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A T h r e e - D i m e n s i o n a l M o d e l f or t h e S i m u l a t io no f S h e l f S e a D y n a m i c sJ a n O . B a c k h a u s

UD C 551.465.11

S u m m a r yA t h r e e - d i m e n s i o n a l b a r o c l i n i c p r i m i t i v e e q u a t i o n m o d e l b a s e d u p o n a s e m i -i m p li ci t n u m e r i c a l s c h e m e i s d e v e l o p e d . T h e s c h e m e i s e s se n t ia l ly i n d e p e n d e n t o f th es t r i n g e n t s t a b i l i t y c r i t e r i a v a l i d f o r e x p l i c i t s c h e m e s . T h i s f a v o u r s i t s a p p l i c a t i o n a s ab a r o c l i n i c e d d y - r e s o l v i n g m o d e l ; i n th i s c a se t h e o n l y s ta b i li ty l i m i t a t io n w i ll c o n c e r ni n t e r n a l g r a v i t y w a v e s . I m p l i c it a l g o r i t h m s a r e a p p l i e d f o r e a c h s p a c e c o o r d i n a t e ;t h e y e n t e r i n t h e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e e x t e r n a l g r a v i ty w a v e s a n d t h e v e r ti c al s h e a rs tr es s. F u r t h e r , a st a b le s e c o n d o r d e r a p p r o x i m a t i o n i n th e t i m e d o m a i n is i n t r o d u c e df o r t h e C o r i o l is a n d p r e s s u re g r a d i e n t t e r m s i n t h e e q u a t i o n o f m o t i o n . I n c o n t r a s t t ot h e m o s t c o m m o n l y a p p l i ed e x p li ci t sh e l f s e a m o d e l s t h e s c h e m e p r o p o s e d h a s tw oe s s e n t i a l a d v a n t a g e s : a ) i t i s a b o u t f a c t o r 5 f a s t e r ; b ) i t a l l o w s t h e s i m u l a t i o n o fo c e a n / s h e l f d y n a m i c s b y in c l u d i n g in th e m o d e l a r e a d e e p o c e a n r e g i o n s w i t h o u tb e i n g l i m i t e d b y s t a b il i ty c o n s i d e r a t i o n s f o r th e f r e e s u r f a c e . T h e m o d e l t h u s o f f e r st h e s i m u l a t i o n o f a w i d e r r a n g e o f p r o c e s s e s r e l e v a n t f o r s h e l f s e a s. T h i s is d e m o n -s t r at e d b y a s i m u l a t i o n o f l o w - f r e q u e n c y c u r r e n t s c o v e r i n g a p e r i o d o f h a lf a y e a r.

E i n d r e i d i m e n s i o n a l e s M o d e l l z u r S im u l a t i o n v o n S c h e l f m e e r - P r o z e s s e n( Z u s a m m e n f a s s u u g )

E i n d r e i d i m e n s i o n a l e s b a r o k l i n e s M o d e l l , b a s i e re n d a u f d e n p r im i t i v e n ( F l a c h -w a s s e r- ) G l e i c h u n g e n , w u r d e e n t w i c k e l t. D a s V e r f a h r e n i st w e i t g e h e n d u n a b h f i n g igv o n d e n e i n s c h r f i n k e n d e n S t a b i li t ~ t sk r i t e ri e n , d i e f ii r e x p l iz i te V e r f a h r e n g e l t e n , d aw e i t g e h e n d i m p l i z i t e A l g o r i t h m e n v e r w e n d e t w e r d e n . M i t d i e s e r E i g e n s c h a f t i s t e sf f i r d e n E i n g a t z a l s b a r o k l i n e s w i r b e l a u f l 6 s e n d e s M o d e l l g e e i g n e t ; i n d i e s e m F a l lb e t r i f f t d i e e i n z i g e S t a b i l i t ~ i t s e i n s c h r f i n k u n g d i e A p p r o x i m a t i o n i n t e r n e r G r a v i t a -t io n s w e l l en . I m p l i zi t e V e r f a h r e n w e r d e n i n a l le n d r e i R a u m k o o r d i n a t e n a n g e w e n d e t ;s i e b e t r e f f e n s o w o h l d i e A p p r o x i m a t i o n l a n g e r O b e r f l ~ i c h e n w e l l e n a l s a u c h d i e d e rv e r t i k a l e n ( i n t e r n e n ) S c h u b s p a n n u n g e n . W e i t e r h i n w i r d f ti r d i e C o r i o li s - u n d f f ir d i eD r u c k g r a d i e n t - T e r m e i n d e r B e w e g u n g s g l e i ch u n g e in e s ta b il e A p p r o x i m a t i o n z w e i-t e r O r d n u n g i n d e r Z e i t -D o m f i n e e i n g ef ii h rt . I m G e g e n s a t z z u d e n in S c h e l f m e e r -M o d e l l e n n o c h w e l t v e r b r e i t e t e n e x p l iz i te n V e r f a h r e n b i e t e t d a s h i e r v o r g e s t el l te i mw e s e n t l i c h e n z w e i V o r z t i g e : a ) e s i s t e t w a u r n F a k t o r 5 s c h n e l l e r ; b ) e s e r l a u b t d i eS i m u l a t i o n v o n O z e a n / S c h e l f - P r o z e s s e n d u r c h d ie E i n b e z i e h u n g t ie f e r O z e a n - R e g i o -n e n i n s M o d e l l g e b i e t , o h n e d u r c h S t a b i l it M s u n t e r l a g e n f /i r d i e f r e i e O b e r f l f i c h ee i n g e s c h r f i n k t z u s e i n . D a s M o d e l l b i e t e t d a h e r d i e S i m u l a t i o n e i n e s e r w e i t e r t e nS p e k t r u m s v o n P r o z e s s e n , d i e f fi r S c h e l f m e e r e r e l e v a n t s i n d. D i e s e s w i rd d u t c h e i n eS i m u l a t i o n n i e d e r f r e q u e n t e r S t r 6 m u n g e n d e m o n s t r i e r t , d i e d e n Z e i t r a u m e in e s h a l -b e n J a h r e s u m f a g t .

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166 D t .hyd rog r . Z . 38 , 1985 . H . 4 . B a c k h a u s , Three -d im ens iona l m ode lU n m o d u l e t r i d i m e n s i o n n e l p o u r s i m u l e r l a d y n a m i q u e o c ~ a n i q u e s u r l e p l a te a uc o n t in e n t a l ( R 6 s u m ~ )

I1 e s t d 6 c r it u n m o d 6 1 e t r i d i m e n s i o n n e l b a r o c l i n e f o n d 6 s u r u n s y s t 6 m e n u m d -r i q u e s e m i - i m p l i c it e f i 6 q u a t i o n s i n t d g r 6 e s. L e s y s t 6 m e e s t d a n s u n e l a r g e m e s u r ei n d 6 p e n d a n t d u c o n t r a i g n a n t c r i t 6 re d e s ta b i li t6 d e s s y s t6 m e s e x p l ic i te s . C e c i p e r m e td e l 'u t i li s e r p o u r d 6 c r i r e l es m o u v e m e n t s t o u r b i l l o n n a i r e s b a r o c l i n e s p o u r l e sq u e l s las e u l e c o n t r a i n t e d e s t a b i l i t 6 c o n c e r n e l e s o n d e s d e g r a v i t 6 i n t e r n e s . D e s a l g o r i t h m e si m p li ci te s s o n t a p p l i q u d s ~ c h a c u n e d e s t r oi s c o o r d o n n d e s e s p a c e e t p e r m e t t e n td ' 6 v a l u e r a u s s i b i e n l e s o n d e s d e g r a v i t6 e x t e r n e s q u e l a f o r c e v e r t i c a l e d e c i s ai ll e-m e n t . D e p l u s, d a n s l '6 q u a t i o n d u m o u v e m e n t , l es t e r m e s d e s e c o n d o r d r e d el 'a c c 6 1 d r a ti o n d e C o r i o l i s e t d u g r a d i e n t d e p r e s s i o n s o n t c o n s id 6 r 6 s c o m m e c o n s t a n t sd a n s l e t e m p s . P a r r a p p o r t a u x m o d 6 1 e s e x p l ic i te s le s p l u s c o u r a m m e n t a p p l i q u 6 s s u rl e p l a t e a u c o n t i n e n t a l , l e s y s t 6 m e p r o p o s 6 o f f r e d e u x a v a n t a g e s e s s e n t ie l s: a ) il e s te n v i r o n 5 lo i s p l u s r a p i d e ; b ) i l p e r m e t l a s im u l a t i o n d e l a d y n a m i q u e o c 6 a n / p l a t e a uc o n t i n e n ta l e n t e n a n t c o m p t e d a n s l e m o d 6 1 e d e s r 6g i o n s o c 6 a n i q u e s p r o f o n d e s s a n s6 t r e t e n u p a r d e s c o n s i d 6 r a t i o n s d e s t a b i l i t 6 d e l a s u r f a c e l i b r e . C ' e s t a i n s i q u e l em o d 6 1 e p e r m e t l a si m u l a t io n d ' u n e g a m m e p l u s 6 t e n d u e d e p r o c e s s u s re l at if s a u xm e r s d e s p l a t e a u x c o n t i n e n t a u x . C e c i es t v 6 r if i6 p a r u n e s i m u l a t i o n , s u r u n e p 6 r i o d ed e 6 m o i s , d e s c o u r a n t s g b a s s e f r d q u e n c e .

L i s t o f s y m b o l sA 1 , A 2 , A 3A vB + CCa , b , cc i~ 9 . . ~C9dfFghh *IklLmnP (z)P ' ( ~ )rStA tT ~ , T 2T~,T~

a u x i l i a r y e x p r e s s i o n s i n ( 3 . 1 ) a n d ( 4 . 1 )v e r t i c a l e d d y v i s c o s it y c o e f f i c i e n tr i g h t h a n d s i d e o f s y s t e m ( 5 )p e r t u r b a t i o n t e r m i n (5 )c o e f f i c i e n t s i n v e r t i c a l i m p l i c i t s y s t e m ( 1 3 )c o e f f i c ie n t s i n h o r i z o n t a l i m p l i c i t s y s t e m ( 5 )r i g h t h a n d s i d e o f s y s t e m ( 1 3 )C o r i o li s p a r a m e t e rf r i c ti o n f u n c t i o na c c e l e r a ti o n d u e t o g r a v i t yl a y e r t h i c k n e s sa u x i l i a r y e x p r e s s i o n f o r c o e f f i c i e n t s c i n ( 5 )I n t e r n a l ( b a r o cl in i c ) p r e s s u r e c o m p o n e n ti t e r a t i o n i n d e x in S O R i t e r a t i o n ( 12 )s p a c e i n d e x a l o n g z c o o r d i n a t e ( l a y e r i n d e x )n u m b e r o f m o d e l - l ay e r sa u x i l ia r y i n d e x f o r i n t e r n a l p r e s s u r e i n t e g r a l ( 1 7 )t i m e - l e v e l i n d e xp r e s s u r e a t d e p t h za i r - p r e s s u r e a n o m a l yb o t t o m f ri ct io n p a r a m e t e rf r ic t io n f r e q u e n c yt i m e - a x i st i m e - s t e p( 2 x 2 ) C o r i o l i s r o t a t i o n m a t r i c e s i n ( 3)i n t e r im - s o l u t i o n o f ( 3 )

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Dt . hydro gr . Z .38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , Th ree -d imen s iona l m ode l 167( s , v ) ,( & r(0 , e ) ,( u , v )Wx , y , zA x , A y , A z( x , g )a,/3, yeoe 'O3

72rlTL+I

N o t e : a l l s t r e s s e s

d e p t h m e a n t r a n s p o r t i n l a y er lt o t a l d e p t h m e a n t r a n s p o r t i n (2 )t r a n s p o r t a t ti m e - l e v e l n i n (7 )t o t a l d e p t h m e a n t r a n s p o r t i n (9 )v e r t ic a l c u r r e n t c o m p o n e n t i n (2 .1 )e a s t - , n o r t h - , d o w n - c o o r d i n a t e si n c r e m e n t s a l o n g (x , y , z ) c o o r d i n a t e sf u r t h e r ( o p t i o n a l ) t e r m s i n ( 3 ) a n d ( 7 )e l e m e n t s o f r o t a t i o n m a t r i ce s T I , T2a c t u a l d e n s i t y = f (x, y, z, 0r e f e r e n c e d e n s i t y , c o n s t .d e n s it y a n o m a l y = f (x , y , z, 0r e l a x a t io n p a r a m e t e r i n S O R i t e ra t i o n ( 1 2)c ir c le n u m b e rw i n d s t re s sv e r t i c a l s h e a r s t re s s a t l a y e r i n t e r f a c e sb o t t o m s tr e sss u r f a c e e l e v a t i o ng i v e n a b o v e a n d i n t h e t e x t a r e n o r m a l i z e d b y th e r e f e r e n c e d e n s it y

1 I n t r o d u c t i o nP r e s e n t e s t im a t e s o f l o w f r e q u e n c y c u r r e n t s i n s h e lf se a s, d e r i v e d b y m e a n s o f d e t e r m i -n i st ic m o d e l s , u s u a l l y a r e b a s e d o n s t a t i o n a r y c i r c u l a t i o n p a t t e r n s . T h e s e e s t i m a t e s r e l y o nt h e a s s u m p t i o n t h a t t h e a t m o s p h e r i c f o r c i n g c a n b e r e p r e s e n t e d b y it s n e t - e f f e c t o n l y . T h u s ,

a s ta t i o n a r y m o n t h l y o r s e a s o n a l , o r e v e n a n n u a l c i rc u l a ti o n is o b t a i n e d b y p r e sc r ib i n g t h ea p p r o p r i a t e m e a n o f th e a t m o s p h e r i c f o r c in g . T h e v a l id i ty o f t hi s a s s u m p t i o n a n d i tsc o n s e q u e n c e s o n t h e a b o v e e s t im a t e s h a s a s y e t n o t b e e n v e r i fi e d ; p o s si b ly f o r r e as o n s o fe c o n o m y , b e c a u s e t h e a v a i l a b l e e x p l i c i t m o d e l s w o u l d h a v e n e e d e d a c o n s i d e r a b l e c o m p u -t in g e f f o r t t o s i m u l a t e a p e r i o d o f se v e r a l m o n t h s . S i n ce t h e b e h a v i o u r o f t h e a t m o s p h e r e isf a r f r o m b e i n g s t a t i o n a r y , a n d t h e p r o c e s s e s i n a s h a l l o w s e a b e i n g f a r f r o m l i n e a r , t h e r e i sr e a s o n f o r d o u b t t h a t t h e p r e s e n t e s t i m a t e s a r e r e a li st ic .

