Giai tich 2

7/29/2019 Giai tich 2

1/27

GIO TRNH TON CAO CP A2

CHNG I: PHP TNH VI PHN HM NHIU BIN

I. TP HP R

N

V HM NHIU BIN1. R

nv cc tp con

Vi n l mt s nguyn dng k hiu nc dng ch tp hp tt c cc b n sthc x1, x2, xn) v ta thng gi

nl khng gian thc n chiu hi b s thc

(x1, x2,xn) c t tn l th ta vit l

P(x1, x2, xn)

V gi n l mt im trong khng gian n.

Cho 2 im x1, x2, xn) v y1, y2, yn) trong Rn, khong cch gia hai im

P v k hiu l d c nh ngha bi:

d(P, Q) =

Khong cch ny tha bt ng thc tam gic sau y

d(P, Q) d R) + d(R, Q)

vi im ty

im x1, x2, xn) cn c vit gn di dng xx1, x2, xn) vi xx1, x2, xn) v yy1, y2, yn), khong cch gia x v y cn c vit bi

| x y |=

Cho v r l s thc dng tp hp B(P, r) = { | d(P, Q) < r} cgi l hnh cu mtm bn knh r hay l ln cn bn knh r ca

Tp hp trong nc gi l b chn nu c r sao cho , vi lim

2. Hm nhiu bin

Cho n l mt s nguyn vi n t php tng ng f nR c gi l mt hm

n bin Tp hp cc im m f xc nh c gi l min xc nh ca f Tak hiu min xc nh ca f l f

V d

1

Su tm v chnh sa by Nguyn Hi ng

7/29/2019 Giai tich 2

2/27


1) Hm f 2R

(x, y) f(x, y)=

L mt hm bin c min xc nh l tp hp tt c cc im x y sao cho4-x

2-y

2>0. Vy f hnh cu mtm bn knh trong 2.

2) g : R3R vi gx y zx2+(y+z)/2 l mt hm 3 bin c min xc nh l

D(g)=R3.

Ta ch c th biu din hnh hc bng v th cho hm bin z fx y th ca hm bin ny l tp hp cc im trong khng gian 3 sau y

G(f)={(x, y, f(x, y)) | }

y l mt mt cong trong khng gian chiu vi h ta escartes xyz

V d

th ca hm z l na trn ca mt cu tm bn knh trong khng gian chiu xyz

II. GII HN V TNH LIN TC

1. nh ngha gii hn

Cho hm n bin z f x1, x2, xn) xc nh trn mt ln cn bn knh r ca mt

dim v c th khng xc nh ti Ta ni z f x1, x2, xn) tin v(hay c gii hn l hi x1, x2, xn) dn n nu vi mi cho trctn ti sao cho

0 < d (P, M) < | f L | <

Khi ta vit

Trong trng hp hm bin z f x y th gii hn c thc vit l

Hay c th vit

2


7/29/2019 Giai tich 2

3/27


Tng t nhi vi hm mt bin ta cng c cc nh ngha gii hn v cng vgii hn v tn nh sau

V d

1).

2).

3).

4).

2. Slin tc

nh ngha hm s z f x1, x2, xn) c gi l lin tc ti im khi:

V d hm fx y lin tc ti mi im xo, yo) khc

Tng t nh hm mt bin lin tc trn mton , ta cng c tnh cht tgi tr ln nht v nh nht trn min ng v b chn

III. O HM V VI PHN

1. o hm ring

n gin cho vic trnh by y ta s xt cc o hm ring ca hm bin ivi hm n bin th hon ton tng t

3


7/29/2019 Giai tich 2

4/27


nh ngha cho hm bin z f x y o hm ring theo bin x ti im xo, yo) lgii hn nu c sau y

v o hm ring theo bin x c k hiu l hay vn tt l fx(xo, yo). Ta

cn c th k hiu o hm ring ny bi zx (xo, yo) hay (xo, yo).

o hm ring theo bin y ca hm x f x y ti xo, yo) c nh ngha tng tbi

=

Nhn xt d thy rng fx (xo, yo) =

T ta c th tnh do hm ring theo bin x ti xo, yo) bng cch coi y yo l hngs v tnh o hm ca hm mt bin fx yo) ti x xo. Tng t tnh o hm

ring theo bin y ti xo, yo) ta tnh

o hm ca hm mt bin fx yo) ti y yo (xemx = xo l hng s

V d

1). Cho z = x2y. Tnh z

x v z

y

Xem y nh hng s v tnh o hm theo bin x ta c z

x = 2xy.

