Bölüm 4 Sürekli Rassal Değişkenler

Bölüm 4 Sürekli Rassal Değişkenler

BİYOİSTATİSTİK-I (6BESYGS001)

Bölüm.4-1Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılık Dağılımları

Sürekli Olasılık

Dağılımları

Binom

Poisson

Hipergeometrik


Kesikli Olasılık

Dağılımları

Tekdüze

Normal

Üstel

Bölüm. 3 Bölüm. 4

Bölüm 4-2

Sürekli Olasılık Dağılımları

Bir sürekli rassal değişken bir değer aralığındaki her hangi bir değeri göz önüne alan değişkendir bir nesnenin kalınlığı Bir işi tamamlamak için gerekli olan süre Bir çözeltinin sıcaklığı cm cinsinden yükseklik

Bunlar, ölçümün hassasiyetine bağlı olarak herhangi bir değeri alabilmektedirler.

Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER Bölüm 4-3

5.1

Birikimli Dağılım Fonksiyonu

Sürekli bir rassal X değişkeni için Birikimli Dağılım Fonksiyonu olarak F(x), X’in x’in her hangi bir değerini aşmadığını ifade etmektedir

a ve b, a<b olmak üzere X’in iki muhtemel değeri olsun. X’in a ve b arasında yer alma olasılığı aşağıdaki gibidir


x)P(XF(x)

F(a)F(b)b)XP(a

Bölüm 4-4

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. f(x) > 0 (x’in tüm değerleri için)2. X’in tüm değerleri için f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu

altında kalan alanı 1,0’e eşittir.3. X’in iki değer arasında yer alma olasılığı, bu iki değer

arasındaki yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır


Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Rassal değişken olan X’in Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu olarak f(x), aşağıdaki özelliklere sahiptir:

4. F(x0) birikimli olasılık fonksiyonu , minimum x’den x0’a kadar olan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu altında kalan alandır

xm rassal x değişkeninin minimum değeridirYrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

0

m

x

x0 f(x)dx)F(x

Bölüm 4-6

(devam)

Alan olarak Olasılık


a b x

f(x) P a x b( )≤

Eğri altındaki taralı alan X’in a ile b arasında yer alma olasılığıdır

≤P a x b( )<<=

(Her hangi bireysel değerin olasılığının sıfır olduğuna dikkat ediniz)

Bölüm 4-7


Tekdüze Dağılım

Olasılık Dağılımı

Tekdüze

Normal

Üstel

Sürekli Olasılık Dağılımı

Bölüm 4-8

Tek düze dağılım

Tekdüze dağılım bir rassal değişkenin tüm muhtemel sonuçları için eşit olasılıklara sahip olduğu bir olasılık dağılımıdır.


xmin xmaxx

f(x)Tekdüze yoğunluk fonksiyonu altında kalan toplam alan 1.0’dir.

Bölüm 4-9

Tek düze dağılım


Sürekli Tekdüze Dağılım:

f(x) = yoğunluk fonksiyonunun herhangi bir x’deki değeria = x’in minimum değerib = x’in maksimum değeri

(devam)

1 eğer a x b iseb a

0 aksi halde

f(x) =

Bölüm 4-10

Tekdüze Dağılımın Özellikleri

Tekdüze dağılımın ortalaması

Varyans


2baμ

12a)-(bσ

22

Bölüm 4-11

Tekdüze Dağılım-Örnek


Örnek: 2 ≤ x ≤ 6 aralığı boyunca tekdüze olasılık dağılımı :

2 6

0,25

f(x) = = 0,25 (2 ≤ x ≤ 6 için)6 - 21

x

f(x)4

262

2baμ

1.33312

2)-(612

a)-(bσ22

2

Bölüm 4-12

Sürekli Rassal Değişkenler için Beklenen Değerler

X’in μX olarak gösterilen ortalaması X’in beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır

