BAB 1

HIMPUNAN DAN SUBHIMPUNAN

DEFINISI – DEFINISI : 1. Himpunan :

Setiap daftar, kumpulan atau kelas obyek-obyek yang didefinisikan secara jelas.

contoh : A dan X dibaca : himpunan A dan himpunan X

Catatan : Notasi Himpunan harus ditulis dengan huruf besar 2. Elemen/anggota : Objek-objek berada di dalam himpunan, dapat berupa

huruf, angka atau data contoh : a, b, c , d 1, 3, 4, 5 ani, ina, nia

Catatan : Notasi Elemen/ Anggota ditulis dengan huruf kecil, dipisahkan dengan koma-koma

Penulisan himpunan secara lengkap dengan elemen/angotanya X = {a, b, c, d} Z ={1, 3, 4, 6} Y = { Ani, Ina, Nia}

Penulisan himpunan diawali dengan kurung kurawal buka, diisi dengan elemen-elemennya dan diakhiri dengan kurung kurawal tutup

Simbol-simbol dalam himpunan :1. Simbol = simbol subset (sub himpunan)

Simbol dapat dibaca : “ sub himpunan atau terkandung “

Contoh : Y = {1,2,3} Z = {1,2,3,4} Dibaca : Elemen 1,2 dan 3 di dalam himpunan Y Elemen 1,2,3, dan 4 di dalam himpunan Z

ditulis : Y Z atau { 1,2,3} {1,2,3,4} dibaca : himpunan Y sub himpunan dari himpunan Z

atau himpunan Y terkandung dalam himpunan Z

1

2. Simbol ε = simbol “ belong to “ atau “ is in “ Simbol ε dibaca : “termasuk” atau “ di dalam”

contoh : Z = { 1,2,3,4} 3 ε Z

dibaca : elemen 3 di dalam himpunan Z

3. Simbol = Simbol Superset (Super himpunan) Simbol dapat dibaca : “mengandung” atau “ meliputi/ berisi “

Contoh : Y = { 1,2,3} Z = {1,2,3,4} dibaca: himpunan Z mengandung/meliputi himpunan Y ditulis : Z Y

Bentuk-bentuk penulisan himpunan :Himpunan dapat ditulis dalam 2 bentuk yaitu :

1. Bentuk Pendaftaran (Tabular Form)2. Bentuk Pembangun Himpunan (Set-Builder Form)

Bentuk Pendaftaran Contoh penulisannya : Z = {1, 2, 3, 4, …..}

Penulisan himpunan : diawali dengan kurung kurawal buka, kemudian elemen-elemen dalam himpunan dipisahkan oleh koma dan diakhiri dengan tanda kurung kurawal tutup

Bentuk Pembangun Himpunan Contoh penulisannya Z = { x / x = bilangan asli}Penulisan himpunan : diawali dengan kurung kurawal buka kemudian elemen-elemen dalam himpunan ditulis dalam suatu pernyataan dan diakhiri dengan tanda kurung kurawal tutup

Contoh : Pernyataan : Z adalah Himpunan Bilangan Ganjil Dibaca : himpunan Z terdiri dari elemen-elemen x

di mana x adalah bilangan ganjil

Bila ditulis dalam bentuk pembangun himpunan sbb : Z = { x/x adalah bilangan ganjil}

bila ditulis dalam bentuk pendaftaran sbb : Z = { 1, 3, 5, 7, 9................dst}

2

Pernyataan : A adalah Bilangan Prima Ditulis : A = {x/ x prima}

Dibaca : himpunan A terdiri dari elemen-elemen x dimana x adalah bilangan prima

bila ditulis dalam bentuk pendaftaran sbb: A = { 2.3.5.7,11................dst}

Jenis –Jenis Himpunan : 1. Himpunan Kosong : simbol { } atau ΦAdalah himpunan yang tidak mempunyai elemen Contoh : H= {x x * 3 = 9, x bilangan bulat genap}

H = { } atau H = Himpunan kosong ditulis : { } atau Φ

Himpunan kosong Φ adalah bagian dari setiap himpunan, atau Φ H

2. Himpunan Nol : simbol {0}Adalah suatu himpunan yang elemennya adalah angka nol (0) Himpunan Nol { 0 } tidak sama dengan Himpunan { } Atau ditulis : { 0 } { }

3. Himpunan Berhingga :Himpunan yang terdiri dari sejumlah tertentu elemen- elemen berbeda. Contoh : P = { x / x adalah sungai di bumi }

( walaupun jumlahnya banyak tapi bisa dihitung)

4.Himpunan Tak berhingga (~ ) Himpunan yang proses perhitungannya tidak berakhir Contoh : N = {1, 2,4,6,8…….........}

5. Himpunan Semesta ( Universal sets /Universe of discourse)Simbol : S atau Ụ

Merupakan Himpunan tertentu yang terluas

Semua himpunan yang ditinjau merupakan sub himpunan tertentu yang terluas.

Contoh : S = {semua orang di Indonesia}

3

6. Keluarga Himpunan-Himpunan :adalah himpunan yang seluruh elemennya adalah himpunannotasi : ditulis dengan huruf Script ( β , A)

Contoh : β = {{4,6}, {2}}

7. Himpunan Kuasa (Power Set) : simbol 2 H

Adalah Himpunan yang memiliki elemen dari semua keluarga subhimpunannya .Himpunan kuasa memiliki elemen ber jumlah : 2 pangkat n elemen atau 2 n, di mana:

H = himpunan terbatas, n = jumlah elemen dalam H Contoh : H = {2, 4, 6}

Jumlah elemen = 3 ( terdiri dari elemen 2, 4 dan 6) Maka jumlah elemen dari Himpunan Kuasa H (2 H ) adalah 23 = 8 , bila dituliskan : Himpunan kuasa dari H adalah :

2 H = {H, {2,4},{2,6},{4,6},{2},{4},{6},}

HIMPUNAN YANG DAPAT DIPERBANDINGKAN DAN YANG TIDAK DAPAT DIPERBANDINGKAN

COMPARABLE : Simbol c Himpunan yang dapat diperbandingkan (comparable /c) Himpunan A dan Himpunan B dikatakan dapat diperbandingkan

jika A B atau B A,

Contoh Gambar :

A B

B A Kedua gambar tersebut dapat ditulis A c B atau B c A

(Comparable antar 2 himpunan tidak dapat menggambarkan himpunan yang sebagai superset dan sebagai subbsetnya)

NO COMPARABLEHimpunan yang tidak dapat diperbandingkan

4

B

AA

BA

(non comparable/Nc)

Himpunan A dan Himpunan B dikatakan tidak dapat diperbandingkan :jika A bukan sub himpunan dari B dan B bukan sub himpunan dari A dinotasikan : Nc

Contoh Gambar :

Ditulis A Nc B

(Nc Tidakdapat menggambarkan himpunan A dan B terpisah atau memiliki irisan)

DIAGRAMHubungan antar himpunan dapat digambarkan dengan :Diagram Venn-Euler dan Diagram Garis (Line Diagrams)

Contoh : A Nc B diatas, bila digambar dengan diagram sbb:

Diagram Venn-Euler Diagram Garis

U

Latihan soal :

5

A B

1. Tuliskan kembali pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan notasi himpunan :

a. Elemen x tidak termasuk pada himpunan Ab. Himpunan H tidak meliputi himpunan Dc. Himpunan S adalah super himpunan dari himpunan A

2. Misalkan M = { r,s,t } Apakah pernyataan berikut benar atau salah : r ε M r M {r} ε M {r} M

3. Susunlah diagram garis untuk himpunan–himpunan : A = {a,b,c} B = {a,b} dan C = { a,c}

4. Carilah Himpunan Kuasa dari himpunan S = { 3, {1,4}}

BAB 2

6

OPERASI-OPERASI DASAR DARI HIMPUNAN

Himpunan Terpisah (Disjoint Sets) :Jika ada 2 himpunan yang memiliki elemen-elemen yang tidak sama, maka 2 himpunan tersebut dikatakan Himpunan Terpisah .Contoh : A = {1, 3, 5}

B = {2, 4, 6}, maka A dan B terpisah Dapat dikatakan juga A Nc B

Himpunan Sama (Equality of Sets) :Jika 2 himpunan itu memiliki elemen yang sama, maka 2 Himpunan tersebut disebut sama. Atau A B dan B A Jikka (Jika dan hanya jika) A = B.