Tng t xem x nh hng s v tnh o hm theo bin y ta v xy =x

2.

2) . Tnhzx,zy vzx(4, ). Xemy nh hng s ta c

4


7/29/2019 Giai tich 2

5/27


Xemx nh hng s ta c

2. o hm ring cp cao

Cc o hm ringzx vzy ca hmz =f(x,y) c gi l cc o hm ring cp o hm ring cp ca mt hm l o hm ring cp 1) ca o hm ring cp ca hm m binz =f(x,y) c bn o hm ring cp sau y

1)

o hm ring cp ny cn c k hiu bng cc cch khc nhau

nh sau

2)

o hm ring cp ny cn c k hiu bi

3)

o hm ring cp ny cn c k hiu bi

4)

cn c k hiu l .

5


7/29/2019 Giai tich 2

6/27


Hon ton tng t ta cng c nh ngha v k hiu cho cc o hm ring

cp cao hn hng hn hay

hay v hai o hm ring cp ny

cn c vit l .

V d

1)z =x4

+y42x

3y

3. Ta c

zx = 4x34xy

3

zy = 4y36x

2y

2

z"xx = 12x24y

3

z"yy = 12y212x

2y

z"xy = -12y2

z"yx = -12 y2

2) Xt hm s

Ta c vi x,y) th

YjWi (0, 0) thf(0, 0) = 0.

Do

ti x,y)

6


7/29/2019 Giai tich 2

7/27


v

suy ra

Hon ton tng t ta tnh c

ti x y

v

Qua v d trn ta thy cc

o hm ring theo cng cc bin nh

ng khc th tkhng phi bao gicng bng nhau. Tuy nhin nh Osau y cho ta iukin Fic o Kjm ringz"xyYjz"yx bng nhau.

nh O: Nuf(x,y) c cc o hmf"xy vf"xy trong mt ln cn ca im x0,y0)th

ch rng nh l trn cng mrng c ra cho cc o hm cp cao hn v nhiubin hn

3. Vi phn ton phn

nh ngha:

Hm sz =f(x,y) c gi l kh vi ti x0,y0) nu s gia ton phn

theo cc s gia x, y ca cc binx,y ti x0,y0) c thc vit di dng

trong A,B l cc hng s khng ph thuc x, y) v 0, 0 khix0, y0.

7


7/29/2019 Giai tich 2

8/27


Biu thc c gi l vi phn ca hm sfti x0,y0), k hiu ldf(x0,y0).

nh l:

(i) Nuf(x,y) kh vi ti x0,y0) thfc o hm ring cp ti v

(ii) Nuf(x,y) c cc o hm ring trn ln cn ca x0,y0) vfx,fy lintc ti x0,y0) th f kh vi ti x0,y0).

Ch rng khi xt cc trng hp c bitf(x,y) =x v g(x,y) =y ta c vi phn dx =x v dy = y. Do cng thc vi phn cp caf(x,y) cn c vit di dng

df=fx.dx +fy.dy

v cn c gi l vi phn ton phn ca hmf(x,y).

V d Vi , ta c

vy

Tnh cht: Tng t nhi vi hm mt bin ta c cc tnh cht sau y ca viphn

d(f+ g) = df+ dg

d(f.g) = g.df+f.dg

(vi g 0).

8


7/29/2019 Giai tich 2

9/27


ng dng vi phn tnh gn ng

Gi sz =f(x,y) kh vi ti x0,y0). Khi theo nh ngha ca vi phn ta c

th tnh gn ngf(x,y) bi

vi x,y) gn x0,y0).