σX2 olarak gösterilen X’in varyansı (X - μX)2 rassal

değişkenin ortalamadan sapmalarının karelerinin beklenen değeri olarak tanımlanmaktadır


E(X)μX

])μE[(Xσ 2X

2X

Bölüm 4-13

Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları


XW bμabX)E(aμ

2X

22W σbbX)Var(aσ

XW σbσ Bölüm 4-14

X’in ortalamasının μX ve varyansının σX2 olduğu

ve a ve b’lerin sabit olduğu W = a + bX doğrusal fonksiyonu için

O halde W’nun ortalaması aşağıdaki gibidir

Varyansı aşağıdaki gibidir

W’nun Standart sapması aşağıdaki gibidir

Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları

Daha önceki sonuçların özel bir hali de standardize rassal değişkendir

burada ortalama 0 ve varyans 1’e eşittir.


(devam)

X

X

σμXZ

Bölüm 4-15


Normal Dağılım

Sürekli Olasılık

Dağılımları


Tekdüze

Normal

Üstel

Bölüm 4-16

5.3

‘Çan şeklinde’ Simetrik Ortalama, Ortanca ve Mod eşitttirKonum ortalama μ tarafından belirlenir, Yayılım standart sapma, σ tarafından belirlenir.

Rassal değişken+ ile arasında arasında yer alan sonsuz bir değer aralığına sahiptir


Ortalama = Ortanca = Mod

x

f(x)

μ

σ

(devam)

Bölüm 4-17

Normal Dağılım

Normal dağılım geniş bir aralıktaki rassal değişkenleri yakın olarak yakınsar

Örneklem ortalamalarının dağılımları “büyük” bir örneklem verildiğinde bir normal dağılıma yakınsar

Olasılıkların hesabı doğrudan ve kolay bir şekilde gerçekleştirilir

Normal olasılık dağılımı bir dizi uygulama için iyi iş kararlarına yönlendirmektedir


(devam)

Bölüm 4-18

Normal Dağılım


μ ve σ, parametrelerini değiştirerek, farklı normal dağılımlar elde ederiz

Pek çok Normal Dağılım

Bölüm 4-19


Normal Dağılımın Şekli

x

f(x)

μ

σ

μ’yü değiştirmek dağılımı sağa veya sola kaydırır.

σ’yı değiştirmek yayılımı artırır veya azaltır.

Ortalama μ ve varyans σ verildiğinde, normal dağılımı aşağıdaki gösterimle tanımlamaktayız

)σN(μ~X 2,

Bölüm 4-20

Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Normal olasılık yoğunluk fonksiyonun formülü aşağıdaki gibidir


e = 2,71828’e yaklaşan matematiksel sabitπ = 3,14159’ye yaklaşan matematiksel sabit μ = popülasyon ortalamasıσ = popülasyon standart sapmasıx = sürekli değişkenin < x < arasındaki herhangi bir değeri

22 /2σμ)(xe2π1f(x)

Bölüm 4-21

Birikimli Normal Dağılım

Ortalaması μ ve varyansı σ2 olan normal rassal bir X değişkeni için yani, X~N(μ, σ2), birikimli dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibidir


)xP(X)F(x 00

x0 x0

)xP(X 0

f(x)

Bölüm 4-22

Normal Olasılıkların Bulunması


xbμa

Bir değer aralığı için olasılık eğri altında kalan ile ölçülmektedir.

F(a)F(b)b)XP(a

Bölüm 4-23



xbμa

xbμa

xbμa

(devam)

F(a)F(b)b)XP(a

a)P(XF(a)

b)P(XF(b)

Bölüm 4-24


Standardize Normal Herhangi bir normal dağılım (herhangi bir ortalama

ve varyans değerine sahip olan) ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standardize normal dağılıma (Z) dönüştürülebilmektedir

X’in ortalamasını çıkararak ve standart sapmasına bölerek X birimlerin Z birimlerine dönüştürülmesi gerekmektedir.

