Aula 01

Raciocnio Lgico p/ MI

Teoria e exerccios comentados

Prof Marcos Pion Aula 01

Prof. Marcos Pion www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 40

AULA 01: Lgica (Parte 2)

SUMRIO PGINA 1. Resoluo das questes da Aula 00 1 2. Tautologia, Contradio e Contingncia 10 3. Implicao 14 4. Equivalncia Lgica 15 5. Exerccios Comentados nesta aula 34 6. Exerccios Propostos 36 7. Gabarito 40

Ol! Vocs viram como as questes se repetem? Pois , por isso que importante a resoluo do maior nmero de questes possveis. Vamos comear resolvendo as questes que deixei na aula passada. Mos obra!

1 - Resoluo das questes da Aula 01

16 - (MCT 2008 / CESPE) A sentena O feijo um alimento rico em protenas uma proposio.

Soluo:

Essa bem simples, no podemos errar. Uma questo dessa na prova tem que ser considerada ponto garantido!

Lembram-se da definio de proposio? a sentena a qual podemos atribuir um valor lgico Verdadeiro ou Falso. Nessa questo, caso o feijo seja realmente um alimento rico em protenas, essa sentena ser verdadeira, caso contrrio, a sentena ser falsa. Portanto, a sentena uma proposio. Item correto!

17 - (MCT 2008 / CESPE) A frase Por que Maria no come carne vermelha? no uma proposio.

Soluo:

Mais uma questo que pede apenas que voc identifique se a sentena uma proposio ou no. Como no podemos atribuir um valor lgico para essa frase, no se trata de uma proposio. Lembram-se da dica? Frases interrogativas, exclamativas ou no imperativo no so proposies. Item correto!

18 - (FINEP 2009 / CESPE) A frase Os Fundos Setoriais de Cincia e Tecnologia so instrumentos de financiamento de projetos. uma proposio.





Soluo:

Mais uma no mesmo estilo. Nessa frase, se os Fundos Setoriais de Cincia e Tecnologia forem instrumentos de financiamento de projetos, atribuiremos um valor lgico verdadeiro para ela, caso contrrio, atribuiremos um valor lgico falso. Assim, trata-se efetivamente de uma proposio. Item correto!

19 - (FINEP 2009 / CESPE) A frase O que o CT-Amaznia? uma proposio.

Soluo:

Lembram-se da dica? Frase interrogativa, portanto, no se trata de uma proposio. Item errado!

20 - (FINEP 2009 / CESPE) A frase Preste ateno ao edital! uma proposio.

Soluo:

Mais uma vez, lembram-se da dica? Frase no imperativo, uma ordem, assim, no se trata de uma proposio. Item errado!

21 - (FINEP 2009 / CESPE) A frase Se o projeto for de cooperao universidade-empresa, ento podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo. uma proposio.

Soluo:

Nesse item temos uma sentena maior, mas no vamos nos assustar! Vamos no sentido inverso, para facilitar a explicao. Trata-se de uma afirmao, no uma pergunta, nem uma exclamao, muito menos uma ordem, portanto, provvel que seja uma proposio. Vimos na aula passada as proposies compostas do tipo se... ento ..., justamente o caso dessa frase. Se o projeto for de cooperao universidade-empresa e no puderem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde, a sentena ser falsa. Caso contrrio, ser verdadeira. Item correto!

22 - (BB 2007 / CESPE) H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:

(I) O BB foi criado em 1980. (II) Faa seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.





Soluo:

Vamos analisar cada sentena:

(I) O BB foi criado em 1980.

Essa sentena uma proposio, pois podemos avaliar se ela verdadeira ou falsa sabendo o ano correto em que o BB foi fundado. proposio.

(II) Faa seu trabalho corretamente.

Frase no imperativo, uma ordem, assim, no se trata de uma proposio. No proposio.

(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

Sabendo a real idade de Manuela, podemos avaliar se esta sentena verdadeira ou falsa. proposio.

Portanto, temos duas proposies. Item correto.

23 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A proposio O SEBRAE facilita e orienta o acesso a servios financeiros uma proposio simples.

Soluo:

Nessa questo basta ter ateno pra no cair na pegadinha. Vamos reescrever a frase colocando o sujeito e o complemento para cada verbo:

O SEBRAE facilita e orienta o acesso a servios financeiros

o mesmo que:

O SEBRAE facilita o acesso a servios financeiros e o SEBRAE orienta o acesso a servios financeiros

Temos, como pode ser visto acima, duas proposies simples unidas pelo conectivo e, formando uma proposio composta. Como a questo afirma que se trata de uma proposio simples, este item est errado!

24 - (TRT / 5 Regio 2008) Considerando que, alm de A e B, C, D, E e F tambm sejam proposies, no necessariamente todas distintas, e que N seja o nmero de linhas da tabela-verdade da proposio [A (B v C)] [(D E) F], ento 2 N 64.

Soluo:





No se assuste com essa questo, ela simples! Na ltima aula, quando mostrei como se constri a tabela-verdade, eu disse que devemos contar a quantidade de variveis distintas n para sabermos a quantidade de linhas da tabela verdade, que dada por 2n. Para essa questo, basta saber isso! Assim, como A, B, C, D, E e F no so necessariamente proposies distintas, o n pode variar de 1 (com todas as proposies iguais) at 6 (com todas as proposies distintas). Com isso, temos:

Para n = 1, o nmero de linhas da tabela-verdade (N) dado por 21 = 2 linhas. Para n = 2, o nmero de linhas da tabela-verdade (N) dado por 22 = 4 linhas. Para n = 3, o nmero de linhas da tabela-verdade (N) dado por 23 = 8 linhas. Para n = 4, o nmero de linhas da tabela-verdade (N) dado por 24 = 16 linhas. Para n = 5, o nmero de linhas da tabela-verdade (N) dado por 25 = 32 linhas. Para n = 6, o nmero de linhas da tabela-verdade (N) dado por 26 = 64 linhas.

Assim, o valor de N varia de 2 at 64, ou seja, 2 N 64. Item correto!

25 - (MPE/AM 2007 / CESPE) Supondo que A simboliza a proposio Alice perseguiu o Coelho Branco e B simboliza a proposio O Coelho Branco olhou o relgio, a proposio Se o Coelho Branco no olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco pode ser simbolizada por (~B) (~A).

Soluo:

Nessa questo, devemos checar se a proposio Se o Coelho Branco no olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco pode ser representada por (~B) (~A). Vamos l!

B: O Coelho Branco olhou o relgio ~B: O Coelho Branco no olhou o relgio

A: Alice perseguiu o Coelho Branco ~A: Alice no perseguiu o Coelho Branco

Agora, olhando a proposio e conferindo o conector, temos:

Se o Coelho Branco no olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco

Portanto, o item est correto!

26 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Considerando que as proposies Seu chefe lhe passa uma ordem e Voc no aceita a ordem sem question-la sejam V, a proposio Se seu chefe lhe passa uma ordem, ento voc aceita a ordem sem question-la julgada como F.

