Upload
citra-adelina
View
2.166
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
aaaa
Citation preview
MA-1223MA-1223Aljabar LinierAljabar Linier
Vektor di R2 dan R3
VektorVektor Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometri Setiap vektor dinyatakan secara geometris sebagai
segmen garis berarah pada bidang atau ruang, dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung) vektor tersebut. (contoh (a))
Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen. (contoh (b))
a
A
B
BAa
(a) (b)
VektorVektorSecara aljabar Misalkan u vektor di R2 u =(u1, u2), dimana u1, u2 ε R Misalkan v vektor di R3 v =(v1, v2, v3), dimana v1,
v2, v3 ε R
u1, u2 disebut komponen u, sedangkan v1, v2, v3 disebut komponen v
Dua vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar dan arahnya sama atau dengan kata lain komponen yang bersesuaian samaMisal: Diketahui u =(u1, u2) dan w =(w1, w2)
u = w u1= w1 dan u2 = w2
Vektor PosisiVektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik
asal koordinat
A=(x1, y1)
O
=(x1, y1) vektor posisi titik A
AO
a
x
y
Penulisan VektorPenulisan Vektor Ada beberapa penulisan vektor antara lain:
= (a1, a2, a3)
+ b2 + b3
1. b = b1
2.
3.
3
2
1
c
c
c
c
kji
a
Operasi VektorOperasi Vektor Penjumlahan
Misal )y,x(u 11
)y,x(w 22
dan vektor di R2, maka
)yy,xx(wu 2121
Secara geometri
wu
w
u
x
y
Operasi Vektor (2)Operasi Vektor (2) Perkalian dengan skalar
Definisi )y,x(u 11
adalah sembarang vektor di R2 dank bilangan riil tak nol (skalar), maka hasil kali
uk
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k|kali panjang u
dan arahnya sama seperti arah u
jika k > 0 dan berlawanan arah jika k < 0. u
Operasi Vektor (3)Operasi Vektor (3) Pengurangan
Misal )y,x(u 11
)y,x(w 22
dan vektor di R2, maka
)yy,xx()w(uwu 2121
Secara geometri
wu
w
u
x
y
w
Misal )u,u(u 21
)w,w,w(w 321
dan vektor di R2 dan R3, maka
222
1 uuu
Panjang (Norm) VektorPanjang (Norm) Vektor
panjang (norm) vektor adalahwdanu
222
211 )vu()vu(vu
)v,v(v 21
)u,u(u 21
232
22
1 wwww
Misal dan maka jarak antara dua vektor tersebut adalah
Hasil Kali TitikHasil Kali Titik Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah
vektor yang akan menghasilkan skalar.
maka hasil kali titik dua vektor tersebut didefinisikan sbb
Misal
0b.a
0batau0a0
0b,acosb.ab.a
b
a
dan adalah vektor pada ruang yang sama
dimana sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. (0<<). Sehingga, diperoleh kesimpulan sbb
0b.a
0b.a
1.
2.
3.
sudut tumpul
sudut lancip
=/2, atau b
a
dan salingtegak lurus/ortogonal
ContohContoh Tentukan hasil kali titik dari dua vektor berikut berikut !
a
b
= 2i dan = 2i + 2jJawab :
b
a
a
b
a b
82
1
222
1
Karena tan = 1 , artinya = /4 sehingga
.
=
cos
= 2 .
= 2.
= 4
PerhatikanPerhatikan
a
b
ab
Menurut aturan cosinus , maka :
22112
22
12
22
12
22
12
22
1 ba2ba2bbaabbaab.a2
222abbacosba2
222
211
22
21
22
21 )ab()ab(bbaab.a2
)b,b(b 21
)a,a(a 21
cosba2baab222
Misal dan
2211 babab.a 2211 baba2b.a2
b
a
, ε R2dengan
PerluasanPerluasan
)b,b,b(b 321
)a,a,a(a 321
Misal dan
332211 bababab.a
)b,...,b,b(b n21
)a,...,a,a(a n21
Misal dan
nn2211 ba...babab.a
b
a
, ε R3dengan
b
a, ε Rndengan
22n
22
21 aa...aaa.a
Proyeksi OrtogonalProyeksi Ortogonal
a
a
b
b
Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Proy
???w
???w
2
1
b
a
1w 21 wwa
2w
1w
= proyeksi ortogonal pada b
a
2w
= komponen yang tegak lurus pada
Proyeksi OrtogonalProyeksi Ortogonal
b.wb.bkb.wbkb.a 22
2
bkb.a
2b
b.ak
Kita punya
bb
b.aw
21
221 wbkwwa
bkw1
Sehingga diperoleh
, k konstanta
bb
b.aaw
22
Panjang proyeksinya
bb
b.ab
b
b.aw
221
b
b.aw1
Hasil kali silangHasil kali silang Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua
vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru Definisi. Hasil kali silang
Misalkan dan vektor di R3
Hasil kali silang dan didefinisikan sbb
)u,u,u(u 321)v,v,v(v 321
kvv
uuj
vv
uui
vv
uu
vvv
uuu
kji
vxu21
21
31
31
32
32
321
321
kvuvujvuvuivuvu 122113312332
u v
Sifat hasil kali silangSifat hasil kali silang
2222 v.uvuvxu.3
0)vxu.(v.2 0)vxu.(u.1
Khusus untuk sifat yang ketiga:
2222 v.uvuvxu
222 cosvuv.u
22222 cosvuvu
222 cos1vu
2222 sinvuvxu
sinvuvxu
Luas jajaran genjang
= Alas x tinggi
vxusinvu