Aplicaciones de vectores en R2 y R3

RECTAS EN R2Dos puntos distintos cualesquiera, P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en R2 (figura 5.6) determinan una lnea recta cuya ecuacin esax + by + c = 0, (1)Donde a, b y c son nmeros reales, y a y b no son simultneamente cero. Como P1 y P2 pertenecen a la recta, sus coordenadas satisfacen la ecuacin (1):ax1 + by1 + c = 0 (2)ax2 + by2 + c = 0 (3)Ahora escribimos (1), (2) y (3) como un sistema lineal en las incgnitas a, b y c, con lo que obtenemosxa + yb + c = 0x1a + y1b + c = 0 (4)x2a + y2b + c = 0.Buscamos una condicin sobre los valores de x y y para que (4) tenga una solucin no trivial a, b y c. Como (4) es un sistema homogneo, tiene una solucin no trivial si y slo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero, esto es, si y slo si

X Y 1X1 Y1 1 =0X2 Y2 1Ejemplo: Determinar ecuaciones paramtricas de la recta L que pasa por los puntos P0(2, 3, 4) y P1(3, 2, 5).Solucin La recta que se busca es paralela al vector Ahora u = (3 2, 2 3, 5 (4)) = (1, 5, 9). Como P0 est en la recta, podemos escribir ecuaciones paramtricas de L, comox = 2 + ty = 3 5t < t < z = 4 + 9t.Ejemplo : Las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por el punto P0(3, 2, 1) y es paralela al vector u = (2, 3, 4), sonx = 3 + 2ty = 2 3t < t < z = 1 + 4t

PLANOS EN R3Un plano en R3 puede determinarse mediante un punto en el plano y un vector perpendicular al plano. Este vector se denomina normal al plano.Para obtener una ecuacin del plano que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y que contiene el vector no nulo n = (a, b, c) como normal, procedemos de la manera siguiente.Un punto P(x, y, z) est en el plano si y slo o si el vector es perpendicular a n Por lo tanto, P(x, y, z) est en el plano si y slo si nP0P = 0 Como: P0P = (x x0, y y0,z z0), podemos escribir como a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0.Ejemplo: Determinar una ecuacin del plano que pasa por el punto (3, 4, 3) y es perpendicular al vector n = (5, 2, 4).Al sustituir en a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0, obtenemos la ecuacin del plano como5(x 3) 2(y 4) + 4(z + 3) = 0.Si multiplicamos a(x x0) + b(y y0) + c(z z0) = 0 y simplificamos , puede rescribirse comoax + by + cz + d = 0.

Ejemplo: Determinar una ecuacin del plano que pasa por los puntos P1(2, 2, 1), P2(1, 0, 3)y P3(5, 3, 4).2a 2b + 3c + d = 0a 3b + 3c + d = 05a 3b + 4c + d = 0Al resolver este sistema, tenemos a = 8/ 17r, b = 15/ 17r, c = 3/17r, d = r, donde r es cualquier nmero real. Haciendo r = 17, obtenemosa = 8, b = 15, c = 3, d = 17.Por lo tanto, una ecuacin para el plano descrito es8x + 15y 3z + 17 = 0. (11)

Ejemplo: La siguiente es una segunda solucin para el ejemplo anterior. Procediendo como en el caso de una recta en R2 determinada por dos puntos distintos P1 y P2, es fcil demostrar que una ecuacin del plano que pasa por los puntos no colineales P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y P3(x3, y3, z3) esX y z 1x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 =0x3 y3 z3 1

En este ejemplo, la ecuacin del plano descrito esX y z 12 2 1 1 1 0 3 1 =05 3 4 1

