1 CENTRO UNIVERSITRIO DO SUL DE MINAS -UNIS/MG (1 SEMESTRE 2008) FACULDADE DE ENGENHARIAS MECNICA E DE PRODUO SISTEMAS MECNICOS 1/ ELEMENTOS DE MQUINAS Dagoberto Cssio da Silva PROJETO DE RVORE OU EIXO BASEANDO-SE NA RESISTNCIA Introduo rvoressoelementosdemquinasgeralmentedeseocircularrotativasou estacionriasquetmfunodesuportedeoutroscomponentesmecnicos (engrenagens,polias,volantes,etc.)etransmitemmomentodetoro.Oseixosso elementosdemquinasquetmfunodesuporte,masnotransmitemmomentode toro (potncia).Na prtica usa-se apenas o termo eixo para denominar estes elementos. Precisamserconsideradastantoastensesquantoasdeflexeseavelocidade crticaparaoprojetodervoreoueixo.Freqentementeadeflexopodeserofator crtico, porque deflexes excessivas causaro desgaste rpido dos mancais da rvore ou promoverodesalinhamentosqueprejudicarooengrenamentodeengrenagens correias ou correntes. Entretanto, os clculos de deflexo requerem que a geometria inteira da rvore ou eixosejadefinida.Assim,umeixopreliminarmenteprojetadoquantoresistncia (tenses), e as deflexes so calculadas uma vez que a geometria esteja completamente definida.Avelocidade(rotao)crticacalculadaposteriormenteparaseevitarqueo eixogirecomrotaoprximaaprimeirafreqncianaturaldoeixo,impedindoassim, que ocorra o fenmeno de ressonncia do sistema. 2 Consideraes gerais Algumasregrasgeraisparaoprojetodeeixospodemserenunciadascomo segue: Paraminimizarastenses e deflexes, o comprimento do eixo deve ser o menor possvel e os trechos em balano minimizados ao mximo; Deve-se usar preferencialmente o eixo biapoiado ao invs do em balano; Umeixovazadotemumarazomelhorderigidez/massa(rigidezespecfica)e freqnciasnaturaismaisaltasqueaquelasdeumeixocomparativamentergido ou slido; Tente colocar concentradores de tenso longe das regies de grandes momentos fletores e minimize seu efeito com grandes raios e aliviadores de tenso; Se a principal preocupao minimizar a deflexo, talvez o material mais indicado seja o ao de baixo carbono, porque sua rigidez to alta quanto aquela de aos maiscaros,eumeixoprojetadoparapequenasdeflexestenderatertenses baixas; Asdeflexesnasposiesdeengrenagenssuportadaspeloeixonodevem exceder cerca de 0,127 mm e a inclinao relativa entre os eixos da engrenagem deve ser menor que cerca de 0,03; Seforemusadosmancaisdedeslizamento,adeflexodoeixoaolongodo comprimentodomancaldevesermenorqueaespessuradapelculadeleo hmin no mancal; Se forem usados rolamentos (no auto-compensadores), a inclinao do eixo nos rolamentos deve ser mantida menor que aproximadamente 0,04;Aprimeirafreqncianaturaldoeixodeveserpelomenosde3a4vezesa freqncia mxima da carga esperada em servio. Projeto de eixos e rvores Oobjetivodestedimensionamentoconsisteemdeterminarodimetromnimo necessrio rvore ou eixo para que ela(e) suporte os esforos atuantes.3 Seumarvoresuportadiversasengrenagensoupolias,diferentesseesda mesmapoderoestarsubmetidasatoresdiferentes,porqueapotnciatotal desenvolvida na rvore retirada parcialmente nos vrios pontos.Emconseqncia,devemosverificaraparceladomomentodetoroqueatua emcadapartedarvore.Emseguida,podemosestudaradistribuiodomomentode flexo. Deste exame preliminar assinalamos as sees em que os momentos de flexo e detorosomximos.Seestesmximosocorreremnamesmaseo,odimetro necessrioparaaquelaseoserdeterminadoeusadoparaarvoretoda,seo dimetro tiver de ser constante. Se os mximos no ocorrerem na mesma seo, dever-se- determinar o dimetro para a seo do momento de toro mximo e tambm para a de momento de flexo mximo e usar o de maior valor. 1)Projetodeeixodetransmissoparaflexoalternadaetoro constante

