第一章微积分 1.1 函数

第一章微积分1.1 函数

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2.1 函数

主要教学内容：函数的概念、分段函数由已知函数产生新函数函数的性态其他函数举例


函数的概念映射

映射是集合间的对应关系

}{Y

}{X

321

21

三儿子二儿子，大儿子，，母亲父亲，例子：集合

yyy

xx

2.1 函数

3y

1y

2y1x

1y

2x

1x

2x2y

3y

yxf

g

y x

单值对应多值对应


2.1 函数函数的定义定义：设 X 与 Y 都是 R 的子集合，对于 X 中的每个元素

（即数） x,按照一个确定的规则（记作 f ）惟一对应着Y 的一个元素 y,常记作

称 f 是集合 X 到集合 Y 的函数，记作 x 与 y 分别称为自变量与因变量， y=f(x)称为函数 f 在

x 处的值。 X 称为定义域，记为 , f(X)={y|y=f(x),x∈X}称为函数 f 的值域 , 记为。

),(: xfyyxf 或

,

,:

yx

YXf

fD

fD

fR


2.1 函数

2 分段函数定义：若函数 f 定义域被分成若干区间，在各区间上 f 的对应规则表达方式不同，则称 f 为分段函数。

例： 1996年起，天津市人民政府根据国家规定与天津市的实际情况制定了个人所得税征收标准，其计算办法如下表所列。试建立每月个人应交纳的税款 y 与月收入 x 间的函数关系。


2.1 函数

级数全月收入额 x （元）税率（ % ）速算扣除数（元）

1 1000≤x≤1500 5 0

2 1500<x≤3000 10 25

3 3000<x≤6000 15 125

4 6000<x≤21000 20 375

5 21000<x≤41000 25 1375

6 41000<x≤61000 30 3375

7 61000<x≤81000 35 6375

8 81000<x≤101000 40 10375

9 X>101000 45 15375

计算公式：月收入不超过 1000 元的不交个人所得税；月收入超过 1000 元的应纳税额 = （月收入额 -1000） x 适用税率—速算扣除数。


2.1函数

解根据上表可得函数的表达式为：)(xyy

,101000,15375%45)1000(

,10100081000,10375%40)1000(

,8100061000,6375%35)1000(

,6100041000,3375%30)1000(

,4100021000,1375%25)1000(

,210006000,375%20)1000(

,60003000,125%15)1000(

,30001500,25%10)1000(

,15001000,0%5)1000(

,10000,0

)(

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

xyy


2.1 函数

其定义域为，其图形如下图所示 , 是由斜率不同的 9 条线段与一条射线组成：

),0[


2.1 函数

例旅客行李收费规定，不超过 20kg者免运费，超出 20kg时，每超过 1kg加收 2 元。试把运费P 写成行李重量 w 的函数。

解：

上面区间也可写成和 .

0, 0 20( )

2( 20), 20

wP w

w w

[0,20]w (20, )w


2.1 函数

区间的记法：开区间：

闭区间：，半开半闭区间：

( , ) { | } , ( , ) { | } ,

( , ) { | } , ( , ) .

a b x a x b a x x a

b x x b R

[ , ] { | }a b x a x b

[ , ) { | } , ( , ] { | },

[ , ) { | } , ( , ] { | }.

a b x a x b a b x a x b

a x x a b x x b


2.1 函数

取整函数表示不超过 x 的最大整数。如 [3.14]=3, [-3.14]=- 4。函数表达式为：

[ ]x

[ ]x

... ...

2, 2 3

1, 1 2[ ]

0, 0 1

1, 1 0

... ...

x

xy x

x

x


2.1 函数

取整函数的图像：[ ]x

-3 -2 -1-4 1 2 3 4

● ○

●

●

●

●

●

●

●

○

○

○

○

○

○

○

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4


2.1 函数

数列以正整数为定义域的函数，再按照项

数 n 的顺序排列起来。

例：1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11， . . . . . .

14

关于斐波那契数列我们先来做一个游戏！

15

十秒钟加数

请用十秒，计算出左边一列数的和。

12358

13213455

+ 89??

时间到！答案是 231 。

16

十秒钟加数

再来一次！

345589

144233377610987

1597+ 2584

????