Contoh : A = {1, 3, 4, 5}B = {1, 4, 3, 5}, maka A dan B sama

A = {x x2 – 3x = -2}B = {2, 1}C = {2, 1, 1, 2}maka A = B = C

catatan : x2 – 3x = -2 x2 – 3x +2 = 0 (x - 2) (x - 1) = 0 x1 = 2 dan x2 = 1

sehingga himpunan A, B dan C sama-sama memiliki elemen : 1 dan 2

Sub HimpunanHimpunan H dikatakan subhimpunan dari himpunan K jika setiap elemen H menjadi elemen dari K.Ditulis H K, jika x H maka x K.Contoh :

1. Jika H K dan K H, maka H = K2. Jika H K dan K H, maka H adalah sub himpunan K.

7

3. Jika H K dan K H, maka tidak dapat dibandingkan4. Himpunan H dan K terpisah (disjoint)

Bila digambarkan dengan diagram Venn sebagai berikut : 1. 2. 3.

4.

Operasi-operasi Himpunan :1. Perpaduan (Union), simbol

H K Himpunan Union H dengan K :Adalah himpunan dari semua elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan H atau

himpunan K atau keduanya.

Definisi : H K = { x x H V x K} simbol V dapat dibaca : - atau

- disjungsi

Contoh : H = {a, b, c, d} K = {e, f, g, h} H K = {a, b, c, d, e, f, g, h}

Maka berlaku :H K = K HH (H K) dan K (H K)

8

H

K K

H

B

K H

B H

K

B

K

H

B

2. Intersection/Irisan/Potongan , simbol

H K Himpunan Irisan H dengan K :Adalah himpunan yang mempunyai elemen yang berada di dalam H sekaligus berada di dalam K.

Definisi :H K = { x x H Λ x K} Simbol Λ dapat dibaca : - dan

- konjungsi

Contoh : H = {a, b, c, d}K = {b, c, e, f}H K = {b, c}

Maka berlaku : (H K) H dan (H K) K

3. Selisih/Difference , simbol - atau ~H - K

Himpunan Selisih H dengan K :Adalah himpunan yang mempunyai elemen yang berada di dalam H tetapi

tidak berada di dalam K.

Definisi : H - K = { x x H Λ x K} Contoh : H = {a, b, c, d}

K = {b, c, e, f} H - K = {a, d}

Maka berlaku : (H - K) H

4. Complement : …. c atau ….. ‘

H’S = Himpunan semesta

9

Himpunan komplemen dari H (H`) : adalah himpunan yang mempunyai elemen yang tidak berada di dalam H.

Definisi : H` = { x x S Λ x H}

H` = { x x H}

Contoh : H = {a, b, c}K = {c, d, e}S = {a, b, c, d, e}H` = {d, e}, K` = {a, b}(H K)` =

Diagram Garis

A B B

A

A B dan B C C

B

A

Misalkan A= {a}, B = {b}, dan C = {a,b}

C

A B

Latihan Soal :1. Misalkan : A = {1,2,3,4} B = { 2,4,6,8 } C = { 3,4,5,6} Carilah : a. A B b. B C

10

c. A C d. ( A B ) C

2. Misalkan U = {1,2,3,.....8, } A= {1,3,5} B = { 1,3,5,7} C = { 4,5,6}

Carilah : a. A ‘ b. B’ c. ( A C ) ‘ d. ( A B ) ‘ e. ( B – C ) ‘ f. ( A’) ‘

3. Misalkan himpunan semesta U = { a,b,c,d,e,f,g } misalkan A = { a,b,c,d,e } B = { a,c,e,g} dan C = { b.e.f.g}

Pertanyaan : Gambarkan hanya dengan satu diagram Venn untuk himpunan-

himpunan U, A, B, dan C diatas

a. Cari elemen dari himpunan dibawah inib. Gambarkan dan berikan arsiran pada himpunan dibawah ini :

(A – C) ‘ C’ A ( A – B ‘ ) ‘

4. Misalkan himpunan-himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan (Nc)

Susunlah diagram garis untuk keenam himpunan –himpunan di bawah ini :U, A, B, ( A - B) , (B - A),

11

BAB 3

HIMPUNAN DARI BILANGAN-BILANGAN

Bilangan Riil ( R#)Dinyatakan titik-titik pada sebuah garis lurus -----------------------------------------------

Bilangan Bulat (Z)Bilangan bulat adalah Bilangan-bilangan riil ......-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3......

Bilangan Rasional (Q)Bilangan rasional adalah Bilangan riil yang dapat dinyatakan sebagai perbandingan dari dua buah bilangan bulat.Q = { x /x = p/q dimana p Z , q Z}

Bilangan Asli (N)Bilangan asli adalah Bilangan bulat positif N = { 1,2,3.......}

Bilangan Irasional ( Q`}

12

Bilangan irasional adalah Bilangan riil yang tidak rasionalAtau komplemen dari bilangan rasional Q dalam bilangan Riil R#Q` = V3, 22/7, V2

Diagram Garis untuk Sistem Bilangan Diagram mengandung himpunan dari bilangan–bilangan kompleks yaitu bilangan-bilangan yang berbentuk a + bi diamana a dan b adalah riil

Desimal- desimal dan bilangan –bilangan Riil Setiap bilangan riil dapat dinyatakan oleh sebuah “ desimal tak berakhir “. Pernyataan desimal dari sebuah bilangan rasional p/q dapat diperoleh dengan “ membagi pembilang p dengan penyebut q” .

Jika desimalnya berakhir , contoh 3/8 = 0.375 Atau ditulis : 0,3750000.... 0, 3749999....

Jika pembagian p dengan q tidak berakhir , maka diketahui bahwa suatu kelompok angka-angka akan berulang secara terus menerus :Contoh : 2/11 = 0,1818181........................

Ketidaksamaan Konsep “urutan “ diperkenalkan dalam sistem bil riil oleh :Bilangan riil a lebih kecil daripada bil riil b ditulis : a < b

Secara geometris : Jika a < b , maka :Titik a pada garis riil terletak di sebelah kiri titik b Atau dituls a < b dengan b > a ( b lebih besar daripada a )Digambarkan :

--------------a----------------b-----------------

Harga Mutlak Harga mutlak dari sebuah bilangan riil x, dinyatakan oleh : | a | yang didefinisikan : | x | = x → jika x lebih besar sama dengan 0 ( x ≥ 0 ) -x → Jika s lebih kecil dari 0 ( x < 0 )

13

Selang (interval)Pandang himpunan bilangan-bilangan berikut :

Contoh selang berhingga : A1 = {x/ 2 < x < 5 }A2 = {x/ 2 ≤ x < 5}

Contoh selang tak berhingga A3 = { x/ x ≥ 1}

Digambarkan pada garis riil sebagai berikut :A1 : {x/ 2 < x < 5 }

A2 : {x/ 2 ≤ x < 5}

A3 : A3 = { x/ x ≥ 1}

Latihan Soal :1. Sisipkan antar pasangan bilangan-bilangan berikut dengan simbol yang benar : < , > atau = a. 3...... – 9 b. -4....... -8c. 32 .....7 d. - 5........3

2. Tuliskan kembali selang-selang berikut dalam bentuk pembangun himpunan dan table pendaftran :

a. M = [-3,5) b. S = (3,8) c. T = [0,4] d. W = (-7,2]

14

3. Buatlah sketsa pada suatu garis Riil untuk setiap kasus dibawah ini dan tuliskan himpunan yang dihasilkan dalam notasi selang :

a. { x/x ≥ -1} {x/ -3 < x < 2} b. { x/-2 < x ≤ 3} { x/x < 1} c. {x/-3 ≤ x ≤ 0} { x/x<1}

15

BAB 4

F U N G S I Definisi FUNGSI :

Bila setiap elemen dalam sebuah himpunan A secara tunggal dipetakan ke elemen-elemen sebuah himpunan B

Fungsi dinotasikan sbb: f : A B

Dibaca : f adalah fungsi dari A ke B

atau f suatu pemetaan dari A ke B.