V d: Tnh gn ng

Xt hm sf(x,y) = , ta tnh gn ng

A =f(1,02; 1,97) nh sau

f(1,02; 1,97) f(1, 2) +fx(1, 2).(1,02 - 1) +fy(1, 2).(1,97 - 2)

vi f(1, 2) = = 3

Suy ra

4. Vi phn cp cao

Cho hm bin z fx y

Bn thn cng l mt hm theo bin x y nn ta cth xt vi phn ca n u dfx y c vi phn th vi phn c gi l vi phn cp2 ca fx y k hiu l d2f (x, y) hay vn tt l d2f. Vy

d2f = d(df)

Tng qut vi phn cp n nu c ca fc nh ngha bi

9


7/29/2019 Giai tich 2

10/27


Cng thc vi phn cp ca zfx y

Gi thit thm rng cc o hm hn hp lin tc th ta c

v do

hay ta c

Ngi ta dng k hiu lu tha mt cch hnh thc vit li cng thc vi phn cp di dng

Tng t cng thc vi phn cp n ca z fx y c thc vit di dng

v cng thc ny cngng cho tr

ng hp nhiu bin h

n

IV. O HM CA HM HP

1. Trng hp mt bin c lp

Gi s z fx y v x y li l cc hm theo t x xt y yt Vy zt fxt ytl hm bin theo t o hm ca zt theo bin t c tnh theo cng thc sau y

10


7/29/2019 Giai tich 2

11/27


V d

Tnh nu , trong xcost ysint

Tnh nu trong ycosx

2. Tr

ng hp nhiu bin

c lp

Gi s z fxy v x y li l cc hm theo cc bin s t hi tnh cc o hmring theo s v t ca hm hp f xst yst ta cng c cc cng thc tng t nhi vi hm mt bin sau y

V d

Tm v nu z fxy trong x uv v y

Ta c , , v .

Do

11


7/29/2019 Giai tich 2

12/27


Cho z = f(x,y,t), trong x xt y yt

Tnh o hm ca hm hp

z(t) = f (x(t), y(t), t).

Ta c

=

=

V. O HM CA HM N

1. Hm n mt bin

Gi s c mt h thc gia hai bin x y dng

F(x,y) = 0

trong xy l hm bin xc nh trong mt ln cn m ca x0, y0) v x0,

y0) = 0. Gi thit rng s l s dng v y duy nht sao cho xy) D v x y

Nh vy ta c hm s y yx xc nh trn khong x0 s, x0 + s) v tha x yx

= 0 . Hm s y yx ny c gi l hm n theo bin x xcnh bi phng trnh xy

Trong ton hc ngi ta gi cc nh l hm n l cc nh l khng nh s tn tica hm n v o hm ca n i y l nh l cbn cho hm n mt bin

nh l: Gi s hm xy tha iu kin sau

(i) F lin tc trong hnh trn m tm x0, y0) bn knh vi x0, y0)= 0;

(ii) Tn ti cc o hm ring lin tc trong B(P, v (x0, y0)

Khi c sao cho phng trnh xy xc nh mt hm n yx khvi lin tc trong x0 s, x0 + s) v

12


7/29/2019 Giai tich 2

13/27


.

Nhn xt: Nu tha nhn s tn ti ca hm n v o hm ca n th cng thco hm ca hm n trong nnh l trn c th suy ra d dng t cng thc o hmca hm hp

0 =

F(x, y(x)) = Fx + Fy . y

=> y -

V d Tnh o hm ca hm n ti im

nu xy ex

.sin y =

Coi y l hm theo x ly o hm phng trnh trn ta c

y + x.yexsiny e

xcosy. y

Ti xy ta c

y ey

Suy ra y

Ghi ch: tnh o hm cp y ca hm n t h thc

0 = Fx

y y

ta c th tip tc ly o hm th c

0 = F"xx + F"xy.y yx + F"yy. yy y.y".

