Astmed ja juured

© T. Lepikult, 2010

Astme mõiste.Definitsioon

Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist,

milles on n võrdset tegurit a, s.t.

....tegurit

n

n aaaa

Näited

1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti

=

1024 baiti.

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

23 33 .9

10101010104 .10000

3

4

1

4

1

4

1

4

1.

64

1

Negatiivse arvu astendamine

Näited

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

3)2( )2()2()2( .8

4)5,0( )5,0()5,0()5,0()5,0( .0625,0

Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus

positiivne, kui paarituarvulise astendajaga, on tulemus negatiivne.

Järeldus viimastest näidetest:

Negatiivset arvu astendades tuleb see alati sulgudesse panna:

;16)4()4()4( 2

.164442 aga:

Astendajad 0 ja 1Astme an leidmist nimetatakse astendamiseks, arvu a astendatavaks

(e. astme aluseks) ning arvu n astendajaks (ehk astmenäitajaks).

Kui astendaja on 1 või 0, siis defineeritakse arvu aste nii:

aa 1

0kui,10 aa

Näited

111

001

110

1003,0 0

1)( 0 eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Negatiivse astendajaga aste on vastava positiivse astendajaga astme

pöördarv:.0 kui

1 a

aa

n

n

Negatiivne astendaja.

Näited

;9

1

3

13

2

2 ;8

1

)2(

12

3

3

;2

5

5

2:1

5

2

1

5

2

1

5

21

1

;6

11

11

6

1

11

63

3

3

;001,01000

1

10

110

3

3

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Juure mõiste (I)

Juurimistehte tulemust tähistatakse sümboliga , mida nimetatakse

n-nda astme (ehk ka n-ndaks) juureks arvust a. Arvu n nimetatakse

sealjuures juurijaks ja arvu a juuritavaks.

n a

Astendamise pöördtehet nimetatakse juurimiseks. See pöördtehe on

defineeritud vaid ühest suuremate naturaalarvude korral. Antud astendaja

n > 1 ning arvu a korral tähendab see sellise arvu b leidmist, et bn = a.

Näide

Kuna .327siis,273 33

juurija juuritav

Kui juurijaks on 2, siis jäetakse juurija kirjutamata ning kasutatakse

sümbolit , mida nimetatakse ruutjuureks arvust a. Kui juurijaks on 3,

siis nimetatakse juurt kuupjuureks.

a

Näide .255kuna,525 2 eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Juure mõiste (II)

Näide

Paarituarvulise juurija korral on juurimistehte tulemus määratud üheselt

iga reaalarvu a korral.

Näiteks on võrrandi ainukeseks lahendiks x = -2 ja seega 83 x

.283

Paarisarvulise juurija korral peame juurimistehte tulemuse ühesuse

tagamiseks tegema lisaeelduse:

kui juurija n on paarisarv, siis a > 0 korral juur tähistab niisugust

positiivset arvu, mille n-es aste on a.

n a

ehkki nii 25,65,2 2 kui ka 25,6)5,2( 2

5,225,6 5,225,6 ja

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Ratsionaalarvuline astendaja.

Näited

Ratsionaalarvulise (murrulise) astendajaga aste defineeritakse

võrdusega

.n mn

m

aa

;86444 32

3

Kui n on paarisarv, siis peab reaalarvude korral olema alus a

mittenegatiivne arv.

;1,001,001,001,0 12

1

;100)10()10(33 23

2

;4

1

64

1

)8(

1

)8(

1)8(

33 2

3

23

2

;101010 1010

1

1,0

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Astme omadusi (I)

1. Positiivset arvu astendades saame tulemuseks alati positiivse arvu:

kui siis igasuguse astendaja r korral ,0a .0ra

2. Kui astme alus on negatiivne ja astendaja on paarisarv, on

tulemus sama, mis aluse vastandarvu astendades:

;)( 22 nn aa

Kui aga negatiivse aluse korral on astendaja paaritu arv, siis on

tulemuseks vastava positiivse alusega astme vastandarv:

;)( 1212 nn aa

Näiteks: ;0823 .05,025,025,0 2/1

Näiteks:

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

;14412)12( 22 ;100010)10( 33

Astme omadusi (II)

3. Arvu “null” saab astendada vaid positiivse arvuga. Tulemuseks

on alati null:

