Cuprins

1 Cuvant inainte 3

2 Algebre diferentiale graduate 42.1 Algebra. Ideal. Algebra factor. Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Algebre Z2-graduate. Algebra Lie Z2-graduata a derivarilor Z2-graduate . . . . . . . 52.3 Alte graduari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Diferentiale. Algebre de (co)omologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Omotopia contractiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Algebra dDer (Der (A)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Diferentiale modulo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Rezolutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9 Elemente de teoria perturbatiilor omologice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Teorii supuse la constrangeri de clasa I 433.1 Constrangeri de clasa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Ecuatiile de miscare in prezenta constrangerilor de clasa I . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Transformari gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4 Structura algebrica a lui C1 (�H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Functii de clasa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6 Observabile clasice Hamiltoniene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 Conditii gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Existenta simetriei BRST Hamiltoniene 544.1 Algebra BRST Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2 Cerintele de baza ale simetriei BRST Hamiltoniene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3 Ideea de baza a constructiei simetriei BRST Hamiltoniene . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Diferentiala Koszul-Tate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Derivata exterioara longitudinala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Structura canonica a simetriei BRST Hamiltoniene 675.1 Paranteza Poisson generalizata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Sarcina BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Existenta sarcinii BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4 Exemple de sarcini BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 Actiunea �xata gauge 806.1 Algebra Poisson a observabilelor BRST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2 Procedura de gauge �xing. Actiunea �xata gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Variabile coomologic triviale�sectorul neminimal. Actiunea �xata gauge in prezenta

sectorului neminimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4.1 Particula libera relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4.2 Campul electromagnetic liber nemasiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.4.3 Campurile Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1

7 Legatura dintre formalismele BRST Hamiltonian si Lagrangian pentru sistemede clasa I 957.1 Formalismul BRST Lagrangian pentru sistememe supuse la constrangeri de clasa I . 957.2 Solutia completa a ecuatiei master . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3 Actiunea �xata gauge corespunzatoare solutiei ecuatiei master . . . . . . . . . . . . . 99

2

1 Cuvant inainte

Baza prezentului material o reprezinta cursul intitulat Simetria BRST Hamiltoniana predat deautor studentilor Facultatii de Fizica de la Universitatea din Craiova. In aceasta lucrare, care seadreseaza in special �zicienilor teoreticieni si matematicienilor, este realizata o prezentare didactica(riguroasa) a constructiei simetriei Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST) Hamiltoniene, urmand liniaintrodusa de M. Henneaux, C. Teitelboim, G. Barnich, F. Brandt, etc. (1985-1995). Acesti autoriau reformulat simetria BRST la nivel coomologic, ceea ce a transformat formalismul BRST in ceamai puternica metoda de investigare a teoriilor de camp cunoscuta pana in prezent. In contextul noiiformulari au fost reanalizate problemele cuanti�carii, anomaliilor, renormarii, precum si problemaconstructiei interactiilor in teoriile de camp.

Lucrarea are trei obiective principale: i) expunerea ideilor si dezvoltarilor de baza ale formal-ismului BRST Hamiltonian; ii) realizarea cadrului necesar abordarii unor probleme de perspectivain domeniu; iii) stabilirea legaturii dintre abordarea BRST Lagrangiana si cea Hamiltoniana.

Materialul este structurat in sapte sectiuni. Notiunile matematice necesare parcurgerii lucrariisunt continute in sectiunea 2. Sectiunea 3 reia pe scurt analiza sistemelor supuse la constrangeride clasa I. In sectiunea 4 este demonstrata existenta simetriei BRST Hamiltoniene. Sectiunea5 evidentiaza structura canonica a acestei simetrii. In sectiunea 6 este construita actiunea �xatagauge obtinuta din abordarea BRST Hamiltoniana. Sectiunea 7 stabileste legatura dintre abordareaBRST Lagrangiana si cea Hamiltoniana a sistemelor supuse la constrangeri de clasa I. Lucrarea seincheie cu referintele bibliogra�ce.

In �nal, autorul multumeste apriori tuturor celor care prin observatii si sugestii vor ajuta laimbunatatirea acestui material in vederea unei noi editii.

Craiova, 5 Mai, 2010

Constantin Bizdadea

3

2 Algebre diferentiale graduate

In aceasta sectiune vom introduce pe scurt ingredientele matematice necesare constructiei simetrieiBRST.

2.1 Algebra. Ideal. Algebra factor. Suma directa

De�nitia 1 O algebra peste R sau C este o multime A care satisface urmatoarele proprietati: a)A este spatiu vectorial (peste R sau C); b) pe A s-a de�nit o operatie interna, notata simbolicprin �, care este biliniara (adica: b1) x � y 2 A; b2) (�1x1 + �2x2) � y = �1 (x1 � y) + �2 (x2 � y),x� (�1y1 + �2y2) = �1 (x � y1)+�2 (x � y2), unde obiectele de tip x sau y sunt din A, iar elementelede tip � sau � sunt din R sau C).

De�nitia 2 Fie A o algebra. Daca operatia � este asociativa ((x � y) � z = x � (y � z)) atuncispunem ca A este algebra asociativa.

De�nitia 3 O algebra Lie este o algebra pentru care operatia � satisface urmatoarele proprietatisuplimentare: c) este antisimetrica (x � y = �y �x); d) satisface identitatea lui Jacobi ((x � y) � z+(z � x) � y + (y � z) � x = 0).

Un exemplu simplu de algebra Lie il reprezinta multimea matricilor n � n inzestratata cuoperatia de comutator al matricilor. Alt exemplu este dat de multimea vectorilor (geometrici) dinR3 inzestrata cu operatia de produs vectorial.

De�nitia 4 Fie A o algebra si �e U o submultime a lui A. U se numeste subalgebra a algebreiA daca: a) U este subspatiu vectorial al lui A; b) pentru orice u si v din U avem ca u � v 2 U .

De�nitia 5 Fie A o algebra si �e U o subalgebra a lui A. U se numeste ideal la stanga (ladreapta) in algebra A daca pentru orice u 2 U si x 2 A avem ca u�x 2 U (x�u 2 U). U se numesteideal bilateral in algebra A daca este simultan ideal la stanga si la dreapta. Un ideal bilateral va� numit pe scurt ideal.

De�nitia 6 Fie A o algebra si �e U ideal (bilateral) in algebra A. Atunci, obiectul A=U = AU

reprezinta prin de�nitie multimea claselor de echivalenta de elemente din A cu proprietatea ca douaelemente x si x0 dintr-o clasa sunt echivalente (x � x0) daca si numai daca difera printr-un elementdin U (x� x0 = u 2 U).

Astfel, prin operatia de factorizare asociem unui element x 2 A elementul [x] ={x + �ujx 2 A,�u 2 U}2 A=U numit clasa lui x. In particular, clasa oricarui vector u 2 U � A va � [u] =fu+ �uju; �u 2 Ug. Deoarece U este subspatiu vectorial al lui A (u + �u 2 U), rezulta ca pentruorice u 2 U avem ca [u] = U (clasa oricarui element din ideal este insusi idealul). Mai mult,clasa vectorului x = 0 va � data de [0] = fuju 2 Ug = U . In consecinta, operatia de factorizaretransforma idealul U in clasa vectorului nul, [0] = [u] = U . Daca la nivelul claselor de echivalentade�nim adunarea claselor precum si inmultirea acestora cu scalari prin relatiile [x] u [y] = [x+ y]si � / [x] = [�x], atunci A=U devine spatiu vectorial. Daca in plus de�nim si inmultirea claselorprin relatia [x] � [y] = [x � y], atunci A=U devine algebra. De�nitia produsului claselor ne asiguraca algebra A=U mosteneste toate proprietatile algebrei A.

De�nitia 7 Fie V un spatiu vectorial si �e �V si V doua subspatii ale lui V , astfel incat �V \ V= f0g (multimea formata din vectorul zero). In aceste conditii, suma directa a celor doua subspatiise de�neste prin relatia �V � V =

nv 2 V jv = �v + v, �v 2 �V ; v 2 V

o. Spunem ca subspatiile �V si V

sunt complementare fata de V daca V = �V � V .O de�nitie similara poate � data in cazul algebrelor.De�nitia 8 Fie A o algebra si �e �A si A doua subalgebre ale lui A, astfel incat �A \ A = f0g.

Atunci, suma directa a celor doua subalgebre se de�neste prin relatia �A � A ={a 2 Aja = �a + a,�a 2 �A, a 2 A}. Spunem ca subalgebrele �A si A sunt complementare fata de A daca A = �A� A.

4

2.2 Algebre Z2-graduate. Algebra Lie Z2-graduata a derivarilor Z2-graduate

De�nitia 9 Fie A o algebra. In cele ce urmeaza, produsul dintre elementele x si y ale algebreiA va � notat prin xy. Spunem ca A este o algebra Z2-graduata (sau supercomutativa), daca sedescompune in suma directa de doua subspatii vectoriale complementare

A = A(0) �A(1); (1)

astfel incatxy � (�)"x"y yx = 0; (2)

"xy = ("x + "y)mod 2; (3)

unde

"x =

�0; daca x 2 A(0);1; daca x 2 A(1): (4)

De�nitia anterioara asociaza elementelor x 2 A un grad numit paritate Grassmann si notat prin"x (de�nit prin relatia (4)). Obiectele (din A(0) sau A(1)) cu paritate Grassmann bine de�nitase numesc elemente omogene. Elementele subspatiului A(0) se numesc elemente bosonice (pare,comutative), iar ale lui A(1) elemente fermionice (impare, anticomutative). Remarcam faptul caA(0) este subalgebra a lui A in timp ce A(1) nu satisface aceasta proprietate.

Fie A o algebra Z2-graduata siM : A ! A un operator liniar (M (�1x+ �2y) = �1Mx+�2My,cu �1 si �2 scalari reali sau complecsi). Vom nota prin End (A)multimea operatorilor liniariA ! A.De�nim suma operatorilor liniari si inmultirea acestora cu scalari prin relatiile

(M1 +M2)x =M1x+M2x; (�M)x = � (Mx) : (5)

Atunci, multimea End (A) inzestrata cu operatiile de suma a operatorilor liniari si inmultire aacestora cu scalari este spatiu vectorial1. De�nim acum inmultirea operatorilor liniari prin relatia

(M1M2)x =M1 (M2x) : (6)

Astfel de�nita, inmultirea operatorilor liniari este operatie interna in End (A)2. In consecinta,spatiul vectorial End (A) inzestrat cu operatia de inmultire a operatorilor liniari formeaza algebraasociativa cu unitate (unitatea este un element din End (A), notat simbolic prin 1, astfel incat1M =M1 =M pentru orice M din End (A)).

De�nitia 10 Fie A o algebra Z2-graduata si M : A ! A un operator liniar. Spunem ca M areparitatea Grassmann "M (= 0 sau 1) daca pentru orice element x 2 A cu paritate Grassmann binede�nita "x, avem ca

"Mx = ("M + "x) mod 2: (7)

Daca "M = 0 atunci M se numeste operator par. In caz contrar ("M = 1), M se numeste operatorimpar. Ultima de�nitie structureaza algebra End (A) ca algebra Z2-graduata

End (A) = End0 (A)� End1 (A) : (8)

1Aceasta se demonstreaza simplu dupa cum urmeaza. Fie M1 si M2 operatori liniari. Atunci ei sa-tisfac relatiile M1;2 (�1x+ �2y) = �1M1;2x + �2M1;2y, unde �1 si �2 sunt scalari. Prin calcul directobtinem ca (�1M1 + �2M2) (�1x+ �2y) = �1 (M1 (�1x+ �2y)) + �2 (M2 (�1x+ �2y)) = �1 (�1M1 + �2M2)x +�2 (�1M1 + �2M2) y, pentru orice scalari �1 si �2. Ultima relatie arata ca (�1M1 + �2M2) apartine lui End (A),ceea ce justi�ca faptul ca End (A) este spatiu vectorial.

2Pentru a demonstra ultima a�rmatie trebuie sa aratam ca M1M2 este operator liniar. Prin calcul deducemrelatia (M1M2) (�1x+ �2y) = M1 (M2 (�1x+ �2y)) = M1 (�1 (M2x) + �2 (M2y)) = �1M1 (M2x) + �2M1 (M2y) =�1 (M1M2)x+ �2 (M1M2) y, care arata ca M1M2 este operator liniar.

5

Astfel, un operator arbitrar din End (A) poate � descompus ca suma dintre un operator par si unoperator impar

M =M (0) +M (1); "M(0) = 0; "M(1) = 1: (9)

Mai mult, inmultirea operatorilor cu paritate bine de�nita satisface relatia3

"M1M2 = "M2M1 = ("M1 + "M2)mod 2: (10)

Relatia (8) ne permite sa privim pe End (A) ca spatiu vectorial Z2-graduat. Pentru orice doua ele-mente cu paritate bine de�nita din spatiul vectorial Z2-graduat End (A), introducem comutatorullor graduat prin relatia4

[M1;M2] =M1M2 � (�)"M1"M2 M2M1: (11)

Atunci, rezulta simplu ca5

"[M1;M2] = "M1M2 = ("M1 + "M2)mod 2: (12)

Scrisa in detaliu, formula (11) conduce la

[M1;M2] = M1M2 �M2M1; "M1 = 0; "M2 = 0; (13)

[M1;M2] = M1M2 �M2M1; ("M1 = 0; "M2 = 1) sau ("M1 = 1; "M2 = 0) ; (14)

[M1;M2] = M1M2 +M2M1; "M1 = 1; "M2 = 1: (15)

Deoarece M1 si M2 sunt operatori liniari (cu paritate bine de�nita), gasim simplu ca

[M1;M2] (�1x+ �2y) = �1 [M1;M2]x+ �2 [M1;M2] y; (16)

de unde rezulta ca operatorul comutator graduat este aplicatie liniara. Privit ca operatie de�nitape End (A)� End (A), comutatorul este operatie biliniara

[�1M1 + �2M2;M3] = �1 [M1;M3] + �2 [M2;M3] ; "M1 = "M2 ; (17)

[M1; �1M2 + �2M3] = �1 [M1;M2] + �2 [M1;M3] ; "M2 = "M3 : (18)

Cu toate acestea, comutatorul graduat nu este operatie interna in spatiul vectorial End (A),deoarece nu este bine de�nit pe combinatiile liniare dintre operatori cu paritati diferite. OriceoperatorM =M (0)+M (1) din End (A) poate �privit ca o combinatie liniara de operatori cu pari-tati diferite (M = � ~M (0)+� ~M (1), ~M (0) = 1

�M(0), ~M (1) = 1

�M(1)). Prin intermediul comutatorului

graduat putem de�ni o operatie biliniara si interna in End (A), prin relatiile6�M;M 0� =

hM (0);M 0(0)

i+hM (1);M 0(1)

i+hM (0);M 0(1)

i+hM (1);M 0(0)

i; (19)

3Relatia (10) se obtine astfel. Utilizand (7) avem ca "(M1M2)x = ("M1M2 + "x) mod 2. Pe de alta parte, din(6) obtinem ca "(M1M2)x = "M1(M2x) = ("M1 + "M2x) mod 2 = ("M1 + "M2 + "x) mod 2. Din ultimele douarelatii rezulta imediat ca "M1M2 = ("M1 + "M2)mod 2. Schimband in ultima formula pe M1 cu M2 ajungem la"M1M2 = "M2M1 , de unde rezulta imediat (10).

4Formula (11) trebuie intelesa in sansul ca [M1;M2]x = M1 (M2x) � (�)"M1"M2 M2 (M1x). Ultima relatie face

nenecesara prezenta inmultirii in End (A) (pentru de�nirea comutatorului). Totusi, inmultirea este prezenta indirectprin intermediul relatiei (6).

5Formula (12) rezulta dupa cum urmeaza. Din (M1M2)x = x0 gasim ca "x0 = "M1M2 + "x. Similar, din� (�)"M1

"M2 (M2M1)x = x00 rezulta ca "x00 = "M2M1+"x = "M1M2+"x = "x0 . Evident, avem ca "x0+x00 = "x0 = "x00 .

Atunci, din [M1;M2]x = x0+x00 rezulta ca "[M1;M2]+"x = "x0 = "x00 , de unde deducem ca "[M1;M2] = "M1M2 = "M2M1 .

Utilizand acum (10) rezulta imediat (12).6Mentionam ca pentru membrul stang din (19) ar � trebuit sa utilizam o notatie diferita de [M;M 0], de exemplu

prin [M;M 0]�. Pentru a nu complica notatiile am mentinut notatia [M;M 0].

6

"M(0) = "M 0(0) = 0; "M(1) = "M 0(1) = 1: (20)

Este simplu de vazut ca biliniaritatea operatiei de�nite de (19)�(20) este asigurata de biliniaritateacomutatorului graduat. Pe de alta parte, �ecare element din membrul drept al lui (19) apartinelui End (A) (comutatorul graduat este aplicatie liniara). Atunci, suma elementelor din membruldrept al lui (19) apartine lui End (A) (deoarece End (A) este spatiu vectorial). In consecinta,operatia de�nita de (19)�(20) este operatie interna in End (A). In acelasi timp, din (19)�(20)rezulta ca pentru orice doi operatori liniari M1 si M2 cu paritati bine de�nite membrul stang din(19) se reduce la comutatorul graduat al acestora. Astfel, toate proprietatile operatiei (19)�(20)sunt induse de proprietatile corespunzatoare ale comutatorului graduat. Altfel spus, comutatorulgraduat determina prin intermediul relatiilor (19)�(20) o operatie biliniara si interna in End (A).In concluzie, spatiul vectorial Z2-graduat End (A) inzestrat cu operatia de comutator graduatformeaza algebra Z2-graduata. Mai mult, comutatorul graduat este antisimetric in sens graduat

[M1;M2] = � (�)"M1"M2 [M2;M1] (21)

si satiface identitatea lui Jacobi graduata

0 = [[M1;M2] ;M3] + (�)"M3("M1+"M2) [[M3;M1] ;M2] +

+ (�)"M1("M2+"M3) [[M2;M3] ;M1] : (22)

Ultimele doua relatii se obtin direct utilizand de�nitia (11). In consecinta, algebra Z2-graduataEnd (A) este o algebra Lie Z2-graduata7.

De�nitia 11 Fie A o algebra Z2-graduata si �e D : A ! A un operator liniar cu paritateGrassmann bine de�nita "D. Operatorul D se numeste derivare la dreapta (la stanga) pe A dacasatisface regula lui Leibnitz la dreapta (la stanga)

D (xy) = xDy + (�)"D"y (Dx) y; (D (xy) = (Dx) y + (�)"D"x xDy) ; (23)

pentru orice doua elemente x; y 2 A cu paritati Grassmann bine de�nite "x si "y. Daca "D = 0atunci D se numeste derivare para. In caz contrar ("D = 1), D se numeste derivare impara. Inparticular, daca D este o derivare impara ("D = 1) la dreapta, atunci

D (xy) = xDy + (�)"y (Dx) y: (24)

Fie D1 si D2 doua derivari (la dreapta). Atunci, gasim ca

D1 (xy) = xD1y + (�)"D1"y (D1x) yD2 (xy) = xD2y + (�)"D2"y (D2x) y

�)

8<:(D1 +D2) (xy) = x (D1 +D2) y++(((�)"D1"y D1 + (�)"D2"y D2)x) y

�D1;2 (xy) = x (�D1;2) y + (�)"D1;2"y (�D1;2x) y:

(25)Ultima relatie arata ca

i) suma a doua derivari cu paritati diferite ("D1 6= "D2) nu este in general o derivare; (26)

ii) suma a doua derivari cu aceesi paritate ("D1 = "D2) este intotdeauna o derivare; (27)

iii) produsul dintre un scalar si o derivare este intotdeauna o derivare: (28)

7O algebra Lie Z2-graduata este o algebra Z2-graduata pentru care operatia � satisface urmatoarele proprietatisuplimentare: l1) este antisimetrica in sens graduat (x � y = � (�)"x"y y � x); l2) satisface identitatea lui Jacobigraduata ((x � y) � z + (�)"z("x+"y) (z � x) � y + (�)"x("y+"z) (y � z) � x = 0).

7

De�nim multimea

Der (A) =n� 2 End (A) j� = �(0) +�(1); "�(0) = 0; "�(1) = 1; �(0);�(1) = derivari

o; (29)

pe care o vom numi multimea derivarilor8 la dreapta (la stanga) pe algebra A. Fie �1 = �(0)1 +�(1)1

si �2 = �(0)2 +�

(1)2 doua elemente din Der (A), cu "

�(0)1

= "�(0)2

= 0 si "�(1)1

= "�(1)2

= 1. Atunci,

gasim ca

�1�1 + �2�2 =��1�

(0)1 + �2�

(0)2

�+��1�

(1)1 + �2�

(1)2

�: (30)

Din (27)�(28) si (30) rezulta ca Der (A) este subspatiu vectorial Z2-graduat al lui End (A)

Der (A) = Der0 (A)�Der1 (A) : (31)

Fie D1 si D2 doua elemente din Der (A) cu paritati bine de�nite. Prin calcul direct obtinem ca

[D1; D2] (xy) = x [D1; D2] y + (�)"[D1;D2]"y ([D1; D2]x) y (32)

pentru derivarile la dreapta, sau

[D1; D2] (xy) = ([D1; D2]x) y + (�)"[D1;D2]"x x [D1; D2] y (33)

pentru derivarile la stanga. Astfel, comutatorul graduat a doua derivari este o derivare. Operatia(19)�(20) din End (A) induce in Der (A) o operatie descrisa de relatia

[�1;�2] =�h�(0)1 ;�

(0)2

i+h�(1)1 ;�

(1)2

i�+�h�(0)1 ;�

(1)2

i+h�(1)1 ;�

(0)2

i�: (34)

Deoarece comutatorul graduat a doua derivari este o derivare, rezulta ca �ecare dintre obiecteleh�(0)1 ;�

(0)2

i,h�(1)1 ;�

(1)2

i,h�(0)1 ;�

(1)2

i,h�(1)1 ;�

(0)2

ieste o derivare. Pe de alta parte, este simplu

de vazut ca"h�(0)1 ;�

(0)2

i = "h�(1)1 ;�

(1)2

i = 0; "h�(0)1 ;�

(1)2

i = "h�(1)1 ;�

(0)2

i = 1: (35)

Atunci, conform concluziei (27) avem ca�h�(0)1 ;�

(0)2

i+h�(1)1 ;�

(1)2

i�este o derivare para, in timp

ce�h�(0)1 ;�

(1)2

i+h�(1)1 ;�

(0)2

i�este o derivare impara. Cu aceste rezultate, din (34) deducem ca

[�1;�2] 2 Der (A) (operatia indusa de (19)�(20) este operatie interna in Der (A)). In consecinta,Der (A) este subalgebra Lie Z2-graduata a lui End (A). Deoarece orice subalgebra are ea insasistructura de algebra, vom numi Der (A) algebra Lie Z2-graduata a derivarilor Z2-graduate ale luiA.

2.3 Alte graduari

Presupunem ca pe algebra A putem introduce o graduare suplimentara si independenta de gradu-area Z2, numita Z (sau N)-graduare si guvernata de gradul notat prin grad. Aceasta inseamna caputem descompune A intr-o suma directa de subspatii vectoriale

A = �k2Z(N)

Ak; (36)

8Mentionam ca elementele lui Der (A) nu sunt in general derivari (a se vedea (26)). Numai elementele cu paritatebine determinata din Der (A) sunt derivari.

8

astfel incat oricare ar � x 2 A sa avem

grad (x) = k , x 2 Ak; (37)

grad (x) = k; grad (y) = l) grad (xy) = k + l: (38)

De�nitia 12 O derivare D : A ! A este graduata (are grad bine de�nit) daca exista n 2 Z(N),astfel incat

8x 2 A; grad (x) = k ) grad (Dx) = n+ k: (39)

In acest caz avem ca grad (D) = n. Absolut identic de�nim gradul oricarui operator liniar dinEnd (A).

Fie D1 si D2 doua derivari graduate. Utilizand ultima de�nitie gasim ca grad ((D1D2)x) =grad (D1D2)+grad (x). Pe de alta parte, avem ca grad ((D1D2)x) = grad (D1 (D2x)) = grad (D1)+grad (D2x) = grad (D1)+grad (D2)+grad (x). In consecinta, obtinem ca grad (D1D2) = grad (D1)+grad (D2). Schimband D1 cu D2 in ultima relatie, obtinem ca

grad (D1D2) = grad (D2D1) = grad (D1) + grad (D2) : (40)

Similar, deducem ca9

grad ([D1; D2]) = grad (D1) + grad (D2) : (41)

Avand data o graduare, pentru orice(k)x 2 Ak putem de�ni un operator liniar N : A ! A prin

relatia

N(k)x = k

(k)x =

�grad

�(k)x

��(k)x ; (42)

numit operator de numarare (operatorul N numara gradul grad). Din (42) rezulta imediat ca

"N = 0; grad (N) = 0: (43)

Fie(l)y 2 Al. Atunci, avem ca

N(l)y = l

(l)y =

�grad

�(l)y

��(l)y : (44)

Utilizand (38) (grad�(k)x(l)y

�= k + l) ajungem la N

�(k)x(l)y

�= (k + l)

�(k)x(l)y

�. Pe de alta parte,

avem relatia evidenta (k + l)�(k)x(l)y

�=(k)x

�l(l)y

�+

�k(k)x

�(l)y , de unde rezulta ca

N

�(k)x(l)y

�=(k)x

�l(l)y

�+

�k(k)x

�(l)y : (45)

Substituind acum (42) si (44) in (45) deducem ca

N

�(k)x(l)y

�=(k)x

�N(l)y

�+

�N(k)x

�(l)y : (46)

Formulele (43) si (46) arata ca opratorul de numarare este o derivare para cu gradul egal cu zero.

9Formula (41) se obtine astfel. Din (D1D2)x = x0 gasim ca grad (x0) = grad (D1D2) + grad (x). Similar, din� (�)"D1"D2 (D2D1)x = x00 rezulta ca grad (x00) = grad (D2D1) + grad (x) = grad (D1D2) + grad (x) = grad (x0).Evident, avem ca grad (x0 + x00) = grad (x0) = grad (x00). Atunci, din [D1; D2]x = x

0 + x00 rezulta ca grad [D1; D2] +grad (x) = grad (x0) = grad (x00), de unde deducem ca grad [D1; D2] = grad (D1D2) = grad (D2D1). Utilizand acum(40) rezulta imediat (41).

9

2.4 Diferentiale. Algebre de (co)omologie

De�nitia 13 O diferentiala este o derivare impara D : A ! A graduata, cu gradul egal cu �1,care este nilpotenta de ordinul doi

"D = 1; grad (D) = �1; 8x 2 A; D2x = 0: (47)

In acest caz, scriem caD2 = 0: (48)

De�nitia 14 Fie A o algebra graduata si D : A ! A o diferentiala. Numim algebra diferentialagraduata dubletul (A; D).

Cu alte cuvinte, o algebra graduata inzestrata cu o diferentiala este algebra diferentiala gradu-ata.

Propozitia 1 Fie (A; D) o algebra diferentiala graduata. Atunci: 1. KerD este subalgebragraduata a lui A; 2. ImD este ideal graduat in KerD, unde nucleul, respectiv imaginea lui D, suntde�nite prin

KerD = fx 2 AjDx = 0g ; (49)

ImD = fx 2 Aj9y 2 A; x = Dyg : (50)

DemonstratieVom lucra in ipoteza ca D este diferentiala cu actiune la dreapta si grad (D) = 1.

1. Aratam ca KerD este subalgebra graduata a lui A. Initial, aratam ca KerD este subspatiuvectorial al lui A. Fie x1;2 2 KerD (x1;2 2 A, Dx1;2 = 0) si �e �1;2 doi scalari. Atunci, evident�1x1 + �2x2 2 A, iar

D (�1x1 + �2x2) = �1Dx1 + �2Dx2 = 0; (51)

deci �1x1 + �2x2 2 KerD. Daca grad (x1) = grad (x2) = k, atunci si grad (�1x1 + �2x2) = k, ceeace ne arata ca submultimile

(KerD)k = fx 2 Ajgrad (x) = k;Dx = 0g ; (52)

ale lui KerD sunt de asemenea subspatii vectoriale ale lui A. Pentru a arata ca KerD este in plussubalgebra a lui A, luam doua elemente arbitrare x1;2 2 KerD, pe care le presupunem omogene(cu paritatile Grassmann "x1;2). Atunci, x1x2 2 A si, in ipoteza ca D actioneaza ca o derivare ladreapta, obtinem

D (x1x2) = x1Dx2 + (�)"x2 (Dx1)x2 = 0; (53)

ceea ce ne arata ca x1x2 2 KerD. Daca in plus grad (x1;2) = k1;2, atunci grad (x1x2) = k1 + k2,astfel ca x1x2 2 (KerD)k1+k2 . Aceasta ne arata ca subalgebra KerD din A poate � descompusa casuma directa de subspatii vectoriale de tip (52)

KerD = �k2Z(N)

(KerD)k ; (54)

deci va � o algebra graduata in termenii gradului grad din A.2. Aratam ca ImD este un ideal graduat in KerD. Demonstram mai intai ca ImD este inclus inKerD. Fie x 2 ImD. Atunci, exista y 2 A, astfel incat x = Dy, de unde obtinem in continuareca Dx = D2y = 0 (din proprietatea de nilpotenta de ordinul doi a lui D), deci x 2 KerD. Faptulca ImD este subspatiu vectorial al lui KerD se demonstreaza imediat daca luam doua elementex1;2 2 ImD (adica 9 y1;2 2 A, x1;2 = Dy1;2) si doi scalari �1;2. Atunci obtinem relatia

�1x1 + �2x2 = �1Dy1 + �2Dy2 = D (�1y1 + �2y2) ; (55)

10

deci �1x1 + �2x2 2 ImD. Daca grad (x1) = grad (x2) = k, atunci si grad (�1x1 + �2x2) = k, ceeace ne arata ca submultimile

(ImD)k = fx 2 Ajgrad (x) = k;9y 2 A; grad (y) = k � 1; x = Dyg ; (56)

ale lui ImD sunt de asemenea subspatii vectoriale ale lui KerD (de fapt, chiar ale lui (KerD)k).Pentru a vedea ca ImD este in plus subalgebra a luiKerD, procedam similar. Fie x1;2 elemente omo-gene din ImD (cu paritatile Grassmann "x1;2). Atunci, 9y1;2 2 A, cu paritatile

�"x1;2 + 1

�mod2,

astfel incat x1;2 = Dy1;2. Utilizand faptul ca Dx1 = 0, un calcul simplu ne conduce la relatia

x1x2 = x1Dy2 = D (x1y2) ; (57)

care arata ca x1x2 2 ImD. Daca alegem grad (x1;2) = k1;2, atunci grad (x1x2) = k1 + k2, decisubalgebra ImD din KerD poate � descompusa ca suma directa de subspatii vectoriale de tip (56)

ImD = �k2Z(N)

(ImD)k ; (58)

�ind astfel graduata tot in termenii lui grad. In plus, au loc incluziunile (ImD)k � (KerD)k. Amai ramas de demonstrat faptul ca ImD este ideal in KerD. Pentru aceasta, consideram x 2 KerDsi y 2 ImD. Atunci, Dx = 0 si 9z 2 A astfel incat y = Dz, de unde deducem imediat relatia

xy = xDz = D (xz) ; (59)

care arata ca xy 2 ImD. �Elementele luiKerD se mai numesc elementeD-inchise, iar cele din ImD sunt numite si elemente

D-exacte. In virtutea ultimei propozitii, are sens sa construim algebra factor (a se vedea De�nitia6)

KerD

ImD=�[x] ; x 2 KerDj8x; x0 2 [x] ; x� x0 = Dy

; (60)

care reprezinta algebra claselor de echivalenta de elemente D-inchise modulo D-exacte ([x] =fx+Dzjx 2 KerDg). Aceasta se numeste algebra de (co)omologie a diferentialei D (de coomologiedaca grad (D) = 1; de omologie daca grad (D) = �1) si se noteaza traditional cu H�(D) sau H�(D)(dupa cum grad (D) = 1, respectiv grad (D) = �1). Astfel, algebra de (co)omologie a diferentialeiD (sau pe scurt coomologia diferentialei D) va mosteni structura de algebra graduata a lui A

H�(D) =KerD

ImD= �

k2Z(N)Hk(D); H�(D) = �

k2Z(N)Hk(D); (61)

unde obiectele

Hk(D) =

�KerD

ImD

�k; Hk(D) =

�KerD

ImD

�k

; (62)

sunt doar subspatii vectoriale10 ale lui H�(D) sau H�(D), cu exceptia lui H0(D) sau H0(D), caresunt subalgebre. In consecinta (a se vedea si nota de subsol nr.10), obiectul Hk(D) (sau Hk (D))reprezinta o multime de clase de echivalenta inzestrata cu structura de spatiu vectorial (subspatiuvectorial al lui H�(D) sau H�(D)). Un element D-inchis care este si D-exact se numeste (co)ciclutrivial al diferentialei D.

10Subspatiile Hk(D) si Hk(D) sunt date de Hk(D) =

��(k)x

�;(k)x 2 (KerD)k j8

(k)x ;

(k)x02�(k)x

�;(k)x �

(k)x0= D

(k�1)y

�,

respectiv Hk(D) =

��(k)x

�;(k)x 2 (KerD)k j8

(k)x ;

(k)x02�(k)x

�;(k)x �

(k)x0= D

(k+1)y

�.

11

Conform celor discutate imediat dupa De�nitia 6, avem relatia [0] = [Dz] = ImD, care pentru

un grad k ne conduce la(k)

[0] =

�D(k�1)z

�= (ImD)k (

(k)

[0] reprezinta clasa vectorului nul la grad k).

Daca Hk(D) =(k)

[0], spunem ca D este aciclica la grad k (sau (co)omologia lui D este triviala lagrad k). Atunci cand nu exista pericol de confuzie, vom scrie conditia de aciclicitate sub formaHk(D) = 0 si vom spune ca Hk(D) se anuleaza la grad k. In aceste conditii, este simplu de veri�catca

Hk(D) = 0, (KerD)k = (ImD)k : (63)

2.5 Omotopia contractiva

Fie � : A ! A un operator liniar care poate � diagonalizat. Aceasta inseamna ca A se poatereprezenta ca suma directa a subspatiilor proprii corespunzatoare valoriilor proprii ale lui �, adica

A = ��A�; (64)

cu �x� = �x�, pentru x� 2 A�. Presupunem in plus ca A0 � A0. Un exemplu de operator liniardiagonal este operatorul de numarare de�nit prin relatia (42). In acest caz, descompunerea (64) sereduce la (36) (cu A0 = A0).

De�nitia 15 Fie (A; D) o algebra diferentiala graduata. Un operator liniar �� : A ! A senumeste omotopie contractiva pentru � in raport cu D daca

��D +D�� = �: (65)

Teorema 1 Fie (A; D) o algebra diferentiala graduata. Daca exista o omotopie contractivapentru � in raport cu D, atunci:

i) putem alege in KerD o baza formata numai din vectori proprii ai lui �;ii) diferentiala D este aciclica la grad k 6= 0.