~B ~A





Soluo:

Vamos comear passando as sentenas para a linguagem simblica:

P: Seu chefe lhe passa uma ordem (valor lgico verdadeiro) Q: Voc no aceita a ordem sem question-la (valor lgico verdadeiro)

Agora a proposio composta:

Se seu chefe lhe passa uma ordem, ento voc aceita a ordem sem question-la

Vimos que o P verdadeiro e que o Q tambm verdadeiro. Nessa proposio composta, a segunda proposio o ~Q, que possui valor lgico falso, j que diz voc aceita a ordem sem question-la. Com isso, numa condicional (se...ento...), com a primeira proposio verdadeira e a segunda proposio falsa, o valor lgico da proposio composta falso. Assim, este item est correto!

27 - (TRT / 5 Regio 2008) Considere as proposies abaixo.

T: Joo ser aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas no em ambos; A: Joo ser aprovado no concurso do TRT; B: Joo ser aprovado no concurso do TSE.

Nesse caso, a proposio T estar corretamente simbolizada por (A v B) [~(A B)].

Soluo:

Agora, o que a questo pede que transformemos a sentena T para a linguagem simblica. Vamos l:

T: Joo ser aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas no em ambos

Para facilitar, vamos separar as sentenas, e reescrev-las:

Joo ser aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas no em ambos

Sentena 1: Joo ser aprovado no concurso do TRT ou do TSE Sentena 2: no em ambos

Reescrevendo a sentena 1 temos:

P ~Q

Sentena 1 Sentena 2

A B v





Sentena 1: Joo ser aprovado no concurso do TRT ou Joo ser aprovado no concurso do TSE

Sentena 1: A v B

Reescrevendo a sentena 2 temos:

Sentena 2: Joo no ser aprovado nos concursos do TRT e do TSE ao mesmo tempo

Essa sentena 2 apresenta a negao de uma proposio composta que Joo ser aprovado no concurso do TRT e no concurso do TSE. Assim, a sentena 2 pode ser representada por ~(A B).

Sentena 2: ~(A B)

Unindo as duas sentenas, temos:

T: (A v B) mas [~(A B)]

E agora? Como representamos o mas? Na maioria das vezes o vem representado na linguagem corrente como e. Na aula passada eu mostrei que o simboliza tanto o e como o mas. Assim, a proposio T fica representada com (A v B) [~(A B)]. Portanto, o item est correto!

28 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A proposio simblica (A B) (~(A (~B))) sempre julgada como V, independentemente de A e B serem V ou F.

Soluo:

Vamos direto para a tabela-verdade?

Nmero de linhas: 22 = 4 Nmero de colunas: 2 (variveis) + 5 (operaes) = 7

A B ~B A (~B) ~(A (~B)) A B (A B)(~(A (~B))) V V F F V V V V F V V F F V F V F V F F V F F V V F F V

Portanto, conforme vemos na ltima coluna, o item est correto!

29 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Se A, B e C so proposies simples, ento existem exatamente duas possibilidades para que a proposio (A B) C seja avaliada como V.





Soluo:

Mais uma vez, vamos para a tabela-verdade?

Nmero de linhas: 23 = 8 Nmero de colunas: 3 (variveis) + 2 (operaes) = 5

A B C A B (A B) C V V V V V V V F V F V F V F F V F F F F F V V F F F V F F F F F V F F F F F F F

Portanto, conforme vemos na ltima coluna, o item est errado!

Aqui, vale uma observao. Para uma conjuno possuir valor lgico verdadeiro, todas as suas proposies devem ser verdadeiras. Assim, sempre s existir uma possibilidade de uma conjuno ser verdadeira (com todas as proposies verdadeiras). Por exemplo: (A B) (C D) (E F) s ter um valor lgico verdadeiro. Pode conferir!!!

30 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Considerando-se que A e B sejam proposies ambas V ou sejam ambas F, ento a proposio ~((~A) B) ser F.

Soluo:

Agora vamos fazer diferente. A questo informou que A e B podem ser ambas V ou ambas F. Vamos testar as duas hipteses:

Com ambas V:

~((~A) B) (substitumos o valor V nas proposies A e B) ~((~V) V) (realizamos a operao dentro dos parnteses (~V)) ~(F V) (realizamos a operao dentro dos parnteses (F V)) ~(F) = V

Agora, testamos com ambas F:

~((~A) B) (substitumos o valor F nas proposies A e B) ~((~F) F) (realizamos a operao dentro dos parnteses (~F)) ~(V F) (realizamos a operao dentro dos parnteses (V F)) ~(F) = V





Portanto, vemos que tanto para ambas V como para ambas F, o valor lgico da proposio ~((~A) B) sempre verdadeiro. Assim, o item est errado!

31 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Proposies na forma (~(A (B v C))) v (A (B v C)) tm somente valores lgicos V, para quaisquer que sejam os valores lgicos de A, B e C.

Soluo:

Essa parece trabalhosa hein? Vamos observar com cuidado a expresso:

(~(A (B v C))) v (A (B v C))

Viram o meu destaque em azul? Vou batizar essa expresso destacada de p. Assim temos:

p: A (B v C)

Com isso, reescrevendo a expresso, temos:

~p v p

Ficou fcil agora? Vamos desenhar essa tabela-verdade?

Nmero de linhas: 21 = 2 Nmero de colunas: 1 (varivel) + 2 (operaes) = 3

p ~p ~p v p V F V F V V

Olhando para a ltima coluna, podemos ver que qualquer que seja o valor lgico de p, a expresso ~p v p ser sempre verdadeira. Assim, independentemente dos valores lgicos de A, B ou C, a expresso A (B v C) poder ser verdadeira ou falsa. Porm, isso pouco importa, pois vimos que tanto faz que seja V ou F, a expresso resultante ser sempre V. Assim, o item est correto!

(Texto para as questes 32 a 34) Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia eltrica na sua repartio, o gestor mandou instalar, nas reas de circulao, sensores de presena e de claridade natural que atendem seguinte especificao:

P: A luz permanece acesa se, e somente se, h movimento e no h claridade natural suficiente no recinto.

Acerca dessa situao, julgue os itens seguintes.





32 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se fiscais visitarem um local da repartio em horrio no qual haja claridade natural suficiente e, enquanto se movimentarem nesse local, a luz permanecer acesa, ser correto inferir que o dispositivo instalado atende especificao P.

Soluo:

Para facilitar o entendimento, vamos passar a especificao P para a linguagem simblica:


p: A luz permanece acesa q: h movimento r: no h claridade natural suficiente no recinto

P: p (q r)

Na questo, foi dito que fiscais visitam um local da repartio em horrio no qual h claridade natural suficiente, ou seja, r falso. Foi dito tambm que se movimentam nesse local ou seja, q verdadeiro. Por fim, foi dito que a luz permanece acesa, ou seja, p verdadeiro. Assim, temos:

p verdadeiro q verdadeiro r falso

Substituindo os valores lgicos de p, q r, em P, temos:

P: p (q r)

P: V (V F)

P: V (F) = F

Portanto, o dispositivo instalado no atende especificao. Item errado.

