Embed Size (px)
Citation preview
FERNANDO CANESSO
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS DEL SISTEMA DE
REFERENCIA GEODÉSICO REGIONAL DE LA HIDROELÉCTRICA ITAIPU
BINACIONAL AL SISTEMA DE REFERENCIA GEODÉSICO
GEOCÉNTRICO GLOBAL SIRGAS2000, UTILIZANDO PARÁMETROS
INDEPENDIENTES POR PUNTO, OBTENIDOS A TRAVÉS DE
ECUACIONES BILINEALES DE VARIABLE COMPLEJA
Disertación de Máster – proyecto de investigación, presentado como requisito parcial para la obtención del grado de Máster Oficial en Tecnologías de la Información Geográfica del Departamento de Geografía de la Universidad de Alcalá. Tutor: Prof. Dr. Juan Bautista Mena Berrios
ALCALÁ DE HENARES
MADRID - ESPAÑA
2009
ii
las oportunidades no caen del cielo,
se siembran en la tierra
A quien debo todo lo que tengo y
todo lo que conquistaré
Este trabajo lo dedico a mis padres, Irenilce Canesso y Valentin Pedro Canesso, que con bravura y perseverancia dedican sus vidas a la formación y crianza de sus hijos, contorneando sabiamente la barrera de la nostalgia impuesta por la vida!
iii
AGRADECIMIENTOS...
… Al Dr. D. Juan Bautista Mena Berrios, por la sabia dirección de este
trabajo, tan importante para mí.
… A Fundación Carolina por haberme proporcionado la beca de estudios con derecho a alojamiento y ayuda de costos y que sin ese trabajo tan importante que hacen para nosotros los iberoamericanos, la realización de este Máster no hubiera sido posible.
… A Itaipu Binacional, empresa en la cual trabajo y que me proporcionó diez meses de licencia de mis labores diarias, para que pudiese realizar el Máster, con derecho a todos mis sueldos.
… En especial al Dr. João Bonifácio CABRAL Júnior, por su confianza en mí, sin siquiera conocerme.
… Al Dr. José Antonio Peres Gediel, el maestro, que me dio total apoyo e incentivo para que yo realizase mis estudios fuera de Brasil, y quien me enseñó que ser pobre es pensar que uno ya sabe lo justo, pues estudiar es la última cosa que se deja de hacer en la vida.
… Al amigo Yodeski Rodríguez Alvarez (Chino) por haber aceptado hacer el software para los procesamientos de este trabajo, en 3 días, en medio de sus trabajos de Fin de Máster, y que salió perfecto, como todo lo que hace en esta vida. Chino espero un día poderte retribuir lo que hiciste por mí.
… A mi amiga Mariana Campos, que muy amablemente corrigió y comentó este trabajo. Los errores que ahora están, son culpa totalmente mía, pues decidí cambiar cosas después que ella finalizara su impecable trabajo. Mariana, si no lo hubieras corregido, este trabajo estaría en Portuñol ahora.
… A las amigas y amigos, principalmente a los iberoamericanos Lina, Cristina, Lucrecia, Mariana, Carolinas (Carol y Carola), Klaus y Chino, que de alguna manera contribuyeron en la realización de este Máster, por las ayudas, por las críticas, por la convivencia o sólo por una sonrisa.
… A mis compañeros de trabajo, por todas las ayudas prestadas.
… A mi hermosa, linda y encantadora compañera Sara, que soportó miss interminables horas callado pensando en los estudios, por las correcciones de mis horribles textos y por la agradable compañía y paciencia en estos años de convivencia. Esta conquista también es suya.
iv
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 1
2. RESEÑA TEÓRICA ........................................................................................ 5
2.1 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA ......................................... 5
2.1.1 DATUM ASTRO CHUÁ ...................................................................... 6
2.1.2 SIRGAS - Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas ...... 7
2.2 TRANSFORMACIONES ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA ............... 8
3. METODOLOGÍA ........................................................................................... 10
3.1 TRANSFORMACIÓN MEDIANTE FUNCIÓN BILINEAL DE VARIABLE
COMPLEJA ................................................................................................... 10
3.1.1 Transformación de Mena en su caso particular aplicado a
coordenadas UTM ......................................................................................... 14
3.2 TEST DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA ......................................... 15
4. RESULTADOS ............................................................................................. 17
5. CONCLUSIONES ......................................................................................... 21
6. FUTURAS POSIBILIDADES DE MEJORA .................................................... 23
ANEXO A .......................................................................................................... 26
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 24
1
1. INTRODUCCIÓN
El Instituto Brasileño de Geografía y Estadística - IBGE, institución
brasileña responsable de la definición, implantación y mantenimiento del Sistema
Geodésico Brasileño (SGB), determinó que hasta el año 2015 todas las
instituciones que deseen tener sus productos geodésicos compatibles con el
SGB, tendrían que transformar sus datos al Sistema de Referencia Geocéntrico
para las Américas – SIRGAS, en su realización SIRGAS2000 (IBGE, ----; IBGE,
2009).
Con base en la determinación del IBGE la Hidroeléctrica Itaipu
Binacional tiene que transformar las coordenadas de 8.396 puntos que están
referenciados en un Sistema Geodésico Regional al SIRGAS2000.
La Hidroeléctrica de Itaipu fue construida en cooperación bilateral entre
la República Federativa de Brasil y la República del Paraguay, sobre el Río
Paraná (ITAIPU, 1973; ITAIPU, 2009).
Los puntos son los vértices de una poligonal cuya materialización en el
terreno determina el perímetro de una faja de protección que hay alrededor de
todo el embalse de la Hidroeléctrica. Esos puntos o vértices están dispuestos de
forma lineal acompañando paralelamente todo el límite del embalse, inclusive sus
afluentes y llevan la denominación de Poligonal Envolvente – PE (FIGURA 01).
La Poligonal envolvente del lado brasileño, posee una extensión de
1.500 kilómetros. La distancia entre sus puntos más extremos es de 165
kilómetros y debido a la gran cantidad de vértices tuvo que ser implantada por
diversas empresas que utilizaron métodos topográficos distintos, basados en una
Poligonal de Apoyo Básica que poseía 45 vértices supuestamente referenciados
al Sistema Geodésico Regional ASTRO DATUM CHUÁ y cuyas coordenadas se
encuentran solamente en la proyección UTM (ITAIPU, 1973; ITAIPU, 1975).