Ty s rt ra y

2. Hm n 2 bin

Tng t nh trng hp hm n bin vi mt s gi thit th phng trnh

13


7/29/2019 Giai tich 2

14/27


F(x,y) = 0

s xc nh mt hm n z zxy theo bin x y

nh l : Gi s hm xyz tha cc iu kin

(i). F lin tc trong hnh cu m0, tm 0(x0, y0,z0) bn knh vF(x0,y0,z0) = 0;

(ii) Tn ti cc o hm ring lin tc x, Fy, Fz trong B(P0, v z(x0,y0,z0)

Khi tn ti sao cho phng trnh xyz xc nh mt hm ntrong ln cn x0,y0), s) ca im x0, y0). Hn na hm n z zxy c cco hm ring trong ln cn ny l

; 9;

Ghi ch:nh l ny c thc mrng cho trng hp hm n nhiu bin hn z= z(x1,x2,xn) xc nh bi phng trnh

F(x1,x2,xn, z) = 0

V d:

Cho hm n z zxy xc nh bi phng trnh ez = x + y + z

Tnh zx zx" v zxy".

o hm phng trnh theo bin x ta c

1 + zx ez

. zx zx

Tip tc ly o hm theo x v theo y th c

zxx" = ez

. (zx2

+ ez

. zxx" ;

zxy" = ez

. zy zx ez

. zxy"

Suy ra:

zxx" =

14


7/29/2019 Giai tich 2

15/27


zxy" =

Tnh zy tng t nh vic tnh zx ta c

zy

Do

zxy" =

VI. CC TR

1.nh ngha v iu kin cn

Xt hm z fxy im 0(x,y) c gi l im cc i a phng ca hmf(x,y) khi c sao cho fxy fx0,y0) vi mi xy B(P0,

Trng hp ta c

F(x,y) < f(x0,y0) (x,y) B(P0, \ {P0}th ta ni 0 l im cc i aphng cht ca hm fxy

Khi nim cc tiu a phng c nh ngha hon ton tng t c i aphng v cc tiu a phng c gi chung l cc tra phng

nh l: (Fermat)

Nu hm fxy t cc tra phng ti x0,y0) v c cc o hm ring ti thf

xx

0,y

0) = f

yx

0,y

0) = 0.

im m ti cc o hm ring ca fu bng c gi l im dng ca hmCh rng nh l trn ch cho ta iu kin cn c cc tr nn im dng chachc l im cc tr nh l sau y cho taiu kin c cc tr

nh l (iu kin ):

Gi s z fxy nhn x0, y0) l mt im dng v fxy c cc o hm ring cp lin tc trong mt ln cn ca x0, y0). t

A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0),

15


7/29/2019 Giai tich 2

16/27


v = B2A.C

Khi ta c

(i). Nu > 0 th hm s khng t cc tr ti x0,y0).

(ii). Nu < 0 th hm st cc tr cht ti x0,y0).

Hn na ta c

(x0,y0) l im cc i khi 0;

(x0,y0) l

im cc tiu khi

(iii). Nu = 0 th cha kt lun c l hm s fxy c t cc tr ti x0,y0)hay khng

Tnh l trn ta c th tm cc tr ca hm z fxy theo cc bc sau y

Bc Tnh cc o hm ring

Bc Tm cc im dng bng cch gii h phng trnh sau

Bc ng vi mi im dng x0,y0), t

A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0),

= B2

- AC

Xt du ca v ca kt lun

Lu : c kt lun y v cc tr ta cn phi xt ring trng hp im dngm ti = 0 v xt cc im m ti khng tn ti o hm ring cp hay cp2.

V d:

1) Tm cc tr ca hm s z x3 + 3xy215x -12y

Ta c zx x2

+ 3y215,

zy xy 12

zxx" = 6x, zxx" = 6y, zyy "= 6x

16


7/29/2019 Giai tich 2

17/27


tm im dng ta gii h phng trnh sau

H phng trnh c nghim cho ta im dng

M1(1, 2); M2(2, 1); M3(-1, -2); M4(-2, -1).

Ti 1(1, 2):

A = zxx"(1, 2) = 6

B = zxy"(1, 2) = 12 => = B2AC >0

C = zyy"(1, 2) = 6

Hm s khng t cc tr ti 1(1, 2).

