Banyaknya penelpon di

waktu sibuk (jam kerja)Operator telepon

terbatas

Penelpon menunggu dilayani

A.K. Erlang tahun 1910

Teori Antrian

Teori yang

menyangkut

studi matematis

dari antrian-

antrian

Proses antrian

Sistem antrian

Keadaan sistem

Analisis Teori AntrianUkuran

Performansi

Waktu rata-rata yang dihabiskan

pelanggan dalam antrian

Rata-rata jumlah pelanggan

dalam sistemPanjang antrian rata-rata

Probabilitas sejumlah pelanggan

berada dalam sistem

Probabilitas sistem pelayanan

akan kososng

Waktu rata-rata yang dihabiskan

pelanggan dalam sistem

Sistem

Antrian

Karakteristik/

komponen

Kedatangan

Disiplin antrian

Fasilitas pelayanan

Pola kedatangan

Pola waktu pelayanan

Desain fasilitas

pelayananpelayanan

Disiplin antrian

Ukuran antrian

Sumber input

Perilaku pelanggan

Pola kedatangan

Waktu antar

Deterministik

Probabilistik

Waktu antar

kedatangan

pelanggan yang

berurutan

Pola waktu pelayanan

Deterministik

Probabilistik

Waktu yang

dibutuhkan untuk

melayani seorang

pelanggan.

Desain fasilitas

pelayanan

Seri

Paralelpelayanan Paralel

Gabungan

4321

1

FCFS

(First Come First Served)

LCFS

Disiplin antrian

LCFS

(Last Come First Served)

SIRO

(Service in Random Order)

Service Priority

Kapasitas antrian/

kapasitas tempat

mengantri

Ukuran antrian

Terbatas

Tidak terbatas

Terbatas

Sumber input

Terbatas

Tidak terbatas

Jockeying

Reneging

Perilaku pelanggan

Reneging

Balking

Pelayan 1

1

2

3

4

Pelayan 2

1

2

Balking

6

5

4

7

Jockeying

Reneging

Balking

Contoh Antrian

� Distribusi probabilitas Poisson paling sering

digunakan bila kedatangan didistribusikan secara

random.

� Distribusi Poisson menggambarkan jumlah� Distribusi Poisson menggambarkan jumlah

kedatangan per unit waktu bila sejumlah variabel

random mempengaruhi kedatangan.

� Bila pola kedatangan individu mengikuti distribusi

poisson maka waktu antar kedatangan adalah

random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial.

HUBUNGAN DISTRIBUSI POISSON DAN

EKSPONENSIAL

Sistem antrian yang dipelajari disini yaitu banyaknya

kedatangan dan kepergian (selesainya pelayanan) selama

interval waktu tertentu dinyatakan dalam kondisi sebagai

berikut:Kondisi 1

Probabilitas terjadinya kegiatan antara waktu t sampai t+h

hanya bergantung pada kejadian yang terjadi selama selang h

Kondisi 2

Kondisi 3

hanya bergantung pada kejadian yang terjadi selama selang h

saja (banyaknya kejadian sebelum waktu ke-t tidak akan

mempengaruhi kejadian selama selang waktu h)

Probabilitas bahwa dalam selang waktu h yang sangat

kecil akan terjadi suatu event yaitu positif dan ≤ 1

Paling banyak satu kejadian yang bisa terjadi selama

selang waktu h yang sangat kecil

Pn(t)�Probabilitas akan terjadi n event dalamwaktu t maka (untuk n =0):

Kondisi 2Kondisi 2

Kondisi 1Kondisi 1 )().()( 000 hPtPhtP =+

1)(0 0 ≤< hP

0;)(0 ≥= − tetP tα

dipenuhi jika

α = konstan positif

α = laju kedatangan

laju kepergianEventEvent

kedatangan

kepergian

per satuanwaktuα = laju kepergian

Eventkepergian waktu

untuk h → 0 maka

hhP

hhhehP h

α

αααα

−≅

+−+−== −

1)(

McLaurin)"(deret "...!3

)(

!2

)(1)(

0

32

0

Kondisi 3Kondisi 3 hhPhP α≅−= )(1)( 01

f (t ) = pdf dari interval waktu antara 2 event yang

berurutan, t ≥0

F (t ) = fungsi densitas kumulatif dari t

Misal :

