aproximaciones2

8/4/2019 aproximaciones2

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A P(Polinomio de Taylor en R n)

M C C

En este trabajo nos ocuparemos de extender a funciones de varias variables losresultados obtenidos para funciones de una variable.

I. Introducci on

Antes de ocuparnos del tema especco necesitamos tratar algunos asuntos esencialmentealgebraicos que facilitar an luego la comprensi on de los conceptos principales.

A partir de una funci on f : R n R y de un punto a R n vamos a encontrar la forma enque se puede escribir un polinomio de grado 1 y otro de grado 2 que cumplen la condici on

P (a ) = f (a )

Nos interesan especialmente porque el polinomio de Taylor, al tener que aproximar a la funci on

cerca dea

, deber a comenzar por coincidir con ella en ese punto.

F 1 R n

Sea P : R n R un polinomio de grado menor o igual que 1 tal que P (a ) = f (a ). Lacondici on sobre su grado obliga a que s olo contenga monomios de grado 1 o cero. Por lotanto,

P (x) = b1 x1 + + bn xn + c

donde b1 , . . . , bn , c R est an jos. Llamando

b = (b1 , . . . , bn)


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2 MARIA DEL CARMEN CALVO

se puede escribir en la forma

P (x) = b x + c

La condici on P (a ) = f (a ) dice que

b a + c = f (a )

O sea,

c = f (a ) b a

Llegamos nalmente a nuestro objetivo

P (x) = b (x a ) + f (a ) (1.1)

donde b R n .

Ejemplo

Consideremos la funci on f ( x, y, z) = 3 cos( x+ y) xyz2 , el punto a = (0 , , 2) y P el polinomiode grado 1

P ( x, y, z) = 3 x 2 y + 4 z + 2 11 que satisface P (0, , 2) = f (0, , 2) = 3

Es inmediato ver que se puede escribir en la forma

P ( x, y, z) = (3 , 2, 4) ( x, y, z) + 2 11

Siguiendo el procedimiento del desarrollo anterior, reemplazamos ( x, y, z) por

( x, y , z 2) + (0, , 2)

y obtenemos

P ( x, y, z) = (3, 2, 4) [( x, y , z 2) + (0 , , 2)] + 2 11

= (3, 2, 4) ( x, y , z 2) + (3, 2, 4) (0 , , 2) + 2 11

= (3, 2, 4) ( x, y , z 2) 2 + 8 + 2 11

= (3, 2, 4) ( x, y , z 2) 3

Lo hemos escrito entonces en la forma (1.1) con

b = (3, 2, 4)


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FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIA UCA CALCULO AVANZADO P C 2007 3

F 2 R n

Sea P : R n R un polinomio de grado menor o igual que 2 tal que P (a ) = f (a ). Lacondici on sobre su grado obliga a que s olo contenga monomios de grado 2, 1 o cero. Por lotanto,

P (x) =n

i, j= 1

a i j xi x j + d 1 x1 + + d n xn + c

donde a i j , d k y c son n umeros reales jos y la matriz ( a i j) sim etrica.

Recordando que los polinomios de grado 2 con todos sus monomios de grado 2 repre-sentan formas cuadr aticas, podemos escribir a este polinomio en la forma

P (x) = x A xt + d x + c

siendo A = (a i j) R n n sim etrica , d R n y c R .

Nos proponemos aqu hacer algo similar al caso anterior; i.e., expresarlo en t erminos de lasdiferencias x a . Con ese prop osito, en la ecuaci on anterior escribimos

x = x a + a

con lo cual, recordando las propiedades del producto de matrices y del producto escalar 1 ,obtenemos

P (x) = (x a + a ) A (x a + a )t + d (x a + a ) + c

= (x a ) A (x a )t + a A (x a )t + (x a ) A a t + a A a t + d (x a ) + d a + c

= (x a ) A (x a )t + 2(a A) (x a ) + d (x a ) + a A a t + d a + c

= (x a ) A (x a )t + [2(a A) + d ] (x a ) + [a A a t + d a + c]

Llamandob = d + 2 a A

y teniendo en cuenta que f (a ) = P (a ) = a A a t + d a + c

Llegamos nalmente a la forma en que quer amos escribir a P ,

P (x) = (x a ) A (x a )t + b (x a ) + f (a ) (1.2)

donde A R n n es sim etrica y b R n .

