Articulo - Eulalio A

7/31/2019 Articulo - Eulalio A

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Conducta Dinmica en un Sistema Catico

Eulalio Aguilar PadillaFacultad de Ingeniera

Corporacin Unicada Nacional - C.U.N

Resumen

Los sistemas deterministas se usan en diferentes disciplinas. Estossistemas pueden presentar un comportamiento regular o catico. Un sis-temas catico tiene sensibilidad a las condiciones iniciales y por lo tantosu estado es impredecible en el futuro distante. En este artculo se ilustrala impredictibilidad de estos sistemas con el modelo de Lorenz, el circuitoChua modicado y el pndulo forzado.

Palabras claves: Sistemas deterministas, sistemas caticos, impredictibili-dad.

1. SISTEMAS DINMICOS

Se podra decir que los sistemas dinmicos son un rea joven"de las matemti-cas, aunque se remontan a Newton con sus estudios de Mecnica Celeste, y aHenri Poincar, quien inici el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales.Sin embargo, fue hace apenas unos 50 aos que los sistemas dinmicos se es-tablecieron como un rea propiamente dicha, gracias al trabajo destacado dematemticos e ingenieros como: S. Smale, V. Arnold, Lyapunov, etc.

Podemos referirnos a sistema dinmico como una funcion con una actitud.Un sistema dinmico hace la misma cosa una y otra vez y siempre se sabe loque se hara a continuacin. Si trataramos de precisar el concepto de sistemasdinmicos, podramos decir burdamente que se trata del estudio de sistemas de-terministas, es decir, consideramos situaciones que dependan de algn parmetrodado, que frecuentemente suponemos que es el tiempo, y que varan de acuer-

do a leyes establecidas. De manera que el conocimiento de la situacin en unmomento dado, nos permite reconstruir el pasado y predecir el futuro.Un sistema dinmico tiene dos partes: Un vector de estado el cual describe

exactamente el estado de algun sistema real o hipotatico, y una funcin (esdecir, una regla) que nos dice, dado el estado actual, lo que el estado del sistemahar en el prximo instante de tiempo.

Los sistemas fsicos se describen por nmeros. Este hecho increible explica elpor que del exito matrimonial entre las matematicas y las ciencias. Por ejemplo,el movimiento de una pelota lanzada hacia arriba se puede describir usando dosnmeros: su altura h por encima del suelo y su velocidad v. Una vez conozcamosel valor de estos dos nmeros, h y v, el futuro de esta pelota esta completamente

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determinado. El par de nmeros (h, v) es un vector el cual describe completa-

mente el estado de la pelota y por lo tanto se llama vector de estado del sistema.Por lo general, escribimos los vectores como columnas de nmeros, por lo quecon ms propiedad, el estado de este sistema es

hv

.

Puede ser posible describir el estado de un sistema mediante un nico nmero.por ejemplo, consideremos una cuenta bancaria abierta con $100,000 con el 6 %de inters compuesto anual. El estado de este sistema en cualquier instante detiempo puede describirse mediante un solo nmero: el saldo de la cuenta. Eneste caso, el vector de estado tiene un solo componente.

Por otra parte, algunos sistemas dinmicos requieren de muchos nmerospara describir el estado. Por ejemplo, el tiempo de un sistema dinmico mode-lado globalmente podra tener millones de variables representados por la tem-peratura, presin, velocidad del viento, y asi sucesivamente alrededor de puntosde todo el mundo. Aunque es extremadamente complejo, el estado del sistema

es simplemente una lista de nmeros - un vector.Sea simple o complicado, el estado del sistema es un vector, generalmente

los denotamos por vectores en negrita, minsculas, tales como x. (Excepcin:Cuando el estado puede ser descrito por un solo nmero, podemos escribir x enlugar de x.)

1.1. UN INSTANTE DESPUES: TIEMPO DISCRETO.

La segunda parte de un sistema dinmico es una funcin que nos dice cmocambia el sistema con el tiempo. En otras palabras, si se nos da el estado actualdel sistema, la funcin nos dice el estado del sistema un instante despues.