Catatan :Suatu fungsi adalah suatu pemetaan, tetapi suatu pemetaan belum tentu suatu fungsi

Contoh : A = {a, b, c, d}B = {e, f, g, h}

A f B

f(a) = f, f(b) = ef adalah bayangan/image dari ae adalah bayangan/image dari b

domain co-domain(ranah) (koranah)

Himpunan A disebut : Domain atau RanahDomain : Merupakan himpunan yang memetakan ke himpunan lain

Himpunan B disebut : Co-domain atau koranahCo-domain : merupakan himpunan yang dipetakan oleh himpunan lain

16

abcd

efgh i

Bayangan /Image : simbol f (a)Adalah elemen dari Co-domain yang merupakan hasil pemetaan dari elemen di domain

Bayangan dari a adalah f (a) = f Bayangan dari b adalah f (b) = eDst

Jangkauan / Range : simbol f (A) Adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen-elemen di co-domain yang merupakan hasil peta dari elemen-elemen di domain Atau Jangkauan dari f terdiri dari elemen-elemen B yang tepat muncul sebagai bayangan dari se-kurang2- nya satu elemen A.

Contoh : fA B

f(1) = b, f(2) = a

f(3) = c, f(4) = c

Catatan : Jangkauan f (A) merupakan sub himpunan dari BUntuk contoh diatas f (A) = {a,b,c}

Fungsi- Fungsi yang sama Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang didefinisikan pada Domain yang sama, dan jika f(x) = g(x) untuk setiap x dalam Domain Maka fungsi f dan fungsi g merupakan fungsi yang sama Dapat ditulis : f = g

17

abcd

1234

Diagram ini merupakan fungsi atau bukan ? mengapa ? f f f

A B A B A B

a b c

pada contoh (b) diatas : f(1) = b, f(2) = a, f(3) = b, f(4) = b

Range dari f : A B adalah elemen-2 dalam B yang kena peta dari A sehingga f(A) = { a,b}

Berbagai nama-nama Fungsi : Fungsi SATU-SATU (one-one function) :

Jika elemen-elemen yang berbeda dalam B dipetakan oleh elemen-elemen yang berbeda dalam A

A B

f

Fungsi PADA (onto function) :Jika seluruh elemen-elemen dalam B dipetakan oleh elemen-elemen yang berbeda dalam A

f : A B adalah seluruh elemen-2 dalam B yang kena peta dari A sehingga f(A) = { a,b,c}

18

1234

abc

1234

abc

1234

abc

a

b

c

a

b

c

A B f

Fungsi SATUAN (identity function) : notasi 1 atau 1A

Jika pemetaan dilakukan pada dirinya sendiri : f : A ADidefinisikan f(x) = x ( x huruf kecil)Misalkan f menetapkan tiap-tiap elemen dalam A dipetakan ke elemen yang bersangkutan sendiri, maka f disebut fungsi satuan, disebut pula operator atau transformasi satuan ,

A f A

Fungsi KONSTAN (Constant Function) : Jika jangkauan dari f hanya terdiri dari 1 elemen Contoh : f (A) = {3}

A B f

HASIL KALI FUNGSI (Product of Function) atau 19

a

b

c

1

2

3

a

b

c

a

b

c

a

b

cd

d

dd

a

b

c

Fungsi Komposisi :

Jika f : A B dan g : B Cmaka hasil kali fungsi/fungsi komposisi dari A ke C dinotasikan dengan : (gof) : A Cdibaca : g dot f

f gA B C dimana setiap elemen a A di petakan dengan suatu

elemen yang terhubung dengannya yaitu g (f(a)) C.

Fungsi komposisi dari f dan g:Dinyatakan (gof) atau (gf) (gof)(a) g(f(a)) definisi ini sama.

Contoh : x y zf g

* (gof)(1) = g(f(1)) = g(5) = 7* gf(2) = g(5) = 7* g(f(3)) = g(6) = 9

INVERS DARI FUNGSI (Inverse of a Function), simbol f-1(y)Misal f : A B dan y B maka invers dari y dinyatakan : f-1(y) Definisi : f-1(y) = {x x A, f(x) = y}Invers dari fungsi adalah suatu himpunan yang elemennya berada dalam Domain

Contoh : A Bf f-1(a) = {x}

f-1(b) = {y, z}f-1(c) = { } =

20

123

456

789

xyz

abc

Latihan Soal : 1. misalkan W = { a,b,c,d} Fungsi f dari W ke W didefinisikan oleh : f(a) = a, f(b) = c, f(c) = a f(d) = a Carilah jangkauan dari fungsi f : W → W

2. A B Tentukan :f-1({1, 2}) = f-1({1, 3}) =

f-1({2}) =

3. misalkan A = { a,b,c,d,e } B = himpunan dari huruf-huruf dalam abjad Didefinisikan : a. f (a) = r , f(b) = a, f(c) = s, f(d) = r, f(e) = e b. h (a) = z, h (b) = z , h (c) = z , h(d) = z, h (e) = z Fungsi apakah f dan h diatas?

4. Misalkan A = { 1,2,3,4,5 } Dan fungsi-fungsi f : A A dan g : A A Didefinisikan oleh : f(1) = 3 f (2) = 5 f(3) = 3 f(4) = 1 f(5) = 2 g(1) = 4 g(2) = 1 g(3) = 1 g (4) = 2 g(5) = 3

Cari fungsi komposisi dari f dan g ?

BAB 521

xyz

123

HASIL KALI HIMPUNAN DANGRAFIK DARI FUNGSI

Pasangan TerurutPasangan terurut terdiri dari 2 buah elemen yang ditetapkan sebagai elemen pertama dan elemen kedua .Contoh : a = elemen pertama, b = elemen kedua

Pasangan terurut dinotasikan sebagai (a,b)

Bila digambar : a berada di Domain A b berada di Co – domain B

(a, b) dan (c, d) adalah pasangan terurut yang sama jika dan hanya jika a = c dan b = d.Contoh : - Pasangan terurut (2, 3) dan (3, 2) adalah beda.

- Pasangan terurut (2, 3) dan (2, 3) adalah sama.

Hasil kali Himpunan (Product Sets)Hasil kali himpunan A dan B terdiri dari pasangan terurut (a, b) di mana a A ( Domain) dan b B (Co-domain) .Dinyatakan : A x B = {(a, b) a A, b B}Contoh : A = {2, 4} dan B = {x, y}

A x B = {(2, x), (2, y), (4, x), (4, y)}

Grafik dari Fungsi, notasi f* Misalkan f suatu fungsi dari A ke B yaitu f : A B

Grafik f* dari fungsi f :Adalah suatu himpunan yang elemennya terdiri dari semua pasangan-pasangan terurut yang mana : a A muncul sebagai elemen pertama dan b bayangannya dalam B sebagai elemen kedua Dengan perkataan lain :

Grafik dari fungsi dinotasikan dengan f*={(a, b)a A, b = f(a)} .f* grafik dari f : A B adalah sub himpunan dari A x B.

Contoh : f : A B didefinisikan oleh diagram berikut :

22

A B

maka f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) =2, f(d) = 1.Jadi grafik dari f adalah f* = {(a, 2), (b, 3), (c, 2), (d, 1)}.

Diagram Koordinat :Bidang Kartesis R # x R# diperlihatkan pada gambar dibawah ini .Setiap titik menyatakan suatu pasangan terurut (a,b) dari bilangan –bilangan riil

contoh : Misalkan Untuk fungsi f : A BJika A = { a,b,c,d}

B = {1,2,3} f * = ( a,2), (b,3) , (c,2) , (d,1)

(lihat gambar diatas)Maka f* dapat digambarkan pada diagram koordinat A x B sbb :

B

3 2 1

a b c d A

Diagram koordinat A x B . Elemen-elemen A diperlihatkan pada sumbu horizontal, dan elemen-elemen B pada sumbu vertikal.