Ejemplo

Sean f ( x, y, z) = xy2 + 2 xz e yz , a = (1 , 0, 2) y P ( x, y, z) = 4 x2 3 y2 + z2 + xy yz+ 3 x y+ z 14que satisface

P (1 , 0, 2) = 5 = f (1 , 0, 2)1y adem as que: y A yt = (y A yt )t = ((y)t )t (y A)t = y(y A)t = y ( Ay)


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Este polinomio se puede escribir en la forma,

P ( x, y, z) = x y z4 12 012 3

12

0 12 1

x y z

+ (3 , 1, 1) ( x, y, z) 14

Reemplazamos ( x, y, z) = ( x 1, y, z + 2) + (1 , 0, 2)

P ( x, y, z) = x 1 y z + 2 + 1 0 24 12 012 3

12

0 12 1

x 1 y

z + 2

+

10

2

+ (3, 1, 1) [( x 1, y, z + 2) + (1 , 0, 2)] 14

= x 1 y z + 24 12 012 3

12

0 12 1

x 1 y

z + 2 x 1 y z + 2

4 12 012 3

12

0 12 1

10

2

1 0 24 1

20

12 3

12

0 12 1

x 1 y

z + 2

+ 1 0 24 1

20

12 3

12

0 12 1

10

2

+ (3, 1, 1) ( x 1, y, z + 2) + (3, 1, 1) (1 , 0, 2) 14

= x 1 y z + 24 12 012 3

12

0 12 1

x 1 y

z + 2 x 1 y z + 2

4 12 2

4 12 2 x 1

y z + 2

+ 4 12 210

2

+ (3, 1, 1) ( x 1, y, z + 2) + 1 14

= x 1 y z + 24 12 012 3

12

0 12 1

x 1 y

z + 2 2(4 ,

12

, 2) ( x 1, y, z + 2) + 8

+ (3, 1, 1) ( x 1, y, z + 2) 13

= x 1 y z + 24 12 012 3

12

0 12 1

x 1 y

z + 2

+ [ 2(4 , 12

, 2) + (3, 1, 1)] ( x 1, y, z + 2) 5

= x 1 y z + 24 12 012 3

12

0 12 1

x 1 y

z + 2

+ ( 1, 12

, 5) ( x 1, y, z + 2) 5

Esto responde a la forma (1.2) con

A =

4 12 012 3

12

0 12 1y b = ( 1,

12 , 5)


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II. Polinonio de Taylor de orden 1 en R n

Vamos a probar que para cada funci on f : R n R diferenciable en el punto a existe ununico polinomio P 1 : R n R que satisface

lmx a

f (x) P 1(x)x a

= 0 (2.1)

Comencemos por notar que un polinomio que cumple esta condici on, en particular satisface

P 1(a ) = f (a )

dado que, siendo que el cociente en (2.1) tiende a cero y el demoninador tambi en, no queda otraposibilidad que tambi en lo haga el numerador; con lo cual, por ser ambas funciones continuasimplica que

f (a ) P 1(a ) = lmx a

f (x) P 1(x) = 0

Lo que diferencia a P 1 del resto de los polinomios que coinciden con f justo en a es que sugraco es el que esta m as cerca del graco de f para los x suciente cercanos a a .

Recordando la forma que tienen todos los polinomios que coinciden con f en a 2 podemosescribir

P 1(x) = b (x a ) + f (a )

Se trata entonces de ver qui en es ese vector b . Escribamos la condici on (2.1) usando estaexpresi on de P 1 ,

lmx a

f (x) f (a ) b (x a )x a

= 0

Pero esto, por ser f diferenciable, s olo se cumple cuando

b = f (a )

Concluimos de esta forma que

P 1(x) = f (a ) (x a ) + f (a )

es el unico polinomio de grado menor o igual que 1 que cumple (2.1) . Adem as, cuando n = 2 , su gr aco es el plano tangente al gr aco de f en (a , f (a )).

III. Expresi on del t ermino complementario de orden 1 en R n

El t ermino complementario de Taylor de orden 1 alrededor del punto a se dene por

R1(x) = f (x) P 1(x)2cf. la ecuaci on (1.1)


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es decir, indica la diferencia entre la funci on y el polinomio de Taylor de orden 1 y nos da porlo tanto el error que cometemos al aproximar a f por P 1 en cada punto x. Teniendo en cuentaque

lmx a

R1(x)x a

= lmx a

f (x) P 1(x)x a

= 0

podemos lograr que el error que cometemos en esa aproximaci on sea tan chico como se quieracon tal de tomar a x sucientemente cerca de a .