2
FIGURA 01 – LOCALIZACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO
Fuente: Hidroeléctrica Itaipu Binacional – foto: Caio Coronel
Como es sabido, una transformación entre sistemas de referencia
distintos exige que se conozcan a priori las coordenadas de algunos puntos en
los dos sistemas. Así que fueron obtenidas las coordenadas de 114 vértices de la
Poligonal Envolvente referenciados al SIRGAS2000, formando así una red de
puntos con coordenadas conocidas en los dos sistemas (FIGURA 02). Esta red,
que se denomina Red de Puntos Doble, cuyas coordenadas fueron obtenidas en
el sistema de referencia cartesiano, o sea, X, Y y Z fueron transformadas en
coordenadas geodésicas λ, φ y h utilizando las fórmulas matemáticas
3
encontradas en (KRUEGER, 1994), (MONICO, 2000) y (GEMAEL, 1999), y fueron
proyectadas a la proyección Universal Transversa de Mercator – UTM en el huso
21 con meridiano central 57°S utilizándo las fórmulas encontradas en (SGE,
1976) o (MENA, 1998). Resulta así que tendemos ahora las coordenadas de la
Red de Puntos Dobles en proyección UTM en los dos sistemas de referencia
(ANEXO A).
FIGURA 02 – LA RED DE PUNTOS DOBLE
Como el IBGE no define oficialmente una formulación matemática a ser
utilizada para el cambio entre los dos sistemas de referencia citados, tuvimos que
encontrar un método preciso de transformación de coordenadas entre sistemas
de referencia distintos que cumpliese con la totalidad de los siguientes criterios:
a) Que los parámetros que definen los sistemas de referencia envueltos
no necesiten ser conocidos, pues como ya se ha descripto
anteriormente, nuestro sistema de referencia origen no es conocido
4
con seguridad;
b) Que permita operar con coordenadas planas, pues las coordenadas
del sistema origen se conocen solamente en proyección UTM;
c) Que sea específica para las proximidades del punto a transformar,
pues por más pequeña que sea nuestra área de estudio, en ese caso
ideal para las usuales transformaciones para regiones, no tenemos
la seguridad de que los vértices fueron implantados por cada
empresa con el mismo método y de que posean los mismos rigores
en cuanto a precisión, así puede ocurrir que, cada tramo implantado
por una empresa distinta posea un parámetro de transformación
distinto;
d) Que la transformación inversa sea sencilla.
Resumiendo lo dicho en los párrafos anteriores, y considerando el
problema de encontrar la metodología que mejores resultados presente en la
transformación de coordenadas UTM entre dos sistemas de referencias distintos,
haremos aquí una pequeña reseña teórica sobre los sistemas de referencia
geodésicos incluyendo las características de los dos sistemas ya descriptos y los
métodos de transformación más clásicos. En la metodología, será presentada una
descripción de la Transformación mediante Función Bilineal de Variable
Compleja, que fue adoptada en este trabajo, seguido de la demostración de un
test que hicimos para comprobar dicha transformación y que presentó resultados
excelentes. Los resultados de la aplicación de la metodología elegida en los
Vértices de la Poligonal envolvente son presentados en tres procesamientos
distintos, seguidos de las conclusiones y de las futuras posibilidades de mejora.
5
2. RESEÑA TEÓRICA
2.1. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA
Es un triedro cuyo origen se encuentra en el centro O de gravedad de la
Tierra o lo más próximo posible a este punto (FIGURA 03). El eje OZ coincide con
el medio de rotación del planeta, por lo que el polo convencional medio de
rotación (PMR) pertenece a esta recta. EL plano OXY se superpone al ecuador
medio de manera que OX define el meridiano de Greenwich y OY completa el
triedro en sentido directo (MENA, 2008).
FIGURA 03 – SISTEMA GENERAL GEODÉSICO
Fuente: (MENA, 2008)
En los sistemas locales en cada punto P se define otro triedro
trirrectángulo con origen en el proprio punto; su eje Pz se dirige según la vertical
(o la normal al elipsoide), el eje Py está contenido en el plano meridiano de P y
dirigido hacia el polo (norte), y el eje Px pertenece al primer vertical de P de
manera que forme un triedro directo con los otros dos ejes (MENA, 2008).
Los Sistemas de Coordenadas Elipsoidales se basan en la
determinación de coordenadas curvilíneas sobre un elipsoide. Dichas
6
coordenadas se obtienen proyectando el punto normalmente a este elipsoide.
Sobre este sistema se realizan las siguientes definiciones (GONZÁLES-
MANTESANZ, 2006):
- Normal geodésica de P es la recta normal por P a la superficie del
elipsoide, esta recta OP corta al eje de revolución del elipsoide;
- Ecuador geodésico es el plano perpendicular al eje de rotación y que
contiene al centro del elipsoide;
- Latitud geodésica del punto P al ángulo φ que forma la normal
geodésica con el ecuador geodésico;
- Longitud geodésica de P es el ángulo λ que forma el meridiano
geodésico de P con el meridiano origen.
Todos los demás sistemas de referencia que puedan existir hoy en
geodesia son derivados de los presentados aquí. Otras definiciones pueden ser
encontradas en (MENA, 2008 y GONZÁLES-MANTESANZ, 2006).
2.1.1. DATUM ASTRO CHUÁ
El sistema de referencia DATUM ASTRO CHUÁ, también encontrado en
la literatura con los nombres de CHUÁ ASTRO DATUM y ASTRO DATUM CHUÁ
y que posiblemente sea el sistema de referencia utilizado para la determinación
de los 8.396 vértices de la Poligonal Envolvente, por los motivos ya explicados
anteriormente, fue un Sistema de Referencia transitorio, adoptado entre la
transición del Referencial Córrego Alegre y el Sistema de Referencia SAD-69
(South American Datum 1969) y tiene la siguiente definición:
- Superficie de referencia :
- Elipsoide Internacional de Hayford 1924;
- semieje mayor: 6.378.388 m;
- aplanamiento: 1/297.
7
- Punto datum :
- Vértice Chuá,
o Coordenadas geodésicas:
� latitud = 19° 45’ 41.6527″ S
� longitud = 48° 06′ 04.0639″ W
- Orientación elipsoide-geoide en el punto datum :
- ξ = η = 0 (componentes del desvío de la vertical);
- N = 0 metros (ondulación geoidal).
2.1.2. SIRGAS - Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas
El Sistema de Referencia Geocéntrico SIRGAS2000, que fue adoptado
como referencia para el Sistema Geodésico Brasileño – SGB y por lo tanto es el
Sistema de Referencia para el cual buscamos una forma de transformar los 8.396
vértices que delimitan la faja de protección del embalse de la Hidroeléctrica Itaipu
Binacional, tiene la siguiente definición:
- Sistema Geodésico de Referencia:
- Sistema de Referencia Terrestre Internacional – ITRS (International Terrestrial Reference System);
- Figura geométrica para la Tierra:
- Elipsoide del Sistema Geodésico de Referencia de 1980 (Geodetic Reference System 1980 - GRS80);
- Semieje mayor a = 6.378.137 m;
- Aplanamiento α = 1/298,257222101.
- Origen:
- Centro de masa de la Tierra.
- Orientación:
- Polos y meridiano de referencia consistentes en +0,005” con las direcciones definidas por el BIH (Bureau International de l’Heure), en 1984,0.
8
- Estaciones de Referencia:
- Las 21 estaciones de la red continental SIRGAS2000, establecidas en Brasil, constituyen la estructura de referencia a partir de la cual el sistema SIRGAS2000 es materializado en territorio nacional.