En el caso de la cuenta bancaria descrita anteriormente, el prximo instante

ser un ao mas tarde, puesto que los intereses se pagan anualmente; el tiempoes discreto. Es decir, el tiempo es una secuencia de trozos separados cada unodel otro como perlas en un collar . Para la cuenta bancaria, es fcil de escribirla regla que nos lleva desde el estado del sistema en un instante al estado delsistema un instante despues, es decir,

x(k + 1) = 1;06x(k) (1)

Algunas observaciones estan en orden. En Primer lugar, hemos dicho que elestado del sistema es un vector x. Dado que el estado cambia con el tiempo,necesitamos una notacin para el estado en cualquier instante del tiempo. Elestado del sistema en el tiempo k se denota por x(k). En segundo lugar, se utilizala letra k para denotar tiempo discreto. En este ejemplo (dado que los intereses

slo se paga una vez al ao) el tiempo es siempre un nmero entero. En tercerlugar, la ecuacin (1) no da una descripcin completa del sistema dinmico, yaque no nos dice el saldo de apertura de la cuenta. Una descripcin completa delsistema es

x(k + 1) = 1;06x(k); y

x(0) = 100

Se acostumbra ha empezar en un tiempo cero, y para indicar el estado inicialdel sistema x0. En este ejemplo x0 = x(0) = 100.

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El estado de la cuenta bancaria en los aos siguientes ya se puede calcular.

Veremos quex

(1) = 1;06x

(0) = 1;06 100 = 106, luegox

(2) = 1;06x

(1) =1;06 106 = 112;36. De hecho, vemos que

x(k) = (1;06)k100

en forma mas general,

x(k) = (1;06)kx0 (2)

Ahora no es dicil ver que.(1;06)kx0 es la formula general para x(k). Sinembargo, podemos vericar que la ecuacin (3) es correcta comprobando doscosas:

(1) que satisface la condicin inicial x0 = x(0), y (2) que satisfaga la ecuacin(1). Ahora, lo primero es fcil de vericar, ya que

x(0) = (1;06)0 x0 = x0

Por otra parte, lo segundo tambien es facil de comprobrar, ya que

x(k + 1) = (1;06)k+1x0 = (1;06) (1;06)k x0 = 1;06x(k)

1.2. UN INSTANTE DESPUES: TIEMPO CONTINUO.

Las cuentas bancarias que cambian anualmente, o los chips de computadorasque cambian slo durante el ciclo de un reloj, son ejemplos de sistemas en los queel tiempo evoluciona en paquetes discretos. Muchos sistemas, sin embargo, sedescriben mejor cuando el tiempo avanza sin problemas. Consideremos nuestro

ejemplo anterior de una pelota lanzada hacia arriba. El vector de estado paraesta situacin es x =

h

v

. Sin embargo, no tiene sentido preguntar cual ser la

situacin un "instante despues" de tiempo - no existe un "instante despues" yaque el tiempo avanza de forma continua.

Adoptamos este punto de vista diferente del tiempo mediante el uso de laletra t (en lugar de k), que indica el tiempo. usualmente t es un nmero real nonegativo e inicia en t = 0.

Puesto que no podemos escribir una regla para un "instante despues"detiempo, se describir el sistema que cambia en un momento dado. En primerlugar, si nuestra pelota tiene una velocidad v, entonces sabemos que dh

dt= v;

esta es la denicin de la velocidad. Por otra parte, la fuerza de gravedad atraela pelota hacia abajo, de modo que dv

dt= g donde g es una constante positiva.

El cambio en el sistema se puede describir de la forma

h(t) = v(t) (3)

v(t) = g (4)

El cual podemos reescribir de forma matricial como:

h(t)

v(t)

=

0 10 0

h(t)

v(t)

+

0

g

Dado que x(t) =h(t)v(t)

, lo anterior se puede escribir como

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x= f(

x) (5)

donde f(x) = Ax + b, A es la matrix de 2x2

0 10 0

, y b es el vector

constante0g

.

Volviendo al ejemplo de la pelota, supongamos que la pelota comienza a unaaltura h0 y con velocidad ascendente v0, es decir, x0 =

h0v0

. Deducimos as, que

las ecuaciones

h(t) = h0 + v0t 1

2gt2

v(t) = v0 gt

desciben el movimiento de la pelota. Podriamos obtener estas respuestas delo que ya conocemos en la Fsica, pero es facil comprobar directamente los doshechos siguientes: (1) cuando t = 0 las formulas dan h0 y v0, y (2) estas formulassatisfacen las ecuaciones diferenciales (3) y (4).