1)N(0~Z ,

σμXZ

Z

f(Z)

0

1

Bölüm 4-25


Örnek

Eğer X ortalaması 100 ve standart sapması 50 olacak şekilde normal olarak dağılıyorsa, X = 200 için Z değeri;

Buradan X = 200’ün 100 2 standart sapma üzerinde (50 birimlik 2 kademe) yer aldığı görülmektedir

X μ 200 100Z 2,0σ 50

Bölüm 4-26

X ve Z birimlerin karşılaştırılması


Z100

2,00200 X

Dağılımın aynı olduğuna, sadece ölçeğin değiştiğine dikkat ediniz. Problemi orijinal birimlerinde (X) ifade edebileceğimiz gibi standardize birimlerinde de (Z) ifade edebiliriz.

(μ = 100, σ = 50)

( μ = 0 , σ = 1)

Bölüm 4-27


σμaF

σμbF

σμbZ

σμaPb)XP(a


a b x

f(x)

σμb

σμa Z

µ

0

Bölüm 4-28

Eğri Altında Kalan Alan Olarak Olasılık


f(X)

Xμ

0.50.5

Eğri altında kalan toplam alan 1,0’dir ve eğri simetriktir, o zaman hem ortalamadan küçük olan hem de ortalamadan büyük olan kısım toplam alanın yarısıdır

P( X ) 1,0

P(μ X ) 0,5 P( X μ) 0,5

Bölüm 4-29

z-Tabloları İstatistik kitaplarında Standardize Normal Tablo

birikimli (kümülatif) normal dağılım fonksiyonu değerlerini göstermektedir

Verilen bir Z-değeri için, tablo F(a)’yı göstermektedir. Verilen bir Z-değeri için tablo F(a) değerini göstermektedir (eksi sonsuzdan a’ya kadar olan kısımdaki eğri altında kalan alandır)


Z0 a

a)P(Z F(a)

Bölüm 4-30


Standardize Normal Tablo

Z0 2,00

0,9772Örnek: P(Z < 2,00) = 0,9772

İstatistik kitaplarındaki z-tablosu herhangi bir a değeri için F(a) olasılığını vermektedir

Bölüm 4-31


Z0-2,00

Example: P(Z < -2,00) = 1 – 0,9772 = 0,0228

Negatif Z-değerleri için ihtiyaç duyulan olasılığı bulmak üzere dağılımın simetrik olduğu olgusundan faydalanınız:

Z0 2,00

0,9772

0,0228

0,97720,0228

(devam)

Bölüm 4-32

Standardize Normal Tablo

Olasılıkları Bulmak için İzlenen Genel Prosedürler

Problem için normal eğriyi X için çiziniz.

X-değerlerini Z-değerlerine dönüştürünüz.

Birikimli (Kümülatif) Normal Tabloyu kullanınız.


X normal olarak dağıldığında P(a < X < b) ‘yi bulmak için:

Bölüm 4-33


X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız

(X < 8,6)’yı bulunuz


X

8,68,0

Bölüm 4-34


X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız. P(X < 8,6)’yı bulunuz

Z0,12 0X8,6 8

μ = 8 σ = 10

μ = 0σ = 1

(devam)

X μ 8,6 8,0Z 0,12σ 5,0

P(X < 8,6) P(Z < 0,12)

Bölüm 4-35


Çözüm: P(Z < 0,12)’nin bulunması


Z

0,12

z F(z)

.10 .5398

.11 .5438

.12 .5478

.13 .5517

F(0,12) = 0,5478

Standardize Normal Olasılık Tablosu (Bir kısmı)

0.00

= P(Z < 0,12)P(X < 8,6)

Bölüm 4-36

Üst Kuyruk Olasılıkları

X’in ortalama değeri 8,0 ve standart sapması 5,0 olacak şekilde normal dağıldığını varsayınız.

