Bab 6 BebanTekuk

58

BAB VI BEBAN TEKUK

PendahuluanBatang yang menerima gaya tekan pada posisi horisontal, vertikal dan miring

disebut strut. Strut yang vertikal disebut kolom. Jika kolom menerima beban yangsejajar panjang batang atau tegak lurus luas penampang batang maka beban tersebutdisebut beban tekuk.

Sebuah batang yang berupa kolom jika menerima beban tekuk maka batangtersebut akan melengkung, hingga patah.

Pada bab ini akan dibahas mengenai beban tekuk yang menyebabkan sebuahkolom melengkung.

6.1. Tegangan TekanJika kolom diameternya d, panjangnya l1 (relatif pendek menerima gaya tekan

F, maka tegangan yang terjadi, tegangan tekan, secara matematis ditulis :p = F/A .......................................................................... (6.1)

Jika diameter dan gayanya tetap, tetapi panjangnya diganti menjadi l2 dan l3,dimana l2 lebih panjang dari pada l1, dan l3 jauh lebih panjang dari pada l1, makategangan yang terjadi tidak akan sama dengan tegangan tekan. Tegangan yangterjadi disebut tegangan tekuk.

Gambar 6.1. Beban tekuk

Tegangan tekuk dipengaruhi oleh angka kerampingan (), dan angkakerampingan dipengaruhi oleh panjang kolom dan jari-jari girasi. Besarnya angkakerampingan dan jari-jari girasi dinyatakan dengan rumus berikut.

59

=gr

L............................................................................... (6.2)

rg = AI

............................................................................. (6.3)

Keterangan: : Angka kerampingan L : Panjang kolom ekuivalen (mm)rg : Jari-jari girasi (mm) I : Inersia (mm4) A : Luas

6.2. Teori EulerEuler menganalisa kolom panjang yang menerima beban tekuk, dengan cara

mengabaikan tegangan tekan. Pada kolom yang pendek tegangan tekan tidak bolehdiabaikan. Di dalam konstruksi ada 4 jenis keadaan antara lain :

- ujung yang satu berbentuk jepit dan yang lain bebas.- kedua kolom ujungnya berbentuk engsel.- ujung yang satu berbentuk jepit yang lain engsel.- kedua ujungnya berbentuk jepit.

Untuk memudahkan penganalisaan, jika kolom berbentuk cekung makatandanya positif, dan jika kolom berbentuk cembung maka tandanya negatif.6.2.1. Kolom Berkondisi Jepit Bebas

Kolom AB dengan panjang l, ujung yang satu dijepit (di A) dan ujung yangmenerima gaya sebesar F (lihat gambar 6.4.).

Untuk mengenalnya, ditinjau titik X, jaraknya x dari A. Lenturan pada titiktersebut sebesar, sedangkan lenturan di titik B sebesar a. Besarnya momen di titik X:

Mx = F (a y) ................................................. (6.4) (cekung)Pada rumus lenturan terdapat bahwa :

E I 22

dxyd

= Mx .................................................. (6.5)

Gambar 6.2. Konstruksi Kolom

Gambar 6.3. Kolom cekungdan cembung

60

Sehingga persamaan 6.5 menjadi:E I d2y/dx2 = F (a y)E I d2y/dx2 = F a F y

d2y/dx2 = yIE

FIEaF

y + yIE

F=

IEaF

y + 0 y + yIE

F=

IEaF

............. (6.6)

Persamaan ini merupakan persamaan linier tingkat dua tidak homogen, dankonstantanya tidak sama dengan nol. Besarnya konstanta pada persamaan tersebut :

Q (x) = F a/E I ............................................... (6.7)Jawaban umum = Jawaban PD homogen + PD tidak homogen

d2y/dx2 + yIE

F= 0........................................ (6.8)

Penyelesaiannya dengan cara mengumpamakan :y = erx, dideferensialkan menjadi :dy/dx = r erx, dideferensialkan lagi menjadi :d2y/dx2 = r erx r = r2 erx ............................ (6.9)

