Boštjan Harl, Marko Kegl Statika in trdnostfs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00113.pdf · Boštjan Harl, Marko Kegl Statika in trdnost Univerzitetni učbenik Maribor, 2014

Boštjan Harl, Marko Kegl

Statika in trdnost

Univerzitetni učbenik

Maribor, 2014

F1 F2 A

B

y O

x

z

F1

F2 B

1

FR

P

MR

T

max

Naslov publikacije: Statika in trdnost Vrsta publikacije: Univerzitetni učbenik Avtorja: doc. dr. Boštjan Harl, univ. dipl. inž. str. izr. prof. dr. Marko Kegl, univ. dipl. inž. str. Oblikovanje: Avtorja Recenzenta: red. prof. dr. Nenad Gubeljak, univ. dipl. inž. str., FS UM red. prof. dr. Boštjan Brank, univ. dipl. inž. gradb., FGG UL Jezikovni pregled: Danica Gotlih, prof. Založba: Založništvo Fakultete za strojništvo, Maribor Tisk: Tiskarna tehniških fakultet Naklada: Tisk po naročilu Leto prve izdaje: 2014 Pravice: Avtorske pravice so pridržane. Gradiva iz publikacije brez

dovoljenja avtorjev ni dovoljeno kopirati, reproducirati, objavljati ali prevajati v druge jezike.

CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 531.2(075.8) 539.4(075.8) HARL, Boštjan Statika in trdnost : univerzitetni učbenik / Boštjan Harl, Marko Kegl. - Maribor : Fakulteta za strojništvo, 2014 ISBN 978-961-248-436-1 1. Kegl, Marko COBISS.SI-ID 77962753 Naslova avtorjev: Fakulteta za strojništvo, Smetanova 17, 2000 Maribor [email protected] [email protected]

B. Harl, M. Kegl: Statika in trdnost

UM, Fakulteta za strojništvo I http://www.fs.uni-mb.si

Vsebina

Vsebina .................................................................................................................................................... I

Predgovor ............................................................................................................................................. III

1 UVOD ................................................................................................................................................... 1 1.1 Mehanika v inženirski praksi 1 1.2 Modeliranje mehanskih pojavov 2 1.3 Skalarne in vektorske količine 4 1.4 Področja mehanike 4 1.4 Osnovne predpostavke in dogovori 5

2 GRADNIKI MEHANIKE ................................................................................................................ 12 2.1 Osnovni gradniki mehanskega modela 12 2.2 Telo 13 2.3 Podpora in vez 15 2.4 Sila 16

2.4.1 Točkovna sila 16 2.4.2 Porazdeljene sile 19

2.4.2.1 Linijska sila 19 2.4.2.2 Ploskovna sila 20 2.4.2.3 Prostorninska sila 20 2.4.2.4 Rezultante porazdeljenih sil 20

2.4.3 Redukcija sile 21 2.4.4 Razdelitev sil 25

2.4.4.1 Zunanje in notranje sile 25 2.4.4.2 Aktivne in pasivne sile 26

2.4.5 Aktivna zunanja sila: teža 26 2.4.5.1 Težišče telesa 29 2.4.5.2 Težišča geometrijskih teles 30 2.4.5.3 Težišča ploščinskih likov 31 2.4.5.4 Težišča črtnih likov 40

2.4.6 Pasivne zunanje sile: reakcije v podporah 41 2.4.6.1 Ravninske podpore 43 4.2.1.2 Prostorske podpore 45

2.4.7 Trenje 46 2.4.7.1 Sila trenja med trdnim telesom in ravno podlago 46 2.4.7.2 Sila trenja med vrvjo in krožno podlago 49

3 STATIKA ........................................................................................................................................... 51 3.1 Ravnovesni enačbi statike 51

3.1.1 Splošni zapis 51 3.1.2 Zapis enačb z reduciranimi silami in momenti 52 3.1.3 Zapis enačb v primeru sil s skupnim prijemališčem 52 3.1.4 Razmere v ravnini 53

3.2 Konstrukcija 55 3.3 Statična analiza konstrukcije 57 3.4 Računanje reakcij v podporah 57

3.4.1 Ugotavljanje splošnih oblik reakcijskih sil in momentov 57 3.4.2 Ugotavljanje splošnih oblik sil in momentov v vezeh 58