Hk(D) = 0; k 6= 0 (sau Hk(D) = 0; k 6= 0) : (66)

Demonstratiei) Presupunem ca exista o omotopie contractiva pentru � in raport cu D. Atunci, din (65)

rezulta direct relatiile �D = D��D si D� = D��D, astfel incat obtinem ca

�D �D� = 0: (67)

Fie fx�g o baza in A = ��A� (�x� = �x�). Atunci, orice vector v din A poate � exprimat sub

forma v =P�

v�x�, unde v� sunt scalari. Fie x 2 A; cu Dx = 0. Utilizand (67) ajungem la

D (�x) = 0. Exprimand pe x in baza fx�g, x =P�

��x�, si tinand cont ca x� este vector propriu

al lui � (�x� = �x�), gasim in continuare ca D (�x) = D

��P�

��x�

�= D

�P�

���x�

�=

D

�P�

���x�

�=P�

�D (��x�) = 0. Utilizand notatia �x� = ��x�, din ultima relatie obtinem ca

daca Dx = 0 atunciD�x� = 0; pentru � 6= 0; (68)

12

cu �x� 2 A� (��x� = �(��x�) = ���x� = ���x� = � (��x�) = ��x�). In aceste conditii, Dx = 0conduce si la

D�x0 = 0: (69)

Evident, vectorii f�x� = ��x�g formeaza o baza in A = ��A� (deoarece vectorii fx�g reprezinta o

baza in A). Ecuatiile (68)�(69) arata ca vectorii bazei f�x� = ��x�g sunt din KerD. Astfel, punctuli) a fost demonstrat.

ii) Pentru � 6= 0 rezulta ca �x� = 1���x�. Insertand in ultima relatie formula (65) si tinand cont

de (68) obtinem ca

�x� = D

�1

����x�

�; pentru � 6= 0: (70)

Relatiile (68)�(70) evidentiaza ca orice obiect D-inchis este D-exact, pentru � 6= 0. In consecinta,(co)omologia lui D este generata (determinata) numai de elementele din subspatiul A0 corespun-zator lui � = 0. Deoarece A0 � A0 (prin ipoteza), (co)omologia lui D este nenula (netriviala) doarla grad zero. De aici rezulta ca Hk(D) = 0 pentru k 6= 0 (sau Hk(D) = 0 pentru k 6= 0). Astfel,a�rmatia ii) este demonstrata.

Ultima teorema evidentiaza ca omotopia contractiva �� : A ! A induce o omotopie contractiva� : KerD ! A a lui � in raport cu D

�D +D� = �; (71)

care asigura aciclicitatea lui D la grad k 6= 0. In continuare vom considera cazul in care � estechiar operatorul de numarare N . �

Teorema 2 Fie (A; D) o algebra diferentiala graduata. Atunci, exista o omotopie contractivapentru N in raport cu D daca si numai daca diferentiala D este aciclica la grad k 6= 0

Hk(D) = 0; k 6= 0 (sau Hk(D) = 0; k 6= 0) : (72)

Demonstratiea) Initial trebuie sa demonstram ca daca exista o omotopie contractiva a lui N in raport cu D,

atunci D este aciclica la grad k 6= 0.Presupunem ca exista � : KerD ! A care satisface

�D +D� = N: (73)

Atunci gasim imediat ca ND � DN = 0. Fie x =P

k2Z(N)

(k)x din KerD = �

k2Z(N)(KerD)k, cu

N(k)x = k

(k)x . Atunci, relatia Dx = 0, conduce imediat la D

(k)x = 0. Pentru k 6= 0 obtinem

(k)x = 1

kN(k)x = 1

k (�D +D�)(k)x = D

�1k�

(k)x

�. In consecinta, pentru k 6= 0 orice obiect D-inchis

este D-exact. De aici rezulta ca D este aciclica la grad k 6= 0. Astfel, punctul a) este demonstrat.b) In continuare demonstram ca daca D este aciclica la grad k 6= 0, atunci exista o omotopie

contractiva pentru N in raport cu D.Presupunem ca D este aciclica la grad k 6= 0 (vom lua cazul grad(D) = 1). Aceasta insemna ca

D(k)x = 0)

(k)x = D

(k�1)x ; k 6= 0: (74)

Atunci, de�nim � prin relatiile

�(k)x = k

(k�1)x ; k 6= 0; (75)

13

�(0)x = 0: (76)

Utilizand (74)�(76) ajungem la ecuatiile

(�D +D�)(k)x = N

(k)x ; (77)

care arata ca � de�nit prin formulele (75)�(76) este omotopie contractiva pentru N in raport cuD. In consecinta, punctul b) este demonstrat. �

2.6 Algebra dDer (Der (A))Coomologiile (omologiile) de�nite anterior se refera la actiunea diferentialei D in algebra graduataA. Graduarea algebrei A induce (a se vedea De�nitia 12) o graduare a algebrei Der (A) (algebraLie Z2-graduata a derivarilor graduate), astfel ca

Der (A) = �k2Z(N)

(Der (A))k ; (78)

(Der (A))k = f� 2 Der (A) jgrad (�) = kg. Pentru orice � din Der (A), de�nim o aplicatie � :Der (A)! Der (A) prin relatia11

� (�) = [�; �] ; � 2 Der (A) : (79)

Deoarece � = �(0) +�(1), din de�nitia (79) deducem ca

� (�) =��(0) + �(1)

�(�) = �(0) (�) + �(1) (�) ; �(0) (�) =

h�(0); �

i; �(1) (�) =

h�(1); �

i: (80)

Mai mult, din (80) gasim ca

"�(0) = "�(0) = 0; "�(1) = "�(1) = 1: (81)

Este simplu de vazut ca aplicatia � este liniara, adica � (�1�1 + �2�2) = [�; �1�1 + �2�2] =�1 [�; �1] + �2 [�; �2] = �1� (�1) + �2� (�2). Pe de alta parte, stim ca rolul "produsului" inDer (A) este jucat de comutatorul graduat. Vom utiliza temporar notatia �1 � �2 = [�1; �2], sivom presupune ca �1 si �2 au paritati bine de�nite. Fie D 2 Der (A) un element cu paritatea binede�nita (D este derivare). Atunci, din (79) precum si din identitatea Jacobi graduata (22), obtinemca D (�1 � �2) = [[D; �1] ; �2]+(�)"�1"D [�1; [D; �2]] = D (�1)��2+(�)"�1"D �1�D (�2). Ultima relatiearata ca D este derivare (la stanga). In consecinta, gasim ca �(0) si �(1) sunt derivari pe algebraDer (A) . De�nim multimea

dDer (Der (A)) = n� : Der (A)! Der (A) j� = �(0) + �(1); � (�) = [�; �] ; �; � 2 Der (A)o;

(82)pe care o vom numi multimea derivarilor interioare12 ale algebrei (Der (A)). Multimea dDer (Der (A))inzestrata cu operatiile de adunare a operatorilor si de inmultire a acestora cu cu scalari formeaza

11Relatia (79) trebuie inteleasa in sensul ca�� (�)

�x = [�; �]x, pentru orice x din A.

12Mentionam ca elementele lui dDer (Der (A)) nu sunt in general derivari. Numai elementele cu paritate binedeterminata din dDer (Der (A)) sunt derivari.

14

spatiu vectorial13. Pentru orice doua elemente cu paritati bine de�nite, introducem pe dDer (Der (A))comutatorul graduat prin relatia standard14n

D1; D2o= D1D2 � (�)"D1"D2 D2D1: (83)

La fel ca in cazul algebrelor End (A) si Der (A), comutatorul graduat (83) determina o operatiebiliniara si interna in dDer (Der (A)), data de relatiilen

�1; �2

o=

�n�(0)1 ; �

(0)2

o+n�(1)1 ; �

(1)2

o�+�n�(0)1 ; �

(1)2

o+n�(1)1 ; �

(0)2

o�; (84)

"n�(0)1 ;�

(0)2

o = "n�(1)1 ;�

(1)2

o = 0; "n�(0)1 ;�

(1)2

o = "n�(1)1 ;�

(0)2

o = 1: (85)

(Deoarece comutatorul graduat a doua derivari este o derivare iar suma a doua derivari cu aceeasi

paritate este si ea o derivare, rezulta can�1; �2

o2 dDer (Der (A))). In consecinta, spatiul vectorialdDer (Der (A)) inzestrat cu operatia de comutator graduat este algebra Lie Z2-graduata a derivarilor

Z2-graduate ale lui Der (A)

dDer (Der (A)) = dDer0 (Der (A))�dDer1 (Der (A)) : (86)

Graduarea (78) a lui Der (A) induce o graduare similara in dDer (Der (A))dDer (Der (A)) = �

k2Z(N)

�dDer (Der (A))�k; (87)

unde�dDer (Der (A))�

k=n� 2 dDer (Der (A)) jgrad��� = k

o.

Pe baza relatiilor (83) si (79), obtinem simplu ca pentru orice doua elemente D1 si D2 dindDer (Der (A)) cu paritate bine de�nita si pentru orice � din Der (A) cu paritate bine de�nitaavem ca15 n

D1; D2o(�) = [[D1;D2] ; �] : (88)

Din (88) rezulta imediat can�(0)1 ; �

(0)2

o(�) =

hh�(0)1 ;�

(0)2

i; �i;n�(1)1 ; �

(1)2

o(�) =

hh�(1)1 ;�

(1)2

i; �i; (89)n

�(0)1 ; �

(1)2

o(�) =

hh�(0)1 ;�

(1)2

i; �i;n�(1)1 ; �

(0)2

o(�) =

hh�(1)1 ;�

(0)2

i; �i; (90)

astfel incat n�(0)1 ; �

(0)2

o(�) +

n�(1)1 ; �

(1)2

o(�) +

n�(0)1 ; �

(1)2

o(�) +

n�(1)1 ; �

(0)2

o(�)

=hh�(0)1 ;�

(0)2

i+h�(1)1 ;�

(1)2

i+h�(0)1 ;�

(1)2

i+h�(1)1 ;�

(0)2

i; �i: (91)

13Structura de spatiu vectorial a lui dDer (Der (A)) este indusa de structura de spatiu vectorial a lui Der (A).14Relatia (83) trebuie inteleasa in sensul ca

nD1; D2

o(�) = D1

�D2 (�)

�� (�)"D1"D2 D2

�D1 (�)

�, unde sensul lui

D (�) a fost precizat anterior.15Utilizand de�nitia (79) asociem obiectului [D1;D2] din Der (A) aplicatia \[D1;D2] : Der (A) ! Der (A) de�nita

prin \[D1;D2] (�) = [[D1;D2] ; �]. Totusi, numai pe baza formulei (79) nu putem spune ca \[D1;D2] =nD1; D2

o. Ultima

relatie este o consecinta directa a de�nitiei (83).

15

Utilizand (34) si (84) in (91) ajungem lan�1; �2

o(�) = [[�1;�2] ; �] : (92)

De�nim acum o aplicatie � : Der (A)! dDer (Der (A)) prin relatia � (�) = � = [�; ] (in sensul ca(� (�)) (�) = � (�) = [�; �]). Prin constructie, aplicatia � este bijectiva. Pe de alta parte, avem ca� (�1�1 + �2�2) = [�1�1 + �2�2; ] = �1 [�1; ] + �2 [�2; ] = �1�1 + �2�2. Ultima relatie arataca aplicatia � este izomor�sm de spatii vectoriale. Rolul "produsului" in dDer (Der (A)) este jucat decomutatorul graduat (83). Vom utiliza temporar notatia �1~�2 =

n�1; �2

o. Atunci, formula (92)

ne conduce la � (�1 ��2) = � ([�1;�2]) = [[�1;�2] ; ] =n�1; �2

o= �1 ~ �2 = � (�1)~ � (�2).

Ultima relatie evidentiaza ca aplicatia � este izomor�sm de algebre. In consecinta, am demonstraturmatoarea teorema.

Teorema 3 Algebrele Der (A) si dDer (Der (A)) sunt izomorfe.Fie (A; D) o algebra diferentiala graduata. Evident, avem ca D 2 Der (A), D2 = 1

2 [D;D] = 0.Asociem lui D derivarea D : Der (A) ! Der (A), cu D (�) = [D; �]. Este clar ca "D = 1 si

grad�D�= �1. Utilizand acum (88) gasim ca 1

2

nD; D

o(�) = D2 (�) = 1

2 [[D;D] ; �] =�D2; �

�=

0, pentru orice � 2 Der (A). Astfel, nilpotenta lui D induce nilpotenta lui D

D2 = 0: (93)

In consecinta, D este diferentiala. Atunci dubletul�Der (A) ; D

�reprezinta o algebra diferentiala

graduata. De�nim nucleul si imaginea lui D prin

KerD =n� 2 Der (A) jD (�) = [D; �] = 0

o; (94)

Im D =n� 2 Der (A) j9� 2 Der (A) ; � = D (�) = [D;�]

o: (95)

Propozitia 2 1. KerD este subalgebra Lie graduata a lui Der (A). 2. Im D este ideal graduat inKerD.

DemonstratieDemonstratia este asolut similara cu cea a Propozitiei 1 (pana la faptul ca acum "produsul"

este comutatorul, �1 � �2 = [�1; �2]). �Ultima propozitie ne permite sa construim algebra factor (a se vedea De�nitia 6)

KerD

Im D=n[�]� ; � 2 KerDj8�; �0 2 [�]� ; �� �0 = [D;#] = D (#) ; # 2 Der (A)

o; (96)

care reprezinta algebra claselor de echivalenta de derivari (ale lui A) D-inchise modulo derivari D-exacte ([�]� =

n�+ [D;#] j� 2 KerD; # 2 Der (A)

o). Aceasta se numeste algebra de (co)omologie

a diferentialei D (de coomologie daca grad�D�= 1; de omologie daca grad

�D�= �1) si se

noteaza prin H�(D) sau H�(D) (dupa cum grad�D�= 1, respectiv grad

�D�= �1). Astfel,

algebra de (co)omologie a diferentialei D (sau coomologia diferentialei D) va mosteni structura dealgebra Lie graduata a lui Der (A) (atat in raport cu graduarea Z2 cat si cu graduarea (36)�(38))

H�(D) = KerD

Im D= �

k2Z(N)Hk(D); H�(D) = �

k2Z(N)Hk(D); (97)

16

unde obiectele

Hk(D) = KerD

Im D

!k; Hk(D) =

KerD

Im D

!k

; (98)

sunt doar subspatii vectoriale16 ale lui H�(D) sau H�(D), cu exceptia lui H0(D) sau H0(D), caresunt subalgebre. In consecinta (a se vedea si nota de subsol nr. 16), obiectul Hk(D) (sau Hk

�D�)

reprezinta o multime de clase de echivalenta inzestrata cu structura de spatiu vectorial (subspatiuvectorial al lui H�(D) sau H�(D)).

De�nitia 16 Spunem ca � 2 Der (A) induce o aplicatie �� : H�(D) ! H�(D) (sau �� :H�(D) ! H�(D)) daca pentru orice x 2 KerD si orice y 2 ImD avem ca �x 2 KerD (, [�x] 2H�(D) sau H�(D)) si �y 2 ImD (, [�y] = [0]). Aplicatia indusa se de�neste prin relatia�� [x] = [�x].Evident, daca � este derivare (�(xy) = x (�y) + (�)"�"y (�x) y) atunci si �� este derivare

( �� ([x] � [y]) = �� ([xy]) = [� (xy)] = [x (�y) + (�)"�"y (�x) y] = [x (�y)] + (�)" ��"[y] [(�x) y] =[x] �

��� [y]

�+ (�)" ��"[y]

��� [x]

�� [y], " �� = "�, "[y] = "y).

Observam ca diferentiala D satisface de�nitia anterioara deoarece pentru orice x 2 KerD sauImD rezulta ca [Dx] = [0] 2 H�(D) (sau H�(D)). In consecinta, D induce o derivare �D : H�(D)!H�(D) (sau �D : H�(D)! H�(D)), cu �D [x] = [Dx]. Evident, gasim ca grad

��D�= grad (D). Mai

mult, avem ca�D2 [x] = �D [Dx] =

�D2x

�= [0] ; (99)

de unde rezulta ca derivarea indusa �D este diferentiala in H�(D) (sau H�(D)). De�nim imagineasi nucleul lui �D prin

Ker �D =�[x] 2 H�(D) sau H�(D)j �D [x] = [0]

; (100)

Im �D =�[x] 2 H�(D) sau H�(D)j9 [y] 2 H�(D) (sau H�(D)); [x] = �D [y]

: (101)

Urmand aceeasi linie a demonstratiei ca in Propozitia 1, obtinem: 1. Ker �D este subalgebra graduataa lui H�(D) (sau H�(D)). 2. Im �D este ideal graduat in Ker �D. Din (100)�(101) gasim ca

Ker �D = H�(D) (sau H�(D)); (102)

deoarece �D [x] = [Dx] = [0] pentru orice [x] 2 H�(D) (sau H�(D))) si

Im �D = f[0]g ; (103)

deoarece [x] = �D [y] = [Dy]) [x] = [0]. Atunci, (co)omologia lui �D in H�(D) (sau H�(D)), notataprin17 H�( �DjH�(D)) (sau H�( �DjH�(D))), este data de

H�( �DjH�(D)) =Ker �D

Im �D; sau H�( �DjH�(D)) =

Ker �D

Im �D: (104)

16Subspatiile Hk(D) si Hk(D) sunt date de Hk(D) =

��(k)�

��;(k)� 2

�KerD

�kj8(k)� ;

(k)�02�(k)�

��;(k)� �

(k)�0="

D;(k�1)#

#;(k�1)# 2 (Der (A))k�1

), respectiv Hk(D) =

��(k)�

��;(k)� 2

�KerD

�kj8(k)� ;

(k)�02�(k)�

��;(k)� �

(k)�0

=

"D;

(k+1)

#

#;(k+1)

# 2 (Der (A))k+1

).

17Deoarece grad��D�= grad (D), in algebra de coomologie H�(D) putem construi numai algebra de coomologie a

lui �D. Similar pentru algebrele de omologie.

17

Fie ([x]) din H�( �DjH�(D)) (sau H�( �DjH�(D))) clasa de echivalenta a elementului [x] din H�(D).Atunci, din (103)�(104) gasim ca ([x]) este o multime de forma ([x]) = f[x] + [0]g, cu [x] si [0] dinH�(D) (sau H�(D)). Pe de alta parte, rezulta imediat ca [x] + [0] = [x]. Astfel, obtinem simplu camultimea f[x] + [0]g va contine numai elementul [x]. In consecinta, ajungem la relatia

([x]) = [x] ; (105)

care arata ca orice clasa din H�( �DjH�(D)) (sau H�( �DjH�(D))) este clasa din H�(D) (sau H�(D)).In concluzie, rezulta ca

H�( �DjH�(D)) = H�(D); sau H�( �DjH�(D)) = H�(D): (106)

De�nitia 17 Spunem ca � 2 dDer (Der (A)) induce o aplicatie � : H�(D) ! H�(D) (sau� : H�(D)! H�(D)) daca pentru orice � 2 KerD si orice �0 2 Im D avem ca � (�) = [�; �] 2 KerD(,

h� (�)

i�= [[�; �]]� 2 H�(D) sau H�(D)) si � (�0) = [�; �0] 2 Im D (,

h� (�0)

i�= [[�; �0]]� =

[0]�). Aplicatia indusa se de�neste prin relatia � [�]� =h� (�)

i�= [[�; �]]�.

Similar cu situatia anterioara, se demonstreaza ca daca � este derivare, atunci � este derivare.Observam ca diferentiala D satisface ultima de�nitie deoarece pentru orice � 2 KerD sau Im D

obtinem cahD (�)

i�= [[D; �]]� = [0]� 2 H�(D) (sau H�(D)). In consecinta, D induce o derivare

D : H�(D) ! H�(D) (sau D : H�(D) ! H�(D)), cu D [�]� =hD (�)

i�. Si in acest caz, derivarea

indusa D este diferentiala in H�(D). Absolut similar cu situatia anterioara, se poate arata ca

H�(DjH�(D)) = H�(D); sau H�(DjH�(D)) = H�(D): (107)

Propozitia 3 Fie algebrele diferentiale graduate (A; D) si�Der (A) ; D

�. Atunci:

1. orice � 2 KerD induce o aplicatie �� : H�(D)! H�(D) (sau �� : H�(D)! H�(D));

2. orice � = [�; ], cu � 2 KerD, induce o aplicatie � : H�(D) ! H�(D) (sau � : H�(D) !H�(D)).

Demonstratie1. Presupunem ca � 2 KerD. Atunci, rezulta ca

D (�) = [D;�] = 0: (108)

Fie x 2 KerD. Atunci Dx = 0. Aplicand ambii membrii ai relatiei (108) pe x 2 KerD, obtinemca D (�x) = 0. Din ultima relatie rezulta ca �x 2 KerD. Atunci, conform De�nitiei 16, rezultaca � induce o aplicatie in H�(D) (sau H�(D)). In consecinta, primul punct al propozitiei estedemonstrat.

2. Fie � 2 KerD. Atunci, formula (92) ne conduce lanD; �

o(�) = 0: (109)

Fie � 2 KerD . Atunci D (�) = 0, astfel ca (109) se reduce la D�� (�)

�= 0. Din ultima relatie

rezulta ca � (�) 2 KerD. Atunci, conform De�nitiei 17, rezulta ca � induce o aplicatie in H�(D)(sau H�(D)). Astfel, si cel de-al doilea punct al propozitiei este demonstrat. �

Conform celor discutate anterior, daca � este derivare, atunci aplicatiile induse care apar inultima propozitie vor � derivari.

18

2.7 Diferentiale modulo D

De�nitia 18 Fie (A; D) o algebra diferentiala graduata si � : A ! A o derivare impara ("� = 1).Spunem ca � este diferentiala modulo D daca:

i) � comuta cu D (in sens graduat)

D� + �D = [D;�] = 0; (110)

ii) exista in Der (A) o derivare impara(1)

R ("(1)R= 1), astfel incat

1

2[�;�] = �2 = �D

(1)

R �(1)

RD = �"D;

(1)

R#: (111)

Relatia (110) arata ca � 2 KerD. Atunci, Propozitia 3 ne asigura ca � induce o derivare impara18�� : H�(D)! H�(D) (sau �� : H�(D)! H�(D)), cu

�� [x] = [�x] ; [x] 2 H�(D) (sau H� (D) ). (112)

Aplicand �D (diferentiala indusa deD inH�(D) (sauH� (D)) pe ultima relatie gasim ca �D�� [x] = [0].Pe de alta parte avem ca �� �D [x] = �� [Dx] = [0], astfel incat ajungem la

��D�� + �� �D

�[x] = [0]. Ultima

relatie arata ca�D�� + �� �D = 0: (113)

Fie x 2 KerD. Atunci Dx = 0, de unde gasim ca (111) conduce la

�2x = Dp; (114)

unde p = �(1)

Rx. Din ultima relatie obtinem direct ca (��2x

�= [Dp] ) �� ([�x]) = [Dp] )

����� [x]

�= [Dp]) ��2 [x] = [Dp])

��2 [x] = [Dp] = [0] : (115)

Formula (115) evidentiaza ca derivarea �� este diferentiala in H�(D) (sau H� (D)). Atunci, nucleulsi imaginea acesteia se de�nesc prin relatiile

Ker�� =�[x] 2 H�(D) sau H�(D)j�� [x] =

�Dy0

�; y0 2 A

; (116)

Im �� =�[x] 2 H�(D) sau H�(D)j [x] = �� [z] +

�Dw0

�; w0 2 A;

[z] 2 H�(D) sau H�(D)g : (117)

Utilizand o procedura absolut similara cu cea din demonstratia Propozitiei 1 gasim ca Ker�� estesubalgebra graduata a lui H�(D) (sau H�(D)) (in raport cu inmultirea claselor) si ca Im �� este idealgraduat in Ker��. Atunci, putem construi (co)omologia lui �� in H�(D) (sau H�(D)) prin relatiile

Ker��

Im ��= H� ���jH�(D) sau H�(D)

�; (118)

Ker��

Im ��= H�

���jH�(D) sau H�(D)

�; (119)

Ker��

Im ��=

�j[x]j ; [x] 2 H�(D) sau H�(D); [x] 2 Ker��j

18Propozitia 3 ne asigura ca � induce o derivare si in H�(D) (sau H�(D)). Totusi, nu ne vom concentra atentiaasupra acestei derivari.

19

8 [x] ;�x0�2 j[x]j ; [x]�

�x0�= �� [z] +

�Dw0

�; w0 2 A

: (120)

In acord cu de�nitia algebrei factor, algebra H� ���jH�(D) sau H�(D)�va mosteni structura de

algebra graduata a lui H�(D) (sau H�(D)), care la randul sau mosteneste structura de algebragraduata a lui A. Daca j[x]j 2 H� ���jH�(D) sau H�(D)

�este clasa elementului [x] 2 H�(D) (sau

H�(D)), atunci din (120) rezulta ca j[x]j este o multime de forma

j[x]j =�[x] + �� [z] +

�Dw0

�j [x] ; [z] 2 H�(D) sau H�(D); [x] 2 Ker��; w0 2 A

=

= f[x+ �z +Dw] jDx = 0; �x = Dy; Dz = 0; x; y; z; w 2 Ag (121)

Ultima relatie arata ca orice clasa din H� ���jH�(D) sau H�(D)�se exprima in termenii claselor

din H�(D) (sau H�(D)). Altfel spus, elementele claselor din H� ���jH�(D) sau H�(D)�sunt clase

din H�(D) (sau H�(D))19.Sa consideram multimea

V (�jA) = fx 2 AjDx = 0; �x = Dy; y 2 Ag : (122)

Este simplu de vazut ca multimea V (�jA) � A reprezinta multimea elementelor din A care de-termina elementele lui Ker��20. Fie doua elemente omogene x1;2 2 V (�jA) (x1;2 2 A; Dx1;2 =0; �x1;2 = Dy1;2; y1;2 2 A). Atunci gasim ca

D (�1x1 + �2x2) = �1Dx1 + �2Dx2 = 0; � (�1x1 + �2x2) = �1�x1 + �2�x2 =

= �1Dy1 + �2Dy2 = D (�1y1 + �2y2) ; (�1y1 + �2y2) 2 A; (123)

unde �1 si �2 sunt scalari. Ultima relatie arata ca V (�jA) este subspatiu vectorial al lui A(x1;2 2 V (�jA)) (�1x1 + �2x2) 2 V (�jA)). Mai mult, gasim ca

D (x1x2) = x1Dx2 + (�)"x2 (Dx1)x2 = 0; � (x1x2) = x1�x2 + (�)"x2 (�x1)x2 == x1Dy2 + (�)"x2 (Dy1)x2 = D (x1y2 + y1x2) ; (x1y2 + y1x2) 2 A: (124)

Formula (124) evidentiaza ca V (�jA) este subalgebra a lui A (x1;2 2 V (�jA) ) x1x2 2 V (�jA)).Introducem acum multimea

I (�jA) = fx 2 Ajx = �z +Dw; Dz = 0; z; w 2 Ag : (125)

Fie x 2 I (�jA). Atunci, obtinem ca

Dx = ��Dz = 0; �x = �2z +D (��w) = D�z +D (��w) = D (�z � �w) ;

�z = � (1)

Rz!2 A; (�z � �w) 2 A: (126)

Ultima relatie arata ca daca x 2 I (�jA) atunci x 2 V (�jA), de unde rezulta ca I (�jA) � V (�jA).Multimea I (�jA) reprezinta multimea elementelor din A care determina elementele lui Im��21. Fie19Din (121) gasim ca reprezentantii clasei j[x]j sunt de forma [x] + �� [z] + [Dw0]. Atunci, este simplu de vazut

ca �D�[x] + �� [z] + [Dw0]

�= �D�� [z] = ��� �D [z] = ��� [0] = [0]. In consecinta,

�[x] + �� [z] + [Dw0]

�2 H�(D) (sau

H�(D)).20Din Dx = 0 rezulta ca [x] 2 H�(D) (sau H�(D)). Din �x = Dy deducem ca D (�x) = 0, ceea ce conduce la

[�x] 2 H�(D) (sau H�(D)). Atunci obtinem ca [�x] = [Dy]) �� [x] = [Dy], ceea ce justi�ca a�rmatia anterioara.21Din Dx = 0 rezulta ca [x] 2 H�(D) (sau H�(D)). Din x = �z + Dw, Dz = 0, deducem ca [x] = [�z +Dw] =

�� [z] + [Dw0], w0 2 A, [z] 2 H�(D), ceea ce justi�ca a�rmatia anterioara.

20

doua elemente omogene x1;2 2 I (�jA) (x1;2 2 A; x1;2 = �z1;2 +Dw1;2; Dz1;2 = 0; z1;2; w1;2 2 A).Atunci, deducem ca

�1x1 + �2x2 = � (�1z1 + �2z2) +D (�1w1 + �2w2) ; D (�1z1 + �2z2) =

= �1Dz1 + �2Dz2 = 0; (�1z1 + �2z2) 2 A; (�1w1 + �2w2) 2 A: (127)

Ultima relatie evidentiaza faptul ca I (�jA) este subspatiu vectorial al lui V (�jA) (x1;2 2 I (�jA))(�1x1 + �2x2) 2 I (�jA)). Pe de alta parte, rezulta ca

x1x2 = (�z1 +Dw1) (�z2 +Dw2) = � ((�z1) z2)+

+D ((�z1)w2 � �z1z2 � (�)"z2 w1�z2 + (Dw1)w2) ;D ((�z1) z2) = (�z1)Dz2 + (�)"z2 (�� (Dz1)) z2 = 0;

�z1 = � (1)

Rz1

!2 A; ((�z1) z2) 2 A; ((�z1)w2 � �z1z2 � (�)"z2 w1�z2 + (Dw1)w2) 2 A: (128)

Ultima formula evidentiaza ca I (�jA) este subalgebra a lui V (�jA) (x1;2 2 I (�jA) ) x1x2 2I (�jA)). Fie acum x1 2 V (�jA) (x1 2 A; Dx1 = 0; �x1 = Dy1; y1 2 A) si x2 2 I (�jA) (x2 2 A;x2 = �z2 +Dw2; Dz2 = 0; z2; w2 2 A). Atunci, obtinem ca

x1x2 = x1 (�z2 +Dw2) = � (x1z2) +D (x1w2 � y1z2) ;D (x1z2) = x1Dz2 + (�)"z2 (Dx1) z2 = 0; x1z2 2 A; (x1w2 � y1z2) 2 A: (129)

Ultima relatie arata ca I (�jA) este ideal in V (�jA) (x1 2 V (�jA), x2 2 I (�jA)) x1x2 2 I (�jA)).In consecinta, putem construi algebra factor

K (�jA) =V (�jA)I (�jA) = fbxc ; x 2 A; Dx = 0; �x = Dy; y 2 Aj

8x; x0 2 bxc ; x� x0 = �z +Dw; Dz = 0; z; w 2 A; (130)

care va mosteni structura de algebra graduata a lui A: O clasa din K (�jA) va avea forma

bxc = fx+ �z +DwjDx = 0; �x = Dy; Dz = 0; y; z; w 2 Ag : (131)

De�nim acum o aplicatie

i : K (�jA)! H� ���jH�(D) sau H�(D)�; sau i : K (�jA)! H� ���jH�(D) sau H�(D)

�; (132)

i (bxc) = j[x]j : (133)

Utilizand (121) si (131) rezulta imediat ca i este aplicatie bijectiva. Prin calcul direct gasim relatiile

i (� bxc+ � byc) = i (b�x+ �yc) = j[�x+ �y]j == j� [x] + � [y]j = � j[x]j+ � j[y]j = �i bxc+ �i byc ; (134)

i (bxc byc) = i (bxyc) = j[xy]j = j[x] [y]j = j[x]j j[y]j = i (bxc) i (byc) ; (135)

care arata ca i este mor�sm de algebre. Deoarece i este si bijectiva, rezulta ca i este izomor-�sm de algebre. In consecinta, am stabilit ca algebrele K (�jA) si H� ���jH�(D) sau H�(D)

�(sau

H����jH�(D) sau H�(D)

�) sunt izomorfe

K (�jA) = H� ���jH�(D) sau H�(D)�sau K (�jA) = H�

���jH�(D) sau H�(D)

�: (136)

21

Deoarece ambele algebre mostenesc structura de algebra graduata a lui A, ultima relatie are locpentru �ecare grad in parte (pentru grade strict pozitive vom avea izomor�sm de spatii vectoriale,iar pentru gradul zero vom avea izomor�sm de algebre).

Conform relatiei (79), obiectele

D;�;

(1)

R!2 Der (A) de�nesc niste elemente

D; �;

(1)

R!2

dDer (Der (A)) prin relatiileD (�) = [D; �] ; � (�) = [�; �] ;

(1)

R (�) ="(1)

R; �#; � 2 Der (A) : (137)

Am aratat anterior ca daca (A; D) este algebra diferentiala graduata atunci si�Der (A) ; D

�re-

prezinta o algebra diferentiala graduata. Mai mult, din (137) gasim ca

"� = "� = 1; "(1)R= "(1)

R= 1: (138)

In aceste conditii, are loc urmatoarea teorema.Teorema 4 � este diferentiala modulo D daca si numai daca � este diferentiala modulo D.DemonstratiePe baza relatiei (88) gasim can

D; �o(�) =

�D� + �D

�(�) = [[D;�] ; �] ; � 2 Der (A) ; (139)

�2 (�) =1

2

n�; �

o(�) =

1

2[[�;�] ; �] =

��2; �

�; � 2 Der (A) ; (140)(

D;(1)

R)(�) =

""D;

(1)

R#; �

#; � 2 Der (A) : (141)

Adunand (140)�(141) rezulta imediat ca �2 +

(D;

(1)

R)!

(�) =

"�2 +

"D;

(1)

R#; �

#; � 2 Der (A) : (142)

Presupunem ca � este diferentiala modulo D. Atunci substituind relatiile (110)�(111) in (139) si

(142) ajungem lanD; �

o(�) = 0 si

�2 +

(D;

(1)

R)!

(�) = 0. Deoarece ultimele relatii au loc

pentru orice � 2 Der (A), rezulta ca

nD; �

o= D� + �D = 0; �2 +

(D;

(1)

R)= 0: (143)

Formulele (143) arata ca � este diferentiala modulo D. Presupunem acum ca � este diferentialamodulo D, ceea ce inseamna ca au loc relatiile (143). Substituind (143) in (139) si respectiv in(142) si tinand cont ca relatiile rezultate au loc pentru orice � 2 Der (A), deducem ca

[D;�] = D� + �D = 0; �2 +

"D;

(1)

R#= 0: (144)

Ultimele ecuatii arata ca � este diferentiala modulo D. Astfel, teorema este demonstrata. �

22

2.8 Rezolutii

De�nitia 10 Fie A = �k2NAk o algebra supercomutativa N-graduata. Fie D : A ! A o diferentiala,

cu grad (D) = �1. Fie A o algebra. Spunem ca algebra diferentiala N-graduata (A; D) realizeazao rezolutie omologica a algebrei A daca

H0 (D) = A; Hk (D) = 0; k > 0; (145)

ceea ce este echivalent cu faptul ca H� (D) = A. Gradul dupa care este graduata algebra A se vanumi in acest caz grad de rezolutie si se va nota prin "rez".

In consecinta, avem ca rez(D) = �1, rez(x) = k , x 2 Ak. Ultima de�nitie ne arata cadaca o algebra diferentiala N-graduata (A; D) realizeaza o rezolutie omologica a algebrei A, atuncidiferentiala D este aciclica la grade de rezolutie k 6= 0 (k > 0). Dupa cum am vazut anterior,aciclicitatea unei diferentiale este direct corelata de existenta unei omotopii contractive (a se vedeaTeorema 3). Fie

� : KerD ! A (146)

o omotopie contractiva pentru N in raport cu D

[D;�] = D� + �D = N; (147)

unde N este operatorul de numarare a gradului de rezolutie. Utilizand (79), gasim ca operatorulde numarare N 2 Der (A) de�neste un operator N 2 dDer (Der (A)) prin relatia

N (�) = [N; �] ; � 2 Der (A) : (148)

Este simplu de vazut ca "N = "N = 0. Pe de alta parte, omotopia contractiva � de�neste unoperator

� : KerD ! U ; U = f� : KerD ! A; � = derivareg ;prin relatia22

� (�) = [�; �] ; � 2 KerD:In aceste conditii are loc urmatoarea teorema.