H o w e v e r , a p re c i s e a n d d e t a il e d k n o w l e d g e o f lo w f r e q u e n c y c u r r e n t s is n e c c e s s a r y f o rt h e d e t e r m i n a t i o n o f th e h e a t b u d g e t o f th e s e a , a n d f o r q u e s t io n s o f c l im a t o l o g y . E s p e c i a ll yi n c o a s ta l se a s , e a s il y a c c e s si b l e t o h u m a n i m p a c t , q u e s t i o n s c o n c e r n i n g w a t e r p o l l u t i o na n d / o r t h e a n a ly s is o f t h e m a r i n e e c o - s y s t e m n e e d r e li a b le i n f o r m a t i o n o n c u r r e n t s a n dd i s p l a c e m e n t s o f w a t e r m a s s e s . I t i s d i f fi c u lt , i f n o t i m p o s s i b l e t o o b t a i n t h is i n f o r m a t i o no n l y f r o m t h e p r e s e n t l y a v a il a b le o b s e r v a t i o n s b e c a u s e o f t h e o f t e n l a ck i n g s y n o p s is a n di n s u f f ic i e n t s p a t i a l a n d t e m p o r a l d e n s i t y . O b v i o u s l y t h e r e i s a n e e d f o r a m o d e l , w h i c ha l lo w s t o s i m u l a t e e c o n o m i c a l l y l o w f r e q u e n c y p r o c e s s e s w i th c h a r a c t e r i s t ic t i m e s c a l e s t h a ta r e w e l l a b o v e t h o s e o f t id a l a n d s y n o p t i c s c a le a t m o s p h e r i c d i s t u r b a n c e s .B e s i d e s t h e n e t , r e s i d u a l e f f e c t o f t h e t i d e t h e s e l o w - f r e q u e n c y c u r r e n t s a r e p r i m a r i l yg e n e r a t e d b y th e f o r c i n g o f t h e t r a n s i e n t a t m o s p h e r e a n d b y t h e a d v e c t i o n o f d e n s e w a t e rm a s s e s f r o m t h e o c e a n . T h e b r a c k i s h w a t e r s u p p ly f r o m t h e c o a s t l ea d s t o a c o n s i d e r a b l eh o r i z o n t a l d e n s i t y g r a d i en t a n d h e n c e t o d e n s it y - i n d u c e d c u r r en t s o f r e m a r k a b l e m a g n i t u d e .T h e i n f l u e n c e o f t o p o g r a p h y a n d f r i c t i o n a l d i s si p a t io n a t t h e s e a b e d i s s t r o n g . T h e c l o s ed i s ta n c e b e t w e e n t h e s u r f a c e a n d t h e b o t t o m E k m a n - l a y e r s ( t h e y e v e n m i g h t o v e r l a p ) m a yl e a d t o p r o n o u n c e d c u r r e n t p r o f il e s, e v e n w h e n t h e w a t e r c o l u m n is w e l l m i x e d . L a r g e s c a le

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168 D t .hydro gr . Z .38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , Three -d imens iona l m ode lw i n d - i n d u c e d s e a- le v e l c h a n g e s , " W i n d s t a u " , a r e f a v o u r e d b y t h e s h a ll o w n e s s o f t h e s e a a n db y t h e p r e s e n c e o f la t e ra l b o u n d a r i e s . T h i s b a r o t r o p i c p r e s s u r e g r a d i e n t , w h i c h m i g h t h a v et h e s a m e s p a t i a l s ca l e as t h e s e a b a s i n , i s t h e m a i n f o r c i n g o f t h e c u r r e n t s a t d e p t h , n e a r t h eb o t t o m o f t h e s ea .T h e s i m u l a ti o n o f t h e a b o v e d e s c r i b e d p r o c e s s e s re q u i r e s a t h r e e - d i m e n s i o n a l b a r o c l in i cn o n - l i n e a r f re e su r f a ce m o d e l . F u r t h e r r e q u i r e m e n t s a r e a h i g h " s i m u l a t i o n - s p e e d " a n dg o o d s t a b i l i t y p r o p e r t i e s , i n o r d e r t o b e a b l e t o c o v e r s u f f i c i e n t l y l o n g s i m u l a t i o n - p e r i o d sw h i c h a r e n e e d e d t o r e so l v e l o w f r e q u e n c y c u r r e n t f l u c tu a t io n s .I n B a c k h a u s [ 1 9 8 3 a ] , f u r t h e r r e f e rr e d t o a s p a p e r A , a s e m i -i m p l ic i t v e r ti c al lyi n t e g r a t e d m o d e l i s d e s c r ib e d , i n w h i c h t h e t e r m s g o v e r n i n g t h e e x t e r n a l g r a v i t y w a v e s a r et r e a t e d b y a n im p l ic it a l g o ri t h m . A s a r e s u lt t h e n u m e r i c a l s c h e m e t u r n e d o u t t o b e m u c hf a s te r , b u t r e t a in i n g t h e s a m e a c c u r a c y th a n a c o m p a r a b l e e x p li ci t s c h e m e . T h e s a m ea p p r o a c h i s p u r s u e d h e r e , i n o r d e r t o o b t a i n a n u m e r i c a l s c h e m e f o r a t h r e e - d i m e n s i o n a lc i r c u l a t io n m o d e l w h i c h is e s s e n ti a l ly i n d e p e n d e n t o f t h e s t r i n g e n t s t a b il i ty l i m i t a t i o n s f o rt h e e x t e r n a l g r a v i t y w a v e s , a n d w h i c h t h e r e f o r e a ll o w s t o c o v e r e c o n o m i c a l l y s im u l a t i o n s f o rt im e - i n t er v a ls o f th e o r d e r o f s e ve r a l m o n t h s a s w ill b e d e m o n s t r a t e d .W i t h t h e i n t e n t i o n t o s u p p r e s s t h e d i s c r e t i z a t i o n e r r o r a r i s i n g w h e n a l a r g e t i m e - s t e p( l a r g e in c o m p a r i s o n t o a n e x p li c it s c h e m e ) i s u s e d , a s t a b l e s e c o n d o r d e r a p p r o x i m a t i o n i nt h e t i m e d o m a i n f o r t h e C o r i o li s a n d t h e p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s a n d a n im p l i ci t s c h e m e f o rt h e v e r ti c a l s h e ar s tr es s t e r m s a r e f u r t h e r i n t r o d u c e d i n th e e q u a t i o n o f m o t i o n .T h e n u m e r i c a l s c h e m e p r e s e n t e d h e r e w i ll c o n s t i t u t e a s y s t e m w h i c h a s a w h o l e iss e m i - i m p l ic i t, b e c a u s e s o m e s y s t e m c o m p o n e n t s a r e i m p l i c it , o t h e r s e x p l ic i t. I t i s m o r es o p h i s t i c a t e d t h a n a s t r a i g h t f o r w a r d e x p l i c it s c h e m e , b e c a u s e i m p l i c it t e c h n i q u e s a r e a p p l i e di n al l t h r e e s p a c e co o r d i n a t e s . H o w e v e r , t h e c o m p l e x i t y o f t h e m o d e l - s c h e m e is t h e p r i ce w ep a y f o r t h e p u r p o s e i t is d e s i g n e d f o r .

2 Th e governing equ at ionsI n t h e f o l lo w i n g o n l y t h o s e e q u a t i o n s o f th e b a r o c l in i c f re e - s u r f ac e m o d e l a r e g i v e n ,

w h i c h w i l l e n t e r t h e s e m i - i m p l i c i t n u m e r i c a l s c h e m e p r o p o s e d h e r e . T h e s e a r e t h e s h a l l o ww a t e r e q u a t i o n s . S i n c e t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y f o r h e a t a n d s a lt is w e l l k n o w n , a n d s i n c ei t is a p p r o x i m a t e d b y a n e x p li ci t s c h e m e w e d o n o t n e e d t o c o n s i d e r i t h e r e . H o w e v e r w i thr e s p e c t t o t h e d e s c r i p t i o n o f t h e n u m e r i c a l s c h e m e a s a w h o l e i t w i ll b e c o n s i d e r e d i n t h en e x t c h a p t e r .F o r t h e p r e s s u r e f i e l d i n c o m p r e s s i b i l i t y a n d h y d r o s t a t i c e q u i l i b r i u m i s a s s u m e d , i n c o r -p o r a t i n g t h e B o u s i n e s q a p p r o x i m a t i o n . A t t h e s e a s u r f ac e a n d b o t t o m r e s p e c t iv e l y , k in e -m a t i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d q u a d r a t i c s tr e ss t e rm s a r e a p pl ie d . A t o p e n b o u n d a r i e s t h es e a l e v e l o r t h e f l o w m u s t b e p r e s c r i b e d . T h e u s u a l n o - f l u x c o n d i t i o n is u s e d a t c l o s e d l a te r a lb o u n d a r i e s . S i m il ar b o u n d a r y c o n d i t io n s a p p l y f o r t h e t e m p e r a t u r e a n d s a li n it y fi el ds . I td e p e n d s o n t h e te r m s r e p r e s e n t e d b y ( X , Y ) i n t h e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 1 ) w h e t h e r f u r t h e rb o u n d a r y c o n d i t io n s a r e n e c e s s a r y to c lo s e t h e p r o b l e m . T h e t e r m s ( X , Y ) m a y c o n t a i n , f o re x a m p l e , t h e a d v e c t i v e t e rm s a n d / o r t h e h o r i z o n t a l d i ff u s io n te r m s . T h e y w i ll n o t b ed i s c u s s e d h e r e , n o r i n t h e f o l l o w i n g c h a p t e r , b e c a u s e t h e y d o n o t t o u c h t h e d e s c r i p t i o n o ft h e i m p l i ci t s y st e m c o m p o n e n t s .T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n ( 1 ) a n d c o n t i n u i ty ( 2 ) a r e v e r ti c a ll y i n t e g r a t e d o v e r a d e p t h -r a n g e h, a c c o r d i n g t o a c o m p u t a t i o n a l m o d e l l a y e r o f t h e s a m e t h i ck n e s s . D u e t o th ei n t e g r a t io n v e r ti c al d e r iv a t iv e s a r e r e d u c e d t o a v e r ti c al d i f f e r e n c e , d e n o t e d b y t h e s y m b o lA . T h e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 1) r ea d s :

O - f h [ ~ p / ~ x A~x~( V ) + ( f O ) ( U ) + ~ \ ~ p / ~ y ) = ( y X ) + ( A ~ y / (1 )~ t