33 - (TCDF - 2012 / CESPE) A especificao P pode ser corretamente representada por p (q r), em que p, q e r correspondem a proposies adequadas e os smbolos e representam, respectivamente, a bicondicional e a conjuno.

Soluo:

Utilizando as informaes da questo anterior, podemos perceber que este item est correto, pois podemos representar a especificao P por p (q r), onde:






Item correto.

34 - (TCDF - 2012 / CESPE) Em recinto onde tiver sido instalado um dispositivo que atenda especificao P, a luz permanecer acesa enquanto no houver claridade natural suficiente.

Soluo:

O que este item est afirmando que basta no haver claridade natural para a luz permanecer acesa. Ser mesmo? Vejamos a especificao novamente:



P: p (q r)

O que devemos analisar se basta o r ser verdadeiro para que o p tambm seja.

P: p (q V)

Podemos ver que isso no verdade, pois caso o q seja falso, ou seja, no haja movimento, o (q V) ser falso, e far com que o p tambm tenha que ser falso (ou seja, a luz no permanece acesa) para que o P seja verdadeiro.

Item errado.

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Ufa!!! Agora, vamos ver a teoria da aula de hoje.

2 - Tautologia, Contradio e Contingncia

Esses assuntos so bem simples. Tratam-se, na verdade, de casos particulares das proposies compostas. Por meio da tabela-verdade possvel identific-los de maneira rpida e direta. Vejamos:

Tautologia - Dizemos que uma proposio composta uma tautologia (ou uma proposio logicamente verdadeira) quando, ao testarmos todos os possveis





valores lgicos de suas proposies simples, por meio de sua tabela-verdade, a ltima coluna contm somente a letra V. Ou melhor, toda proposio composta cujo valor lgico ser sempre verdadeiro, independentemente dos valores lgicos de suas proposies simples.

Exemplo:

p v ~p

p ~p p v ~p V F V F V V

Contradio - Dizemos que uma proposio composta uma contradio (ou uma proposio logicamente falsa) quando, ao testarmos todos os possveis valores lgicos de suas proposies simples, por meio de sua tabela-verdade, a ltima coluna contm somente a letra F. Ou melhor, toda proposio composta cujo valor lgico ser sempre F (falsidade), independentemente dos valores lgicos de suas proposies simples. A contradio o oposto da tautologia, pois enquanto na tautologia h unanimidade da letra V na ltima coluna da tabela-verdade, na contradio somente aparece a letra F.

Exemplo:

p ~p

p ~p p ~p V F F F V F

Aqui vale fazer uma observao: Toda negao de uma tautologia consiste numa contradio e toda negao de uma contradio resulta numa tautologia.

A contingncia toda proposio composta que no nem uma tautologia nem uma contradio. H, pelo menos, um V e um F na ltima coluna da tabela-verdade. bem simples, caso a proposio composta no seja nem uma tautologia nem uma contradio, ser chamada de contingncia.

Exemplo:

p q

p q p q V V V V F F F V F F F F

Vamos s questes!!!





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35 - (Polcia Militar/DF - 2009 / CESPE) A proposio (A B) (A v B) uma tautologia.

Soluo:

Nessa questo, deveremos saber que uma proposio composta ser uma tautologia se, para todos os possveis valores lgicos de suas proposies simples, seu valor lgico sempre verdadeiro. A melhor forma de saber isso construindo sua tabela-verdade:

N de linhas: 2 2 = 4 N de colunas: 2 (variveis) + 3 (operaes , e v) = 5

A B A B A v B (A B) (A v B) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V

Observando a ltima coluna da tabela-verdade, percebemos que o valor lgico da proposio composta sempre verdadeiro, independentemente dos valores lgicos das proposies simples A e B que a compem. Portanto, o item est correto!

36 - (SERPRO - 2008 / CESPE) A proposio (A B) (~A v B) uma tautologia.

Soluo:

Mais um tipo de questo que se repete bastante. Como na questo anterior, basta construir a tabela-verdade:

A B ~A (A B) ~A v B (A B) (~A v B) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V

Mais uma vez, percebemos que o valor lgico da proposio composta sempre verdadeiro, independentemente dos valores lgicos das proposies simples que a compem. Portanto, o item est correto!

37 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposio ~(A v B) (~A) v B uma tautologia





Mais uma para praticar. Vamos direto para a tabela-verdade:

A B ~A A v B ~(A v B) (~A) v B ~(A v B) (~A) v B V V F V F V V V F F V F F V F V V V F V V F F V F V V V

Novamente, vemos que realmente trata-se de uma tautologia. Item correto!

38 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposio A Constituio brasileira moderna ou precisa ser refeita ser V quando a proposio A Constituio brasileira no moderna nem precisa ser refeita for F, e vice-versa.

Soluo:

Essa questo afirma que quando uma proposio verdadeira a outra falsa e vice-versa. Assim, o que devemos observar se a proposio A Constituio brasileira moderna ou precisa ser refeita e a proposio A Constituio brasileira no moderna nem precisa ser refeita apresentam valores lgicos opostos para os possveis valores lgicos das proposies simples que as compem. Assim, temos:

p: A Constituio brasileira moderna q: A Constituio brasileira precisa ser refeita

Proposio 1: p v q Proposio 2: ~p ~q

Construindo a tabela verdade, temos:

p q ~p ~q p v q ~p ~q V V F F V F V F F V V F F V V F V F F F V V F V

Assim, comparando as duas ltimas colunas da tabela, percebemos que seus valores lgicos so opostos. Veremos mais na frente que ~p ~q a negao da disjuno p v q. Assim, o item est correto!

39 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) Se A, B, C e D so proposies, em que B falsa e D verdadeira, ento, independentemente das valoraes falsa ou verdadeira de A e C, a proposio A v B C D ser sempre verdadeira.

Soluo:





Nessa questo, temos a informao que B falsa e D verdadeira. Assim, podemos ir direto construir a nossa tabela-verdade, sabendo que B e D s possuem um valor lgico possvel. Isso faz com que a quantidade de variveis diminua para duas (apenas A e C so variveis, j que sabemos que B falsa e D verdadeira):

A B C D A v B C D A v B C D V F V V V V V V F F V V F F F F V V F V V F F F V F F V

Olhando para a ltima coluna da tabela, podemos perceber que nem sempre o valor lgico da expresso A v B C D ser verdadeiro, ou seja, no se trata de uma tautologia. Logo, o item est errado.

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3 - Implicao Lgica

Dizemos que uma proposio A implica em outra B, se B verdadeira todas as vezes que A verdadeira. Assim, em nenhuma linha da tabela-verdade de A e B aparece VF, ou seja, no temos simultaneamente o A verdadeiro e o B falso. Usamos para a implicao o smbolo . Vamos ver um exemplo:

p (p v q)

p q p v q V V V V F V F V V F F F

Podemos dizer que p p v q, pois sempre que o p verdadeiro, p v q tambm verdadeiro.