Nos proponemos ahora encontrar una forma de escribir a este resto que recuerde lo sabidopara funciones de una variable.

Como pretendemos utilizar la forma Hessiana de f , vamos a pedir que esta funci on sea declase C 2 en un entorno de a .

Para facilitar los c alculos deniremos a partir de f una funci on de una variable para lacual ya sabemos escribir su f ormula de Taylor de orden 1. M as precisamente, supongamos que

f es de clase C 2

en el disco D : x a < r

sabemos que el segmento [ a , x] D para todo x D . Pero D tambi en incluye al segmento[2a x, a ] 3; luego, el segmento [2 a x, x] D . Esto se aprecia en el siguiente esquemagraco,

x

a

2a-x

D

Comenzamos parametrizando este segmento,

: [ 1, 1] D , (t ) = a + t (x a )

cuyo vector tangente en todo instante es

x a

y a continuaci on denimos la funci on

: [ 1, 1] R , (t ) = f ( (t ))

3sim etrico de [ a , x] respecto de a sobre la recta que pasa por a y x


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que resulta de clase C 2 y adem as satisface

(0) = f (a ) , (1) = f (x) , (t ) = f ( (t )) (x a )

La f ormula de Taylor de orden 1 de alrededor de t = 0 es

(t ) = p1(t ) + r 1(t ) = (0) + (0) t + (t 0)

2t 2

para un cierto t 0 entre 0 y t . Escrito en t erminos de f , para t = 1, nos da

f (x) = f (a ) + f (a ) (x a ) + (t 0)

2(para un 0 < t 0 < 1)

Necesitamos encontrar la expresi on del resto en terminos de f para lo cual deberemos derivar

(t ) = f ( (t )) (x a ) = f x1

( (t ))( x1 a 1) + + f

xn( (t ))( xn a n)

Aplicando la regla de la cadena en cada sumando obtenemos

(t ) = ( f x1 )( (t )) (x a ) ( x1 a 1) + . . . + ( f xn

)( (t )) (x a ) ( xn a n)

= ( f x1 )( (t )) (x a ), . . . , ( f xn

)( (t )) (x a ) (x a )

= (x a ) ( f x1 )( (t )) (x a ), . . . , ( f xn

)( (t )) (x a )

Recordando que cada la de la matriz Hessiana es el gradiente de cada derivada parcial primerade f vemos que

( f x1 )( (t )) (x a )...

( f xn )( (t )) (x a )

= MH f ( (t ))(x a )t

de donde resulta que

(t ) = (x a ) MHf ( (t ))(x a )t = 2 H f ( (t ))(x a )

Tomando t = t 0 obtenemos (t 0)

2= H f ( (t 0))(x a )

Si llamamos c = (t 0), hemos probado que la f ormula de Taylor de orden 1 de f alrededor de ase escribe

f (x) = P 1(x) + H f (c)(x a )

donde c = (t 0) [a , x] 4 .

4por ser 0 < t 0 < 1


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IV. Polinonio de Taylor de orden 2 en R n

Supongamos que la funci on f : R n R es de clase C 2 en el punto a . Mostraremos queexiste un unico polinomio P 2 : R n R de grado menor o igual que 2 tal que

lmx a

f (x) P 2(x)x a 2

= 0 (4.1)

Comencemos por notar que esta condici on implica que, en particular,

lmx a

f (x) P 2(x)x a

= 0 (4.2)

Esto se deduce inmediatamente de

f (x) P 2(x)x a

= f (x) P 2(x)

x a 2 x a

Como observamos en una secci on anterior, la condici on (4.1) obliga a que P 2(a ) = f (a ) ypor lo tanto es posible escribirlo en la forma (1.2)

P 2(x) = (x a ) A(x a )t + b (x a ) + f (a )

Reescribimos la condici on (4.2) usando esta expresi on de P 2

lmx a

f (x) b (x a ) f (a )

x a+

x a

x a A(x a )t = 0

Ahora bien, la expresi onx ax a

est a acotada dado que tiene norma 1 mientras que A(x a )t

tiende a cero cuando x tiende a a . Esto nos dice que el segundo sumando tiende a cero cuandox a y en consecuencia dado que la suma tambi en converge a cero lo propio debe sucedercon el primer sumando; i.e.,

lmx a

f (x) b (x a ) f (a )x a

= 0

Pero entonces b (x a ) + f (a ) tiene que ser el polinomio de Taylor de orden 1 de f en a por locual

b = f (a )

Tenemos hasta ahora que el polinomio que buscamos debe tener la forma

P 2(x) = f (a ) + f (a ) (x a ) + (x a ) A(x a )t

solo nos resta ver qui enes son los elementos de la matriz A.Para lograr este objetivo vamos a usar el hecho que la existencia del l mite m ultiple de la

condici on (4.1) asegura que se obtiene el mismo resultado cuando uno se aproxima a a porcualquier camino en particular.