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D t .hyd rog r . Z . 38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , Three -d im ens iona l mo de l 171

e x p r e s s i o n s t h e ( u p p e r ) i n d e x f o r t h e t im e - l e v e l n is o m m i t t e d f o r t h e s a k e o f c l a r it y a n d t h ef u t u r e t i m e - l e v e l n + 1 is a b b r e v i a t e d t o ( 1 ). A s a l r e a d y m e n t i o n e d t i m e - c e n t e r e d e x p r e s-s i o n s a r e i n d i c a t e d b y t h e i n d e x ( 1 /2 ).( U ) ( , 1 ) = / ~ , (m ) r xT l ( V ) l - ( h ) i T 2 ( g O l t ~ : ) + ( ~ : ) l ) + A ' ( ( X ) l - ~ - ( ~ . ~ y ) ; 1 /2 , ( 3 )

fw ith T1 (- = ( _ , ~ ) ,a- /3 a ) ' an d T 2 1 / f [3 Y3

w h e r e f i s t h e C o r i o l is p a r a m e t e r a n d A t t h e t i m e - s t e p ; t h e e l e m e n t s o f th e r o t a t i o n m a t r ic e s7"1 a n d T a, r e s p e c t i v e l y a r e g i v e n b y : a = c o s ( f A t ) , /3 = s i n ( f A t ) , g = ( l - a ) . F o r t h is" C o r i o l i s - r o t a t i o n " s t a b il it y w i ll b e m a i n t a i n e d , w h e n f A t - - < = , w h e r e = is t h e c i r c le n u m b e r .T h i s c r i t e r i o n w i ll h a v e a l im i t i n g e f f e c t o n t h e t i m e - s t e p o n l y a t v e r y h i g h l a t i tu d e s w h e r e fi s l a rge .T h e p r e s s u r e is s e p a r a t e d i n t o i ts e x t e r n a l ( b a r o t r o p i c) c o m p o n e n t g o 1 ~ ( g is t h ea c c e l e r a t i o n d u e t o g r a v i t y , 0 1 t h e d e n s i t y o f t h e s u r f a c e la y e r , ~ t h e s u r f a c e e l e v a t i o n ) , a n di n i ts i n t e r n a l ( b a r o c l i n ic ) c o m p o n e n t L A d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e s e p a r a t i o n a n d t h ea p p r o x i m a t i o n o f t h e p r e s s u r e i s g i v e n in s e c t io n 3 . 5 . E x p r e s s i o n s w h i c h s y m b o l i z e p r e s s u r eg r a d i en t s ( w i t h o u t r e f e r ri n g t o a s p e ci fi c g r i d - d e p e n d e n t a p p r o x i m a t i o n ) a r e u n d e r l i n e d a n dt h e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n o f t h e g r a d i e n t i s i n d i c a t e d .

I II II i+ d "| x | N

% i

1 . 0 " x |II S W S iII II o 7 9 8 ,

. . . . 4 . . . . . . . . . . .t II I

Ix t ~y , N E

E

III

IX I1I3 1+

X

6

4 X

S E

,lo 9

III

IIII

III

- - [4y1

Fig. la . Ho rizon ta l d is t r ibut ion of gr id-points in the C-grid . D ashe d lines separa te the gr id-poin tt ripe ls den o ted by the s ame ' comp ass - rose ' index . Th e num bers 1 to 9 co r re spo nd to the ind ices o fthe coe f f i c ien t s c in sys tem (5 ) , which a re cen te red a round the cen t re p re s sure g r id -po in t + .Gr id -po in t symbols : + p res sure P , su r face e leva t ion ~ ; x eas t (U) com pon en t o f t ranspor t ;O nor th (V) com pon en t . G r id - inc rements a long eas t and nor th axi s Ax , A y

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1 7 2 D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 98 5. H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l

~ X

h l

h l

Z: l + X +

o

z - 1 + X +

Z + X +

- - s e a s u r f a c e

- - s e a s u r f a c e a t r e s t

~ - - - t o p l a y e r

m N 9

s h e a r s t r e s s l e v e l s/UI

i- - m o d e l - l a y e r l

l + l + X + _ _ p r e s s u r e r e f e r e n c el e v e l

n i ~

h i XI=L + +7 -/7 "/ ~ / ~ r T - P / ,~ '/ ~ / A / 7 7 7 2 - - b o t t o m

u n d i s t u r b e d l a y e rd e p t h

~ xF i g. l b . V e r t i c a l a r r a n g e m e n t o f g r id - p o i n ts i n a x - z s e c t i o n ; h o r i z o n t a l a r r a n g e m e n t a s i nA r a k a w a C - g ri d. T h e v e r t ic a l in d e x l i s c o u n t i n g p o s i t i v e d o w n w a r d s . L is ( lo c a l) n u m b e r o f la y e rs .G r i d - p o i n t s y m b o l s : x e a s t ( U ) t r a n s p o r t c o m p o n e n t ; 9 v e r t ic a l c u r r e n t c o m p o n e n t w;+ p r e s s u r e P , d e n s i t y @; = s h e a r s t r e s s 3 .A m o d e l - l a y e r co v e r s t h e s p a c e b e t w e e n t w o a d j a c e n t s h e a r s t re s s l e v el s . D e v i a t i o n s f r o m u n d i s t u r -b e d l a y e r th i c k n e s s h a r e i n d i c a t e d f o r t o p a n d b o t t o m l a y e r. N o t e t h e p r e s s u r e l e v e l i n l a y e r L i nr e l a t i o n t o l o c a t i o n o f b o t t o m ( s e e s e c t io n 3 . 5)

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D t .hyd rog r . Z . 38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , Three -d im ens iona l m ode l 173

, t

n + l , ~ , U , Vn + l / 2 . T , S I Q ]n ~ ~, U,V

n -I /2 , T , S IQ~

Fig. lc . A rra ng em en t of t ime-levels for the impl ic it ( levels n and / l + 1) , and for the explici t sys temcom pon en ts , wh ere the l a t te r c once rn the ba roc l in ic fi elds ( level s n -1 /2 and n + 1/2)

T h e e l e v a ti o n o f th e f r e e s u r f a c e ~ is o b t a i n e d f r o m t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e p r o g n o s t i ce q u a t i o n o f c o n t i n u i t y ( 2 .2 ) , i n c o r p o r a t i n g t i m e - c e n t e r e d h o r i z o n t a l d i v e r g e n c es o f t h e f l o wi n t e g r a t e d o v e r t h e e n t ir e w a t e r c o l u m n . T h e d e p t h - i n te g r a l is a p p r o x i m a t e d b y a s u m o v e ra l l m o d e l - l a y e r s L . T h u s , t h e t o t a l d e p t h m e a n f l o w (0, "(1) s r e p r e s e n t ed b y t h e s u m o v e rt h e i n d i v id u a l d e p t h m e a n f l ow ( t r a n s p o r t ) c o m p o n e n t s ( U , V )~ o f e a c h la y e r .

W i t h t h e i n d e x n o t a t i o n i n t r o d u c e d a b o v e t h e e q u a t i o n o f c o n ti n u i t y ( 2. 2) is a p p r o x i -m a t e d b y ( 4 ) :~(i) = ~ _ A t (_Ux + _f,y)W2) (4 )

D u e t o t h e im p l i c i t a l g o r i t h m s t i m e - c e n t e r e d e x p r e s s i o n s i n v o l v i n g t h e f u t u r e t i m e - l e v e ln + 1 a p p e a r i n t h e e q u a t i o n s o f m o t i o n ( 3 ) a n d o f c o n t i n u i t y ( 4 ) s i n ce b o t h , s u r f a c ee l e v a ti o n a n d t r a n s p o r t c o m p o n e n t s a r e d e f i n e d o n t h e s a m e t i m e - le v e ls .T h e i d e a o f t h e s e m i -i m p l ic i t s c h e m e f o r t h e f r e e s u r f ac e , o r i g in a l ly p r o p o s e d b yK u r i h a r a [1 96 5] a n d a l r e a d y a p p l i e d i n p a p e r A , is t o r e p l a c e i n ( 4 ) t h e d e p t h m e a nt r a n s p o r t c o m p o n e n t s ( 1 _ 7 ,17") d e f i n e d a t ti m e - l e v e l n + l b y d e p t h - i n t e g r a t e d e x p r e s s i o n sd e r i v e d f r o m ( 3 ), i n o r d e r t o o b t a i n a l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s f o r t h e s e a s u r f a c ee l e v a t i o n . T h u s , t h e p r o g n o s t i c e q u a t i o n ( 4 ) w i ll b e t r a n s f o r m e d i n t o a n e ll ip t ic p r o b l e m ( 5 ),i n o r d e r t o f i n d t h e s o l u t i o n f o r t h e s e a s u r f a c e e l e v a t i o n a t ti m e - l e v e l n + 1 . T h i s e l li p ti cp r o b l e m c o n s t it u t es t h e h o r i z o n t a l i m p l ic i t sy s t e m c o m p o n e n t ( se e s e c t io n 3 . 3 ).I n o r d e r t o d e m o n s t r a t e t h e p r in c i p le w a y t o o b t a i n t hi s s y s t em c o m p o n e n t f o r t h e f r e es u r f a c e w e a s s u m e t h a t t h e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 3 ) is v e r t ic a l l y i n t e g r a t e d w h i c h is i n d i c a t e db e l o w b y a n o v e r b a r ( a d e t ai l ed d e s c r i p ti o n o f t h e e q u a t i o n o f m o t i o n a n d i ts ve r ti c ali n t e g r a t i o n is g i v e n in s e c t i o n 3 .2 ) . W e f u r t h e r s e p a r a t e f o r t im e l e v el s n + 1 a n d n a n d a p p l yt h e r o t a t i o n o p e r a t o r T2 o n t h e e x t e r n a l p r e s s u r e g r a d i e n ts a n d w e o b t a i n t h e d e s i re dv e r t ic a l l y i n t e g r a t e d t r a n s p o r t c o m p o n e n t s U a n d 17" ( 3 .1 ) a t t im e - l e v e l n + 1 :

h ) g O l (1) ] I ~ 1 )) ~ - A 1= - ( - V ( # - < + -

l ) ( ~ ) = _ ( h - ~ - ~'(~) + fl~1))_ + A 2( 3 . 1 )

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174 Dt . hydrog r . Z . 38 , 1985 . H . 4 . B a c k h a u s , Three -d im ens iona l m ode lN o t e t h a t t h e f a c t o r 1 /2 i n (3 . 1 ) a r is e s f r o m t h e s e p a r a t i o n o f t h e t i m e - c e n t e r e d e x p r e s s i o n s ;b o t h t i m e - l e v e l s a r e w e i g h t e d b y t h i s f a c t o r . I n ( 3 . 1 ) a l l k n o w n e x p r e s s i o n s d e f i n e d a t , o rd e t e r m i n e d f r o m t im e - l e v e l n a re s y m b o l i z e d b y t h e v e c t o r ( A 1 , A 2 ) w h i c h e s s e n t i a l l yc o n t a i n s t h e e x p l i c i t s y s t e m c o m p o n e n t s . H o w e v e r , i t a l s o c o n t a i n s t h e v e r t i c a l s h e a r s t r e s st e r m s d e f i n e d a t t im e - l e v e l ( 1 /2 ) . T h e s e a r e n o t y e t k n o w n , b u t d u e t o t h e v e r ti c a l i n t e g r a t i o nt h e y a l l e x c e p t f o r t h e t o p a n d b o t t o m l a y e r a r e c a n c e le d . T h e l a tt e r e x c e p t i o n s r e f e r tob o u n d a r y c o n d i t i o n s a t t h e a i r/ se a a n d s e a / b o t t o m i n t er f a ce s w h i c h n e e d t o b e k n o w n ( f o rd e t a il s s e e c h a p t e r 3 . 2 ) . I t is t h e r e f o r e j u s t if i e d t o c o n s i d e r ( A 1 , A 2) a s a k n o w n v e c t o r .T h e n e x t s t e p i s t o i n s e r t ( 3 . 1 ) i n t o ( 4 ) . B u t f i r s t w e a g a i n s e p a r a t e i n t o t i m e - l e v e l s i n ( 4 )a n d a rr iv e a t ( 4 .1 ) , w h e r e a ll k n o w n t e r m s o n t i m e - le v e l n a r e s y m b o l i z e d b y t h e s c a l a rq u a n t i t y A 3:

A t [ -0 ) . . -A1)~ A t+ 2 \ - U ; t _ v y ] - - - - ~ - A 3 ( 4 . 1 )N o w , i n o r d e r t o a r r i v e a t t h e e ll ip t ic p r o b l e m ( 5 .1 ) f o r t h e s u r f a c e e l e v a t i o n ~ w e r e p l a c et h e h o r i z o n t a l d i v e r g e n c e t e r m s i n ( 4 . 1 ) b y ( 3 . 1 ) a n d a g a i n s e p a r a t e i n t o t i m e - l e v e l s :

A t / \( A 3 - ( A l x + A 2 y ) )2 \( 5 . 1 )