Teorema 5 � este omotopie contractiva pentru N in raport cu D daca si numai daca � esteomotopie contractiva pentru N in raport cu D.

DemonstratieUtilizand (88) obtinem ca n

D; �o(�) = [[D;�] ; �] ; � 2 KerD: (149)

Relatia (148) ramane valabila si pentru � 2 KerD. Atunci, din (148) si (149) rezulta ca�nD; �

o� N

�(�) = [([D;�]�N) ; �] ; � 2 KerD: (150)

Presupunem ca � este omotopie contractiva pentru N in raport cu D. Substituind (147) in (150)si tinand cont ca relatia rezultata este valabila pentru orice � 2 KerD, ajungem lan

D; �o� N � D� + �D � N = 0: (151)

22Operatorul � este corect de�nit. Intr-adevar, deoarece � este de�nit pe KerD este necesar ca pentru oricex 2KerD sa avem ca �x 2KerD. Atunci, este necesar ca � sa apartina lui KerD (x 2KerD, [D; �] = 0 ) D (�x) =0) �x 2KerD). Mai mult, operatorul � (�) = [�; �] trebuie de�nit numai pe KerD. Pentru orice x 2KerD avem ca([�; �]x) 2 A.

23

Ultima relatie arata ca � este omotopie contractiva pentru N in raport cu D. Presupunem acumca � este omotopie contractiva pentru N in raport cu D. Utilizand (151) in (150) si tinand contca relatia rezultata este valabila pentru orice � 2 KerD, gasim ca

[D;�]�N � D� + �D �N = 0; (152)

de unde rezulta ca � este omotopie contractiva pentru N in raport cu D. Astfel, teorema estedemonstrata. �

Urmatoarea teorema reprezinta analogul Teoremei 3 in algebra�Der (A) ; D

�.

Teorema 6 Fie algebra diferentiala graduata�Der (A) ; D

�. Atunci, exista o omotopie con-

tractiva pentru N in raport cu D daca si numai daca diferentiala D este aciclica la grad k 6= 0

Hk(D) = 0; k 6= 0�sau Hk(D) = 0; k 6= 0

�: (153)

DemonstratieDemonstratia este absolut similara cu cea a Teoremei 2.Acum putem gasi legatura intre aciclicitatea diferentialei D si aciclicitatea diferentialei D.

Teorema 7 Fie algebrele diferentiale N-graduate (A; D) si�Der (A) ; D

�, cu grad (D) =

grad�D�= �1. Atunci

Hk (D) = 0, Hk(D) = 0; k > 0: (154)

DemonstratiePresupunem ca Hk (D) = 0, k > 0. Atunci, Teorema 2 ne asigura ca exista o omotopie

contractiva pentru N in raport cu D (notata �). Teorema 5 ne asigura in continuare ca exista oomotopie contractiva pentru N in raport cu D (notata �). In �nal, Teorema 6 arata ca Hk(D) = 0,k > 0.

Presupunem acum caHk(D) = 0, k > 0. Din Teorema 6 rezulta ca exista o omotopie contractivapentru N in raport cu D. In continuare, Teorema 5 ne asigura ca exista o omotopie contractivapentru N in raport cu D. In aceste conditii, Teorema 2 arata ca Hk (D) = 0, k > 0. Astfel, teoremaeste demonstrata. �

2.9 Elemente de teoria perturbatiilor omologice

Fie (A; D) o algebra diferentiala (supercomutativa) N-graduata, cu rez (D) = �1. Presupunemca Hk (D) = 0, k > 0 (algebra (A; D) realizeaza o rezolutie omologica a algebrei H0 (D)). Inconsecinta, rezulta ca H� (D) = H0 (D), unde

(KerD)0 =

�(0)x 2 A; rez

�(0)x

�= 0jD

(0)x = 0

�; (155)

(ImD)0 =

�(0)x 2 A; rez

�(0)x

�= 0j9

(1)u 2 A;

rez

�(1)u

�= 1;

(0)x = D

(1)u

�; (156)

H0 (D) =

�KerD

ImD

�0

=

��(0)x

�;(0)x 2 (KerD)0 j8

(0)x ;

(0)x02�(0)x

�;

24

(0)x �

(0)x0= D

(1)v ; rez

�(1)v

�= 1

�: (157)

Astfel, avem ca23

rez (D) = �1; rez (x) = k , x 2 Ak; k 2 N (158)

rez (Dx) = rez (x)� 1; pentru rez (x) � 1; (159)

Dx = 0; pentru rez (x) = 0: (160)

Fie � : A ! A o diferentiala modulo D cu gradul de rezolutie zero, ceea ce inseamna ca

D� + �D = 0; �2 = �"D;

(1)

R#; (161)

"(1)R

= 1; "� = 1; rez (�) = 0; rez

(1)

R!= 1: (162)

Dupa cum am vazut, � induce o diferentiala in H� (D) = H0 (D). Coomologia diferentialei indusese noteaza prin H� ���jH0 (D)�, astfel incat avem ca (a se vedea formula (120))

H� ���jH0 (D)� =

������(0)x ����� ; �(0)x � 2 H0(D); �(0)x � 2 Ker��j8�(0)x

�;

�(0)x0�2

�����(0)x ����� ; �(0)x �� �(0)x 0� = �� �(0)z �+ �D(1)w0�;

(1)w02 A; rez

�(0)z

�= 0; rez

�(1)w0�= 1

�: (163)

Atunci, orice clasa�����(0)x ����� =

��(0)x

�+ ��

�(0)z

�+

�D(1)w0�j�(0)x

�;

�(0)z

�2 H0(D);�

(0)x

�2 Ker��;

(1)w02 A; rez

�(1)w0�= 1

�=

��(0)x + �

(0)z +D

(1)w

�jD

(0)x = 0; �

(0)x = D

(1)y ; D

(0)z = 0;

(0)x ;

(0)z ;

(1)y ;

(1)w 2 A; rez

�(0)z

�= 0; rez

�(1)y

�= 1; rez

�(1)w

�= 1

�(164)

din H� ���jH0(D)� se exprima in termenii claselor din H0(D). In acelasi timp, avem ca

(K (�jA))0 =�V (�jA)I (�jA)

�0

; (165)

unde

(V (�jA))0 =

�(0)x 2 A; rez

�(0)x

�= 0jD

(0)x = 0; �

(0)x = D

(1)y ;

(1)y 2 A; rez

�(1)y

�= 1

�; (166)

23 In algebra A = �k2N

Ak nu exista elemente cu grad de rezolutie negativ. Daca am extinde relatia (159) si la piese

cu grad de rezolutie zero, am obtine ca A contine piese cu grad de rezolutie negativ. Din acest motiv, este necesarca actiunea lui D pe orice element cu gradul de rezolutie zero sa conduca la vectorul nul (caz in care D nu ne scoatedin algebra A). Aceste consideratii justi�ca formula (159) (care in continuare conduce la faptul ca A0 = (KerD)0).

25

(I (�jA))0 =

�(0)x 2 A; rez

�(0)x

�= 0j

(0)x = �

(0)z +D

(1)w ; D

(0)z = 0;

(0)z ;

(1)w 2 A; rez

�(0)z

�= 0; rez

�(1)w

�= 1

�: (167)

Atunci, o clasa din (K (�jA))0 va avea forma�(0)x

�=

�(0)x + �

(0)z +D

(1)w jD

(0)x = 0; �

(0)x = D

(1)y ; D

(0)z = 0;

(0)x ;

(0)z ;

(1)y ;

(1)w 2 A; rez

�(0)z

�= 0; rez

�(1)y

�= 1; rez

�(1)w

�= 1

�: (168)

In particular, izomor�smul (136) conduce la izomor�smul (de algebre)

(K (�jA))0 = H� ���jH0 (D)� (sau H� ���jH0 (D)�); (169)

unde i : (K (�jA))0 ! H� ���jH0 (D)� (sau i : (K (�jA))0 ! H����jH0 (D)

�) este dat de i

��(0)x

��=�����(0)x �����. Dupa cum am vazut anterior, algebra H� ���jH�(D)� (sau H� ���jH0 (D)�) mosteneste struc-

tura de algebra graduata a luiH�(D) (care mosteneste structura de algebra graduata a lui A). Pe dealta parte, algebra H0(D) nu mosteneste structura de algebra graduata a lui A in termenii graduluide rezolutie24. Astfel, ajungem la concluzia ca algebra H� ���jH0 (D)� (sau H� ���jH0 (D)�) nu estegraduata in termenii gradului de rezolutie. Similar, algebra (K (�jA))0 nu mai este graduata intermenii gradului de rezolutie.

Presupunem ca algebra A poate � graduata si in termenii altui grad numit "deg". Aceastainseamna ca

A = �i2N

�Ai; (170)

astfel incat oricare ar � x 2 Adeg (x) = i, x 2 �Ai; (171)

deg (x) = i; deg (y) = j ) deg (xy) = i+ j: (172)

Mai mult, presupunem ca in raport cu graduarea (170)�(172) avem ca

deg (D) = 0; deg (�) = 1: (173)

Fie(k)x 2 A cu rez

�(k)x

�= k (

(k)x 2 Ak). Descompunem elementul

(k)x in componente cu gradul deg

bine determinat

(k)x =

(k)x (0) +

(k)x (1) + � � �+

(k)x (i) + � � � ; deg

�(k)x (i)

�= i; rez

�(k)x (i)

�= k. (174)

Atunci, din (161) gasim imediat ca (�2(k)x (i) = �

"D;

(1)

R#(k)x (i))

deg

(1)

R!= 2: (175)

24Totusi, H0(D) mosteneste graduarea Z2 a lui A. In consecinta, H� ���jH�(D)�este algebra Z2 graduata.

26

Fie�(0)x

�2 H0(D). Atunci, utilizand (174) deducem ca

(0)x =

(0)x (0) +

(0)x (1) + � � �+

(0)x (i) + � � � ; deg

�(0)x (i)

�= i; rez

�(0)x (i)

�= 0; (176)

astfel incat�(0)x

�=

�(0)x (0) +

(0)x (1) + � � �+

(0)x (i) + � � �

�=

�(0)x (0)

�+

�(0)x (1)

�+ � � �+

�(0)x (i)

�+ � � � : (177)

Ultima relatie arata ca graduarea (170)�(172) induce o graduare a lui H0 (D) de forma

H0 (D) = �i2N(H0 (D))

i ; (H0 (D))i =

��KerD

ImD

�0

�i; (178)

unde

((KerD)0)i =

�(0)x (i) 2 A; rez

�(0)x (i)

�= 0;deg

�(0)x (i)

�= ijD

(0)x (i) = 0

�; (179)

((ImD)0)i =

�(0)x (i) 2 A; rez

�(0)x (i)

�= 0;deg

�(0)x (i)

�= ij9

(1)u (i) 2 A;

rez

�(1)u (i)

�= 1;deg

�(1)u (i)

�= i;

(0)x (i) = D

(1)u (i)

�: (180)

Astfel, obtinem ca

(H0 (D))i =

��(0)x (i)

�;(0)x (i) 2 ((KerD)0)

i j8(0)x (i);

(0)x0

(i) 2�(0)x (i)

�;

(0)x (i) �

(0)x0

(i) = D(1)v (i); rez

�(1)v (i)

�= 1;deg

�(1)v (i)

�= i

�: (181)

Atunci, H� ���jH0(D)� va mosteni structura de algebra graduata a lui H0 (D) in termenii graduluideg (a se vedea formula (170))

H� ���jH0(D)� = �i2N

H i���jH0(D)

�; (182)

H i���jH0(D)

�=

�Ker��

Im ��

�i;

unde �Ker��

�i=

��(0)x (i)

�2 (H0(D))i j��

�(0)x (i)

�=

�D(1)y0

(i+1)

�;(1)y0

(i+1) 2 A

rez

�(1)y0

(i+1)

�= 1;deg

�(1)y0

(i+1)

�= i+ 1

�; (183)

�Im ��

�i=

��(0)x (i)

�2 (H0(D))i j

�(0)x (i)

�= ��

�(0)z (i�1)

�+

�D(1)w0

(i)

�;(1)w0

(i) 2 A;�(0)z (i�1)

�2 (H0(D))i�1 ; rez

�(1)w0

(i)

�= 1;deg

�(1)w0

(i)

�= i

�: (184)

27

In consecinta, obtinem ca

H i���jH0(D)

�=

������(0)x (i)����� ; �(0)x (i)� 2 (H0(D))i ; �(0)x (i)� 2 �Ker���i j8�(0)x (i)

�;

�(0)x0

(i)

�2�����(0)x (i)����� ; �(0)x (i)�� �(0)x 0(i)� = �� �(0)z (i�1)�+ �D(1)

w0

(i)

�;�

(0)z (i�1)

�2 (H0(D))i�1 ;

(1)w0

(i) 2 A; rez�(1)w0

(i)

�= 1;deg

�(1)w0

(i)

�= i

�; (185)

unde �����(0)x (i)����� =

��(0)x (i)

�+ ��

�(0)z (i�1)

�+

�D(1)w0

(i)

�j�

(0)x (i)

�2 (H0(D))i ;

�(0)z (i�1)

�2 (H0(D))i�1 ;

�(0)x (i)

�2�Ker��

�i;

(1)w0

(i) 2 A; rez�(1)w0

(i)

�= 1;deg

�(1)w0

(i)

�= i

�=

��(0)x (i) + �

(0)z (i�1) +D

(1)w (i)

�jD

(0)x (i) = 0; �

(0)x (i) = D

(1)y (i+1);

D(0)z (i�1) = 0;

(0)x (i);

(0)z (i�1);

(1)y (i+1);

(1)w (i) 2 A;

rez

�(0)z (i�1)

�= 0; rez

�(1)y (i+1)

�= 1; rez

�(1)w (i)

�= 1;

deg

�(1)y (i+1)

�= i+ 1; deg

�(0)z (i�1)

�= i� 1; deg

�(1)w (i)

�= i

�: (186)

In acelasi timp, relatia (176) evidentiaza ca graduarea (170)�(172) induce si o graduare a lui(K (�jA))0 de forma

(K (�jA))0 = �i2N((K (�jA))0)

i ; ((K (�jA))0)i =

��V (�jA)I (�jA)

�0

�i; (187)

unde

((V (�jA))0)i =

�(0)x (i) 2 A; rez

�(0)x (i)

�= 0;deg

�(0)x (i)

�= ijD

(0)x (i) = 0;

�(0)x (i) = D

(1)y (i+1);

(1)y (i+1) 2 A; rez

�(1)y (i+1)

�= 1;deg

�(1)y (i+1)

�= i+ 1

�(188)

((I (�jA))0)i =

�(0)x (i) 2 A; rez

�(0)x (i)

�= 0;deg

�(0)x (i)

�= ij

(0)x (i) = �

(0)z (i�1) +D

(1)w (i);

D(0)z (i�1) = 0;

(0)z (i�1);

(1)w (i) 2 A; rez

�(0)z (i�1)

�= 0; rez

�(1)w (i)

�= 1;

deg

�(0)z (i�1)

�= i� 1; deg

�(1)w (i)

�= i

�: (189)

Atunci, gasim ca

((K (�jA))0)i =

��(0)x (i)

�;(0)x (i) 2 ((V (�jA))0)

i j8(0)x (i);

(0)x0

(i) 2�(0)x (i)

�;(0)x (i) �

(0)x0

(i) =

28

= �(0)z (i�1) +D

(1)w (i); D

(0)z (i�1) = 0;

(0)z (i�1);

(1)w (i) 2 A; rez

�(0)z (i�1)

�= 0;

rez

�(1)w (i)

�= 1; deg

�(0)z (i�1)

�= i� 1; deg

�(1)w (i)

�= i

�: (190)

O clasa a lui ((K (�jA))0)i va � de forma�

(0)x (i)

�=

�(0)x (i) + �

(0)z (i�1) +D

(1)w (i)jD

(0)x (i) = 0; �

(0)x (i) = D

(1)y (i+1); D

(0)z (i�1) = 0;

(0)x (i);

(0)z (i�1);

(1)y (i+1);

(1)w (i) 2 A; rez

�(0)z (i�1)

�= 0; rez

�(1)y (i+1)

�= 1; rez

�(1)w (i)

�= 1;

deg

�(1)y (i+1)

�= i+ 1; deg

�(0)z (i�1)

�= i� 1; deg

�(1)w (i)

�= i

�: (191)

In aceste conditii, izomor�smul (169) capata forma

((K (�jA))0)i = H i

���jH0(D)

�; i � 0: (192)

unde i : ((K (�jA))0)i ! H i

���jH0(D)

�este dat de i

��(0)x (i)

��=

�����(0)x (i)�����.Pentru orice element x din A cu gradele rez si deg bine determinate, de�nim un al treilea grad

(care nu este independent fata de gradele rez si deg) numit "grt" (gradul total) prin relatia

grt (x) = deg (x)� rez (x) : (193)

In particular, avem ca grt�(k)x (i)

�= deg

�(k)x (i)

�� rez

�(k)x (i)

�= (i� k) 2 Z, de unde deducem ca

gradul grt conduce la o Z-graduare a algebrei A. Aceasta inseamna ca

A = �m2Z

�Am; (194)

astfel incat oricare ar � x 2 Agrt (x) = m, x 2 �Am; (195)

grt (x) = m; grt (y) = n) grt (xy) = m+ n: (196)

Am vazut ca un element din A cu gradele rez si deg bine determinate de�neste un element cu

gradul grt bine determinat. In particular, orice obiect(0)x (m) (rez

�(0)x (m)

�= 0, deg

�(0)x (m)

�= m)

de�neste un element x(m)

cu gradul grt egal cu m

x(m)

=(0)x (m); grt x

(m)= m (197)

Invers, un element cu gradul grt bine determinat nu de�neste (in general) un singur element cu

gradele rez si deg bine determinate. In general, avem ca daca grt q(m)

= m atunci q(m)

=Pi;k2Ni�k=m

(k)q (i),

rez

�(k)q (i)

�= k, deg

�(k)q (i)

�= i. Tinand cont si de faptul ca i � 0 () i = k+m � 0), ajungem la

grt q(m)

= m) q(m)

=Pk2N

k+m�0

(k)q (k+m); rez

�(k)q (k+m)

�= k; deg

�(k)q (k+m)

�= k +m: (198)

29

Este simplu de vazut ca, referitor la graduarea (194)�(196) obtinem25

grt (D) = grt (�) = grt

(1)

R!= 1: (199)

In conditiile stabilite in aceasta subsectiune are loc urmatoarea teorema.Teorema 8 (Teorema perturbatiilor omologice)a) Exista

R : A ! A; (200)

astfel incat

R = D + � +(1)

R + � � �+(k)

R + � � � ;(k)

R 2 Der (A) ; (201)

"(k)R

= 1; rez

(k)

R!= k; deg

(k)

R!= k + 1; (202)

R2 = 0: (203)

b)Hm (R) = 0 = (H�m (D))0 ; m < 0: (204)

c)Hm (R) = Hm

���jH0(D)

�; m � 0: (205)

Observatii: i) deoarece D si � sunt derivari impare (D este diferentiala iar � este diferentialamodulo D), din (201)�(202) rezulta ca R este derivare impara (privita ca suma de derivari impare),

R 2 Der (A), "R = 1; ii) din (193) si (202) (care conduc la grt

(k)

R!= 1) combinate cu (199)

razulta ca grt (R) = 1; iii) observatiile i)-ii) impreuna cu formula (203) ne asigura ca R este

diferentiala, astfel incat�A = �

m2Z�Am;R

�este algebra diferentiala graduata in termenii gradului

grt de�nit de (194)�(196); iv) observatia iii) ne asigura ca putem de�ni algebra factor H� (R) =KerRImR , care va mosteni structura de algebra graduata a lui A = �

m2Z�Am in termenii gradului grt; v)

conform observatiei iv) rezulta ca H� (R) = �m2Z

Hm (R), unde clasele lui Hm (R) sunt de forma�x(m)

�=

(x(m)

+R �(m�1)

jR x(m)

= 0; x(m)2 �Am; �

(m�1)2 �Am�1

), cu grt

�x(m)

�= m; vi) formula (204)

arata atat faptul ca R are coomologie triviala pentru m < 0 cat si faptul ca aceasta este izomorfacu omologia lui D la grad de rezolutie strict pozitiv (�m > 0) si grad deg egal cu zero; vii) gradelecare apar in cei doi membri din (204) si (205) sunt de naturi diferite: gradul din membrul stang estegrt iar cel din membrul drept este rez respectiv deg (totusi, elementele claselor din membrul dreptau gradul grt egal cu m); viii) relatia (205) trebuie inteleasa in sensul de izomor�sm de (sub)spatiivectoriale pentru m > 0 respectiv izomor�sm de (sub)algebre pentru m = 0.

25Deoarece D are gradele rez si deg bine determinate, rezulta ca rez�D(k)x (i)

�=rez(D)+rez

�(k)x (i)

�= �1 + k

si deg�D(k)x (i)

�= deg (D) + deg

�(k)x (i)

�= 0 + i = i. Atunci, din (193) obtinem ca grt

�D(k)x (i)

�=

deg

�D(k)x (i)

��rez

�D(k)x (i)

�= i � k + 1. Deoarece grt

�(k)x (i)

�= i � k, conform De�nitiei 12 gasim imediat ca

grt (D) = 1. Similar se arata ca grt (�) = grt�(1)

R�= 1.

30

Demonstratiea) Pe baza relatiei (79), obiectului R 2 Der (A) ii asociem elementul R 2 dDer (Der (A)) de�nit

prin

R (�) = [R; �] ="D + � +

(1)

R + � � �+(k)

R + � � � ; �#; � 2 Der (A) : (206)

Utilizand acum si formula (88) obtinem ca (12

nR; R

o(�) = R2 (�), 12 [[R;R] ; �] =

�R2; �

�)

R2 (�) =�R2; �

�; � 2 Der (A) : (207)

Relatiile (206)�(207) ne permit sa facem urmatoarea a�rmatie: exista R cu proprietatile (200)�(203) daca si numai daca exista

R : Der (A)! Der (A) ; (208)

astfel incat

R = D + � +(1)

R + � � �+(k)

R + � � � ;(k)

R 2 dDer (Der (A)) ; (209)

"(k)R

= 1; rez

(k)

R!= k; deg

(k)

R!= k + 1; (210)

R2 = 0; (211)

unde

D (�) = [D; �] ; � (�) = [�; �] ; (212)(k)

R (�) =

"(k)

R ; �#; k � 1; � 2 Der (A) ; (213)

rez�D�

= �1; rez���= 0; (214)

"D = "D = 1; "� = "� = 1; "(k)R= "(k)

R= 1: (215)

Atunci, pentru a demonstra existenta lui R este su�cient sa demonstram existenta lui R.In continuare demonstram existenta lui R. Stim ca daca (A; D) este algebra diferentiala gra-

duata atunci si�Der (A) ; D

�reprezinta o algebra diferentiala graduata. In particular, avem

D2 = 0: (216)

Aciclicitatea lui D la grade de rezolutie strict pozitive (Hk (D) = 0, k > 0) conduce prin intermediulTeoremei 7 la aciclicitatea lui D la grade de rezolutie strict pozitive

Hk(D) = 0; k > 0: (217)

Faptul ca � este diferentiala modulo D conduce, prin intermediul Teoremei 4, la faptul ca � estediferentiala modulo D

D� + �D = 0; �2 + D(1)

R +(1)

RD = 0: (218)

31

Atunci, primele trei piese din dezvoltarea lui R (si anume D, � si(1)

R) sunt cunoscute. Notam

R1 = D + � +(1)

R. (219)

Tinand cont de (216) si (218) rezulta ca

2R21 =nR1; R1

o= 2

(�;(1)

R)+ 2

(1)

R!2

; rez

(�;(1)

R)!

= 1; rez

(1)

R!2

= 2: (220)

Relatia (220) arata ca R21 incepe cu termeni cu grad de rezolutie unu (in sensul ca cel mai mic gradde rezolutie al unui element netrivial din membrul drept al lui R21 este egal cu unu). In continuarevom utiliza o procedura inductiva. Presupunem ca am construit

Rk = D + � +(1)

R + � � �+(k)

R ; k � 1; (221)

astfel incat 2R2k incepe cu termeni cu gradul de rezolutie k

2R2k =nRk; Rk

o=(k)r +

(k+1)r + � � � ;

(k)r ;

(k+1)r ; : : : 2 dDer (Der (A)) ; (222)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat k+1. Trebuie sa aratam

ca exista(k+1)

R 2 dDer (Der (A)), astfel incat 2R2k+1 incepe cu termeni cu grad de rezolutie k + 1,unde

Rk+1 = D + � +(1)

R + � � �+(k)

R +(k+1)

R = Rk +(k+1)

R ; k � 1: (223)

Prin calcul direct gasim ca

2R2k+1 =nRk+1; Rk+1

o=nRk; Rk

o+ 2

(Rk;

(k+1)

R)+

((k+1)

R ;(k+1)

R): (224)

Substituind (221)�(222) in (224), ajungem la

2R2k+1 =(k)r + 2

(D;

(k+1)

R)+(k+1)r +

(�;(k+1)

R)+ � � � ; k � 1: (225)

Acum simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat k+1. Este simplu devazut ca

rez

�(k)r

�= rez

(D;

(k+1)

R)!

= k; rez

�(k+1)r

�= rez

(�;(k+1)

R)!

= k + 1: (226)

Din (225)�(226) observam ca 2R2k+1 incepe cu termeni cu grad de rezolutie k + 1 daca si numaidaca

(k)r + 2

(D;

(k+1)

R)= 0; k � 1: (227)

Astfel, pentru a demonstra ca 2R2k+1 incepe cu termeni cu grad de rezolutie k + 1, trebuie sademonstram ca ecuatia (227) poseda solutie. Luand comutatorul cu D al ambilor membri din (227)

32

si utilizand identitatea lui Jacobi, obtinem�D;

(k)r

�= 2

((k+1)

R ; D2

). Nilpotenta lui D conduce in

continuare la ecuatia �D;

(k)r

�= 0; k � 1: (228)

In consecinta, nilpotenta lui D arata ca pentru ca ecuatia (227) sa posede solutie este necesar ca(k)r sa veri�ce ecuatia (228). Pe de alta parte, aciclicitatea lui D arata ca este su�cient ca

(k)r sa

veri�ce ecuatia (228) pentru ca ecuatia (227) sa posede solutie26. In concluzie, conditia necesara si

su�cienta ca ecuatia (227) sa posede solutie este ca(k)r sa veri�ce ecuatia (228).

Utilizand identitatea lui Jacobi, gasim simplu canRk;

nRk; Rk

oo= 0; k � 1: (229)

Substituind (221)�(222) in (229) deducem ca�D;

(k)r

�+

�D;

(k+1)r

�+

��;(k)r

�+ � � � = 0; k � 1; (230)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat k. Este simplu de vazutca

rez

��D;

(k)r

��= k � 1; rez

��D;

(k+1)r

�+

��;(k)r

��= k; k � 1: (231)

Daca proiectam ecuatia (230) pe diversele grade de rezolutie, pentru gradul k � 1 gasim exactecuatia (228). Astfel, ecuatia (227) poseda solutie. Rezulta ca 2R2k+1 incepe cu termeni cu grad derezolutie k+1, adica ceea ce trebuia demonstrat. In consecinta, am demonstrat existenta lui R cuproprietatile (208)�(211). Demonstratia are loc in sensul ca, procedand recursiv in aceeasi maniera,

vom ajunge in �nal (teoretic dupa un numar in�nit de pasi) la 2R2k+n =nRk+n; Rk+n

o= 0. Ultima

relatie arata ca intr-adevar R este nilpotent. Conform a�rmatiei de la inceputul demonstratiei,existenta lui R cu proprietatile (208)�(211) implica existenta lui R cu proprietatile (200)�(203).

b) Am vazut ca elementele lui Hm (R) sunt clase de forma�x(m)

�=

(x(m)

+R �(m�1)

jR x(m)

= 0; x(m)2 �Am; �

(m�1)2 �Am�1

): (232)

Consideram cazul m < 0, ceea ce conduce la jmj > 0. In aceasta situatie avem ca

Hm (R) = H�jmj (R) ; m < 0: (233)

Atunci, pentru elemente cu gradul grt strict negativ formula (198) devine

grt q(m)

= m < 0) q(m)

=Pk2Nk�jmj

(k)q (k�jmj); (234)

26 Intr-adevar, aciclicitatea lui D la grade de rezolutie strict pozitive ne asigura ca ecuatia (228) conduce la existenta

unui obiect(k+1)

� 2 dDer (Der (A)) astfel incat (k)r = �D; (k+1)�

�. Luand

(k+1)

� = �2(k+1)

R , obtinem ca aciclicitatea lui

D la grade de rezolutie strict pozitive conduce la faptul ca ecuatia (228) garanteaza existenta solutiei ecuatiei (227).

33

rez

�(k)q (k�jmj)

�= k; deg

�(k)q (k�jmj)

�= k � jmj � 0: (235)

Este simplu de vazut ca primii termeni din descompunerea (234) sunt dati de27

q(m)

=(jmj)q (0) +

(jmj+1)q (1) + � � � : (236)

Vom realiza demonstratia in doi pasi de baza. d1) Initial vom demonstra ca H�jmj (R) = 0. Pentruaceasta, vom alege o clasa arbitrara din H�jmj (R) si vom demonstra ca un element arbitrar alacesteia este elementul trivial al clasei (elementul R-exact). Aceasta asigura automat independentademonstratiei de alegerea reprezentantul clasei. Atunci, demonstratia va �valabila pentru intreagaclasa considerata. Cum clasa a fost aleasa arbitrar, demostratia ramane valabila pentru orice clasadin H�jmj (R). d2) Pentru a demonstra ca H�jmj (R) si

�Hjmj (D)

�0 sunt izomorfe, pornim dela observatia ca �ecare dintre ele sunt multimi care contin cate un singur element. Atunci, estesu�cient sa construim o aplicatie H�jmj (R)!

�Hjmj (D)

�0, care va � automat izomor�sm.Fie x

(m)2�x(m)

�. Pe baza relatiei (232) avem ca

R x(m)

= 0: (237)

Obiectul x(m)

va admite o descompunere similara cu (236), adica x(m)

=(jmj)x (0) +

(jmj+1)x (1) + � � � .

Substituim ultima descompunere si (201) in (237) si proiectam ecuatia obtinuta pe gradul derezolutie jmj � 1. Atunci, gasim ecuatia

D(jmj)x (0) = 0; m < 0: (238)

Deoarece jmj > 0, aciclicitatea lui D la grade de rezolutie strict pozitive ne asigura ca

(jmj)x (0) = D

(jmj+1)y (0): (239)

Construim acum obiectul

�1 = x(m)�R

(jmj+1)y (0): (240)

Utilizand (201), (236) si (239), formula (240) capata forma

�1 =(jmj+1)x (1) � �

(jmj+1)y (0) + � � � ; rez

�(jmj+1)x (1)

�= rez

��(jmj+1)y (0)

�= jmj+ 1; (241)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat jmj+ 1. Astfel, �1 datde (240) incepe cu termeni cu grad de rezolutie jmj+1. Vom utiliza din nou o procedura inductiva.Presupunem ca am construit

� l = x(m)�R

�(jmj+1)y (0) +

(jmj+2)y (1) + � � �

(jmj+l)y (l�1)

�; l � 1; (242)

astfel incat � l incepe cu termeni cu gradul de rezolutie jmj+ l

� l =(jmj+l)�(l) +

(jmj+l+1)�(l+1) + � � � ; l � 1: (243)

27Conditia k � jmj conduce la faptul ca q(m)

incepe cu termeni cu grad de rezolutie jmj > 0.

34

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat jmj+ l+1. Trebuie saaratam ca exista

(jmj+l+1)y (l) astfel incat

� l+1 = � l �R(jmj+l+1)

y (l) = x(m)�R

lP

j=0

(jmj+j+1)y (j)

!; l � 1; (244)

sa inceapa cu termeni cu gradul de rezolutie jmj+ l+1. Actionand cu R pe ambii membri ai relatiei(242) si tinand cont de (203) si (237) ajungem la

R� l = R x(m)

= 0: (245)

Substituim acum (243) in (245) si proiectam ecuatia obtinuta pe gradul de rezolutie jmj + l � 1.Obtinem ecuatia

D(jmj+l)�(l) = 0; l � 1: (246)

Aciclicitatea lui D la grade de rezolutie strict pozitive (jmj+ l > 0) ne conduce la

(jmj+l)�(l) = D

(jmj+l+1)y (l); l � 1: (247)

Substituind (247) in (244) obtinem ca

� l+1 =(jmj+l+1)�(l+1) + �

(jmj+l+1)y (l) + � � � ; l � 1; (248)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat jmj + l + 1. Ultimaformula arata ca � l+1 incepe cu termeni cu gradul de rezolutie jmj + l + 1, adica ceea ce trebuiademonstrat. Demonstratia are loc in sensul ca, procedand recursiv in aceeasi maniera, vom ajunge

in �nal (teoretic dupa un numar in�nit de pasi) la � l+n = 0 = x(m)�R

l+nPj=0

(jmj+j+1)y (j)

!. Ultima

relatie arata ca intr-adevar x(m)

este R-exact. In concluzie, pentru m < 0 deducem ca Hm (R) =

H�jmj (R) = 0.Relatiile (237)�(238) arata ca un element x

(m)2 (KerR)m determina un element

(jmj)x (0) 2�

(Ker (D))jmj

�0. In consecinta, am stabilit o aplicatie ~� : (KerR)�jmj !