UM, Fakulteta za strojništvo II http://www.fs.uni-mb.si

3.4.3 Zapis ravnovesnih enačb 58 3.4.4 Zunanja statična določenost konstrukcij 59

3.5 Računanje notranjih sil 60 3.5.1 Koncept in izvor notranjih sil 61 3.5.2 Upoštevanje notranjih sil v mehanskem modelu 61 3.5.3 Konstrukcijski elementi 63

3.5.3.1 Nosilec 63 3.5.3.2 Palica 67 3.5.3.3 Vrv 69

3.5.4 Zapis ravnovesnih enačb 70 3.5.5 Notranja statična določenost konstrukcij 71

4 TRDNOST .......................................................................................................................................... 73 4.1 Uvod 73 4.2 Statične količine prereza 73 4.3 Deformacije 80

4.3.1 Pomiki in njihov izvor 81 4.3.2 Vektor pomika 81 4.3.3 Tenzor deformacij 82 4.3.4 Tenzor majhnih deformacij 83 4.3.5 Fizikalni pomen tenzorja majhnih deformacij 84

4.4 Napetosti 87 4.4.1 Notranje sile in njihov izvor 87 4.4.2 Vektor napetosti 88 4.4.3 Tenzor napetosti 90 4.4.4 Ravninsko napetostno stanje – RNS 92

Glavne in ekstremne strižne napetosti pri RNS 92 Mohrov krog za napetosti pri RNS 93

4.4.5 Enoosno napetostno stanje - ENS 94 4.5 Konstitutivne enačbe – Hookov zakon 95 4.6 Osnovni problemi trdnosti 97

4.6.1 Natezna in tlačna obremenitev 97 4.6.2 Upogibna obremenitev 98 4.6.3 Strižna obremenitev 100 4.6.4 Torzijska obremenitev 101 4.6.5 Uklon 102

4.7 Porušne hipoteze 104

LITERATURA ................................................................................................................................... 106

STVARNO KAZALO ........................................................................................................................ 107


UM, Fakulteta za strojništvo III http://www.fs.uni-mb.si

Predgovor

Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Statika in trdnost, ki spada v učni program Fakultete za strojništvo na Univerzi v Mariboru. Za razumevanje knjige je potrebno relativno skromno predznanje. S področja mehanike je koristno poznavanje osnovnih pojmov. S področja matematike pa je potrebno poznavanje osnov vektorskega in diferencialnega računa. Zaradi preglednosti in lažjega branja so matematični in drugi objekti pisani z različnimi pisavami. Kolikor se je dalo, so uporabljena naslednja pravila označevanja:

skalarne količine: , , . . . , , vektorske količine in matrike: , . . . , , , , … točke, liki, telesa ipd.: A, B. . . Z

Maribor, 2014

B. Harl, M. Kegl: Statika in trdnost 1 Uvod

UM, Fakulteta za strojništvo 1 http://www.fs.uni-mb.si

1 UVOD

Namen: Pokazati pomen mehanike v inženirski praksi Prikazati postopek modeliranja mehanskih pojavov Spoznati razdelitev področja mehanike Cilj: Študenta seznaniti z dejstvom, da je mehanika pomemben in zelo aktualen sestavni del vsakdanje inženirske prakse. Glavne oporne točke: Modeliranje: naravni pojav – fizikalni model – matematični model – rešitev Razdelitev mehanike: kinematika, kinetika (statika, dinamika)

1.1 Mehanika v inženirski praksi

Mehanika je veda, pri kateri so v središču pozornosti sile in njihove posledice, to je, spreminjanje mehanskega stanja snovi (lege, hitrosti in pospeški materialnih delcev). Zaradi tega je precej očitno, da predstavlja mehanika pomemben vidik vsakega sistema, pri katerem se pojavljajo sile ter posledično tudi gibanje, deformacije in napetosti – takšni pa so praktično vsi sistemi v tehniški praksi.