T h e h o r i z o n t a l im p l i ci t s y s te m c o m p o n e n t f o r t h e f r e e s u r fa c e w h i c h o r ig i n a ll y c o n t a i n e d t h eu n k n o w n s ( U , 12) a n d ~ a t t i m e - l e v e l n + 1 h a s t h u s e f f e c t iv e l y b e e n r e d u c e d t o a n i m p l i c its y s t e m f o r o n l y th e s c a l a r q u a n t i t y ~ .B y a p p l y i n g s u i t a b l e d i f f e r e n c e o p e r a t o r s ( d e p e n d i n g o n t h e c h o s e n g r i d l a t t i c e ) t oa p p r o x i m a t e t h e s p a t i a l d e r iv a t i v e s i n ( 5 .1 ) w e a r r i v e a t th e l in e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 5 )w h i c h i s t h e f in a l v e r s i o n o f o u r h o r i z o n t a l i m p l i ci t s y s t e m c o m p o n e n t .- - C l ~ (N I )W - - C 2 ~ ( 1 ) _ _ C 3 ~ ( N 1 ) E / _ _ C 4 ~ ( W ) _~ _ ( 1 - t- C 5 ) ~ ( 1 ) ( 5 )

- - C a ( ~ ) - - C 7 ( 2 W - - C ~ ( 2 - - C g ( 2 E = B + C

I t is ea s il y v e r i f i e d t h a t i n d e p e n d e n t l y o f t h e c h o s e n h o r i z o n t a l d i s c r e t i z a t i o n t h e s y s t e m( 5) w il l h a v e e i g h t o f f - d i a g o n a l e l e m e n t s s u r r o u n d i n g t h e m a i n d i a g o n a l e l e m e n t ( t h e c o r n e re l e m e n t s a r is e f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f t h e r o t a t i o n o p e r a t o r T 2). T h e i r p o s i t i o n w il l b e g i v e nr e l a t i v e t o t h e c e n t r e e l e m e n t w h i c h d o e s n o t c a r r y a n i n d e x . T h i s a r r a n g e m e n t i s i n d i c a t e di n (5 ) b y " r e la t i v e - i n d i c e s " , a d o p t e d f r o m t h e c o m p a s s - r o s e ( s e e a ls o F i g . l a ) . T h e c o e f fi c i-e n t s o f ( 5) h o w e v e r , d e p e n d o n t h e d i f f e r e n c e o p e r a t o r s a n d o n t h e n u m e r i c a l g ri d u s e d . I ns e c t i o n 3 .3 m o r e d e t a i ls a b o u t t h e s y s t e m ( 5 ) a n d i ts s o lu t i o n , a n d a n e x a m p l e f o r t h ec o e f fi c ie n t s i n t h e A r a k a w a C - g r i d a r e p r e s e n t e d .O n c e t h e s o l u t i o n o f ( 5 ) is o b t a i n e d t h e t i m e - c e n t e r e d b a r o t r o p i c p r e s s u r e g r a d i e n t s i n( 3) a r e k n o w n . T h e s a m e a p p li e s fo r t h e s o l u t io n o f th e e x p li ci t s y s t e m c o m p o n e n t s i n t h ee q u a t i o n o f m o t i o n ( 3 ). T h i s " i n t e r i m - s o l u t i o n " r e d u c e s ( 3 ) t o a ( l oc a l ) s y s t e m o f e q u a t i o n s( 6 ) d e f i n e d f o r t h e v e r t ic a l c o o r d i n a t e , a r i s in g f r o m t h e i m p l i c it a p p r o x i m a t i o n o f t h e s h e a rs t re s s t e rm s . T h i s is th e v e r t i ca l i m p l i c it s y s t e m c o m p o n e n t ( f o r it s s o l u t i o n s e e s e c t i o n 3 . 4 ) .

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Dt . hydro gr . Z . 38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , T hree -d imen s iona l mo de l 175I n ( 6 ) t h e v e c t o r ( T x , T y) r e p r e s e n t s t h e a b o v e m e n t i o n e d " i n t e r im - s o l u t io n " o f (3 ). T h es o l u t i o n o f ( 6 ) t h u s p r o v i d e s t h e f in a l s o l u t i o n o f th e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 3) . T h i s st e pc o m p l e t e s t h e s e q u e n c e o f o p e r a t i o n s n e e d e d t o o b t a i n a s o l u ti o n o f th e s e m i - im p l i ci ts y s t e m f o r t h e p r i m i t i v e e q u a t i o n s . A s a l r e a d y i n d i c a t e d a b o v e t h is s e q u e n c e i s f o l l o w e d b ya n e x p l i c i t s t e p t o u p d a t e t h e b a r o c l i n i c f i e l d s ; t h i s c o m p l e t e s t h e o p e r a t i o n s n e e d e d t oa d v a n c e o n e t i m e - s t e p o f t h e e n t i r e n u m e r i c a l s c h e m e o f t h e b a r o c l in i c c ir c u la t io n m o d e l .I n t h e f o l l o w i n g s ec t io n s t h e e s se n t ia l c o m p o n e n t s o f th e t h r e e - d i m e n s i o n a l s e m i -i m p l i-c i t s c h e m e , r e p r e s e n t e d b y th e e q u a t i o n s ( 3 ), ( 5 ) a n d ( 6 ) a r e d e s c r i b e d i n m o r e d e t a i l .

3 .2 T h e e q u a t i o n o f m o t i o n a n d i t s v e r t i c a l i n t e g r a t i o nT h i s c h a p t e r d e s c ri b e s t h e a p p r o x i m a t i o n o f th e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 3 ) a n d i ts v e r ti c a li n t e g r a t i o n . T h e l a t t e r is n e c e s s a r y s i n c e v e r t i c al l y i n t e g r a t e d p r o p e r t i e s d e r i v e d f r o m ( 3 )e n t e r i n t h e h o r i z o n t a l i m p l i c it s y s t e m ( 5 ). I t is c o n v e n i e n t t o s t a r t w i t h a d e s c r i p t i o n o f t h ea p p r o x i m a t i o n o f b o t t o m f r ic t io n b e c a u s e t h i s w i ll h a v e s o m e i n f l u e n ce o n t h e v e r ti c a l

i n t e g r a t i o n .A s e m i -i m p l ic i t f o r m u l a t i o n f o r t h e q u a d r a t i c b o t t o m s tr e ss is i n t r o d u c e d f o r t h e s a k e o fn u m e r i c a l s t ab i li ty . T h e a p p r o a c h i s m o t i v a t e d a n d e x p l a i n e d b y t h e f o l l o w i n g c o n s i d e r a ti o n .L e t t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r t h e b o t t o m l a y e r L h a v e t h e s i m p l ef o r m b e l o w , a s s u m i n g a f l o w w h i c h i s c o n f i n e d a l o n g t h e e a s t a x i s :

U ( IL ) = g L -1 - A t ( X L - [- ( T L - - T L + I ) )w h e r e X s y m b o l i z e s f u r t h e r t e r m s .T w o p o s si b il it ie s f o r t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e b o t t o m s t r es s a r e d i s c u s se d :c a s e a ) z L+ t = r . U (~ - S ( s e m i - i m p l i c i t , t i m e - l e v e l s n + 1 a n d n ) ;c a s e b ) ~ L = r . U L 9S ( e x p l i c it , o n l y t i m e - l e v e l n ) .F o r c a s e a ) t h e e x a m p l e a b o v e o b t a i n s t h e f o r m :

U ( 1 ) = ( U c + A t ( X L + T :L )) / ( 1 + r - A t - S )a n d f o r c a s e b ) :

u ( 1) = u L ( 1 - r . A t . S ) + A t ( X L + ~ L )w i th S t h e " f ri c t io n f r e q u e n c y " S = [ U L ] / h ~ , r t h e n o n - d i m e n s i o n a l b o t t o m f r i c t i o n p a r a -m e t e r a n d h t h e t h i c k n es s o f t h e b o t t o m l a y e r L . B o t h c a s e s a re b e c o m i n g e q u i v a l e n t if t h eq u a n t it y r - A t - S a p p r o a c h e s z e r o . H o w e v e r , w i th a la r ge t i m e - st e p ( d u e t o t h e h o r i zo n t a li m p l ic i t s y s te m c o m p o n e n t ) , s t r o n g b o t t o m c u r r e n t s a n d a sm a l l b o t t o m l a y e r t h ic k n e s s h i tm a y a p p r o a c h , o r e v e n e x c e e d u n i t y . O w n e x p e r i e n c e h a s s h o w n t h a t t h is is c r it ic a l f o r th ec a s e b ) , b e c a u s e a n o v e r e s t i m a t i o n o f t h e e f f e c t o f b o t t o m f r i ct i o n , i f n o t a f l o w r e v e r s a l( w h e n e x c e e d i n g u n it y ) m a y o c c u r. T h e l a t t er m e a n s a s e v e re v i o l a t io n o f m o m e n t u mc o n s e r v a t i o n . W h e r e a s c a s e b ) i s a b l e t o p r o d u c e i n s t a b i l i t y i t s d i s a d v a n t a g e s a r e o b v i o u s l yn o t p r e s e n t f o r th e c a s e a) . T h u s , a d o p t i n g t h e s e m i - im p l i ci t a p p r o a c h a d im e n s i o n l e ssf r i c ti o n f u n c t i o n F i s i n t r o d u c e d f o r t h e b o t t o m l a y e r L . F i s d e f i n e d a t th e g r i d - p o i n t s o f t h et r a n s p o r t c o m p o n e n t s ( s e e F ig . 1 ). T h e " f r i ct i o n f r e q u e n c y " S ( n o w f o r t h e t w o - d i m e n s i o n a lc a s e) m a y b e d e f i n e d a t th e s a m e g r i d -p o i n t s o r , i n o r d e r t o o b t a i n a g o o d s p at ia l c o v e r a g eo f b o t t o m f r ic t io n , i t m a y b e o b t a i n e d b y a s u i ta b l e s p a ti a l a v e r a g e d e p e n d i n g o n t h e g r i dc h o s e n .

F = I / ( I + r - A t - S )2 2s : X / v + V L /h

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1 7 6 D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 9 8 5. H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e lW i th t h e i n d e x - n o t a t i o n d e f i n e d i n t h e p r e v i o u s s e c t io n t h e a p p r o x i m a t i o n f o r t h ee q u a t i o n o f m o t i o n ( 3 ) i n t h is t h r e e - d i m e n s i o n a l s c h e m e i s g i v e n in d e t a i l b y ( 7 .1 a n d 7 . 2 ) .H e r e ( 0 , P ) i n d i c a te t h o s e t e r m s , w h i c h c a n ex p l ic i tl y b e c o m p u t e d f r o m v a l u e s d e f i n e d a t

t i m e - l e v e l n ; t h e s e a r e t h e e x p li c it s y s t e m c o m p o n e n t s .F o r a n a r b i t r a r y m o d e l - l a y e r l ( e x c lu d i n g t h e b o t t o m l a y e r L ) t h e e q u a t i o n o f m o t i o no b t a i n s t h e f o r m ( 7 .1 ) :. (1) h T 2 ( ~ " (l/z ) x x )0)

: - - ) " 4 - ( - ~ ) ( ; i f " ~ /+ 1 ( 7 . 1 )- -. T Y + ID u e t o th e s e m i - im p l i c i t a p p r o x i m a t i o n o f t h e b o t t o m f r ic t io n l e a d i n g t o th e f r ic t io nf u n c t i o n F th e e q u a t i o n o f m o t i o n f o r th e b o t t o m l a y e r L o b t a i n s t h e f o r m ( 7 .2 ) :

U ' ( 1 ) h ~ \ ( 1 / 2 ) . x . ( 1 )- - - 2 - ) ( ; i ) J ( 7 .2 )T h e e x p r e s s i o n s ( / ) , ~ ' ) i n b o t h e q s . ( 7 ), d e f i n e d a t t i m e - l e v e l n a r e g i v e n b y ( 8 ):

) ( 8 )T h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e e x t e r n a l a n d i n t e r n a l p r e s s u r e t e r m s in th e e q s . ( 7 ) a n d ( 8 ) ,

r e s p e c t i v e ly is g i v e n in s e c t i o n 3 .5 . T h e r e a n a d d i t i o n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r t h e a p p r o x i -m a t i o n o f p r e s s u r e g r a d i e n t s i n t h e v i c in i t y o f a l a t e r a l b o u n d a r y is a l s o d is c u s s e d .T h e v e r t i c a ll y i n te g r a t e d f lo w c o m p o n e n t s ( U , V ) a t t i m e - l e v e l n + 1 , t o b e i n s e r t e d i n t ot h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y ( 4 ) a r e o b t a i n e d f r o m ( 7 ) b y a p p r o x i m a t i n g t h e d e p t h - i n t e g r a l b ya s u m o v e r a ll m o d e l - l a y e r s L . T h u s , t h e v e r t i c a ll y i n t e g r a t e d e q u a t i o n o f m o t i o n is g i v e n b yt h e e x p r e s s i o n s ( 9 ) :

L -1l = 1

w i t h :( ~ ) = t~L i ( ~ ) l + ( ~ _ _ j t ) ( T~- (1-F)(1-F) v~VL (i) ( 9 .2 )

T h e e x p r e s s i o n ( 9 .2 ) c o n t a i n s t h e s u m o f (8 ) o v e r al l l a y e r s L a n d t h e r e m a i n d e r s o f t h ev e r t ic a l s h e a r s tr e ss t e r m s f r o m t h e e q s . ( 7 ). E x c e p t f o r t h e t o p a n d t h e b o t t o m l a y e r , a lli n t e r n a l s h e a r s t re s s te r m s v a n i s h d u e t o t h e s u m .

