ING. RAL GILBERTO MATOS ACUA

CICLO 2013-III Mdulo IUnidad: 3 Semana: 4

ALGEBRA LINEAL

CONTENIDOS TEMTICOS

Ing. Ral Matos Acua 2

Vectores en R2 y en R3

Vectores en R2.

Vectores en R3.

Ejemplos y aplicaciones.

Conclusiones-actividad.

3ORIENTACIONES

Ing. Ral Matos Acua

Espacios en R2 y R3

1. Define un vector geomtricamente.

2. Reconocer un vector en el plano y el espacio.

3. Realiza operaciones con vectores: Adicin,

sustraccin, multiplicacin por un escalar y

producto escalar.

4. Descompone un vector en trminos de sus componentes rectangulares.

4Ing. Ral Matos Acua

Magnitud escalar: Cualquier magnitud matemtica o fsica que se

pueda representar solamente por un nmero real. Ejemplos:

longitud, rea, volumen, temperatura, etc.

Magnitud vectorial: Son aquellas entidades en las que adems del

nmero que las determina, se requiere conocer la direccin.

Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleracin, etc. El ente

matemtico que representa a estas magnitudes se llama vector .

INTRODUCCION

5Ing. Ral Matos Acua

Definamos el vector

como un segmento de

recta dirigido.

Sean P y Q dos puntos

del espacio. El

segmento de recta

dirigido PQ, es el

segmento de recta que

va del punto inicial P

al punto final Q.

Definicin 1: (Definicin Geomtrica de un vector)

VECTORES

lPQl = lvl

v

y

z

AB

R = A+B

Mtodo del tringulo

OPERACIONES CON VECTORES

Adicin de vectores

x

z

y

Mtodo del

paralelogramo.

B

R = A+B

A6Ing. Ral Matos Acua

7Ing. Ral Matos Acua

Definicin 2: (Definicin algebraica de un vector)

Un vector v en el plano XY es un par ordenado de nmeros

reales (a;b), donde a y b se llaman componentes del vector.

v= (a,b) se llama vector de

posicin, cuyo punto inicial es

el origen (0,0)

VECTORES EN EL PLANO (R2)

(a,b

)

y

x

v

a

b

8Ing. Ral Matos Acua

Direccin del vector (a,b): ngulo medido en

radianes, que forma el vector con el semi-eje

positivo de las x (abscisas).

22 bav

0a ,a

btan

Magnitud de un vector: Se denota por v

20

v= (a,b)con:

9Ing. Ral Matos Acua

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3

El conjunto de todas las ternas ordenadas de nmeros reales

recibe el nombre de espacio numrico tridimensional, y se

denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto

del espacio numrico tridimensional.

x y

z

plano xz

plano yzplano xy

orge

n

SISTEMA DE

COORDENADAS

CARTESIANAS

10Ing. Ral Matos Acua

VECTOR EN R3

2

3

2

2

2

1 aaaa

P(a1,a2,a3)z

x

y

a

a1

a2

a3

mdulo de a :

Vector a = (a1,a2,a3) de R3

0

11Ing. Ral Matos Acua

Igualdad: Dos vectores u y v son iguales u=v si

tienen la misma magnitud y direccin

);;();;( 321321 vvvuuu

11 vu 22 vu 33 vu

Si y solo si

12Ing. Ral Matos Acua

SUMA

Producto por un escalar

),,(),,( 321321 cacacaaaacuc

),,(),,(),,(

),,(),,(

212121222111

222111

ccbbaacbacbavu

cbav cbau

c

13Ing. Ral Matos Acua

)1;0;0()0;1;0(,)0;0;1( :R 3 kyjiEn

Vectores unitariosSon aquellos cuya norma es igual a la unidad.

Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten

representar cualquier otro vector en trminos de ellos. Se les

llaman vectores unitarios cannicos y se representan por

a

aaa

a

aua

),,( 3211u

ii

)1;0(j , )0;1( :R 2 iEn

14Ing. Ral Matos Acua

vectores unitarios cannicos i, j , k

x

z

y

i

j

k

Los vectores i, j y k son unitarios y estn dirigidos en la

direccin de los ejes x, y y z respectivamente.

15Ing. Ral Matos Acua

Paralelismo de vectores

Dos vectores son paralelos entre s si todas sus

componentes son proporcionales. Ejemplo:

),,( 321 aaau

),,( 321 bbbv

Dado:

vu

// kb

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

vku

16Ing. Ral Matos Acua

)6()2()4(

203

021 kji

kji

cxb

14256624 222cxbA

Ejercicio 1

CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE

INVESTIGACIN SUGERIDAS

Resolver los ejercicios de la gua del curso.

Resolver los problemas del trabajo acadmico referidos al tema.

Revisar el Blog del curso.

Buscar en Internet artculos o ejercicios referidos al tema tratado.

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GRACIAS

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