Para lo primero, observamos que h(0) = h0 + v0(0) 12g(0)

2 = h0 y, v(0) =v0 g(0).

Para lo segundo, vemos que

h(t) =d

dt

h0 + v0t

1

2gt2

= v0 gt = v(t)

concuerda con la ecuacin(3), y que

v(t) =d

dt [v0 gt] = g

que concuerda con la ecuacin (4).

2. LA NO LINEALIDAD DE LOS SISTEMAS

DINMICOS

Esquemticamente un sistema dinmico determinista en tiempo continuo(TC) o en tiempo discreto(TD) se describe de la siguiente manera [1]:

d

dtX = F(x; t ; ); TC (1.9)

Xn+1 = G(xn ; ); TD. (1.10)

donde X representa el estado del sistema y F las fuerzas o causas que generanel cambio de estado; tanto X como F son vectores columna con g componentes.

Los sistemas dinmicos se clasican como lineales o no lineales segn laestructura de las ecuaciones de movimiento. En estas expresiones el estado delsistema se describe por el conjunto de variables X = (x1; x2;:::;xg) en TC, yX = (x(1); x(2);:::;x(g)) en TD. En este ltimo caso xn se reere al estado en elinstante de tiempo tn.

Por denicin, la funcin vectorial F(x; t ; ), es lineal si cumple las siguientespropiedades [1]:

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F(ax;t ; ) = aF(x; t ; ); (1.11)

F(x + y; t ; ) = F(x; t ; ) + F(y; t ; ); (1.12)

para cualquier nmero real o complejo a, y estados arbitrarios x y y. La formageneral de un sistema dinmico lineal en tiempo continuo (TCL) es [1]:

d

dtX = F(t ; )X+ F(t ; ); TCL. (1.13)

El principio que describe la naturaleza de los sistemas lineales es el principiode superposicin, el cual establece que : si x(t) y y(t) son dos soluciones lin-ealmente independiente entre si, de las leyes de movimiento ec.(1.13), entoncesax(t) + by(t) es tambin una solucin (solucin general), para nmeros reales

o complejos arbitrarios a y b. Muchos sistemas fsicos satisfacen el principiode superposicin, por ejemplo: los fenmenos electromagnticos (ecuaciones deMaxwell dependiente del tiempo) y los fenmenos cunticos descritos por laecuacin de Schrdinger de la mecnica cuntica.

En el caso de los sistemas no lineales, la no linealidad destruye el principiode superposicin y los efectos dejan de ser proporcionales a la causas.

3. ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DE UN

SISTEMA

El concepto de estabilidad que se usar es para caracterizar la respuesta de un

sistema a una perturbacin. Si la evolucin del sistema amplica la perturbaciny genera un gran cambio entonces el sistema es inestable. Si la perturbacin seamortigua con el tiempo y resulta un cambio pequeo o despreciable, el sistemaes estable.

La estabilidad lineal del sistema dinmico, ec.(1.9) o ec.(1.10), se estudiadespreciando todos los trminos no lineales que intervienen en las ecuaciones demovimiento y generando un sistema lineal. Se consideran dos soluciones x(t) yy(t) que se diferencian por las condiciones iniciales y que producen un vector

u(t) := y(t) x(t), TC (1.14)

un := yn xn, TD (1.15)

que mide la distancia entre las dos trayectorias a medida que transcurre eltiempo t. La inestabilidad local de movimiento se describe por una aproximacinlineal [1]

d

dtu(t) = J(x; t ; )u(t), TC (1.16)

un+1 = J(xn ; )un+1, TD (1.17)

que esta gobernada por la matrix jacobiana J(x; t ; ) asociada con la solucinx(t) que sirve de trayectoria de referencia.

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3.1. SISTEMAS CATICOS Y PRDIDA DE INFOR-

MACINExiste cierto tipo de sistemas dinmicos cuya conducta, a primera vista,

parece ser extraa en el sentido de que dichos sistemas parecen comportarsede "manera aleatoria. Algunos de estos tipos de sistemas dinmicos se de-nominan sistemas caticos.