T h e r e p l a c e m e n t o f ( U , V ) a t t im e - l e v e l n + 1 i n (4 ) b y th e v e r t i c a ll y in t e g r a t e d e x p r e s -s i o n ( 9 ) w i ll o n l y y i e l d t h e e l l ip t i c s y s t e m ( 5 ) , i f a l l t e r m s i n ( 9 ) a r e e x c l u s i v e l y d e f i n e d a tt i m e - l e v e l n, e x c e p t f o r t h e e x t e r n a l p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s in v o l v i n g s e a s u r f a ce e l e v a t io n s .H o w e v e r , t h e s h e a r s t r e s s t e r m s i n ( 9 . 2 ) a r e ( s t i l l ) d e f i n e d a t l e v e l n + 1 . T h e w i n d s t r e s s ~ : 1is a p r e s c r i b e d b o u n d a r y c o n d i t i o n a n d c a n th u s a s s u m e d t o b e k n o w n f o r b o t h t i m e - l ev e l s ;i t w i ll n o t c a u s e a n y p r o b l e m s . T h e s t re s s t e r m T(L) h o w e v e r , i n v o l v in g n o t a s y e t k n o w nv a l u e s o f ( U , V ) a t t i m e - l e v e l n + 1 f o r t h e l ay e r s L - 1 a n d L , a c c o r d i n g to t h e a p p r o x i m a t i o no f th e i n t e r n a l s h e a r s t r e s s ( s e e s e c ti o n 3 . 4 ) c o n s t i t u t e s a p r o b l e m , w h i c h i s c a u s e d b y t h ef r i c ti o n f u n c t i o n F . I t w o u l d n o t a r i s e , if a n e x p li c it a p p r o x i m a t i o n o f t h e b o t t o m f r i c ti o nw o u l d h a v e b e e n c h o s e n . H o w e v e r , i n o r d e r t o re t a i n th e a b o v e d e s c r ib e d a d v a n t a g e s o f t h es t a b l e s e m i - i m p l i c i t f r i c ti o n f u n c t i o n F w e a p p l y a t r ic k . A c o r r e c t i o n t e r m i s d e f i n e di n tu i ti v e ly , w h i c h is a d d e d t o th e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 7) fo r t h e l a y e r L - 1 o n l y :

A t ~(~)

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13/23

Dt . hydro gr . Z . 38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , Th ree -d ime ns iona l m ode l 177A f t e r s e p a r a t i n g t h e t i m e - l e v e l s , t h e s h e a r s t re s s t e r m f o r t h e l a y e r l - 1 i n (7 . 1 ) n o w o b t a i n st h e f o r m :

a n d i n ( 8 ), f o r t i m e - l e v e l n :

A t , (~)~ - I , L . 1 - - F r ( L ) )A t ) ( r L - ~ - - ( 2 - - F ) T L)-5-

W i t h t h i s m o d i f i c a t i o n t h e t e r m F r ( ~ ) i n ( 7 . 1 ) w i ll v a n i s h w h e n t h e s u m o v e r a ll la y e r s L i sc o m p u t e d . B y t h e a p p l i c a t i o n o f t h is t r ic k t h e r e l a t i o n ( 9 .2 ) is m o d i f i e d t o ( 9 . 3 ) , w h i c ho b v i o u s l y f ul fi ls th e a b o v e m e n t i o n e d r e q u i r e m e n t o f b e in g s o l e ly d e f in e d a t t im e - l e v e l n :+ ~ ) ( i )( ~ ) = ~ _ L 1I ) 'O ) l ( @ ) ( r ~ ( 9 .3 )

T h e c o r r e c t i o n t e r m m e a n s a s li gh t v i o l a t io n o f m o m e n t u m c o n s e r v a t i o n . H o w e v e r , it ise a s i ly v e r i f i e d t h a t t h e e r r o r l ie s w i t h i n t h e l im i t s o f u n c e r t a i n t y c a u s e d b y t h e p a r a m e t e r -i z a t i o n o f t h e v e r t i c a l s h e a r . I n g e n e r a l t h e c o r r e c t i o n t e r m w i ll h a v e a v e r y s m a l l m a g n i t u d e ,b e c a u s e 1 ) F t e n d s t o b e c l o s e t o u n i t y , a n d 2 ) th e s h e a r s t r es s n e a r t h e s e a b e d w i ll n o t v a r yc o n s i d e r a b l y b e t w e e n t w o a d j a c e n t t i m e - l e v e l s , s o t h a t i ts d if f e r e n c e i n t i m e w i ll t e n d t o b ec l o s e t o z e r o .

3 .3 T h e h o r i z o n t a l i m p l i c i t s y s t e mT h e s o l u t io n o f t h e h o r i z o n t a l i m p l ic i t s y st e m c o m p o n e n t ( 5) a t e a c h h o r i z o n t a l g r i d-p o i n t f o r t h e s u r f a c e e l e v a ti o n i n t h e f ir st m o d e l l a y e r r e q u i r e s t h e s i m u l t a n e o u s s o l u t io n f o r

t h e s u r f a c e e l e v a t i o n a t t h e e i g h t s u r r o u n d i n g g r i d - p o i n t s ( F i g . i a ) . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n sf o r t h e s y s t em ( 5) a r e s e a s u rf a c e e l e v a ti o n s p r e s c r i b e d a t t h e o p e n b o u n d a r i e s o f t h e m o d e lr e g i o n . A t c l o s e d l a t e r a l b o u n d a r i e s t h e y e n t e r v i a t h e c o e f f i c i e n ts c a n d v i a t h e t e r m s B a n dC d e f i n e d b e l o w . S i n c e a p p l i e d i n t h e s a m e w a y a s d e s c r i b e d i n d e t a il f o r th e t w o - d i m e n s i o -n a l m o d e l t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o p a p e r A . H o w e v e r , d u e t o t h e a p p l i c a ti o n o f t h e r o t a t io no p e r a t o r T2 o n t h e p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s i n t h e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 3) a n d / o r ( 7 ),r e s p e ct i v e ly a n a d d i t i o n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n n e e d t o b e d e f i n e d ( t h is a ls o d e p e n d s o n t h eg r id c h o s e n ) . T h i s b o u n d a r y c o n d i t i o n e n t e r s t h e s y s t em ( 5) v ia t h e e x t e r n a l p r e s s u reg r a d i e n t t e r m s i n v o l v i n g s e a s u r f a c e e l e v a t i o n s i n t h e fi rs t l a y e r . S i n c e t h e o p e r a t o r T ; i sa p p l i e d a l s o o n t h e i n t e r n a l , b a r o c l i n i c p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s i n t h e i n t e r i o r m o d e l l a y e r st h e ( i n t e rn a l ) b o u n d a r y c o n d i t i o n e n t e r s t h e s y s te m ( 5 ) v i a t h e " p e r t u r b a t i o n - t e r m " C,d e f i n e d b e l o w . A m o n g s t o t h e r t e r m s C c o n t a i n s t h e v er t ic a l ly in t e g r a t e d i n t e r n a l p r e ss u r eg r a d i e n t t e r m s . F o r f u r t h e r d e t ai ls c o n c e r n i n g t h e b o u n d a r y c o n d i t io n t h e r e a d e r i s r e f e r r e dt o c h a p t e r 3 .5 w h e r e t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e p r e s s u r e f ie ld is d e s c ri b e d .T h e s e t o f c o e f f i c i e n t s c a n d t h e t e r m s B a n d C i n t h e s y s t e m ( 5 ) a r i s e f r o m t h es u b s t i t u t i o n o f ( 9 ) i n t o ( 4 ) . F o r c o n v e n i e n c e t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 5 ) is s e p a r a t e d i n t o t h et e r m s B a n d C . B o t h c o n t a i n e x p r e ss i o n s o b t a i n e d f r o m , o r d e f in e d a t ti m e - l ev e l n. T h et e r m B ( 1 0) s o l e ly i n v o l v e s se a s u r f a c e e l e v a t i o n s :

B=Cl~NW +C2~N +C3~NE +C4~w + (1- -C5 )~q'- C6 ~E q- C7 ~SW q-C8~S q- C9 ~SE

( 1 o )

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178 Dt . hydrog r . Z .38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , Th ree -d imen s iona l m ode lT h e " p e r t u r b a t i o n - t e r m " C ( 11 ) so l e ly c o n t a in s e x p r e s si o n s d e r i v e d f r o m t h e t o t a l d e p th -m e a n f l o w ( v e r ti c a l in t e g r a t i o n o f t h e e q u a t i o n o f m o t i o n ) ; t h e s e a r e ( 0 , 12) a s d e f i n e d i n( 2 .2 ) a n d ( U , V ) a s g i v e n b y ( 9 . 3 ):

C = - ( - ~ ) ( ( O + ~7) x + ( I 2 + ' ~ ) y ) (11)I t w a s a l r e a d y m e n t i o n e d t h a t t h e h o r i z o n t a l im p l ic it s y st e m c o m p o n e n t d o e s n o t d e p e n d o rr e l y o n a s p ec if ic g r id . F o r a n y g r id t h e s e t o f c o e f fi c ie n t s c a n b e d e t e r m i n e d b y m e a n s o f t h er e l a t i o n ( 5 . 1 ) . H o w e v e r , i n o r d e r t o p r o v i d e a n e x a m p l e , w e s h a l l h e r e g i v e t h e s e t o fc o e f fi c ie n t s v a li d f o r t h e A r a k a w a C - g r id a s m o t i v a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n o f th is c h a p t e r .T h e C - g r i d u s e s a s ta g g e r e d a r r a n g e m e n t o f t h e g r i d - p o i n t s ( s e e F i g . 1 a ) . T h i s m u s t b ec o n s i d e r e d w h e n d e r i v i n g t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e c o e f f i c i e n t s . I t i s t h e r e f o r e c o n v e n i e n t t oi n t r o d u c e s o m e a u x i l ia r y e x p r e s s i o n s , w h i c h a r e d e f i n e d a t g r i d - p o i n t s f o r th e e a s t ( U ) a n dt h e n o r t h c o m p o n e n t ( V ) o f th e f l o w , r e s p e c ti v e l y ( se e F ig . i a ). W e a s s u m e t h a t t h e s u r f a cee l e v a t i o n ( a n d t h e r e f o r e a l s o t h e p r e s s u r e ) a n d t h e d e n s i t y a r e d e f i n e d a t t h e s a m e g r i d -p o i n t s a s in d i c a t e d i n t h e f i g u r e . N o t e , t h a t s i n c e th e m o d e l h a s a f r e e s u r f a c e , t h e t h i c k n e s so f t h e f i r st m o d e l - l a y e r h i w i ll b e t i m e - d e p e n d e n t d u e t o v a r i a ti o n s o f t h e s e a le v e l ~ . W ef u r t h e r a s s u m e t h a t p r e s s u r e g r a d i en t s a r e o b t a i n e d b y c e n t r a l d if f e re n c e o p e r a t o r s , c e n t e r e do n t h e r e s p ec t iv e t r a n s p o r t g r i d -p o i n ts . N o w w e c a n i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g a u x il ia r ye x p r e s s i o n s , w h e r e s p a t i a l a v e r a g e s a r e i n d i c a t e d b y a n 0 v e r b a r .A t a U g r i d - p o i n t :

a x = h * f i / A x ," b x = h * 7 / 4 A yL--1 x

w i t h h * = g A t ( y ~ ( h /o ) l + F ( h / e ) L ) ~ ( 4 f A x )/= 1

A t a V g r id - p o i n t :ay = h ~ [ 3 /A y ; b y = - h ~ y / 4 A x

L - I Yw i t h h * = g A t ( ~ , ( h / e ) , + F ( h / e ) L ) / ( 4 f A y )

/= i

F r o m t h e s e a u x i l i a r y e x p r e s s i o n s t h e c o e f f i c i e n t s c f o r s y s t e m ( 5 ) a r e o b t a i n e d , w h e r eis th e d e n s i t y in t h e s u r f a c e l a y e r . A s i n d i c a t e d i n F i g . l a t h e g r i d - p o i n t p o s i t i o n o f t h ec o e f f i c ie n t s a n d o t h e r v a r i a b l e s is d e n o t e d b y t h e " c o m p a s s - r o s e " i n d e x i n g , d e f i n e d r e l a ti v et o t h e c e n t r a l g r i d - p o i n t , w h i c h c a r r i e s n o i n d e x :Cl = - - ~N W (bxw + byN)C2 = ~N (-- bx w + b x + ayN)c3 = QNE (byN + b x )c4 = ew (by + axw - byN)c5 = e (ax + aXw + ay + ayN)C6 = ~E (ax + byN -- by)c7 = t )sw (by + bxw)c8 = ~s (ay - bx + bxw )c 9 = - esE ( b x + b y )T h e c o e f f i c i e n ts f o r t h e s y s t e m ( 5 ) a n d i t s r i g h t h a n d s i d e ( t e r m s B a n d C ) a r e t i m e - d e p e n -d e n t b e c a u s e o f t e m p o r a l v a r i a t i o n s o f t h e f r i c t io n f u n c t i o n F , o f t h e d e n s i t y Q , a n d o f t h es u r f a c e e l e v a t i o n ~ .