Devemos notar que uma proposio A implica numa proposio B, sempre que a condicional A B for verdadeira.

Das possveis implicaes, a mais importante para concurso a propriedade transitiva:

(p q) (q r) p r





p q r p q q r (p q) (q r) p r V V V V V V V V V F V F F F V F V F V F V V F F F V F F F V V V V V V F V F V F F V F F V V V V V F F F V V V V

4 - Equivalncia Lgica

Dizemos que duas proposies so equivalentes se elas forem formadas pelas mesmas proposies simples e suas tabelas-verdade forem iguais. Ou seja, pra os mesmos valores lgicos de suas proposies simples, seus valores resultantes sero sempre os mesmos. Usamos para a equivalncia o smbolo "". Vamos ver um exemplo:

A proposio ~p v q e a proposio p q:

p q ~p ~p v q p q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V

Podemos dizer que ~p v q p q, pois as suas tabelas-verdade so iguais, conforme mostrado acima.

Devemos notar que uma proposio A equivalente proposio B, sempre que a bicondicional A B for verdadeira.

Negao de proposies compostas

Algumas das principais equivalncias so aquelas que negam as proposies compostas.

J vimos o operador ~ (negao) utilizado numa proposio simples. Veremos, agora, o que ocorre se negarmos uma proposio composta. O resultado depender da estrutura dessa proposio.

Negao da conjuno: ~(p q)

Para realizar a negao de uma conjuno, executaremos 3 passos:

1- Negamos o p





2- Negamos o q 3- Substitumos o e pelo ou

Portanto, a negao de (p q) (~p v ~q). Podemos dizer ento que:

~(p q) ~p v ~q

No iremos demonstrar aqui, como chegamos a este resultado. Basta saber que a tabela-verdade da proposio composta e de sua negao devem ser opostas, ou seja, sempre que uma for verdadeira, a outra dever ser falsa e sempre que uma for falsa a outra dever ser verdadeira.

p q ~p ~q p q ~(p q) ~p v ~q V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V

Negao da disjuno: ~(p v q)

Para realizar a negao de uma disjuno, executaremos, tambm, 3 passos:

1- Negamos o p 2- Negamos o q 3- Substitumos o ou pelo e

Portanto, a negao de (p v q) (~p ~q). Podemos dizer ento que:

~(p v q) ~p ~q

Da mesma forma que a conjuno, vamos apenas demonstrar a tabela-verdade:

p q ~p ~q p v q ~(p v q) ~p ~q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V

Negao da condicional: ~(p q)

Para realizar a negao de uma condicional, executaremos, mais uma vez, 3 passos:

1- Mantemos o p 2- Negamos o q 3- Substitumos o se ... ento... pelo e





Portanto, a negao de (p q) (p ~q). Podemos dizer ento que:

~(p q) p ~q

Vamos, mais uma vez, apenas demonstrar a tabela-verdade:

p q ~p ~q p q ~(p q) p ~q V V F F V F F V F F V F V V F V V F V F F F F V V V F F

Negao da bicondicional: ~(p q)

Na negao da bicondicional (p q), que vimos na aula passada, o mesmo que (p q) (q p), faremos o que j aprendemos para a negao da conjuno e da condicional. Vejamos:

1- Chamamos p q de k 2- Chamamos q p de j

Teremos ento uma conjuno: k j

Para negar uma conjuno, j vimos que devemos negar as proposies e trocar o operador e por ou. Assim:

~(k j) = ~k v ~j

Retornando os valores de k e j, temos:

~(p q) v ~(q p)

Substituindo, agora, o que aprendemos para a negao da condicional, temos:

~(p q) v ~(q p) = (p ~q) v (q ~p)

Portanto, a negao de (p q) (p ~q) v (q ~p).

~(p q) (p ~q) v (q ~p)

Vamos, mais uma vez, apenas demonstrar a tabela-verdade:





p q ~p ~q p q ~(p q) (p ~q) (q ~p) (p ~q) v (q ~p) V V F F V F F F F V F F V F V V F V F V V F F V F V V F F V V V F F F F

Vejamos algumas questes!

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40 - (Polcia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negao da proposio ter inabilidade de lidar com a raiva e apresentar depresso ter habilidade de lidar com a raiva ou no apresentar depresso.

Soluo:

Comeamos batizando as proposies simples e transformando a sentena para a linguagem simblica:

ter inabilidade de lidar com a raiva e apresentar depresso

Assim, deveremos negar uma proposio do tipo p q, que j sabemos que ~p v ~q. Assim, temos:

p: ter inabilidade de lidar com a raiva q: apresentar depresso

~p: no ter inabilidade de lidar com a raiva (que o mesmo que ter habilidade de lidar com a raiva) ~q: no apresentar depresso

Assim, voltando para a linguagem corrente, temos:

~p v ~q: ter habilidade de lidar com a raiva ou no apresentar depresso

Portanto, o item est correto!

41 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposio Carlos juiz e muito competente tem como negao a proposio Carlos no juiz nem muito competente.

Soluo:

A proposio Carlos juiz e muito competente pode ser assim dividida:

p: Carlos juiz q: Carlos muito competente

q p





Dessa forma, a proposio pode ser escrita como p q. Assim, j sabemos que:

~(p q) = ~p v ~q

Com isso, a negao de Carlos juiz e muito competente Carlos no juiz ou Carlos no muito competente. Quando se fala Carlos no juiz nem muito competente, est se falando que Carlos no juiz e no muito competente. O nem pode ser substitudo por e no. Em linguagem simblica seria ~p ~q.

Portanto, item errado.

42 - (Polcia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negao da proposio (P v ~Q) R (~P v Q) (~R).

Soluo:

Essa questo direta, simplesmente devemos encontrar a negao da proposio composta (P v ~Q) R. Para facilitar nossa vida, vamos chamar (P v ~Q) de A. Assim, devemos negar a proposio A R. A negao de uma conjuno p q ns j sabemos que ~p v ~q.

Assim, a negao de A R igual a (~A) v (~R).

Para chegar ao resultado final, basta agora encontrarmos quem ~A. Substituindo A por (P v ~Q), teremos que descobrir a negao dessa disjuno. J sabemos que a negao de p v q igual a ~p ~q. Assim, a negao de (P v ~Q) igual a ~P Q. Portanto, ~A v ~R igual a (~P Q) v (~R). Conclumos, ento, que o item est errado!

Vou resumir o que fizemos nessa questo: ~[(P v ~Q) R] (negao de uma conjuno, negamos as duas proposies e trocamos o e pelo ou)

~(P v ~Q) v ~R (em seguida, negamos a disjuno dentro dos parnteses, ou seja, negamos o P e o ~Q e trocamos o ou pelo e)

(~P Q) v ~R (Assim encontramos o resultado, que diferente do demonstrado no enunciado)

43 - (Polcia Militar/DF 2009 / CESPE) A negao da proposio O concurso ser regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB estar corretamente simbolizada na forma (~A) (~B), isto , O concurso no ser regido por este edital nem ser executado pelo CESPE/UnB.