Şimdi P(X > 8,6)’yi bulunuz


X

8,68,0

Bölüm 4-37

Üst Kuyruk Olasılıkları Şimdi P(X > 8.6)’yi bulunuz…


(devam)

Z

0,12 0

Z

0,12

0,5478

0

1,000 1,0 – 0,5478 = 0,4522

P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 1,0 - P(Z ≤ 0,12)

= 1,0 – 0,5478 = 0,4522

Bölüm 4-38

Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması

Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunmasında izlenen adımlar:1. Bilinen olasılık için Z değerini bulunuz2. Aşağıdaki formülü kullanarak X’e dönüştürünüz:


ZσμX

Bölüm 4-39

Bilinen bir Olasılık için X’in değerinin bulunması

Örnek: X’in 8,0 ortalama ve 5,0 standart sapma değeri

ile normal dağıldığını varsayınız. Şimdi bu X’in altında kalan ve tüm değerlerin

%20’sini oluşturan X değerini bulunuz.


X? 8,0

0,2000

Z? 0

(devam)

Bölüm 4-40

Alt Kuyruktaki %20 için Z değerinin bulunması

Alt kuyruktaki %20’lik alan -0.84’lük bir Z değeri ile uyumludur


Standardize Normal Olasılık Tablosu (Bir kısmı)

X? 8,0

0,20

Z-0,84 0

1. Bilinen olasılık için Z değerinin bulunması

z F(z)

.82 .7939

.83 .7967

.84 .7995

.85 .8023

0,80

Bölüm 4-41

X değerinin bulunması2. X birimlere aşağıdaki formülü kullanarak dönüştürünüz:


8 0 0 84 5 03 80

X μ Zσ, ( , ) ,,

O halde ortalaması 8,0 ve standart sapması 5,0 olan bir dağılımın değerlerinin %20’si 3,80’den daha düşüktür

Bölüm 4-42

Normalliğin Değerlendirilmesi

Sürekli rassal değişkenlerin hepsi normal dağılım sergilemezler

Verilerin ne kadar bir normal dağılıma yaklaştığını değerlendirmek önemlidir


Normal Olasılık Grafiği Normal olasılık grafiği

Verileri en düşükten en yüksek değere doğru sıralayınız

Tüm değerler için birikimli (kümülatif) normal olasılıkları bulunuz

Gözlenen değerlere karşı birikimli (kümülatif) olasılıkların grafiğini inceleyeniz (birikimli (kümülatif) normal olasılıkları dikey eksende ve gözlenen değerler yatay eksende olacak şekilde çizilmelidir)

Grafiği doğrusallık kanıtı yönünden değerlendiriniz


Normal Olasılık Grafiği


Bir normal dağılımdan elde edilen bir normal olasılık grafiği yaklaşık olarak

doğrusal olacaktır:

0

100

Veriler

Yüzde

(devam)

Bölüm 4-45

Normal Olasılık Grafiği


Sola çarpık Sağa çarpık

Tekdüze

0

100

Veriler

Yüz

de(devam)

Doğrusal olmayan grafikler normallikten sapmayı göstermektedir

0

100

Veriler

Yüz

de0

100

Veriler

Yüz

de

Bölüm 4-46

Binom Dağılımı için Normale Yaklaşma

Binom dağılımı hatırladığımızda: n bağımsız deneme Verilen herhangi bir deneyde başarı olasılığı = P

Rassal değişken X: Xi =1 eğer i’inci deneme “başarı” ise Xi =0 eğer i’inci deneme “hata” ise


nPμE(X)

P)nP(1-σVar(X) 2 Bölüm 4-47

Eğer n yeterince büyükse binom dağılımın şekli yaklaşık olarak normaldir

nP(1 – P) > 5 olduğu zaman normal binoma iyi bir yaklaşım sergiler

Bir binom dağılımdan Z’ye standardize ediniz:


P)nP(1npX

Var(X)E(X)XZ


(devam)

Bölüm 4-48


P)nP(1nPbZ

P)nP(1nPaPb)XP(a


Her birinin başarı olasılığı P olmak üzere X n bağımsız denemedeki başarı sayısı olsun.