Sehingga persamaan 6.9 menjadi :

r2 erx + 0eIE

F rx

erx r2 + 0 r + 0eIE

F rx ................................. (6.10) (pers dalam r)Menentukan harga r, dengan rumus ABC :

D = b2 4 ac = 02 4 erx rxeIE

F

D = negatif D < 0

Karena D < 0, maka akar-akarnya imajiner.Himpunan penyelesaiannya :

r1 = + i r2 = i

Atau jawaban umumnya :r1 = C1 e ( + i) r2 = C2 e ( i)

Gambar 6.4. Kolom jepit bebas

61

Jika jumlah kedua akarnya dimisalkan y, jumlah kedua akarnya adalah :y = r1 + r2y = C1 e ( + i) x + C2 e ( i) x = C1 ex . e i x + C2 ex e (-i) x

= ex ( C1 e i x + C2 e(- i x) )....................................(6.11)Menurut De Moivre (lihat aljabar bilangan imajiner) bahwa besarnya :

eai = cos a + i sin a ................................................. (6.12)= cis a ( cosinus imajiner )

Jadi : C1 eix = C1 (cos x + i sin x) (6.13)C2 e(-ix) = C2 { cos (-x) + i sin (-x) } ....................(6.14)

Besarnya : cos ( -x ) = cos x dan sin ( -x ) = - sin xSehingga persamaan 6.14 menjadi :

C2 e(-ix) = C2 ( cos x i sin x ) .............................(6.15)Bagian dari persamaan 6.11 menjadi :

C1 (cos x + i sin x) + C2 (cos x i sin x)

C1 cos x + C1 sin x + C2 cos x C2 sin x(C1 + C2) cos x + (C1 C2) i sin x .......................(6.16)C1 + C2 diumpamakan AC1 C2 diumpamakan B

Persamaan 6.16, menjadi :C1 eix + C2(-ix) = A cos x + B i sin x

y = ex {C1 eix + C2e(-ix)}y = ex (A cos x + B i sin x) ................................(6.17)

Persamaan 6.8 :

y + 0 y +IE

F y = 0

y1.2 = 2EI/F.1.400 2

y1 = 0 + iEI/F y2 = 0 - iEI/F y = i

1 = 2 = 0.....................................................................(6.18)1 = IE/F .................................................................(6.19)2 = - IE/F ...............................................................(6.20)

62

Persamaan 6.17 menjadi :y = e0 x (A cos x + B sin x i)

y = A cos IE/F x + B sin IE/F x i

Jadi penyelesaian PD homogennya :Dari persamaan 10.6 :

y = A cos ( IE/F ) x + B sin ( IE/F ) x .............(6.21)Penyelesaian PD tak homogen :

d2y/dx2 + yIE

F=

IEaF

............................................(6.22)

Diumpamakan :

y =IEaF

x, dideferensialkan menjadi :

dy/dx =IEaF d2y/dx2 = 0

Persamaan 6.22 menjadi :

0 +IEaF

IEIE xaFF x =

FIE

.........................(6.23)

y =FIEIEaF y = a .............................(6.24)

Penyelesaian umum, PD tak homogen yaitu penyelesaian PD homogen (persamaan10.21) ditambah dengan penyelesaian PD homogen (persamaan 6.24)

y = A cos EI/F x + B sin EI/F x + a ...............(6.25)Menentukan konstanta A dan BUntuk x = 0, atau di titik A, y = 0

0 = A cos 0 + B sin 0 + a

0 = A 1 + B 0 + a A = - a ....................... (6.26)Untuk x = 0, atau di A, dy/dx = 0

dy/dx = A(-sin EI/F x) EI/F + B (cos EI/F x) EI/F0 = A sin 0 EI/F + B cos 0 . EI/F

0 = B B = 0 ......................... (6.27)

63

Jadi persamaan 6.25 menjadi :y = -a cos EI/F x + 0 + a

y = -a cos EI/F x + a ........................................... (6.28)Untuk x = l, y = a di titik B

a = -a cos EI/F l + a

cos EI/F l = 0 dari 0 s/d

EI/F l = arc cos 0 = /2 (dikuadratkan)