Segundo o mtodo ANSI/ASME (1985) para flexo alternada e toro constante e ausnciadeforaaxial (caso mais comum), o dimetro para uma seo circular macia pode ser calculado pelaequao (1): d = 32243 . 32+emfcorafT MkFS (1) onde: FS = fator de segurana; fcor = resistncia fadiga corrigida para uma vida desejada ou ento: fcor = ncor para vida infinita, j estudado; aM = momento de flexo alternado; 4 mT= momento de toro mdio; fk= fator de concentrao de tenses de fadiga na flexo; e= tenso de escoamento Paraocasodeeixocircularcomseotransversalconstanteutilizamospara dimensionamento a equao (1a) que a forma simplificada da equao (1). d = 32. 32

,_

fcoraM FS (1a) 2) Projeto de eixo de transmisso para flexo variada e toro variada Para um eixo de seo circular macia sujeito flexo e toro variadas e sem carga axial o dimetro pode ser calculado pela equao (2): d=( ) ( ) ( ) ( )';1111]1

+++3 / 12 2 2 2.43. .43.. 32rm fsm m fmfcora fs a fT k M k T k M kFS (2) onde: fcor = resistncia fadiga corrigida para uma vida desejada; r = tenso de resistncia trao; mM= momento de flexo mdio; aT= momento de toro alternado; fsk =fator de concentrao de tenses de fadiga na toro; 5 fmk= fator de concentrao de tenses relativo tenso mdia em fadiga; fsmk= fator de concentrao de tenses relativo tenso mdia em fadiga fsk . FS = fator de segurana. Determinao de fmk : Sefknommx< eento fmk= fk ; Sefknommx< eento fmk= nomnomma f ek ; Sefknom nommx min > 2 e ento fmk= 0 3) Projeto de eixo de transmisso para flexo varivel, toro varivel e carga axial O ASME (America Society of Mechanical Engineers) apresenta a seguinte equao para o clculo de eixo oco submetido toro, flexo e carga axial (caso mais geral). So introduzidos na equao (3) fatores de choque e fadiga.

do =( )';+11]1

++3 / 122248) 1 ( .. .) 1 ( .16T kK d FM kKto abs (3) onde: aF= carga axial; di = dimetro interno do eixo; do =dimetro externo do eixo; K = di/do(0,4 a 0,9 normalmente); M = momento fletor mximo; 6 T = momento de toro mximo; kb = fator que leva em conta o choque e a fadiga, aplicado ao momento de flexo; kt = fator que leva em conta o choque e a fadiga, aplicado ao momento de toro. s= tenso admissvel conforme o cdigo ASME. Fatores de concentrao de tenses para eixos e rvores segundo o ASME Para eixos estacionrios: bktkCarga gradualmente aplicada1,01,0 Carga subitamente aplicada1,5 a 2,01,5 a 2,0 Para rvores ou eixos que giram: Carga gradualmente aplicada1,51,0 Carga subitamente aplicada (pequeno choque)1,5 a 2,01,0 a 1,5 Carga subitamente aplicada (grande choque)2,0 a 3,01,5 a 3,0 De acordo com o cdigo ASME, para materiais especificados: s = 0,30 eou