�(Ker (D))jmj

�0, data

de relatia ~��x(m)

�=

(jmj)x (0). Atunci, gasim ca

�~�

�x(m)

��=

�(jmj)x (0)

�. Stiind ca H�jmj (R) = 0

si�Hjmj (D)

�0= 0, obtinem in continuare ca x

(m)= R �

(m�1)si

(jmj)x (0) = D

(jmj+1)y (0), astfel in-

cat ajungem la

"~�

R �(m�1)

!#=

�D(jmj+1)y (0)

�. Tinand cont de forma claselor lui

�Hjmj (D)

�0,rezulta ca

"~�

R �(m�1)

!#=

(~�

R �(m�1)

!j �(m�1)

2 �Am�1

). Utilizand ultima relatie, ajungem in

continuare la

(~�

R �(m�1)

!j �(m�1)

2 �Am�1

)=

�D(jmj+1)y (0)

�. Ultima relatie arata ca ~� induce o

aplicatie � : H�jmj (R) !�Hjmj (D)

�0, prin intermediul formulei �(R �(m�1)

j �(m�1)

2 �Am�1

)=

35

(~�

R �(m�1)

!j �(m�1)

2 �Am�1

). Tinand cont de forma claselor lui H�jmj (R), ultima formula

arata ca �

*R �(m�1)

+=

(~�

R �(m�1)

!j �(m�1)

2 �Am�1

), de unde obtinem ca �

*R �(m�1)

+=�

D(jmj+1)y (0)

�. Conform celor discutate anterior, aplicatia � este izomor�sm.

c) Consideram acum cazul m � 0. In aceasta situatie, formula (198) capata forma28

grt q(m)

= m � 0) q(m)

=Pk2N

(k)q (k+m); (249)

rez

�(k)q (k+m)

�= k; deg

�(k)q (k+m)

�= k +m: (250)

Astfel, in cazul m � 0, primii termeni din dezvoltarea lui q(m)

sunt dati de

q(m)

=(0)q (m) +

(1)q (m+1) + � � � ; (251)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat unu.Fie x

(m)2 (KerR)m. Atunci rezulta ca

R x(m)

= 0: (252)

Elementul x(m)

va admite o descompunere similara cu (249), adica

x(m)

=(0)x (m) +

(1)x (m+1) + � � � : (253)

Substituind (201) si (253) in (252), obtinem la gradele de rezolutie �1 si 0 ecuatiile

D(0)x (m) = 0; �

(0)x (m) +D

(1)x (m+1) = 0: (254)

Ecuatia (254) arata ca(0)x (m) 2 ((V (�jA))0)

m (a se vedea formula (188)). Astfel, un element

x(m)2 (KerR)m determina un element

(0)x (m) 2 ((V (�jA))0)

m. In consecinta, am stabilit o aplicatie

� : (KerR)m ! ((V (�jA))0)m ; �

�x(m)

�=(0)x (m); m � 0: (255)

Din (255) avem ca ��

�x(m)

��=

�(0)x (m)

�: (256)

Fie y(m�1)

2 �Am�1. Avem ca y(m�1)

=(0)y (m�1) +

(1)y (m) + � � � , astfel incat

R y(m�1)

= �(0)y (m�1) +D

(1)y (m) + � � � ; D

(0)y (m�1) = 0; (257)

28Deoarece avem ca m � 0, k 2 N, conditia k +m � 0 este automat satisfacuta. Din acest motiv nu a mai fostmentionata explicit.

36

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat zero. Evident, avem ca R y(m�1)

!2 (KerR)m. Atunci, din (255) si (257) obtinem ca �

R y(m�1)

!= �

(0)y (m�1) +D

(1)y (m).

Pe baza ultimei relatii gasim ca

�(0)z (m�1) +D

(1)w (m) = �

R �(m�1)

!; (258)

unde �(m�1)

=(0)z (m�1) +

(1)w (m) + � � � . Pe de alta parte, avem ca

� x(m)

+ � y(m)

= �(0)x (m) + �

(0)y (m) +

Pk�1

��(k)x (k+m) + �

(k)y (k+m)

�; (259)

x(m)

y(n)

=(0)x (m)

(0)y (n) + � � � ; (260)

unde � si � sunt scalari. Atunci, rezulta ca

�

� x(m)

+ � y(m)

!= �

(0)x (m) + �

(0)y (m) = ��

�x(m)

�+ ��

y(m)

!; (261)

�

x(0)y(0)

!=

(0)x (0)

(0)y (0) =

(0)x (0)

(0)y (0) = �

�x(0)

��

y(0)

!: (262)

Formula (261) arata ca � este aplicatie liniara (� este mor�sm de spatii vectoriale). Relatia (262)evidentiaza ca pentru m = 0 (� : (KerR)0 ! ((V (�jA))0)

0) aplicatia � conserva produsul (pentrum = 0, � este mor�sm de algebre). Din (191), (255)�(256), (258) si (261), rezulta ca�

(0)x (m)

�=

��

�x(m)

��=

(�

x(m)

+R �(m�1)

!jR x

(m)= 0; x

(m)2 �Am; �

(m�1)2 �Am�1

): (263)

Ultima relatie arata ca aplicatia � de�nita prin (255) induce o aplicatie

�� : Hm (R)! ((K (�jA))0)m ; m � 0;

de�nita prin

��

(x(m)

+R �(m�1)

jR x(m)

= 0; x(m)2 �Am; �

(m�1)2 �Am�1

)=

=

(�

x(m)

+R �(m�1)

!jR x

(m)= 0; x

(m)2 �Am; �

(m�1)2 �Am�1

): (264)

Intr-adevar, din (232), (263)�(264) gasim ca

��

�x(m)

�=

�(0)x (m)

�=

��

�x(m)

��; (265)

formula care arata ca �� transforma o clasa din Hm (R) intr-o clasa din ((K (�jA))0)m. Tinand

cont de (265) si (261)�(262) ajungem la

��

�

�x(m)

�+ �

*y(m)

+!= ��

*� x(m)

+ � y(m)

+!=

$�

� x(m)

+ � y(m)

!%=

37

=

��(0)x m + �

(0)y m

�= �

�(0)x (m)

�+ �

�(0)y (m)

�=

= ���

�x(m)

�+ ���

*y(m)

+; (266)

��

�x(0)

�*y(0)

+!= ��

*x(0)y(0)

+!=

$�

x(0)y(0)

!%=

�(0)x (0)

(0)y (0)

�=

=

�(0)x (0)

��(0)y (0)

�= ��

�x(0)

���

*y(0)

+: (267)

Relatia (266) evidentiaza ca �� este mor�sm de spatii vectoriale. Formula (267) arata ca pentrum = 0 (�� : H0 (R)! ((K (�jA))0)

0), �� este mor�sm de algebre.Pentru a demonstra punctul c) este su�cient sa demonstram ca �� este aplicatie bijectiva. Intr-

adevar, daca �� este bijectiva atunci aplicatia

i � �� : Hm (R)! Hm���jH0(D)

�; m � 0; (268)

(i � ��)�x(m)

�= i

���

�x(m)

��= i

��(0)x (m)

��=

�����(0)x (m)����� ; (269)

cu i de�nit in (132)�(133), va � bijectiva (compunerea a doua aplicatii bijective este bijectiva).Atunci, formulele (266)�(267) ne asigura ca �� este izomor�sm (de spatii vectoriale pentru m > 0,respectiv de algebre pentru m = 0). Mai mult, utilizand (266)�(267) si (269) deducem ca

(i � ��) �

�x(m)

�+ �

*y(m)

+!= i

��

�

�x(m)

�+ �

*y(m)

+!!=

= i

���

�x(m)

�+ ���

*y(m)

+!= �i

���

�x(m)

��+ �i

��

*y(m)

+!=

= � (i � ��)�x(m)

�+ � (i � ��)

*y(m)

+; (270)

(i � ��) �

x(0)

�*y(0)

+!= i

��

�x(0)

�*y(0)

+!!=

= i

��

�x(0)

���

*y(0)

+!= i

���

�x(0)

��i

��

*y(0)

+!=

=

�(i � ��)

�x(0)

�� (i � ��)

*y(0)

+!: (271)

Relatia (270) arata ca i � �� este mor�sm de spatii vectoriale, in timp ce formula (271) evidentiazaca pentru m = 0 (i� �� : H0 (R)! H0

���jH0(D)

�) i� �� este mor�sm de algebre. In consecinta, daca

�� este aplicatie bijectiva atunci aplicatia i � �� este izomor�sm (de spatii vectoriale pentru m > 0,respectiv de algebre pentru m = 0), adica ceea ce trebuie demonstrat.

In continuare vom demonstra ca �� este aplicatie bijectiva, adica este aplicatie surjectiva siinjectiva.

38

c1) Initial demonstram ca �� este aplicatie surjectiva. Trebuie sa aratam ca

8�(0)x (m)

�2 ((K (�jA))0)

m ; 9�x(m)

�2 Hm (R) ; a:i: ��

�x(m)

�=

�(0)x (m)

�: (272)

Vom folosi ideea de demonstratie de la punctul b). Astfel: u) vom alege o clasa arbitrara din

((K (�jA))0)m si vom demonstra ca elementului

(0)x (m) al acesteia ii corespunde un element x

(m)dintr-

o clasa a lui Hm (R), astfel incat ��x(m)

�=(0)x (m); v) vom arata ca elementului trivial �

(0)z (m�1) +

D(1)z (m) al clasei considerate din ((K (�jA))0)

m ii corespunde elementul trivial �

R �(m�1)

!al clasei

corespondente dinHm (R), astfel incat � R �(m�1)

!= �

(0)z (m�1)+D

(1)z (m) (demonstratia nu depinde

de alegerea reprezentantului clasei). Atunci, demonstratia va �valabila la nivelul clasei mentionate.Cum clasa din ((K (�jA))0)

m a fost aleasa arbitrar, rezulta ca demonstratia ramane valabila pentruorice clasa din ((K (�jA))0)

m.

Fie(0)x (m) 2

�(0)x (m)

�. Din (191) rezulta ca

(0)x (m) satisface ecuatiile D

(0)x (m) = 0; �

(0)x (m) =

�D(1)x (m+1) (fata de (191) am utilizat notatia

(1)y (m+1) = �

(1)x (m+1)). Atunci, gasim ca

R�(0)x (m) +

(1)x (m+1)

�=(1)

R(0)x (m) + �

(1)x (m+1) + � � � ; grt

�R�(0)x (m) +

(1)x (m+1)

��= m+ 1; (273)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat unu. Ultima formulaarata ca R

�(0)x (m) +

(1)x (m+1)

�incepe cu termeni cu grad de rezolutie unu. Vom utiliza din nou o

procedura inductiva. Presupunem ca am construit�x(m)

�l

=(0)x (m) +

(1)x (m+1) + � � �+

(l)x (m+l); l � 1; (274)

astfel incat R�x(m)

�l

incepe cu termeni cu gradul de rezolutie l (grt�R�x(m)

�l

�= m+ 1)

R�x(m)

�l

=(l)t (m+l+1) +

(l+1)t (m+l+2) + � � � ; l � 1: (275)

Trebuie sa aratam ca exista(l+1)x (m+l+1), astfel incat R

�(0)x (m) + � � �+

(l)x (m+l) +

(l+1)x (m+l+1)

�=

R��

x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1)

�sa inceapa cu termeni cu grad de rezolutie l+1. Aplicand R pe ecuatia

(275) ajungem la R�(l)t (m+l) +

(l+1)t (m+l+1) + � � �

�= 0. Proiectand ultima ecuatie pe gradul de

rezolutie (l � 1) obtinem ca D(l)t (m+l+1) = 0, l � 1. Aciclicitatea lui D la grade de rezolutie strict

pozitive ne conduce la(l)t (m+l+1) = �D

(l+1)x (m+l+1). Atunci gasim ca

R��

x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1)

�=

(l)t (m+l+1) +D

(l+1)x (m+l+1) +

39

(l+1)t (m+l+2) + �

(l)t (m+l+1) + � � � =

(l+1)t (m+l+2) + �

(l)t (m+l+1) + � � � ; (276)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat (l + 1). Ultima relatie

arata ca R��

x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1)

�incepe cu termeni cu grad de rezolutie (l + 1), adica ceea ce

trebuia demonstrat. Demonstratia are loc in sensul ca, procedand recursiv in aceeasi maniera vom

ajunge in �nal (teoretic dupa un numar in�nit de pasi) la R (0)x (m) +

Pl�1

(l)x (m+l)

!= 0. Ultima

relatie arata ca intr-adevar x(m)

=(0)x (m) +

Pl�1

(l)x (m+l) este R-inchis, cu �

�x(m)

�=

(0)x (m). Astfel,

punctul u) al demonstratiei a fost implementat.

In continuare trecem la punctul v). Fie(0)x (m) elementul trivial din

�(0)x (m)

�. Din (191) rezulta

ca(0)x (m) = �

(0)z (m�1)+D

(1)z (m) (fata de (191) am utilizat notatia

(1)z (m) =

(1)w (m)). Prin calcul direct

avem ca D(0)x (m) = 0, �

(0)x (m) = �D

(1)x (m+1), unde

(1)x (m+1) =

(1)

R(0)z (m�1) + �

(1)z (m). Atunci rezulta

simplu ca R�(0)x (m) +

(1)x (m+1)

�incepe cu termeni cu grad de rezolutie unu

R�(0)x (m) +

(1)x (m+1)

�=(1)

R(0)x (m) + �

(1)x (m+1) + � � � ; (277)

in timp ce�(0)x (m) +

(1)x (m+1)

�este R-exact pana la termeni cu grad de rezolutie doi

(0)x (m) +

(1)x (m+1) = R

�(0)z (m�1) +

(1)z (m)

��(2)

R(0)z (m�1) + � � � : (278)

Presupunem ca am construit�x(m)

�l

=(0)x (m)+

(1)x (m+1)+ � � �+

(l)x (m+l), l � 1, astfel incat R

�x(m)

�l

incepe cu termeni cu gradul de rezolutie l (grt�R�x(m)

�l

�= m+ 1)

R�x(m)

�l

=(l)p (m+l+1) +

(l+1)p (m+l+2) + � � � ; l � 1; (279)

si �x(m)

�l

= Rz �(l+1)

� (m+l+1) �(l+2)

� (m+l+2) � � � � ; l � 1; (280)

este R-exact pana la termeni cu grad de rezolutie (l + 1). Trebuie sa aratam ca exista(l+1)x (m+l+1),

astfel incat R��

x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1)

�sa inceapa cu termeni cu grad de rezolutie l+1 si

�x(m)

�l

+

(l+1)x (m+l+1) sa �e R-exact pana la termeni cu grad de rezolutie (l + 2). Aplicand R pe relatia (280)si tinand cont de (279) obtinem ca

(l)p (m+l+1) +

(l+1)p (m+l+2) + � � � = �R

(l+1)

� (m+l+1) +(l+2)

� (m+l+2) + � � �!; l � 1: (281)

40

Proiectand acum (281) pe gradul de rezolutie l ajungem la(l)p (m+l+1) = �D

(l+1)

� (m+l+1). Utilizand

notatia(l+1)x (m+l+1) =

(l+1)

� (m+l+1), rezulta ca

R��

x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1)

�=

(l)p (m+l+1) +D

(l+1)x (m+l+1) +

(l+1)p (m+l+2) + �

(l)p (m+l+1) + � � � =

(l+1)p (m+l+2) + �

(l)p (m+l+1) + � � � ; (282)�

x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1) = Rz �

(l+2)

� (m+l+2) � � � � : (283)

Ultimele relatii arata ca R��

x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1)

�incepe cu termeni cu grad de rezolutie l + 1

si�x(m)

�l

+(l+1)x (m+l+1) este R-exact pana la termeni cu grad de rezolutie (l + 2), adica ceea ce

trebuia demonstrat. Demonstratia are loc in sensul ca, procedand recursiv in aceeasi maniera, vom

ajunge in �nal (teoretic dupa un numar in�nit de pasi) la R (0)x (m) +

Pl�1

(l)x (m+l)

!= 0 si

(0)x (m) +

Pl�1

(l)x (m+l) = R �

(m�1)(cu �

(m�1)=

Pl�0

(l)z (m+l�1)

!). Ultimele relatii arata ca intr-adevar x

(m)=

(0)x (m) +

Pl�1

(l)x (m+l) este atat R-inchis cat si R-exact. In consecinta, x

(m)= R �

(m�1)este elementul

trivial din Hm (R). Tinand cont ca(0)x (m) = �

(0)z (m�1) +D

(1)z (m), obtinem ca �

(0)z (m�1) +D

(1)z (m) +P

l�1

(l)x (m+l) = R �

(m�1), cu �

R �(m�1)

!= �

(0)z (m�1) +D

(1)z (m). Astfel, punctul v) al demonstratiei a

fost implementat. In consecinta, am demonstrat ca �� este aplicatie surjectiva.c2) In �nal demonstram ca �� este aplicatie injectiva. Pentru aceasta folosim urmatoarea teo-

rema.Teorema 9Fie V1 si V2 doua spatii vectoriale si j : V1 ! V2 un mor�sm de spatii vectoriale. Atunci j este

aplicatie injectiva daca si numai daca Kerj = f01g (01 este vectorul nul din V1).

Conform ultimei teoreme, pentru a demonstra ca �� este aplicatie injectiva este su�cient sa

demonstram ca Ker�� =�0(m)

�. Stim ca Ker�� =

(�x(m)

�2 Hm (R) j��

�x(m)

�=

$(0)

0 (m)

%), unde$

(0)

0 (m)

%este clasa triviala din ((K (�jA))0)

m. Vom folosi din nou ideea de demonstratie de la

c1). Astfel: p) vom alege o clasa arbitrara din Hm (R) si vom demonstra ca daca � transforma

elementul x(m)

al acesteia in elementul trivial �(0)z (m�1) +D

(1)z (m) dintr-o clasa a lui ((K (�jA))0)

m,

atunci x(m)

este elementul trivial al clasei considerate din Hm (R) ( x(m)

= R �(m�1)

); q) deoarece am

aratat la punctul c1) ca �

R �(m�1)

!= �

(0)z (m�1)+D

(1)z (m), rezulta ca demonstratia nu depinde de

alegerea reprezentantului clasei. Atunci, demonstratia va � valabila la nivelul claselor mentionate.

41

Cum clasa din Hm (R) a fost aleasa arbitrar, rezulta ca demonstratia ramane valabila pentru oriceclasa din Hm (R).

Astfel, ramane sa implementam punctul p). Fie x(m)

=Pl�0

(l)x (m+l) 2

�x(m)

�, cu

(0)x (m) =

�

�x(m)

�= �

(0)z (m�1) +D

(1)z (m). Evident, R x

(m)= 0. Atunci,

�x(m)

�1

= x(m)�R

�(0)z (m�1) +

(1)z (m)

�incepe cu termeni cu grad de rezolutie unu�

x(m)

�1

= x(m)�R

�(0)z (m�1) +

(1)z (m)

�=(1)x (m+1) +

(1)

R(0)z (m�1) + � � � : (284)

Presupunem ca am construit�x(m)

�l

= x(m)� R

�(0)z (m�1) +

(1)z (m) + � � �+

(l)z (m+l�1)

�, l � 1, care

incepe cu termeni cu grad de rezolutie l�x(m)

�l

= x(m)�R

�(0)z (m�1) +

(1)z (m) + � � �+

(l)z (m+l�1)

�=(l)

# (m+l)+(l+1)

# (m+l+1)+ � � � ; l � 1: (285)

Trebuie sa aratam ca exista(l+1)z (m+l), astfel incat

�x(m)

�l+1

=

�x(m)

�l

� R(l+1)z (m+l) = x

(m)�

R�(0)z (m�1) � � �+

(l)z (m+l�1) +

(l+1)z (m+l)

�sa inceapa cu termeni cu grad de rezolutie l+1. Aplicand

R pe ecuatia (285) si tinand cont ca R x(m)

= 0 ajungem la R (l)

# (m+l) +(l+1)

# (m+l+1) + � � �!= 0.

Proiectand ultima relatie pe gradul de rezolutie (l � 1) obtinem caD(l)

# (m+l) = 0, l � 1. Aciclicitatea

lui D la grade de rezolutie strict pozitive implica faptul ca(l)

# (m+l) = D(l+1)z (m+l). Atunci, gasim ca�

x(m)

�l+1

=

�x(m)

�l

�R(l+1)z (m+l) =

(l)

# (m+l) �D(l+1)z (m+l) +

+(l+1)

# (m+l+1) + �(l+1)z (m+l) + � � � =

(l+1)

# (m+l+1) + �(l+1)z (m+l) + � � � ; (286)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu grad de rezolutie mai mare decat (l + 1). Formula (286)

arata ca�x(m)

�l+1

=

�x(m)

�l

� R(l+1)z (m+l) incepe cu termeni cu grad de rezolutie (l + 1), adica

ceea ce trebuia demonstrat. Demonstratia are loc in sensul ca, procedand recursiv in aceeasi

maniera, vom ajunge in �nal (teoretic dupa un numar in�nit de pasi) la�x(m)

�l+n

= 0 = x(m)�

R�(0)z (m�1) +

(1)z (m) + � � �+

(l+n)z (m+l+n�1)

�. Ultima relatie arata ca x

(m)este elementul trivial al

clasei considerate din Hm (R). In consecinta, punctul p) a fost implementat. Astfel, teorema estedemonstrata. �

42

3 Teorii supuse la constrangeri de clasa I

3.1 Constrangeri de clasa I

Consideram un sistem al carui spatiu al fazelor P este descris local de variabilele canonice bosonice(za)a=1;���A. Presupunem ca am eliminat din teorie constrangerile de clasa II (in cazul in caresistemul a avut astfel de constrangeri). In acest context, lucram cu paranteza Dirac29

[F1; F2]� = !ab (z)

@F1@za

@F2@zb

; (287)

construita in termenii unui tensor !ab (z) dat dehza; zb

i�= !ab (z) = �!ba (z) : (288)

care este inversabil!ab (z)!bc (z) = �a c; (289)

cu !bc (z) = �!cb (z) inversul lui !ab (z). Obiectul !ab (z) se numeste 2-forma simplectica asociataparantezei Dirac30. Utilizand identitatea lui Jacobi31hh

za; zbi�; zci�+h[zc; za]� ; zb

i�+hhzb; zc

i�; zai�= 0; (290)

precum si (288) ajungem la relatia

!d[a (z)@! bc] (z)

@zd� !da (z) @!

bc (z)

@zd+ !dc (z)

@!ab (z)

@zd+ !db (z)

@!ca (z)

@zd= 0: (291)

Derivand formula (289), obtinem ca

@!ab (z)

@zp!bc (z) = �!ab (z)

@!bc (z)

@zp: (292)

Utilizand (292), un calcul direct ne conduce la

�!ma (z)!bn (z)!d[a (z)@! bc] (z)

@zd= !pc (z)

�@!mn (z)

@zp+@!pm (z)

@zn+@!np (z)

@zm

�: (293)

Tinand cont de (289), din (291) si (293) gasim ca32

@!mn (z)

@zp+@!pm (z)

@zn+@!np (z)

@zm= 0: (294)

29Daca sistemul nu a avut constrangeri de clasa II, lucram direct cu paranteza Poisson.30 In fapt, 2-forma simplectica se construieste cu ajutorul lui !ab (z) prin relatia !2 = 1

2!ab (z) dz

a ^ dzb (simbolul^ reprezinta produsul exterior, iar d este diferentiala exterioara). In sensul ultimei relatii, !ab (z) este denumit (prinabuz de limbaj) 2-forma simplectica.31Dupa eliminarea constrangerilor de clasa II, identitatea lui Jacobi devine egalitate tare in termenii variabilelor

independente za.32Ecuatia (294) arata ca 2-forma simplectica !2 este d-inchisa, d!2 = 1

2(d!ab (z)) ^ dza ^ dzb =

16

�@!ab(z)@zc

+ @!ca(z)

@zb+ @!bc(z)

@za

�dza ^ dzb ^ dzc = 0.

43

Local, solutia ultimei ecuatii este data de33

!mn (z) =@an (z)

@zm� @am (z)

@zn; (295)

unde an (z) se numeste 1-forma potential34 asociata 2-formei simplectice !mn (z).Presupunem ca sistemul considerat este supus la constrangerile de clasa I

Ga0 (z) � 0; a0 = 1; � � � ; A0 � A: (296)

Deoarece am presupus ca variabilele sunt bosonice, rezulta ca functiile Ga0 (z) sunt si ele bosonice

Ga0Gb0 = Gb0Ga0 : (297)

Proprietatea de clasa I a constrangerilor (296) se traduce prin relatiile

[Ga0 ; Gb0 ]� = Cc0a0b0 (z)Gc0 ; (298)

unde functiile Cc0a0b0 (z) sunt antisimetrice in indicii inferiori, Cc0a0b0

(z) = �Cc0b0a0 (z). Ecuatiile(296) de�nesc o suprafata neteda �H scufundata in spatiul fazelor P . In continuare, suprafata�H va �numita suprafata constrangerilor de clasa I. Datorita ecuatiilor (296), dinamica sistemuluise va desfasura exact pe suprafata �H . Vom presupune constrangerile de clasa I a � ireductibile(independente). Aceasta inseamna ca singura solutie a ecuatiei

�a0Ga0 = 0; (299)

are forma�a0 = �a0b0Ga0 ; �

a0b0 = ��b0a0 ; (300)

unde functiile �a0b0 depind in general de coordonatele za ale spatiului fazelor. Mai mult, vompresupune ca functiile Ga0 satisfac conditia de regularitate

rang

�@Ga0@za

�����Ga0�0

= A0

= rang

�@Ga0@za

������H

!: (301)

Conditia de regularitate ne asigura ca putem alege local functiile Ga0 a � primele A0 coordonateale unui nou sistem regular de coordonate pe P , de exemplu za $ (Ga0 ; ��). In aceste conditii, areloc urmatoarea teorema.

Teorema 10 Orice functie neteda, F (za) 2 C1 (P ) care se anuleaza pe �H se exprima subforma

F (za) = �a0 (z)Ga0 ; (302)

unde �a0 (z) sunt functii netede pe P .DemonstratieDupa cum am vazut, conditiile de regularitate ne permit sa facem o transformare de coordonate

de forma za ! (ya0 ; ��), cuya0 � Ga0 ; (303)

33 In fapt, formula (295) reprezinta o consecinta a lemei lui Poincare. Intr-adevar, conform lemei lui Poincare

avem ca d!2 = 0 ) !2 = d!1, unde !1 = �ab (z) dzb, Atunci, din d!1 = 12

�@ab(z)@za

� @aa(z)

@zb

�dza ^ dzb = !2 =

12!ab (z) dz

a ^ dzb, rezulta imediat (295).34Denumirea de 1-forma potential atribuita lui an (z) este de asemenea un abuz de limbaj. Conform notei de subsol

anterioare, an (z) reprezinta (pana la un semn) �coe�cientii�1-formei potential !1.

44

astfel incat obtinem

F (za) = F (ya0 ; ��) : (304)

Ipoteza teoremei a�rma ca

F (ya0 = 0; ��) = 0; (305)

(F (za) se anuleaza pe �H). In continuare utilizam identitatea

F (ya0 ; ��) =

1Z0

d�dF (�ya0 ; ��)

d�; (306)

care se demonstreaza prin calcul direct. Intr-adevar, membrul drept din (306) capata dupa integrareforma F (�ya0 ; ��)j

10 = F (ya0 ; ��) � F (0; ��) = F (ya0 ; ��) (pe baza lui (305)). Exploatam acum

identitatea (306). Avem

F (ya0 ; ��) =

1Z0

d�dF (�ya0 ; ��)

d�=

1Z0

d�@F (�ya0 ; ��)

@ (�ya)

d (�ya0)

d�=

=

0@ 1Z0

d�@F (�ya0 ; ��)

@ (�ya0)

1A ya0 = �a0ya0 ; (307)

unde �a0 =1R0

d�@F(�ya0 ;��)@(�ya0)

sunt functii netede pe P . Utilizand (303) si (304) in (307) ajungem

la (302). Astfel teorema este demonstrata. � Demonstratia ultimei teorema este locala. Totusi,utilizand o partitie a unitatii [1] se poate arata ca valabilitatea teoremei este globala

Pe baza identitatii lui Jacobi��G[a0 ; Gb0

��; G c0]

�� � [[Ga0 ; Gb0 ]� ; Gc0 ]� + [[Gc0 ; Ga0 ]� ; Gb0 ]� + [[Gb0 ; Gc0 ]� ; Ga0 ]� = 0; (308)

si a relatiilor (298) ajungem la ecuatia�Ce0d0[a0C

d0b0c0]

+hCe0[a0b0 ; G c0]

i��Ge0 = 0; (309)

unde

Ce0d0[a0Cd0b0c0]

� Ce0d0a0Cd0b0c0

+ Ce0d0c0Cd0a0b0

+ Ce0d0b0Cd0c0a0 ; (310)h

Ce0[a0b0 ; G c0]

i��

hCe0a0b0 ; Gc0

i�+�Ce0c0a0 ; Gb0

��+hCe0b0c0 ; Ga0

i�: (311)

Deoarece am presupus constrangerile de clasa I a � ireductibile, conform relatiilor (299)�(300)rezulta ca solutia ecuatiilor (309) este data de

Ce0d0[a0Cd0b0c0]

+hCe0[a0b0 ; G c0]

i�= �e0d0a0b0c0Gd0 ; (312)

unde functiile �e0d0a0b0c0 (z) sunt complet antisimetrice atat in indicii superiori cat si in cei inferiori.

45

3.2 Ecuatiile de miscare in prezenta constrangerilor de clasa I

Stim ca ecuatiile de miscare pentru sistemul considerat au forma [2]

_F � [F;H0]� + �a0 [F;Ga0 ]

� (� [F;H0 + �a0Ga0 ]� = [F;HE ]

�) ; (313)

Ga0 � 0; (314)

unde H0 (z) este Hamiltonianul de clasa I al sistemului considerat

[H0; Ga0 ]� = V b0

a0Gb0 ; (315)

cu V b0a0 functii de z

a-uri. Mentionam ca obiectele �a0 sunt functii arbitrare de timp35 [2]. Prezentalor in ecuatiile (313) face ca solutiile ecuatiilor (313)�(314) sa depinda de functii arbitrare de timp.

Ecuatiile (313)�(314) pot � obtinute din principiul variational

�SE0 [za; �a0 ] = 0; (316)

corespunzator conditiilor la limita

�za (t1) = �za (t2) = 0; (317)

unde

SE0 [za; �a0 ] =

Z t2

t1

dt (aa (z) _za �H0 � �a0Ga0) : (318)

Actiunea (318) se numeste actiune extinsa. Derivata Gateaux care apare in (316) se de�neste inmod standard prin

�SE0 [za; �a0 ] =

dSE0 [za + u�za; �a0 + u��a0 ]

du

����u=0

; (319)

unde �za si ��a0 sunt (pana la conditiile (317)) functii arbitrare de timp. Intr-adevar, pe bazaprincipiului variational mentionat anterior deducem ecuatiile

�SE0�za

� !ab (z) _zb � @H0

@za� �a0 @Ga0

@za� 0; (320)

�SE0��a0

� �Ga0 � 0: (321)

Ecuatiile (321) coincid (pana la un semn irelevant) cu ecuatiile (314). Tinand cont de (289), din(320) obtinem ca

_za � !ab (z) @H0@zb

+ �a0!ab (z)@Ga0@zb

; (322)

astfel incat cu ajutorul lui (287) ajungem la

_za � [za;H0]� + �a0 [za; Ga0 ]� : (323)

Pornind de la _F = @F@za _z

a, pe baza relatiilor (287) si (322) ajungem imediat la (313).Starea �zica a sistemului considerat este descrisa de solutiile ecuatiilor (313)�(314). Pe de alta

parte, aceste ecuatii se obtin din principiul variational (316) bazat pe actiunea extinsa (318). Astfel,putem spune ca actiunea extinsa contine toata informatia despre starea �zica a sistemului.35Ultima a�rmatie poate � justi�cata (local) si in alt mod. Luand F ! za, ecuatiile (313)�(314) capata forma

_za � [za; H0]� + �a0 [za; Ga0 ]

�, Ga0 � 0. Trecem acum la un alt sistem regular de coordonate pe P , za $ (ya0 ; ��),cu ya0 � Ga0 . Mai mult, alegem coordonatele �� astfel incat [��; ya0 ]

� = 0. Din (298) si (315) avem ca [ya0 ; yb0 ]� =

Cc0a0b0 (y; �) yc0 , [ya0 ; H0]� = �V b0

a0 (y; �) yb0 . In noile coordonate ecuatiile de miscare capata expresiile _ya0 ���V c0

a0 + �b0Cc0a0b0

�yc0 , _�� � [��; H0]

�, ya0 � 0, care conduc la _�� � [��; H0]�, ya0 � 0, _ya0 � 0. Intr-adevar, in

ultimele ecuatii functiile �a0 nu mai apar. In consecinta, aceste functii nu sunt determinate de ecuatiile (313)�(314),ele �ind arbitrare.

46

3.3 Transformari gauge

Stim ca transformarile gauge Hamiltoniene sunt date de [2]

��F (z) = [F (z) ; Ga0 ]� �a0 ; (324)

unde parametrii gauge �a0 sunt functii arbitrare de timp. Utilizand (324), obtinem simplu ca

�� (�F1 + �F2) = [�F1 + �F2; Ga0 ]� �a0 = � [F1; Ga0 ]

� �a0 + � [F2; Ga0 ]� �a0 = ���F1 + ���F2;

(325)

�� (F1F2) = [F1F2; Ga0 ]� �a0 = F2 [F1; Ga0 ]

� �a0 + F1 [F2; Ga0 ]� �a0 = (��F1)F2 + F1 (��F2) ; (326)

unde � si � sunt scalari. Daca F =t2Rt1

dtF este o functionala, atunci de�nim variatia gauge a

acesteia prin

��F =t2Zt1

dt (��F ) : (327)

Proprietatea de baza a transformarilor gauge este ca daca za sunt solutii ale ecuatiilor de miscareatunci si za+��za sunt solutii ale ecuatiilor de miscare. Altfel spus, transformarile gauge nu modi�castarea �zica a sistemului. Deoarece actiunea extinsa contine toata informatia despre starea �zica asistemului, ne asteptam ca aceasta sa �e invarianta gauge. Intr-adevar, actiunea extinsa (318) esteinvarianta la transformarile gauge

��za = [za; Ga0 ]

� �a0 (328)

���a0 = _�a0 � V a0

b0�b0 � Ca0b0c0�

b0�c0 ; (329)

unde parametrii gauge trebuie sa satisfaca relatiile

�a0 (t1) = �a0 (t2) = 0: (330)

Utilizand (318) si (327), cu ajutorul formulelor (325)�(326) deducem ca

��SE0 =

t2Zt1

dt

�(��aa) _z

a + aad

dt(��z

a)� ��H0 � (���a0)Ga0 � �a0��Ga0�=

=

t2Zt1

dt ((��aa) _za � _aa��za � ��H0 � (���a0)Ga0 � �a0��Ga0) + aa [z

a; Ga0 ]� �a0 jt2t1

=

t2Zt1

dt ((��aa) _za � _aa��za � ��H0 � (���a0)Ga0 � �a0��Ga0) : (331)

Tinand cont de relatiile

��aa = [aa; Ga0 ]� �a0 = !bc

@aa@zb

@Ga0@zc

�a0 ; _aa��za =

@aa@zb

_zb!ac@Ga0@zc

�a0 ; (332)

��H0 = [H0; Ga0 ]� �a0 = �a0V b0

a0Gb0 ; ��Ga0 = [Ga0 ; Gb0 ]� �b0 = �b0Cc0a0b0Gc0 ; (333)

47

obtinem

��SE0 =

t2Zt1

dt

��!bc!ab _za

@Ga0@zc

�a0 � �a0V b0a0Gb0 � �

a0�b0Cc0a0b0Gc0 � (���a0)Ga0

�: (334)

Folosind acum si (289), ultima relatie ne conduce la

��SE0 =

t2Zt1

dt�_�a0 � V a0

b0�b0 � Ca0b0c0�

b0�c0 � ���a0�Ga0 � �a0Ga0 j

t2t1: (335)

Utilizand (329-330) in (335), gasim in �nal ca

��SE0 = 0: (336)

Formula (336) exprima invarianta gauge a actiunii extinse la transformarile (328-329) cu conditiilesuplimentare (330). Invarianta gauge a actiunii extinse este o consecinta directa a invariantei starii�zice la transformari gauge.