Ejemplo: Determinar ecuaciones paramtricas de la recta de interseccin de los planos1 : 2x + 3y 2z + 4 = 0 y 2 : x y + 2z + 3 = 0Al resolver el sistema lineal formado por las ecuaciones 1 y 2, obtenemos x = 13/5 4/5ty = 2/5 + 6/5t < t < z = 0 + tTres planos en R3 pueden intersecarse en un plano, en una recta, en un solo punto, o bien no tener puntos en comn. Es posible detectar estas posibilidades al resolver el sistema lineal formado por sus ecuaciones.Ejemplo: Determinar dos planos cuya interseccin es la recta x = 2 + 3ty = 3 2t < t < z = 5 + 4tPrimero determinamos las ecuaciones de la recta en forma simtrica, como x +2/3 = y 3/2 = z 5/ 4 .Entonces, la recta dada es la interseccin de los planos x +2/3 = y 3/2 y x +2/3 = z 5/4 .En consecuencia, la recta dada es la interseccin de los planos2x + 3y 5 = 0y4x 3z + 23 = 0.Dos planos son paralelos o se intersecan en una lnea recta. Son paralelos si sus vectores son normales. Espacios VectorialesUn espacio vectorial real es una terna formada por un conjunto V y dos operaciones, y que satisfacen las siguientes propiedades:

) Si u y v son elementos cualesquiera de V, entonces u cerrado bajo la operacin ). (a) u v = v u, para u y v en V. (b) u (v w) = (u v) w, para u, v y w en V. (c) Existe un elemento 0 en V, tal que u 0 = 0 u = u, para toda u en V d) Para cada u en V existe un elemento u en V, tal que u u = 0.

) Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier nmero real, entonces c u est en V (es decir, V es cerrado bajo la operacin ). (e) c (u v) = c u c v , para todo nmero real c y toda u y v en V. (f) (c + d) u = c u d u , para todo nmero real c y d y toda u en V. (g) c (d u) = (cd) u , para todo nmero real c y d y toda u en V.

Ejemplo Considere el conjunto V de todas las ternas ordenadas de nmeros reales de la forma(x, y, 0), y defina las operaciones ycomox, y, 0) (x , y , 0) = (x + x , y + y , 0)c (x, y, 0) = (cx, cy, 0).A partir de lo anterior, resulta fcil demostrar que V es un espacio vectoria, ya que satisface todas las propiedades de la definicin 1

Sea F[a, b] el conjunto de todas las funciones con valores reales, definidas en el inter-valo [a, b]. Si f y g estn en V, definimos f g como( f g)(t) = f (t) + g(t).Si f est en F[a, b] y c es un escalar, definimos c

Entonces, F[a, b] es un espacio vectorial (ejercicio 9). De manera similar, el conjuntode todas las funciones con valores reales definidas para todos los nmeros reales, denotado mediante F(, ), es un espacio vectorial. Otra de las fuentes de ejemplos de espacios vectoriales que analizaremos ser los conjuntos de polinomios; por lo tanto, comenzaremos por recordar algunos conceptos relativos a ellos. Un polinomio (en t) es una funcin que puede expresarse como p(t) = antn + an1tn1 + + a1t + a0, donde n es un entero 0 y los coeficientes a0, a1, . . . , an son nmeros realesSubespacios Sean V un espacio vectorial y W un subconjunto no vaco de V. Si W es un espacio vectorial con respecto a las operaciones en V, entonces W es un subespacio de VEjemplo Cada espacio vectorial tiene por lo menos dos subespacios: l mismo, y el subespacio{0} que consta slo del vector cero [recordemos que 0 0 = 0 y c 0 = 0 en cual quier espacio vectorial (vea el ejercicio 19 de la seccin 6.1)]. El subespacio {0} es denominado el subespacio cero.

Ejemplo: Sea W el subconjunto de R3 formado por todos los vectores de la forma (a, b,1), donde a y b son nmeros reales cualesquiera. Para verificar si se cumplen las propiedades () y () del teorema 6.2, sean u = (a1, b1, 1) y v = (a2, b2, 1) vectores en W. Entonces u + v = (a1, b1, 1) + (a2, b2, 1) = (a1 + a2, b1 + b2, 2), que no est en W, ya que el tercer componente es 2 y no 1. Como () del teorema 6.2 no se cumple, W no es un subespacio de R3.

Definicin Sean v1, v2, . . . , vk vectores en un espacio vectorial V. Un vector v en V es una com binacin lineal de v1, v2, . . . , vk siv = c1v1 + c2v2 + + ckv para ciertos nmeros reales c1, c2, . . . , ck. (Vea tambin la seccin 1.3.)