Garis-garis vertikal yang melalui elemen-elemen A dan Garis-garis horizontal yang melalui elemen-elemen B, berpotongan pada 12 buah titik. 12 Titik-titik ini yang menyatakan A x B

Grafik dan Diagram koordinat :23

abcd

1

23

Simbol Grafik Fungsi : f *Misalkan f * adalah grafik dari suatu fungsi : f A → B f* adalah subhimpunan dari A x B

Sifat-sifat dari Grafik suatu fungsi : Misalkan : f : A → B Dua Sifat fungsi f adalah :

- Untuk setiap elemen a A memetakan ke sebuah elemen dalam B

- Bisa hanya ada satu elemen dalam B yang dipetakan oleh setiap a A

Sifat grafik fungsi ( f *)melihat sifat-2 f diatas, maka maka grafik f* dari f memiliki sifat yaitu : - untuk setiap a A , ada suatu pasangan terurut (a,b) f*

( karena fungsi harus ada pasangan terurut yang elemen pertama ada di dalam A)

- setiap a A muncul elemen pertama dalam hanya satu pasangan terurut dalam f * yaitu :

(a,b) dalam f* dan ( a,c) dalam f*, maka b= c(karena fungsi tidak mungkin ada elemen pertama a A memiliki 2 pasangan urut yang berbeda)

Sifat-sifat dari Grafik Fungsi-fungsi pada Diagram Koordinat :Misalkan : f : A → B Maka f* yaitu grafik dari f yang memiliki sifat :Sifat 1 : untuk setiap a A, maka ada satu pasangan terurut (a,b) f*Sifat 2 : Jika (a,b) dalam f* dan ( a,c) dalam f* maka b= c

Atau bila fungsi diperlihatkan dalam diagram :Sifat 1 : Setiap garis vertikal akan mengandung se-kurang-2 nya satu

titik dari f*Sifat 2 : Setiap garis vertikal akan mengandung hanya satu titik dari f*

Fungsi Sebagai Himpunan dari Pasangan Terurut :Misalkan : f* suatu himpunan A x B, yaitu : hasil kali kartesis himpunan-2 A dan B, f* memiliki kedua buah sifat :

24

Sifat 1 : untuk tiap-tiap a dalam A , ada terdapat suatu pasangan terurut (a,b) dalam f*

Sifat 2 : Tidak ada 2 pasangan terurut yang berbeda dalam f* dengan elemen pertamanya sama.

Definisi : Suatu fungsi f dari A ke dalam B adalah suatu subhimpunan dari A x B dimana setiap a dalam A muncul sebagai elemen pertama dalam satu dan hanya satu pasangan terurut kepunyaan f.

Himpunan Hasil Kali Pada Umumnya :Konsep himpunan hasilkali dapat diperluas untuk lebih dari 2 himpunan dengan cara yang sama.

Hasil kali kartesis dari himpunan-2 A, B dan C dinyatakan oleh :A x B x C, yang terdiri atas semua triplet terurut (a,b,c) dimana a ε A, b ε B, dan c ε C

Dengan cara yang sama , hasil kali kartesis dari n buah himpunan A1, A2.......... An dinyatakan oleh : A 1 x A 2 x................An.

Contoh :Dalam geometri Euclid berdimensi 3 , setiap titik mewakili suatu tripet terurut, yaitu komponen x nya, komponen y nya, komponen z nya.Misal A = {a,b} B = { 1,2,3 } dan C = { x, y}

Maka : A x B x C = { ( a,1,x), ( a,1,y ), ( a,2, x), ( a,2,y) , ( a,3,x), ( a,3,y), ( b,1,x), ( b,1,y), ( b,2,x), ( b,2,y), ( b,3,x), (b,3,y)

Latihan Soal :1. misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan misalkan f : A R#

didefinisikan oleh rumus f(x) = x2. Carilah grafik f* dari fungsi f

2. Misalkan A = {a,b} , B = {2,3} dan C = {3,4} Carilah :

25

1. A x ( B C ) 2. ( A x B ) ( A x C) 3. ( A x B) ( A x C)

3. Misalkan V = { 1,2,3,4 } Nyatakan apakah tiap-tiap himpunan berikut dari pasangan-

pasangan terurut adalah fungsi dari V ke V ?a. f = { (2,3), (1,4), (2,1) , (3,2), (4,4) }b. g = { (3,1), (4,2), (1,1)}c. h = {(2,3), (1,4), (4,2), (3,4)}

4. Masing-masing rumus berikut mendefinisikan suatu fungsi dari R# ke dalam R# .

BAB 6

26

R E L A S I

Fungsi Proposisi dan Kalimat TerbukaDefinisi :Suatu fungsi proposisi pada A x B adalah suatu ungkapan ( kalimat terbuka dalam 2 variabel atau kalimat singkat) yang dinyatakan dengan P (x,y), dimana (a,b) ε A x B, a disisipkan untuk variabel x dan b disisipkan untuk variabel y

R ELASI , Simbol R : Suatu relasi R terdiri dari :1. Sebuah himpunan A2. Sebuah himpunan B3. Ungkapan suatu kalimat terbuka P(x, y) di mana P(a, b) adalah

benar atau salah untuk sebarang pasangan terurut (a, b) yang termasuk dalam A x B.

Maka R adalah suatu relasi dari A ke B : Notasi : R = (A, B, P(x, y))

Jika P(a, b) benar maka a R b, dibaca :“ a berhubungan dengan b” atau “a relasi dengan b”.

Jika P(a, b) salah maka a R b, . dibaca :“ a tidak berhubungan dengan b” atau “a bukan relasi dengan b”.

Contoh : R = (A, A, P(x, y)) dimana A bilangan-bilangan asli P(x, y) berbunyi “y habis dibagi oleh x” maka R1 dan R2 adalah relasi bila 3 R1 12, 5 R2 15,

dan R3 bukan Relasi bila 2 R3 7.

Himpunan Jawaban dan Grafik Relasi

Himpunan Jawaban dari R: simbol R* Misal R = ( A, B, P (x,y)) adalah suatu relasiHimpunan jawaban dari relasi dinotasikan dengan R* R * = { (a,b) / a ε A, b ε B, P(a,b) adalah benar}

Contoh : R = (A, B, P(x, y))

27

A = {2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}Definisi kalimat terbuka P(x, y) : “y habis dibagi oleh x”.

Maka himpunan jawaban dari R adalah :R* = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

Grafik Relasi Diagram koordinat A x B adalah :

6 54 3

2 3 4

Relasi sebagai Himpunan dari Pasangan-pasangan TerurutMisalkan R* sebarang subhimpunan dari A x B, dapat didefinisikan :Suatu relasi R = ( A,B, P (x,y) dimana P(x,y) berbunyai :“ Pasangan terurut (x,y) termasuk dalam R “

Definisi : Suatu relasi R dari A ke B adalah subhimpunan dari A x B

Pernyataan : Misalkan himpunan A mempunyai m buah elemen dan himpunan B mempunyai n buah elemen , Maka :Terdapat 2 mn buah relasi dari A ke B yang berbeda,Karena A x B yang mempunyai mn buah elemen, memiliki 2 mn buah elemen yang berbeda.

Relasi Invers , dinotasikan R -1 :Setiap relasi R dari A ke B mempunyai suatu Relasi Invers R -1 dari B

ke A yang didefinisikan oleh R -1 = { ( b,a), / (b,a) ε R}Contoh : A = {1, 2, 3}

B = {a, b}R = {(1, a), (1, b), (3, a)} adalah relasi A B.

Relasi invers dari R adalah : R-1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}. Sifat-Sifat Relasi

28

Misal R=(A, A, P(x,y)) adalah suatu relasi dalam sebuah himpunan A dan misalkan R sebuah sub himpunan dari A x A maka R dapat disebut : Refleksif, Simetris, Anti Simetris, Transitif dan Ekivalen dengan definisi-definisi sbb:

Relasi RefleksifR disebut relasi refleksif pada himpunan A , jika untuk setiap a A maka (a, a) RContoh : A = {1, 2, 3, 4}

1 A, 2 A, 3 A, 4 A Maka (1,1), (2,2), (3,3) dan (4,4) harus dalam R

R = {(1,1), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}, maka R bukan reflleksif karena (2, 2) tidak termasuk dalam R

Soal : A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A !R1 = {(1,2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)}R2 = {(1,2), (2, 3), (1, 3)}R3 = {(1, 1), (2,2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}Manakah yang bersifat refleksif dan yang tidak ?