∫∞

=0

)()( dxxftF

Jika T = interval waktu sejak terjadinya event berakhir

maka P {waktu antar 2 event ≥ T} = P { tidak ada event yang terjadi

selama T }

atau TeTPTtP α−==≥ )(}{atau TeTPTtP α−==≥ )(}{ 0

TT

T

T

edttfedttf αα −

∞−

−∞

−=⇒= ∫∫ 1)()(Jadi,TeTtP α−−=<⇒ 1)(

)()(1)()( TFdt

dTfeTFTtP T =⇒−==< −α

0;)( >= − TeTf Tαα distribusi eksponensial untuk waktu antar 2

kejadian

α1

)( =TE satuan waktu rata – rata interval waktu antar 2 kejadian

Sebuah mesin selalu memiliki unit cadangan untuk

digunakan sebagai pengganti jika terjadi kerusakan.

Waktu kerusakan mesin atau unit cadangannya itu

Contoh Soal

(Distribusi Kedatangan & Kepergian)

Waktu kerusakan mesin atau unit cadangannya itu

adalah ekponensial dengan mean 10 jam.

Kerusakan terjadi dengan laju 0.1 kejadian perjam,

berapakah probabilitas kerusakan terjadi dalam 5

jam ?

Pn(t)=Probabilitas terdapat n (n > 0) kedatanganselama interval waktu t maka untuk h > 0 danh →0 berlaku :

terdapat n kedatangan selama waktu

PhtPn =+ )(

terdapat n kedatangan selama waktut , dan terdapat 0 kedatangan selama waktu h,

terdapat (n-1) kedatangan selamawaktu t , danterdapat 1 kedatangan selama waktu h

atau

!

)()(

n

ettP

tn

n

λλ −

=

Distribusi dari“banyaknyakedatangan selamainterval waktu t “

Mean = λ = laju kedatangan

n =0,1,2,…

tλMean =Variansi =

λ = laju kedatangan

Distribusi waktu antar kedatangan ~ Eksponensialdengan mean 1/λ

tλtλ

SISTEM

LAJU KEPERGIAN n OBJEK

N OBJEK (PELANGGAN)ASUMSI

Proses Kepergian

(Selesainya Pelayanan)

tidak ada obyek baru yang masuk dalamsistem

LAJU KEPERGIAN (µ) n OBJEK

(PELANGGAN)

)(tn

q

Untuk h� 0, maka (tidakterdapat kepergian).

µh1µh

e(h)0q −≅−

=

Misal, probabilitas terjadin kepergian selamawaktu t.

Untuk h > 0, maka (terdapat 1 kepergian).

µh(h)q1(h)1q0

≅−=

µ

µ

)(1

)('

)(1

)()(

tN

qtN

q

htN

qtN

qhtN

q

−=

−+≅+

µµ )(1

)1)(()( htn

qhtn

qhtn

q −+−≅+

µµ )(1

)()('

1

tn

qtn

qtn

q

nnn

−+−=

−

)(0

)(0

'

)1)((0

)(0

tqtq

htqhtq

µ

µ

−=

−≅+

∑−

=−=

−=

1

0)(1)(

!

)()(

N

nt

nqt

Nq

n

tentt

nq

µµ

Diperoleh,

Waktu pelayanan ~ Distribusi Eksponensial dengan mean 1/μ.

CONTOH KASUS

(PROSES KEPERGIAN).

)!515(

3515)3()(

5 −

−−=

tettp

Hari ke-t 1 2 3 4 5 6

µt 3 6 9 12 15 18

P5(t) 0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486 0.015

probabilitas tertinggi untukpemesanan ulang terhadap

barang

(t)5

p(t)4

p(t)3

p(t)2

p(t)1

p(t)0

p(t)5n

p +++++=≤(t)]

15p.......(t)

6[p1 ++−=

∑−−

−=15 3t)(en)(15(3t)

1

Hari ke-t 1 2 3 4 5 6

µt 3 6 9 12 15 18

Pn≤5(t) 0.0012 0.0839 0.4126 0.7576 0.9303 0.9847

probabilitas monoton naik seiring denganpemesanan pada hari ke-t.