Una caracterstica importante de los sistemas caticos es que muestran sen-sibilidad a condiciones iniciales. Esto signica que, partiendo de condicionesiniciales arbitrariamente cercanas (pero no iguales), a partir de algn instantede tiempo, la conducta del sistema original y del sistema modicado sern to-talmente diferentes (el sistema original se reere al sistema con las condicionesiniciales que se jaron y el sistema modicado al sistema cuyas condicionesiniciales se cambiaron ligeramente).

El comportamiento catico de muchos sistemas (fsicos,biolgicos,econmicos,etc.) ha sido objeto de estudio en los ltimas dcadas. Esta clase de com-portamiento se presentan en los sistemas deterministas no lineales que tienenmovimiento acotado en el espacio de fase y presentan inestabilidad (exponencial)de trayectorias.

El caracter no lineal de un sistema dinmico catico permite que coexis-tan el movimiento acotado con la inestabilidad lineal. Las trayectorias vecinastienden a separarse exponencialmente pero como el movimiento es acotado lastrayectorias se ven obligados a plegarse para no abandonar la regin fsicamenteaccesible en el espacio de fase. La dinmica catica genera con frecuencia com-binacin de rbitas peridicas inestables que tienen una estructura geomtricacomplicada e interesante (atractores) [2].

Como las trayectorias vecinas se separan exponencialmente, un pequeo erroro un pequeo cambio en las condiciones iniciales se amplica con una rapidezexponencial. Dos estados que slo se diferencien de manera imperceptible en elpresente, 0 := ju(t0)j, puede conducir a estados completamente diferentes en elfuturo. Pequeos errores en la medicin de un observable, o de cualquier otroorigen, destruyen en la prctica el determinismo que rige en principio la dinmicadel sistema. Despus de un tiempo sucientemente largo el determinismo seanula en la prctica (prdida de informacin) y slo las predicciones de carcterestadsticos son posibles.

4. SISTEMAS CATICOS EN DIFERENTES

DISCIPLINAS

En las ciencias naturales, en la ingeniera y en otras ciencias, intervienenmodelos deterministas para explicar ciertos fenmenos. Se presentan ahora al-gunos ejemplos.

4.1. MODELO DE LORENZ

En 1963 el meteorlogo Eduard Lorenz, interesado en obtener un modelo quepredijera el clima, trabajaba con una computadora para desarrollar un sistemaque simular el complejo movimiento de la atmsfera. El modelo haba sidosimplicado al mnimo: una capa de aire prxima a la supercie se eleva por

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el calentamiento que le provoca la radiacin solar absorbida en el suelo. El

programa de clculo inclua un conjunto de tres ecuaciones diferenciales cuyasvariables representaban el movimiento.Las ecuaciones propuestas por Lorenzson [1]:

dx1dt

= x1 + x2; (2.1)

dx2dt

= x1x3 + rx1 x2;

dx3dt

= x1x2 bx3:

En este modelo las variables de estados (x1; x2; x3) no son coordenadasespaciales sino magnitudes fsicas que son proporcionales a la intensidad delmovimiento de conveccin en la atmsfera, a la variacin horizontal y a lavariacin vertical de la temperatura. La no linealidad se maniesta en la presen-cia de los trminos x1x3 y x1x2 que intervienen en las ecuaciones. Asignemos lossiguientes valores a los parmetros = 3; r = 26;5; b = 1 y comparemos la evolu-cin temporal de este sistema para dos condiciones iniciales (x1(0); x2(0); x3(0))que slo se diferencian en una milsima parte en el valor de la segunda coorde-nada : (0; 1; 1) y (0; 1;001; 1). En ambos casos el sistema se integra de maneranumrica en el intervalo 0 t 150 y el resultado se muestra en las guras(2.1) y (2.2) (ver apndice A1).

Figura 1: comportamiento de las ecuaciones de Lorenz (2.1) para la condicininicial (0,1,1) durante el lapso 0 t 150 (gura izquierda) y 140 t 150(gura derecha).

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Figura 2: Comportamiento de las ecuaciones de Lorenz (2.1) para la condicininicial (0,1.001,1) durante el lapso 0 t 150 (gura izquierda) y 140 t 150 (gura derecha).