Relasi SimetrisR disebut relasi simetris pada himpunan A, Jika untuk setiap (a, b) R maka (b, a) RContoh : A = {1, 2, 3, 4}

R = {(1,3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)}R bukan relasi simetris karena:

(2, 3) R tetapi (3, 2) R.

Soal : A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A !R1 = {(1,1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)}R2 = {(1,1)}R3 = {(1, 2}R4 = {(1, 1), (3, 2), (2, 3)}R5 = A x AManakah yang bersifat simetris dan yang tidak ?

Relasi Anti SimetrisR disebut relasi Anti simetris pada himpunan A,

29

Jika (a, b) R dan (b, a) R, maka a = b.

catatan : - jika (a, b) R tetapi tidak ada (b, a) R maka R anti simetris

- Jika (a, b) R dan (b, a) R, tetapi a ≠b maka R tidak anti simetris

Relasi Transitif

R disebut relasi transitif pada himpunan A :jika (a, b) R dan (b, c) R maka (a, c) R catatan : - jika (a, b) R tetapi tidak ada (b, c) R maka R transitif

- Jika (a, b) R dan (b, c) R, tetapi (a,c) R maka R tidak transitif

Contoh : A = {a, b, c} R = {(a, b), (c, b), (b, a), (a, c)} bukan relasi transitif

karena (c, b) R dan (b, a) R tetapi (c, a) R.

Soal : A = {1, 2, 3}, perhatikan relasi-relasi berikut dalam A !R1 = {(1, 2), (2, 2) }R2 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)}R3 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 2)}R4 = A x AManakah yang bersifat transitif dan yang tidak ?

Relasi EkivalenR disebut relasi ekivalen pada himpunan A jika :a. R adalah refleksif, untuk setiap a A, (a, a) Rb. R adalah simetris, jika (a, b) R (b, a) Rc. R adalah transitif, jika (a, b) R, (b, c) R (a, c) R

30

Tugas / Latihan

1. Diketahui himpunan-himpunan sbb :A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {1, 3, 5, 6, 7}, carilah !a. A x (B C), (A C) x (B C), C – (A B)b. (A x B) C), (A C) x (B C), C x (B – A)

2. Misal A = {a, b, c}, B = {p, q} adalah fungsi konstan dari A ke B.a. Tentukan pasangan terurut f : A B dan gambarkan diagram

koordinatnya !b. Jika bukan fungsi konstan, tentukan pasangan terurut f : A – B

dan gambarkan diagram koordinatnya !

3. Jika bagaimana relasi itu dikatakan :a. Tidak refleksif dan tidak simetris !b. Tidak antisimetris dan tidak transitif !

4. a. R adalah relasi dalam bilangan ganjil A = {1, 3, ….} dan didefinisikan oleh “3x + y <= 11”

b. R adalah relasi dalam bilangan genap A = {2, 4, ….} dan didefinisikan oleh “2x + y <= 10”

Ditanya !a. Tuliskan R sebagai himpunan pasangan-pasangan terurut

(himpunan jawab dari R) !b. Tentukan sifat dari relasi tersebut !c. Relasi ini merupakan fungsi atau bukan ?

5. Misalkan A = {2, 4, 8, 9}Buat suatu relasi yang bersifat refleksif, simetris, antisimetris, transitif dan ekivalen (setiap relasi minimal 4 pasangan) !

31

BAB 7

TEORI HIMPUNAN LANJUT

Aljabar HimpunanJika A, B, C adalah himpunan-himpunan akan berlaku hukum aljabar himpunan sbb :1. A A = A

A A = A } hukum idempoten

2. (A B) C = A (B C)(A B) C = A (B C) } assosiatif

3. A B = B AA B = B A } komutatif

4. A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C) } distributif

5. A = A A = A S = S A S = A } hukum identitas

6. A A` = S A A` = (A`)` = A S` =

` = S } komplement

7. (A B)` = A` B`(A B)` = A` B` } de Morgan

Contoh :a. Buktikan (A B) (A B`) = A

* (A B) (A B`) = A (B B`) distributif* B B` = , sehingga (A B) (A B`) = A * A = A identitas, Jadi (A B) (A B`) = A

b. Buktikan A B dan B C maka A C !

32

* A = A B, B = B C definisi subset* A = A (B C) substitusi* A = (A B) C assosiatif* A = A C substitusi, Jadi A C definisi subset.

Dualitas Dual adalah mempertukarkan pernyataan dalam himpunan menjadi pernyataan baru, yaitu mempertukarkan dengan atau sebaliknya dan U dengan atau sebaliknya

Contoh : dual dari (A B) (A C) = AAdalah (A B) (A C) = A

Indexed Sets (Himpunan Berindex) ??? A ?

Misal x1 = {2, 3}, x2 = {4, 5, 6}, x3 = {6, 7, 8} dan I = {1,2,3}Perhatikan :* Setiap elemen i terdapat sebuah himpunan Ai

* Indeks bawah i dari xi yaitu setiap i I di namakan indeks* I dinamakan himpunan indeks * himpunan {x1, …, x3} dinamakan himpunan berindekssehingga sebuah keluarga himpunan berindeks di atas dinyatakan sebagai {xi}i I

Contoh : Definisikan xi = {y y kelipatan i }, dimana i I.x1 = {1, 2, 3, 4}, x2 = {2, 4, 6, ….}, x3 = {3, 6, …}maka I = {1, 2, 3}

Operasi dibuat umumUntuk himpunan A1, …. An maka i

n=1 Ai = A1 A2 …. An

in=1 Ai = A1 A2 …. An

misal J I, i J Ai = {x terdapat i J sehingga x Ai}i J Ai = {x x Ai untuk i J}

Contoh : An = (0, 1/n), dimana n N adalah bilangan asli, maka :i N Ai = {0}i N Ai = {0, 1}

33

PartisiMisal A = {2, 3, 4, 5, …., 9}

B1 = {2, 3}, B2 = {4, 5, 6}, B3 = {7, 8, 9}B1, B2, B3 adalah keluarga himpunan dan dinamakan partisi dari A.Syarat partisi : i N Bi = Gabungan B i adalah A, dan

i N Bi = Irisan Bi = 0

Tugas/Latihan

1. Buktikan bahwa (B C) A = (B A) (C A) !

2. Buktikan bahwa (A B) (A B`) = A

3. Jika A B = S, maka A` B. Buktikan !

4. Bi = (i, i * 2) dimana i Z adalah bilangan bulat. Carilah : B1 B2, B3 B4, B3 B5

5. A1 = {1, 10}, A2 = {2, 4, 6, 10}, A3 = {3, 6, 9}A4 = {4, 8}, A5 = {5, 6, 10}, dan J = {2, 3, 5}Cari : i J Ai; i J Ai

6. An = {x x adalah kelipatan n}, n N bilangan asli.Cari : A3 A5 ; A4 A6

BAB 8

34

LANJUTAN FUNGSI

Diagram FungsiDiagram fungsi dikatakan komutatif jika ada sembarang jalan memiliki tujuan yang sama.

Contoh : h jA B D

ki l

C i = k h, fungsi sama.

Maka diagram ini komutatif, karena jh = li, kh = i, jh = lkh

Aljabar fungsi bernilai riil dinyatakan secara spesifik, misal :f : A R# dan g : A R# dan jika k R#, maka fungsi dapat didefinisikan sbb :- (f + k) : A R# oleh (f + k)(x) f(x) + k- (f) : A R# oleh (f )(x) f(x)- (kf) : A R# oleh (kf)(x) k(f(x))- (fg) : A R# oleh (fg)(x) f(g(x)) f(x)g(x) Catatan : f dan g adalah fungsi K = konstanta

Contoh : misal A = {a, b} dan f : A R# dan g : A R# didefinisikan : f(a) = 1, f(b) = 2 dan g(a) = 2, g(b) = 1

Carilah : (3f + 2g)(a) !(3f + 2g)(b) !