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Consideremos en primera instancia

c(t ) = (a 1 , . . . , a i 1 , t , a i+ 1 , . . . , a n)

que tiende a a cuando t a i. Conviene notar adem as que

d (t ) = c(t ) a = (0, . . . , 0, t a i, 0, . . . , 0) y c(t ) a = d (t ) = |t a i |

y tambi en que

d (t ) A(d (t )) t = d (t )

a 1ia 2i...

a ni

= 0 0 t a i 0 0

a 1ia 2i...

a ni

= (t a i)2a ii

La condici on (4.1) nos permite armar entonces que f (c(t )) f (a ) f (a )(d (t )) (t a i)2a ii

(t a i)2 0

cuando t a i. De aqu podemos concluir que

a ii = lmt a i

f (c(t )) f (a ) f (a )(d (t ))(t a i)2

es decir,

a ii = lmt a i

f (a 1 , . . . , t , . . . , a n) f (a 1 , . . . , a n) f x

i

(a )(t a i)

(t a i)2

Siendo este un l mite de una variable en el que tanto numerador como denominador tienden acero cuando t a i podemos aplicar lHospital para concluir que

a ii = lmt a i

f xi

(a 1, . . . , t , . . . , a n) f xi

(a )

2( t a i)

=12

lmt a i

f xi

(a 1 , . . . , t , . . . , a n) f xi

(a )

t a i

= 12 2 f

x2i(a )

A esta altura podemos decir que la matriz A coincide con 12 MHf (a ), al menos, en su diagonalprincipal.

Para calcular el resto de los elementos de A y comprobar nalmente que

A =12

MH f (a )

bastara con reproducir lo hecho con los elementos de la diagonal pero esta vez usando el camino

g(t ) = (a 1, . . . , a i 1 , a i + t , a i+ 1 , . . . , a j 1 , a j + t , a j+ 1 , . . . , a n) a


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cuando t 0.Llegamos entonces a que hay a lo sumo un polinomio que puede cumplir la condici on (4.1)

P 2(x) = f (a ) + f (a ) (x a ) + H f (a )(x a )

Solo nos resta comprobar que este polinomio efectivamente satisface la condici on que locaracteriza. Para ello utilizaremos un argumento muy similar al empleado en la secci on anteriorpara llegar a la expresi on del resto de orden 1. M as precisamente, para cada x llamamos

u =x ax a

y denimos(t ) = f (a + t u )

Cuentas similares a las hechas en esa ocasi on nos permiten ahora decir que

(0) = f (a ) , ( x a ) = f (x) , (0) = f (a ) (x a ) , (0) = H f (a )(x a )

Como para sabemos que

lmt 0

(t ) (0) (0) t 12 (0) t 2

t 2= 0

escribi endolo en t erminos de f llegamos a que

lmx a

f (x) f (a ) f (a ) (x a ) H f (a )(x a )x a 2

= lmx a

( x a ) (0) (0) x a 12 (0) x a

2

x a 2

= 0

dado que cuando x a , x a 0.Queda probado entonces que

P 2(x) = f (a ) + f (a ) (x a ) + H f (a )(x a )

es el unico polinomio de grado menor o igual que 2 que satisface la condici on (4.1).

Observaciones

1. El polinomio de Taylor de orden 2 de f alrededor de a se puede expresar en la forma

P 2(x) = P 1(x) + H f (a )(x a )

2. El polinomio de Taylor de orden 2 de f alrededor de a aproxima mejor a f cerca de aque el polinomio de orden 1. En efecto, P 2 satisface

lmx a

f (x) P 2(x)x a 2

= 0


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y como x a 2 tiende a cero m as r apido que x a , esto nos dice que para cada x sucien-temente cercano a a , la diferencia

f (x) P 2(x)

es menor que la diferencia f (x) P 1(x)

3. Esta propiedad vale en general: cuanto m as alto es el grado del polinomio de Taylor mayores su aproximaci on a la funci on cerca del punto.

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