- Época de Referencia de las coordenadas:
- 2000,4.
- Materialización:
- Establecidas por intermedio de todas las estaciones que componen
la Red Geodésica Brasileña, implantadas a partir de las estaciones
de referencia.
2.2. TRANSFORMACIONES ENTRE SISTEMAS DE REFERENCIA
Se entiende como transformación entre sistemas de referencial
intercambio de coordenadas, ya sean geodésicas, cilíndricas o rectangulares
entre un primer sistema (S1) y un segundo sistema (S2), utilizando un grupo
determinado de ecuaciones matemáticas y sus respectivos parámetros que
satisfagan las diferencias entre ellos (GONZÁLES-MANTESANZ, 2006) y (MENA,
2008).
Algunas características inherentes a todas las transformaciones entre
sistemas de referencias geodésicos deben ser comprendidas: - La precisión de las coordenadas obtenidas después de la
transformación responde a la imprecisión que tienen las del
conjunto menos preciso. Las coordenadas no mejoran con la
transformación (GONZÁLES-MANTESANZ, 2006);
- La precisión final de las coordenadas estará íntimamente ligada con
la lógica matemática del propio método, con la calidad del
levantamiento de la Red de Puntos Dobles, con la densidad de
vértices de ésta y con la distribución de los mismos (MENA, 2007);
9
- Algunas herramientas informáticas utilizadas en los trabajos diarios
pueden agregar errores a los resultados finales debido al redondeo
numérico de los sistemas informáticos;
- La elección de puntos de la Red de Puntos Dobles debe procurar, en
cuanto sea posible, cubrir la zona holgadamente y con uniformidad
(GONZÁLES-MANTESANZ, 2006);
- Los parámetros de transformación de cada método solo serán
válidos para el interior de la región comprendida por la Red de
Puntos Dobles (MENA, 2007);
- Cuando sólo se necesita realizar la transformación de sistema
geodésico en una zona lo suficientemente pequeña para que la
superficie terrestre pueda considerarse plana, entonces puede
optarse por aplicar una transformación entre planos, ya sea
conforme, afín o proyectiva, sobre la base de las coordenadas de
los puntos dobles en proyección UTM, por ejemplo (MENA, 2008);
Posee diversas ramificaciones distintas, pero casi todos están basadas
en la ecuación matricial genérica que liga las coordenadas rectangulares V1 y V2
de un punto P referidas a dos triedros cualesquiera S1 y S2:
x2 Kx 0 0 r11 r12 r13 x1 - x0
V2 = S R (V1 – V0) � y2 = 0 ky 0 . r21 r22 r23 . y1 - y0 (01)
z2 0 0 kz r31 r32 r33 z1 - z0
Los elementos del operador diagonal S son los factores de escala según
los tres ejes coordenados; el vector V0 representa la translación, de forma que se
trata de las coordenadas del origen de S2 expresadas en el sistema S1; y el
operador ortogonal R engloba el conjunto de giros y simetrías que define el
movimiento general de los ejes necesarios para llevar S1 a superposición sobre
S2 (MENA, 2008).
10
Otras transformaciones existentes son: las de 12 parámetros, 7
parámetros, Molodensky-Badekas, Bursa-Wolf y 5 parámetros (GONZÁLES-
MANTESANZ et al., 2003), (MENA, 2007), (GONZÁLES-MANTESANZ, 2006) y
(MENA, 2008); la de Semejanza Bidimensional (GONZÁLES-MANTESANZ,
2006); la Transformación de Molodensky (MENA, 2008); la Transformación
Polinómica (MENA, 2008) y (GONZÁLES-MANTESANZ, 2006); la Transformación
de Coordenadas entre Sistemas Cartográficos (MENA, 2008) y la Transformación
mediante Función Bilineal de Variable Compleja, la cual escogemos como la
transformación a ser utilizada en nuestro caso, pues según (MENA, 2007) el
procedimiento rinde precisiones superiores a las obtenidas por los métodos
matriciales de siete parámetros, estimándose que es del mismo orden que los
métodos basados en el análisis de distorsiones. Además de resultar más sencilla
se apoya en la transformación a nivel local con objeto de considerar el entorno de
cada punto.
3. METODOLOGÍA
3.1. TRANSFORMACIÓN MEDIANTE FUNCIÓN BILINEAL DE VARIABLE
COMPLEJA
Un punto cartesiano cualquiera u formado por el par coordenado (x, y)
es definido en número complejo mediante una parte real x = Re(u) y una
imaginaria y = Im(u) o sea u = [Re(u), Im(u)] y que en la forma binómica resulta
(MENA, 1998):
u = [ x + y i ] (02)
o en coordenadas UTM
u = [ E + N i ] (03)
11
Supóngase ahora una red de puntos dobles levantadas con precisión en
un territorio y referida a dos sistemas geodésicos S1 y S2. En estas condiciones,
sea P un punto del interior de la región, cuyas coordenadas planas en dichos
sistemas son (E1, N1) y (E2, N2). Prescindiendo de las altitudes elipsoidales, las
diferencias entre los dos sistemas reside en determinar una aplicación biunívoca f
tal que (adaptado MENA, 2007):
(E2, N2) = f (E1, N1) (04)
Cambiando los pares ordenados por representaciones en números
complejos tendremos:
w = f (z) Siendo w = [E2 + N2] y z = [E1 + N1] (05)
Por lo tanto, la determinación de la transformación f queda reducida a
encontrar la relación que liga las superficies S1 y S2.
El Doctor en Ciencias Matemáticas y Física e Ingeniero Geodesta Juan
Bta. Mena Berrios, en su publicación (MENA, 2007) describe:
“Analizando diversas transformaciones de variable compleja elegimos para w el modelo
bilineal, dado que, como es sabido, es conforme y constituye la composición de las
transformaciones elementales rotación, translación, dilatación (o contracción) e inversión.”
O sea, esa aplicación, que se conoce como transformación bilineal o
racional, al tratarse del producto de una función lineal por la inversa de otra
función lineal, se puede considerar como la aplicación simultánea sobre la figura
del plano z de las transformaciones elementales citadas (MENA, 1998).
w = α z + β
(06) γ z + δ
Luego:
w = α z + β
= α
+ βγ - αδ . 1
γ z + δ γ γ2 z + δ
γ
Entonces, realizando las sustituciones:
η = α
, µ = βγ - αδ
, λ = δ
γ γ2 γ
12
Resulta que:
w = f (z) = η + µ
z + λ
Lo que implica que la transformación w equivale a:
- La translación (z + λ);
- Seguida de la inversión 1/(z + λ);
- La dilatación o contracción y rotación µ / (z + λ);
- Y la nueva translación (η + µ) / (z + λ).
Donde α, β, γ y δ son números complejos constantes.