Slika 1.1: Obesa avtomobilskega kolesa

Pogled na običajno obeso avtomobilskega kolesa, slika 1.1, odpre celo področje vprašanj, na katera mora odgovoriti mehanika: Kakšne so sile v obesi pri mirovanju vozila? (statika) Kakšen je tir gibanja kolesa pri posedanju obese? (kinematika)



Kakšne so sile v obesi pri vožnji čez neravnine? (dinamika) Kakšne so deformacije in napetosti v obesi? (statika ali dinamika deformabilnih teles)

Znanje mehanike nam med drugim omogoča, da izdelujemo lahke, učinkovite in varne konstrukcije, slika 1.2. Statični izračun, na primer, nam omogoča določiti optimalne dimenzijske parametre konstrukcije glede na podane obremenitve. Tako že pred izdelavo konstrukcije vemo, da bo ta dobro služila namenu.

Slika 1.2: Lahka in učinkovita žerjavna konstrukcija podjetja Ace Crane

1.2 Modeliranje mehanskih pojavov

Naloga mehanike je številčno ovrednotenje mehanskega pojava, in sicer z ustreznimi postopki in numeričnimi orodji. Pri tem je zelo pomembno dejstvo, da ti postopki delujejo tudi, kadar se nek mehanski pojav dejansko sploh še ne odvija, ampak si ga samo zamislimo. To dejstvo omogoča projektiranje in izdelavo mehanskih sistemov, za katere že vnaprej natančno vemo, kako se bodo odzivali na razne obremenitve.

Slika 1.3: Ovrednotenje mehanskega pojava

MEHANSKI POJAV

MATEMATIČNI model

FIZIKALNI model

ŠTEVILČNO ovrednotenje



Postopek ovrednotenja mehanskega pojava bi lahko opisali nekako takole, slika 1.3: mehanski pojav najprej poenostavimo s predpostavkami ter ga nato opišemo z zakoni, ki povezujejo mehanske količine pojava. Rezultat tega je fizikalni model pojava. V naslednjem koraku vpletene količine predstavimo z ustreznimi matematičnimi objekti ter mehanske zakone zapišemo v obliki matematičnih enačb. Rezultat tega koraka je matematični model mehanskega pojava. Sedaj nam ostane le še zadnji korak, številčno ovrednotenje, pri katerem pa se stvari lahko zapletejo. Enačb modela namreč z obstoječimi metodami včasih ne znamo rešiti. Če so rešljive, pa je rešitev lahko več ali pa je vprašljiva njihova natančnost. Skoraj vse praktične primere moramo namreč reševati numerično, pri čemer se napakam ne moremo izogniti. Kljub omenjenim zapletom pa največkrat le pridemo do uporabnih številčnih rezultatov. Za njihovo pravilno tolmačenje je nujno treba upoštevati uporabljene mehanske predpostavke in zakone ter z njimi povezano območje veljavnosti fizikalnega modela. Nepoznavanje teh zakonov in predpostavk lahko pripelje do popolnoma napačnih sklepov. Tej nevarnosti smo v inženirski praksi izpostavljeni ravno pri uporabi najsodobnejših orodij – računalnikov in programske opreme za analiziranje mehanskih sistemov. Kot smo že dejali, je vsak fizikalni model osnovan na predpostavkah in predstavlja zgolj idealizacijo naravnega procesa. Natančno poznavanje vseh uporabljenih predpostavk je zato bistvenega pomena za pravilno modeliranje procesa in pravilno oceno natančnosti številčnih rezultatov. Mehanske predpostavke lahko razvrstimo v naslednje skupine: materialne predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o zgradbi in fizikalnih

lastnostih obravnavane snovi; kinematične predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o gibanju delcev snovi; druge predpostavke, kamor spada na primer predpostavka o točkastem prijemališču sile.