3.4 Structura algebrica a lui C1 (�H)

Deoarece dinamica sistemului se desfasoara pe suprafata �H , functiile relevante din punctul devedere al dinamicii vor �functiile din C1 (�H). Spatiul C1 (�H) poate �caracterizat algebric dupacum urmeaza. Multimea C1 (P ) inzestrata cu operatiile de adunare a functiilor si de inmultire aacestora cu scalari formeaza spatiu vectorial. Daca pe acest spatiu vectorial introducem inmultireapunctuala a functiilor, atunci C1 (P ) devine algebra asociativa. Vom nota prin M multimeafunctiilor ce se anuleaza pe �H . Fie M 2 M (M = �a0Ga0) si F 2 C1 (P ). Obtinem ca FM =��a0Ga0 (cu ��

a0 = F�a0 2 C1 (P )), de unde rezulta ca FM 2 M. In consecita, M este idealin C1 (P ) in raport cu inmultirea. Atunci putem construi algebra factor C1(P )

M , care reprezintaalgebra claselor de echivalenta de functii din C1 (P ) care difera printr-o functie din M (adicaprintr-o functie ce se anuleaza pe �H). Clasele de echivalenta din

C1(P )M sunt date de

[F ]y = fF + �a0Ga0 jF; �a0 2 C1 (P )g ; (337)

astfel ca pentru orice doua functii dintr-o clasa de echivalenta avem ca

F � F 0 , F � F 0 = �a0Ga0 : (338)

Este simplu de vazut ca orice clasa de echivalenta din C1(P )M de�neste o functie f din C1 (�H)

([F ]y ! f = F j�H ). Invers, orice functie f din C1 (�H) poate �extinsa la o functie F din C1 (P ).

Fie F si F 0 doua extensii diferite ale lui f . Deoarece (F � F 0)j�H = F j�H � F 0j�H = f � f = 0,Teorema 10 ne asigura ca F � F 0 = �a0Ga0 . In continuare, relatia (338) ne arata ca cele douaextensii sunt echivalente, F � F 0. In consecinta, orice functie f din C1 (�H) de�neste o clasade echivalenta din C1(P )

M . In concluzie, am obtinut ca: a) orice clasa de echivalenta din C1(P )M

de�neste o functie din C1 (�H); b) orice functie din C1 (�H) de�neste o clasa de echivalenta dinC1(P )M . Din a) si b) obtinem ca

C1 (�H) =C1 (P )

M : (339)

Alternativ, C1 (�H) poate � privita si ca algebra de functii. Intr-adevar, C1 (�H) inzestrata cuoperatiile induse din C1 (P ) de adunare a functiilor (f1 ] f2 = (F1 + F2)j�H , unde f1 = F1j�H si

48

f2 = F2j�H ) si inmultire a acestora cu scalari (��f = �F j�H ) formeaza spatiu vectorial. Inmultireadin C1 (P ) induce de asemenea pe C1 (�H) o operatie de inmultire prin relatia f � g = (FG)j�H .In raport cu produsul nou introdus, C1 (�H) este algebra de functii. Conform concluziilor a)si b) de mai sus, am stabilit ca exista o aplicatie bijectiva Q : C1 (�H) ! C1(P )

M , data derelatia Q (f) = [F ]y. Atunci, este simplu de vazut ca Q ((�1 � f1) ] (�2 � f2)) = [�1F1 + �2F2]y =

[�1F1]yu[�2F2]y =��1 / [F1]y

�u��2 / [F2]y

�= (�1 / Q (f1))u(�2 / Q (f2)), ceea ce arata caQ este

izomor�sm de spatii vectoriale. Mai mult, gasim ca Q (f � g) = [FG]y = [F ]y � [G]y = Q (f) �Q (g),relatie care arata ca Q este izomor�sm de algebre. In consecinta, relatia (339) trebuie privita insens de izomo�sm de algebre multiplicative.

Algebra (multiplicativa) C1 (P ) inzestrata cu structura de paranteza Dirac devine algebraPoisson36. Fie F 01 = F1 + �a0Ga0 si F

02 = F2 + �a0Ga0 doua elemente din C1 (P ). Este sim-

plu de vazut ca F 01j�H = F1j�H = f1 si F 02j�H = F2j�H = f2. Prin calcul direct gasim ca[F 01; F

02]����H6= [F1; F2]

�j�H , de unde rezulta ca paranteza Dirac pe C1 (P ) nu induce o paranteza

Dirac pe C1 (�H) prin relatia [f1; f2]� = [F1; F2]

�j�H . Astfel, algebra de functii C1 (�H) nu este

algebra Poisson.Fie M 2 M (M = �a0Ga0) si F 2 C1 (P ). In general, avem ca [M;F ]� = [�a0Ga0 ; F ]

� 6=�a0Ga0 , de unde ajungem la concluzia ca M nu este ideal in C1 (P ) si in raport cu structurade paranteza Dirac. Astfel, paranteza Dirac pe C1 (P ) nu induce o structura de paranteza binede�nita in C1(P )

M . In consecinta, C1(P )M nu este algebra Poisson. In sensul celor discutate anterior,

izomor�smul (339) nu este si izomor�sm de algebre Poisson.

3.5 Functii de clasa I

Ne reamintim ca functiile de clasa I sunt functii din C1 (P ) care satisfac relatiile [2]

[F;Ga0 ]� = �b0a0Gb0 ; (340)

unde �b0a0 2 C1 (P ). Vom nota prin OH multimea functiilor de clasa I. Atunci, rezulta ca

OH =nF 2 C1 (P ) j [F;Ga0 ]

� = �b0a0Gb0 ; �b0a0 2 C

1 (P )o: (341)

Evident, avem ca OH � C1 (P ). Atunci, din relatia

[F1; Ga0 ]� = ��

b0a0Gb0 ;

[F2; Ga0 ]� = ~�

b0a0Gb0

)) [�1F1 + �2F2; Ga0 ]

� =��1��

b0a0 + �2

~�b0a0

�Gb0 ; (342)

cu��1��

b0a0 + �2

~�b0a0

�2 C1 (P ), gasim ca OH este subspatiu vectorial al lui C1 (P ). Utilizand

proprietatea de derivare a parantezei Dirac ([F1F2; Ga0 ]� = [F1; Ga0 ]

� F2 + F1 [F2; Ga0 ]�), ajungem

la[F1; Ga0 ]

� = ��b0a0Gb0 ;

[F2; Ga0 ]� = ~�

b0a0Gb0

)) [F1F2; Ga0 ]

� =���b0a0F2 +

~�b0a0F1

�Gb0 ; (343)

cu���b0a0F2 +

~�b0a0F1

�2 C1 (P ). Din (343) deducem ca OH este subalgebra a lui C1 (P ) in

raport cu inmultirea. Utilizand acum si identitatea lui Jacobi ([[F1; F2]� ; Ga0 ]

�= [[F1; Ga0 ]

� ; F2]�+

36O algebra Poisson A este o algebra asociativa (in raport cu inmultirea) inzestrata cu o structura de parantezak; k in raport cu care A este algebra Lie. In plus, paranteza k; k trebuie sa satisfaca relatia kab; ck = a kb; ck +(�)"b"c ka; ck b. Evident, daca algebra asociativa este graduata atunci algebra Lie mentionata anterior va mosteniaceasta graduare, astfel incat algebra Poisson va pastra si ea graduarea initiala.

49

[F1; [F2; Ga0 ]�]�), gasim ca

[F1; Ga0 ]� = ��

b0a0Gb0 ;

[F2; Ga0 ]� = ~�

b0a0Gb0

)) [[F1; F2]

� ; Ga0 ]�= �b0a0Gb0 ; (344)

cu �b0a0 2 C1 (P ) de forma

�b0a0 =hF1; ~�

b0a0

i��hF2; ��

b0a0

i�+ ��

b0c0~�c0a0 � ~�

b0c0��c0a0 : (345)

Formula (344) evidentiaza ca daca F1,F2 2 OH , atunci si [F1; F2]� 2 OH (paranteza Dirac esteoperatie interna in OH). In consecinta, OH este subalgebra Poisson a lui C1 (P ). Tinand cont derelatiile h

�b0Gb0 ; Ga0

i�=�h�b0 ; Ga0

i�+ �c0Cb0c0a0

�Gb0 ; (346)

cu���b0 ; Ga0

��+ �c0Cb0c0a0

�2 C1 (P ), obtinem imediat ca M � OH . Evident, M este ideal in

OH in raport cu inmultirea. Mai mult, deoarece

[F;Ga0 ]� = �b0a0Gb0 ) [F; �a0Ga0 ]

� =��a0�b0a0 +

hF; �b0

i��Gb0 ; (347)

cu��a0�b0a0 +

�F; �b0

��� 2 C1 (P ), gasim ca M este ideal in OH si in raport cu structura de

paranteza Dirac. Astfel, ajungem la urmatoarea teorema.Teorema 11Algebra

ObsH =OHM =

n[F ]z ; F 2 OH j8F1; F2 2 [F ]z ; F1 � F2 = �a0Ga0 ; �

a0 2 C1 (P )o; (348)

este algebra Poisson.DemonstratieDemonstratia rezulta direct din de�nitia algebrei factor si din faptul ca OH este algebra Poisson.

�In virtutea ultimei teoreme rezulta ca paranteza Dirac induce o structura de paranteza bine

de�nita in ObsH (notata [; ]�) prin relatiah

[F1]z ; [F2]z

i�= [[F1; F2]

�]z : (349)

Este simplu de vazut ca ObsH este subalgebra a lui C1 (�H) =C1(P )M in raport cu inmultirea

(deoarece OH este subalgebra a lui C1 (P ) in raport cu inmultirea). Atunci, rezulta ca

ObsH =

�[F ]y 2

C1 (P )

M jF 2 OH�: (350)

Din (348) si (350) gasim ca�[F ]y 2

C1 (P )

M ; F 2 OH�, [F ]y = [F ]z : (351)

Ultima relatie realizeaza legatura dintre clasele lui C1(P )M si clasele lui ObsH . Pe baza formulelor

(349) si (351), obtinem ca

[[F1; F2]�]z =

h[F1]z ; [F2]z

i�=h[F1]y ; [F2]y

i�= [[F1; F2]

�]y ; F1; F2 2 OH : (352)

50

3.6 Observabile clasice Hamiltoniene

Prin de�nitie, observabilele clasice Hamiltoniene sunt elemente din C1 (�H) care sunt invariantegauge. Utilizand imaginea de algebra de functii a lui C1 (�H), de�nitia anterioara evidentiaza caf 2 C1 (�H) este observabila clasica daca

�"f = 0; (353)

unde�"f = �"F j�H ; f = F j�H ; ��F = [F;Ga0 ]

� �a0 : (354)

Astfel, multimea observabilelor clasice poate �privita ca Obs1 = ff 2 C1 (�H) j�"f = 0g. Utilizamacum imaginea alternativa a lui C1 (�H) si de�nim variatia gauge a unei clase din C1(P )

M prin��" [F ]y = [�"F ]y. Atunci, de�nitia notiunii de obsevabila clasica ne arata ca [F ]y 2

C1(P )M este

observabila clasica daca��" [F ]y = [�"F ]y = [0]y : (355)

Acum, multimea observabilelor clasice este data de Obs2 =n[F ]y 2

C1(P )M j��� [F ]y = [�"F ]y = [0]y

o.

Relatiile (353)�(355) evidentiaza doua descrieri alternative ale notiunii de observabila clasica (datede Obs1 si Obs2). Tinand cont de (325) si (354), gasim ca atat Obs1 cat si Obs2 formeaza spatiuvectorial (acestea sunt subspatii vectoriale ale lui C1 (�H), respectiv

C1(P )M ). Mai mult, relatiile

(326) si (354) ne asigura ca produsul este operatie interna atat in Obs1, cat si in Obs2. In concluzie,Obs1 si Obs2 sunt algebre multiplicative (acestea sunt subalgebre ale lui C1 (�H), respectiv

C1(P )M ).

Fie f1 = F1j�H si f2 = F2j�H doua elemente arbitrare din Obs1. Construim obiectele F 01 =F1 + �a0Ga0 si F

02 = F2 + �a0Ga0 , unde �

a0 si �a0 sunt elemente din C1 (P ). Evident, avem caF 01j�H = F1j�H = f1 si F 02j�H = F2j�H = f2. In aceasta situatie, obtinem relatia [F 01; F

02]����H

=

[F1; F2]�j�H . Ultima relatie evidentiaza ca paranteza Dirac pe C

1 (P ) induce o paranteza Dirac peObs1 prin relatia [f1; f2]

� = [F1; F2]�j�H .Astfel, algebra Obs1 inzestrata cu structura de paranteaza

Dirac indusa este algebra Poisson.Din (337) si (355) gasim ca elementele claselor invariante gauge din C1(P )

M (��" [F ]y = [0]y =[�a0Ga0 ]y) veri�ca ecuatia

�"F = �a0Ga0 : (356)

Utilizand (324), ultima ecuatie conduce la

[F;Ga0 ]� = �b0a0Gb0 ; (357)

unde �b0 = �b0a0"a0 . In consecinta, elementele claselor invariante gauge din C1(P )

M sunt chiarfunctiile de clasa I. Astfel, clasele din Obs2 sunt determinate de elemente din OH . Atunci, avemca Obs2 =

n[F ]y 2

C1(P )M jF 2 OH

o. Comparand ultima relatie cu (350) deducem imediat ca

Obs2 � ObsH : (358)

Ultima relatie si Teorema 11 ne asigura ca si Obs2 este algebra Poisson.In continuare, este simplu de vazut ca aplicatia Q (din subsectiunea 3.4) induce un izomor�sm

de algebre multiplicative �Q :Obs1 !Obs2, prin intermediul relatiei �Q (f) = [F ]y. Mai mult, avemca

�Q ([f1; f2]�) = �Q

�[F1; F2]

�j�H�= [[F1; F2]

�]y : (359)

51

Atunci, utilizand (352) in (359) ajungem la relatia

�Q ([f1; f2]�) =

h[F1]y ; [F2]y

i�: (360)

Utilizand temporar notatiile [f1; f2]� = f1 � f2 si

h[F1]y ; [F2]y

i�= [F1]y � [F2]y, formula (360)

conduce la �Q (f1 � f2) = [F1]y � [F2]y = �Q (f1) � �Q (f2), de unde rezulta ca �Q este izomor�sm dealgebre Poisson. In sensul acestui izomor�sm avem ca

Obs1 = Obs2 � fobservabile clasice Hamiltonieneg : (361)

Izomor�smul stabilit anterior ne asigura ca cele doua descrieri ale notiunii de observabila clasicasunt echivalente. Deoarece atat Obs1 cat si Obs2 sunt algebre Poisson, ajungem la urmatoareateorema.

Teorema 12Algebra fobservabile clasice Hamiltonieneg este algebra Poisson.

Sa investigam rolul conditiei (355) din de�nitia notiunii de observabila clasica. Dupa cum amvazut, aceasta conditie conduce la relatia (357) care poate � rescrisa sub forma [F;Ga0 ]

� � 0.Substituind ultima formula in (313)�(314), ajungem la ecuatiile

_F � [F;H0]� ; Ga0 � 0: (362)

Observam ca in ecuatiile (362) nu mai apar functiile arbitrare �a0 . Atunci, solutiile ecuatiilor (362)vor �complet determinate de conditiile initiale si nu vor depinde de functii arbitrare. In consecinta,solutiile F ale ecuatiilor (362) sunt functii relevante din punct de vedere �zic (deoarece sunt completdeterminate de ecuatiile de miscare). Astfel, clasele corespunzatoare din Obs2 sunt generate defunctii din C1 (P ) care sunt relevante din punct de vedere �zic. Deoarece solutiile ecuatiilor (362)sunt functii relevante din punct de vedere �zic, atunci si restrictia acestora la C1 (�H) va conducela functii f = F j�H relevante din punct de vedere �zic. In concluzie, elementele din Obs1 suntfunctii din C1 (�H) care sunt relevante din punct de vedere �zic.

3.7 Conditii gauge

Am vazut ca ecuatiile de miscare (362) ale elementelor claselor de observabile clasice au solutiacomplet determinata de conditiile initiale. Totusi, pentru functii arbitrare pe spatiul fazelor, solu-tiile ecuatiilor de miscare (313)�(314) depind in general de functii arbitrare. Pentru a elimina acestarbitrariu, trebuie sa �xam functiile arbitrare �a0 care apar in (313). Pentru aceasta, putem alegeniste conditii gauge canonice Ca0 (z) � 0, astfel incat det[Ca0 ; Gb0 ]

� 6= 0. Impunand consistenta intimp a conditiilor gauge canonice, _Ca0 (z) � 0, din (313) determinam imediat functiile arbitrare�a0 � ��a0b0 [Cb0 ;H0]

�, unde �a0b0 este inversa lui �a0b0 = [Ca0 ; Gb0 ]� (a se vedea referinta [2]).

O alta modalitate, consta in a �xa functiile �a0 in termenii variabilelor canonice za prin niste relatiide tipul

�a0 = ka0 (z) ; (363)

unde functiile ka0 (z) 2 C1 (P ) sunt presupuse cunoscute. Relatiile (363) reprezinta un set deconditii gauge necanonice (�multiplier gauge�). Utilizand conditiile gauge (363), ecuatiile (313)�(314) capata forma

_F � [F;H0]� + ka0 (z) [F;Ga0 ] ; (364)

52

Ga0 � 0: (365)

Ecuatiile (364)�(365) reprezinta ecuatiile de miscare �xate gauge pentru orice functie pe spatiulfazelor. Comparand (364)�(365) cu (362), putem spune ca ecuatiile de miscare ale elementelorclaselor de observabile clasice (in descrierea Obs2) se pot obtine din (313)�(314) utilizand conditiilegauge necanonice �a0 = 0.

53

4 Existenta simetriei BRST Hamiltoniene

In aceasta sectiune vom demonstra (constructiv) ca teoriile supuse la constrangeri de clasa I posedao simetrie rigida echivalenta (intr-un sens ce va � precizat ulterior) cu simetria gauge, numitasimetrie BRST Hamiltoniana.

4.1 Algebra BRST Hamiltoniana

Vom realiza constructia simetriei BRST Hamiltoniene in directa corelatie cu teorema perturbatiiloromologice. In consecinta, este necesar sa dezvoltam un formalism care sa ne mentina in conditi-ile teoremei perturbatiilor omologice. Prima problema care apare o reprezinta constructia algebreiBRST Hamiltoniene. Dupa cum am vazut in subsectiunea 2.9, algebra A care apare in teorema per-turbatiilor omologice admite trei graduari simultane (plus graduarea Z2). Doua dintre acestea suntN-graduari (corespunzatoare gradelor rez si deg), iar cea de-a treia este Z-graduare (corespunza-toare gradului grt= deg�rez). Pentru a ne mentine in conditiile teoremei perturbatiilor omologice,trebuie sa graduam algebra BRST in mod similar. Existenta simultana a celor trei graduari (douaN-graduari si o Z-graduare) ne arata ca putem construi algebra BRST Hamiltoniana K ca o al-gebra polinomiala37 generata de anumiti generatori. Acesti generatori trebuie sa �e determinatide structura teoriei generice supusa la constrangeri de clasa I, analizata in sectiunea 3. Obiecteleprimare ale teoriei considerate sunt variabilele spatiului fazelor redus (za)a=1;���M . Acestea trebuiealese in mod obligatoriu ca un prim set de generatori. Alte obiecte relevante ale teoriei consideratesunt constrangerile de clasa I. Pentru �ecare �ecare constrangere de clasa I, Ga0 � 0, introducemcate o pereche de variabile (�a0 ;Pa0). Variabila �a0 se numeste ghost, in timp ce Pa0 se numesteantighost. Vom alege ghosturile si antighosturile (�a0 ;Pa0)a0=1;��� ;A0 ca �ind un alt set de genera-tori. (Daca functiile Ga0 sunt reductibile de ordinul unu [2], pentru �ecare functie de reductibilitateZa0 a1 trebuie sa introducem o noua pereche (�a1 ;Pa1), unde �a1 se numeste ghost de ghost iar Pa1se numeste antighost de antighost. Daca teoria este reductibila de ordin superior, pentru �ecarefunctie de reductiblitate de ordin doi, trei, etc. introducem noi perechi �ghost-antighost�). In con-secinta, pentru o teorie supusa la constrangeri ireductibile de clasa unu, generatorii algebrei BRSTHamiltoniene vor � obiectele fza; �a0 ;Pa0g38. Asociem generatorilor algebrei BRST Hamiltonienetrei grade: paritatea Grassmann ("), numarul de antighost (antigh) si numarul pur de ghost (pgh).De�nim gradele generatorilor algebrei BRST dupa cum urmeaza:

"za = 0; "�a0 = 1; "Pa0 = 1; (366)

antigh (za) = 0; antigh (�a0) = 0; antigh (Pa0) = 1; (367)

pgh (za) = 0; pgh (�a0) = 1; pgh (Pa0) = 0: (368)

Deoarece ghosturile si antighosturile (corespondente) au aceeasi paritate Grassmann, vom extindestructura de paranteza Dirac (288) astfel incat sa avemh

za; zbiext

=hza; zb

i�= !ab (z) ; [za; �a0 ]ext = 0; [z

a;Pa0 ]ext = 0; (369)h�a0 ; �b0

iext

= 0; [Pa0 ;Pb0 ]ext = 0;hPa0 ; �b0

iext=h�b0 ;Pa0

iext= �� b0

a0 : (370)

Structura de paranteza de�nita de (369)�(370) se numeste paranteza Poisson generalizata. Extin-dem si spatiul fazelor original P prin adaugarea variabilelor canonic conjugate (�a0 ;Pa0). Spatiul37Polinomialitatea algebrei BRST este o consecinta directa a faptului ca cele trei graduari sunt N sau Z-graduari.

Totusi, nu vom impune nicio restrictie asupra gradului maxim al polinoamelor.38Daca teoria este reductibila de ordinul unu, generatorii algebrei BRST sunt fza; �a0 ;Pa0 ; �a1 ;Pa1g.

54

fazelor descris de coordonatele fza; �a0 ;Pa0g va � numit spatiul fazelor extins. Vom nota spatiulfazelor extins prin Pext. Pe spatiul fazelor extins introducem o noua operatie de�nita prin

(AB)� = B�A�; (A�)� = A; (�)� = ��; (�A)� = ��A�; (371)

unde � 2 C, iar �� este conjugatul complex al lui �. Operatia ���se numeste involutie (�conjugarecomplexa�). Obiectul A se numeste real daca A� = A si imaginar daca A� = �A. Extindemde�nitia operatiei de involutie prin

(za)� = za; (�a0)� = �a0 ; (Pa0)� = �Pa0 ; (372)�

@LA

@yA

��=

@RA�

@ (yA)�;

�@RA

@yA

��=

@LA�

@ (yA)�; yA = fza; �a0 ;Pa0g : (373)

Introducem acum un nou grad, numit numar de ghost (gh), prin relatia

gh (A) = pgh (A)� antigh (A) ; 8A 2 K: (374)

Utilizand (367)�(368) si (374) ajungem la

gh (za) = 0; gh (�a0) = 1; gh (Pa0) = �1: (375)

Relatiile (367)�(368) si (375) evidentiaza ca: a) nu este necesar ca algebra BRST Hamiltoniana sa�e polinomiala in variabilele originale za (deoarece antigh (za) = 0, pgh (za) = 0 si gh (za) = 0); b)algebra BRST trebuie sa �e polinomiala in generatorii f�a0 ;Pa0g (deoarece acestia au cel putin ungrad nenul). Atunci, cea mai generala realizare a algebrei BRST Hamiltoniene K este de algebra apolinoamelor in generatorii f�a0 ;Pa0g, unde coe�cientii polinoamelor sunt functii din C1 (P )39

K = C [Pa0 ] C1 (P )C [�a0 ] : (376)

In particular, avem ca C1 (P ) C [�a0 ] este algebra polinoamelor in ghosturi ai caror coe�cientisunt functii din C1 (P ), C1 (�H) C [�a0 ] reprezinta algebra polinoamelor in ghosturi ai carorcoe�cienti sunt functii din C1 (�H), in timp ceMC [�a0 ] descrie algebra algebra polinoamelorin ghosturi ai caror coe�cienti sunt functii dinM (functii care se anuleaza pe �H). Fiecare dintrecele trei algebre sunt subalgebre ale lui K. Mai mult, deoareceM este ideal in C1 (P ) (a se vedeasubsectiunea 3.4) rezulta imediat ca M C [�a0 ] este ideal in C1 (P ) C [�a0 ]. Atunci, putemconstrui algebra factor (C1 (P )C [�a0 ]) = (MC [�a0 ]), care este algebra claselor de echivalentade polinoame din (C1 (P )C [�a0 ]) cu proprietate ca doua polinoame dintr-o clasa sunt echivalentedaca si numai daca difera printr-un polinom dinMC [�a0 ]. Utilizand un rationament similar cucel din subsectiunea 3.4 deducem ca

C1 (�H)C [�a0 ] =C1 (P )C [�a0 ]MC [�a0 ] : (377)

Relatiile (366) ne asigura ca algebra K este Z2-graduata (supercomutativa)

K = K(0) �K(1); AB � (�)"A"B BA = 0; "AB = ("A + "B)mod 2; (378)

"A =

�0; daca A 2 K(0);1; daca A 2 K(1): (379)

39 In cazul in care teoria este reductibila de ordinul unu algebra BRST Hamiltoniana are forma K = C [Pa0 ;Pa1 ]C1 (P )C [�a0 ; �a1 ].

55

Formula (367) conduce la o N-graduare a lui K in termenii gradului antigh

K = �k2NKk; antigh (A) = k , A 2 Kk; (380)

antigh (A) = k; antigh (B) = l) antigh (AB) = k + l: (381)

Similar, relatia (368) genereaza o N-graduare a lui K in termenii gradului pgh

K = �i2N

�Ki; pgh (A) = i, A 2 �Ki; (382)

pgh (A) = i; pgh (B) = j ) pgh (AB) = i+ j: (383)

In sfarsit, formula (375) determina o Z-graduare a lui K in termenii gradului gh

K = �m2Z

�Km; gh (A) = m, A 2 �Km; (384)

gh (A) = m; gh (B) = n) gh (AB) = m+ n: (385)

Astfel, am construit algebra BRST ca o algebra multiplicativa supercomutativa inzestrata atatcu graduarile (380)�(381), (382)�(383) si (384)�(385), cat si cu structura de paranteza Poissongeneralizata. In concluzie, algebra BRST este algebra Poisson.

4.2 Cerintele de baza ale simetriei BRST Hamiltoniene

Cerintele standard impuse simetriei BRST Hamiltoniene sunt urmatoarele:i) Simetria BRST Hamiltoniana este o diferentiala

sH : K ! K; K = �m2Z

�Km; (386)

astfel incat pentru orice A,B 2 K de paritati Grassmann bine de�nite avem ca

sH (�A+ �B) = �sH (A) + �sH (B) ; (387)

"sH = 1; sH (AB) = A (sHB) + (�)"B (sHA)B; (388)

s2H = 0�, s2HA = 0; 8A 2 K

�; (389)

gh (sH) = 1: (390)

ii) Algebra de coomologie H0 (sH) =�KersHIm sH

�0este izomorfa cu algebra observabilelor clasice

HamiltonieneH0 (sH) = fobservabile clasice Hamiltonieneg : (391)

iii) Simetria BRST Hamiltoniana este generata canonic

sHA = [A;]ext ; (392)

unde este generatorul canonic al lui sH . Generatorul canonic se mai numeste sarcina BRST.Ecuatiile (389) si (391) sunt ecuatiile de baza ale formalismului BRST Hamiltonian. In contin-

uare vom construi pe sH astfel incat sa veri�ce cele doua ecuatii.

56

4.3 Ideea de baza a constructiei simetriei BRST Hamiltoniene

Dupa cum se poate vedea din subsectiunea anterioara, diferentiala BRST joaca rolul diferentialeiR din teorema perturbatiilor omologice. Astfel, pentru a construi pe sH in acord cu teorema

perturbatiilor omologice este necesar sa construim analogii operatorilor D, � si(1)

R din teorema

mentionata. Mai mult, analogii lui D, � si(1)

R trebuie construiti astfel incat sa �e satisfacuta siecuatia (391) (care nu este garantata de teorema perturbatiilor omologice).

In acest sens, introducem operatorul �H de�nit prin

�H : K ! K; K = �k2NKk; (393)

�H (�A+ �B) = ��H (A) + ��H (B) ; (394)

"�H = 1; �H (AB) = A (�HB) + (�)"B (�HA)B; (395)

antigh (�H) = �1; pgh (�H) = 0; (396)

cu urmatoarele proprietati40:�H

2 = 0�) �H

2A = 0�; (397)

H0 (�H) = C1 (�H)C [�a0 ] ; (398)

Hk (�H) = 0; k 2 N; k > 0: (399)

Relatiile (393)�(397) arata ca �H este diferentiala in algebra K = �k2NKk. Formulele (398)�(399)

evidentiaza ca algebra diferentiala graduata�K = �

k2NKk; �H

�realizeaza o rezolutie omologica a

algebrei C1 (�H)C [�a0 ]. Gradul de rezolutie este in acest caz numarul de antighost antigh. Op-eratorul �H astfel introdus se numeste diferentiala Koszul-Tate. Remarcam faptul ca diferentialaKoszul-Tate joaca rolul diferentialei D din teorema perturbatiilor omologice. Totusi, diferentialaKoszul-Tate satisface o proprietate suplimentara fata de cele cerute de teorema perturbatiilor omo-logice. Aceasta proprietate, data de formula (398), este necesara pentru a deduce relatia (391).

Introducem acum cel de-al doilea operator fundamental care intra in constructia diferentialeiBRST prin

H : K ! K; K = �i2N

�Ki; (400)

H (�A+ �B) = � H (A) + � H (B) ; (401)

" H = 1; H (AB) = A ( HB) + (�)"B ( HA)B; (402)

antigh ( H) = 0; pgh ( H) = 1; (403)

cu proprietatile

�H H + H�H = 0; 2H = ��H(1)s H �

(1)s H�H ;

(1)s H 2 Der (K) ; (404)

antigh

�(1)s H

�= 1; pgh

�(1)s H

�= 2; (405)

40 In cazul in care teoria este reductibila de ordinul unu proprietatea (398) capata forma H0 (�) = C1 (�) C [�a0 ; �a1 ].

57

H0 (� H jC1 (�H)C [�a0 ]) = fobservabile clasice Hamiltonieneg ; (406)

unde � H este diferentiala indusa de H in H� (�H) = H0 (�H) = C1 (�H) C [�a0 ]. Formulele(400)�(403) arata ca H este o derivare impara in algebra K = �

i2N�Ki. Relatiile (404)�(405) ev-

identiaza ca H este diferentiala modulo �H . Din acest motiv, H induce o diferentiala � H inH� (�H) = H0 (�H) = C1 (�H)C [�a0 ]. Operatorul H astfel introdus se numeste derivata exte-rioara longitudinala. Remarcam faptul ca derivata exterioara longitudinala joaca rolul operatorului

� din teorema perturbatiilor omologice (in timp ce operatorul(1)s H care apare in cea de-a doua re-

latie din (404) joaca rolul lui(1)

R). Totusi, derivata exterioara longitudinala satisface o proprietatesuplimentara fata de cele cerute de teorema perturbatiilor omologice. Aceasta proprietate, data deformula (406), este necesara pentru a obtine relatia (391).

Daca reusim sa construim operatorii �H , H si(1)s H care satisfac (393)�(397) si (399)�(405),

rezulta ca suntem in conditiile teoremei perturbatiilor omologice. Aceasta ne asigura ca exista odiferentiala

sH = �H + H +(1)s H + � � � ; s2H = 0; (407)

a carei coomologie este data de

Hm (sH) = (H�m (�H))0 = 0; m < 0; (408)

Hm (sH) = Hm (� H jH0 (�H)) ; m � 0: (409)

Daca �H si H sunt construiti astfel incat acestia satisfac in plus (398) respectiv (406), atunci (409)ne conduce la

H0 (sH) = H0 (� H jH0 (�H)) = H0 (� H jC1 (�H)C [�a0 ]) = fobservabile clasice Hamiltonieneg ;(410)

care nu este altceva decat ecuatia (391). In aceste conditii, existenta simetriei BRST este demon-strata.

Mentionam faptul ca teorema perturbatiilor omologice garanteaza ca izomor�smul (409) estedoar izomor�sm de algebre multiplicative (a se vedea relatiile (270)�(271) din demonstratia teoremei8). In consecinta, izomor�smul (391) este (in acest stadiu) izomor�sm de algebre multiplicative.

Faptul ca sH este generat canonic nu este garantat de teorema perturbatiilor omologice. Pentrua implementa actiunea canonica a lui sH sunt necesare noi rezultate, care vor � deduse ulterior.

4.4 Diferentiala Koszul-Tate

In aceasta sectiune vom construi diferentiala Koszul-Tate. Presupunem ca �H satisface relatiile(393)�(396). Atunci, formulele (394)�(396) ne asigura ca este su�cient sa de�nim actiunea lui �Hpe generatorii algebrei BRST. In continuare, vom arata ca �H de�nit prin relatiile

�Hza = 0; �H�

a0 = 0; �HPa0 = �Ga0 ; (411)

satisface proprietatile (397)�(399). In (411), Ga0 reprezinta functiile care apar in constrangerile declasa I (296). Prima relatie din (411) arata ca

�HF (za) = 0; 8F (za) 2 C1 (P ) : (412)

Initial aratam ca �H veri�ca proprietatea (397). Din (411) si (412), deducem relatiile

�2Hza = 0; �2H�

a0 = 0; �2HPa0 = ��HGa0 = 0; (413)

58

care arata ca �H satisface proprietatea (397) (�H este diferentiala).In continuare, aratam ca �H veri�ca proprietatea (398). De�nitiile (411) ne asigura ca

�HA = 0; 8A 2 C1 (P )C [�a0 ] : (414)

Pe de alta parte, avem ca (Ker�H)0 = fA 2 K; antigh (A) = 0j�HA = 0g. Atunci, conditiile simul-tane (A 2 K; antigh (A) = 0) arata ca A 2 C1 (P )C [�a0 ], astfel ca

(Ker�H)0 = fA 2 C1 (P )C [�a0 ] j�HA = 0g : (415)

Relatiile (414) si (415) evidentiaza ca

(Ker�H)0 = C1 (P )C [�a0 ] : (416)

Fie A un element arbitrar dinMC [�a0 ]. Atunci, rezulta ca

A = �a0 (za; �a0)Ga0 ; (417)

unde �a0 (za; �a0) 2 C1 (P )C [�a0 ]. Din ultima relatie si (411) deducem ca

8A 2MC [�a0 ]) (A = �HB; B 2 K; antigh (B) = 1) ; (418)

undeB = ��a0 (za; �a0)Pa0 : (419)

Tinand cont ca(Im �H)0 = fA 2 Kj9B 2 K; A = �HB; antigh (B) = 1g ; (420)

din (418) si (420) ajungem la(Im �H)0 =MC [�

a0 ] : (421)

Atunci, relatiile (416), (421) si (377) conduc la formula

H0 (�H) =

�Ker�HIm �H

�0

=C1 (P )C [�a0 ]MC [�a0 ] = C1 (�H)C [�a0 ] ; (422)

care arata ca �H veri�ca proprietatea (398).In �nal, vom arata ca �H veri�ca si proprietatea (399). Conform relatiei (63), trebuie sa aratam

ca(Ker�H)k = (Im �H)k ; k 2 N; k > 0;

unde

(Ker�H)k = fA 2 K; antigh (A) = kj�HA = 0g ; (423)

(Im �H)k = fA 2 K; antigh (A) = kj9B 2 K; A = �HB; antigh (B) = k + 1g: (424)

Consideram k > 0. Pentru a gasi pe (Ker�H)k, pornim de la expresia generala a unui element cunumarul de antighost k. Acesta are forma

(k)

A = �a0b0���c0�za; �d0

�Pa0Pb0 � � � Pc0 ; �a0b0���c0

�za; �d0

�2 C1 (P )C [�a0 ] ; (425)

59

unde numarul P-urilor din membrul drept al lui (425) este egal cu k. Mai mult, deoarece P-urilesunt obiecte fermionice, marimile �a0b0���c0

�za; �d0

�trebuie sa �e complet antisimetrice. Tinand

cont de (411), conditia �H(k)

A = 0 (,(k)

A 2 (Ker�H)k) conduce la ecuatia

�k�a0b0���e0c0�za; �d0

�Pa0Pb0 � � � Pe0Gc0 = 0: (426)

Deoarece teoria este ireductibila (a se vedea (299)�(300)), solutia generala a ultimei ecuatii estedata de

�a0b0���e0c0�za; �d0

�= �a0b0���e0c0f0

�za; �d0

�Gf0 ; (427)

unde obiectele �a0b0���e0c0f0�za; �d0

�2 C1 (P )C [�a0 ] sunt complet antisimetrice. Astfel, cea mai

generala forma a elementelor din (Ker�H)k este exprimata prin

(k)

A = �a0b0���e0c0f0�za; �d0

�Pa0Pb0 � � � Pc0Gf0 : (428)

Utilizand din nou (411), ajungem la formula

(k)

A = �H

�� 1

k + 1�a0b0���e0c0f0

�za; �d0

�Pa0Pb0 � � � Pc0Pf0

�; (429)

care evidentiaza ca(k)

A 2 (Im �H)k. In consecinta, am obtinut ca (Ker�H)k = (Im �H)k, astfel incat

Hk (�H) = 0; k > 0: (430)

In consecinta, �H de�nit prin relatiile (411) satisface si proprietatea (399). In concluzie, diferentialaKoszul-Tate este complet construita.