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D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 9 8 5 . H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e : d im e n s i o n a l m o d e l 1 7 9I t is t hi s t i m e - d e p e n d e n c e w h i c h r e c o m m e n d s t o a p p l y a n i te r a ti v e t e c h n i q u e i n o r d e r t oo b t a i n a s o l u t io n f o r t h e s y s t e m ( 5 ). S o l v i n g ( 5 ) b y d i r e c t e l i m i n a t i o n w o u l d l e a d t o a

c o n s i d e r a b l e c o m p u t i n g e f f o r t, b e c a u s e t h e m a t r ix o f c o ef f ic i en t s w o u l d h a v e t o b e t ri a n g u -l i z e d a n e w a t e a c h t i m e - s t e p . T h e m o d e l t h e n w o u l d n o t w o r k e c o n o m i c a l l y , a s d e s i r e d .V e r y g o o d e x p e r i e n c e w a s g a i n e d b y a p p l y i n g t h e m e t h o d o f s u c ce s si v e o v e r - r e l a x a t i o n( S O R ) . T h e m a t r i x o f c o e ff i c i e n ts w i ll i n g e n e r a l b e s u f f ic i e n tl y g o o d c o n d i t i o n e d a n dd i a g o n a l d o m i n a n t ( V a r g a [ 19 6 2 ]) , in o r d e r t o o b t a i n a r a p i d c o n v e r g e n c e o f t h e i t e r at i o n .T o p o g r a p h y h a s t h e m a j o r i n f l u e n c e o n t h e d i a g o n a l d o m i n a n c e , a s c a n b e s e e n f r o m t h ec o e f f i c ie n t s c . T h u s , a t t h e l a r g e s t d e p t h s i n t h e m o d e l r e g i o n t h e d i a g o n a l d o m i n a n c e w i ll b et h e w e e k e s t . F o r f u r t h e r d e t a il s , e . g . s o m e p r a c t ic a l a s p e c ts c o n c e r n i n g t h e S O R i t e r a t i o na n d a r e c o m m e n d a t i o n o n t h e o p t i m a l c h o ic e o f t h e r el a x at io n p a r a m e t e r t h e r e a d e r i sr e f e rr e d t o p a p e r A .

R e p l a c i n g t h e t i m e - l e v e l i n d e x n b y t h e i t e r a t i o n i n d e x k t h e s y s t e m ( 5 ) is w r i t t e n a s aS O R - p r o b l e m ( 1 2 ) , w h i c h i s t o b e s o l v e d f o r e a c h t i m e - s t e p a t a l l i n t e r i o r " w e t " p r e s s u r e( s u r f a c e e l e v a t i o n ) g r i d - p o i n t s i n t h e s u r f a c e l a y e r . T h e w o r d " i n t e r i o r " i n d i c a t e s t h a t t h ep r e s s u r e g r i d - p o in t s a t t h e o p e n b o u n d a r i e s a r e e x c l u d e d .

~ k + l ( 1 - o ) ) ~ k + 0 ) . ( B + C + C l + c 2 + c 4 ( 1 2 )+ C a $ ~ E + c6 r + c7 $ ~ w + c8 $ ~ + c9 $ ~ E )w i t h 0)* = 0 )/( 1 + C s) ; w h e r e 0 ) i s t h e r e l a x a t i o n p a r a m e t e r .3 .4 T h e v e r t i c a l i m p l i c i t s y s t e m

T h e i n t r o d u c t i o n o f t h e v e r ti c al i m p l ic i t s y s t e m c o m p o n e n t ( 6 ) is m o t i v a t e d b y t h ef o l l o w i n g c o n s i d e r a t i o n s . T h e a p p l i c a t i o n o f t h e h o r i z o n t a l i m p l i c it s y s t e m a ll o w s t o i n c o r -p o r a t e l a r g e r t i m e - s t e p s t h a n i n a c o m p a r a b l e e x p l i c i t s c h e m e . A s a r e s u l t l i n e a r n u m e r i c a li n st a bi li ty m a y a r i se f r o m t h e a p p r o x i m a t i o n o f m o m e n t u m d i ff u s io n in t h e v e rt ic a l. T h es t a b il i ty c r i t e r i o n f o r a n e x p li c it a p p r o x i m a t i o n o f t h e s t r es s t e r m s s t a t e s a q u a d r a t i c d e p e n -d e n c y o f t h e v e r ti c al r e s o l u t i o n A z a n d t h e t i m e - s te p A t: A z 2 _> 2 . A v . A t . A s a r e s u l t t h ev e r t i c a l e d d y v i s c o si t y c o e f f i c i e n t A v is r e s t r i c t e d t o a n u p p e r l im i t o n c e A z a n d A t a r ec h o s e n . T h i s m a y o c c u r i n t h e b o t t o m l a y e r w h e r e t h e u n d i s t u r b e d l a y e r t h ic k n e s s is r e d u c e db y t o p o g r a p h y . I t m i g h t a l s o o c c u r , p r e f e r a b l y i n t h e t o p l a y e r s , w h e n a s t o r m e v e n ti n c r e a s e s t h e r a t e o f v e r t ic a l m o m e n t u m t r a n s f e r . T h e l a t t e r c a s e i m p l i e s t h a t a s p a c e - a n dt i m e - d e p e n d e n t c o e f f ic i e n t A v is , f o r e x a m p l e , d e t e r m i n e d b y m e a n s o f a t u r b u l e n c e - c l o s u r e -m o d e l . T h e r a n g e o f ap p l i c at i o n o f th is m o d e l w o u l d t h e n s e v e re l y b e li m i te d . T h u s , t h ep a r a m e t e r i z a t i o n o f ( su b g r i d -s c al e ) tu r b u l e n c e w o u l d s u f f er f r o m n u m e r i c a l ( l i n ea r i n st a -b i li ty ) l i m i t a t io n s . T h i s is. e f f e c t iv e l y a v o i d e d b y t h e i n t r o d u c t i o n o f a n a d d i t i o n a l i m p l i c i ts c h e m e f o r t h e v e r ti c a l c o o r d i n a t e i n t h e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 3 a n d 7 , r e sp . ) , w h i c h l e a d s t ot h e s y s t e m ( 6 ) .O n c e t h e h o r i z o n t a l i m p li ci t s y s t e m c o m p o n e n t ( 5 ) is s o lv e d b y m e a n s o f t h e S O Ri t e ra t i o n ( 1 2) , t h e t im e - c e n t e r e d b a r o t r o p i c p r e s su r e g r a d i en t s in th e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 7 )a r e k n o w n . T h i s r e d u c e s ( 7 ) t o t h e v e r t i c a l i m p l i c i t s y s t e m ( 6 ) , d e f i n e d f o r t h e v e r t i c a lc o o r d i n a t e a t e a c h h o r i z o n t a l t r a n s p o r t g r i d - p o in t . S y s t e m ( 6 ) o b ta i n s t h e f o r m o f a l i n e a rs y s t e m o f e q u a t i o n s ( 1 3) f o r (U , V ) t a t t i m e - l ev e l n + l d u e t o t h e a p p r o x i m a t i o n o f t h ev e r t i c a l sh e a r s t re s s t e r m s , d e f i n e d b e l o w . T h e v e r t i c a l s h e a r s tr e s s T a t t h e u p p e r b o u n d a r yo f a m o d e l - l a y e r l is n u m b e r e d w i t h th e s a m e i n d e x . T h e a p p r o x i m a t i o n f o r t h e v e rt i ca ls h e a r s tr e ss r t , g i v e n b e l o w , is a c e n t r a l d i f f e r e n c e o p e r a t o r . H o w e v e r , i t l o o k s l ik e ao n e - s i d e d d i f f e r e n c e d u e t o t h e i n d e x in g . T h e a p p r o x i m a t i o n i s a p p l i ed f o r t h e l a y e r sl = 2 , . . . ,L , w h e r e L is t h e ( l o c a l ) n u m b e r o f m o d e l l a y e rs :

TY ( h l - l+ h , ) ( V / h ) - ( ) )l = l-1 z

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180 Dt . hydrog r . Z . 38 , 1985 . H . 4 . B a c k h a u s , Three -d im ens iona l m ode lI n t hi s a p p r o x i m a t i o n s p a t i a l a n d / o r t e m p o r a l v a r i a t i o n s o f t h e v e r t i c al e d d y v is c o s i tyc o e f fi c ie n t m a y b e i n t r o d u c e d . N o t e t h a t t h e w i n d s t re s s a t t h e s e a s u r fa c e a n d t h e b o t t o ms t r e s s a r e r e p r e s e n t e d b y r x a n d b y r L + I , r e s p e c t i v e l y . B y r e p l a c i n g t h e v e r t i c a l s h e a r s t r e s sd i f f e r e n c e i n ( 6) b y t h e a b o v e o p e r a t o r w e a r r i v e a t th e s y s t e m ( 1 3 ) , w h i c h is v a l id f o r t h el a y e r s l = 1 , . . . , L :

U } ( " U ~ (1) U ) ( 1) : ( d x ) ( 13 )- - a l ( W / l _ i - I - b l ( . ] ' - - C l ( . / + 1 d y ,T h e s y s t e m ( 1 3) is tr i - d i a g o n a l . I t is e as i ly s o l v e d b y a d i r e c t e l i m i n a t i o n ( G a u s s i a n a l g o -r i t h m ) , i n o r d e r t o o b t a i n t h e f in a l so l u t i o n o f ( 7 ) a t t i m e - l e v e l n + l . D u e t o t h e s e m i - i m p l i c itb o t t o m f r i c ti o n ( s e e s e c ti o n 3 . 2 ) t h e o n l y b o u n d a r y c o n d i t i o n w h i c h e x p l ic i tl y e n t e r s i n ( 1 3)i s t h e w i n d s tr e ss , w h i c h a p p e a r s i n t h e t e r m d f o r t h e s u r f a c e l a y e r .

T h e e l e m e n t s a , b , c ( th e l a t t e r a r e n o t e q u a l t o t h e c o e f f i c i e n ts in t h e s y s t e m ( 5 )) o f th em a t r i x o f co e f f i ci e n t s a n d t h e v e c t o r d a r e g i v e n b e l o w . N o t e , t h a t i f a s t a g g e r e d g r i d , li k et h e C - g r i d is u s e d a d i f f e r e n t s e t o f c o e f f i c ie n t s f o r e a c h o f t h e f l o w c o m p o n e n t s U a n d V isr e q u i r e d . T h e m a t r i x o f c o e f f i c ie n t s is a g a i n t i m e - d e p e n d e n t a s i n s y s t e m ( 5 ) , b e c a u s e o f t h es u r f a c e e l e v a t i o n ~ ( in h ~ ), t h e f r i c t i o n f u n c t i o n F , a n d b e c a u s e o f t h e v e r t i c a l e d d y v i s co s i t yc o e f f i c i e n t A v .T h e c o e f f ic i e n t s f o r t h e v e r t i c a l im p l i c it s y s t e m ( 1 3 ) r e a d , w h e r e L i s t h e ( l o c al ) n u m b e ro f m o d e l - l a y e rs :a l = C L = 0a l = A t A v ~ / ( h z - 1 (h~ + h t - 1 ) ) , f o r I = 2 , . . . , L - 1a L = - F a l = Lcz = AtA v~ +l / (ht+l (hz + hz , fo r l = 1 . . . . . L - 2C L ~ F C l = L - 1bz = 1 + (alhl-1 + c t h l+ l ) /h z , f o r / = 1 , . . . , Ld r = T I , f o r l = 2 , . . . , Ld l = T1 + ( A t / 2 ) v [I)w i th T~ f r om (Tx, Ty)l, t h e " i n t e r i m s o l u t i o n " o f ( 7 ).