Así que para lograr la condición de que tal transformación sea específica
para las proximidades de P, o sea, todo punto P perteneciente a S1 tendrá
parámetros específicos de transformación para S2, (MENA, 2007) sugirió que las
determinaciones de los coeficientes complejos α, β e γ, pues δ se tornó
constante, de la función (06) sean utilizando únicamente los tres vértices A, B y C
de la Red de Puntos Dobles más próximo a P, pero de forma que este punto se
encuentre en el interior del triángulo definido por aquéllos. De este modo, se
resuelve el sistema lineal de tres ecuaciones con otras tantas incógnitas:
α zi + β – γ zi wi – wi = 0 (i = A, B, C) (07)
Lo que según (MENA, 2007) proporcionará una solución cerrada y que
la incertidumbre característica de las proyecciones simples aplicadas a regiones
de gran extensión u obtenidas por mínimos cuadrados utilizando la masa de los
puntos de la Red Doble, queda eliminada.
Considerando los desarrollos hasta aquí, resulta que el isomorfismo f
que proporciona la imagen en S2 de un punto P a partir de sus coordenadas en el
sistema S1 es obtenido con:
wP = αABC zP + βABC
(08) γABC zP + 1
13
Visto que las deducciones anteriores fueran adaptadas para ser
utilizadas en coordenadas planas, pues (MENA, 2007) en el original las utiliza con
coordenadas geodésicas, bastando para eso proyectarlas en una esfera mediante
proyección de Gauss, para mantener la conformidad.
Para la aplicación original, donde se utilizó coordenadas geodésicas λ y
φ para el cambio entre los sistemas de referencia ETRS89 (European Terrestrial
Reference System 1989) y ED50 (European Datum 1950) de puntos situados en
la Península Ibérica y Baleares, con los puntos de la Red de Puntos Dobles –
REGENTE (Red Geodésica Nacional por Técnicas Espaciales) - teniendo una
separación media oscilando entre 30 – 40 km, (MENA, 2007) obtuve que el error
medio estimado de la transformación oscila alrededor de tan solos unos 10 / 20
centímetros. Tal precisión es característica de algunos métodos que incorporan el
análisis de distorsiones.
Debido al hecho del Dr. Juan B. Mena Berrios ter sabiamente juntado
diversos conceptos matemáticos complicados y generado una aplicación sencilla
y precisa para las ciencias geodésicas y cartográficas creando así un método
novedoso de transformación entre sistemas de referencia distintos considerando
las particularidades del entorno de cada punto, se utilizará a partir de aquí el
nombre “Transformación de Mena” para toda aquella transformación que utilice
función bilineal de variable compleja y se apoye en la transformación a nivel local
con objeto de considerar el entorno de cada punto.
Como método de transformación para aplicar al objetivo de este trabajo,
o sea, la transformación de coordenadas en proyección UTM entre el sistema de
referencia geodésico regional ASTRO DATUM CHUÁ - (S1) y el Sistema de
Referencia Geocéntrico SIRGAS2000 – (S2), se adoptará la “Transformación de
Mena” por sus excelentes características ya citadas.
14
3.1.1. Transformación de Mena en su caso particular aplicado a coordenadas
UTM
La metodología aplicada para el cambio de sistemas está basada en
(MENA, 2007) con adaptación para coordenadas planas en proyección UTM, y
comprende realizar para cada punto P cuyas coordenadas geodésicas son
conocidas en el sistema S1 las siguientes etapas:
1) Determinación del triángulo A, B y C en S1 [valores zi] de menor área
en cuyo interior se encuentra el punto P y cuyos vértices son puntos
de la Red de Puntos Dobles (ANEXO A). Se trata de un sencillo
problema de geometría computacional cuya solución puede
estudiarse en (DE BERG et al., 1998);
2) Obtención de las coordenadas en S2 de los vértices A, B y C [valores
wi];
3) Cálculo del centro de gravedad de la Red de Puntos Doble en los
sistemas S1 y S2 respectivamente. Basta sumar los valores de las
coordenadas de los puntos y dividir por la cantidad total de puntos
de la red;
4) Restar los valores de los centros de gravedad calculados en los
sistemas S1 y S2 de los valores de cada vértice en zi y wi
respectivamente, así trabajamos solamente con los residuos. Eso se
vuelve necesario, pues algunos lenguajes de programación no
trabajan con números demasiado grandes, causando errores en los
resultados finales debido al redondeo impuesto por cada una de
ellos;
5) Determinación de la transformación bilineal (06) que aplica los tres
vértices zi en los correspondientemente wi, restados de sus
respectivos centros de gravedad, resolviendo el sistema lineal (07), o
sea, el cálculo de los valores correspondientes de α, β y γ;
15
6) Restar el valor del centro de gravedad en S1 del punto P;
7) Aplicación de la función (08) al punto P; es decir, cálculo directo a
partir de los valores de este punto obtenida en el ítem 6) y los
correspondientes valores de α, β y γ;
8) Suma del valor del centro de gravedad obtenido para S2 con el valor
obtenido en el ítem 7).
La transformación propuesta fue implementada en un software,
desarrollado en lenguaje C# o C-Sharp. El software es necesario pues la
demanda para transformaciones entre sistemas, principalmente en los trabajos de
los equipos de campo de la Hidroeléctrica Itaipu Binacional, son corrientes.
3.2. TEST DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA
Sabiendo que la metodología propuesta por (MENA, 2007) presentó
resultados mejores que los esperados para aplicaciones con coordenadas
geodésicas, como en nuestro caso tuvimos que hacer algunos cambios para
trabajar con coordenadas UTM, sometemos el software desarrollado con esa
metodología a un test para verificar la propia metodología y también si el
software no agrega errores provenientes de redondeos o de otros procesos
inherentes al mismo.
Para eso fueron concebidos dos sistemas de referencia ficticios distintos
S1 y S2, pero ambos planos y rígidos, de modo que las diferencias entre uno y
otro son totalmente conocidas y resultan en: una rotación; dos translaciones y dos
factores de escala.
Fue determinada una Red de Puntos Doble (FIGURA 04) que posee 13
(trece) puntos con coordenadas en ambos sistemas (TABLA 01), siendo que 09
(nueve) [A, B, C…..I] serán los puntos doble y los otros 04 (cuatro) [1, 2, 3 y 4]
16
serán los puntos origen, donde sabemos los resultados óptimos, que serán
testeados.