时间到！答案是 6710 。

17

这与“斐波那契数列”有关

若一个数列，前两项等于 1 ，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …

18

一、兔子问题和斐波那契数列 1 ．兔子问题 1 ）问题 —— 取自意大利数学家斐波那契的《算盘书》（ 1202 年） (L.Fibonacci,1170-1250 ）

19

兔子问题

假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始， 12 个月后会有多少对兔子呢？

20

解答

1 月 1 对

21

解答

1 月 1 对2 月 1 对

22

解答

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对

23

解答

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对

24

解答

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对

25

解答

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对

26

解答

1 月 1 对2 月 1 对3 月 2 对4 月 3 对5 月 5 对6 月 8 对7 月13 对

27

解答可以将结果以列表形式给出：

1 月 2 月 3 月 5 月4 月 6 月

7 月 8 月 9 月 11月

10月

12月

1 1 2 3 5 8

13 21 34 55 89 144

因此，斐波那契问题的答案是 144 对。以上数列，即“斐波那契数列”

28

兔子问题的另外一种提法：第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个

月时，共有多少对兔子？月份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

到十二月时有大兔子 144 对，小兔子 89对，共有兔子 144+89=233 对。（三点规律）

规律

29

2 ．斐波那契数列 1 ）公式用表示第个月大兔子的对数，则有二

阶递推公式（ “一阶”、“二阶”）

nF

1 2

1 2

1

, 3,4,5n n n

F F

F F F n

n

30

2 ）斐波那契数列令 n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34

，

55， 89， 144， 233， 377，…

这就是斐波那契数列。其中的任一个数，都叫斐波那契数。

31

“十秒钟加数”的秘密数学家发现：连续 10 个斐波

那契数之和，必定等于第 7 个数的 11 倍！

12358

13213455

+ 89??

所以右式的答案是：21 11 = 231

32

“十秒钟加数”的秘密又例如：

右式的答案是：

345589

144233377610987

1597+ 2584

????

610 11 = 6710


2.1 函数

由已知函数产生新函数 1.函数的四则运算设为两个函数，则有

gf DxxgDxxf ),(),( 与

}.0)(,{,)(

)(

;),()(

;),()(

;),()(

xgDDxxg

xf

DDxxgxf

DDxxgxf

DDxxgxf

gf

gf

gf

gf

商函数：

积函数：

差函数：

和函数：


2.1 函数

例给定函数：

则有以下四个新的函数：).,0[,)(

);,(,sin)(

xxxg

xxxf

).,0(,sin

)(

)(

),,0[,sin)()(

),,0[,sin)()(

),,0[,sin)()(

xx

x

xg

xf

xxxxgxf

xxxxgxf

xxxxgxf


2.1 函数

2.复合函数定义：给定函数 , 则与的

复合函数是

即，其中称为中间变量。注：并非任何两个函数都能复合，只有时才

能与复合，若，为了形成复合函数，必须缩小的定义域，使其值域相应缩小以满足上述要求。

,

,:

,

,:

yz

YZg

zx

ZXf

f g

,

,:

yx

YXfg

Xxxfgy )],([ )(xfz

gf DR f g gf DR

f


2.1 函数

).,0[,)(

;,,23)(

g

ff

Dzzgy

RRRDxxfz 而

gf DR

2323:23 xzyxzxxygf

例子函数

显然，为求复合函数

的定义域，先求出再由，即解得，即函数的

定义域为。

),,0[ gDgDz

023 x3

2x 23 xy

),3

2[


2.1 函数

例 2.1.6 试分析函数是由哪几个函数复合而成的，并求其定义域。

解函数为，

因

故定义域为：。

1

lg(3 )y

x

1, lg , 3y w z z x

w

3,3 0,

3 1, 2lg(3 ) 0,

xx

x xx

( , 2) (2,3)x


2.1 函数

例 2.1.8 设，求。解由于令，即，得

将上式中的换成，既得

注：上述方法称为变量代换。 .