Jawab : f(a) = 1, f(b) = 2 f = {(a, 1), (b, 2)}g(a) = 2, g(b) = 1 g = {(a, 2), (b, 1)}

maka : (3f + 2g)(a) 3f(a) + 2g(a)= 3(1) + 2(2) = 7

(3f + 2g)(b) = 3f(b) + 2g(b)= 3(2) + 2(1) = 8

3f + 2g = {(a, 7), (b, 8)}

35

Fungsi Pilihanf : {Ai}i I B apabila {Ai}i I adalah keluarga himpunan yang

tidak kosong dari B.fungsi ini dinamakan fungsi pilihan, untuk setiap :i I, f(Ai) Ai jika bayangan adalah elemen dalam himpunan.Contoh : A1 = {1, 2, 3}, A2 = {1, 3, 4}, A3 = {2, 5}

B = {1, 2, 3, 4, 5} dan perhatikan !

f g

f bukan fungsi pilihan f(A2) A2

g fungsi pilihan g(A1) A1; g(A2) A2; g(A3) A3

Fungsi Karakteristik simbol XA

Misal A = sebarang sub himpunan dari sub himpunan universal U, maka fungsi bernilai riil X A : U {1,0} yang didefinisikan oleh : XA ( x) = 1 jika x x A ( x di dalam A )

0 jika x A (x tidak di dalam A)dinamakan Fungsi Karakteristik dari A

Tugas/Latihan

1. fungsi-fungsi komutatif ditunjukkan sbb :f a, h b, g c, g d a, h e c, h e d a

36

12345

a1a2a3

12345

a1a2a3

yang menyatakan fungsi dari A ke dalam E yang terdiri dari huruf-huruf A, B, C, D, E !* Buat diagram fungsi yang ditulis dari kanan ke kiri !* Tunjukkan fungsi mana saja yang sama !

2. misal A = {a, b, c}, f dan g adalah fungsi riil dan di definisikan :f(a) = 2, f(b) = -2, f(c) = 3g(a) = 2, g(b) = 0, g(c) = 1Carilah : f + 3g; fg – 3f; g(x);(g + 2)(x) !

37

BAB 9

HIMPUNAN TERORDE PARSIAL DANHIMPUNAN TERORDE TOTAL

Terorde ParsialJika tiap-tiap dua elemen dalam sebuah himpunan terorde adalah elemen-elemen yang tidak dapat dibandingkan, maka dinamakan orde parsial

Terorde TotalJika tiap-tiap dua elemen dalam sebuah himpunan terorde adalah elemen-elemen yang dapat dibandingkan, maka dinamakan orde Total

Jika sebuah hubungan R dalam A sebuah orde parsial dalam A, maka (a, b) R dinyatakan oleh a < b a mendahului b.Notasi tambahan himpunan terorde parsial :* a < b berarti a b dan a , baca “a secara seksama mendahului b”* b a berarti a b “b mendominasi a”* b > a berarti a < b “b secara seksama mendominasi a”

Jika sebuah hubungan R dalam A sebuah orde total dalam A, maka sifat sama dengan terorde parsial diatas dengan sifat tambahan : a < b, a = b atau a > b untuk sembarang dua elemen a dan b yang merupakan elemen A.

Definisi : elemen pertama, elemen terakhir, elemen minimal, elemen maksimal

misal A adalah sebuah himpunan terorde dan untuk setiap elemen x A, elemen a A dan b A dikatakan :

* a elemen pertama jika a x ( elemen a mendahului setiap elemen dalam A)

* b elemen terakhir jika x b ( elemen b mendominasi setiap elemen dalam A)

38

* a elemen minimal jika x a menyatakan a = x( tidak ada elemen dalam A yang mendahului a)

* b elemen maksimal jika b xmenyatakan b = x ( tidak ada elemen dalam A yang mendominasi b) Lihat gambar 1 dan gambar 2 dibawah ini :

Gambar 1. Gambar 2.a a b

b c e

d e c d

Pada gambar 1. Pada gambar 2.Elemen terakhir = a = -Elemen pertama = - = -Elemen maksimal = a = a, bElemen minimal = d, e = c, d

Orde parsial pada gambar 2 memiliki subhimpunan {a, e, c}, (b, e, d}, {a, d} adalah terorde total.

Sub himpunan {a, e, b}, {d, c} tidak terorde total.Orde total: elemen pertama/minimal dan elemen terakhir/maksimal

hanya ada satu elemen.

Contoh : A = {a, b, c, d, f}, B = {60, 30, 45, 15, 3, 5, 1} diorde sbb:

a 45 60

b c 15 30

d f 5 3

139

1. Isilah dengan notasi yang benar : <, >, a. d < a c. b cb. a > d d. f < a

2. Apakah sub himpunan berikut terorde total atau tidak ?a. {45, 15, 5}b. {60, 15}c. {1, 3, 30, 60}d. {60, 30, 15, 3} e. {60, 1}f. {5}

Lower Bound dan Upper BoundMisal ada sebuah sub himpunan B dari sebuah himpunan terorde parsial A, maka :

Lower Bound (batas bawah)* Elemen a A dinamakan lower bound (batas bawah) dari B, jika

seitap x B yaitu a x.Infimum (batas bawah terbesar)* Jika batas bawah dari B mendominasi setiap lower bound yang

lainnya dinamakan greatest lower bound (batas bawah terbesar) atau infimum dari B yang dinotasikan inf(B).

Upper Bound (batas atas)* Elemen b A dinamakan upper bound (batas atas) dari B, jika

seitap b menodminasi setiap elemen dalam B, yaitu jika setiap x B x b.

Supremum (batas atas terkecil)* Jika batas atas dari B mendahului setiap batas yang lainnya

dinamakan least upper bound (batas atas terkecil) atau supremum dari B yang dinotasikan sup(B).

Catatan : * Lower bound/ Upper bound bisa banyak, satu atau tidak ada* Infimum/ Supremeum paling banyak hanya satu elemen

40

Contoh : misal A = {1, ….., 8} diorde sbb :

1 2

3

4 5

6 7

8

ada sub himpunan B = {4, 5, 6} dari A, carilah !

a. Batas atas dari B ! 3, 1, 2 Batas bawah dari B ! 6, 8b. Supremum dari B ! 3 Infimum dari B ! 6c. Elemen pertama dari B ! 6 Elemen pertama dari A ! 8d. Elemen terakhir dari B ! - Elemen terakhir dari A ! -e. Maksimal dari A ! 1, 2 Minimal dari A ! 8f. Elemen pertama dari batas atas dari B ! 3

41

BAB 10

ALJABAR PROPOSISI

Kalimat Deklaratif* Mempunyai nilai logika benar atau salah* Benar bernilai 1 = T

Salah bernilai 0 = F

Kata Penghubung Kalimat :1. Negasi/Ingkaran/Peniadaan/Not

* P atau ~P diucapkan “tidaklah p”* Jika P benar maka ~P salah* Contoh : P ~P

F TT F

2. Konjungsi* P Q diucapkan “P dan Q” P Q* Bernilai salah jika salah satu pernyataan salah* Contoh : P Q P Q

F F FF T FT F FT T T

Catatan : * P, Q, ….. adalah variabel* Jumlah baris kombinasi F dan T adalah 2n

dimana n = jumlah variabel

3. Disjungsi* P Q diucapkan “P atau Q” P Q* Bernilai benar jika salah satu pernyataan benar.* Contoh : P Q P Q

F F FF T TT F TT T T

42

4. Conditional Statement/Bersyarat/Implikasi* P Q P Q diucapkan :

“ jika P maka Q” atau “P hanya jika Q” atau “ P cukup untuk Q” atau “Q perlu untuk P”

* Bernilai benar kecuali jika P benar dan Q salah.* Contoh : P Q P Q

F F TF T TT F FT T T

5. Biconditional/Biimplikasi* P Q dicapkan “ P jika dan hanya jika Q”* Bernilai benar jika pernyataan/nilai kebenarannya sama, jika

berbeda maka menjadi salah.* Contoh : P Q P Q

F F TF T FT F FT T T

6. Tabel Kebenaran, Tautologi, dan Kontradiksi.* Proposisi ~(P ~Q) dapat disusun dalam tabel kebenaran sbb :

P Q ~Q P ~Q ~(P ~Q)F F T T FF T F F TT F T T FT T F T F

Hasil

* Untuk memudahkan penyusunannya dapat dibuat sbb :

P Q ~ (P ~ Q)F F F F T T FF T T F F F TT F F T T T FT T F T T F T

hasil

Kontradiksi43

* Proposisi P ~P adalah sebuah kontradiksi, karena akan menghasilkan nilai F dalam kolom akhir.