Exemplea) particula libera relativistaActiunea Lagrangiana pentru particula relativista libera are expresia

SL0 [x�; e] = �1

2

�2Z�1

d�

�_x� _x�e

+m2e

�; (431)

unde x� si e sunt variabile bosonice. Pentru acest model, constrangerile de clasa I au forma [2]

G1 � pe � 0; G2 �1

2

�p�p

� �m2�� 0; (432)

unde pe si p� sunt impulsurile conjugate cu e si x�. Corespondentele dintre teoria generala simodelul considerat sunt date de

za $ (x� (�) ; e (�) ; p� (�) ; pe (�)) ; Ga0 $�pe (�) ;

1

2

�p�p

� (�)�m2��

; (433)

�a0 $��1 (�) ; �2 (�)

�; Pa0 $ (P1 (�) ;P2 (�)) :; (434)

Algebra BRST pentru acest model are forma K = C [P1;P2]C1 (x�; e; p�; pe)C��1; �2

�. Atunci,

�H de�nit prin relatiile

�Hx� (�) = 0 = �Hp� (�) ; �He (�) = 0 = �Hpe (�) ; �H�

1 (�) = �H�2 (�) = 0; (435)

60

�HP1 (�) = �pe (�) ; �HP2 (�) = �1

2

�p�p

� (�)�m2�; (436)

este nilpotent (�2H = 0) si realizeaza o rezolutie omologica a lui C1 (�H)C

��1; �2

�.

b) campul electromagnetic liberAcest sistem este descris la nivel Lagrangian de actiunea

SL0 [A�] = �1

4

Zd4xF�� (x)F�� (x) ; (437)

unde am utilizat notatia

F�� (x) = @x[�A�] (x) � @x�A� (x)� @x�A� (x) : (438)

In acest exemplu, constrangerile de clasa I au forma [2]

G1 � �0 � 0; G2 � �@i�i � 0; (439)

unde �0 (x) si �i (x) sunt impulsurile conjugate cu A0 (x) si Ai (x). Corespondentele dintre teoriagenerala si exemplul considerat sunt date de

za $ (A� (x) ; �� (x)) ; Ga0 $��0 (x) ;�@i�i (x)

�; (440)

�a0 $��1 (x) ; �2 (x)

�; Pa0 $ (P1 (x) ;P2 (x)) : (441)

Algebra BRST pentru acest model este data de K = C [P1;P2]C1 (A�; ��)C��1; �2

�. Atunci,

�H de�nit prin relatiile

�HA� (x) = 0 = �H�� (x) ; �H�

1 (x) = �H�2 (x) = 0; (442)

�HP1 (x) = ��0 (x) ; �HP2 (x) = @i�i (x) ; (443)

este nilpotent (�2H = 0) si realizeaza o rezolutie omologica a lui C1 (�H)C

��1; �2

�. �

4.5 Derivata exterioara longitudinala

In continuare vom construi derivata exterioara longitudinala. Presupunem ca H satisface relatiile(400)�(403). Atunci, formulele (401)�(403) ne asigura ca este su�cient sa de�nim actiunea lui Hpe generatorii algebrei BRST. In continuare, de�nim H prin relatiile

Hza = [za; Ga0 ]

� �a0 ; H�a0 = �1

2Ca0b0c0�

b0�c0 ; HPa0 = �Cb0a0c0�c0Pb0 (444)

unde functiile de structura Ca0b0c0 sunt cele care apar in (298).Extindem de�nitia lui H pe functii din C1 (P ) prin relatia

HF = [F;Ga0 ]� �a0 : (445)

Observam ca HF are exact forma transformarilor gauge (324), in care parametrii gauge �a0 suntinlocuiti de ghosturile �a0 . Aplicand H pe primele doua relatii din (411) si �H pe primele douarelatii din (444) obtinem direct ca

(�H H + H�H) za = 0; (�H H + H�H) �

a0 = 0: (446)

61

Actionand cu �H pe ultima formula din (444), cu H pe ultima formula din (411) si tinand cont deprima de�nitie din (444) gasim ca

�H HPa0 = Cb0a0c0�c0Gb0 ; H�HPa0 = � HGa0 = � [Ga0 ; Gc0 ]

� �c0 ; (447)

de unde rezulta ca (�H H + H�H)Pa0 = ��[Ga0 ; Gc0 ]

� � Cb0a0c0Gb0��c0 . Utilizand (298) in ul-

tima ecuatie ajungem imediat la

(�H H + H�H)Pa0 = 0: (448)

Formulele (446) si (448) arata ca operatorii �H si H astfel de�niti satisfac prima relatie din (404)(�H anticomuta cu H).

Investigam acum cea de-a doua relatie din (404). Pentru aceasta, de�nim o derivare(1)s H : K !

K prin relatiile(1)s Hz

a =1

2

hza; Ca0b0c0

i��b0�c0Pa0 ; (449)

(1)s H�

a0 = �16�a0e0b0c0d0�

b0�c0�d0Pe0 ; (450)

(1)s HPa0 =

1

4�d0e0a0b0c0�

b0�c0Pd0Pe0 ; (451)

unde functiile de structura �a0e0b0c0d0 apar in identitatile (312). Aplicand H pe prima relatie din(444) si utilizand identitatea Jacobi, obtinem ca

2Hza =

1

2

�[za; [Gb0 ; Gc0 ]

�]� � [za; Ga0 ]�Ca0b0c0

��b0�c0 : (452)

Substituind (298) in (452) ajungem la

2Hza =

1

2

hza; Ca0b0c0

i��b0�c0Ga0 : (453)

Pe baza primei relatii din (411) si a formulei (449) rezulta ca

1

2

hza; Ca0b0c0

i��b0�c0Ga0 = �

��H

(1)s H +

(1)s H�H

�za; (454)

astfel incat ajungem la

2Hza = �

��H

(1)s H +

(1)s H�H

�za; (455)

relatie care arata ca cea de-a doua proprietate din (404) este valabila pentru variabilele za. Actio-nand cu H pe cea de-a doua formula din (444) deducem ca

2H�a0 = �1

6

�Ca0e0[b0C

e0c0d0]

+hCa0[b0c0 ; Gd0]

i���b0�c0�d0 : (456)

Utilizand (312) in (456) gasim ca

2H�a0 = �1

6�a0e0b0c0d0�

b0�c0�d0Ge0 : (457)

Pe baza celei de-a doua formule din (411) si a relatiei (450) obtinem ca

�16�a0e0b0c0d0�

b0�c0�d0Ge0 = ���H

(1)s H +

(1)s H�H

��a0 : (458)

62

Din (457)�(458) gasim ca

2H�a0 = �

��H

(1)s H +

(1)s H�H

��a0 ; (459)

relatie care arata ca cea de-a doua proprietate din (404) este valabila si pentru ghosturile �a0 .Aplicam acum H pe cea de-a treia relatie din (444) rezulta ca

2HPa0 =1

2

�Cd0e0[a0C

e0b0c0]

+hCa0[a0b0 ; G c0]

i��hCd0b0c0 ; Ga0

i���b0�c0Pd0 : (460)

Utilizand din nou (312), formula (460) capata forma

2HPa0 =1

2

��d0e0a0b0c0Ge0 �

hCd0b0c0 ; Ga0

i���b0�c0Pd0 : (461)

Din cea de-a treia formula din (411) precum si din relatiile (449) si (451) ajungem la

1

2

��d0e0a0b0c0Ge0 �

hCd0b0c0 ; Ga0

i���b0�c0Pd0 = �

��H

(1)s H +

(1)s H�H

�Pa0 : (462)

Combinand (461) cu (462) deducem ca

2HPa0 = ���H

(1)s H +

(1)s H�H

�Pa0 : (463)

Formulele (455), (459) si (463) arata ca de-a doua proprietate din (404) este veri�cata.

Astfel, am reusit sa construim operatorii �H , H si(1)s H care satisfac (393)�(405). In aceste

conditii, dupa cum am discutat in subsectiunea 4.3, teorema perturbatiilor omologice ne asiguraca exista diferentiala BRST, sH , care satisface (407)�(409). Ramane sa aratam ca are loc si relatia(410). Este simplu de vazut ca graduarea (382)�(383) induce o graduare a lui H0 (�H) de forma

H0 (�H) = �i2N(H0 (�H))

i = �i2N

�C1 (P )C [�a0 ]MC [�a0 ]

�i= �

i2N(C1 (�H)C [�a0 ])i ; (464)

cu

(C1 (P )C [�a0 ])i =

((0)

A(i) = ��F�e

�(i) (�

a0) ; F� 2 C1 (P ) ;

antigh�e�(i) (�

a0)�= 0; pgh

�e�(i) (�

a0)�= io; (465)

(MC [�a0 ])i =

((0)

A(i) = ���a0 �Ga0e

�(i) (�

a0) ; ��0� 2 C1 (P ) ;

antigh�e�(i) (�

a0)�= 0; pgh

�e�(i) (�

a0)�= io; (466)

unde e�(i) (�a0) reprezinta o baza in spatiul vectorial (C [�a0 ])i. De exemplu, o baza in (C [�a0 ])0 o

reprezinta scalarul 1, o baza in (C [�a0 ])1 este formata din ghosturile f�a0g, o baza in (C [�a0 ])2

este data de obiectele��a0�b0

a0<b0

, o baza in�C��a0�b0�c0

��3este constituita din elementele�

�a0�b0�c0a0<b0<c0

, etc. Tinand cont de (464)�(466) gasim in �nal ca

(H0 (�H))i = (C1 (�H)C [�a0 ])i =

(&(0)

A(i)

';

(0)

A(i) 2 (C1 (P )C [�a0 ])i j

63

8(0)

A(i);(0)

A(i)

0

2&(0)

A(i)

';

(0)

A(i) �(0)

A(i)

0

= ���a0 �Ga0e

�(i) (�

a0) ;

�a0 � 2 C1 (P )

; (467)

unde &(0)

A(i)

'=

���

�F� + �

a0�Ga0

�e�(i) (�

a0) jF� 2 C1 (P ) ; �a0 � 2 C1 (P ) ;

antigh�e�(i) (�

a0)�= 0; pgh

�e�(i) (�

a0)�= io: (468)

In particular, daca(0)

A(0) 2 (C1 (P )C [�a0 ])0 avem ca(0)

A(0) = F 2 C1 (P ), in timp ce pentru(0)

A(0) 2 (MC [�a0 ])0 obtinem ca(0)

A(0) = �a0Ga0 , �a0 2 C1 (P ). Atunci

(H0 (�H))0 =

�dF e ; F 2 C1 (P ) j8F; F 0 2 dF e ; F � F 0 = �a0Ga0 ; �

a0 2 C1 (P ); (469)

cudF e = fF + �a0Ga0 jF; ��0 2 C1 (P )g : (470)

Relatiile (337) si (469)�(470) arata ca

(H0 (�H))0 = C1 (�H) ; dF e = [F ]y ; (471)

unde [F ]y sunt clasele dinC1(P )M = C1 (�H). Pe de alta parte, avem ca

H i (� H jH0(�H)) =�Ker� HIm � H

�i; (472)

unde

(Ker� H)i =

(&(0)

A(i)

'2 (H0 (�H))i j� H

&(0)

A(i)

'=

&�H

(1)

B

0

(i+1)

';(1)

B

0

(i+1) 2 K); (473)

(Im � H)i =

(&(0)

A(i)

'2 (H0 (�H))i j

&(0)

A(i)

'= � H

&(0)

C (i�1)

'+

&�H

(1)

W

0

(i)

';(1)

W

0

(i) 2 K;&(0)

C (i�1)

'2 (H0 (�H))i�1 ; antigh

(1)

W

0

(i)

!= 1;pgh

(1)

W

0

(i)

!= i

): (474)

Tinand cont de (471), din (473)�(474) deducem ca

(Ker� H)0 =

([F ]y 2 C

1 (�H) j� H [F ]y =&�H

(1)

B

0

(1)

';(1)

B

0

(1) 2 K); (475)

(Im � H)0 =

n[F ]y 2 C

1 (�H) j [F ]y = [0]yo= [0]y ; (476)

unde [0]y este clasa vectorului nul din C1 (�H). In deducerea relatiei (476) am tinut cont de

faptul ca in algebra BRST nu exista elemente de tipul(0)

C (�1), precum si de faptul ca

&�H

(1)

W

0

(0)

'=

dua0Ga0e = [ua0Ga0 ]y = [0]y. Atunci, rezulta ca

H0 (� H jH0(�H)) =�Ker� HIm � H

�0= (Ker� H)

0 . (477)

64

Daca(1)

B

0

(1) 2 K, atunci(1)

B

0

(1) = Pa0�a0 b0�b0 , �a0 b0 2 C

1 (P ). In consecinta, obtinem ca

�H(1)

B

0

(1) = �a0 b0Ga0�b0 : (478)

Deoarece � H [F ]y = � H dF e = d HF e, rezulta ca (Ker� H)0 este determinat de ecuatia

� H [F ]y = d HF e =&�H

(1)

B

0

(1)

': (479)

Tinand cont de (445) si (478), ecuatia (479) capata formal�[F;Ga0 ]

� � �b0 a0Gb0��a0m=

&(0)

0 (1)

'; (480)

de unde rezulta ca[F;Ga0 ]

� � �b0 a0Gb0 = 0: (481)

Inmultind (481) cu parametrii gauge "a0 si tinand cont �"F = [F;Ga0 ]� "a0 , ajungem la

�"F = �b0Gb0 ; (482)

unde �b0 = �b0 a0"a0 . Membrul drept din ultima relatie este un obiect dinM. Atunci si membrul

stang va � un element dinM, ceea ce conduce la faptul ca

[�"F ]y =��" [F ]y = [0]y : (483)

Ultima relatie arata ca [F ]y este observabila clasica. Pe de alta parte, formula (483) este o consecinta

a ecuatiei (479). Intr-adevar, daca [F ]y veri�ca (479) ([F ]y 2 (Ker� H)0), atunci [F ]y veri�ca si (483)

([F ]y este observabila clasica). In consecinta, am obtinut ca

[F ]y 2 (Ker� H)0 ) [F ]y 2 fobservabile clasice Hamiltonieneg : (484)

Pornim acum de la relatia (483) ([F ]y este observabila clasica). Aceasta conduce imediat la formula(482). Deoarece parametrii gauge "a0 sunt arbitrari, din (482) deducem imediat (481). Inmultind

(481) cu �a0 , rezulta ca HF = �H(1)

B

0

(1) (, [F;Ga0 ]� �a0 = �b0 a0Gb0�

a0). Membrul drept din ultima

relatie de�neste o clasa din (H0 (�H))1. Atunci si membrul stang va de�ni o clasa din (H0 (�H))

1,

ceea ce conduce la faptul ca d HF e = � H dF e = � H [F ]y =&�H

(1)

B

0

(1)

'. Astfel, am obtinut ca daca

[F ]y veri�ca (483) ([F ]y este observabila clasica), atunci [F ]y veri�ca si (479) ([F ]y 2 (Ker� H)0). In

consecinta, am gasit ca

[F ]y 2 fobservabile clasice Hamiltonieneg ) [F ]y 2 (Ker� H)0 : (485)

Din (477) si (484)�(485) deducem ca

H0 (� H jH0(�H)) = (Ker� H)0 = fobservabile clasice Hamiltonieneg : (486)

Combinand ultima relatie cu (409), ajungem imediat la (410). In concluzie, am reusit sa construim

operatorii �H , H si(1)s H care satisfac (393)�(406). Conform celor discutate in subsectiunea 4.3,

acesti operatori asigura existenta simetriei BRST cu proprietatile (386)�(391).

65

In �nal mentionam ca subspatiile vectoriale H i (� H jH0(�H)) sunt in general netriviale pentrui > 0.

Exemplea) particula libera relativistaPentru particula libera relativista constrangerile (432) sunt abeliene. In consecinta, de�nitiile

(444) conduc la

Hx� (�) = p� (�) �2 (�) ; Hp

� (�) = 0; He (�) = �1 (�) ; Hpe (�) = 0; (487)

H�1 (�) = H�

2 (�) = 0; HP1 (�) = HP2 (�) = 0; (488)

in timp ce relatiile (449)�(451) sunt date de

(1)s Hx

� (�) = 0;(1)s Hp

� (�) = 0;(1)s He (�) = 0;

(1)s Hpe (�) = 0; (489)

(1)s H�

1 (�) = 0;(1)s H�

2 (�) = 0;(1)s HP1 (�) =

(1)s HP2 (�) = 0: (490)

In acest caz H este o diferentiala veritabila, 2H = 0.b) campul electromagnetic liberPentru campul electromagnetic liber constrangerile (439) sunt de asemenea abeliene. Atunci,

de�nitiile (444) se reduc la

HA0 (x) = �1 (x) ; HA

i (x) = @i� (x) ; H�� = 0; (491)

H�1 (x) = H�

1 (x) = 0; HP1 (x) = HP2 (x) = 0; (492)

in timp ce relatiile (449)�(451) capata forma

(1)s HA

� (x) = 0 =(1)s H��;

(1)s H�

1 (x) =(1)s H�

2 (x) = 0;(1)s HP1 (x) =

(1)s HP2 (x) = 0: (493)

Si in acest caz H este o diferentiala veritabila, 2H = 0. �

66

5 Structura canonica a simetriei BRST Hamiltoniene

Bazandu-ne pe existenta simetriei BRST Hamiltoniene, in aceasta sectiune vom implementa struc-tura canonica a acesteia. In acest sens, vom cere ca diferentiala sH sa �e generata intr-o structurade paranteza Poisson generalizata

sHA = [A;]ext ; (494)

unde este generatorul canonic al simetriei BRST Hamiltoniene (sarcina BRST).

5.1 Paranteza Poisson generalizata

Tinand cont de (369)�(370), paranteza Poisson generalizata pe spatiul fazelor extins poate � real-izata sub forma

[A1; A2]ext = [A1; A2]� + [A1; A2]�a0 ;Pa0

=

= !ab (z)@A1@za

@A2@zb

+ (�)�A1�@LA1@�a0

@LA2@Pa0

+@LA1@Pa0

@LA2@�a0

�; (495)

unde

[A1; A2]� = !ab (z)

@A1@za

@A2@zb

; (496)

[A1; A2]�a0 ;Pa0= (�)�A1

�@LA1@�a0

@LA2@Pa0

+@LA1@Pa0

@LA2@�a0

�: (497)

Observam ca primul termen din [A1; A2]ext descrie contributia bosonica (287), iar cel de-al doileacontributia fermionica datorata ghosturilor si antighosturilor. Notatia @LA

@�a0 semni�ca derivata lastanga a lui A (za; �a0 ;Pa0) in raport cu �a0 . Similar pentru celelalte derivate din (497). Tinandcont de legatura dintre derivata la stanga si derivata la dreapta

@LA

@�a0= (�)("A+1) @

RA

@�a0;@LA

@Pa0= (�)("A+1) @

RA

@Pa0; (498)

paranteza Poisson generalizata se poate exprima atat cu ajutorul derivatei la dreapta

[A1; A2]ext = !ab (z)@A1@za

@A2@zb

+ (�)�A2�@RA1@�a0

@RA2@Pa0

+@RA1@Pa0

@RA2@�a0

�; (499)

cat si cu ajutorul ambelor derivate

[A1; A2]ext = !ab (z)@A1@za

@A2@zb��@RA1@�a0

@LA2@Pa0

+@RA1@Pa0

@LA2@�a0

�: (500)

Utilizand notatia condensatayA = fza; �a0 ;Pa0g ; (501)

putem rescrie (500) sub forma

[A1; A2]ext =@RA1@yA

!AB@LA2@yB

; (502)

unde

!AB =

�!ab (z) 00 w��

�; (503)

67

cu

w�� =

�0 ��a0b0

��a0b0 0

�(504)

Formulele (500) si (502) prezinta avantajul ca nu mai implica nici o mentiune referitoare la paritatilefunctiilor A1 si A2. Paranteza Poisson generalizata are urmatoarele proprietati de baza:

a) biliniaritatea

[�1A1 + �2A2; B]ext = �1 [A1; B]ext + �2 [A2; B]ext ; (505)

[A;�1B1 + �2B2]ext = �1 [A;B1]ext + �2 [A;B2]ext : (506)

b) paranteza are numarul de ghost egal cu zero

gh ([; ]ext) = 0: (507)

c) paranteza este un obiect par"[;]ext = 0: (508)

d) antisimetria graduata

[A1; A2]ext = � (�)�A1�A2 [A2; A1]ext : (509)

In particular, avem ca[boson1;boson2]ext = � [boson2;boson1]ext ; (510)

[fermion;boson]ext = � [boson; fermion]ext ; (511)

[fermion1; fermion2]ext = [fermion2; fermion1]ext : (512)

e) proprietatea de derivare graduata

[A1A2; A3]ext = A1 [A2; A3]ext + (�)"A2"A3 [A1; A3]extA2; (513)

[A1; A2A3]ext = [A1; A2]extA3 + (�)�A1�A2 A2 [A1; A3]ext : (514)

f) identitatea lui Jacobi graduata

[[A1; A2]ext ; A3]ext + (�)�A3 (�A1+�A2 ) [[A3; A1]ext ; A2]ext + (�)

�A1 (�A2+�A3 ) [[A2; A3]ext ; A1]ext = 0:(515)

g) comportarea parantezei fata de operatia de involutie

[A1; A2]�ext = � [A

�2; A

�1]ext : (516)

h) comportarea parantezei la actiunea diferentialei BRST Hamiltoniene

sH [A1; A2]ext = [A1; sHA2]ext + (�)"A2 [sHA1; A2]ext : (517)

In continuare vom demonstra proprietatile mentionate.a) Proprietatea a) se demonstreaza direct, utilizand formula (495).b) Fie A1 si A2 doua elemente cu numarul de ghost bine determinat. Este simplu de vazut ca

gh

�@A1@za

�= gh (A1) ; gh

�@A2@zb

�= gh (A2) ; gh

�!ab (z)

�= 0 (518)

68

gh

�@LA1@�a0

�= gh (A1)� gh (�a0) = gh (A1)� 1; (519)

gh

�@LA2@Pa0

�= gh (A2)� gh (Pa0) = gh (A2) + 1 (520)

gh

�@LA1@Pa0

�= gh (A1)� gh (Pa0) = gh (A1) + 1; (521)

gh

�@LA2@�a0

�= gh (A2)� gh (�a0) = gh (A2)� 1; (522)

astfel incat

gh

�!ab (z)

@A1@za

@A2@zb

�= gh

�!ab (z)

�+ gh

�@A1@za

�+ gh

�@A2@zb

�= gh (A1) + gh (A2) ;(523)

gh

�@LA1@�a0

@LA2@Pa0

�= gh

�@LA1@�a0

�+ gh

�@LA2@Pa0

�= gh (A1) + gh (A2) ; (524)

gh

�@LA1@Pa0

@LA2@�a0

�= gh

�@LA1@Pa0

�+ gh

�@LA2@�a0

�= gh (A1) + gh (A2) : (525)

Din (523)�(525) si (495) gasim ca

gh

�!ab (z)

@A1@za

@A2@zb

�= gh

�@LA1@�a0

@LA2@Pa0

�= gh

�@LA1@Pa0

@LA2@�a0

�=

= gh (A1) + gh (A2) = gh ([A1; A2]ext) : (526)

Pe de alta parte avem ca

gh ([A1; A2]ext) = gh (A1) + gh (A2) + gh ([; ]ext) : (527)

Din (526)�(527) rezulta imediat (507).c) Fie A1 si A2 doua elemente cu paritatea Grassmann bine determinata. Rezulta simplu ca

"!ab(z)

@A1@za

@A2@zb

=

�"!ab(z) + " @A1

@za+ " @A2

@zb

�mod2 = ("A1 + "A2)mod 2; (528)

" @LA1@�a0

@LA2@Pa0

=

" @LA1@�a0

+ " @LA2@Pa0

!mod2 = ("A1 + 1 + "A2 + 1)mod 2 = ("A1 + "A2)mod 2 (529)

" @LA1@Pa0

@LA2@�a0

=

" @LA1@Pa0

+ " @LA2@�a0

!mod2 = ("A1 + 1 + "A2 + 1)mod 2 = ("A1 + "A2)mod 2: (530)

Din (528)�(530) si (495) obtinem ca

"!ab(z)

@A1@za

@A2@zb

= " @LA1@�a0

@LA2@Pa0

= " @LA1@Pa0

@LA2@�a0

= ("A1 + "A2)mod 2 = "[A1;A2]ext : (531)

Pe de alta parte avem ca

"[A1;A2]ext =�"A1 + "A2 + "[;]ext

�mod2: (532)

Din (531)�(532) rezulta imediat (508).

69

d) Pe baza formulei (496) deducem ca

[A1; A2]� = (�)�A1�A2 !ab (z) @A2

@zb@A1@za

= � (�)�A1�A2 !ab (z) @A2@za

@A1@zb

= � (�)�A1�A2 [A2; A1]� :(533)

Utilizand acum (497), ajungem la

[A1; A2]�a0 ;Pa0= (�)�A1+(�A1+1)(�A2+1)

�@LA2@�a0

@LA1@Pa0

+@LA2@Pa0

@LA1@�a0

�=

� (�)�A1�A2�(�)�A2

�@LA2@�a0

@LA1@Pa0

+@LA2@Pa0

@LA1@�a0

��= � (�)�A1�A2 [A2; A1]�a0 ;Pa0 : (534)

Substituind (533)�(534) in (495) obtinem exact proprietatea (509).e) Vom demonstra numai (513), (514) demonstrandu-se similar. Pornind de la (496), rezulta ca

[A1A2; A3]� = !ab (z)

@ (A1A2)

@za@A3@zb

= !ab (z)

�A1@A2@za

+@A1@za

A2

�@A3@zb

=

= A1

�!ab (z)

@A2@za

@A3@zb

�+ (�)�A2�A3

�!ab (z)

@A1@za

@A3@zb

�A2 =

= A1 [A2; A3]� + (�)�A2�A3 [A1; A3]�A2: (535)

Pe de alta parte, din (497) gasim ca

[A1A2; A3]�a0 ;Pa0= (�)(�A1+�A2)

�@L (A1A2)

@�a0@LA3@Pa0

+@L (A1A2)

@Pa0@LA3@�a0

�= (�)�A2 A1

�@LA2@�a0

@LA3@Pa0

+@LA2@Pa0

@LA3@�a0

�+

+(�)�A2�A3�(�)�A1

�@LA1@�a0

@LA3@Pa0

+@LA1@Pa0

@LA3@�a0

��A2 =

= A1 [A2; A3]�a0 ;Pa0+ (�)�A2�A3 [A1; A3]�a0 ;Pa0 A2 (536)

Pe baza formulei (495), din (535)�(536) obtinem ca

[A1A2; A3]ext = [A1A2; A3]� + [A1A2; A3]�a0 ;Pa0

= A1 [A2; A3]�+

A1 [A2; A3]�a0 ;Pa0+ (�)�A2�A3

�[A1; A3]

�A2 + [A1; A3]�a0 ;Pa0A2

�=

= A1 [A2; A3]ext + (�)�A2�A3 [A1; A3]extA2; (537)

care nu este altceva decat proprietatea (513).f) Aceasta proprietate se demonstreaza de asemenea prin calcul direct. Din (496) rezulta ca

[[A1; A2] ; A3]� = !ab (z)

@!cd (z)

@za@A1@zc

@A2@zd

@A3@zb

+

+!ab (z)!cd (z)

�@2A1@za@zc

@A2@zd

+@A1@zc

@A2@za@zd

�@A3@zb

: (538)

Utilizand acum (497) deducem ca

h[A1; A2]�a0 ;Pa0

; A3

i�a0 ;Pa0

= (�)(�A1+�A2) @L [A1; A2]�a0 ;Pa0

@�a0@LA3@Pa0

+@L [A1; A2]�a0 ;Pa0

@Pa0@LA3@�a0

!+

70

+(�)(�A1+�A2)�

@2LA1@�a0@�b0

@LA2@Pb0

+ (�)(�A1+1) @LA1@�b0

@2LA2@�a0@Pb0

+@2LA1@�a0@Pb0

@LA2@�b0

+

+(�)(�A1+1) @LA1@Pb0

@2LA2@�a0@�b0

�@LA3@Pa0

+ (�)(�A1+�A2)�

@2LA1@Pa0@�b0

@LA2@Pb0

+

(�)(�A1+1) @LA1@�b0

@2LA2@Pa0@Pb0

+@2LA1

@Pa0@Pb0@LA2@�b0

+ (�)(�A1+1) @LA1@Pb0

@2LA2@Pa0@�b0

�@LA3@�a0

: (539)

Sumand (538) si (539) obtinem marimea [[A1; A2]ext ; A3]ext. In continuare, [[A3; A1]ext ; A2]ext si[[A2; A3]ext ; A1]ext se obtin din [[A1; A2]ext ; A3]ext prin permutari circulare. Introducand rezultateleobtinute in membrul stang din (515) gasim (utilizand si (291)) ca acesta se anuleaza identic.

g) Pornind de la (495), avem ca

[A1; A2]�ext = ([A1; A2]

�)� + [A1; A2]��a0 ;Pa0

: (540)

In continuare, utilizand (371)�(373) si (498), gasim ca

([A1; A2]�)� =

�!ab (z)

@A1@za

@A2@zb

��=

�@A1@za

@A2@zb

�� �!ab (z)

��=�

@A2@zb

���@A1@za

�� �!ab (z)

��=

@A�2@zb

@A�1@za

!ab (z) = �!ab (z) @A�2

@za@A�1@zb

= � [A�2; A�1]� ; (541)

[A1; A2]��a0 ;Pa0

= (�)�A1�@LA1@�a0

@LA2@Pa0

+@LA1@Pa0

@LA2@�a0

��=

= (�)�A1 �

@LA2@Pa0

���@LA1@�a0

��+

�@LA2@�a0

���@LA1@Pa0

��!=

= � (�)�A1�@RA�2@Pa0

@RA�1@�a0

+@RA�2@�a0

@RA�1@Pa0

�=

��(�)�A2

�@LA�2@Pa0

@LA�1@�a0

+@LA�2@�a0

@LA�1@Pa0

��= � [A�2; A�1]�a0 ;Pa0 : (542)

Sumand (541) cu (542) membru cu membru, obtinem imediat (516).h) Utilizand formula

sH [A1; A2]ext = [[A1; A2]ext ;]ext ; (543)

identitatea lui Jacobi41 si (494), rezulta imediat (517). �Relatia (512) arata ca daca A este o functie (functionala) fermionica ("A = 1), atunci [A;A]ext 6=

0 (in general). Utilizand identitatea lui Jacobi (515) gasim ca

[[A;A]ext ; A]ext = 0; (544)

pentru orice functie (functionala) fermionica.

41Pentru a utiliza identitatea lui Jacobi trebuie sa cunoastem ". In acest stadiu putem arata ca " = 1 (a sevedea relatiile (545), (548) si (549) de mai jos).

71

5.2 Sarcina BRST

Fie A 2 K, un obiect cu numar de ghost si paritate bine determinate. Atunci, relatia (494) conducela

gh (sHA) = gh ([A;]ext) ; "sHA = "[A;]ext : (545)

Pe de alta parte, avem ca

gh (sHA) = gh (sH) + gh (A) = 1 + gh (A) ; (546)

gh ([A;]ext) = gh (A) + gh () + gh ([; ]ext) = gh (A) + gh () ; (547)

"sHA = "sH + "A = 1 + "A; "[A;]ext = "A + " + "[;]ext = "A + ": (548)

Din (545)�(548) rezulta imediat ca

gh () = 1; " = 1: (549)

In consecinta, generatorul canonic al simetriei BRST Hamiltoniene are numarul de ghost unu sieste impar. In acelasi timp, actiunea la dreapta a lui sH (a se vedea (388)) este compatibila cugenerarea canonica realizata de (494). Intr-adevar, tinand cont de (494) si (513) gasim relatia

sH (AB) = [AB;]ext = A [B;]ext + (�)"B [A;]extB =

= A (sHB) + (�)"B (sHA)B; (550)

care con�rma a�rmatia anterioara.Acum vom transfera proprietatea de nilpotenta a diferentialei BRST la nivelul sarcinii BRST.

Un calcul simplu ne conduce la s2HA = sH (sHA) = sH ([A;]ext) = [[A;]ext ;]ext = 0. Utilizandidentitatea Jacobi (515), obtinem [[;]ext ; A]ext = 0. Deoarece ultima relatie are loc pentru oriceobiect cu numar de ghost si paritate bine determinate A 2 K, rezulta ca

[;]ext = 0: (551)

Ultima ecuatie este ecuatia veri�cata de sarcina BRST. Ea exprima nilpotenta diferentialei BRSTsH la nivelul generatorului canonic . Mai mult, vom cere ca generatorul canonic sa �e real

� = : (552)

Pentru a rezolva ecuatia (551), dezvoltam solutia acesteia dupa numarul de antighost. Avem

=Xk�0

(k)

; antigh

(k)

!= k; gh

(k)

!= 1; "(k)

= 1: (553)

Din antigh

(k)

!= k si gh

(k)

!= 1 rezulta ca

pgh

(k)

!= k + 1: (554)

Substituind dezvoltarile (407) si (553) in (494) rezulta ca

(�H + H + � � � )A ="A;

(0)

+(1)

+ � � �#ext

: (555)

72

In acelasi timp, solutia ecuatiei (551) trebuie sa veri�ce niste conditii la limita. Aceste conditii lalimita pot � obtinute din cerinta ca (solutia ecuatiei (551)) sa genereze canonic unii termeni dinde�nitiile lui �H si H prin intermediul relatiei (555) (proiectate pe diverse numere de antighost).Utilizand de�nitiile (411) si (444), gasim ca pentru o teorie ireductibila este necesara o singuraconditie la limita de forma

(0)

= �a0Ga0 : (556)

De exemplu, avem ca antigh( Hza) = 0. Atunci, din (555) gasim ca

Hza =

(0)"za;

(0)

#ext

= [za; Ga0 ]ext �a0 = [za; Ga0 ]

� �a0 ; (557)

care nu este altceva decat de�nitia lui H pe variabilele originale. Notatia(k)

[A;B]ext semni�ca ele-mentul cu numar de antighost egal cu k din paranteza [A;B]ext. Similar, stiind ca antigh (�HPa0) =0, obtinem ca

�HPa0 =

(0)"Pa0 ;

(0)

#ext

=hPa0 ; �b0

iextGb0 = �Ga0 ; (558)

relatie care reprezinta de�nitia lui �H pe antighosturi.