Soluo:





Logo de incio j devemos identificar que a proposio O concurso ser regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB pode ser representada por A B, com A sendo O concurso ser regido por este edital e B sendo O concurso ser executado pelo CESPE/UnB. A negao do A B j sabemos que ~A v ~B, que na linguagem corrente fica O concurso no ser regido por este edital ou no ser executado pelo CESPE/UnB. Portanto, o item est errado!

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Voltando para a teroria...

Mais Equivalncias

Lei Associativa

(A B) C A (B C) (A v B) v C A v (B v C)

Essa propriedade, que vale apenas para a conjuno e para a disjuno, pode ser verificada por meio da tabela-verdade. Vamos demonstrar a propriedade para a conjuno:

A B C A B (A B) C B C A (B C) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F

O mesmo pode ser verificado para a disjuno (tente em casa!).

Lei Distributiva

A (B v C) (A B) v (A C) A v (B C) (A v B) (A v C)

Mais uma vez, a propriedade s vale para a conjuno e para a disjuno. Vamos demonstrar, por meio da tabela-verdade:





A B C B v C A (B v C) A B A C (A B) v (A C) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F

Dupla Negao

~(~A) A

Essa bem intuitiva. Vamos direto para a tabela-verdade:

A ~A ~(~A) V F V F V F

Equivalncias da Condicional

~A A A

Vamos direto para a tabela-verdade:

A ~A ~A A V F V F V F

A B ~A v B A B ~B ~A

Essas so as equivalncias mais importantes. Vamos demonstrar as duas com uma nica tabela-verdade:

A B ~A ~B A B ~A v B ~B ~A V V F F V V V V F F V F F F F V V F V V V F F V V V V V

Equivalncias da Bicondicional

A B (A B) (B A)





A B (A B) v (~A ~B)

Para concluir, as duas ltimas equivalncias:

A B A B B A A B (A B) (B A) V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V

A B ~A ~B A B ~A ~B A B (A B) v (~A ~B) V V F F V F V V V F F V F F F F F V V F F F F F F F V V F V V V

Agora, para fixar, vamos listar todas as equivalncias citadas acima:

(A B) C A (B C) (A v B) v C A v (B v C) A (B v C) (A B) v (A C) A v (B C) (A v B) (A v C) ~(~A) A ~A A A A B ~A v B A B ~B ~A A B (A B) (B A) A B (A B) v (~A ~B)

No preciso decorar essas equivalncias, pois todas elas podem ser demonstradas a qualquer momento. No entanto, na medida em que formos resolvendo as questes, iremos perceber que elas podem ser muito teis. Com o tempo, algumas dessas equivalncias sero decoradas por voc naturalmente. Isso far com que voc ganhe tempo na hora da prova.

Vamos s questes!!!

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44 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposio A B equivalente proposio ~B ~A.

Soluo:

Vamos relembrar o conceito de proposies equivalentes? So proposies compostas formadas pelas mesmas proposies simples e que possuem tabelas-verdade iguais. Assim, podemos ver que as duas proposies compostas da





questo A B e ~B ~A possuem as mesmas proposies simples A e B. Agora, falta saber se suas tabelas-verdade so iguais:

A B ~A ~B A B ~B ~A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Vemos que suas tabelas-verdade tambm so iguais. Portanto, as proposies so equivalentes. Item correto!

45 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) As proposies Se Mrio assessor de Pedro, ento Carlos cunhado de Mrio e Se Carlos no cunhado de Mrio, ento Mrio no assessor de Pedro so equivalentes.

Soluo:

Agora complicou! Que nada! Vamos passar para a linguagem simblica:

Frase 1: Se Mrio assessor de Pedro, ento Carlos cunhado de Mrio

A: Mrio assessor de Pedro B: Carlos cunhado de Mrio

Frase 1: A B

Frase 2: Se Carlos no cunhado de Mrio, ento Mrio no assessor de Pedro

Frase 2: ~B ~A

Portanto, a questo est afirmando que A B equivalente a ~B ~A. Lembrando o conceito de proposies equivalentes, So proposies compostas formadas pelas mesmas proposies simples e que possuem tabelas-verdade iguais. Percebemos que as proposies simples so as mesmas (A e B). Agora, basta construir a tabela-verdade:

A B ~A ~B A B ~B ~A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Percebemos que suas tabelas-verdade tambm so iguais. Portanto, as proposies so equivalentes. Item correto!

A B

~B ~A





E ento, j decorou essa equivalncia?

p q ~q ~p

Essa, talvez, seja a mais importante. Com o passar do tempo voc ver como ela se repete!

46 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Supondo que A simboliza a proposio Alice perseguiu o Coelho Branco e B simboliza a proposio O Coelho Branco olhou o relgio, a proposio Se o Coelho Branco olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco equivalente proposio O Coelho Branco no olhou o relgio ou Alice no perseguiu o Coelho Branco.

Soluo:

Vamos comear organizando as informaes:

A: Alice perseguiu o Coelho Branco B: O Coelho Branco olhou o relgio

Proposio 1: Se o Coelho Branco olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco

Proposio 1: B ~A

Proposio 2: O Coelho Branco no olhou o relgio ou Alice no perseguiu o Coelho Branco

Proposio 2: ~B v ~A

Vamos, agora, construir a tabela-verdade e verificar se as proposies so equivalentes:

A B ~A ~B B ~A ~B v ~A V V F F F F V F F V V V F V V F V V F F V V V V

Olhando as duas ltimas colunas da tabela, vemos que as proposies so equivalentes. Portanto, o item est correto!

47 - (Banco da Amaznia - 2010 / CESPE) A sentena como hoje o alarme no foi acionado, ento Jos no foi ao banco e os sensores no estavam ligados logicamente equivalente a se Jos foi ao banco ou os sensores estavam ligados, ento hoje o alarme foi acionado.





Soluo:

Mais uma questo bem parecida com as que vimos agora. Vamos comear passando as proposies para a linguagem simblica:

A: Hoje o alarme no foi acionado B: Jos no foi ao banco C: Os sensores no estavam ligados

como hoje o alarme no foi acionado, ento Jos no foi ao banco e os sensores no estavam ligados

A (B C)

se Jos foi ao banco ou os sensores estavam ligados, ento hoje o alarme foi acionado

(~B v ~C) ~A

Assim, deveremos verificar se

A (B C) (~B v ~C) ~A

Poderamos simplesmente construir a tabela-verdade e verificar essa informao. Ocorre que temos 3 variveis, o que necessitaria de uma tabela com 8 linhas (lembra que o nmero de linhas igual a 2n, onde n o nmero de variveis?). Assim, existe uma forma mais simples de resolver esta questo. Vamos olhar com mais cuidado para a equivalncia:

A (B C) (~B v ~C) ~A

Olhando com mais ateno para o termo destacado em azul:

(~B v ~C) = ~(B C)

Assim, podemos reescrever a equivalncia da seguinte forma:

A (B C) ~(B C) ~A

Chamando B C de K, temos:

A (K) ~(K) ~A

Que uma equivalncia j demonstrada anteriormente. Se voc no lembrar dela na hora da prova, basta construir a tabela-verdade e verificar o que demonstramos aqui. Portanto, o item est correto!