Ti 2(2,1):

A = zxx"(2, 1) = 12

B = zxy"(2, 1) = 6 => = B2AC

7/29/2019 Giai tich 2

18/27


2) Kho st cc tr ca hm z x4 + y4x22xy y2

Ta c

Gii h phng trnh sau tm im dng

H phng trnh c nghim 3 im dng

P1(0, 0); P2(-1, -1); P3(1,1)

Tnh cc o hm cp

Ti

9;

Ta cha c kt lun v cc tr ti 1 m phi kho st trc tip Ta c z

0, vi th

(n nguyn dng

Vi th . iu ny cho thy rng trongmi ln cn ca

1hm su c gi tr dng v c gi tr m Vy

1(0, 0)

khng phi l im cc tr

Ti 2(-1, -1) v 3(1, 1) ta c -2, C = 10, =B2AC = -96. Suy ra ti

v hm st cc tiu cht vi

18


7/29/2019 Giai tich 2

19/27


zmin = z(P2) = z(P3) = -2

VII. CC TR C IU KIN

1. nh ngha

Xt hm s z (x, y), vi iu kin rng buc (x, y) = 0 (*)

Ta ni

(x, y) t cc i cht ti x0, y0) vi iu kin nu x0, y0) tha v vi mi x y tha kh gn x0,y0) ta c (x, y) < (x0, y0)

(x, y) t cc tiu cht ti x0, y0) vi iu kin (*)nu x0, y0) tha v vi mi x y tha kh gn x0,y0) ta c (x, y) > (x0, y0)

(x, y) t cc tr cht ti x0, y0) vi iu kin nu (x, y) t cc i hoc cc tiu ti x0,y0) vi iu kin

2. Phng php nhn tLagrange

nh l: (iu kin cn ca cc tr c iu kin

Gi s

Cc hm (x, y) v (x, y) c o hm ring cp lin tc trong mt ln cnca im x0,y0) vi (x0, y0) = 0

hay .

Khi nu (x, y) t cc tr ti x0,y0) vi iu kin (x0,y0)=0 th tn tis thc sao cho:

Hm s xy ) = (x, y) + (x,y)

c gi l hm Lagrange.

nh l sauy cho ta iu kin ca cc tr c iu kin

nh l: (iu kin ca cc tr c iu kin)

19


7/29/2019 Giai tich 2

20/27


Gi s (x, y) v (x,y) c o hm ring cp lin tc trong mt ln cn ca x0,y0)vi (x0,y0) = 0, v x0,y0, ) l im dng ca hm agrange hi ta c

Nu

xc nh dng trong mt min theo dx dy tha rng buc

v dx2+dy

20, th hm (x, y) t cc

tiu cht ti x0,y0) vi iu kin (x0,y0) = 0.

Nu d2L(x0,y

0, ) xc nh m trong min theo dx dy tha rng buc nh

trn th (x, y) t cc i cht ti x0,y0) vi iu kin (x0,y0) = 0.

Nu d2L(x0,y0, ) khng xc nh du trong min ni trn th khng c cctrc iu kin ti x0,y0).

Tnh l trn ta c th tm cc tr c iu kin theo phng php nhn t agrangenh sau

Bc p hm agrange

L = (x, y) + (x,y) ( R)

Bc Tnh

v gii h phng trnh sau y tm cc im dng x0,y0) cng vigi tr0 tng ng

Bc Tnh vi phn cp ca xy

v tnh rng buc

(**)

20


7/29/2019 Giai tich 2

21/27


Vi mi im dng x0,y0) v = 0 tm c trong bc xt d

2L(x0,y0) (ph thuc dx v dy

Nu vi mi dx dy khng ng thi bng tha rng buc th hm st cc tiu c iu kin ti x0,y0).

Nu vi mi dx dy khng ng thi bng tha rng buc th hm st cc i c iu kin ti x0,y0).

Nu du ca khng xc nh xt theo dx v dy khng ng thi bng0 tha rng buc th hm s khng t cc tr ti x0,y0).

V d:

Tm cc tr ca hm z x2 + y2 vi iu kin x y

Lp hm agrange

L(x,y) = x2

+ y2

+ (x + y - 4)

Ta c

Tm im dng bng cch gii h

Ta c mt im dng ng vi = -4.

Tnh o hm ring cp ca xy

, ,

d2L = 2dx

2+ 2dy

2.

Vy d2L > 0 ti nn hm st cc tiu c iu kin ti vi zmin = z(2,2)= 8.