∑= −

−=6n n)!(15

1

∑=

==15

0n(6)nnp6]t|Ε[n

=0n

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Pn(6) .792 .0655 .0509 .0368 .0245 .015 .0083 .0042 .0018 .0007 .0002 .0001

0.55376]t|Ε[n ==

Pn(6) 0 , untuk n = 12, 13, 14, 15.≅

Notasi Kendall� untuk merinci suatu ciri dari antrianadalah (a/b/c) : (d/e/f), dimana:

a : distribusi kedatangan

b : distribusi kepergian (selesainya pelayanan)b : distribusi kepergian (selesainya pelayanan)

c : banyaknya fasilitas pelayanan

d : disiplin antrian

e : banyaknya pengantri maksimal yang diizinkan

berada dalam sistem pelayanan (yang antri dan yang

sedang dilayani)

f : ukuran sumber input

Model Antrian

untuk a dan b biasanya digunakan notasi sebagai berikut:

M : jika distribusi kedatangan dan kepergian

Poisson

D : waktu antar kedatangan dan pelayanan konstan

diketahui dengan pasti (deterministik)

Ek : distribusi waktu antar kedatangan dan

pelayanan Erlang atau Gammapelayanan Erlang atau Gamma

GI: jika distribusi kedatangan General Independent

untuk d digunakan notasi:

GD: jika digunakan disiplin antrian

Dalam pembahasan ini akan dijelaskan model–

model dengan distribusi kedatangan dan

kepergiannya berdistribusi Poisson dan disiplin

antriannya GD.

MODEL ANTRIANUkuran Performansi

qqssn LW WLP →→→→

∑∞

=on nnP λ/Ls

qWλ

ᴥPn adalah probabilitas terdapat n objek yang berada dalam

sistem

ᴥ Laju kedatanganλ-1/Ws λ

n

sistem

ᴥ Ls adalah ekspektasi banyaknya objek (pengantri) dalam sistem

ᴥ Lq adalah ekspektasi banyaknya objek (pengantri) dalam

antrian (tidak termasuk yang sedang dilayani

ᴥ Ws adalah ekspektasi waktu menunggu dalam sistem (dalam

antrian + dalam pelayanan)

ᴥ Wq adalah ekspektasi waktu menunggu dalam antrian

(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞)(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞)

Model AntrianModel Antrian

(M / M / 1) : ( GD / N / ∞)(M / M / 1) : ( GD / N / ∞)

Model Antrian

(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞)

Tidak ada batasankapasitas sistempelayanan

Tidak adabatasan sumberinput

1 pelayananDistribusi Poisson

Laju kedatangan λ

Laju kepergian μ

ρ=L1=Wλρ=

General disiplin

rata-rata banyaknyaobjek dalam sistem

rata-rata banyaknyaobjek dalam antrian

rata-rata waktu menunggudalam sistem

rata-rata waktu menunggudalam antrian

ρρ−

=1sL

ρρ−

=1

2

qL

)1(

1

ρµ −=sW

)1( ρµρ−

=qW

µλρ=

(M / M / 1) : ( GD / N / ∞)(M / M / 1) : ( GD / N / ∞)

Batas maksimal N → panjang maksimal N-1

effλ

λλ <eff

laju kedatangan dari objek yang bisa bergabung dalamantrian

nρρ

−1

,

,

=nP

nN

ρρ

ρ

−−

+11

1

1

1

+N

1≠ρ

1=ρNn ,...,2,1,0=

{ })1)(1(

)1(11

1

+

+

−−++−

N

NN NN

ρρρρρ 1≠ρ

=SL

2

N 1=ρ

{ } NPNnP −=> 1

)1( Neff P−=λλ

)1( N

q

eff

qq P

LLW

−==

λλ

P [ terdapat 1 kedatangan yang tidak bisa masukantrian karena penuh ] =PN

Jadi,

)1( Neff P−λλ

µλ

µλ )1( N

qeff

qS

PLLL

−+=+=

eff

S

N

SqS

L

P

LWW

λλµ=

−=+=

)1(

1

)1()( NqSeff PLL −=−= λµλ

Contoh Soal

Sebuah salon mempekerjakan satu orang

sebagai tukang potong rambut. Pada hari sabtu

pelanggan yang datang cukup membuat sibuk

pegawainya. Kedatangan pelangganpegawainya. Kedatangan pelanggan

berdistribusi poisson dengan tingkat rata-rata

kedatangan 5 pelanggan per jam. Waktu yang

dibutuhkan untuk melayani pelanggan

berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 10

menit per pelanggan. Jika ruang tunggu salon

hanya tersedia 4 kursi tunggu, berapa lama

waktu tunggu dalam sistem?

Penyelesaian:

pelanggan per menit atau pelanggan per jam

maka

pelanggan per jam.Dalam satu jam-nya, rata-rata pelanggan yang membatalkan antriannya

karena penuh adalah

Rata-rata waktu tunggu sampai mobil selesai dicuci

Jadi, jam