FIGURA 04 – SISTEMAS FICTICIOS S1 Y S2
TABLA 01 – RED DE PUNTOS DOBLE EN LOS SISTEMAS FICTICIOS S1 Y S2
PUNTO Norte - REF S1 Este - REF S1 Norte - REF S2 Este - REF S2
A 7500100.000 450100.000 3000050.00 100050.00
B 7500100.000 450300.000 3000050.00 100030.00
C 7500100.000 450500.000 3000050.00 100010.00
D 7500300.000 450100.000 3000030.00 100050.00
E 7500300.000 450300.000 3000030.00 100030.00
F 7500300.000 450500.000 3000030.00 100010.00
G 7500500.000 450100.000 3000010.00 100050.00
H 7500500.000 450300.000 3000010.00 100030.00
I 7500500.000 450500.000 3000010.00 100010.00
1 7500200.000 450200.000 3000040.00 100040.00
2 7500200.000 450400.000 3000040.00 100020.00
3 7500400.000 450200.000 3000020.00 100040.00
4 7500400.000 450400.000 3000020.00 100020.00
Considerando los valores de la (TABLA 01), donde los puntos
alfabéticos son la Red de Puntos Doble y los puntos numéricos en el sistema S1
son los puntos que serán transformados para el sistema S2 y siguiendo la
metodología presentada en el ítem 3.1.1., resultó que el conjunto propuesto
[metodología + software] no presentó error alguno, o sea, ni siquiera residuos por
17
redondeo, según la Transformación propuesta, como puede ser visto en la
(TABLA 02):
TABLA 02 – RESULTADOS PARA LA METODOLOGIA PROPUESTA
PUNTO Resultado Esperado Resultado Calculado Diferencias (metros)
Norte - REF S2 Este - REF S2 Norte - CAL S2 Este - CAL S2 DIF N (REF-CAL) DIF E (REF-CAL)
1 3000040.00 100040.00 3000040.00000 100040.00000 0.00000 0.00000
2 3000040.00 100020.00 3000040.00000 100020.00000 0.00000 0.00000
3 3000020.00 100040.00 3000020.00000 100040.00000 0.00000 0.00000
4 3000020.00 100020.00 3000020.00000 100020.00000 0.00000 0.00000
4. RESULTADOS
Finalmente aplicaremos la Transformación de Mena a algunos de los
115 puntos de la Red de Puntos Doble (ANEXO A) de la Poligonal Envolvente
como si no supiésemos los valores de sus coordenadas en SIRGAS2000 – S2,
para así evaluar los resultados. A estos 13 puntos seleccionados los llamaremos
Puntos Test.
Como la Red de Puntos Doble no es homogénea a lo largo de la
Poligonal Envolvente seleccionamos los Puntos Test de manera que quedasen
ubicados lo más homogéneamente posible, pues así, podremos valorar para
nuestro caso, donde el área de trabajo no es tan grande, si las distancias entre
puntos de la Red de Puntos Doble afectará significativamente los resultados
esperados.
Así que, en la (FIGURA 05) se encuentra la ubicación de los 13 Puntos
Test y de la nueva Red de Puntos Doble (102 puntos) y en la (TABLA 03) se
encuentran las coordenadas de los Puntos Test en los dos sistemas de
referencia.
18
FIGURA 05 – UBICACIÓN DE LOS PUNTOS TEST Y LA NUEVA RED DE
PUNTOS DOBLE
TABLA 03 – PUNTOS TEST REFERENCIADOS EN LOS DOS SISTEMAS DE COORDENADAS
PUNTO Norte - S1 - CHUA Este - S1 - CHUA Norte - S2 - SIRGAS Este - S2 - SIRGAS
PET-230 7334589.29 778633.62 7334560.519 778647.453
PET-176 7331840.01 776038.50 7331808.057 776052.893
PEA-261B 7321295.65 772597.45 7321265.592 772611.140
PESL-84 7288642.56 772418.82 7288609.810 772431.323
PEB-36 7274225.46 775113.24 7274193.013 775126.019
PEDI-436 7250060.04 769906.20 7250026.929 769919.449
PESJ-186 7220000.40 768890.43 7219967.237 768903.036
PEO-1130 7212232.51 772646.55 7212199.028 772658.177
PEO-325 7201590.22 769555.13 7201556.981 769567.003
PETQ-55 7199373.87 759493.76 7199340.119 759505.472
PEPC-229 7189410.62 761384.37 7189376.705 761396.722
PEPC-1 7192163.82 751928.93 7192131.972 751941.943
PEBV-76 7186899.76 750154.45 7186866.407 750166.626
19
Se puede observar en la (FIGURA 05) que los Puntos Test están en la
(TABLA 03) ordenados de acuerdo a su distribución a lo largo de la PE y que los
últimos 06 (seis) puntos están dentro de la región que posee la mayor cantidad de
puntos de la Red Doble.
Aplicando la Transformación de Mena para el sistema de referencia S1
de los puntos de la (TABLA 03) y considerando como Red de Puntos Doble - RPD
a los puntos del (ANEXO A) restados de los respectivos puntos de la (TABLA 03),
tendremos como resultado la (TABLA 04) donde se exponen las coordenadas
esperadas en S2 de los Puntos Test, las coordenadas transformadas por la
Transformación de Mena y sus respectivas diferencias, tanto en Norte y Este
como también en distancia.
TABLA 04 – RESULTADOS DE LA TRANSFORMACIÓN DE PUNTOS DE LA POLIGONAL ENVOLVENTE
PUNTO Resultado Esperado Resultado Calculado Diferencias (metros)
Norte - S2 - SIRGAS Este - S2 - SIRGAS Norte - S2 - SIRGAS Este - S2 - SIRGAS Δ Norte Δ Este Distancia
PET-230 7334560.519 778647.453 7334560.5212 778647.4407 0.0022 -0.0123 0.0125
PET-176 7331808.057 776052.893 7331810.5392 776051.6553 2.4822 -1.2377 2.7737
PEA-261B 7321265.592 772611.140 7321265.9250 772610.7123 0.3330 -0.4277 0.5420
PESL-84 7288609.810 772431.323 7288609.6100 772431.1664 -0.2000 -0.1566 0.2541
PEB-36 7274193.013 775126.019 7274192.7509 775125.7049 -0.2621 -0.3141 0.4090
PEDI-436 7250026.929 769919.449 7250026.8565 769919.1875 -0.0725 -0.2615 0.2714
PESJ-186 7219967.237 768903.036 7219967.0141 768902.9259 -0.2229 -0.1101 0.2486
PEO-1130 7212199.028 772658.177 7212199.4300 772658.8561 0.4020 0.6791 0.7891
PEO-325 7201556.981 769567.003 7201557.7702 769567.4173 0.7892 0.4143 0.8913
PETQ-55 7199340.119 759505.472 7199340.1717 759505.6703 0.0527 0.1983 0.2052
PEPC-229 7189376.705 761396.722 7189378.5137 761395.4137 1.8087 -1.3083 2.2323
PEPC-1 7192131.972 751941.943 7192131.0327 751940.7371 -0.9393 -1.2059 1.5286
PEBV-76 7186866.407 750166.626 7186866.2429 750166.9747 -0.1641 0.3487 0.3854
Como forma de probar a mejorar los resultados para algunos de los
puntos, pues no sabemos a priori, si son los Puntos Test o los puntos de la Red
de Puntos Doble que contienen errores, retiraremos de los cálculos los vértices
de los triángulos utilizados en los puntos que presentaron errores mayores que
0,40 metros.
20
En la TABLA 05 presentamos los resultados para los Puntos Test, pero
ahora, la Red de Puntos Doble se queda sin los puntos dudosos.