s = 0,18 r tomar o menor valor! Sehouverrasgodechavetamultiplicarestesvalorespor0,75etomaromenor para o dimensionamento. Multiplicar spor Ft se a temperatura de trabalho for superior a 70 C. = fator devido ao de flambagem = 1para trao; Para compresso: = . 0044 , 0 11se = grL < 115 7 = E ne. .22se > 115; sendo: n = 1 para extremidades articuladas;n = 2,25 para extremidades engastadas e n = 1,6 para movimento parcialmente restritos, como em mancais. rg = raio de girao = AI; I = momento de inrcia da seo e A = rea as seo. Se por outro lado, tivermos um eixo de transmisso macio e carga axial nula a equao (3) se transforma na equao (3 a): d =( )+3 / 12 2) . .( ..16T k M kt bs (3 a) Materiais Para se escolher um material para a fabricao de eixos de transmisso, deve-se considerar os seguintes fatores: preo do material; facilidade de obteno no mercado da bitola desejada; possibilidade de tratamento trmico e conhecer suas eventuais deformaes; ductilidade; coeficiente de sensibilidade; usinabilidade; resistncia flexo e toro; resistncia ao desgaste. 8 OsmateriaismaisutilizadosnafabricaodeeixoservoressoosSAEsou ABNTs: 1015 1020 1025 - 1030 1035 - 1040 1045 1060 2340 2345 31153120 3135 3140 4120 4130 4140 4340 6150 (Cr e V) 8620 8650 9260. Quando se pretender um bom amortecimento de vibraes, usa-se o ferro fundido paraafabricaodeeixos,desdequeodimensionamentosejafeitoobedecendos caractersticas de resistncia desse material.As propriedades desses materiais esto no anexo desta apostila. Dimetros Padronizados: 5/6/8/9/10/11/12/(13)/14/(15)/16/18/20/22/25/28/(30)/(35)/36/(38)/40/45/50/56/(60)/63/(65)/70/(75)/80/90/100/(110)/(120)/125/140/(150)/160/180/200. Ateno: Os valores indicados entre parnteses devem ser evitados. O projetista dever sempre consultar os fornecedores sobre os dimetros normalmente existentes. 9 Trs exemplos de aplicao: 1) A fora resultante na engrenagem A, FA = 3000 N, atua fazendo um ngulo de 20comoeixoYdarvoremostradanaFiguraabaixo.Arvoreuma barra deseo circular, de ao trabalhado a frio SAE1040. O fator de segurana deve ser 2,0. Determine o dimetro desta rvore para vida infinita. Soluo: Oproblemaapresentasolicitaesdetoroconstanteeflexoalternadacom reverso completa. Dessa forma, iremos usar para dimensionamento a equao (1). d = 32243 . 32+emfcorafT MkFS IniciaremosretirandodaTabelaIVosvaloresdastensesdeescoamentoe resistncia a trao: 10 Para o ao SAE 1040 LF (ou estirado a frio) e = 49,00 kgf/mm2 ; r = 59,00 kgf/mm2 O segundo passo calcularmos o torque na engrenagem A, que representa o torque na rvore do trecho A at C. (a engrenagem A est solidria a rvore): T = FA x cos 20x 300 = 845723,36 N.mm O terceiro passo calcularmos a fora FC: FC = 845723,36/cos 20x 125 = 7200 N O quarto passo se constitui no clculo das foras no plano vertical xy, no plano horizontal xz e os diagramas de momentos fletores: As foras e os momentos nas sees esto representados na figura abaixo para o plano vertical: Na figura seguinte esto as foras e os momentos fletores nas sees para o plano horizontal: 11 O quinto passo calcularmos o momento resultante na seo mais solicitada: MRA = 2 2968480 1167705 += 1517065,75 N.mm MRB = 2 2615635 2018785 += 2110568,48 N.mm (seo mais solicitada) No sexto passo iremos calcular o torque mdio e o momento de amplitude, pois o torque o mesmo para as duas sees. Caso fosse diferente deveramos dimensionar o dimetro para as duas sees e escolher o maior valor de dimetro calculado. Tm = Tmx/2 = 422861,68 N.mm Ma =2mn mxM M = 2110568,48 N.mm Como a rvore no apresenta descontinuidade iremos admitir kf =1. O passo stimo o clculo da tenso limite de resistncia fadiga corrigida: n cor = n .FA.FT.FC.Ft.Fconf 12 Correes: FC = 1;FT = 0,85(valor preliminar);FA = 2,7(83,96)-0,265 = 0,835; Ft = 1(temp < 70 C)Se a temperatura fosse maior que 70 C,ento:Ft = ) ( 460620F T +;Fconf = 0,897 (para 90% de confiabilidade). Logo: n cor = 0,5 . (59x9,81)x1x0,85x0,835x1x0,897 = 184,24 N/mm2