F/EI l = 2/4

F = 22

l)(2IE

..............................................................(6.29)

Jika L panjang kurva penuh atau panjang ekuivalen, makaL = 21......................................................................(6.30)

Persamaan 10.29 menjadi :

F = 22

LIE

.............................................................(6.31)

Keterangan : F : Beban kritis (N) E : Modulus elastisitas (N/mm2)I : Momen inersia minimum (mm4) l : Panjang batang (mm)L : Panjang ekuivalen (mm)

6.2.2. Kolom Berkondisi EngselengselSebatang kolom AB pada kedua ujungnya

dipasang engsel-engsel, panjangnya l, menerimagaya sebesar F. Untuk menganalisanya, ditinjaupada titik X yang jaraknya x dari A. Besarlenturan titik X adalah Y.Untuk keadaan seperti itu, besarnya momen di titik X itu ialah :

Mx = - F y (cembung) .............................................(6.32)E I d2y/dx2 = - Fy E I d2y/dx2 + F y = 0E I y + 0 y = 0 ......................................................(6.33)

Penyelesaian umum dari PD ini :

y = A cos F/EI B sin F/EI x ...........................(6.34)

Gambar 6.5. Kolom engsel-engsel

64

Menentukan konstanta A dan BJika x = 0, atau di titik A, y = 0

0 = A cos 0 + B sin 0

0 = A A = 0 ...................................(6.35)Untuk x = l, atau di titik B, y = 0

0 = 0 cos F/EsinBlF/EI lB sin 1F/EI = 0 B = 0, atau sin EI/F l = 0....(6.36)

EI/F l = arc sin 0, batas antara /2 s/d 3/2

EI/F l = jika dikuadratkan : F/EI l2 = 2

F = 22

)l(IE

...............................................................(6.37)

Jika dinyatakan dalam panjang ekuivalen (L), panjang kurva penuh (L), samadengan panjang batang (l), sehingga persamaan 6.37 menjadi :

F = 22

LIE

..............................................................(6.38)

Keterangan :

F : Gaya/beban kritis (N) E : Modulus elastisitas (N/mm2)I : Momen inersia (N/mm2) l : Panjang kolom (mm)L : Panjang ekuivalen (mm)

6.2.3. Kolom Berkondisi Jepit-jepitSebatang kolom AB panjangnya l, dijepit di

kedua ujungnya. Kolom menerima gaya sebesar F,karena ujungnya jepit maka mampu menahanmomen sebesar Mo (lihat gambar 6.6).

Untuk menganalisa, dilihat titik X, yangjaraknya x dari titik A. Lenturan di titik X tersebutsebesar y. Karena kondisi jepit maka pada ujung-ujungnya terdapat momen.Besarnya momen di titik X :

Mx = Mo F y .................................................. (6.39)

Gambar 6.6. Kolom jepit-jepit

65

(cekung) (cembung)E I d2y/dx2 = Mo F yE I y + F y = Mo ............................................... (6.40)


y = A cos EI/F x + B sin EI/F x + Mo/F.........(10.41)Menentukan A dan B :Jika x = 0, atau di titik A, maka y = 0

0 = A cos 0 + B sin 0 + Mo/F = A + Mo/F

A = -Mo/F ...............................................................(10.42)Jika x = 0, atau di titik A, maka dy/dx = 0Persamaan 10.41 dideferensialkan menjadi :

dy/dx = -A. EI/F .sin EI/F x + B EI/F .cos EI/F x ........... (6.43)0 = - A . EI/F sin 0 + B EI/F cos 0

B EI/F = 0 B = 0 dan EI/F tidak sama dengan 0.