Slika 1.4: Primer pogosto uporabljenih mehanskih predpostavk pri konzolnem nosilcu

Različne predpostavke se bolj ali manj ujemajo z realnostjo, kar pa ne pomeni, da lahko na tej osnovi sklepamo o njihovi sprejemljivosti za uporabo v konkretnem modelu. Če za gumijast kvader uporabimo predpostavko o nedeformabilnosti telesa (nedeformabilno telo nikoli ne spremeni svoje oblike ne glede na velikost in vrsto zunanjih obremenitev), je to povsem sprejemljiva osnova, če nas na primer zanima, kako se bo gibalo težišče telesa pri poševnem metu. Nasprotno pa je lahko ta predpostavka povsem nesprejemljiva, če nas zanima, kakšne so notranje napetosti pri obremenitvi, ki vidno spremeni obliko telesa. Zato lahko rečemo, da kvaliteta predpostavke ni univerzalna, pač pa je odvisna od konteksta, v katerem je uporabljena. Tako je lahko neka predpostavka v enem primeru povsem sprejemljiva, v drugem pa ne.

prerezi pri upogibanju ostanejo ravni (kinematične)

točkovna sila (druge) homogen material brez napak (materialne)



Na sliki 1.4 je prikazan konzolni nosilec, ki je na vrhu obremenjen s silo. Slika prikazuje nekatere predpostavke, ki se v takšnih primerih pogosto uporabljajo.

1.3 Skalarne in vektorske količine

V fizikalnem modelu se pojavljajo različne vrste mehanskih količin. V okviru te knjige bomo imeli opravek le s takšnimi, ki imajo lastnosti skalarjev ali pa vektorjev. Skalarne količine. Za skalarno količino je značilno, da je njena vrednost podana z realnim številom. Ta vrednost je neodvisna od izbire (lege in orientacije) koordinatnega sistema. Tipični skalarni količini sta na primer masa nekega telesa in gostota mase (ali tudi gostota snovi) v izbrani točki telesa. Masa telesa je odvisna od vrste snovi in velikosti telesa, gostota pa od vrste snovi. V primerjavi z maso je torej gostota takšna količina, katere vrednost se od točke do točke telesa spreminja. Takšni skalarni količini pravimo skalarno polje. Vektorske količine. Za vektorsko količino je značilno, da ji lahko določimo smer in jakost, razen tega pa mora ustrezati aksiomom vektorskega prostora. Tako kot pri skalarjih bomo imeli tudi pri vektorskih količinah opravek s takšnimi, ki se bodo spreminjale od točke do točke opazovanega telesa. Takšni vektorski količini pravimo vektorsko polje.

1.4 Področja mehanike

V okviru tega predmeta bomo s pojmom mehanika označevali le tehniško mehaniko trdnih teles. V tem primeru lahko rečemo, da se mehanika ukvarja z vsem, kar je povezano s spreminjanjem oblike in lege teles. Za zgled naštejmo nekaj problemov, s katerimi se ukvarja mehanika. To so: 1. upogib nosilca (statika), 2. gibanje obese avtomobila (kinematika), 3. dinamično obnašanje manipulatorja (dinamika). V naštetih primerih bi naravni proces lahko številčno ovrednotili z več parametri. To so: 1. poves vrha nosilca in napetosti v prerezu, 2. trajektorija gibanja premnika kolesa, 3. trajektorija efektorja manipulatorja in reakcijske sile v podporah. Mehaniko običajno delimo najprej na kinematiko in kinetiko. H kinematiki spadajo tisti problemi, v katerih se ne pojavljajo vzroki gibanja – sile. Preostale probleme, ki v svojem opisu vsebujejo sile, štejemo h kinetiki, slika 1.5. Področje kinetike delimo naprej na statiko in dinamiko. K statiki spadajo problemi, ki ne vsebujejo časa kot neodvisne spremenljivke. Druge kinetične probleme, ki vsebujejo čas, štejemo k dinamiki.



Slika 1.5: Razdelitev področja mehanike

Znotraj področij, prikazanih na sliki, razvrščamo mehanske probleme še naprej glede na to, kakšne predpostavke uporabljamo v fizikalnem modelu. Tako govorimo na primer o statiki elastičnih teles, dinamiki togih teles in tako naprej.

1.4 Osnovne predpostavke in dogovori

V okviru te knjige bomo privzeli naslednje dogovore in predpostavke: Telesa bomo obravnavali kot homogena. Največ opravka bomo imeli z

nedeformabilnimi oziroma togimi telesi, razen kadar bo posebej poudarjeno, da je obravnavano telo deformabilno oziroma (v našem primeru) elastično.