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Continuando com a teoria, vamos aprender mais algumas simbologias e sua aplicao na lgica.

Lembram quando eu disse na aula passada que era possvel transformar sentenas abertas em proposies com a utilizao de quantificadores? Pois , isso ns veremos agora!

J sabemos que a expresso x + 5 = 10 uma sentena aberta (tambm chamada de funo proposicional), e, portanto, no considerada uma proposio, j que ela possui um elemento (o x) que no permite sabermos se verdadeira ou falsa. Mas se eu disser que existe x tal que x + 5 = 10. Ser que agora poderemos atribuir um valor lgico a essa sentena? Claro que sim! E esse valor lgico V, j que realmente existe x (nesse caso x = 5) que torna a sentena verdadeira.

Mas como representamos simbolicamente esses quantificadores?

Os principais quantificadores so representados da seguinte forma:

: (l-se: existe; existe pelo menos um; existe um) : (l-se: para todo; qualquer que seja; para cada) |: (l-se: existe s um; existe um e um s; existe s um) (este aparece muito pouco em concurso)

Assim, para transformar a sentena aberta x + 5 = 10 em proposio, adicionamos um quantificador e representamos assim:

( x)(x + 5 = 10): (l-se: existe x tal que x mais cinco igual a dez)

Nesse caso, o valor lgico dessa proposio verdadeiro, pois para x = 5, x + 5 = 10.

Ou ento:

( x)(x + 5 = 10): (l-se: para todo x, temos que x mais cinco igual a dez)

Nesse caso, o valor lgico falso, pois para x = 4 (por exemplo), x + 5 10.

preciso saber tambm, a negao desses quantificadores. Vejamos:

- A negao de existe... que ... () todo... no ... (). - A negao de todo... ... () existe... que no ... ().

Portanto, a negao de existe ... que ... dada por todo ... no ... e a negao de todo ... ... dado por existe ... que no ....





Aqui, podemos introduzir o conceito que o Cespe utiliza para a Lgica de Primeira Ordem. Alguns de vocs podem j ter estudado bastante este assunto e vero que no estou aprofundando nada dele. Eu retirei de uma prova do prprio Cespe o que a banca considera suficiente sabermos sobre este assunto:

Na lgica de primeira ordem, uma proposio funcional quando expressa por um predicado que contm um nmero finito de variveis e interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando so atribudos valores s variveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposio Para qualquer x, tem-se que x 2 > 0 possui interpretao V quando x um nmero real maior do que 2 e possui interpretao F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.

Vejam que basicamente o que acabamos de ver.

Vamos ver umas questes para tentar melhorar o entendimento.

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48 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) A negao da proposio existe um tringulo equiltero e no issceles pode ser escrita como todo tringulo equiltero issceles.

Soluo:

Este item pede que verifiquemos se a negao da proposio existe um tringulo equiltero e no issceles pode ser escrita como todo tringulo equiltero issceles.

Vimos que a negao do existe ... que ... dada por todo ... no .... Assim, vamos negar a proposio utilizando esse formato:

A: existe um tringulo equiltero e no issceles

Reescrevendo essa frase para facilitar o entendimento, temos:

A: existe um tringulo equiltero que no issceles

Assim, a negao fica da seguinte forma:

~A: todo tringulo equiltero issceles.

Trocamos o existe ... que por todo... no . Como a proposio original j afirmava que ...no , ao negarmos o no, acabamos com a afirmao .......

Comparando o enunciado da questo com o que encontramos, podemos afirmar que essa questo est correta!





49 - (TRT - 2008 / CESPE) Considerando que P seja a proposio Todo jogador de futebol ser craque algum dia, ento a proposio ~P corretamente enunciada como Nenhum jogador de futebol ser craque sempre.

Soluo:

Organizando as informaes, temos:

P: Todo jogador de futebol ser craque algum dia

A questo pede que verifiquemos se a negao de P a proposio Nenhum jogador de futebol ser craque sempre.

Podemos observar que temos uma proposio com aquelas expresses todo, existe, etc. O P afirma que Todo jogador de futebol ser craque algum dia. Vimos que a negao de todo... ... dado por existe ... que no .... Assim, a negao de P dado por:

~P: Existe jogador de futebol que no ser craque algum dia.

Observe que a questo tenta lhe induzir ao erro com o termo algum dia, para que voc pense que ter que negar essa parte da proposio tambm. O importante perceber que o algum dia d apenas o momento em que a ao ir acontecer. como se a negao de vai chover hoje fosse vai chover amanh. Perceberam? So informaes diferentes que no so excludentes entre si. Portanto, o item est errado!

50 - (EMBASA - 2009 / CESPE) A negao da afirmao Todas as famlias da rua B so preferenciais Nenhuma famlia da rua B preferencial.

Soluo:

Mais uma questo que pede apenas a negao de uma proposio com o quantificador Todo. Vimos que para negar uma proposio do tipo todo... ... fazemos existe... que no .... Assim,

A: Todas as famlias da rua B so preferenciais ~A: Existe famlia da rua B que no preferencial

Assim, dizer que Existe famlia da rua B que no preferencial no o mesmo que dizer Nenhuma famlia da rua B preferencial. Portanto, o item est errado.

51 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Julgando-se como V a proposio Alguns textos contm erros de impresso, ento tambm ser julgada como V a proposio Todos os textos contm erros de impresso.





Soluo:

O que esta questo est dizendo que sempre que a proposio Alguns textos contm erros de impresso for verdadeira, a proposio Todos os textos contm erros de impresso tambm ser verdadeira. Intuitivamente percebemos que essa questo errada, pois alguns no o mesmo que todos. Vamos demonstrar com um exemplo.

Suponhamos que o total de textos seja dez e que dois desses dez textos contenham erros de impresso. Assim, a afirmao alguns textos contm erros de impresso ter valor lgico verdadeiro e a afirmao Todos os textos contm erros de impresso ter valor lgico falso. Com isso, podemos concluir que esta questo est errada.

52 - (BB - 2007 / CESPE) A proposio funcional Para qualquer x, tem-se que x2 > x verdadeira para todos os valores de x que esto no conjunto .