Eğer nP(1 - P) > 5 ise,

(devam)

Bölüm 4-49

Binom Yaklaşımına Örnek

76 80 80 80P(76 X 80) P Z200(0,4)(1 0,4) 200(0,4)(1 0,4)

P( 0,58 Z 0)F(0) F( 0,58)0,5000 0,2810 0,2190


Seçmenlerin %40’ı A halk oylamasını destekliyor. n=200 örnek büyüklüğü için 76 ile 80 seçmenin bir destek gösterme olasılığı nedir?

E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80 Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48

(dikkat: nP(1 – P) = 48 > 5 )

Bölüm 4-50


Üstel Dağılım

SürekliOlasılık

Dağılmları


Normal

Tekdüze

Üstel

Bölüm 4-51

Üstel Dağılım

Bir olayın iki farklı meydana gelişi arasındaki zamanın uzunluğunu (varışlar arasındaki süre) modellemek üzere kullanılır

Örnekler: Boşaltma iskelesine varan kamyonlar arasındaki süre Bir ATM makinesinde yapılan işlemler arasında geçen

süre Ana operatöre yapılan telefon çağrıları arasında geçen

süre


Üstel Dağılım

λtf(t) λ e t 0 olmak üzere


Üstel rassal değişken t (t>0) bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir

Burada birim zamanda meydana gelme sayısıdır t bir sonraki meydana gelme oluncaya dek olan zaman

birimi sayısıdır. e = 2,71828

t‘nin bir üstel olasılık dağılımı sergilediği ifade edilmektedir

(devam)

Bölüm 4-53

Üstel Dağılım Tek bir parametre olan ortalaması (lambda) ile

tanımlanır.

Birikimli (kümülatif) dağılım fonksiyonu (Bir varış süresinin bazı belirlenmiş olan t zamanından daha düşük olma olasılığı) aşağıdaki gibidir


te1F(t) λ

burada e = Yaklaşık olarak 2,71828 olan matematiksel sabit =Birim başına varış sayısı popülasyon ortalamasıt = t>0 olmak üzere sürekli değişkenin her hangi bir değeri

Bölüm 4-54

Üstel DağılımÖrnek


Örnek: Müşteriler servis sayacına saatte 15 oranında varmaktadırlar. Ardışık müşteriler arasındaki varış süresinin üç dakikadan kısa olma olasılığı nedir?

Saat başına ortalama varış sayısı 15’tir, o halde = 15 Üç dakika 0,05 saattir P(varış süresi <0,05) = 1 – e- X = 1 – e-(15)(.05)= 0,5276 O halde, ardışık müşterilerin varış sürelerinin üç

dakikadan daha kısa olması %52,76’lık bir olasılığa sahiptir

Bölüm 4-55

Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonları

X1, X2, . . .Xk sürekli rassal değişkenler olmak üzere

Onların Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım FonksiyonuF(x1, x2, . . .xk)

x1’in X1’den daha düşük olduğunu, x2’in X2’den daha düşük olduğunu vs tanımlamaktadır, yani


)xXxXxP(X)x,,x,F(x kk2211k21

Bölüm 4-56

Bileşik Birikimli (Kümülatif) Dağılım Fonksiyonları

Bireysel Birikimli dağılım fonksiyonlarıF(x1), F(x2), . . .,F(xk)

onların tekil dağılım fonksiyonları olarak anılmaktadırlar.

Rassal değişkenler bağımsızdır, (sadece) eğer;


(devam)

)F(x))F(xF(x)x,,x,F(x k21k21

Bölüm 4-57

Ortak Varyans(Kovaryans)

X ve Y ortalamaları μx ve μy olan sürekli değişkenler olmak üzere

(X - μx)(Y - μy)’in beklenen değeri X ve Y arasındaki kovaryans olarak anılmaktadır

Allternatif fakat eşdeğer bir ifade;

Eğer X ve Y bağımsız ise; o halde bunların arasındaki kovaryans 0’dır. Ancak ters her zaman doğru olmayabilir.