)( axfaxx

( ) ( )f x a x x a ( )f x

z x a

( ) ( )f x x a x

azx ,)()()()( zazaxxaxfzf

z x


2.1 函数

3 反函数例指数函数与对数函数的关

系 :

它们的图像如下：

xy 2 xy 2log

,2

),,0(: xx

Rf

,log

,),0(:

2 xx

Rg

y =2x

O x

y


2.1 函数

定义设函数

若对每一按对应规律有唯一的与之对应，反之每一也有惟一的使得则称函数是一一对应。

定义若函数是一一对应，则称反过来的对应为的反函数，记作

也记为

,

,:

yx

YXf

,Xx f YyYy ,Xx

.)( yxf )(xfy )(xfy

f

,

,:1

xy

XYf

.),(1 fRxxfy


2.1 函数注：函数与其反函数的图像关于直线对称。例 2.1.9考虑函数其值域是此函数不是一一对应。为构造反函数需要缩小定义域为以使得其为一一对应：

得到的反函数为：

xy ,,sin Rxxy

],2

,2

[

,sin

],1,1[]2

,2

[:xx

f

],1,1[

,arcsin

],2

,2

[]1,1[:1

xxf


2.1 函数

例子 2.1.10 求的反函数。解函数的定义域为

由函数解出改写为

写出给定函数的值域即反函数的定义域：

2

2

x

xy

),,2()2,(

,1

)1(2

y

yx2

2

x

xy

).,1()1,(

,1

)1(2

x

xy


2.1 函数

初等函数基本初等函数（见书中列表）。初等函数：有限个基本初等函数通过有限次四则运算或复合得到的函数。

例 2.1.11 求初等函数的定义域。

解的定义域为的定义域为故给定函数的定义域为交集：

xsinlg

xarccos

x

x

xxy 4

4

arccossinlg

2

;,)12(2 Zkkxk ].1,1[x

].1,0(


2.1 函数

2.1.3函数的性态 1.函数的奇偶性定义设函数的定义域关于原点对称，即

若，则称为偶函数；若，则称为奇函数。奇函数奇函数 = 奇函数；偶函数偶函数 = 偶函数；奇函数（或）奇函数 = 偶函数；偶函数（或）偶函数 = 偶函数；奇函数（或）偶函数＝奇函数 .

)(xf

( ) ( ) , ff x f x x D

fD

,ff DxDx

)(xf( ) ( ) , ff x f x x D

)(xf


2.1 函数

例子 2.1.12 判定函数是奇函数、偶函数、还是非奇非偶函数。

解因

故该函数为奇函数。

Rxxxy a ),1(log 2

).()1(log

)1(log1

1log

)1(

)1)(1(log

)1)((log)(

2

12

2

2

22

2

xyxx

xxxx

xx

xxxx

xxxy

a

aa

a

a


2.1 函数

2.函数的周期性定义给定函数若存在常数，使得 1 ） 2 ）则称为周期函数，满足上述条件的最小正数

称为的周期。例是周期为的周期函数，是周期为的周期函数。

,),( fDxxf T

;ff DTxDx

,),()( fDxxfTxf

)(xf T)(xf

xxxx csc,sec,cos,sin

xx cot,tan

2


2.1 函数

例 2.1.13 求函数的周期。解因

故此函数的周期为 2.

一般的，函数的周期为。

)sin(5 xy

)],2(sin[5)2sin(5)sin(5 xxxy

xsin2


2.1 函数

3.函数的单调性定义给定函数，设，若对任意两点

1 ）有，称在单调增加； 2 ）有，称在单调不减； 3 ）有，称在单调减少； 4 ）有，称在单调不增。

fDxxf ),(fDba ),(

,212,1 ),,( xxbaxx

)()( 21 xfxf )(xf ),( ba

)()( 21 xfxf

)()( 21 xfxf

)()( 21 xfxf )(xf

)(xf

)(xf

),( ba

),( ba

),( ba


2.1 函数

4.函数的有界性定义给定函数集合若存在正数 , 使得 1 ）对任何有则称在有界，否则称为无界。

2 ）对任何有则称在有上界，否则称为无上界。

3 ）对任何有则称在有下界，否则称为无下界。

,),( fDxxf ,fDX M

,Xx ,|)(| Mxf )(xf X

,Xx

,Xx ,)( Mxf

,)( Mxf

)(xf

)(xf

X

X


2.1 函数

注：集合可以是闭区间，开区间，也可以是半开半闭区间或。

函数无界的等价定义：函数在集合无界不存在正数满足对任何有对任何一个正数至少有一个 , 不满足对任何一个正数存在一个使得

),[ ba],[ ba

],( ba

),( ba

)(xf X

Mxf |)(|

,M ,Xx

Xx

,Xx

Mxf |)(|,M

,M .|)(| Mxf

本节结束

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第一章 微积分 1.1 函数

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