CURVA EN R2 Y EN R3[1]

NOLAN JARA J.FIEE-UNMSM

1

SuperficiesEn el espacio tridimensional R3, la gráfica de una ecuación E (x, y, z) = 0es el conjunto de puntos S del espacio tridimensional R3 cuyasCoordenadas satisfacen dicha ecuación. Es decirS= {(x, y, z) | E (x, y, z) = 0 }A este conjunto de puntos se le llama Superficie S.CilindrosCuando una ecuación de una curva en un plano coordenado se consideraen el espacio tridimensional, se vuelve una ecuación de un cilindroperpendicular a dicho plano.Por ejemplo, la gráfica de la ecuación x2 + y2 = 4 en el espaciotridimensional es el conjunto de puntosS= {(x, y, z) | x2 + y2 = 4 }A este conjunto de puntos se le llama Cilindro circular recto.

3R

3R


2

x2 + y2 = 4 ( cilindro circular )


3

x2/16 + z2/64 = 1 ( cilindro elíptico )


4

z = 1- y2 ( cilindro parabólico )


5

y = 2sen(x) ( cilindro senoidal )


6

x² + y² + z² = 1 ( ESFERA )


7

Superficies Cuadráticasx²/16 + y²/64 + z²/4 = 1 (Elipsoide)


8

x²/16 + y²/64 – z²/4 = 1 (hiperboloide de una hoja)


9

- x²/16 + y²/36 – z²/25 = 1 (Hiperboloide de dos hojas)


10

X²/4 + y²/3 = z (paraboloide elíptico)


11

X²/16 + y²/25 – z²/16 = 0 (cono elíptico)


12

x²/16 – y²/25 - 2z = 0 (paraboloide hiperbólico)


13

FUNCIONES VECTORIALES

CURVAS EN EL PLANORecordemos que en el plano x y una curva C se puede definir mediantelas Ecuaciones Paramétricas:x = f (t) , y = g (t) ; a t bA cada valor del parámetro t le corresponde un punto P sobre la curva C.Podemos definir a cada uno de esos puntos P sobre la curva C, como elpunto Terminal del vector ( t )

( t ) = f ( t ) + g ( t ) = ( f ( t ) , g ( t ) )

Para cada valor del parámetro t existe uno y sólo un vector ( t )

y por lo tanto ( t ) es una Función Vectorial.

Ejemplos de funciones vectoriales en el plano:

i

j

f

f

f

f


14

(t) = ( 3 + 2 Sen(t) , 2 + Cos(t) )f


15

(t)= ( 2t - Sen(t/2),2 - Cos(t/2) )f


16

CURVAS EN EL ESPACIO

De manera similar, una curva C en el espacio es parametrizada portres ecuaciones:

x = f ( t) , y = g ( t ) , z = h ( t ) ; a t b

En forma correspondiente, se define una función vectorial mediante

( t ) = f (t) + g (t) + h (t) = ( f ( t), g ( t), h ( t) )

con dominio: a t b

Ejemplos de funciones vectoriales en el espacio:

f

i

j

k


17

( t ) = ( 2 Cos(t), 2 Sen(t), t )f


18

( t )= ((2 Cos(t), 2 Sen(t), 3)f

Como hemos visto, otra manera de describir a unacurva es mediante una FUNCIÓN VECTORIAL.


19

LIMITE DE FUNCIONES VECTORIALES

La noción fundamental de límite de una función vectorial se define en

términos de los límites de sus funciones componentes.

Si existen los límites de f (t), g(t), h(t) cuando t a, entonces:

La función vectorial es continua en si y solo si:

( )f t

( )f a

lim ( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )t a t a t a t a

f t f t g t h t

lim ( ) ( )t a

f t f a


20

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

La DERIVADA de una función vectorial (t) es la función vectorial (t) :

El vector es TANGENTE a la curva C descrita por

en el punto

f

f

0

( ) ( ) ( ) l i m

t

f t t f tf t

t

0 ( t )f

( )f t

( )of t


21

f

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LADERIVADA

( t ) = (4cos(t),3sen(t))


22

f

INTERPRETACION GEOMETRICA

(t)=(5cos(t)- cos(5t),5sen(t)- sen(5t))


23

INTERPRETACION GEOMETRICA


24

TEOREMA

Si (t) = (f(t),g(t),h(t)) en donde f, g, h son funciones diferenciables, entonces:

VELOCIDAD Y ACELERACIÓNSupongamos que una partícula se mueve en el espacio describiendo unatrayectoria C,y que la función vectorial que describe su posición es:

( t ) =(f(t),g(t),h(t)) en donde el parámetro t representa el tiempo. Entonces lavelocidad y aceleración de la partícula en el instante t se definen como sigue:

Velocidad: ( t ) =

Aceleración: ( t ) = (t) = ( f '' (t),g '' (t),h '' (t) )

Rapidez: = v ( t ) magnitud del vector velocidad

f

f

v

f

a

( )f t

( ) ( ) , ( ) , ( )f t f t g t h t

( ) ( ), ( ), ( )f t f t g t h t


25

( ) 0 : ( ) es en ISi f t t I C f t una curva regular

CURVA REGULAR


26

LA INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL

Sea la función vectorial:

Definida en cierto intervalo I, entonces para 2 valores distintos a y b en I,

la integral definida de una función vectorial se determina como:

También definimos la integral indefinida de una función vectorial como:

donde es un vector constante

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t

1 2 3( ) ( ( ( ) , ( ( ) , ( ( ) )b b b b

a a a af t dt f t dt f t dt f t dt

( ) ( ) si '( ) ( )f t dt g t c g t f t

c


27

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

1) Sea: continúa sobre un intervalo I y sea entonces

2) Si tiene derivadas continuas sobre un intervalo I, entonces

para todo a y b en I,

TEOREMA.- Si es una función vectorial diferenciable en cierto intervalo donde

.Si es una función vectorial de magnitud constante pero de

dirección variable para todo t del intervalo, entonces los vectores y

son ortogonales

LONGITUD DE ARCO: Si C es la curva regular definida por la función

Vectorial en el intervalo entonces

es la longitud del arco de la curva C medida desde el

Punto hasta el punto .

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t

0 ,t I

0

( ) ( ) ,t

t tD f u d u f t t I

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))F t F t F t F t

'( ) ( ) ( )b

aF t d t F b F a

f

( )f t O

( )f t

' ( )f t

( ) ( )f t f t

[ , ]a b

'( )b

aL f t d t

( )f a

( )f b

f

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t


28

FUNCION LONGITUD DE ARCO

Dada una curva C suficientemente suave (regular, diferenciable y de clase C² ),

Determinada por la función vectorial (t) con parámetro t ,

C: (t) = (f(t),g(t),h(t)) ; se define el parámetro longitud de arco s como:f

f ,t a b

0 0

2 2 2( ) (u) ( ( )) ( ( )) ( ( ))t t

t a t a

s l t f du f u g u h u du

Lo cual permite reparametrizar la curva C de la siguiente manera.

1 2 3: ( ) ( ( ), ( ), ( ))C g s g s g s g s


29

VECTOR TANGENTE , NORMAL Y BINORMAL

Sea C una curva en el espacio definida por la función ;

es un vector paralelo a la recta tangente a C en .Definimos :

( )f t

()f t

()f t

( )( ) v e c to r t a n g e n te ( )

( )

f tT t u n i ta r io

f t

( )( ) ( )

( )

T tN t vector normal principal unitario

T t

( ) ( ) ( ) ( )B t T t xN t vector binormal unitario

1 2 3() ( (), (), ())f t f t f t f t


30

GEOMETRICAMENTE

TRIADA MOVIL

Z

BT

NC

X

0Y


31

TRIADA MOVIL: SISTEMA DE REFERNCIA

Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frenet-Serret

Vista esquemática del vector tangente (azul), vector normal (verde) y

vector binormal (rojo) de una curva espiral.


32

FORMULAS: VECTORES UNITARIOS

( )( )

( )

f tT t

f t

( ) ( )( )

( ) ( )

f t x f tB t

f t x f t

( ( ) ( ) ) ( )( )

( ( ) ( ) ) ( )

f t x f t x f tN t

f t x f t x f t


33

FORMULAS: PLANOS MOVILES

Ecuaciones de los planos generados por los vectores unitarios en cada punto

de la curva C:

( ) ( ) 0

( ) ( ) 0 N

( ) ( ) 0 Re

P f t B t Plano Osculador

P f t T t Plano ormal principal

P f t N t Plano ctificanta

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t


34

Curvatura y torsión

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una

curva. Para una curva C: la curvatura k es igual a:

Si la curva C: está parametrizada por el parámetro longitud de arco s , la

anterior formula se reduce a:

Además de la curvatura se define el radio de curvatura , como

el inverso de la curvatura k.