Aparentemente las grcas son similares, pero una cuidadosa observacinmuestra que la pequea diferencia en las condiciones iniciales ha generadotrayectorias que tienen comportamiento diferente en el futuro lejano. este he-cho se aprecia en la gura 2.2 que muestran los respectivos segmentos de lastrayectorias durante el lapso 140 t 150. En conclusin, bajo las condicionesiniciales, las ecuaciones de Lorenz dan origen a un comportamiento catico quehace imposible la prediccin del futuro distante.

4.2. CIRCUITO CHUA MODIFICADO

Es posible disear circuitos electronicos no lineales que tengan un compor-tamiento estrao. Un sistema bastante popular es el circuito Chua que se mues-tra en la gura (2.3), el cual genera una dinmica bastante compleja, an en elcaso en que la perturbacin externa es nula, V(t) = 0. Supopularidad se debe aque trata de un sistema real que se puede realizar en el laboratorio, hecho quecontrasta con el modelo de Lorenz que describe procesos atmsfericos usando

aproximaciones bastante drsticas.El circuito de Chua consta de tres componentes energticos : dos conden-

sadores C1 y C2 y una inductancia L. Tiene adems dos resistencias, R y r, yuna resistencia no lineal RNL que recibe el nombre de diodo de Chua, al cualse le aplica un voltaje V1.

En la literatura existen diferentes modicaciones y realizaciones experimen-tales del circuito Chua. Elegimos el que se describe por el siguiente conjunto deecuaciones [1]:

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dx

d = x (K 1)y f(w);

dy

d= x + (K 2)y;

"cdz

d= "z f(w);

donde w := x + Ky + z y K es un parmetro.

El caracter no lineal del diodo de Chua se maniesta en la funcin :

f(w) = 1w + 2(jw + 1j jw 1j), (2.3)

que consta de la union de tres segmentos de recta que se diferencian por suspendientes. Los valores de los parmetros son : K = 3;25; " = 1=6; "c = 0;06;1 = 0;8; 2 = 0;5. En las guras (2.4), (2.5) y (2.6) se muestra el compor-tamiento de dos trayectorias que se diferencian ligeramente en las condicionesiniciales (x(0); y(0); z(0)), a las cuales asignamos los valores (0;4; 0;2; 0;4) y(0;4001; 0;2; 0;4) (ver apndice A.2).

Figura 3: Ejemplo de un circuito Chua que consta de dos condensadores C1 yC2, una inductancia L, dos resistencias R y r, y una resistencia no lineal RNL;la perturbacin externa es nula V(t) = 0.

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comportamiento de una trayectoria del circuito de Chua con condicin inicial(0.4,-0.2,-0.4) en t = 0, durante el lapso 700 t 1000.

comportamiento de una trayectoria del circuito de Chua con condicin inicial(0.4, -0.2, -0.4) en t = 0, durante el lapso 890 t 1000.

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Figura 4: Comportamiento de una trayectoria del circuito de Chua con condicininicial (0.4001, -0.2, -0.4) en t = 0, durante el lapso 890 t 1000.

Se observa que la pequea modicacin de la condicin inicial x(0) en lacuarta cifra decimal genera en el lapso 890 t 1000 dos comportamientosesencialmente diferentes, tal como se observa en las guras (2.5) y (2.6). El com-portamiento catico del sistema conlleva sensibilidad en las condiciones inicialesy se maniesta de nuevo en la impredictibilidad del futuro distante.

4.3. EL PNDULO FORZADO

Por ltimo consideraremos un sistema muy conocido en la fsica, como loes el Pndulo forzado y demostraremos que las ms mnima modicacin ensus condiciones iniciales conlleva a un comportamiento totalmente diferente al

sistema inicial.El pndulo forzado esta descrito por la siguiente ecuacin diferencial ordi-

naria de segundo orden [3]:

d2

dt2=

g

lSen() q

d

dt+ Sen( t) (2.4)

donde, g es la gravedad y l es la longitud del pndulo. El termino qd

dtrepre-

senta una fuerza de friccin que se opone al movimiento del pndulo (digamos,la resistencia del aire) y el trmino Sen(t) es una fuerza externa periodica queactua sobre el pndulo. Los parametros q, y , representan el coeciente de

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amortiguamiento, la amplitud de la fuerza y la frecuencia de la fuerza externa,

respectivamente.Podemos reescribir la anterior ecuacin como dos ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden y obtener :

d!

dt=

g

lSen() q ! + Sen( t) (2.5)

d

dt= !