Vse mehanske sklope, kot so na primer ležaji, mehanske vezi in podpore, bomo obravnavali idealizirano: ni zračnosti, ni trenja in podobno.

Za opis gibanja bomo večinoma uporabljali Kartezijev koordinatni sistem. Za opis mehanskega pojava v ravnini bomo uvedli fiksno ortonormirano vektorsko bazo yx ee , in koordinatni sistem O , slika 1.6.

Slika 1.6: Ortonormirani koordinatni sistem O v opazovani ravnini

Dogovorimo se še, da bomo bazo yx ee , in koordinatni sistem xyO orientirali vedno tako,

kot kaže slika. Zaradi tega dogovora bomo risanje koordinatnega sistema pogosto opuščali. Prav tako bomo običajno opuščali risanje vektorske baze.

MEHANIKA

Kinematika Kinetika

Statika Dinamika

MEHANIKAMEHANIKA

a

O x

y

ex

ey

ax

ay



Za opis gibanja v prostoru, vektorsko bazo yx ee , razširimo z vektorjem yxz eee ,

ki določa tretjo os – z-os, slika 1.7. Baza zyx eee ,, je ortonormirana in določa desnosučni

koordinatni sistem O , ki ga imenujemo Kartezijev koordinatni sistem.

Slika 1.7: Ortonormiran koordinatni sistem O v prostoru

Glede na omenjene dogovore lahko poljuben vektor a zapišemo kot:

zzyyxx aaa eeea (1.1)

Ker v izbranem koordinatnem sistemu O velja:

1

0

0

,

0

1

0

,

0

0

1

zyx eee (1.2)

lahko zapis vektorja a skrajšamo na

z

y

x

a

a

a

a (1.3)

oziroma

Tzyx aaaa (1.4)

Skalarje xa , ya in za imenujemo koordinate vektorja .

Pri ravninskih problemih imamo v glavnem opravka z vektorji, za katere velja 0. Zaradi racionalnosti v takih primerih vektor a pišemo tudi kot:

y

x

a

aa (1.5)

Pozor: Če tak vektor uporabimo v vektorskem produktu, ga je treba pred tem obvezno razširiti s tretjo koordinato 0. Ker bomo z vektorji veliko računali, ponovimo na kratko nekatere osnovne računske postopke. Krajevni vektor r je vektor, ki povezuje koordinatno izhodišče O s poljubno končno točko zyx ,,T . Komponente krajevnega vektorja zyx zyx eeer so enake

a

O x

y

ex

ey ax ay

z

ez

az



koordinatam točke zyx ,, (slika 1.8).

Slika 1.8: Vektorji v prostoru

Poljubni vektor zzyyxx aaa eeea na sliki 1.8 lahko v matrični obliki zapišemo kot:

Tzyx

z

y

x

zyx aaa

a

a

a

aaa

1

0

0

0

1

0

0

0

1

a (1.6)

pri čemer desni zgornji indeks T pomeni transponiranje. Skalarje xa , ya in za imenujemo

komponente vektorja a . Vektor a lahko tudi zapišemo s koti , in :

cos

cos

cos

aa (1.7)

pri čemer je kot na sliki kot, ki ga vektor a oklepa z enotskim vektorjem xe . Analogno

velja za kota in . V enačbi skalar a pomeni normo vektorja a , ki je nenegativni skalar in ga izračunamo:

222zyx aaaa aaa (1.8)

Rezultat je številčno enak dolžini vektorja. Zapišimo še vektorja a in b v ravnini xyO , kakor prikazuje slika 1.9.

Slika 1.9: Vektorja v ravnini O

xa ya

za

yO

x

z

xe ze

ye

y O

x

z

r T

z

xy

a

xyOT

O x

y



Vektor a lahko z enačbo (1.7) zapišemo kot:

sin

cos

)90cos(

cos

cos

cosaaaa (1.9)

Vektor b lahko zapišemo podobno kakor a , kjer merimo kot od pozitivne osi x protiurno

sin

cos

sin

cosbbb (1.10)

V ravnini xzO vektorja a in b zapišemo z uporabo slike 1.10.