3

( ) ( )( )

( )

f t x f tk t

f t

( )g s

( ) ( )k s g s

1

( )( )

tk t

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t


35

CIRCUNFERENCIA DE CURVATURA

Sea C: en un punto de la curva C existe un círculo , llamado círculoosculador por estar contenido en el plano osculador. El radio del círculoosculador coincide Con el radio de curvatura (inverso de la curvatura).El centro de dicho círculo puede encontrase como:

( )f t

( ) ( ) ( )c f t t N t

c

T

B

N

: ( )C f t


36

TORSION

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal, cuantoMás rápido cambia más rápido gira el vector binormal alrededor del vectortangente y más retorcida aparece la curva C. Por tanto, para una curva Ctotalmente contenida en un Plano la torsión es nula ya que el vector binormales constantemente perpendicular al Plano que la contiene.

Si C: ; la torsión viene dada por:

Si la curva C: está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la

anterior Ecuación se reduce a:

2

( ( ) ( ) ) . ( )( )

( ) ( )

f t x f t f tt

f t x f t

( )g s

2

( ( ) ( )). ( )( )

( )

g s xg s g ss

g s

1 2 3( ) ( ( ), ( ), ( ))f t f t f t f t


37

FORMULAS DE FRENET- SERRET

Si C: ; s parametro función longitud de arco

Entonces Se cumplen las siguientes ecuaciones:

1 2 3( ) ( ), ( ), ( )g s g s g s g s

( ) ( )g s T s

( ) ( ) ( )T s k s N s

( ) ( ) ( )B s s N s

( ) ( ) ( ) ( ) ( )N s s B s k s T s


38

EJEMPLOS1) Esbozar la gráfica de la curva C representada por la interseccióndel semielipsoide

22 2

1 ;12 24 4

yx z 0zy el cilindro parabólico y = x2. hallar una función vectorial querepresente esa gráfica

Solución.

2 42 2 4 2

: ( ) , ,6

t tC f t t t


39

EJEMPLOS2)La curva de Gergome es la curva determinada por la interseccionde dos cilindros perpendiculares. Sean los cilindrosx² + (z − 1)² = 1 y y² + z² = 1.parametrice la curva de Gergome de los dos cilindros anteriores, talque su traza contenga al punto (1, 0, 1). Encuentre otraparametrizacion tal que su traza contenga al punto (0, 1, 0).3) Una curva no es necesariamente inyectiva, es decir, puede tenerautointersecciones como la curva f(t) = (t³ − 4t, t² − 4)4) Sin embargo hay curvas diferenciables, cuya traza tiene “picos ”;por ejemplo f(t) = (t³, t²).


EJEMPLOS

5) Una partícula se mueve sobre la circunferencia cuya ecuación encoordenadas polares es r = 4sen en sentido antihorario, conrapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el instante t = 0desde el punto (0,4).Defina una función vectorial de R en R² entérminos del tiempo t , que describa el movimiento de la partícula.

6) Encontrar la longitud de la curva definida por :

entre t = 1 y t = t1 , sabiendo que es el punto donde

es paralelo al plano YZ (1< t1 <2).

0 0

cos( ) , , 4

t tu senuf t du du t

u u

1( )f t

1( )f t

40


41

g

( 0 ) ( 0 , 0 ) ;g

(0) (1,0)g

1( )

1 ²k s

s

0,1

7) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemossiguiendo la traza de la curva

: [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco)

que cumple con las condiciones siguientes:

Su curvatura es para cada s

Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curvapara Seguir la Dirección de la tangente a la curva en el punto de escape.Recorremos así otros 3 metros. ¿A qué distancia (en metros) del puntooriginal (0, 0) nos encontraremos?


42

f(t) =(x,y)=(cos(2t),sen(t))


43

f(t)=(x,y)=(5cos(t)- cos(5t),5sen(t)- sen(5t))


44


45


46


47


48


49


50


51

VALORES EXTREMOS RELATIVOS.

• Sea D una región del plano y• 1º) Se dice que f alcanza su valor máximo

absoluto M en un punto cuando .• 2º) Se dice que f tiene un máximo relativo en un

punto cuando perteneciente a un entorno de .• 3º) Se dice que f alcanza su valor mínimo

absoluto m en un punto cuando .• 4º) Se dice que f tiene un mínimo relativo en un

punto cuando perteneciente a un entorno de .

RRDf ²:

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CURVA EN R2 Y EN R3[1]