)]μ)(YμE[(XY)Cov(X, yx

yxμμE(XY)Y)Cov(X,

Bölüm 4-58

Korelasyon

X ve Y bileşik olarak dağılmış olan rassal değişkenler olsun.

X ve Y arasındaki korelasyon aşağıdaki gibidir


YXσσY)Cov(X,Y)Corr(X,ρ

Bölüm 4-59

Rassal Değişkenlerin Toplamları

X1, X2, . . .Xk ortalamaları μ1, μ2,. . . μk ve varyansları σ1

2, σ22,. . ., σk

2 olan k adet rassal değişken olsun. O halde:

Toplamlarının ortalaması ortalamalarının toplamına eşittir


k21k21 μμμ)XXE(X

Bölüm 4-60

Rassal Değişkenlerin Toplamları X1, X2, . . .Xk ortalamaları μ1, μ2,. . . μk ve varyansları

σ12, σ2

2,. . ., σk2 olan k adet rassal değişken olsun.

Eğer rassal değişkenlerin her bir çifti arasındaki kovaryans 0 ise bunların toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir

Ancak, rassal değişkenlerin her bir çifti arasındaki kovaryans 0 değilse, toplamlarının varyansı aşağıdaki gibidir


2k

22

21k21 σσσ)XXVar(X

)X,Cov(X2σσσ)XXVar(X j

1K

1i

K

1iji

2k

22

21k21

(devam)

Bölüm 4-61

İki Rassal Değişken Arasındaki Fark

X ve Y gibi iki rassal değişken için

Farklarının ortalaması ortalamalarının farkına eşittir; yani:

Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 ise, o halde farklarının varyansı aşağıdaki gibidir:

Eğer X ve Y arasındaki kovaryans 0 değilse, o halde farklarının varyansı aşağıdaki gibidir:


YX μμY)E(X

2Y

2X σσY)Var(X

Y)2Cov(X,σσY)Var(X 2Y

2X

Bölüm 4-62

Rassal Değişkenlerin Doğrusal Kombinasyonu

X ve Y gibi iki rassal değişkenin doğrusal kombinasyonu (a ve b sabit olmak üzere) aşağıdaki gibidir

W’ nun ortalaması aşağıdaki gibidir


bYaXW

YXW bμaμbY]E[aXE[W]μ

Bölüm 4-63

Rassal Değişkenlerin Doğrusal Kombinasyonu

W’ nun varyansı aşağıdaki gibidir

Korelasyon kullanıldığında,

Eğer X ve Y bileşik normal olarak dağılmış rassal değişkenler ise o halde W, doğrusal kombinasyonu da normal dağılım sergilemektedir


Y)2abCov(X,σbσaσ 2Y

22X

22W

YX2Y

22X

22W σY)σ2abCorr(X,σbσaσ

(devam)

Bölüm 4-64

Örnek

İki iş aynı işçi tarafından yapılmalıdır. X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μx = 20, σx

= 5 Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μy = 20, σy

= 8 X ve Y normal olarak dağılmışlardır ve bağımsızdırlar

Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve standart sapması nedir?


Örnek X = Birinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μx = 20, σx

= 5 Y= İkinci işi tamamlamak gereken dakikalar; μy = 20, σy

= 8 Her iki işi tamamlamak için gerekli olan sürenin ortalaması ve

standart sapması nedir?

X ve Y bağımsız olduğundan dolayı Cov(X,Y) = 0, yani

Standart sapma aşağıdaki gibidir


(devam)

YXW 503020μμμ YXW

89(8)(5) Y)2Cov(X,σσσ 222Y

2X

2W

9.43489σW

Bölüm 4-66

Documents

Bölüm 4 Sürekli Rassal Değişkenler