Slika 1.10: Vektorja v ravnini O

Vektorja a in b zapišemo kot:

cos

0

sin

sin

0

cos

aaa ,

sin

0

cos

bb (1.11)

Množenje skalarja a z vektorjem b izvedemo:

cb

z

y

x

z

y

x

ab

ab

ab

b

b

b

aa (1.12)

Rezultat množenja je vektor c , ki ima enako smer kakor b , normi pa v splošnem nista več enaki. Vsoto dveh vektorjev izračunamo:

cba

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

ba

ba

ba

b

b

b

a

a

a

(2.13)

Rezultat je vektor. Grafično seštevanje ponazarja naslednja slika.

O x

z



Slika 1.11: Grafično seštevanje vektorjev v prostoru in v ravnini

Skalarni produkt ba dveh vektorjev izračunamo z matričnim produktom

cbababa

b

b

b

aaa zzyyxx

z

y

x

zyxT

baba (1.14)

Rezultat je skalar. Skalarni produkt predstavlja dolžino projekcije c vektorja a na vektor b in nasprotno.

Slika 1.12: Skalarni produkt dveh vektorjev ravnini

Skalarni produkt je tudi

cosbaba (1.15)

Vektorski produkt dveh vektorjev izračunamo:

c

eee

ba

xyyx

zxxz

yzzy

zyx

zyx

zyx

z

y

x

z

y

x

baba

baba

baba

bbb

aaa

b

b

b

a

a

a

det (1.16)

Rezultat je vektor c , kar ponazarja naslednja slika. Opozoriti je treba, da velja abba .

yO

x

z

a b

xc yc

zc

ya

za xb

yb

Ox

y

a

b

xa xb

ya

c

c c

yO

x

z



Slika 1.13: Vektorski produkt vektorjev in je novi vektor , pravokoten na ravnino, ki jo ustvarjata množena vektorja.

Povejmo tudi, da je norma ali dolžina vektorja c enaka ploščini lika – paralelograma, ki ga tvorita vektorja a in b ter kot med njima , kar izračunamo:

sinbac (1.17)

Zapišimo sedaj še poljuben vektor a v prostoru med točkama 111 ,, zyxA in

222 ,, zyxB , kakor prikazuje slika.

Slika 1.14: Vektor v prostoru

Vektor a zapišemo

)(

)(

)(

12

12

12

zz

yy

xx

a (1.18)

Na sliki je vektor ae enotski vektor, torej 1ae in ima enako smer kakor vektor a , kar

lahko zapišemo

)(

)(

)(

)()()(

1

12

12

12

212

212

212 zz

yy

xx

zzyyxxa a

ae (1.19)

y

O

x

z

y O

x

z

yO

x

z B

A



Za merjenje mehanskih veličin potrebujemo dogovorjen merski sistem in pripadajoče merske enote. Pri nas je predpisan sistem SI, ki temelji na osnovnih in izpeljanih merskih enotah (preglednica 1.1).

Preglednica 1.1: Osnovne in nekatere izpeljane merske enote

Osnovne merske enote Izpeljane merske enote

za razdaljo: meter [m] za ploščino: [ 2m ]

za količino snovi (maso): kilogram [kg] za prostornino (volumen): [ 3m ]

za čas: sekunda [s] za hitrost: [ m/sms-1 ]

za električni tok: amper [A] za pospešek: [ 2-2 m/sms ]

za temperaturo: kelvin [K] za silo: newton [ 2kgm/sN ]

za svetilnost: kandela [cd] za tlak: pascal [ 2N/mPa ]

za količino snovi: mol [mol] za moment sile (navor): [Nm]

Zaradi enostavnejšega pisanja številk dodajamo tem enotam pogosto predpone, ki pomenijo množenje z določeno potenco števila 10. Nekaj primerov je prikazanih v preglednici 1.2.

Preglednica 1.2: Desetiške merske enote

kilo: k 310 mili: m 310

mega: M 610 mikro: 610

giga: G 910 nano: n 910

tera: T 1210 piko: p 1210

Documents

Boštjan Harl, Marko Kegl Statika in trdnostfs-serverb.uni-mb.si/tpn/PREDOGLED/Vzorec-00113.pdf · Boštjan Harl, Marko Kegl Statika in trdnost Univerzitetni učbenik Maribor, 2014