Lu : Trong trng hp t h thc

(x,y) = 0

ta c th tnh c bin thin theo bin kia chng hn c th tnh y (x) th bngcch thay th y (x) vo z ta c th xem z nh hm theo bin x

z = z(x, (x))

21


7/29/2019 Giai tich 2

22/27


Khi c th tm cc tr ca z nh hm theo bin

Xt li v d trn ta thy

x + y = 4 y = 4 x

Suy ra z = x2

+ y2

= x2

+ (4-x)2.

Xem z l hm bin ta c

zx x 2(4 - x) = 4x 8

zx x = 2

Lp bng bin thin ta c

X - 2 +

Zx - 0 +

Z

8

Vy z x2 + y2t cc tiu vi iu kin x y ti vi zmin = 8

VIII. GI TR LN NHT V NH NHT

Cho D2. im xy Dc gi l mt im trong ca Dkhi tn ti mthnh cu m ) u cha im thuc Dv im khng thuc D. Tp hp ccim bin ca Dc gi l bin ca D. Min Dc go l min ng khi Dchami im bin ca n

Ta c th tm gi tr ln nht v gi tr nh nht ca hm (x,y) trn mt min ngv b chn Dnh sau

Bc Tnh x v y ii h phng trnh

tm cc im dng phn trong ca D

Bc Tm cc im ti khng c o hm ring

22


7/29/2019 Giai tich 2

23/27


Bc Tm gi tr ln nht ca (x,y) trn bin ca D(lin quan n cc trc iu kin

Bc So snh cc gi tr ca hm s ti cc im tm c bc bc2 vi gi tr ln nht v nh nht trn bin bc rt ra gi tr ln nhtv nh nht ca hm s

V d: Tm gi tr ln nht v nh nht ca hm s

z = x2

+ y2xy + x + y

trn min Dgii hn bi x 0, y 0, x + y -3

Ta c

Gii h

x = -1, y = -1

Ta tm c im dng -1,-1) D, vi z-1,-1) = -1

Bin ca min Dgm on thng v

Trn bin ta c

x = 0, -3 < y < 0

z = y2

z y y =

mt im cc tr trn l vi

Tng t

trn c cc tr ti vi

trn c cc tr ti vi .

Ti cc im v ta c

23


7/29/2019 Giai tich 2

24/27


z(0,0) = 0; z(0,-3) = 6; z(-3,0) = 6

Vy gi tr ln nht v nh nht trn bin ca Dln lt l v

So snh cc gi tr z-1, z=6 vi ta suy ra gi tr ln nht ca z l ti -3) v -3, 0); gi tr nh nht ca z l 1 ti -1, -1).

BI TP CHNG 01

1-Tm min xc nh ca hm s

a)

b)

c)

d)

2-Tnh o hm ring ca hm s

e)

f)

g)

h)

a) Tnh cc o hm ring ti ca hm

b) Tnh cc o hm ring ti ca hm

24


7/29/2019 Giai tich 2

25/27


3-Tnh vi phn ton phn ca hm s

i)

j)

4- Tm vi phn cp ca hm s

k)

l)

m)

n)

5-Cho f(t) l hm mt bin kh vi t z fx2-y2). Chng t rng hm z tho mnphng trnh sau

Chng minh

a) vi

b) vi

6- Tm cc tr ca hm s

o)

p)

25


7/29/2019 Giai tich 2

26/27


q)

r)

s)

t)

7-Tm cc tr c iu kin

a) vi iu kin

b) vi iu kin

8- Tm gi tr ln nht v nh nht ca hm s

c) trong tam gic gii hn bi cc ng

d) trong hnh gii hn bi cc ng v trchonh

e) trong hnh gii hn bi cc ng

9-Tm o hm ca hm hp

f) vi trong v

g) v vi trong v

10-Tnh gn ng

h)

i)

11-Tnh o hm y ca hm n yyx xc nh bi cc phng trnh

26


7/29/2019 Giai tich 2

27/27


j)

k)

12-Cho hm n z zx y xc nh bi phng trnh

Tnh v

27

Documents

Giai tich 2