Sehingga persamaan menjadi :

y = F/EIsinF

Mo x + 0 + Mo/F...........................(6.44)Jika x = l, atau di titik B, y = 0

0 = Mo/F.(1 sin EI/F l)1 sin EI/F l = 0

sin EI/F l = 1 .......................................................(6.45)EI/F l = arc sin 1 = 2 (dikuadratkan)

F/EI l2 = 42

F = 22

(1/2)IE

..............................................................(6.46)

Pada kolom jepit-jepit, panjang kurva penuh (L) besarnya sama dengan setengahpanjang batang (1/2).

F = 22

LEI

....................................................................(6.47)

66

6.2.4. Kolom Kondisi Jepit-EngselSebuah kolom AB planjangnya l, ujung

yang satu dijepit dan ujung yang lain engsel. Padatumpuan engsel mampu menahan gaya dua arah(Lihat gambar 6.7)

Untuk menganalisanya, dilihat titik X,jaraknya x dari A. Besarnya momen di titik Xyaitu :

Mx = Fh ( l x ) F y ........... (6.48)E I d2y/dx2 + F y = Fh ( l x ) ...............................(6.49)


y = A.cos EI/F x + B.sin EI/F x + Fh.(l x)/F ............(6.50)Menentukan A dan B : Jika x = 0, atau di titik A, maka y = 0 Sehingga pers. 6.50jadi:

0 = A cos 0 + B sin 0 + Fh l/FA = - Fh l / F ...........................................................(6.51)

Persamaan 6.50 dideferensialkan menjadi :dy/dx = -A. EIF / .sin EI/F x + B. EI/F .cos EI/F x =

= -F h / F ................................................................. (6.52)Jika x = 0, atau di titik A, maka y = 0, Sehingga persamaan 6.52 menjadi :

0 = F h l / F EI/F sin 0 + B EI/F cos 0 Fh/F

B =F

IEFFh

.......................................................... (6.53)

Persamaannya 10.50 menjadi :

y =F

)xl(F xF/EIcos

IEF

FF

xF/EIsinF

lF hhh ... (6.54)

Untuk x = 1, atau di titik B, y = 0

0 = 0lF/EIcosIE

FFFlIF/Esin

FlF hh

tg 1 EI/F = l EI/F ............................................. (6.55)Misal : tg z = z z = 4,49 dibulatkan menjadi z = 4,5

Gbr. 6.7 Kolom jepit-engsel

67

Jadi :

l EI/F = 4,5 (dikuadratkan)

IEFl2

= 20,25 = 2.2,05

F =2

2

)2,05 /(1IE

= 2

2

l)(0,7IE

.................................... (6.56)

Panjang kurva penuh pada kolom jepit engsel ad/ 0,7 panjang kolom atau L = 0,7 l

F = 22

LIE

.............................................................. (6.57)

Rumus Euler berlaku untuk kolom panjang, dengan kata lain Rumus Eulerberlaku untuk > 120.

Untuk kolom pendek ( < 30 ), tegangan yang terjadi tegangan tekan biasa.

Untuk kolom menengah 30 120 tegangan yang terjadi ditentukan berdasarkan

empiris.

6.3. Tegangan Tekuk Batang MenengahUntuk kolom yang angka kerampingannya 30 120, tegangan kerja yang

terjadi ditentukan secara empiris. Menurut Chicago Building Code, rumusnyadisebut rumus linier (straight line formula)

w = 112 0,47 (MPa) ......................................... (6.58)Keterangan :

w : Tegangan kerja (MPa) : Angka kerampinganMenurut American Institut Steel Construction (AISC), rumusnya disebut

rumus parabolik.w = 119 0,0034 ()2 ........................................... (6.59)

Contoh soal :

1. Sebuah kolom baja berpenampang pipa. Diameter luarnya 8 cm, tebalnya 1 cm,dan panjangnya 4 m. Kolom tersebut dijepit pada kedua ujungnya.Tentukan : a. Panjang ekuivalen (L)

b. Angka kerampingannya ()c. Simpulkan, termasuk kolom panjang, pendek atau menengah

68

Penyelesaian :

Diketahui : Kolom, kedua ujungnya jepitl = 4 m = 4.000 mm

d0 = 8 cm = 80 mmt = 1 cm = 10 mm

Ditanyakan : a.

b. Lc. simpulkan

Jawab :Untuk kondisi jepit-jepit :L = 0,5 l = 0,5 4.000 = 2.000 mm

I = )dd(64

41

40 = )6080(64

44 = 13.73750 mm4

A = /4 )dd( 2120 = /4 (802 602) = 2.194 mm2

rg =A/I

=194.2/750.373.1

= 25 = L/rg = 2.000/25 = 80

Karena (angka kerampingan), terletak antara 30 s/d 120 maka termasuk kolom

menengah.