3 .5 P r e s s u r e a n d p r e s s u r e g r a d i e n t sI n c o r p o r a t i n g th e B o u s i n e s q a p p r o x i m a t i o n t h e h y d r o s t a t i c p r e s s u r e P a t a d e p t h z is

g i v e n b y r e l a t i o n ( 1 4 ):

P ( z ) = P ( ~ ) + g f (~ o + ~ ' ) d zZ

(14)

w h e r e P ( ~ ) is t h e a t m o s p h e r i c p r e s s u r e a t s e a l e v e l; ~9 t h e a c t u a l d e n s i t y ; 0 0 t h e r e f e r e n c ed e n s i t y , a n d ~9' = 0 - P 0 t h e d e n s i t y a n o m a l y . T h e p r e s s u r e r e l a t i o n ( 1 4 ) is t r a n s f o r m e d i n t ot h e f o r m ( 1 5) , w h i c h is m o r e c o n v e n i e n t f o r a d is c r et e a p p r o x i m a t i o n , b y s p li tt in g t h ed e p t h - i n t eg r a l i n t o t w o t e r m s , w i t h o n l y o n e t e r m d e p e n d i n g o n v a r ia t i o n s o f t h e s e a s u r f a ce :

0P ( z ) = P ( ~ ) + g ( 0 ~ - ~oZ + f p ' d z )

Z(15)

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17/23

Dt . hydro gr . Z . 38 , 1985 . H .4 . B a c k h a u s , T hree -d imen s iona l m ode l 181I n ( 1 6 ) w e c a n o m m i t t h e t e r m Q o z , b e c a u s e i t is a f u n c t i o n o f z o n l y a n d w i l l v a n i s h w h e nh o r i z o n t a l p r e s s u r e g r a d i e n t s a r e c o m p u t e d . T h e d i s c r e ti z a ti o n i n t h e t im e d o m a i n , o u t l in e di n s e c t i o n 3 . 1 , r e q u i r e s t o s e p a r a t e t h e b a r o t r o p i c ( e x t e r n a l ) a n d t h e b a r o c l i n i c ( i n t e r n a l )c o m p o n e n t s o f t h e p r e s s u r e i n (1 5 ) . T h i s s e p a r a t i o n i s i n d i c a t e d i n r e l a t i o n ( 1 6 ) :

0P ( z ) = (g ~ ~)ex t + ( P ' (~ ) + g f 0 ' dZ) in t

Z( 1 6 )

w h e r e 0 i is t h e ( a c t u a l ) d e n s i t y i n t h e s u r f a c e l a y e r . T h e d i s c r e t e p r e s s u r e - v a l u e s P a r ed e f i n e d i n t h e m i d d l e o f th e m o d e l - l a y e r s l ( s ee F i g . l b ) . F o r c o n v e n i e n c e t h e a t m o s p h e r i cp r e s s u r e P ( ~ ) w a s p u t i n t o t h e i n t e rn a l p r e s s u r e c o m p o n e n t , b e c a u s e i t n e e d n o t t o e n t e r t h ei m p l ic it s c h e m e f o r t h e e x t e r n a l p r e s s u r e v a r i at i o n s. T h e a p p r o x i m a t i o n o f t h e i n t e rn a lp r e s s u r e g r a d i e n ts o b t a i n s a h i g h a c c u r a c y w h e n i t d e p e n d s e n t ir e l y u p o n a n o m a l i es , b e c a u s et h e r e l e v a n t v a r i a t i o n s o f t h e d e n s i t y v a l u e s o c c u r i n i ts l a st d ig i ts . F o r t h e s a m e r e a s o n t h ea t m o s p h e r i c p r e s s u r e e n t e r s ( 1 6) a s a p r e s s u r e a n o m a l y P ' ( ~ ) .T h e i n t e r n a l p r e s s u r e I d e f i n e d i n t h e m i d d l e o f a m o d e l - l a y e r l is a p p r o x i m a t e d b y ( 1 7) ,r e p l a c i n g t h e d e p t h i n t e g r a l i n ( 1 6 ) b y a s u m :

I , = P ' ( ~ ) + O { h i + " ~ , ( ( ~ ' h )m - ~ + ( Q ' h ) m ) (17)m-2

A c o n s i s t e n t r e f e r e n c e l e v e l f o r t h e b a r o c l i n i c p r e s s u r e w i t h i n e a c h l a y e r i s o b t a i n e dw h e n t h e u n d i s t u r b e d l a y e r th i c k n e s s h e n t e r s i n t h e n u m e r i c a l p r e s s u r e i n t e g r al . T h i si m p l ie s t h a t w i th i n t h e b o t t o m l a y e r t h e p r e s s u r e r e f e r e n c e l e v e l m a y l ie c lo s e t o t h e b o t t o m ,o r e v e n b e n e a t h t h e b o t t o m , d e p e n d i n g o n t h e r e d u c t i o n o f th e t h ic k n es s o f t h e b o t t o ml a y e r b y th e p r e s c r i b e d t o p o g r a p h y ( s ee F i g . l b ) . T h u s , a g o o d v e r ti c al r e s o l u t io n o f t h em o d e l g r id w i ll h e lp t o r e d u c e t h is i n c o n s is t e n c y , w h i c h a r is es f r o m t h e a p p r o x i m a t i o n o f th et o p o g r a p h y a n d t h e l o c a t i o n o f t h e p r e s s u r e r e f e r e n c e l e ve l.T h e a p p l i ca t io n o f th e r o t a t i o n m a t r ix T2 i n th e e q u a t i o n o f m o t i o n ( 3) r e q u ir e s t h ea p p r o x i m a t i o n o f " s e c o n d a r y " p r e s s u re g r a d i e n t t e r m s . T h e s e g r a d i e n t s ar e d i r e c t e d n o r m a lt o t h e c o o r d i n a t e a x i s o f th e r e s p e c ti v e t r a n s p o r t c o m p o n e n t . I n t h e C - g r i d , f o r e x a m p l e , t h ea p p r o x i m a t i o n o f t h e s e c o n d a r y p r e s s u r e g r a d i e n t t e r m s r e q u i r e s s p a t ia l a v e ra g e s . A t a n yr a t e , i n d e p e n d e n t l y o f th e c h o s e n g r i d , t h e s e c o n d a r y p r e ss u r e g r a d i en t s w i ll r e q u i r e a na d d i t io n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n , a s a lr e a d y p o i n t e d o u t i n c h a p t e r 3 . 3 .T h e n e c e ss i ty f o r t h e a d d i t i o n a l b o u n d a r y c o n d i t i o n a ri se s w h e n p r e s s u r e g r a d i e n tt e r m s a r e t o b e c o m p u t e d n e a r a l a te r a l b o u n d a r y , a n d w h e n a t l e as t o n e o f t h e r e l e v a n tp r e s s u r e g r i d -p o i n t s is o n d r y l a n d . W i t h g o o d s u cc e ss t h e f o ll o w i n g a p p r o x i m a t i o n s w e r ea p p l i e d ; t h e y a r e b a s e d u p o n t h e a s s u m p t i o n t h a t t h o s e p r e s s u r e g r a d i e n t s w h i c h a r ed i r e c te d n o r m a l t o t h e c o a s t li n e w i ll v a n i sh w h e n t h e y c a n n o t b e a p p r o x i m a t e d b y th e g r id .I n c a se o n l y o n e o f t h e r e l e v a n t g r i d - p o in t s w a s " d r y " t h e g r a d i e n t t e r m w a s r e p l a c e d b y ao n e - s i d e d a p p r o x i m a t i o n . I n c a s e t h a t i t w a s i m p o s s i b l e t o e s t a b li s h e v e n a o n e - s i d e da p p r o x i m a t i o n b e c a u s e o f t h e i n tr i ca t e a p p r o x i m a t i o n o f t h e l at e ra l b o u n d a r y t h e g r a d i e n tt e r m w a s a s s u m e d t o b e z e r o , w h i c h i s c o n s i s t e n t w i t h t h e n o - f l u x c o n d i t i o n n o r m a l t o ac l o s e d b o u n d a r y .

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18/23

1 8 2 D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 9 8 5 . H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l

4 Appl ica t ionsT h e s c h e m e p r o p o s e d a l r e a d y h a s b e e n a p p l i ed to a n u m b e r o f s h el f s e a p r o b l e m s

( B a c k h a u s [1 98 3b ]; B a c k h a u s a n d M a i e r - R e i m e r [19 83 ]; D u w e , H e w e ra n d B a c k h a u s [19 83 ]; M t i l l e r - N a v a r r a [19 83 ]; H a i n b u c h e r [1 98 4] ; P o h l -m a n n [ 19 8 5] ). S o m e o f th e s e a p p l i c a t i o n s w e r e c o m p a r e d w i t h r e su l t s o f e x p l i c it s c h e m e s ;i n g e n e r a l th e d e v i a t i o n s f o u n d w e r e o f t h e o r d e r o f th e r o u n d - o f f e r ro r s o f t h e c o m p u t e r . I np a p e r A s o m e p r a c t i c a l a s p e c ts o f c o m p u t a t i o n a n d a c o m m e n t o n t h e m a g n i t u d e o f p h a s ee r r o r s d u e t o t h e h o r i z o n t a l im p l i c i t s c h e m e a r e g i ve n . H o w e v e r , a d e m o n s t r a t i o n o f t h e f u llp o t e n t i a l o f th e s c h e m e , e s p e c i a l l y w i t h r e g a r d t o l o n g t e r m s i m u l a t i o n s , is n o t g i v e n b y t h ea b o v e a p p l i c a t io n s .T h e a d v a n t a g e o f th e s c h e m e i s i ts h i g h c o m p u t a t i o n a l s p e e d a n d i ts s t a b i l it y , a re s u l t o ft h e i m p l ic i t s y s te m c o m p o n e n t s a n d o f th e C o r i o li s r o t a t i o n ; t h e s e p r o p e r t i e s a l lo w t oi n t r o d u c e a c o a r s e r r e s o l u t i o n o f th e t i m e d o m a i n t h a n s t r i n g e n t ly p r e s c r i b e d in a n e x p l ic i ts c h e m e . A r e a s o n a b l e t e m p o r a l r e s o l u t io n , s o l e l y c h o s e n a c c o r d i n g t o p h y s ic a l c o n s i d e r -a t io n s , m a y l e a d to a re d u c t i o n i n th e c p u - t i m e o f u p t o a b o u t f a c t o r 5 c o m p a r e d t o a ne x p l ic i t t h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l . T h i s f a v o u r s t h e s i m u l a t i o n o f lo n g p e r i o d s a n d t h u sa l lo w s t o r e s o l v e l o w - f r e q u e n c y f l u c t u a t i o n s o f t h e f l o w f i e ld .W i t h r e g a r d t o t h e f ir s t p a r a g r a p h i n t h e i n t r o d u c t i o n t h e s c h e m e p r e s e n t e d h e r e w a sa p p l i e d c o n c e r n i n g t h e q u e s t i o n : d o w e o b t a i n a r e a s o n a b l e e s t i m a t e o f t h e m e a n f lo w b yf o r c in g o u r m o d e l w it h a n a p p r o p r i a t e m e a n o f t h e a t m o s p h e r i c f o r c in g ?

T w o m o d e l - e x p e r i m e n t s c o n c e r n i n g t h is q u e s t i o n w e r e c a r r ie d o u t . I t is n e a r a t h a n d t or u n t h e m o d e l f o r a p e r i o d o f s u i t a b l e l e n g t h b y p r e s c r ib i n g a t i m e - d e p e n d e n t ( r e al is t ic )f o r c in g ( e x p e r i m e n t A ) a n d t h e n c o m p a r e t h e r e s u l ts w i t h a s e c o n d r u n i n w h ic h a na p p r o p r i a t e m e a n o f t h e f o r c in g is p r e s c r i b e d ( e x p e r i m e n t B ) .