Finalmente, substituindo os valores numricos na equao (1), vem: d =32 269 , 480422861,684324 , 1842110568,48 2 . 32+ =61,62 mm padronizando:d = 63 mm. Obs:verificarposteriormente,acrscimoounodoeixoemfunodorasgode chaveta. 2) Uma polia B de 600 mm, enchavetada na rvore, recebe potncia de baixo, em um ngulo de 45 , como mostrado na figura A. Uma engrenagem C de 450 mm fornece 45%depotncia,horizontalmente,paraadireita.UmaengrenagemEde300mm fornece a potncia restante de cima para baixo e para a esquerda, em um ngulo de 30abaixodahorizontal.Asengrenagenstambmsoenchavetasnarvore.Apotncia transmitida30hpa360rpm.Deve-seusaroaoC1035come=50,4kgf/mm2eor = 63 kgf/mm2. A carga atua suavemente. Determinar o dimetro da rvore. 13 Dado: 321=TT(na correia) e ngulo de presso 20 . Figura A: Desenho esquemtico da rvore para o exerccio 2 e as reaes na polia e engrenagens C e E. Soluo: NodesenhodadireitaestoapresentadosasreaesnasengrenagensCeE devido,respectivamente,asengrenagensGeH,assimcomo,astensesnapoliaB devido aos ramos tenso e frouxo da correia de acionamento.O prximo passo calcularmos os torques transmitidos pela polia e engrenagens: TB = 72620 x 36030 = 6051,7 kgf x cm; TC = 72620 x ( )36030 45 , 0 x = 2723,25 kgf x cm; TE = 72620 x ( )36030 45 , 0 30 x = 3328,42 kgf x cm. A distribuio do torque na rvore est mostrada no desenho da esquerda. 14 Aseguir,vamosmostrarasreaesnapoliaenasengrenagensCeEparaos planoshorizontalevertical.Dasreaesmostradasnodesenhodadireitanafigura2 obtemos: Opasso seguinte o clculo das foras representadas no desenho anterior. Sendo: (T1 T2) x dp correia/2 = Torque e 15 321=TT;ento: (3T2 T2) x 30,0 = 6051,7 kgf x cm T2 = 100,86 kgfe T1 = 302,58 kgf A fora FB vale portanto:

FB = 403,44 kgf Ento: FBh = FBv = 285,27 kgf As foras tangencial e radial na engrenagem C valem: Ft GC = C engr PdTorque x.2 Ft GC = 2 x 2723,25/45,0 = 121,03 kgf FR GC = 44,05 kgf Ento: FCh = 121,03 kgf FCv = 44,05 kgf As foras tangencial e radial na engrenagem E valem: 16 Ft EH = E engr PdTorque x.2 Ft EH = 221,89 kgf Fr EH = 80,76 kgf E portanto: FEh = 151,78 kgf FEv = 180,88 kgf A seguir, vamos traar os momentos fletores nos planos horizontal e vertical: Plano Horizontal Plano Vertical 17 O momento resultante maior na seo da polia B e vale: MRB = 2 26 , 7677 7 , 8036 + = 11114,59 kgf Passemos agora para o clculo da tenso limite de resistncia fadiga corrigida. Correes: FT = 0,85para12,5 d 50 mm; FA = A(r)bda Tabela 1:A = 2,7eb = -0,265FA = 0,819; FC = 1(flexo); Ft = 167 460620+ = 0,989; Fconf = 0,897(90% de confiabilidade). = = 897 , 0 989 , 0 1 819 , 0 85 , 0 6300 5 , 0 x x x x x xcor n 1945,37 kgf/cm2