Por conveniencia, escogeremos a q = 1=2, = 1;2 y = 2=3 (trabajaremoscon un pndulo de longitud l = 9;8cm). Una grca de ! vs muestra elcomportamiento catico de este sistema (ver apndice A.3).

Figura 5: Comportamiento del pndulo forzado para la condicin inicial !(0) = 0y (0) = 0;2 durante el lapso 0 t 100.

Figura 6: Comportamiento del pndulo forzado para la condicin inicial !(0) = 0y (0) = 0;20001 durante el lapso 0 t 100.

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Podemos observar que la pequea modicacin de la condicin inicial (0)

en la quinta cifra decimal genera una trayectoria totalmente distinta a la inicial,lo que podemos concluir que bajo las condiciones indicadas, el pndulo forzadoda origen a un comportamiento catico que hace imposible la prediccin delfuturo distante.

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APNDICE

A. RUTINA EN MATEMATICA 4.2

A.1. RUTINA PARA EL SISTEMA DE LORENZ

IN T RODUSCA EL V ALOR DE LOS P ARAMETROS; = 3;b = 1;r = 26;5;

INT RODUCIR LAS CONDICIONES I NICIALES;x1o = 0;x2o = 1;001;x3o = 1;lorenz = NDSolve[fx10[t] == x1[t] + x2[t]; x1[0] == x1o;x20[t] == x1[t]x3[t] + rx1[t] x2[t]; x2[0] == x2o;x30[t] == x1[t]x2[t] bx3[t]; x3[0] == x3og; fx1; x2; x3g; ft; 140; 150g;MaxSteps > 50000];ParametricPlot3D[Evaluate[fx1[t]; x2[t]; x3[t]g=:lorenz]; ft; 140; 150g;PlotPoints > 20000;PlotRange > All;AxesLabel > f"x"; "y"; "z"g];

A.2. RUTINA PARA EL CIRCUITO CHUA MODIFI-CADO

IN T RODUSCA EL V ALOR DE LOS P ARAMETROS;K = 3;25; = 1=6;c = 0;06;1 = 0;8;2 = 0;5;INT RODUCIR LAS CONDICIONES I NICIALES;xo = 0;4001;yo = 0;2;zo = 0;4;

PROCESO DE DATOS;w = x[t] + Ky [t] + z[t];f = 1 w + 2(Abs[w + 1] Abs[w 1]);circuitochua = NDSolve[fx0[t] == x[t] (K 1)y[t] f; x[0] == xo;y0[t] == x[t] + (K 2)y[t]; y[0] == yo;c z0[t] == z[t] f; z[0] == zog;fx[t]; y[t]; z[t]g; ft; 890; 1000g; MaxSteps > 50000];ParametricPlot3D[Evaluate[fx[t]; y[t]; z[t]g=:circuitochua]; ft; 890; 1000g;PlotPoints > 20000;PlotRange > All; AxesLabel > f"x"; "y"; "z"g];


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A.3. RUTINA PARA EL PNDULO AMORTIGUADO

IN T RODUSCA EL V ALOR DE LOS P ARAMETROS;g = 9;8;l = 9;8; = 2=3;q = 1=2; = 1;2;INT RODUCIR LAS CONDICIONES I NICIALES;wi = 0;o = 0;20001;penduloamortiguado =NDSolve[f!0[t] == ((g=l) Sin[[t]] q ![t] + Sin[ t];![0] == wi;0[t] == ![t]; [0] == og; f![t]; [t]g; ft; 0; 100g;

MaxSteps > 9000];ParametricPlot[Evaluate[f[t]; ![t]g=:penduloamortiguado]; ft; 0; 100g;PlotPoints > 20000;PlotRange > All;AxesLabel > f"(radianes)"; "!(radianes)"g;Frame > True];


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Referencias

[1] Rev. Academia colombiana de ciencias exactas : Volumen XXVI, nmero98-marzo de 2002.

[2] Rev. investigacin y ciencia: octubre. 1993.

[3] http://etd.caltech.edu/etd/available/etd-05222003-161626/unrestricted/mhartl_thesis.pdf.

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