T h e s c h e m e w a s a p p l i e d t o t h e N o r t h S e a b y u s in g a s p h e r i c a l p o l a r c o o r d i n a t e g r idw i t h a r e s o l u t i o n o f 1 /5 b y 1 /3 d e g r e e s i n l a t i t u d e a n d l o n g i t u d e , r e s p e c t i v e l y . T h e v e r t i c a lr e s o l u t i o n o f t e n l a y e rs w a s c h o s e n a c c o r d in g t o o c e a n o g r a p h i c s t a n d a r d d e p t h s . I n t o t a l t h es p a t i a l d i s c r et i za t io n n e e d e d a n u m b e r o f a b o u t 8 0 00 " w e t " p r e s s u r e g r i d -p o i n t s . T h e c h o s e nt i m e - s t e p w a s 2 0 m i n u t e s ; a n d e x p l ic i t s c h e m e w o u l d h a v e r e q u i r e d a b o u t 3 m i n u t e s. S e as u r fa c e e l e v a t io n s o f th e s e m i - d i u r n a l l u n a r t i d e M 2 a n d o f t h e i n v e r s - b a r o m e t r i c e f fe c t o fa t m o s p h e r i c p r e s s u r e s y st e m s w e r e p r e s c r i b e d a t t h e o p e n b o u n d a r i e s . F u r t h e r , a r a d i a t i o nc o n d i t i o n w a s a p p l i e d , i n o r d e r t o e l i m i n a t e n o i s e o f t i d a l a n d / o r l o w e r f r e q u e n c y ( u p t oa b o u t 4 0 h o u r s ) s e a s u r f a c e f l u c t u a t i o n s . S i n c e t h e m a i n f o c u s i s o n t h e w i n d i n d u c e d f l o wt h e b a r o c l i n i c f lo w w a s t r e a t e d i n a d i a g n o s t i c w a y . T h u s , f o r th e e x p e r i m e n t s A a n d B" f r o z e n " ( c o n s ta n t ) c l i m a t o l o g i c a l m e a n s o f t h e d e n s i t y d is t r ib u t i o n e n t e r e d t h e m o d e l .T h e a t m o s p h e r i c f o r c in g f o r t h e e x p e r i m e n t s , t h r e e - h o u r l y s u rf a c e a i r p r e s s u r e d i s t ri -b u t i o n s f o r 1 97 9, w a s k i n d l y m a d e a v a i l a b le b y J. T . D u u n - C h r i s t e n s e n ( D a n i s h M e t e o r o l o g i -c a l I n s t i t u t e , p e r s . c o m . ) . T h e w i n d s t re s s w a s c o m p u t e d f r o m t h e p r e s s u r e f i e ld s a c c o r d i n gt o L u t h a r d a n d H a s s e [1 98 3].A s p e r i o d o f " s u i t a b l e " l e n g t h a t i m e - i n t e r v a l o f 18 1 d a y s ( J a n u a r y t o J u n e 1 9 79 ) w a sc h o s e n . I n v ie w o f t h e p r o n o u n c e d ( s in u s o i d a l) a n n u a l s i g n al o f t h e w i n d s o v e r t h e N o r t hS e a t h i s p e r i o d w a s a s s u m e d t o b e r e p r e s e n t a t i v e f o r o n e y e a r , s i n c e i t c o v e r s h a l f t h e a n n u a lc y c le . M o n t h l y m e a n s w e r e c h o s e n a s " a p p r o p r i a t e " m e a n , b e c a u s e a l r e a d y a p p l i e d i n an u m b e r o f si m i l a r t y p e - B e x p e r i m e n t s , t h e m o s t r e c e n t o f w h i c h g i v e n b y P r a n d 1 e [ 19 8 4] .T h e m o n t h l y m e a n s w e r e o b t a i n e d b y a p p l y i n g a lo w - p a s s f i l te r w i th a c u t - o ff p e r i o d o f 60d a y s o n t h e t h r e e - h o u r l y f o r c in g o f e x p e r i m e n t A , y i e ld i n g a b e t t e r e s t i m a t e t h a n a s im p l ea r i t h m e t i c m e a n . N o t e , t h a t t h e m e a n o f t h e ( q u a d r a t i c ) w i n d st re s s w a s n o t c o m p u t e d f r o mt h e m e a n o f t h e p r e s s u r e f ie l d s ( w h i ch w o u l d s e v e r e l y u n d e r e s t i m a t e t h e m e a n s tr e ss ) b u tf r o m i n d i v i d u a l p r e s s u r e d i s t r ib u t i o n s .A c c o r d i n g t o t h e a p p r o a c h o f e x p e r i m e n t B w e o b t a i n s ix ( q u a s i -s t a t i o n a r y ) t h r e e -d i m e n s i o n a l f l ow p a t t e rn s , e a c h a s s u m e d t o b e r e p r e s e n t a t i v e f o r o n e m o n t h o f t h e s im u -l a t i o n p e r i o d . T h e o u t p u t o f e x p e r i m e n t A a r e 1 81 f l o w f i e ld s , o n e f o r e a c h d a y o f t h es i m u l a t io n . F r o m t h e d a t a o f b o t h e x p e r i m e n t s t i d a l ( a n d i n e r t i a ) o s c i ll a ti o n s w e r e r e m o v e db y s u i t a b l e f i l t e r i n g .

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19/23

Dt.hydrogr. Z. 38, 1985. H.4. B a c k h a u s, Three-dimensional model 183

r ~

- 6 0 ~

-5 8

-5 6

-5 4

-5 2

-5 0

-4 8

4~ 2 0 2 4 6 8 10 12 1/~EI I [ I I I I J I I

Fig. 2. Trajectories of tracer ensembles advected by estimates of the flow according to the experi-ments A (fine line) and B (heavy line). Model-layer (depth-range) No. 1 (0 to 10 m). Start positionis indicated by a cross; start-time: 1. January 1979. Symbols (tick-marks) indicate tracer-position atthe end of the respective month , experiment A: diamond; experiment B: square

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20/23

1 8 4 D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 98 5 . H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l

- 6 0 ~ N f " ~ s , ' 5

-5 8

-56

-$ 4

-5 2

-5O

-4 8

4 ~ 2 0 2 ~ 6 8 10 12 I ~ E[ t r I I I t I I I

F i g . 3 . T h e s a m e a s F i g . 2 w i t h m o d e l - l a y e r N o . 2 ( 10 t o 2 0 m )

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21/23

D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 9 85 . H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e l 1 8 5

- 6 0 ~ N

. . . ." ~ & f 5

- 5 8 L ~ ~ :.... k ~-5 6

-5 ~

!:i:i:!:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:i:. . . . . . . : : : : : : : : . . . . .:::::::i:i:!:::i:!:::!~i!i~;iiiiiiiiiiiiiiiiiiii:iiiiiii!i!i!

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : :: :: 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii!!i!i!i!

!iiiii!!!!i

-5 2

-5 0

- 4 8

~-~ 2 0i ) l

2 ~ 6 8 1 0 1 2 I ~ EI I I I I ) I

F ig . 4 . T h e s a m e a s F i g . 2 w i t h m o d e l - l a y c r N o . 4 (3 0 t o 60 m )

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22/23

1 86 D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 98 5. H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e - d i m e n s i o n a l m o d e lA s m e n t i o n e d i n th e i n t r o d u c t i o n e s t im a t e s o f t h e l o w - f r e q u e n c y f l ow a r e e s s e n t i al f o r

e s t im a t e s o f th e d i s p e r s i o n o f m a t t e r i n t h e s e a . T h u s , a p p r o p r i a t e t o t h e p r o b l e m , w ec h o o s e a L a g r a n g i a n v i e w - p o i n t fo r t h e c o m p a r i s o n o f th e e x p e r i m e n t s . T h i s a l lo w s f o r as u i ta b l e r e d u c t i o n o f t h e c o n s i d e r a b l e a m o u n t o f m o d e l d a t a p r o d u c e d b y th i s s t u d y .

F o r b o t h e x p e r i m e n t s a n e n s e m b l e o f (v i r t u a l) t r a c e r - p a r t ic l e s w a s r e l e a s e d a t th e s a m ei n s t a n t a n d a t t h e s a m e l o c a t i o n s ( in a ll t e n m o d e l - l a y e r s ) . T h e e n s e m b l e w a s t h e n p u r s u e df o r t h e 1 81 d a y s o f t h e s i m u l a t i o n p e r i o d . D u r i n g t h e i r " v o y a g e " t h e t r a c e r s " f e e l " 1 8 0c h a n g e s o f t h e f lo w f ie l d f o r e x p e r i m e n t A , b u t o n l y 5 ( s o m e t i m e s a b r u p t ) c h a n g e s f o re x p e r i m e n t B . V e r t i c a l d i s p l a c e m e n t s o f t h e t r a c e r s w e r e n e g l e c t e d f o r t h e s a k e o f c la r it y o ft h e d i s p l a y .T h e g r a p h i c a l c o m p a r i s o n o f th e e x p e r i m e n t s is p r e s e n t e d f o r t h r e e i n d i v i d u a l m o d e l -l a y e r s ( F i g s . 2 , 3, 4 ). T h e d i f f e r e n t f a te o f t h e A - a n d B - t r a c e r s i s e v i d e n t . O b v i o u s l y e v e n t s ,w h i c h h a v e a si g n i fi c a n t i n f l u e n c e o n t h e p a t h o f t h e A - t r a c e r s h a v e b e e n f i l t e r e d o u t f o r t h em e a n f o rc i ng . F o r s o m e o f t h e t r a j e c t o r i e s t h e d i s t a n c e b e t w e e n A - u n d B - t r a c e r s , r e l e a s e da t th e s a m e l o c a t i o n , m a y b e o f t h e o r d e r o f s e v e r a l h u n d r e d k i l o m e t e r s a t th e e n d o f t h e i rj o u r n e y !W e i n v o k e t h e m a i n q u e s t i o n o f th is a p p l i c a t io n st u d y , w h i c h c o n c e r n e d t h e r e a li s ti ce s t i m a t e o f a m e a n f l o w . T h e c o n c l u s i o n i s: w e s h a l l n o t g e t a re a l i s ti c e s t i m a t e o f t h e m e a nf lo w b y f o rc i n g t h e m o d e l w i th a m e a n v a l u e o f t h e a t m o s p h e r e . W e t h u s o b t a i n a n e g a t i v ea n s w e r t o t h i s q u e s t i o n .

T h e a n s w e r w il l r e m a i n t o b e n e g a t i v e ev e n f o r p e r i o d s o t h e r t h a n a m o n t h f o r w h i c h a n" a p p r o p r i a t e m e a n " m a y b e d e f i n e d . T h e r e a s o n is t h e s t o c h as t ic c h a r a c t e r o f t h e a t m o -s p h e r e ; i t d o e s n o t a l l o w t o d e f i n e a ( d e t e rm i n i s t ic ) p e r i o d f o r m e a n s . E v e n t h e p r o n o u n c e da n n u a l s i g n a l i s h e a v i l y b i a s e d b y s t o c h a s t ic f l u c tu a t i o n s . T h e s e f i n d in g s a n d t h e i r c o n s e -q u e n c e s o n t h e B - a p p r o a c h a r e v e r i fi e d al so b y th e s t u d y o f P r a n d l e c i te d a b o v e ; t h e r e s o m ee v i d e n t m i s m a t c h e s in h is c o m p a r i s o n a g a i n s t o b s e r v a t i o n s a r e t o b e f o u n d .W e c o n c l u d e t h a t r e a l i s ti c e s t i m a t e s o f th e m a i n l y w i n d i n d u c e d f l o w i n s h e l f s e a sr e q u i r e a re a l is t ic t r a n s ie n t a t m o s p h e r i c fo r ci n g . A n y o t h e r a p p r o a c h m a y l e a d t o c o n s i d e r -a b l e m i s - in t e r p r e t a t io n s ( e s p e c i a l l y w i t h r e g a r d t o p o l l u t i o n p r o b l e m s ) a s is d e m o n s t r a t e d b yt h e a b o v e e x p e r i m e n t s ( s e e a l s o B a c k h a u s [ 1 9 84 ] ). T h i s c o n c l u s i o n j u s t i f i e s t h e d e v e l o p -m e n t a n d t h e a p p l i c a t i o n o f a n e f f ic i en t n u m e r i c a l s c h e m e .

5 F i n a l r e m a r k sC o m p a r e d t o s h e lf s ea m o d e l s o f t h e p r e s e n t s ta t e o f t h e a r t th e s c h e m e p r o p o s e d o f f e rs

t h e s i m u l a t io n o f a w i d e r r a n g e o f p h y s i c a l p r o c e s s e s . T h e g o o d s t a b i l i ty - p r o p e r t i e s a n d t h ec o m p u t a t i o n a l s p e e d o f t h e s c h e m e a r e f a v o u r a b l e f o r t h e t im e - d e p e n d e n t s i m u l a t i o n o fl o w - f r e q u e n c y d y n a m i c s a n d o f o c e a n / s h e l f p r o c e s s e s , a n d f o r t h e a p p l i c a t io n a s a b a r o c l i n ic" e d d y - r e s o l v i n g " m o d e l .

A c k n o w l e d g e m e n tT h e a u t h o r is i n d e b t e d t o R . W a i s ( R e c h e n z e n t r u m d e r U n i v e rs i t f i t H a m b u r g ) f o r a

n u m b e r o f f ru i tf u l d i s cu s s io n s a n d h e l p fu l c o m m e n t s . F u r t h e r h e a p p r e c i a t e d v e r y m u c h t h a tJ . T . D u u n - C h r i s t e n s e n ( D a n i s h M e t e o r o l o g i c a l I n s t i t u t e ) k i n d ly m a d e a v a i l a b l e v a l u a b l em e t e o r o l o g i c a l d a ta .

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23/23

D t . h y d r o g r . Z . 3 8 , 1 98 5. H . 4 . B a c k h a u s , T h r e e - d i m e n s i o n a l m o