,00 rkui .0r

4. Kui astme aluseks on 1, siis on astendamise tulemus ka alati 1:

.11 r

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Tehted astmetega (I)

1. Võrdsete alustega astmete korrutamisel tuleb astendajad liita:srsr aaa

rrr baba )(

2. Võrdsete astendajatega astmete korrutamisel korrutatakse alused:

Näited 23 22 232 52

34 53 xx 3453 xx 3415 x 715x

1010 1 11 1010 1110 010 1

22 32 2)32( 3662

22 45 2)45( .400

1

20

12

2

1

2

1

yx 2

1

)(xy xy

Näited

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Tehted astmetega (II)

Näited

sr

s

r

aa

a

3. Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse:

r

r

r

b

a

b

a

4. Võrdsete astendajatega astmete jagamisel alused jagatakse:

)6(:24 36 xx 36

6

24x 34x

ba

ba 3)( 2)( ba

Näited

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

1

3

)(

)(

ba

ba

3

1

33 16:48

3

16

4833 ;27 3)6,0(

3

10

6

3

3

10

6

1000

216.216,0

Tehted astmetega (III)

3

1

9

1

9

19)9(;)(

2

12

1

4

1

21836

xx

5. Astme astendamisel astendajad korrutatakse:

srsr aa )(

Näited

n

b

a

)()1( n

b

a

n

b

a1

n

b

a1

:1 .

n

a

b

Murru astendamisel võib vahetada lugeja ja nimetaja kohad, muutes

astendaja märgi vastupidiseks.

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Juure omadused (I)

1. Igast mittenegatiivsest arvust saab leida n-nda juure. See juur on

alati mittenegatiivne.

2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurijaga juurt.

Näited

Juure omadused ja juure leidmise eeskirjad tulenevad arvu astmete

leidmise eeskirjadest, sest juurimine on seotud astendamisega valemi

nn aa1

abil.

;02325 ;0003 ;011

.11

Näited ,164 - selliseid reaalarve ei ole.

.283

paarisarv

paaritu arv

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

1

Juure omadused (II)

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

3. Igal negatiivsel arvul on paarituarvulise juurija korral parajasti üks

juur, mis on samuti negatiivne.

Näited ;02325 ;01,0001,03 .011103

. 11 ja00 nn4. Alati

.||2 2 aan n

5. Kui astendada mingit reaalarvu paarisarvuga 2n ja seejärel võtta

tulemusest sama järku juur, siis saame tulemuseks esialgse arvu

absoluutväärtuse:

Näited |;3|336 6 .|1,0|1,0)1,0( 2

Juure omadused (III)

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

Näited ;11)10(11 11

6. Kui astendada mingit reaalarvu paaritu arvuga 2n + 1 ja seejärel

võtta tulemusest sama järku juur, siis saame tulemuseks esialgse

arvu:.12 12 aan n

.443 3

7. Kui juurida reaalarvu a mingi juurijaga n ja astendada tulemust

sama juurijaga, siis saame tulemuseks esialgse arvu:

.aann

Näited ;5544 .2121

33

Tehted juurtega (I)

Näited

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

1. Võrdsete juurijatega juurte korrutamisel korrutatakse juuritavad:

.nnn baba

Näited .15225753753

.60453453 33333

.332222 yxyxyxyxyxyxyx

2. Võrdsete juurijatega juurte jagamisel jagatakse juuritavad:

.nn

n

b

a

b

a

.1010010:100010:1000

.||:: 233 aaaaaa

Tehted juurtega (II)

4. Juure juurimisel korrutatakse juurijad:

.mnm n aa

;66 123 4

eelmine slaidalgusesse järgmine slaid esitluse lõpp

3. Juure astendamisel astendatakse juuritav:

.n mmn aa

Näited

Näited

5 1024 25 1024 10 1024 .2

;33aa

24 4 4 24 4 16 .2

Tehted juurtega (III)

Näited

eelmine slaidalgusesse esitluse lõpp

5. Juure taandamise ja laiendamise valem:

Astme juurimisel võib astendajat ja juurijat jagada või korrutada

ühe ja sama nullist erineva arvuga.

.n mkn km aa

6 2a 2/6 2/2a ;3 a

4 64 4 62 2/4 2/62 32 122 12 22 12 22

222.22

2 22 212 .44

1)

2)

3)

4) 3 xx 23 2132 31 xx 6 26 3 xx 6 23 xx 6 23x .6 5x