TABLA 05 – RESULTADOS OBTENIDOS SIN LOS PUNTOS DUDOSOS EN LA RPD
PUNTO Resultado Esperado Resultado Calculado Diferencias (metros)
Norte - S2 - SIRGAS Este - S2 - SIRGAS Norte - S2 - SIRGAS Este - S2 - SIRGAS Δ Norte Δ Este Distancia
PET-230 7334560.519 778647.453 7334560.5212 778647.4407 0.0022 -0.0123 0.0125
PET-176 7331808.057 776052.893 7331808.1114 776052.9204 0.0544 0.0274 0.0609
PEA-261B 7321265.592 772611.140 7321265.4779 772611.2235 -0.1141 0.0835 0.1413
PESL-84 7288609.810 772431.323 7288609.6100 772431.1664 -0.2000 -0.1566 0.2541
PEB-36 7274193.013 775126.019 7274192.7509 775125.7049 -0.2621 -0.3141 0.4090
PEDI-436 7250026.929 769919.449 7250026.8565 769919.1875 -0.0725 -0.2615 0.2714
PESJ-186 7219967.237 768903.036 7219967.0141 768902.9259 -0.2229 -0.1101 0.2486
PEO-1130 7212199.028 772658.177 7212199.3596 772658.3040 0.3316 0.1270 0.3551
PEO-325 7201556.981 769567.003 7201558.3345 769566.4952 1.3535 -0.5078 1.4457
PETQ-55 7199340.119 759505.472 7199340.1717 759505.6703 0.0527 0.1983 0.2052
PEPC-229 7189376.705 761396.722 7189376.3834 761398.2035 -0.3216 1.4815 1.5160
PEPC-1 7192131.972 751941.943 7192130.2869 751940.8824 -1.6851 -1.0606 1.9911
PEBV-76 7186866.407 750166.626 7186866.2429 750166.9747 -0.1641 0.3487 0.3854
Para el test final, solamente dejamos en la Red de Puntos Doble, los
vértices que están envueltos en los cálculos de los Puntos Test que presentaron
resultados en distancias menores a 0,40 metros. En la (TABLA 06) se presentan
los resultados de este tercer caso.
TABLA 06 – RESULTADO OBTENIDO SOLAMENTE CON 15 PUNTOS MUY BUENOS EN LA RPD
PUNTO
Resultado Esperado Resultado Calculado Diferencias (metros)
Norte - S2 - SIRGAS Este - S2 - SIRGAS Norte - S2 - SIRGAS Este - S2 - SIRGAS Δ Norte Δ Este Distancia
PET-230 7334560.519 778647.453 7334560.521 778647.4407 0.0022 -0.0123 0.0125
PET-176 7331808.057 776052.893 7331808.111 776052.9204 0.0544 0.0274 0.0609
PEA-261B 7321265.592 772611.140 7321265.478 772611.2235 -0.1141 0.0835 0.1413
PESL-84 7288609.810 772431.323 7288609.61 772431.1664 -0.2000 -0.1566 0.2541
PEB-36 7274193.013 775126.019 7274192.751 775125.7049 -0.2621 -0.3141 0.4090
PEDI-436 7250026.929 769919.449 7250026.856 769919.1875 -0.0725 -0.2615 0.2714
PESJ-186 7219967.237 768903.036 7219967.014 768902.9259 -0.2229 -0.1101 0.2486
PEO-1130 7212199.028 772658.177 7212199.36 772658.304 0.3316 0.1270 0.3551
PEO-325 7201556.981 769567.003 7201556.549 769568.4208 -0.4317 1.4178 1.4821
PETQ-55 7199340.119 759505.472 7199339.998 759505.6248 -0.1214 0.1528 0.1952
PEPC-229 7189376.705 761396.722 7189378.258 761393.5282 1.5529 -3.1938 3.5513
PEPC-1 7192131.972 751941.943 7192130.719 751939.9917 -1.2530 -1.9513 2.3190
PEBV-76 7186866.407 750166.626 7186866.313 750166.7156 -0.0937 0.0896 0.1297
21
En la (TABLA 07) se presentan las diferencias encontradas en distancia
en los tres procesos de cálculos anteriores.
TABLA 07 – LAS DISTINTAS DIFERENCIAS
PUNTO Diferencias (metros)
Dist. (Todos) Dist. (Sin Dudosos) Dist. (Solo Muy Buenos)
PET-230 0.01 0.01 0.01
PET-176 2.77 0.06 0.06
PEA-261B 0.54 0.14 0.14
PESL-84 0.25 0.25 0.25
PEB-36 0.41 0.41 0.41
PEDI-436 0.27 0.27 0.27
PESJ-186 0.25 0.25 0.25
PEO-1130 0.79 0.36 0.36
PEO-325 0.89 1.45 1.48
PETQ-55 0.21 0.21 0.20
PEPC-229 2.23 1.52 3.55
PEPC-1 1.53 1.99 2.32
PEBV-76 0.39 0.39 0.13
5. CONCLUSIONES
Los resultados del primer procesamiento presentaron diferencias muy
grandes en distancia para los puntos PET-176, PEO-1130, PEO-325, PEPC-229 y
PEPC-1 (TABLA 04). Eso puede tener muchas causas, entre ellas las más
probables son: errores en la obtención de las coordenadas de los puntos; el punto
puede estar movido de su lugar de origen; o uno o más vértices del triángulo
utilizado en el cálculo de los parámetros α, β y γ de la transformación posee una
de la causas anteriormente descriptas.
Como se ha descripto, fueron sacados de la Red de Puntos Doble los
vértices utilizados en los cálculos de los parámetros para aquellos puntos que
presentaron problemas, así que los resultados del segundo procesamiento
(TABLA 05), continúan presentando diferencias muy grandes para los puntos
22
PEO-325, PEPC-229 y PEPC-1, pero, los puntos PET-176 y PEO-1130 tuvieron
mejoras significativas en sus resultados, eso lleva a creer que algunos de
aquellos puntos sacados de la Red de Puntos Doble posee algún problema, tanto
en la obtención de las coordenadas como pueden llegar a estar movidos de lugar.
Los demás puntos mantuvieron iguales sus diferencias.
Un tercer procesamiento fue realizado, pero ahora, la Red de Puntos
Doble posee solamente los vértices de los triángulos que fueron utilizados en los
cálculos de los puntos que presentaron resultados en distancia menores que 0,40
metros, o sea, sólo 15 Puntos Doble. El resultado de este tercer procesamiento
(TABLA 06) demostró que el punto PEBV-76 obtuvo una mejora significativa en
los resultados, eso se debe al hecho de que uno de los puntos del triángulo
utilizado para los cálculos de los parámetros en el segundo procesamiento estaba
sumando error a los cálculos para este punto.
Los puntos PEO-325, PEPC-229 y PEPC-1 mantuvieron resultados
demasiado grandes en distancia. Se puede concluir que estos tres puntos poseen
algún problema de los ya mencionados.