Passemos agora para a determinao do kb e kt. Da Tabela dos fatores de concentrao de tenses para rvores segundo o ASME com carga gradualmente aplicada: kb = 1,5ekt = 1,0 Necessitamos agora calcular a tenso de cisalhamento s segundo o ASME. s = 0,18 x 6300 x 0,75 = 850,5 kgf/cm2 Como o momento fletor mximo e o torque mximo esto na seo B, a seo B a mais solicitada no eixo de transmisso. Finalmente, substituindo os valores numricos na equao (3 a), obtemos o dimetro mnimo para o eixo de transmisso. 18 d =( )+3 / 12 27 , 6051 0 , 1 ) 59 , 11114 5 , 1 .( .5 , 850 .16x x d = 4,73 cm Devemos verificar agora, a profundidade do rasgo de chaveta para a polia B. Para47,3mmdedimetro, daTabela abaixo,sendo chaveta retangular, tiramos:b x t = 14 x 9 mm2 et1 = 5,5 mm. Portanto, o dimetro deve ser de 53 mm. Consulte o fabricanteparasabersehdimetrocomercialde53mm.Casonohaja,padronizar com o dimetro de 56 mm. 3)Omotoreltricodepotncia20cvarotaode1150rpmaciona,atravsdeuma correiaplanadecouro,oeixo(e2).Oeixoe2movimentapormeiodecorreias trapezoidaisoeixo(e3).Todasaspoliasestofixasaoseixosatravsdechavetas paralelas.Omotorgiranosentidoante-horrio.Ospesosporunidadedecomprimento das correias so: -para a correia plana w = 0,7 kgf/m e = 0,28; -para as correias trapezoidais w = 2,7 kgf/m; = 0,3;e = 34 Conhecendo-se toda a geometria, pedem-se: 1) Qual a potncia, rotao e torque no eixo e3 ? 2) Fazer o pr-dimensionamento do eixo e2, de ao 1045 LQ, nas sees do mancal (A) e da polia (P2). O esquema do sistema est na pgina 20. 19 20 Soluo: Nota-se que o sistema foi idealizado para transmisso de potncia. Dessa forma, a potncia no eixo e2 a mesma do motor eltrico que tambm a potncia no eixo e3. Comoarotaoestdiminuindodoeixoe1paraoeixoe3otorqueestsendo aumentado do eixo e1 para o eixo e3 . A rotao no eixo e3 pode ser calculada como segue: n3 = n1 x 2211DdxDd

n3 = 4502505002001150 x xn3 = 255,6 rpm O momento toror no eixo e3 ento calculado pela expresso: 21 3MT= 71620 x nPt(kgf x cm) 6 , 25520716203x MT =3MT= 5604,1 kgf x cm Paradimensionarmosoeixodetransmissonecessrioumesquemada transmisso para determinarmos as foras que agem no eixo. Adeterminaodastensesnascorreiasfeitautilizando-seasseguintes relaes: Para correia plana: .21eF TF Tcc= Para correia trapezoidal: ) 2 / sen( / .'2'1 eF TF Tcc= 22 sabendo-se ainda que: (T1 T2) x=21d MT1 e = 2) (2 '2'1dx T TMT2 onde: '1 1T e T : so as tenses no ramo tenso das correias; '2 2T e T : so as tenses no ramo frouxo (bambo) das correias; : coeficiente de atrito entre correia e polia; : ngulo de abraamento da correia em radianos; : ngulo da ranhura da polia para encaixe da correia trapezoidal; Fc: fora centrfuga que age sobre a correia = w.v2/g; W: peso da correia por metro de comprimento; v: velocidade tangencial da correia, m/s; g: acelerao da gravidade, 9,81 m/s2. Para a transmisso eixo e1 eixo e2, temos: v = x d1 x n1 v = x 0,20 x 1150/60 v = 12,04 m/s Clculo do ngulo de abraamento : 23 1 = - 2arc (sen Ad D2)rd(rd) 1 = - 2arc sen 550 2200 500x 1 = 2,589 rd Clculo das tenses nos ramos da correia plana: =81 , 904 , 12 7 , 081 , 904 , 12 7 , 02221xTxT2,064 064 , 234 , 1034 , 1021=TT(a) Com relao ao torque, temos: MT1 = 71620 x56 , 1245115020=kgf x cm 24 Ento: (T1 T2) x 20 , 20= 1245,56 ou T1 = T2 + 124,56(b) Substituindo (b) em (a) vem: T2 = 127,41 kgf e T1 = 251,97 kgf Se projetarmos em dois eixos, horizontal e vertical, as foras T1 e T2, teremos: H1 = (T1 + T2) x cos 1 = (251,97 + 127,41) x cos 15,83 25 H1 = 365 kgf V1 = (T1 T2) x sen 1 = (251,97 127,41) x sen 15,83 V1 = 33,97 kgf Para a transmisso com correias trapezoidais (d2 e D2), o clculo semelhante ao anterior, ou seja: v = x d2 x n2 v = x 0,250 x500200 1150x /60 v = 6 m/s Clculo do ngulo de abraamento: 2 = - 2arc (sen 22 22Ad D)rd(rd) 2 = - 2arc sen 500 2250 450x 2 = 2,739 rd Clculo das tenses nos ramos da correia trapezoidal: 26 =81 , 96 7 , 281 , 96 7 , 22'22'1xTxT234sen / 739 , 2 30 , 0 xe =91 , 991 , 9'2'1TT16,62 (a) Da equao do torque obtemos: ) ('2'1T T x 12,5 = 71620 x 500200115020x = 3113,91 kgf x cm '2'1T T= 249,11 kgfou ='1T 249,11 + '2T (b) Substituindo (b) em (a), obtemos: ='1T 274,97 kgf e '2T = 25,86 kgf De forma anloga determinamos as componentes H2 e V2: H2 = ('2'1T T+ ) x cos 2