2. Sebuah batang penggerak, diameternya 90 mm, pada kedua ujungnya di engsel.Panjang batang penggerak 1.000 mm. Tentukan : Tegangan kerja yang terjadi.Penyelesaian :

Diketahui : d = 90 mml = 1.000 mmKondisi engsel-engsel

Ditanyakan :

Tegangan kerja maksimumJawab :

I = /64 904 = 3.218.990,625 mm4

A = /4 902 = 6.358,5 mm2

rg = A/I = 5,358.6/625,990.218.3 = 22,5

= L/rg

69

Karena engsel-engsel, maka L = 1 = 1.000 mm

= 1000/22,5 = 44,44Karena 30 44,4 120, maka tegangan kerja maksimum yang diijinkan

(menurut CBC)w = 112 0,47 = 112 0,47 44,44 = 91,1 MPa

3. Sebuah pipa panjangnya 4 m, diameter luarnya 4 cm, diameter dalmnya 2,5 cm.Pipa tersebut digunakan sebagai kolom yang kedua ujungnya dijepit. Moduluselastisitas bahan pipa 2 105 MPa.Tentukan : a. Gaya kritis

b. Gaya yang diijinkan jika angka keamanan ditentukan 5.Penyelesaian :

Diketahui : d0 = 40 mmd1 = 25 mml = 4.000 mm

v = 5Kedua ujung jepit-jepit.

Ditanyakan : a. F

b. FJawab :

L = 0,5 l = 0,5 4.000 = 2.000 mmI = /4 (402 252) = 243,75 mm2

rg = A/I = 75,243/48,896.33 = 11,8 = L/rg = 2.000/11,8 = 169,5Karena > 120, maka berlaku rumus Euler

F = 22

LIE

= 2

52

2.00033.896,48102

= 52.470,32 N

F = F/v = 52.470/5 = 10.494,07 N

70

6.4. PenutupSelesaikan soal-soal berikut ini:1. Sebuah kolom baja pipa, kedua ujungnya dilas. Diameter luarnya 8 cm, diameter

dalamnya 7 cm. Panjang kolom tersebut 4 m, dan modulus elastisitasnya 2,1 105N/mm2. Ditanyakan : Beban maksimum pada kolom tersebut.

2. Sebuah batang penggerak diameternya 60 mm, kedua ujungnya diengsel.Panjang batang penggerak 750 mm. Bahan batang penggerak dari baja 42dengan modulus elastisitas 2 105 MPa. Tentukan : Tegangan maksimum yangdiijinkan.

3. Dua buah kolom masing-masing berpenampang pejal dan pipa. Diameter luardan panjang kedua kolom sama. Pada kolom pipa diameter luar 2 kali diameterdalam. Tentukan : Perbandingan gaya maksimum yang diperbolehkan, apabilakolom dianggap memenuhi Euler.

4. Batang penggerak (baja 52) mesin gergaji, dengan modulus Elastisitas 2,1.105MPa. Menerima beban sebesar 1.000 N. Kedua ujung batang penggerak diengsel. Tentukan : Diameter batang penggerak jika penampangnya lingkarandan angka keamanan ditentukan 5.

5. Mesin pres tangan kapasitas 12.000 N. Kedudukan panjang ulir maksimum 400mm. Bahan batang dari St 42, dengan kekuatan tarik maksimum 420 MPa, danmodulus elastisitas 2 105 MPa. Angka keamanan ditentukan 5. Tentukan :diameter batang ulir

Documents

Bab 6 BebanTekuk