En la (TABLA 07) donde se presentan las diferencias en distancias en
los tres procesamientos, se nota que muchos de los puntos presentaron los
mismos resultados para los tres procesamientos, o sea, para áreas pequeñas,
como es nuestro caso, la Transformación de Mena no necesita de muchos
puntos en la Red de Puntos Doble, sólo que los puntos estén bien distribuidos,
que se ubiquen en la mayor extensión de área posible y que la calidad en las
determinaciones de las coordenadas en los dos sistemas sea rigurosamente
conocida.
Se puede concluir que la Transformación de Mena es la ideal para
transformar coordenadas de puntos entre el sistema de referencia geodésico
regional ASTRO DATUM CHUÁ y el Sistema de Referencia Geocéntrico
SIRGAS2000, en el área de preservación ambiental de la Hidroeléctrica Itaipu
Binacional, con resultados compatibles a lo método que presente la mayor
23
imprecisión de entre los dos métodos utilizados para la obtención de las
coordenadas en la Red de Puntos Doble, o sea, el método topográfico.
6. FUTURAS POSIBILIDADES DE MEJORA
Desarrollar una metodología para evaluar cuáles de los vértices que
poseen coordenadas en los dos sistemas de referencia pertenecerán
definitivamente a la Red de Puntos Doble.
La forma de obtener mejores resultados en las transformaciones de
coordenadas en el área de estudio es la inclusión en la Red de Puntos Doble de
los vértices de la Poligonal de Apoyo Básico, en el caso que aún existan, pues
fue a partir de ella que los puntos de la Poligonal Envolvente fueron implantados
en el terreno y por lo que consta en la documentación histórica, esos vértices
fueron medidos con métodos de mejor precisión.
24
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
DE BERG, M., Van Kreveld, M., Overmars, M., Schwarzkopf, O. 1998. Computational Geometry. Algorithms and Applications. Springer – Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.
GEMAEL, C. (1999). Introdução a Geodésia Física. Editora da UFPR. Curitiba.
GONZÁLEZ-MATESANZ, J., DALDA, A., QUIRÓS, R., CELADA, J. (2003). ED50-ETRS89 Transition models for the spanish geodetic network. Reporto n the Symposium of the IAG Subcommission for Europe (EUREF) Toledo, Spain, 4 – 7, June. Vol 13, IAG publications.
GONZÁLEZ-MATESANZ, J. (2006). Aportaciones al estudio de los modelos de distorsión para el cambio de datum entre ED50 y ETRS89. Tesis Doctoral. Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.
IBGE. (----). Informativo Geocêntrico. Projeto Mudança do Referencial Geodésico. Departamento de Cartografia e Geodésia. Diretoria de Geociências. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Rio de Janeiro – Brasil. Ano 1, Número 1.
IBGE. (----b). Início do Período de Transição para o novo Referencial Geodésico. Projeto Mudança do Referencial Geodésico. Coordenação do Grupos de Trabalho. Resolução do Rio de Janeiro. Documentos Técnicos. http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodIBesia/pmrg/doc_tec.shtm. Accedida en 22/05/2009.
IBGE. (----c). Documento sem Título. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. ftp://geoftp.ibge.gov.br/documentos/geodesia/sisref_2.pdf. Accedida en 22/05/2009
IBGE. (2009). www.ibge.gov.br. Accedida en 22/06/2009.
ITAIPU. (1973). Tratado de Itaipu e seus anexos. Brasília 26/04/1973.
ITAIPU. (1975). Relatorio de Matrix S.A. Engenharia. Hidroeléctrica Itaipu Binacional. Documento interno.
ITAIPU. (1983). Histórico Coordenadas de Itaipu. DEC.T/HP/004/83. Hidroeléctrica Itaipu Binacional. Documento interno.
ITAIPU. (2006). Monografia de Marcos. Relatórios Técnicos da empresa EFG Soluções Cartográficas Ltda. Hidroeléctrica Itaipu Binacional. Foz do Iguaçu – Paraná – Brasil. Documento Interno.
ITAIPU. (2009). www.itaipu.gov.br. Accedida en 14/06/2009.
KRUEGER, C. P. (1994). Posicionamento Cinemático de Trens. Jan., 1994. Dissertação de mestrado em Ciências Geodésicas – Universidade Federal do Paraná.
MENA, J.B. (1998). Matemáticas Superiores II. Servicio Geográfico del Ejército. Escuela de Geodesia Superior. Madrid.
MENA, J.B. (2007). Datum transformation by Gauss projection of the ellipsoid onto the sphere and bilinear function of complex variable: an application to ETRS89 – ED50. Aplied Mathematics and Computational, 195 (2008), pp. 190-
25
195.
MENA, J.B. (2008). Geodesia Superior. Volúmenes 1 y 2. Instituto Geográfico Nacional – IGN. Centro Nacional de Información Geográfica.
MONICO, J. F. G. (2000). Posicionamento pelo NAVSTAR-GPS Descrição, fundamentos e aplicações. São Paulo.: Editora UNESP.
SGE. (1976). Proyección Universal Transversa Mercator. Servicio Geográfico del Ejército. Escuela de Geodesia. Madrid.
SIRGAS. (2009). Proyecto Sistema de Referencia Geocéntrico para las Américas. Organización de: IAG: International Association of Geodesy; el IPGH: Instituto Panamericano de Geografía e Historia y la NIMA: US National Imagery and Mapping Agency, actualmente, NGA: National Geospatial-Intelligence Agency. http://www.sirgas.org/. Accedida en: 23/06/2009.