Tautologi* Proposisi P ~P adalah sebuah tautologi karena menghasilkan

nilai T pada hasil akhir.

Buktikan : * Jika P menyatakan Q dan Q menyatakan R maka P menyatakan

R dengan proposisi :[(P Q) (Q R)] (P R) adalah tautologi.

* Dua proposisi dikatakan ekivalen secara logis (kesetaraan) jika tabel kebenarannya identik.Contoh : (P Q) (Q P) P Q.

Tugas/Latihan

1. Misalkan p adalah “ udara dingin “ dan q adalah “ hujan sedang turun “ Berikanlah kalimat kata kerja sederhana yang menjelaskan setiap pernyataan berikut :a. ~P d. ~ ~ qb. p q e. ( p q ) pc q p f . q ~ p

2. Misalkan p adalah “ dia tinggi “ dan q adalah “ dia ganteng” Tuliskan setiap pernyataan berikut dalam bentuk simbolik

dengan menggunakan p dan q. a. dia tinggi dan ganteng b. tidak benar bahwa dia pendek atau ganteng c. dia tidak tinggi dan juga tidak ganteng d. dia tinggi, atau dia pendek dan ganteng

3. Carilah tabel kebenaran setiap proposisi : a. ~ p q b. ~ ( p ~ q ) c. ( p q ) ( p q ) d. ~ ( p q) ~ ( q p )

BAB 1144

ALJABAR BOOLE

Aljabar Boole adalah sebuah himpunan misal A yang terdiri dari elemen-elemen a, b, c, …. dan ada dua operasi biner yang dinamakan penjumlahan (+) dan perkalian (*).

Misal sebuah himpunan A = {1, 0} dan misalkan ada dua operasi + dan * didefinisikan pada himpunan A yang disebut aljabar Boole sebagai berikut :

+ 1 0 * 1 01 1 1 1 1 00 1 0 0 0 0

Misalkan ada dua sakelar A dan B yang dihubungkan dalam sebuah rangkaian seri dan rangkaian sejajar yang berturut turut menyatakan A dan B dihubungkan seri, serta A dan B dihubungkan sejajar maka dapat digambarkan dalam rangkaian penggentai/logika berikut ini :

Rangkaian seri A B Rangkaian paralel A B

Sifat sebuah rangkaian pengganti Boole dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel yang analog dengan tabel kebenaran untuk proposisi. Misalkan ada rangkaian sbb :

45

A B

A

B

B

A`

A

Rangkaian ini sifatnya dapat dibuktikan, saat bagaimana rangkaian tersebut tersambung (on) dan terputus (off). Hal ini dapat dibuktikan dari sebuah tabel kebenaran yang dibentuk untuk polinomial Boole A (B A`) sebagai berikut :

A B A` B A` A (B A`)1 1 0 1 11 0 0 0 00 1 1 1 00 0 1 1 0

Jadi rangkaian akan tersambung (arus mengalir) hanya jika A dan B keduanya tersambung. Contoh-contoh soal :1. Bentukklah sebuah rangkaian pengganti untuk setiap polinomial

Boole berikut :a. (A B) [A` (B` B)]b. (A B) C (A` B`)

2. Bilamanakah rangkaian tersebut akan menyala / tersambung ?

Tugas/Latihan 1. Bentuklah sebuah rangkaian untuk setiap polinomial boole berikut ini :

a. A ( B A ‘) C

b. [A ( C B ‘ ) ( B C’)

c. { [ ( A B ) C ] A ‘ } B

d. ( A B) [ A’ ( B A B ) ]

e ( A B) C ( A’ B ‘ C’)

BAB 1246

SISTEM BILANGAN

Suatu sistem komputer melakukan pengolahan data dalam kode-kode yang berhubungan dengan sistem bilangan Binary ( biner). Ini berarti bentuk data yang digunakan dalam pengolahan adalah dalam bentuk binary yang mempunyai digit 0 dan 1.

Suatu sistem bilangan senantiasa mempunyai :a. Base (Radix)

Merupakan maksimum angka/simbol yang digunakan dalam sistem tersebut

b. Absolute DigitJenis-jenis angka / simbol yang mempunyai nilai yang berbeda-beda dalam sistem tersebut

c. Positional ValueNilai yang terkandung pada suatu posisi, yaitu perpangkatan dari basenya

Jenis sistem bilangan yang dibahas :1. Sistem Bilangan Dasar 10 (decimal / desimal)2. Sistem Bilangan Dasar 2 ( binary / biner)3. Sistem Bilangan Dasar 8 (octal / oktal) 4. Sistem bilangan Dasar 16 (hexadecimal/ Heksadesimal)

1. BILANGAN DASAR SEPULUH (DESIMAL)Base : 10Absolute digit : 0,1,2,....,9Positional value : 100 101 102 dst (dimulai dari kanan)Contoh : 743 adalah bilangan bulat yang berasal dari :Positional value : 102 101 100

Absolute digit : 7 4 3 7x10x10 4x10 3x10 700 40 3

Nilai dari angka/bilangan tersebut adalah : 3 + 40 +700 = 743Contoh : 9.35 adalah bilangan pecahan yang berasal dari :

47

Positional Value : 100 10-1 10-2

Absolute digit : 9 3 5 9x10 3x1/10 5x1/100 9 0.3 0.05

Nilai dari angka/bilangan tersebut adalah : 0.05 + 0.3 + 9 =9.35

2. BILANGAN DASAR DUA (BINER)Base : 2Absolute digit : 0, 1Positional value: 20 21 22 dst (dimulai dari kanan)Contoh : 101 adalah bilangan bulat yang mempunyai nilaiPositional value: 22 21 20

4 2 1Absolute digit : 1 0 1

4+ 0+ 1 = 5

Contoh : 101.01 adalah bilangan pecahan yang mempunyai nilaiPositional value: 22 21 20 2-1 2-2

4 2 1 ½ ¼ Absolute digit : 1 0 1 0 1

4+ 0+ 1+ 0 + ¼ = 5.25

3. BILANGAN DASAR DELAPAN (OKTAL)Base : 8Absolute digit : 0, 1, 2, ..., 7Positional value: 80 81 82 dst (dimulai dari kanan)

Contoh : 375 adalah bilangan bulat yang mempunyai nilaiPositional value: 82 81 80

64 8 1Absolute digit : 3 7 5

192+ 56+ 5 = 253

Contoh : 375.36 adalah bilangan bulat yang mempunyai nilai

48

Positional value: 82 81 80 8-1 8-2

64 8 1 1/8 1/64Absolute digit : 3 7 5 3 6

192+ 56+ 5+ 3/8+ 3/32 = 253.47

4. BILANGAN DASAR ENAM BELAS (HEKSA)Base : 16Absolute digit : 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, FPositional value: 160 161 162 dst (dimulai dari kanan)

Contoh : 2AD adalah bilangan bulat yang mempunyai nilaiPositional value: 162 161 160

256 16 1Absolute digit : 2 10 13

512+ 160+ 13 = 685

Contoh : 2AD.51 adalah bilangan bulat yang mempunyai nilaiPositional value: 162 161 160 16-1 16-2