H2 = (274,97 + 25,86) x cos 11,5 H2 = 294,80 kgf 27 V2 =) ('2'1T Tx sen 2

V2 = (274,97 25,86) x sen 11,5 V2 = 49,66 kgf Abaixo representamos as foras ativas nas polias P2 e P3 do eixo e2: A seguir representamos esquematicamente as foras e momentos reativos: onde HA , HB ,VA e VB so as reaes de apoio nos mancais A e B. 28 No Plano Vertical, temos: Reaes: MA = 0+ no sentido horrio 22 x VB 33,97 x 10 49,66 x 15 = 0 VB = 49,30 kgf FV = o VA =V2 + VB V1 VA = 65 kgf O diagrama de momento fletor para o plano vertical ser: 29 No Plano Horizontal, temos: Reaes: MA = 0positivo sentido horrio. 15 x H2 + 10 x H1 22 x HB = 0 15 x 294,80 + 10 x 365 22 x HB = 0 HB = 366,91 kgf FH = 0 HA = H2 + HB H1 HA= 296,71 kgf O diagrama de momento fletor para o plano horizontal ser ento: 30 O momento resultante na seo A maior que na seo B e vale: MR = 2 2745 4422 + MR = 4484,32 kgf x cm Como o momento de toro na seo A o mesmo da seo C, a seo A corresponde seo crtica do eixo e2. O dimetro do eixo de transmisso e2 pode ser calculado pela equao (1): d = 32243 . 32+emfcorafT MkFS O momento de amplitude pode ser calculado pela expresso: Ma = 2mn mxM M , Mmx = MReMmn= - MR Ma = MR; Para seo considerada constante kf = 1; O clculo do momento de toro mdio pode ser feito pela expresso:31 Tm = 2mn mxT T +, Tmx = 3113,91 kgf x cmeTmn = 0 Tm = 1556,95 kgf x cm Para o clculo de corfprocederemos como na apostila 2: Admitindo-se que o dimensionamento ser para vida infinita, teremos as seguintes correes para a tenso de resistncia fadiga terica: Fator de tamanho FT = 0,85 para12,5 mm d 50 mm; Fator de acabamento FA = A( )br ; Para ao SAE 1045 LQ:r =5700 kgf/cm2 ee = 3100 kgf/cm2, FA = 0,841 Fator de temperatura Ft = 1para t < 70 C, Fator de carga FC = 1 Fator de confiabilidade para confiabilidade de 99% a Tabela 2 da apostila 2 fornece: Fconf = 0,814 Portanto: n cor = 1658,38 kgf/cm2 Vamos usar um fator de segurana FS = 2,0; Substituindo os valores na equao 1, vem: 32 de2 = 32 2310095 , 15564338 , 16584484,3210 , 2 32+ xx de2 = 3,82 cm Devemos verificar agora, a profundidade do rasgo de chaveta para as polias. Para 38,2 mm de dimetro, da Tabela acima (Chavetas Paralelas DIN 6885), sendo chaveta retangular, retiramos:b x t = 10 x 8 mm2,t1 = 4,7 mm (profundidade no eixo) e t2 = 3,4 mm (profundidade no cubo).Ento, o dimetro deve ser de 42,9 mm. Padronizando:de2 = 45 mm.

33 ANEXOS 34 Anexo 1 35 Anexo 2 36 Anexo 3 37 Anexo 4 38 Anexo 5 FIM!