26
ANEXO A
COORDENADAS UTM DE LA RED DE PUNTOS DOBLE REFERENCIADAS AL
ASTRO DATUM CHUÁ Y AL SIRGAS2000
27
PUNTO
Norte - S1
CHUA
Este - S1
CHUA
Norte - S2
SIRGAS
Este - S2
SIRGAS PUNTO
Norte - S1
CHUA
Este - S1
CHUA
Norte - S2
SIRGAS
Este - S2
SIRGAS
PEA-261A 7321204.88 772503.79 7321174.828 772517.546 PEO-325 7201590.22 769555.13 7201556.981 769567.003
PEA-261B 7321295.65 772597.45 7321265.592 772611.140 PEO-369 7202455.93 766014.04 7202422.689 766026.465
PEB-36 7274225.46 775113.24 7274193.013 775126.019 PEO-395 7203581.51 766472.60 7203547.704 766484.673
PEBV-105 7181875.04 749312.90 7181841.425 749325.265 PEO-40 7201558.74 761825.23 7201525.758 761836.927
PEBV-124 7182434.66 747224.35 7182401.222 747236.745 PEO-416 7204771.09 764317.32 7204737.915 764328.828
PEBV-26 7181573.41 751337.15 7181539.112 751349.361 PEO-443 7205415.91 767307.55 7205382.540 767319.324
PEBV-41 7181393.40 752694.30 7181358.219 752706.410 PEO-459 7204912.75 768821.61 7204879.447 768833.990
PEBV-76 7186899.76 750154.45 7186866.407 750166.626 PEO-611 7206038.09 775072.06 7206006.027 775083.951
PEBV-95 7187718.49 749470.05 7187684.967 749482.330 PEO-646 7205804.21 776764.48 7205771.493 776776.318
PEDI-397 7248396.53 768215.81 7248363.433 768228.659 PEO-673 7204654.61 778589.15 7204622.030 778600.912
PEDI-435 7249903.07 769949.98 7249869.881 769962.959 PEO-68 7198377.85 762805.54 7198344.443 762817.026
PEDI-436 7250060.04 769906.20 7250026.929 769919.449 PEO-687 7203603.59 779856.73 7203570.859 779868.738
PEFF-176 7241797.20 774266.08 7241764.323 774279.128 PEO-715 7206021.20 778997.88 7205987.750 779009.754
PEFV-3280 7272278.71 782210.06 7272246.189 782222.527 PEO-732 7204916.39 780106.81 7204883.992 780118.901
PEG-1 7192281.45 751734.75 7192248.277 751746.939 PEO-782 7206668.14 781890.10 7206635.549 781901.892
PEG-102 7184076.44 756061.66 7184043.998 756074.684 PEO-959 7207805.90 780035.01 7207773.157 780046.734
PEG-119 7183644.93 755840.20 7183612.412 755853.479 PEO-978 7207856.38 778841.07 7207823.972 778853.827
PEG-166 7185429.85 752810.60 7185396.861 752823.249 PEO-999 7208767.50 778123.22 7208734.897 778135.142
PEG-185 7187262.46 751165.86 7187229.273 751178.322 PEPC-1 7192163.82 751928.93 7192131.972 751941.943
PEG-19 7189847.21 752912.60 7189814.106 752924.320 PEPC-127 7190852.27 755829.22 7190819.016 755842.696
PEG-230 7189619.24 749389.86 7189586.597 749401.818 PEPC-154 7188515.27 756987.22 7188481.854 756999.750
PEG-246 7188515.26 748702.59 7188481.873 748714.767 PEPC-173 7189112.52 757502.30 7189079.473 757516.564
PEG-41 7188279.15 754052.77 7188246.365 754065.796 PEPC-19 7192257.66 752757.82 7192224.374 752768.082
PEG-61 7187486.13 753044.28 7187453.708 753056.998 PEPC-194 7191225.57 758406.74 7191192.012 758419.350
PEG-82 7185898.45 754379.98 7185866.502 754393.507 PEPC-209 7191065.63 759513.69 7191031.785 759526.330
PEO-019 7205363.25 758958.25 7205329.532 758969.776 PEPC-229 7189410.62 761384.37 7189376.705 761396.722
PEO-060 7204970.45 758700.59 7204936.600 758712.343 PEPC-249 7187850.87 760556.42 7187819.073 760568.085
PEO-1 7203707.90 760824.34 7203675.533 760835.458 PEPC-290 7185274.12 762879.85 7185241.450 762892.644
PEO-1026 7208576.14 775711.66 7208543.294 775723.831 PEPC-309 7185450.50 763325.93 7185417.847 763338.707
PEO-1079 7210961.18 774393.06 7210928.207 774405.699 PEPC-328 7187910.93 762207.76 7187879.714 762219.365
PEO-1105 7211658.17 773625.98 7211625.600 773638.227 PEPC-370 7190007.18 764832.96 7189975.032 764845.166
PEO-1130 7212232.51 772646.55 7212199.028 772658.177 PEPC-39 7194138.33 752856.38 7194105.637 752867.460
PEO-1131B 7212366.58 772566.46 7212333.352 772578.750 PEPC-390 7187760.60 767063.24 7187728.717 767075.966
PEO-115 7199441.55 764667.50 7199408.689 764678.559 PEPC-410 7188487.04 767055.78 7188453.656 767068.151
PEO-1203 7209284.68 769459.23 7209251.301 769471.543 PEPC-429 7187778.53 768793.53 7187745.700 768806.321
PEO-1239 7211608.54 768190.07 7211574.791 768202.153 PEPC-461 7188599.39 769875.15 7188566.532 769888.725
PEO-130 7197890.29 764700.86 7197857.493 764712.776 PEPC-483 7189819.29 768876.69 7189787.153 768888.729
PEO-1310 7207908.54 764618.33 7207875.258 764629.545 PEPC-501 7190597.45 770142.84 7190565.376 770154.866
PEO-1343 7207748.14 763255.67 7207714.546 763267.363 PEPC-561 7190992.14 763835.42 7190958.560 763847.790
PEO-149 7196627.72 766312.44 7196593.141 766325.011 PEPC-582 7192764.72 762814.51 7192731.885 762826.441
PEO-194 7199116.27 767828.85 7199085.084 767840.868 PEPC-604 7192406.61 766862.69 7192374.412 766874.827
PEO-22 7203034.58 761279.39 7203001.292 761291.323 PEPC-60A 7192545.72 754091.89 7192512.129 754103.151
PEO-221 7198003.14 769946.69 7197971.533 769959.945 PEPC-622 7193909.54 766565.25 7193878.099 766576.833
PEO-241 7198142.50 771135.35 7198109.466 771146.964 PEPC-665 7193699.16 762180.02 7193665.765 762192.842
PEO-262 7196626.64 771956.03 7196593.750 771967.687 PEPC-681 7193576.86 760669.24 7193542.423 760682.070
28
PEO-280 7198203.45 771944.72 7198170.725 771957.015 PEPC-700 7194428.34 760468.15 7194395.174 760480.164
PEO-289 7199746.85 771899.81 7199713.884 771911.475 PEPC-720 7194893.88 759240.23 7194860.829 759252.432
PEPC-739 7196672.90 760215.98 7196639.615 760228.307 PEPC-787 7197803.84 755431.46 7197771.194 755443.421
PEPC-758 7197232.80 759169.78 7197199.687 759182.062 PEPC-80 7194377.55 755231.01 7194344.384 755242.416
PESJ-186 7220000.40 768890.43 7219967.237 768903.036 PESL-84 7288642.56 772418.82 7288609.810 772431.323
PESJ-187 7219885.45 768927.16 7219852.058 768939.653 PESL-84A 7288604.28 772327.08 7288571.328 772339.424
PET-175 7331917.25 775971.29 7331888.180 775984.808 PETQ-109 7201929.18 757317.90 7201896.869 757330.021
PET-176 7331840.01 776038.50 7331808.057 776052.893 PETQ-13 7198491.19 754993.91 7198458.370 755006.444
PET-179 7332014.63 776540.08 7331983.060 776554.562 PETQ-130 7203209.58 757985.95 7203176.633 757998.983
PET-229 7334592.77 778577.41 7334563.964 778591.196 PETQ-36 7198486.30 758183.17 7198452.746 758194.703
PET-230 7334589.29 778633.62 7334560.519 778647.453 PETQ-55 7199373.87 759493.76 7199340.119 759505.472
PETQ-97 7201048.37 755585.75 7201015.298 755597.732 PETQ-74 7199821.41 757932.33 7199787.979 757944.255