5.3 Existenta sarcinii BRST

Fie A1,A2 2 K, cu antigh (A1) = k1 si antigh (A2) = k2. Din (367) si (496)�(497) obtinem simpluca

antigh ([A1; A2]�) = antigh (A1) + antigh (A2) = k1 + k2; (559)

antigh [A1; A2]�a0 ;Pa0= antigh (A1) + antigh (A2)� 1 = k1 + k2 � 1; (560)

astfel incat

[A1; A2]ext =(k1+k2�1)

B + � � � ; antigh (k1+k2�1)

B

!= k1 + k2 � 1; (561)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat k1+k2�1. Fie(p)

U 2

K, cu antigh (p)

U

!= p. Atunci, din (561) gasim ca

"(p)

U ;(k)

#ext

=(p+k�1)C + � � � , antigh

(p+k�1)C

!=

p+k�1, unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p+k�1.Consideram cazul k � 1. Deoarece (p+ k � 1) � p pentru k � 1 ((p+ k � 1) � p = k � 1 � 0,

pentru k � 1), rezulta ca"(p)

U ;(k)

#ext

incepe cu termeni cu numarul de antighost p

"(p)

U ;(k)

#ext

=(p)

C + � � � ; antigh (p)

C

!= p; k � 1; (562)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p. In aceste conditiiare loc urmatoarea propozitie.

73

Propozitia 4 Fie(p)

U 2 K, cu antigh (p)

U

!= p. Atunci

�H(p)

U =

(p�1)"(p)

U ;(0)

#ext

=

"(p)

U ; �a0

#�a0 ;Pa0

Ga0 =�R

(p)

U

�Pa0�HPa0 ; antigh

0BB@(p�1)"

(p)

U ;(0)

#ext

1CCA = p� 1: (563)

Demonstratie

Insertand in

"(p)

U ;

#ext

dezvoltarea (553) gasim ca

"(p)

U ;

#ext

=Xk�0

"(p)

U ;(k)

#ext

=

"(p)

U ;(0)

#ext

+Xk�1

"(p)

U ;(k)

#ext

: (564)

Substituind (562) in (564) ajungem la"(p)

U ;

#ext

=

"(p)

U ;(0)

#ext

+(p)

C + � � � ; antigh (p)

C

!= p; (565)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p. Atunci, din(565) obtinem ca

(p�1)"(p)

U ;

#ext

=

(p�1)"(p)

U ;(0)

#ext

; antigh

0BB@(p�1)"

(p)

U ;

#ext

1CCA = p� 1: (566)

Pe de alta parte, din sH(p)

U =

��H + H +

(1)s H + � � �

�(p)

U =

"(p)

U ;

#ext

si antigh

�H

(p)

U

!= p � 1,

avem ca

�H(p)

U =

(p�1)"(p)

U ;

#ext

; (567)

astfel incat din (566)�(567) rezulta ca

�H(p)

U =

(p�1)"(p)

U ;(0)

#ext

: (568)

Utilizand (556) si (495), gasim imediat ca"(p)

U ;(0)

#ext

=

"(p)

U ; �a0

#ext

Ga0 +

"(p)

U ;Ga0

#ext

�a0 =

"(p)

U ; �a0

#�a0 ;Pa0

Ga0 +

"(p)

U ;Ga0

#��a0 : (569)

Folosind (559)�(560), gasim ca

antigh

0@"(p)U ; �a0#�a0 ;Pa0

Ga0

1A = antigh

0@"(p)U ; �a0#�a0 ;Pa0

1A+ antigh (Ga0) =74

= antigh

0@"(p)U ; �a0#�a0 ;Pa0

1A = p� 1; (570)

antigh

"(p)

U ;Ga0

#��a0

!= antigh

"(p)

U ;Ga0

#�!+ antigh (�a0) =

antigh

"(p)

U ;Ga0

#�!= p: (571)

Din (570)�(571), deducem ca

(p�1)"(p)

U ;(0)

#ext

=

"(p)

U ; �a0

#�a0 ;Pa0

Ga0 : (572)

Substituind (572) in (568) si tinand cont de (495), (498) si cea de-a treia de�nitie din (411), ajungemla

�H(p)

U =

(p�1)"(p)

U ;(0)

#ext

=

"(p)

U ; �a0

#�a0 ;Pa0

Ga0 = (�)"(p)U@L

(p)

U

@Pa0Ga0 = �

@R(p)

U

@Pa0Ga0 =

�R(p)

U

�Pa0�HPa0 ; (573)

antigh

0B@@R(p)U@Pa0

Ga0

1CA = p� 1: (574)

Formulele (573)�(574) demonstreaza propozitia. �Relatiile (568)�(571) din demonstratia propozitiei evidentiaza ca"

(p)

U ;(0)

#ext

= �H(p)

U +(p)

B; antigh

(p)

B

!= p; (575)

unde(p)

B =

"(p)

U ;Ga0

#��a0 . Acum putem demonstra existenta sarcinii BRST.

Teorema 13Exista

=Xk�0

(k)

; antigh

(k)

!= k; gh

(k)

!= 1; "(k)

= 1; � = ;

(0)

= �a0Ga0 ; (576)

astfel incat[;]ext = 0: (577)

Demonstratie

Prima piesa din dezvoltarea lui dupa numarul de antighost este cunoscuta,(0)

= �a0Ga0 .

Utilizand notatia 0 =(0)

, gasim ca

1

2[0;0]ext =

1

2

"(0)

;(0)

#ext

=1

2[Ga0 ; Gb0 ]

� �a0�b0 =1

2Cc0a0b0�

a0�b0Gc0 =(0)

P : (578)

75

In consecinta, 12 [0;0]ext incepe cu termeni cu numar de antighost zero. Presupunem ca am

construit

1 =(0)

+(1)

; (579)

astfel incat 12 [1;1]ext incepe cu termeni cu numar de antighost unu

1

2[1;1]ext =

(1)

P + � � � ; (580)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat unu. Prin calculdirect gasim ca

1

2[1;1]ext =

1

2

"(0)

;(0)

#ext

+

"(1)

;(0)

#ext

+1

2

"(1)

;(1)

#ext

: (581)

Din (575) avem ca "(1)

;(0)

#ext

= �H(1)

+(1)

B

0

; antigh

(1)

B

0!= 1; (582)

in timp ce formula (562) evidentiaza ca"(1)

;(1)

#ext

=(1)

C

0

+ � � � ; (583)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat unu. Substituind(578) si (582)�(583) in (581), ajungem la

1

2[1;1]ext =

1

2Cc0a0b0�

a0�b0Gc0 + �H(1)

+(1)

P + � � � ; (584)

unde(1)

P + � � � =(1)

B

0

+(1)

C

0

+ � � � . Comparand (584) cu (580) deducem ecuatia

�H(1)

+1

2Cc0a0b0�

a0�b0Gc0 = 0: (585)

Pana la un termen �H -exact, solutia ultimei ecuatii are forma

(1)

=1

2Cc0a0b0�

a0�b0Pc0 : (586)

In consecinta, am construit si al doilea termen din sarcina BRST. In continuare vom dezvolta oprocedura inductiva. Presupunem ca a fost construit pana in ordinul (numarul de antighost)p� 1 inclusiv

p�1 =

p�1Xk=0

(k)

; p � 2; (587)

astfel incat 12 [p�1;p�1]ext incepe cu termeni cu numar de antighost p� 1

1

2[p�1;p�1]ext =

(p�1)P + � � � ; (588)

76

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p � 1. Pentru a

demonstra teorema, trebuie sa demonstram ca exista(p)

, astfel incat 12 [p;p]ext incepe cu termenicu numar de antighost p

1

2[p;p]ext =

(p)

P + � � � ; (589)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p, cu p dat de

p =

pXk=0

(k)

= p�1 +(p)

; p � 2: (590)

Prin calcul direct gasim ca

1

2[p;p]ext =

(p�1)P +

"(p)

;p�1

#ext

+1

2

"(p)

;(p)

#ext

; p � 2: (591)

Utilizand (562), deducem ca"(p)

;(p)

#ext

=(p)

E + � � � ; antigh (p)

E

!= p; p � 2: (592)

Pe de alta parte, avem ca"(p)

;p�1

#ext

=

"(p)

;0

#ext

+

p�1Xk=1

"(p)

;(k)

#ext

; p � 2: (593)

Folosind din nou (562), obtinem ca"(p)

;(k)

#ext

=(p)

G + � � � ; antigh (p)

G

!= p; p � 2; k � 1: (594)

Din (575) gasim ca "(p)

;0

#ext

=

"(p)

;(0)

#ext

= �H(p)

+(p)

B

0

; (595)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p. Atunci, din(593)�(595) avem ca "

(p)

;p�1

#ext

= �H(p)

+(p)

B

00

+ � � � ; (596)

unde(p)

B

00

+ � � � =(p)

B

0

+(p)

G + � � � . Substituind (596) si (592) in (591) ajungem la

1

2[p;p]ext = �H

(p)

+(p�1)P +

(p)

B

000

+ � � � ; p � 2 (597)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p, in timp ce(p)

B

000

+ � � � =(p)

B

00

+ 12

(p)

E � � � . Ultima relatie arata ca 12 [p;p]ext incepe cu termeni cu numarul de

antighost p, daca si numai daca

�H(p)

+(p�1)P = 0; p � 2: (598)

77

Astfel, pentru a demonstra ca 12 [p;p]ext incepe cu termeni cu numarul de antighost p, trebuie

sa demonstram ca ecuatia (598) poseda solutie. Aplicand �H pe (598) si tinand cont de nilpotentalui �H , obtinem ca

�H(p�1)P = 0; p � 2: (599)

In consecinta, nilpotenta lui �H arata ca pentru ca ecuatia (598) sa posede solutie este necesar ca(p�1)P sa veri�ce ecuatia (599). Pe de alta parte, aciclicitatea lui �H la numere de antighost strict

pozitive (a se vedea formula (430)) arata ca este su�cient ca(p�1)P sa veri�ce ecuatia (599) pentru

ca ecuatia (598) sa posede solutie42. In concluzie, conditia necesara si su�cienta ca ecuatia (598)

sa posede solutie este ca(p�1)P sa veri�ce ecuatia (599).

In continuare vom demonstra ca(p�1)P veri�ca ecuatia (599). Pentru aceasta, pornim de la

relatia1

2

�[p�1;p�1]ext ;p�1

�ext= 0; (600)

valabila pentru orice functie (functionala) fermionica (a se vedea (544)). Pe baza formulelor (587)�(588), ultima relatie capata forma"

(p�1)P ;0

#ext

+

p�1Xk=1

"(p�1)P ;

(k)

#ext

+ � � � = 0; (601)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p � 1. Utilizand(562), gasim ca "

(p�1)P ;

(k)

#ext

=(p�1)M + � � � ; k � 1; (602)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p� 1. Din (575),gasim ca "

(p�1)P ;0

#ext

=

"(p�1)P ;

(0)

#ext

= �H(p�1)P +

(p�1)N : (603)

Substituind (602)�(603) in (601), ajungem la

�H(p�1)P +

(p�1)N +

(p�1)M + � � � = 0; (604)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat p� 1. Proiectand

ultima relatie pe numarul de antighost p � 2 obtinem �H(p�1)P = 0, adica ceea ce ramasese de

demonstrat. Astfel, teorema este demonstrata. �Mentionam faptul ca solutia ecuatiei (577) nu este unica. Aceasta deoarece la �ecare numar de

antighost putem adauga la(p)

un termen �H -exact (ecuatia (598) este invarianta la transformarea(p)

!(p)

=(p)

+ �H(p+1)v , deoarece �H

(p)

= �H

(p)

).

42 Intr-adevar, aciclicitatea lui �H la numere de antighost strict pozitive ne asigura ca ecuatia (599) conduce la

existenta unui obiect(p)

Q 2 K astfel incat(p�1)P = �H

(p)

Q . Luand(p)

Q = �(p)

, obtinem ca aciclicitatea lui �H la numerede antighost strict pozitive conduce la faptul ca ecuatia (599) garanteaza existenta solutiei ecuatiei (598).

78

5.4 Exemple de sarcini BRST

In aceasta subsectiune vom evidentia solutia ecuatiei master pentru trei clase de teorii.a) Consideram o teorie a carei algebra gauge este abeliana (Cc0a0b0 = 0). Atunci, relatia (578)

arata ca(0)

P = 0, de unde rezulta ca(0)

= �a0Ga0 veri�ca ecuatia (577). In consecinta, in cazul uneiteorii (ireductibile) cu algebra gauge abeliana sarcina BRST ia forma

= �a0Ga0 : (605)

Evident, solutia (605) satisface conditia la limita (556).Pentru o algebra gauge deschisa, obtinem prin calcul direct ca

1

2[1;1]ext = �1

6

�Ce0d0[a0C

d0b0c0]

+hCe0[a0b0 ; G c0]

i���a0�b0�c0Pe0 +

+1

24

hCc0[a0b0 ; C

d0e0f0]

i�a0�b0�e0�f0Pc0Pd0 : (606)

b) Consideram o teorie pentru care constrangerile de clasa I formeaza algebra Lie ([Ga0 ; Gb0 ]� =

Cc0a0b0Gc0 ,@C

c0a0b0

@za = 0, Ce0d0[a0Cd0b0c0]

= 0). In aceasta situatie, din (606) rezulta ca [1;1]ext =

0, astfel ca 1 =(0)

+(1)

veri�ca ecuatia (577). Astfel, gasim ca sarcina BRST pentru acest cazeste data de

= �a0Ga0 +1

2Cc0a0b0�

a0�b0Pc0 : (607)

Si in acest caz solutia (607) satisface conditia la limita (556).c) Consideram o teorie generica cu algebra gauge deschisa. Relatia (606) arata ca 1 nu mai

satisface ecuatia (577). Tot din (606) gasim ca [1;1]ext =(1)

P + � � � , unde

(1)

P = �16

�Ce0d0[a0C

d0b0c0]

+hCe0[a0b0 ; G c0]

i���a0�b0�c0Pe0 : (608)

Substituind (312) in (608), obtinem ca

(1)

P = �16�e0d0a0b0c0�

a0�b0�c0Pe0Gd0 : (609)

Atunci, ecuatia (598) pentru p = 2 ia forma

�H(2)

� 16�e0d0a0b0c0�

a0�b0�c0Pe0Gd0 = 0: (610)

Pana la un termen �H -exact, solutia ultimei ecuatii este data de

(2)

= � 112�e0d0a0b0c0�

a0�b0�c0Pe0Pd0 : (611)

In continuare, construim 2 =(0)

+(1)

+(2)

. Cu 2 construit evaluam paranteza [2;2]ext. Daca[2;2]ext = 0, rezulta ca 2 veri�ca ecuatia (577). In aceasta situatie sarcina BRST va � data de

2. Daca [2;2]ext =(2)

P + � � � 6= 0, cu expresia cunoscuta a lui(2)

P trecem la ecuatia �H(3)

+(2)

P = 0.

Din ultima ecuatie il determinam pe(3)

. In continuare, reluam procedura algoritmica pana ladeterminarea completa a sarcinii BRST.

79

6 Actiunea �xata gauge

In aceasta sectiune vom construi actiunea �xata gauge pentru o teorie supusa la constrangeri declasa I.

6.1 Algebra Poisson a observabilelor BRST

Stabilisem anterior ca relatia

H0 (sH) = fobservabile clasice Hamiltonieneg ; (612)

reprezinta un izomor�sm de algebre multiplicative, unde membrul drept din (612) este dat de (361).Pe de alta parte, avem ca

H0 (sH) =

�KersHIm sH

�0; (613)

unde

(KersH)0 = fA 2 K; gh (A) = 0jsHA = 0g ; (614)

(Im sH)0 = fA 2 K; gh (A) = 0j9Z 2 K; gh (Z) = �1; A = sHZg : (615)

Evident, clasele lui H0 (sH) sunt de forma

hAir = fA+ sHZjgh (A) = 0; sHA = 0; A; Z 2 K; gh (Z) = �1g : (616)

Clasele lui H0 (sH), adica multimile de forma (616), vor � numite observabile BRST. Dezvoltandelementele claselor de observabile BRST dupa numarul de antighost

A (z; �;P) =(0)

A (z) +Xk>0

(k)

A (z; �;P) ; antigh (k)

A

!= k; (617)

observam ca ecuatia sHA = [A;]ext = 0 este echivalenta cu familia de ecuatii

(k)

[A;]ext = 0; antigh

(k)

[A;]ext

!= k; k � 0: (618)

Utilizand (559)�(560), deducem ca

(k)

[A;]ext =X

i�0;j�0i+j=k

"(i)

A;(j)

#�+

Xi�0;j�0i+j�1=k

"(i)

A;(j)

#�a0 ;Pa0

=

=kXi=0

"(i)

A;(k�i)

#�+

k+1Xi=1

"(i)

A;(k+1�i)

#�a0 ;Pa0

; (619)

astfel incat ecuatiile (618) conduc la

(k)

[A;]ext =

kXi=0

"(i)

A;(k�i)

#�+

k+1Xi=1

"(i)

A;(k+1�i)

#�a0 ;Pa0

= 0: (620)

80

Propozitia 5 Fie hAir observabila BRST. Atunci

sHA = 0)"(0)

A;Ga0

#�=W b0

a0 (z)Gb0 ; (621)

unde W b0a0 (z) 2 C

1 (P ).DemonstratiePresupunem ca hAir observabila BRST. Atunci, avem ca sHA = 0. Pornim de la ecuatia (620)

corespunzatoare lui k = 0 "(0)

A;(0)

#�+

"(1)

A;(0)

#�a0 ;Pa0

= 0: (622)

Tinand cont de (556), de dependenta lui(0)

A de za, precum si de faptul ca

(1)

A (z; �;P) =W b0a0 (z) �

a0Pb0 ; (623)

ecuatia (622) ia forma concreta "(0)

A;Ga0

#��W b0

a0 (z)Gb0

!�a0 = 0: (624)

Deoarece ghosturile sunt independente, ecuatia (624) are loc daca si numai daca"(0)

A;Ga0

#�=W b0

a0 (z)Gb0 : (625)

Astfel, propozitia este demonstrata. �Ultima propozitie arata ca piesele cu numar de antighost zero ale elementelor claselor de ob-

servabile BRST sunt functii de clasa I (functii gauge invariante). Din acest motiv, vom numi pe A

extensie BRST-invarianta a functiei de clasa I(0)

A .Propozitia 6 Oricarei functii de clasa I invariante ii corespunde o extensie BRST-invarianta.Demonstratie

Fie(0)

A functie de clasa I. Atunci,(0)

A veri�ca ecuatiile (625). Din ecuatiile (625) rezulta imediat

functiileW b0a0 (z). Astfel, primele doua piese din (617),

(0)

A si(1)

A =W b0a0 (z) �

a0Pb0 , sunt cunoscute.

Utilizand notatia A1 =(0)

A +(1)

A , gasim ca [A1;]ext incepe cu termeni cu numar de antighost unu

[A1;]ext =

"(1)

A;(0)

#�+

"(0)

A;(1)

#�+

"(1)

A;(1)

#�a0 ;Pa0

+ � � � ; (626)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat unu. Presupunemca am construit

Ak =(0)

A +(1)

A + � � �+(k)

A; k � 1; (627)

astfel incat [Ak;]ext incepe cu termeni cu numar de antighost k

[Ak;]ext =(k)� +

(k+1)� + � � � : (628)

81

Trebuie sa aratam ca exista(k+1)

A , astfel incat [Ak+1;]ext =

"Ak +

(k+1)

A ;

#ext

incepe cu termeni

cu numar de antighost k + 1

[Ak+1;]ext =(k+1)� +

(k+2)� + � � � : (629)

Prin calcul direct avem ca

[Ak+1;]ext =

"Ak +

(k+1)

A ;

#ext

= [Ak;]ext +

"(k+1)

A ;

#ext

=

=(k)� +

(k+1)� + � � �+

"(k+1)

A ;(0)

#ext

+Xj�1

"(k+1)

A ;(j)

#ext

: (630)

Utilizand (562) si (575) in (630), deducem ca

[Ak+1;]ext = �H(k+1)

A +(k)� +

(k+1)� +

(k+2)� + � � � : (631)

Ultima relatie arata ca [Ak+1;]ext incepe cu termeni cu numar de antighost (k + 1) daca si numaidaca

�H(k+1)

A +(k)� = 0; k � 1: (632)

Un rationament absolut identic cu cel de la demonstratia existentei sarcinii BRST ne arata caecuatia (632) poseda solutie daca si numai daca

�H(k)� = 0; k � 1: (633)

In continuare, vom arata ca ecuatia (633) este satisfacuta. Pentru aceasta, pornim de la ecuatiaevidenta [Ak; [;]ext]ext = 0. Utilizand identitatea lui Jacobi, ultima ecuatie conduce la

[[Ak;]ext ;]ext = 0: (634)

Substituind in (634) dezvoltarea dupa numarul de antighost a sarcinii BRST precum si (628),obtinem ca "

(k)� ;

(0)

#ext

+Xj�1

"(k)� ;

(j)

#ext

+

"(k+1)� ;

(0)

#ext

+Xj�1

"(k+1)� ;

(j)

#ext

+ � � � = 0: (635)

Proiectand ultima ecuatie pe numarul de antighost (k � 1) si tinand cont de (562) si (575), gasimca �H

(k)� = 0, adica ceea ce trebuia demonstrat. �

Mentionam ca daca A este extensie BRST-invarianta corespunzatoare functiei de clasa I(0)

A ,atunci si A0 = A+ [B;]ext = A+ sHB este extensie BRST-invarianta corespunzatoare functiei declasa I (sHA0 = sHA = 0). Astfel, oricare doua extensii BRST-invariante ale aceleiasi observabile

clasice sunt in aceeasi clasa de echivalenta a lui H0 (sH). O extensie a functiei de clasa I(0)

A areforma

A (z; �;P) =(0)

A (z) +Xk�1

Wb01 ���b0ka01 ���a0k (z) �

a01 � � � �a0kPb01 � � � Pb0k : (636)

82

Daca in plus(0)

A are proprietati bine de�nite relativ la paritatea Grassmann si operatia de involutie,extensiile BRST-invariante ale acesteia pot � alese exact cu aceleasi proprietati.

Propozitiile 5 si 6 demonstreaza ca izomor�smul de algebre multiplicative (612) este dat de

iH : fobservabile clasice Hamiltonieneg ! H0 (sH) ; (637)

iH

0@"(0)A (z)#y

1A = hA (z; �;P)ir ; A (z; �;P) =(0)

A (z) + � � � ; (638)

Teorema 14 Algebra H0 (sH) este algebra Poisson.DemonstratieStim ca (KersH)

0 este subalgebra multiplicativa a algebrei BRST K. Fie A1 si A2 doua elementedin (KersH)

0 (sHA1 = sHA2 = 0). Atunci, utilizand identitatea lui Jacobi, obtinem relatia

sHA1 = [A1;]ext = 0;sHA2 = [A2;]ext = 0

�) sH [A1; A2]ext = [[A1; A2]ext ;]ext = 0; (639)

care arata ca (KersH)0 este subalgebra Poisson a algebrei Poisson K (A1,A2 2 (KersH)

0 )[A1; A2]ext 2 (KersH)

0). Fie acum A1 2 (KersH)0 si A2 2 (Im sH)0 (A2 = sHB = [B;]ext).Utilizand din nou identitatea lui Jacobi, deducem formula

sHA1 = [A1;]ext = 0;A2 = sHB = [B;]ext

�) [A1; A2]ext = sH [A1; B]ext = [[A1; B]ext ;]ext ; (640)

care arata ca (Im sH)0 este ideal in (KersH)

0 si in raport cu structura de paranteza Poisson gen-eralizata (A1 2 (KersH)0, A2 2 (Im sH)0 ) [A1; A2]ext 2 (Im sH)

0). In consecinta, H0 (sH) estealgebra Poisson (H0 (sH) mosteneste structura de algebra Poisson a lui (KersH)

0). �In virtutea ultimei teoreme rezulta ca paranteza Poisson generalizata din K induce o structura

de paranteza Poisson bine de�nita in H0 (sH) (notata [; ]ext) prin relatia

[hA1ir ; hA2ir]ext = h[A1; A2]extir : (641)

Teorema 15 Izomor�smul (637)�(638) este izomor�sm de algebre Poisson.DemonstratieStim ca (637)�(638) este izomor�sm de algebre multiplicative. Utilizand temporar notatiile24"(0)A 1

#y

;

"(0)

A 2

#y

35� = "(0)A 1

#y

�"(0)

A 2

#y

si [hA1ir ; hA2ir]ext = hA1irN hA2ir, gasim ca formulele

(641) si (638) conduc la

hA1irN hA2ir = h[A1; A2]extir = iH

0@" (0)

[A1; A2]ext

#y

1A ; (642)

unde notatia(0)

[A1; A2]ext reprezinta componenta cu numarul de antighost zero a obiectului [A1; A2]ext.Din (495) si (636), obtinem ca

(0)

[A1; A2]ext =

"(0)

A 1;(0)

A 2

#�; (643)

83

de unde rezulta relatia "(0)

[A1; A2]ext

#y

=

""(0)

A 1;(0)

A 2

#�#y

: (644)

Folosind si (352), formula (644) devine"(0)

[A1; A2]ext

#y

=

24"(0)A 1

#y

;

"(0)

A 2

#y

35�: (645)

Substituind (645) in (642) ajungem la

iH

24"(0)A 1

#y

;

"(0)

A 2

#y

35� = hA1irN hA2ir : (646)

Ultima relatie se poate rescrie sub forma

iH

0@"(0)A 1

#y

�"(0)

A 2

#y

1A = iH

0@"(0)A 1

#y

1ANiH0@"(0)A 2

#y

1A ; (647)

de unde rezulta ca iH este izomor�sm de algebre Poisson. �Din (637)�(638), gasim ca

iH

0@"(0)A 1

(0)

A 2

#y

1A = hA1A2ir : (648)

Utilizand (642) si (644), deducem ca

iH

0@""(0)A 1;(0)

A 2

#�#y

1A = h[A1; A2]extir : (649)

Relatiile (648)�(649) sunt consecinte directe ale izomor�smului stabilit de ultima teorema. Astfel,obtinem urmatoarele concluzii:

r1) daca A1 si A2 sunt extensii BRST-invariante ale lui(0)

A 1 si(0)

A 2, atunci A1A2 este extensie

BRST-invarianta a lui(0)

A 1

(0)

A 2 (concluzia r1 rezulta direct din (648));

r2) daca A1 si A2 sunt extensii BRST-invariante ale lui(0)

A 1 si(0)

A 2, atunci [A1; A2]ext este extensie

BRST-invarianta a lui

"(0)

A 1;(0)

A 2

#�(concluzia r2 rezulta direct din (649)).

Deoarece functiile Ga0 care exprima constrangerile de clasa I sunt functii de clasa I (a se vedea(298)), ele poseda extensii BRST-invariante. Am vazut ca functiile Ga0 apartin clasei triviale (M)a algebrei observabilelor clasice Hamiltoniene. O expresie admisa a unei extensii BRST-invarianteasociata functiilor Ga0 are forma

�Ga0 = sH (�Pa0) � [�Pa0 ;]ext = Ga0 + �b0Cc0a0b0Pc0 + � � � ; (650)

si apartine clasei triviale ((Im sH)0) din H0 (s).

84

6.2 Procedura de gauge �xing. Actiunea �xata gauge

Dupa cum am vazut, ecuatiile de miscare pentru elementele claselor de observabilele clasice Hamil-toniene (din Obs2) sunt date de (362). Vom rescrie ecuatiile (362) sub forma

d(0)

A

dt�"(0)

A;H0

#�; Ga0 � 0: (651)

Pentru a deduce ecuatiile de miscare ale elementelor claselor de observabile BRST, vom porni dela ecuatiile (651) si vom utiliza izomor�smul implicat de Teorema 15. Este simplu de vazut ca, intermenii claselor lui Obs2, ecuatiile (651) capata forma43264d(0)A

dt

375y

=

""(0)

A;H0

#�#y

; [Ga0 ]y = [0]y : (652)

Fiind functie de clasa I, Hamiltonianul H0 admite o extensie BRST-invarianta HB, unde

HB = H0 + Va0b0�b0Pa0 + � � � ; sHH = [HB;]ext = 0: (653)

Obiectul HB se numeste Hamiltonian BRST-invariant. Atunci, din

iH

0B@264d(0)Adt

375y

1CA = iH

0@""(0)A;H0#�#y

1A ; iH

�[Ga0 ]y

�= iH

�[0]y

�; (654)

si din (638), (649) si (650), gasim ca�dA

dt� [A;HB]ext

�r= [0]r ;

��Ga0�r = [0]r : (655)

In continuare, din (655) obtinem ecuatiile

dA

dt� [A;HB]ext = sHM (A) = [M (A) ;]ext ; gh (M (A)) = �1; "M(A) = 1; (656)

�Ga0 = sH (�Pa0) = [�Pa0 ;]ext ; (657)

unde M (A) sunt functii arbitrare de A. Ecuatiile (656)�(657) reprezinta ecuatiile de miscare aleelementelor claselor de observabile BRST pe spatiul fazelor extins, induse de ecuatiile de miscare(651) ale elementelor corespondente ale claselor de observabile clasice. Pentru a face manifestadependenta de A a functiilor M (A), vom alege functiile M (A) de forma

M (A) = � [A;K]ext ; gh (K) = �1; "K = 1; K� = �K; (658)

unde K este o functie data (�xata) pe spatiul fazelor extins. Tinand cont ca [A;]ext = 0, princalcul direct avem ca

[M (A) ;]ext = � [[A;K]ext ;]ext = � [A; [K;]ext]ext ; (659)

43 Intr-adevar, avem ca

d(0)Adt��(0)

A;H0

��; Ga0 � 0

!)

d(0)Adt��(0)

A;H0

��� 0; Ga0 � 0

!)0@" d(0)A

dt

#y

=

"�(0)

A;H0

��#y

; [Ga0 ]y = [0]y

1A.85

astfel incat ecuatiile (656) capata forma

dA

dt= [A;HB + [K;]ext]ext : (660)

Deoarece ecuatiile (657) nu au continut dinamic, ramane ca ecuatiile (660) sunt ecuatiile de miscareale elementelor claselor de observabile BRST pe spatiul fazelor extins. Deoarece functia K este�xata, solutiile ecuatiilor (660) sunt complet determinate de conditiile initiale. In acest sens, functiaK se numeste fermion de gauge-�xing, in timp ce marimea

HK = HB + [K;]ext (661)

se numeste Hamiltonian �xat gauge. Utilizand identitatea lui Jacobi, este simplu de vazut ca

sHHK = [HK ;]ext = [HB;]ext + [[K;]ext ;]ext =1

2[K; [;]ext]ext = 0: (662)

Mai mult, proprietatile impuse asupra functiei K conduc la

K = �ka0 (z)Pa0 + � � � ; (663)

unde ka0 (z) 2 C1 (P ). In (663) simbolul "� � � " semni�ca termeni cu numarul de antighost maimare decat unu. Atunci, avem ca

[K;]ext = ka0 (z)Ga0 + � � � ; (664)

unde simbolul "� � � " inseamna termeni cu numarul de antighost mai mare decat zero.In continuare, ne propunem sa determinam ecuatiile de miscare pentru orice functie pe spatiul

fazelor extins. Pentru aceasta, vom proiecta ecuatiile (660) pe numarul de antighost zero si vomtine cont de (495) si (664). Atunci, obtinem ca

d(0)

A

dt=

"(0)

A;H0

#�+ ka0 (z)

"(0)

A;Ga0

#�+

"(0)

A; ka0 (z)

#�Ga0 : (665)

Este simplu de vazut ca (665) implica ecuatiile

d(0)

A

dt�

"(0)

A;H0

#�+ ka0 (z)

"(0)

A;Ga0

#�; (666)

Ga0 � 0: (667)

Comparand (666)�(667) cu (364)�(365), gasim ca (666)�(667) reprezinta ecuatiile de miscare �xategauge pentru orice functie pe spatiul fazelor original. Mai mult, daca luam ka0 (z) = 0, ecuatiile(666)�(667) se reduc la ecuatiile (651). In concluzie, desi au fost obtinute din ecuatiile de miscare(652) ale observabilelor clasice, ecuatiile (666)�(667) reproduc ecuatiile de miscare �xate gaugepentru orice functie pe spatiul fazelor original. Din acest motiv, putem adopta ecuatiile (660) caecuatii de miscare pentru orice functie pe spatiul fazelor extins.

Ecuatiile (660) pot � deduse din principiul variational

�SK [za; �a0 ;Pa0 ] = 0; (668)

corespunzator conditiilor la limita

�za (t1) = �za (t2) = 0; ��a0 (t1) = ��a0 (t2) = 0; (669)

86

unde

SK [za; �a0 ;Pa0 ] =

Z t2

t1

dt (aa (z) _za + _�a0Pa0 �HK) : (670)

Functionala SK se numeste actiune Hamiltoniana �xata gauge. Pe de o parte, aceasta nu admiteinvariante gauge, iar, pe de alta parte, conduce la o dinamica pe spatiul fazelor extins complet�xata de alegerea fermionului K. Deoarece la nivelul simetriei BRST Hamiltoniene ghosturile �a0

preiau rolul parametrilor gauge (a se vedea (445)), este natural sa impunem asupra ghosturilorconditiile

�a0 (t1) = �a0 (t2) = 0; (671)

similare conditiilor (330) impuse parametrilor gauge. Atunci, are loc urmatoarea teorema.Teorema 16 Actiunea Hamiltoniana �xata gauge este BRST-invarianta

sHSK = 0: (672)

DemonstratiePrin calcul direct avem ca

sHSK =

Z t2

t1

dt sH (aa (z) _za + _�a0Pa0 �HK) =

=

Z t2

t1

dt (aa (z) (sH _za) + (sHaa (z)) _z

a + _�a0 (sHPa0)� (sH _�a0)Pa0 � sHHK) : (673)

Pe de alta parte, din (660) avem ca

sH _A = sH [A;HK ]ext = [A; sHHK ]ext + [sHA;HK ]ext : (674)

Utilizand (662) in (674), ajungem la

sH _A = [sHA;HK ]ext =d

dt(sHA) : (675)

Substituind (675) in (673) si tinand cont de (494) si (662), deducem ca

sHSK =

Z t2

t1

dt

�aa (z)

d

dt[za;]ext + [aa (z) ;]ext _z

a+

+_�a0 [Pa0 ;]ext ��d

dt[�a0 ;]ext

�Pa0�: (676)

Invocand acum si expresia (495) a parantezei Poisson generalizate, formula (676) devine

sHSK =

Z t2

t1

dt

�� _za @

@za� _�a0 @

L

@�a0� _Pa0

@L

@Pa0

+d

dt(aa (z) [z

a;]ext � Pa0 [�a0 ;]ext)

�=

= �Z t2

t1

dt _ + (aa (z) [za;]ext � Pa0 [�

a0 ;]ext)jt2t1=

�jt2t1 + (aa (z) [za;]ext � Pa0 [�

a0 ;]ext)jt2t1: (677)

Forma generica a termenului cu numar de antighost p care intra in componenta sarcinii BRST estedata de

(p)

= �a0p+1 � � � �a01Cb01 ���b0pa01 ���a0p+1Pb0p � � � Pb01 : (678)

87

Atunci, gasim ca

= �a0 �Za0 (z; �;P) ; (679)

aa (z) [za;]ext + Pa0 [�

a0 ;]ext = �a0Za0 (z; �;P) : (680)

Substituind (679)�(680) in (677) si tinand cont de (671), rezulta in �nal formula (672). �Ultima teorema evidentiaza ca actiunea Hamiltoniana �xata gauge este invarianta la simetria

BRST Hamiltoniana. In acest moment rezulta clar ca transformarile BRST ale variabilelor spatiuluifazelor extins reprezinta tocmai transformarile care invariaza functionala actiune �xata gauge. Inacelasi timp, pe baza Teoremei 16 putem preciza sensul in care simetria BRST Hamiltoniana esteechivalenta simetria gauge originala: in timp ce actiunea extinsa este invarianta la transformarilegauge (implicate de constrangerile de clasa I), actiunea Hamiltoniana �xata gauge este invariantala transformarile BRST (corespunzatoare constrangerilor de clasa I).