Soluo:

Nessa questo, devemos observar se TODOS os elementos do conjunto

21

,2,23

,3,25

,5 satisfazem a proposio Para qualquer x, tem-se que x2 > x, ou

seja, se os elementos tornam a proposio verdadeira. Para isso, vamos testar cada elemento:

Testando x = 5

x2 > x 52 > 5 25 > 5 (verdadeiro)

Testando x = 25

x2 > x 2

25

>

25

425

> 25

425

> 4

10 (verdadeiro)

Testando x = 3

x2 > x 32 > 3 9 > 3 (verdadeiro)





Testando x = 23

x2 > x 2

23

>

23

49

> 23

49

> 46

(verdadeiro)

Testando x = 2

x2 > x 22 > 2 4 > 2 (verdadeiro)

Testando x = 21

x2 > x 2

21

>

21

41

> 21

41

> 42

(falso)

Portanto, nem todos os elementos do conjunto

21

,2,23

,3,25

,5 satisfazem a

proposio, o que torna o item errado.

53 - (BB - 2007 / CESPE) A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

Soluo:

Bom, nessa questo, devemos verificar se existe algum elemento do conjunto que torne a proposio Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira. Para a proposio ser verdadeira, necessrio que o nmero seja divisvel por 2 e por 3, ou seja, deve ser divisvel pelos dois nmeros. Vamos checar cada elemento do conjunto:





2: S divisvel por 2 3: S divisvel por 3 9: S divisvel por 3 10: S divisvel por 2 15: S divisvel por 3 16: S divisvel por 2

Portanto, no h nenhum elemento do conjunto que torne a proposio verdadeira. Item errado.

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Vimos, at agora, as proposies do tipo se Marcos ... ento Pedro ... ou ento (A v B) C. Ocorre que as proposies tambm podem aparecer na forma de expresses matemticas, por exemplo: Se X > 0 ento X R. E ento, se eu pedir para vocs me falarem a negao dessa proposio, como fica? Calma, que eu explico!

bem simples, da mesma forma que fizemos quando tnhamos as sentenas na linguagem corrente, faremos para as expresses matemticas: passaremos tudo para a linguagem simblica. Vamos ao nosso exemplo:

Proposio: Se X > 0 ento X R (l-se se X maior do que zero, ento a raiz quadrada de X pertence ao conjunto dos nmeros reais)

Batizando as proposies simples, temos:

A: X > 0 B: X R

Assim, estamos diante de uma proposio A B. Para encontrar o resultado da negao dessa proposio, fazemos:

~(A B) = A ~B

O A continua o mesmo, resta saber qual a negao do B ( X R). Como voc negaria essa proposio se ela lhe fosse apresentada na linguagem corrente? Isso mesmo: a raiz quadrada de X no pertence ao conjunto dos nmeros reais. Agora s escrever isso na forma de uma expresso matemtica:

~B: X R

Assim, a negao de Se X > 0 ento X R dado por:

X > 0 e X R





No simples? Pois , o que pode dificultar voc no se lembrar desses smbolos utilizados na matemtica. Vou apresentar uma tabela para ajudar vocs a se lembrarem.

Smbolo Significado Smbolo da Negao Significado = Igual Diferente > Maior que Menor ou igual que < Menor que Maior ou igual que Pertence No pertence Est contido No est contido

Vamos s questes!

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54 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A negao da proposio 2 + 5 = 9 a proposio 2 + 5 = 7.

Soluo:

Bom, essa questo bem direta: Devemos saber a negao de uma expresso matemtica 2 + 5 = 9. Para entendermos melhor a negao dessa proposio, vamos escrev-la em linguagem corrente dois mais cinco igual a nove. Como negamos esta afirmao? Isso mesmo, dois mais cinco no igual a nove. Voltando para o formato matemtico, e lembrando que dizer que algo no igual o mesmo que dizer que algo diferente, temos:

A: 2 + 5 = 9 ~A: 2 + 5 9.

Portanto, a questo est errada.

55 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) A negao da proposio (x)(x + 3 = 25) pode ser expressa corretamente por (x)(x + 3 25).

Soluo:

Mais uma vez, vamos organizar as informaes:

A: (x)(x + 3 = 25) (l-se: existe x tal que x mais trs igual a vinte e cinco)

Vimos que podemos negar o existe...que ... afirmando que todo ... no ....

Primeiro vamos tentar negar o A utilizando a linguagem corrente:

A: existe x tal que x mais trs igual a vinte e cinco





~A: para todo x, x mais trs no igual a vinte e cinco

Assim, vamos verificar o que a questo est informando que a negao de A:

(x)(x + 3 25) (l-se: para todo x, x mais trs diferente de vinte e cinco)

Ora, comparando a forma como negamos o A com a forma que foi apresentada a negao do A na questo, podemos perceber que se trata da mesma afirmao, pois dizer que A no igual a B o mesmo que dizer que A diferente de B. Logo, o item est correto!

Por hoje s. Um grande abrao, e no se esqueam de resolver as questes propostas. A resoluo delas ser apresentada na prxima aula.





5 - Questes comentadas nesta aula

35 - (Polcia Militar/DF - 2009 / CESPE) A proposio (A B) (A v B) uma tautologia.

36 - (SERPRO - 2008 / CESPE) A proposio (A B) (~A v B) uma tautologia.

37 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposio ~(A v B) (~A) v B uma tautologia

38 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposio A Constituio brasileira moderna ou precisa ser refeita ser V quando a proposio A Constituio brasileira no moderna nem precisa ser refeita for F, e vice-versa.

39 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) Se A, B, C e D so proposies, em que B falsa e D verdadeira, ento, independentemente das valoraes falsa ou verdadeira de A e C, a proposio A v B C D ser sempre verdadeira.

40 - (Polcia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negao da proposio ter inabilidade de lidar com a raiva e apresentar depresso ter habilidade de lidar com a raiva ou no apresentar depresso.

41 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposio Carlos juiz e muito competente tem como negao a proposio Carlos no juiz nem muito competente.

42 - (Polcia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negao da proposio (P v ~Q) R (~P v Q) (~R).

43 - (Polcia Militar/DF 2009 / CESPE) A negao da proposio O concurso ser regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB estar corretamente simbolizada na forma (~A) (~B), isto , O concurso no ser regido por este edital nem ser executado pelo CESPE/UnB.

44 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposio A B equivalente proposio ~B ~A.





45 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) As proposies Se Mrio assessor de Pedro, ento Carlos cunhado de Mrio e Se Carlos no cunhado de Mrio, ento Mrio no assessor de Pedro so equivalentes.

46 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Supondo que A simboliza a proposio Alice perseguiu o Coelho Branco e B simboliza a proposio O Coelho Branco olhou o relgio, a proposio Se o Coelho Branco olhou o relgio, ento Alice no perseguiu o Coelho Branco equivalente proposio O Coelho Branco no olhou o relgio ou Alice no perseguiu o Coelho Branco.

47 - (Banco da Amaznia - 2009 / CESPE) A sentena como hoje o alarme no foi acionado, ento Jos no foi ao banco e os sensores no estavam ligados logicamente equivalente a se Jos foi ao banco ou os sensores estavam ligados, ento hoje o alarme foi acionado.

