los valores de las constantes para el n-butano son:


La ecuación de estado de Patel-Teja es

Donde a es función de la temperatura, y, b y c son constantes

donde


y Ωb es la más pequeña de las raíces positivas del polinomio cúbico

F y ζc son funciones del factor acéntrico


Ejercicio 5.8 La ecuación de Underwood para destilaciónmulticomponente está dada por

donde F = tasa de flujo molar de la alimentaciónn = numero de componentes en la alimentación

zjF = fracción molar de cada componente en la alimentaciónq = calidad de la alimentación

αj = volatilidad relativa de cada componente en condiciones promedio de la columna

φ = raíz de la ecuación


Underwood ha demostrado que (n-1) de la raíces de la ecuación seencuentran entre los valores de las volatilidades relativas como seMuestra

Evalúe las n-1 raíces de ésta ecuación para el caso mostrado en laTabla

F=100 mol/hq=1 (líquido saturado)

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