Este foarte important sa observam ca determinarea Hamiltonianului �xat gauge si a actiunii�xate gauge se realizeaza dupa ce am construit simetria BRST Hamiltoniana. Transformarile BRSTale functiilor pe spatiul fazelor extins sunt intrinseci, forma lor nedepinzand de alegerea fermionuluide �xare a gauge-ului.

6.3 Variabile coomologic triviale�sectorul neminimal. Actiunea �xata gauge inprezenta sectorului neminimal

Introducem variabilele � =�G�a; C�a;��a; P�a

�a=1;��� ; �A cu proprietatile

gh�G�a�

= 0 = gh (��a) ; gh�C�a�= 1 = �gh (P�a) ; (681)

"G�a = "��a = 0; "C�a = "P�a = 1; (682)�G�a��

= G�a; (��a)� = ��a;�C�a��= C�a; (P�a)� = �P�a (683)

si extindem algebra BRST sub forma

K0 = C [Pa0 ;��a; P�a] C1 (P )Ch�a0 ;G�a; C�a

i; (684)

astfel incat K0 este in continuare atat Z2-graduata cat si graduata in termenii numarului de ghost.De�nim actiunea lui sH pe variabilele nou introduse prin

sHG�a = C�a; sHC�a = 0; sHP�a = ���a; sH��a = 0: (685)

Este simplu de vazut ca de�nitiile (685) pastreaza nilpotenta lui sH (s2HG�a = sHC�a = 0, s2HC�a = 0,s2HP�a = �sH��a = 0, s2H��a = 0) in algebra K0. Primul set de relatii din (685) arata ca G�a nuapartine lui KersH . In consecinta, G�a nu contribuie la coomologia lui sH (daca G�a nu apartine luiKersH nu de�neste o clasa in H� (sH)). Primele doua seturi de relatii din (685) arata ca C�a este atatsH -inchis cat si sH -exact. Astfel, C�a de�neste un element din clasa triviala h0ir (clasa vectoruluinul) a lui sH . In consecinta, variabilele C�a nu modi�ca coomologia lui s. Deoarece ultimele douaseturi de relatii din (685) au o structura similara cu primele doua seturi, pe baza unor considerenteidentice gasim ca nici variabilele P�a si ��a nu contribuie la coomologia lui sH . Din acest motiv,variabilele � =

�G�a; C�a;��a; P�a

se numesc variabile coomologic triviale (sau variabile neminimale

sau perechi contractibile). In concluzie, introducerea variabilelor coomologic triviale nu afecteazaecuatiile de baza ale formalismului BRST Hamiltonian (ecuatiile (389) si (391)). Extindem acumde�nitia parantezei Poisson generalizate (data de (495)) la algebra K0 prin relatiileh

G�a;��biext

= ��a�b;hC�a; P�b

iext= ���a�b;

hG�a;G�b

iext= 0;

hG�a; C�b

iext= 0; (686)

88

hG�a; P�b

iext

= 0;hC�a;��b

iext= 0;

hC�a; C�b

iext= 0;

���a;��b

�ext= 0; (687)�

��a; P�b�ext

= 0;�P�a; P�b

�ext= 0;

hG�a; yA

iext= 0;

hC�a; yA

iext= 0; (688)�

��a; yA�ext

= 0;�P�a; y

A�ext= 0: (689)

Pe baza primelor relatiilor (681)�(683) gasim ca

gh���aC�a

�= 1; "��aC�a = 1;

���aC�a

��=�C�a��(��a)

� = C�a��a = ��aC�a: (690)

Construim acum obiectul

nm = +��aC�a; gh (nm) = 1; "nm = 0; �nm = nm; (691)

unde este sarcina BRST in absenta variabilelor coomologic triviale (generatorul canonic al luisH in algebra K). Pe baza proprietatilor generale ale parantezei Poisson generalizate precum si afaptului ca [;]ext = 0, este simplu de vazut ca

[nm;nm]ext = [;]ext + 2h;��aC�a

iext+h��aC�a;��bC

�biext=

= 2h;��aC�a

iext+h��aC�a;��bC

�biext: (692)

Utilizand acum de�nitiile (686)�(689) gasim ca�;��aC�a

�ext= 0 si

h��aC�a;��bC

�biext= 0, astfel incat

din (692) deducem ca[nm;nm]ext = 0: (693)

Ultima relatie arata ca nm este sarcina in algebra K0 (stiind ca este sarcina BRST in algebraK). Obiectul nm dat de (691) se numeste sarcina BRST neminimala. In acest context, semai numeste sarcina BRST minimala iar marimea ��aC�a termen neminimal. Tot in acest context,obiectele yA se mai numesc variabile minimale. Tinand cont de (686)�(689) si (682) deducem cah

G�a;��bC�biext

=hG�a;��b

iextC�b = C�a;

hC�a;��bC

�biext= 0; (694)h

��a;��bC�biext

= 0;hP�a;��bC

�biext=hP�a; C

�biext��b = ���a: (695)

In consecinta, sarcina BRST neminimala genereaza canonic pe sH in algebra K0 prin intermediulrelatiei

sHA = [A;nm]ext = [A;]ext +hA;��aC�a

iext: (696)

Din (696) se observa ca termenul [A;]ext genereaza canonic pe sH in sectorul variabilelor minimale,in timp ce termenul

�A;��aC�a

�extgenereaza canonic pe sH in sectorul variabilelor neminimale (a

se vedea (694)�(695)). In concluzie, introducerea termenilor neminimali nu modi�ca proprietatilediferentialei BRST.

Atunci, actiunea �xata gauge in prezenta variabilelor neminimale va �

SK

hza; �a0 ;Pa0 ;G�a; C�a;��a; P�a

i=

Z t2

t1

dt�aa (z) _z

a + _�a0Pa0 + _G�a��a + _C�aP�a �HK0

�; (697)

undeHK0 = HB +

�K 0;nm

�ext; (698)

iar fermionul K 0 depinde in general de sectorul neminimal (dar incepe obligatoriu ca in (663)).O demonstratie absolut similara cu cea a Teoremei 16 arata ca actiunea �xata gauge (697) esteinvarianta BRST, unde acum transformarile BRST sunt date de (696).

89

6.4 Exemple

In continuare, vom exempli�ca obtinerea actiunii �xate gauge in cazul a trei modele de interes �zic.Pentru analiza mai multor exemple recomandam referinta bibliogra�ca [3].

6.4.1 Particula libera relativista

Actiunea Lagrangiana pentru particula relativista libera este

SL0 [x�; e] = �1

2

�2Z�1

d�

�_x� _x�e

+m2e

�; (699)

unde x� si e sunt variabile bosonice. Daca notam cu p� impulsul canonic asociat coordonatei x�

si cu pe impulsul canonic asociat lui e, analiza canonica a modelului evidentiaza constrangerileabeliene si ireductibile de clasa I

G1 � pe � 0; G2 �1

2

�p�p

� �m2�� 0; (700)

si Hamiltonianul de clasa IH0 = �eG2: (701)

Pe langa abelianitatea constrangerilor de clasa I (700), comutatorii ce completeaza algebra gaugeHamiltoniana sunt dati de

[H0; G1] = �G2; [H0; G2] = 0: (702)

Astfel, generatorii algebrei BRST Hamiltoniene K pentru acest model sunt dati de

za = (x�; e; p�; pe) ; �a0 =

��1; �2

�; Pa0 = (P1;P2) : (703)

Acest exemplu se incadreaza in cazul a) mentionat in subsectiunea 5.4, astfel ca sarcina BRSTminimala este exprimata prin

= �1G1 + �2G2: (704)

Atunci, Hamiltonianul BRST invariant are forma

HB = H0 � �1P2: (705)

Pentru a obtine o actiune �xata gauge covarianta, introducem sectorul neminimal

G�a =�G1;G2

�; C�a =

�C1; C2

�; ��a = (�1;�2) ; P�a = (P1; P2) : (706)

Astfel, sarcina BRST neminimala devine

nm = �1pe +1

2

�p�p

� �m2��2 +�1C1 +�2C2: (707)

Transformarile BRST Hamiltoniene ale variabilelor ce genereaza algebra BRST neminimala K0 auexpresiile

sHx� = p��2; sHp� = 0; sHe = �1; sHpe = 0; (708)

sH�1 = sH�

2 = 0; sHP1 = �pe; sHP2 = �1

2

�p�p

� �m2�; (709)

sHG1 = C1; sHG2 = C2; sHC1 = 0; sHC2 = 0 (710)

90

sHP1 = ��1; sHP2 = ��2; sH�1 = 0; sH�2 = 0: (711)

Daca alegem fermionul de �xare a gauge-ului

K 0 = P1�e� _e� 1

m

�+ G1

�P1 + _P1 + P2

�+ G2

��P1 + _P2

�; (712)

si eliminam variabilele auxiliare pe ecuatiile de miscare, ajungem la actiunea �xata gauge

SK0 =

�2Z�1

d�

�_x�p� +

1

2m

�p�p

� �m2��

: (713)

6.4.2 Campul electromagnetic liber nemasiv

Acest model este descris de actiunea Lagrangiana

SL0 [A�] = �1

4

ZdDxF��F�� ; (714)

unde A� sunt campuri bosonice iar tensorul F�� este de�nit prin F�� = @[�A�].Notand cu �� (x) densitatile de impuls conjugate campurilor A� (x), din analiza canonica a

modelului deducem constrangerile abeliene si ireductibile de clasa I

G1 (x) � �0 (x) � 0; G2 (x) � �@ix�i (x) � 0; (715)

si Hamiltonianul de clasa I

H�x0�=

ZdD�1x

��12�i (x)�i (x) +

1

4Fij (x)F

ij (x)�A0 (x)�@ix�i (x)

��: (716)

Parantezele Poisson ce completeaza algebra gauge Hamiltoniana au forma�H�x0�; G1 (y)

�x0=y0

= G2�x0; ~y

�;�H�x0�; G2 (y)

�x0=y0

= 0: (717)

Generatorii algebrei BRST Hamiltoniene K pentru acest model sunt dati de

za = (A� (x) ; �� (x)) ; �a0 =

��1 (x) ; �2 (x)

�; Pa0 = (P1 (x) ;P2 (x)) : (718)

Acest exemplu se incadreaza tot in cazul a) mentionat in subsectiunea 5.4. Atunci, sarcina BRSTminimala este data de

�x0�=

ZdD�1x

��1 (x)�0 (x)� �2 (x) @ix�i (x)

�; (719)

iar Hamiltonianul BRST invariant are expresia

HB�x0�= H

�x0�+

ZdD�1x �1 (x)P2 (x) : (720)

Pentru a obtine o actiune �xata gauge covarianta, introducem sectorul neminimal

G�a =�G1 (x) ;G2 (x)

�; C�a =

�C1 (x) ; C2 (x)

�; ��a = (�1 (x) ;�2 (x)) ; P�a = (P1 (x) ; P2 (x)) : (721)

Astfel, sarcina BRST neminimala ia forma standard

nm�x0�=

�x0�+

ZdD�1x

��1 (x) C1 (x) + �2 (x) C2 (x)

�: (722)

91

Transformarile BRST Hamiltoniene ale campurilor ce genereaza algebra BRST neminimala K0 suntdate de

sHA0 (x) = �1 (x) ; sHA

i (x) = @ix�2 (x) ; sH�� (x) = 0; (723)

sH�1 (x) = sH�

2 (x) = 0; sHP1 (x) = ��0 (x) ; sHP2 (x) = @ix�i (x) ; (724)

sHG1 (x) = C1 (x) ; sHG2 (x) = C2 (x) ; sHC1 (x) = 0; sHC2 (x) = 0 (725)

sHP1 (x) = ��1 (x) ; sHP2 (x) = ��2 (x) ; sH�1 (x) = 0; sH�2 (x) = 0: (726)

Daca alegem functionala fermionica de �xara a gauge-ului de forma

K 0 �x0� = Z dD�1x

�P1 (x)

�@xi A

i (x) +�

2�1 (x)

�

+G2 (x)��P1 (x) + P1 (x) + _P2 (x)

�+ G1 (x)

�P2 (x) + _P1 (x)

��; (727)

dupa eliminarea unor campuri auxiliare pe ecuatiile lor de camp, actiunea �xata gauge capataforma

SK0 =

ZdDx

��14F�� (x)F�� (x)�

1

2�(@�A

� (x))2 � P1 (x)��2 (x)�

(728)

6.4.3 Campurile Yang-Mills

Acest model este descris de actiunea Lagrangiana

SL0�Aa��= �1

4

ZdDxF��a F a�� ; (729)

unde Aa� sunt campuri bosonice, iar tensorul Fa�� este de�nit prin

F a�� = @�Aa� � @�Aa� � fa bcAb�Ac� ; (730)

cu fa bc constante antisimetrice in indicii inferiori, fabc = �fa cb. Aceste constante satisfac relatiile

fa bcfdea + f

aebf

dca + f

acef

dba � fa [bcf

de]a = 0: (731)

Notand cu ��a densitatile de impuls canonic conjugate campurilor Aa�, din analiza canonica a mod-elului deducem constrangerile de clasa I

G(1)a (x) � �0a (x) � 0; G(2)a (x) � � (Dxi )

ba �ib (x) � 0; (732)

si Hamiltonianul de clasa I

H�x0�=

ZdD�1x

��12�ia�

ai +

1

4F aijF

ija +A

a0

�� (Di)

ba �ib

���x0; ~x

�; (733)

unde(Di)

ba =

�� ba @i � gf bacAci

�: (734)

Cel de-al doilea set de constrangeri din (732) formeaza algebra LiehG(2)a

�x0; ~x

�; G

(2)b

�x0; ~y

�i= gf cabG

(2)c

�x0; ~x

��3 (~x� ~y) : (735)

92

Parantezele Poisson din (735) sunt calculate in sens distributional dupa cum urmeaza. Fie f :R3 ! R o functie arbitrara de clasa C1 cu suport compact. De�nim G

(2)(f)a

�x0�prin

G(2)(f)a

�x0�=

ZdD�1xf (~x)G(2)a

�x0; ~x

�: (736)

Utilizand parantezele Poisson fundamentale (care se calculeaza la timpi egali) si de�nitia (736),expresiile explicite ale parantezelor (735) sunth

G(2)(f1)a

�x0�; G

(2)(f2)b

�x0�i= gf cabG

(2)(f1f2)c

�x0�= gf cab

ZdD�1xG(2)c

�x0; ~x

�f1 (~x) f2 (~x) :

(737)In concluzie teoria de camp abordata este supusa la constrangerile de clasa I (732), ireductibile sicu o algebra gauge de tip Lie. Parantezele Poisson ce completeaza algebra gauge Hamiltoniana auformah

H�x0�; G(1)a

�x0; ~y

�i= G(2)a

�x0; ~y

�;hH�x0�; G(2)a

�x0; ~y

�i= �gf cabAb0

�x0; ~y

�G(2)c

�x0; ~y

�;

(738)unde h

H�x0�; G(2)(f)a

�x0�i= �gf cab

ZdD�1xAb0

�x0; ~x

�G(2)c

�x0; ~x

�f (~x) : (739)

Generatorii algebrei BRST Hamiltoniene K pentru acest model sunt dati de

za =�Aa� (x) ; �

�a (x)

�; �a0 =

��(1)a (x) ; �(2)a (x)

�; Pa0 =

�P(1)a (x) ;P(2)a (x)

�: (740)

Acest exemplu se incadreaza in cazul b) mentionat in subsectiunea 5.4, astfel ca sarcina BRSTminimala este exprimata prin

�x0�=

ZdD�1x

��(1)a�0a � �(2)a (Di)

ba �ib +

g

2P(2)afabc�(2)b�(2)c

� �x0; ~x

�; (741)

iar Hamiltonianul BRST invariant este dat de

HB�x0�= H

�x0�+

ZdD�1x

��(1)aP(2)a + gfabcP(2)a�(2)bAc0

� �x0; ~x

�: (742)

Pentru a obtine o actiune �xata gauge covarianta, introducem sectorul neminimal

G�a =�G(1)a (x) ;G(2)a (x)

�; C�a =

�C(1)a (x) ; C(2)a (x)

�; (743)

��a =��(1)a (x) ;�(2)a (x)

�; P�a =

�P(1)a (x) ; P(2)a (x)

�: (744)

Sarcina BRST neminimala devine

nm�x0�=

�x0�+

ZdD�1x

��(1)aC(1)a +�(2)aC(2)a

� �x0; ~x

�: (745)

Transformarile BRST Hamiltoniene ale generatorilor complexului BRST vor � date de

sHAa0 = �(1)a; sHA

ai = (Di)

ab �(2)b; sH�

0a = 0; sH�

ia = gf cab�

(2)b�ic; (746)

sH�(1)a = 0; s�

(2)aH = �g

2fabc�

(2)b�(2)c; sHP(1)a = ��0a; sHP(2)a = (Di)ba �ib; (747)

sHG(1)a (x) = C(1)a (x) ; sHG(2)a (x) = C(2)a (x) ; sHC(1)a (x) = 0; sHC(2)a (x) = 0 (748)

93

sHP(1)a (x) = ��(1)a (x) ; sHP(2)a (x) = ��(2)a (x) ; sH�(1)a (x) = 0; sH�(2)a (x) = 0: (749)

unde am utilizat notatia(Di)

ab = �ab@i + gf

abcA

ci : (750)

Daca alegem functionala fermionica de �xare a gauge-ului de forma

K 0 �x0� = Z dD�1x

�P(1)a

�@iAai +

�

2�a(1)

�+ G(2)a

��P(1)a + P(1)a + _P(2)a

�+G(1)a

�P(2)a + _P(1)a

�� �x0; ~x

�; (751)

si eliminam campurile auxiliare pe ecuatiile lor de camp, actiunea �xata gauge devine

SK0 =

ZdDx

��14F��a F a�� �

1

2�(@�A

�a) (@

�Aa�) + @�P(1)a (D�)

ab �(2)b

�: (752)

Aceasta incheie analiza exemplelor.

94

7 Legatura dintre formalismele BRST Hamiltonian si Lagrangianpentru sisteme de clasa I

In aceasta sectiune vom realiza legatura [4] dintre abordarea BRST Lagrangiana si cea Hamiltonianaa sistemelor supuse la constrangeri de clasa I.

7.1 Formalismul BRST Lagrangian pentru sistememe supuse la constrangeri declasa I

Dupa cum am vazut in sectiunea 3, sistemele supuse la constrangeri de clasa I sunt descrise deactiunea extinsa

SE0 [za; �a0 ] =

Z t2

t1

dt (aa (z) _za �H0 + �a0Ga0) ; (753)

care este invarianta la transformarile gauge

��za = [za; Ga0 ]

� �a0 = !ab (z)@Ga0@zb

�a0 = Za a0�a0 ; (754)

���a0 = �_�a0 + V a0

b0�b0 � Ca0b0c0�

b0�c0 ; (755)

unde parametrii gauge satisfac proprietatile

�a0 (t1) = �a0 (t2) = 0: (756)

Fata de sectiunea 3, am utilizat notatia �a0 ! ��a0 . Algebra gauge Hamiltoniana este generatade relatiile

[Ga0 ; Gb0 ]� = Cc0a0b0 (z)Gc0 ; [H0; Ga0 ]

� = V b0a0 (z)Gb0 : (757)

Deoarece constrangerile de clasa I au fost presupuse ireductibile, rezulta ca transformarile gauge(754)�(755) sunt ireductibile. Mai mult, pentru transformarile (754) avem ca44

Za a0�Zb b0�za

� Za b0�Zb a0�za

= !am (z)@Ga0@zm

@Zb b0@za

� !am (z) @Gb0@zm

@Zb a0@za

=hZb b0 ; Ga0

i��hZb a0 ; Gb0

i�=hhzb; Gb0

i�; Ga0

i��hhzb; Ga0

i�; Gb0

i�=

�hzb; [Ga0 ; Gb0 ]

�i�= �

hzb; Cc0a0b0 (z)Gc0

i�= �Cc0a0b0

hzb; Gc0

i��hzb; Cc0a0b0 (z)

i�Gc0 ; (758)

de unde in �nal gasim relatiile

Za a0�Zb b0�za

� Za b0�Zb a0�za

= �Cc0a0b0Zbc0 �

hzb; Cc0a0b0 (z)

i�Gc0 : (759)

In acord cu prescriptiile formalismului BRST Lagrangian, generatorii algebrei BRST Lagrang-iene vor ��A = fza; �a0 ; Ca0g si ��A =

�z�a; �

�a0 ; C

�a0

. Paritatile Grassmann si gradele generatorilor

sunt date de formulele

"za = 0; "z�a = 1; "�a0 = 0; "��a0= 1; "Ca0 = 1; "C�a0

= 0; (760)

44Deoarece in acest curs am utilizat notatiile din cazul sistemelor cu numar �nit de grade de libertate, in (757) am

considerat ca Za a0 sunt functii numai de za-uri (nu si de derivatele acestora). Atunci, rezulta simplu ca

�Za a0�za

=@Za a0@za

.

95

antigh (za) = 0; antigh (�a0) = 0; antigh (Ca0) = 0; (761)

antigh (z�a) = 1; antigh���a0�= 1; antigh

�C�a0�= 2; (762)

pgh (za) = 0; pgh (�a0) = 0; pgh (Ca0) = 1; (763)

pgh (z�a) = 0; pgh���a0�= 0; pgh

�C�a0�= 0; (764)

gh (za) = 0; gh (�a0) = 0; gh (Ca0) = 1; (765)

gh (z�a) = �1; gh���a0�= �1; antigh

�C�a0�= �2: (766)

Primii termeni din solutia ecuatiei master sunt exprimati prin

SE =

Z t2

t1

dt (aa (z) _za �H0 + �a0Ga0 + z�a [za; Ga0 ]

�Ca0+

+��a0

�� _Ca0 + V a0

b0Cb0 � Ca0b0c0�

b0Cc0�� 12Ca0b0c0C

�a0C

b0Cc0 + � � ��: (767)

Transformarile BRST Lagrangiene pentru variabilele za, Ca0 si ��a0 au expresiile

sLza =

�za; SE

�= [za; Ga0 ]

�Ca0 + � � � ; (768)

sLCa0 =

�Ca0 ; SE

�= �1

2Ca0b0c0C

b0Cc0 + � � � ; (769)

sL��a0 =

���a0 ; S

E�= �Ga0 � Cc0a0b0C

b0��c0 + � � � ; (770)

unde antiparanteza este de�nita prin

(A;B) =�RA

��A�LB

���A� �RA

���A

�LB

��A: (771)

Scrisa in detaliu, formula (771) are forma

(A;B) =�RA

�za�LB

�z�a� �RA

�z�a

�LB

�za+�RA

��a0�LB

���a0�

��RA

���a0

�LB

��a0+�RA

�Ca0�LB

�C�a0� �RA

�C�a0

�LB

�Ca0: (772)

Relatiile (771)�(772) sunt exprimate in notatia De Witt. In notatie uzuala, avem ca

(A;B) =

Z t2

t1

dt

��RA

�za (t)

�LB

�z�a (t)� �RA

�z�a (t)

�LB

�za (t)+

�RA

��a0 (t)

�LB

���a0 (t)�

� �RA

���a0 (t)

�LB

��a0 (t)+

�RA

�Ca0 (t)

�LB

�C�a0 (t)� �RA

�C�a0 (t)

�LB

�Ca0 (t)

�; (773)

unde acum notatia De Witt este explicita.

96

7.2 Solutia completa a ecuatiei master

Dupa cum am vazut anterior, primii termeni din sarcina BRST minimala sunt dati de

= �a0Ga0 +1

2Cc0a0b0�

a0�b0Pc0 + � � � : (774)

Atunci, transformarile BRST Hamiltoniene ale variabilelor spatiului fazelor extins incep cu

sHza = [za;]ext = [z

a; Ga0 ]� �a0 + � � � ; (775)

sH�a0 = [�a0 ;]ext = �

1

2Cc0a0b0�

a0�b0 + � � � ; (776)

sHPa0 = [Pa0 ;]ext = �Ga0 � Cc0a0b0

�b0Pc0 + � � � : (777)

Comparand (768)�(770) cu (775)�(777), gasim ca

sLza = sHz

a; sLCa0 = sH�

a0 ; sL��a0 = sHPa0 ; (778)

pana la identi�carileCa0 � �a0 ; ��a0 � Pa0 : (779)

Atunci, avem ca �Ca0 ; ��b0

�ext=���b0 ; C

a0�ext= ��a0b0 = [�

a0 ;Pb0 ]ext : (780)

Utilizand identi�carile anterioare, incercam sa exprimam piesele din solutia ecuatiei master (767)in termenii variabilelor spatiului fazelor extins si ai parantezei Poisson generalizate sub forma

z�a [za; Ga0 ]

�Ca0 + � � � = z�a [za;]ext ; (781)

�12Ca0b0c0C

�a0C

b0Cc0 + � � � = �12Cc0a0b0C

�a0�

a0�b0 + � � � = C�a0 [�a0 ;]ext ; (782)

�a0Ga0 � Ca0b0c0��a0�

b0Cc0 + � � � = �a0Ga0 + Cb0a0c0�

a0�c0Pb0 + � � � = ��a0 [Pa0 ;]ext ;(783)�H0 + ��a0V

a0b0Cb0 + � � � = �H0 � V a0

b0�b0Pa0 + � � � = �HB: (784)

Substituind (781)�(784) in (767), ajungem la

SE =

Z t2

t1

dt�aa (z) _z

a + _�a0Pa0 �HB + z�a [za;]ext + C�a0 [�

a0 ;]ext � �a0 [Pa0 ;]ext

�: (785)

Mentionam ca in acest stadiu, relatia (785) reprezinta o tentativa de a exprima solutia ecuatieimaster in termenii variabilelor spatiului fazelor extins si ai parantezei Poisson generalizate. Panain prezent, nu este garantat ca formula (785) furnizeaza solutia ecuatiei master

�SE ; SE

�= 0.

Urmatoarea teorema rezolva aceasta problema.Teorema 17 SE dat de (785) veri�ca ecuatia master�

SE ; SE�= 0: (786)

DemonstratiePrin calcul direct gasim ca

1

2

�SE ; SE

�=

Z t2

t1

dt

��@aa@zb

_za � _ab�h

zb;iext+ _Pa0 [�a0 ;]ext + _�a0 [Pa0 ;]ext�

�@HB@za

[za;]ext �@RHB@�a0

[�a0 ;]ext �@RHB@Pa0

[Pa0 ;]ext + z�a

�@ [za;]ext

@zb

hzb;

iext+

97

+@R [za;]ext

@�a0[�a0 ;]ext +

@R [za;]ext@Pa0

[Pa0 ;]ext�+ C�a0

�@ [�a0 ;]ext

@za[za;]ext+

+@R [�a0 ;]ext

@�b0

h�b0 ;

iext+@R [�a0 ;]ext

@Pb0[Pb0 ;]ext

�� �a0

�@ [Pa0 ;]ext

@za[za;]ext�

�@L [Pa0 ;]ext

@�b0

h�b0 ;

iext+@R [Pa0 ;]ext

@Pb0[Pb0 ;]ext

��: (787)

Acum prelucram termenii din (787). Avem ca�@aa@zb

_za � _ab�h

zb;iext=

�@aa@zb� @ab@za

�hzb;

iext_za = !ba!

bc @

@zc_za = � _za @

@za; (788)

_Pa0 [�a0 ;]ext + _�a0 [Pa0 ;]ext = � _�a0 @

L

@�a0� _Pa0

@L

@Pa0; (789)

de unde obtinem �@aa@zb

_za � _ab�h

zb;iext+ _Pa0 [�a0 ;]ext + _�a0 [Pa0 ;]ext =

= � _za @@za� _�a0 @

L

@�a0� _Pa0

@L

@Pa0= �d

dt: (790)

In continuare, gasim ca

�@HB@za

[za;]ext �@RHB@�a0

[�a0 ;]ext �@RHB@Pa0

[Pa0 ;]ext =

= �!ab@HB@za

@

@zb+

�@RHB@�a0

@L

@Pa0+@RHB@Pa0

@L

@�a0

�= � [HB;]ext : (791)

In sfarsit, deducem ca

@ [za;]ext@zb

hzb;

iext+@R [za;]ext

@�a0[�a0 ;]ext +

@R [za;]ext@Pa0

[Pa0 ;]ext =

=@ [za;]ext

@zb!bc

@

@zc��@R [za;]ext

@�a0@L

@Pa0+@R [za;]ext

@Pa0@L

@�a0

�=

= [[za;]ext ;]ext =1

2[za; [;]ext]ext ; (792)

@ [�a0 ;]ext@za

[za;]ext +@R [�a0 ;]ext

@�b0

h�b0 ;

iext+@R [�a0 ;]ext

@Pb0[Pb0 ;]ext =

=@ [�a0 ;]ext

@za!ab

@

@zb��@R [�a0 ;]ext

@�b0@L

@Pb0+@R [�a0 ;]ext

@Pb0@L

@�b0

�=

= [[�a0 ;]ext ;]ext =1

2[�a0 ; [;]ext]ext ; (793)

@ [Pa0 ;]ext@za

[za;]ext �@L [Pa0 ;]ext

@�b0

h�b0 ;

iext+@R [Pa0 ;]ext

@Pb0[Pb0 ;]ext =

@ [Pa0 ;]ext@za

[za;]ext +@R [Pa0 ;]ext

@�b0

h�b0 ;

iext+@R [Pa0 ;]ext

@Pb0[Pb0 ;]ext =

@ [Pa0 ;]ext@za

!ab@

@zb��@R [Pa0 ;]ext

@�b0@L

@Pb0+@R [Pa0 ;]ext

@Pb0@L

@�b0

�=

98

= [[Pa0 ;]ext ;]ext =1

2[Pa0 ; [;]ext]ext . (794)

Substituind (790)�(794) in (787), ajungem la

1

2

�SE ; SE

�=

Z t2

t1

dt

��ddt� [HB;]ext +

1

2z�a [z

a; [;]ext]ext+

+1

2C�a0 [�

a0 ; [;]ext]ext �1

2�a0 [Pa0 ; [;]ext]ext

�=Z t2

t1

dt

�� [HB;]ext +

1

2z�a [z

a; [;]ext]ext +1

2C�a0 [�

a0 ; [;]ext]ext

�12�a0 [Pa0 ; [;]ext]ext

�� jt2t1 (795)

Tinand cont de (679) si (671), relatia (795) conduce la

1

2

�SE ; SE

�=

Z t2

t1

dt

�� [HB;]ext +

1

2z�a [z

a; [;]ext]ext+

+1

2C�a0 [�

a0 ; [;]ext]ext �1

2�a0 [Pa0 ; [;]ext]ext

�(796)

Deoarece avem ca [;]ext = 0 si [HB;]ext, din (796) rezulta imediat (786). �

7.3 Actiunea �xata gauge corespunzatoare solutiei ecuatiei master

Dupa cum se poate vedea din (771), diferenta dintre campuri si anticampuri la nivelul antiparantezeiconsta intr-un semn. Din acest motiv, putem privi pe ��A a � camp si pe (�) �A a � anticamp.Pentru a obtine actiunea �xata gauge corespunzatoare solutiei ecuatiei master (785), trebuie saalegem un fermion de gauge �xing cu ajutorul caruia sa eliminam anticampurile/campurile prinintermediul relatiilor

anticampuri =�

� (campuri); (797)

campuri = � �

� (anticampuri): (798)

Vom alege pe cu urmatoarea dependenta

= �za; ��a0 � Pa0 ; C

a0 � �a0�; (799)

Atunci, conform formulelor (797)�(798) obtinem ca

z�a =�

�za; �a0 = � �

���a0� � �

�Pa0; C�a0 =

�

�Ca0� �

��a0: (800)

Substituind (800) in (785) si tinand cont ca are paritate Grassmann egala cu unu ( �R �x = �L

�x �� �x ), gasim ca

SE = SE�za; �a0 ;Pa0 ; z�a =

�

�za; �a0 = � �

R

�Pa0; C�a0 =

�R

��a0

�=

99

=

Z t2

t1

dt

�aa (z) _z

a + _�a0Pa0 �HB +�

�za[za;]ext +

�R

��a0[�a0 ;]ext +

�R

�Pa0[Pa0 ;]ext

�: (801)

Daca alegem pe astfel incat

= �Z t2

t1

dtQ (za;Pa0 ; �a0) ; (802)

unde Q (za;Pa0 ; �a0) nu depinde de derivatele marimilor (za;Pa0 ; �a0), rezulta ca

�

�za= � @Q

@za;�R

�Pa0= � @

RQ

@Pa0;�R

��a0= �@

RQ

@�a0: (803)

Atunci, gasim ca

�

�za[za;]ext +

�R

��a0[�a0 ;]ext +

�R

�Pa0[Pa0 ;]ext =

= � @Q@za

!ab@

@zb+

�@RQ

@�a0@L

@Pa0+@RQ

@Pa0@L

@�a0

�= � [Q;]ext : (804)

Substituind (804) in (801), ajungem la

SE ! SEQ [za; �a0 ;Pa0 ] =

Z t2

t1

dt (aa (z) _za + _�a0Pa0 �HQ) ; (805)

undeHQ = HB + [Q;]ext : (806)

Comparand (805) cu (670), obtinem urmatoarea teorema.Teorema 18

SEQ [za; �a0 ;Pa0 ] = SQ [z

a; �a0 ;Pa0 ] : (807)

Ultima teorema evidentiaza ca, pentru sistemele supuse la constrangeri de clasa I, actiunea �xatagauge obtinuta din formalismul BRST Lagrangian (data de (805)) coincide cu actiunea �xata gaugededusa din formalismul BRST Hamiltonian (data de (670)).

100

Bibliogra�e

[1] C. Teitelboim, M. Henneaux, Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press,Princeton, New Jersey (1992)

[2] C. Bizdadea, S. O. Saliu, Sisteme dinamice supuse la constrangeri, Editura Universitaria,Craiova (2007)

[3] S. O. Saliu, Metode Hamiltoniene de cuanti�care, Editura Universitaria, Craiova (2002)

[4] J. M. L. Fisch, M. Henneaux, Antibracket-anti�eld formalism for constrained Hamiltonian sys-tems, Phys. Lett. B226 (1989) 80

[5] C. Bizdadea, I. Negru, S. C. Sararu, Simetria BRST Lagrangiana, Editura Universitaria, Craiova(2008)

101