48 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) A negao da proposio existe um tringulo equiltero e no issceles pode ser escrita como todo tringulo equiltero issceles.

49 - (TRT - 2008 / CESPE) Considerando que P seja a proposio Todo jogador de futebol ser craque algum dia, ento a proposio ~P corretamente enunciada como Nenhum jogador de futebol ser craque sempre.

50 - (EMBASA - 2009 / CESPE) A negao da afirmao Todas as famlias da rua B so preferenciais Nenhuma famlia da rua B preferencial.

51 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Julgando-se como V a proposio Alguns textos contm erros de impresso, ento tambm ser julgada como V a proposio Todos os textos contm erros de impresso.

52 - (BB - 2007 / CESPE) A proposio funcional Para qualquer x, tem-se que x2 > x verdadeira para todos os valores de x que esto no conjunto .

53 - (BB - 2007 / CESPE) A proposio funcional Existem nmeros que so divisveis por 2 e por 3 verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

54 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A negao da proposio 2 + 5 = 9 a proposio 2 + 5 = 7.





55 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) A negao da proposio (x)(x + 3 = 25) pode ser expressa corretamente por (x)(x + 3 25).





6 - Questes para praticar! A soluo ser apresentada na prxima aula

56 - (MPS - 2009 / CESPE) Considerando as proposies P, Q e R e os smbolos lgicos: ~ (negao); v (ou); (e); (se ..., ento), correto afirmar que a proposio ~((~P) R) ~(P (~Q)) uma tautologia.

57 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) A proposio (A v B) [(~A) (~B)] sempre falsa.

58 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposio A (~B) ~(A B) uma tautologia.

59 - (MPS - 2010 / CESPE) Considerando as proposies P e Q e os smbolos lgicos: ~ (negao); v (ou); (e); (se, ... ento), correto afirmar que a proposio (~P) Q (~P) v Q uma tautologia.

60 - (Escrivo-PF - 2009 / CESPE) Independentemente dos valores lgicos atribudos s proposies A e B, a proposio [(A B) (~B)] (~A) tem somente o valor lgico F.

61 - (Banco da Amaznia - 2010 / CESPE) A negao da proposio se Paulo est entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, ento Lusa tem mais de 30 anos se Paulo no est entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, ento Lusa no tem mais de 30 anos.

62 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) As proposies na forma ~(A B) tm exatamente trs valores lgicos V, para todos os possveis valores lgicos de A e B.

63 - (TRT - 2009 / CESPE) A negao da proposio O juiz determinou a libertao de um estelionatrio e de um ladro expressa na forma O juiz no determinou a libertao de um estelionatrio nem de um ladro.

64 - (TER/ES - 2009 / CESPE) A negao da proposio A presso sobre os parlamentares para diminuir ou no aprovar o percentual de reajuste dos seus prprios salrios est corretamente redigida na seguinte forma: A presso sobre os parlamentares para no diminuir e aprovar o percentual de reajuste dos seus prprios salrios.

65 - (MPE/RR - 2008 / CESPE) Considere as seguintes proposies.





A: Jorge briga com sua namorada Slvia. B: Slvia vai ao teatro.

Nesse caso, independentemente das valoraes V ou F para A e B, a expresso ~(A v B) correspondente proposio C: Jorge no briga com sua namorada Slvia e Slvia no vai ao teatro.

66 - (Polcia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negao da proposio havia um caixa eletrnico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue mulher de Gavio. logicamente equivalente proposio No havia um caixa eletrnico em frente ao banco ou o dinheiro no foi entregue mulher de Gavio.

67 - (MPS - 2009 / CESPE) A negao da proposio Pedro no sofreu acidente de trabalho ou Pedro est aposentado Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro no est aposentado.

68 - (MPS - 2009 / CESPE) A negao da proposio O carto de Joana tem final par ou Joana no recebe acima do salrio mnimo O carto de Joana tem final mpar e Joana recebe acima do salrio mnimo.

69 - (TRT - 2009 / CESPE) As proposies (~A) v (~B) e A B tm os mesmos valores lgicos para todas as possveis valoraes lgicas das proposies A e B.

70 - (MPE/RR - 2008 / CESPE) Se A e B so proposies, ento ~(A B) tem as mesmas valoraes que [(~A) (~B)] [(~B) (~A)].

71 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) As proposies A (~B) (~C) e ~[(A (B v C)] tm os mesmos valores lgicos, independentemente dos valores lgicos das proposies A, B e C.

72 - (Escrivo-PF - 2009 / CESPE) As proposies [A v (~B)] (~A) e [(~A) B] v (~A) so equivalentes.

73 - (Polcia Civil/ES - 2010 / CESPE) A proposio se havia um caixa eletrnico em frente ao banco, ento o dinheiro ficou com Gavio; logicamente equivalente proposio Se o dinheiro no ficou com Gavio, ento no havia um caixa eletrnico em frente ao banco.





74 - (Escrivo-PF - 2009 / CESPE) Se A for a proposio Todos os policiais so honestos, ento a proposio ~A estar enunciada corretamente por Nenhum policial honesto.

75 - (Banco da Amaznia - 2010 / CESPE) Dizer que todas as senhas so nmeros mpares falsa, do ponto de vista lgico, equivale a dizer que pelo menos uma das senhas no um nmero mpar.

76 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) Se a proposio A B v C F, ento a proposio (A B) v (A C) V.

77 - (Polcia Civil/CE - 2012 / CESPE) A negao da proposio Toda pessoa pobre violenta equivalente a Existe alguma pessoa pobre que no violenta.

78 - (Polcia Civil/CE - 2012 / CESPE) A negao da proposio Se houver corrupo, os nveis de violncia crescero equivalente a Se no houver corrupo, os nveis de violncia no crescero.

79 - (Polcia Civil/CE - 2012 / CESPE) Considerando que Jorge no seja pobre, mas pratique atos violentos, correto afirmar que Jorge um contraexemplo para a afirmao: Todo indivduo pobre pratica atos violentos.

(Texto para a questo 80) Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia eltrica na sua repartio, o gestor mandou instalar, nas reas de circulao, sensores de presena e de claridade natural que atendem seguinte especificao:


Acerca dessa situao, julgue o item seguinte.

80 - (TCDF - 2012 / CESPE) A negao da especificao P logicamente equivalente proposio A luz no permanece acesa se, e somente se, no h movimento ou h claridade natural suficiente no recinto.





7 - Gabarito

35 - C 36 - C 37 - C 38 - C 39 - E 40 - C 41 - E 42 - E 43 - E 44 - C 45 - C 46 - C 47 - C 48 - C 49 - E 50 - E 51 - E 52 - E 53 - E 54 - E 55 - C 56 - C 57 - C 58 - C 59 - C 60 - E 61 - E 62 - C 63 - E 64 - C 65 - C 66 - E 67 - E 68 - C 69 - E 70 - E 71 - C 72 - C 73 - C 74 - E 75 - C 76 - E 77 - C 78 - E 79 - E 80 - E

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