256 16 1 1/16 1/256Absolute digit : 2 10 13 5 1

512+ 160+ 13+ 5/16 1/256 = 685.3

Tabel bilangan dengan basis yang berbeda

49

Desimal Basis 10

Binary Basis 2 Octal Basis 8Hexadecimal

Basis 1600 0000 00 001 0001 01 102 0010 02 203 0011 03 304 0100 04 405 0101 05 506 0110 06 607 0111 07 708 1000 10 809 1001 11 910 1010 12 A11 1011 13 B12 1100 14 C13 1101 15 D14 1110 16 E15 1111 17 F

Operasi-Operasi Bilangan Biner

Penjumlahan Pengurangan Perkalian

101101 101101 1011100111 100111 1011010100 000110 1011

0000 1011

110111

Pembagian

50

101010 : 110 11110 : 101

110 | 101010 | 111 101 | 11110 | 110 110 101 1001 0101 110 101

0110 00 110

0

1010 : 10

10 | 1010 | 10110010

10 00

KONVERSI SISTEM BILANGAN1. Konversi sistem bilangan lain ( basis 2/8/16) ke basis 10 2. Konversis sistem bilangan 10 ke lainnya (basis 2/8/16)

Bilangan biner ke desimal(1010.011)2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 + 0x2 -1 + 1x2-2 +1x2-3

= 10.37510

Bilangan oktal ke desimal(630.4)8 = 6 x 82 + 3 x 81 + 0 x 80 + 4 x 8-1

= (408.5)10

Bilangan desimal ke biner4110 = x2

koef sisa41/2 = 20 a0 = 1 120/2 = 10 a1 = 0 010/2 = 5 a2 = 0 05/2 = 2 a3 = 1 12/2 = 1 a4 = 0 01/2 = a5 = 1 1sehingga 4110 = 1010012

Bilangan desimal ke oktal15310 = x8

51

sisa153/8 = 19 119/8 = 2 32/8 = 2sehingga 15310 = 2318

Bilangan desimal < 1 ( pecahan ) ke biner0.687510 = X2

koef0.6875 x 2 = 1.3750 a-1 = 10.3750 x 2 = 0.7500 a-2 = 00.7500 x 2 = 1.5000 a-3 = 10.5000 x 2 = 1.0000 a-4 = 1sehingga 0.687510 = 0.10112

Bilangan desimal ke oktal (0.513)10 = x8

0.518 x 8 = 4.104 a-1 = 40.104 x 8 = 0.832 a-1 = 00.832 x 8 = 6.656 a-1 = 60.656 x 8 = 5.248 a-1 = 50.248 x 8 = 1.984 a-1 = 1dst. sehingga 0.51310 = (0.40651)8

Tugas/Latihan 1. Konversikan bilangan –bilangan dibawah ini : a. (125 ) 10 = ( ) 2 = ( ) 8 = ( ) 16

b. ( BC) 16 = ( ) 8 = ( ) 2 = ( ) 10

2. Jumlahkan bilangan-bilangan dibawah ini : a. (A10 ) 16 + (1A) 16

b. (10011) 2 + (1111) 2

c. (67) 8 + (123)8

3. Kurangkan bilangan-bilangan dibawah ini a. (1001001 ) 2 - (1111) 2 b. (1234 ) 8 - (56) 8

c. ( ABCD) 16 - (EF) 16

BAB 13COMPLEMENT

R`S COMPLEMENT DARI N Rumus : r’s complement dar N : rn – N

52

Catatan : N = bilangan positif, ( untuk N = 0 ) r = basis n = jumlah digit bila N = 0, maka r` complement : 0

Ten’s Complement 10` complement (52520)10

r = 10N = 52520n = 5rn – N = 105 - 52520 = 47480

10`s complement (0.3267)10

r = 10N = 0.3267n = 0rn – N = 100- 0.3267 = 1 – 0.3267 = 0.6733

10`s complement (25.639)10

r = 10N = 25.639n = 2rn – N = 102 – 52.639 = 74.361

Two’s Complement 2`s complement (101100)2

r = 2N = 101100n = 6rn – N = (26)10 – (101100)2 = (1000000 – 101100)2

= 010100

2`s complement (0.0110)2

r = 2N = 0.0110n = 0rn – N = 20 – 0.0110 =1 – 0.0110 = 0.1010

53

(R-1)`S COMPLEMENT(r-1)`s complement rn – rm – N

Catatan : N = bilangan positif r = basis n = dengan n digit untuk integer

dengan m digit untuk fractional (pecahan) Nine’s Complement9`s complement (52520)10

r = 10n = 5 N = 52520m = 09`s complement 52520 = rn – rm – N = 105 - 10-0 – 52520

= 100000 - 1 – 52520= 47479

9`s complement (0.3267)10 = rn – rm – N = 100 - 10-4 – 0.3267 = 1 – 0.0001 – 0.3267

= 0.67329`s complement (25.639)10 = rn – rm – N

=102 - 10-3 – 25.639 = 100 – 0.001 – 25.639 = 74.360

One’s Complement1`s complement (101100)2

N = 101100r = 2n = 6m = 0rn – rm – N =(26 – 2-0) – 101100 = 1000000 – 1 = 111111 – 101100 = 010011

PENGURANGAN DENGAN R`S COMPLEMENTM – N;M dan N bilangan positif dengan basis r Langkah-langkah:1. Tambahkan M dengan r`s complement pengurangan N2. Bila hasil dari langkah 1 :

54

a. Terdapat angka 1 pada penjumlahan terakhir, hilangkan angka 1 tersebut maka hasilnya adalah bilangan tersebut

b. Bila tidak terdapat angka 1 pada penjumlahan terakhir maka hasilnya adalah minus r`s complement bilangan tersebut

Gunakan 10`s complement !Contoh : 1.72532 – 3250

M = 72530N = 0325010`s complement dari N adalah 96750, sehingga :

7253096750 +

1/69282 sehingga hasil = 69282

Contoh : 2.3250 – 72532M = 03250N = 7253210`s complement N adalah 27468, sehingga :

0325027468 +

0/ 30718 sehingga=M-N = - (10`s compl. 30718) = - 69282

Gunakan 2`complement M-N Binary

Contoh : 1010100 – 1000100M = 1010100N = 10001002`s complement N adalah 0111100, sehingga :

10101000111100 +

1/0010000 sehingga M – N = 10000

Contoh : 1000100 - 1010100M = 1000100N = 10101002`s complement N adalah 0101100, sehingga :

10001000101100 +

55

0/1110000

sehingga M – N = - (2`s compl. 1110000)= - 10000(2`s compl. 1110000 = 0010000)

PENGURANGAN DENGAN (R-1)`S COMPLEMENTM – N ; M dan N bilangan positif dengan basis rLangkah – langkah :1. Tambahkan M dengan (r-1)`s complement dari pengurang N2. Bila hasil dari langkah 1 :

a. Terdapat angka 1 pada penjumlahan terakhir, tambahkan angka 1 tersebut pada digit terakhir dari hasil. Hasil adalah angka yang sudah dijumlahkan

b. Bila tidak terdapat angka 1 pada penjumlahan terakhir maka hasilnya adalah minus (r-1)`s complement dari hasil penjumlahan

Gunakan 9`s complement ! Contoh : 1.72532 – 3250

M = 72532N = 032509`s complement dari N adalah 96749, sehingga :

7253296749 +

1/ 69281 sehingga hasil = 69281 1 +

69282

Contoh : 3250 – 72532M = 03250N = 725329`s complement dari N adalah 27467, sehingga :

0325027467 +

56

0/ 30717 sehingga = M – N = - (9`s compl. 30717) = - 69282

Gunakan 1` complement M – N BinaryContoh 3. 1010100 – 1000100

M = 1010100N = 10001001` s complement N adalah 0111011, sehingga :

10101000111011 +

1/ 0001111 sehingga M – N = 0001111 1 +

0010000Hasil : 10000

Contoh 4. 1000100 - 1010100M = 1000100N = 10101001` s complement N adalah 0101011, sehingga :

10001000101011 +

0 1101111sehingga M–N = - (2`s comp 1101111)

= - 10000(1`s compl 1101111 = 0010000)

57