相关 Hilbert差值时延估计方法误差分析

王 锋袁 刘鹏远袁 李 兵（军械工程学院四系，河北 石家庄 050003）

摘 要院被动探测的关键技术之一就是通过有效的信号处理方法提取出多接收器的时间差，而确定时差最基本的方法

是进行信号相关以获得估计信息，相关算法虽然计算过程简单，但是算法对信号和噪声频谱特性要求比较高。基于希

尔伯特变换的时延估计是广义相关时延估计方法的拓展，把相关函数的对称性由偶函数转化成奇函数，将相关法中对

峰值的检测转化为对过零点的检测。通过对两种算法的误差比较分析，信号的截至频率越高，希尔伯特变换法的均方

误差与基本相关法的均方误差相差越明显，估计误差越理想，证明 Hilbert 算法的优越性。

关键词院Hilbert；时延估计；误差分析；相关算法

文献标志码院A 文章编号院1674-5124渊2015冤12-0014-03

Error analysis of TDE based on correlation Hilbert transform

WANG Feng，LIU Pengyuan，LI Bing（Foth Department，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

Abstract: Passive detection has the advantages of anti -reconnaissance， strong anti -jamming andconcealment. It has become an important direction to raise the capacity of electroniccountermeasures. One of the key technologies for passive detection is to extract the time lagthrough effective signal processing. Relevant method is the most basic information to estimate thetime difference. It is the basic theory of all correlative time-delay estimation (TDE) algorithms.Calculation correlation method is simple. But satisfactory results cannot be achieved if the spectrumcharacteristics of signal and noise are not ideal. Time delay estimation based on Hilbert transformis the expansion of the generalized correlation time -delay estimation method which changes thecorrelation function from accidental symmetry into odd symmetry. Detecting correlation peak isconverted into zero crossing detection. After comparing the error of the two kinds of methods，thehigher the cutoff frequency is the more obvious when the differences between the mean squarederrors of the two methods are larger. In other words，the estimate is more precise.Keywords: Hilbert；time-delay estimation；error analyzing；correlation algorithms

收稿日期院2015-01-11曰收到修改稿日期院2015-02-22作者简介：王 锋（1980-），男，讲师，博士，研究方向为磁场

检测技术及信号处理。

0 引 言随着电子对抗、电子侦察与反侦察等技术的迅

速发展，主动探测系统的隐蔽性不强、抗干扰及抗侦

察能力差等弱点日益突显，探测系统的自身生存能

力受到越来越严重的威胁[1]。被动时差探测定位法具

有作用距离远、速度快和隐蔽性好等优点，在军事上

有广泛的应用前景。

实现被动时差定位，关键是通过有效的信号处

理方法提取出多个接收器的时间差[1]。目前用于确

中国测试CHINA MEASUREMENT & TEST Vol.41 No.12December，2015第 41 卷第 12 期2015 年 12 月

doi院10.11857/j.issn.1674-5124.2015.12.004

第 41 卷第 12 期

定时差的信号处理方法主要有两种：第 1 种是相位

干涉法，其缺点是容易产生相位模糊，消除相位模糊

需要使用多个基站来同步测定，因此设备的复杂程度

和成本较高；第 2 种是相关时延估计，利用同一个信

号的相关特性来确定信号到达不同接收器的时延，

由时延计算信号的方向和距离从而实现探测。

基本的相关法是对信号进行时差估计最简单

的方法，但是要求信号和噪声都具有理想的频谱特

性，否则，难以达到满意的估计效果。为了消除噪声

对时延估计算法的影响，通常采取广义互相关法来

提高估计的准确度。即在估算相关函数前，首先对

两路信号 x1（t）和 x2（t）进行滤波预处理，通过对信号

的互功率谱加窗加权处理，使信号的噪声白化，实现

抑制噪声功率[2]，提高信号中信噪比较高的频率成分，

从而有效提高估计准确度。但这种方法实现精确估

计的前提是信号与噪声、噪声与噪声互不相关，依

赖于被测信号的先验信息，实际计算性能很大程度

上会受到多径或信噪比低等因素的影响，理论上的

最优只是近似的实现。

本文通过对两种算法的误差分析来研究 Hilbert算法的优越性。

1 相关 Hilbert差值时延估计原理经过希尔伯特变换，峰值判断转换为对过零点的

判断，可以在一定程度上减少噪声的干扰[3]。但是，对

过零点的判断同样存在着问题。由于噪声的影响，时

延对应的过零点附近也可能会出现波动，就会导致

多次过零，使得对过零点的位置存在误判的可能；

此外，当数据序列较长时也会出现多个过零点。这时，

要准确找出时延所对应的过零点还必须采用其他算

法加以辅助[4]，实践表明，这些辅助运算比峰值判断

更加复杂。

希尔伯特变换后的过零点对应着基本相关算

法的相关峰点，为了排除噪声干扰形成的过零点，

将基本相关函数与希尔伯特变换后函数的绝对值

做差：

R 忆（ ）=R 忆12（ ）- R軒忆

12（ ） （1）如此进行差值运算后，峰值点附近的幅值基本保

持不变，而波形峰值点周边的值却被削减；同时，在

波形上，差值运算后 R忆（）的极大峰比互相关 R 忆12（）

的峰更加尖锐。这样的处理既可以保留相关峰值点，

同时又达到锐化主峰值点的目的，提高了时延估计

准确度。

2 误差分析对时延的估计本身就是一种近似运算，误差不可

避免。衡量一个算法性能优劣的重要方面就是度量

误差。本节以误差的均方误差作为参考指标，对相关

希尔伯特差值法的误差进行简要分析。

基本相关法中，可以将两路信号的互相关函数

表示为

R 忆12（ ）=姿准s（ ）+准n（ ） （2）

式中：准s（ ）———信号项；

准n（ ）———为噪声项。

准s（ ）=Rss（ -T）=Tx/2

-Ts /2乙 s（t）s（t+ -T）dt （3）

准n（ ）=姿R sn1（ -T）+Rsn2（ ）+Rn1n2（ ）=姿

Tx/2

-Ts/2乙 s（t+ -T）n1（t）dt +

Tx/2

-Ts /2乙 s（t）n2（t + ）dt +

Tx/2

-Ts /2乙 n1（t）n2（t + ）dt （4）

时延真值对应相关函数的峰值点，因此，准 忆s（T）=

0，对 准s（ ）在时延真值 =T 处用二阶 Taylor 公式

展开为

准s（ ）抑准s（T）+准 忆s（T）（ -T）+

12 准 义s（T）（ -T）2=准s（T）+ 12 准 义

s（T）（ -T）2

（5）在式（5）两边对 求导得：

d准sd =准 义s（T）（ -T） （6）

根据文献[4]的结论：

准s（ ）抑TRss（T- ） （7）则：

准s 义（ ）| = T抑TR 义ss（0）

根据式（2）、式（6）、式（7）可得：

dR 忆12d | =T赞 抑姿R 义

ss（0）（T赞 -T）+准 忆n（T赞） （8）

T赞为 Hilbert 变换差值后时延的估计值，对式（8）两边求期望：

E R 忆12（T赞）蓘 蓡 抑姿R 义

ss（0）E T赞 -T蓘 蓡 +E 准忆（T赞）n蓘 蓡 =0 （9）

则在 =T赞处，R12（）的斜率近似 0，这就表明在该点

附近，两种相关函数的值相差不大，变化趋势十分

平缓。

王 锋等：相关 Hilbert 差值时延估计方法误差分析 15

中国测试 2015 年 12 月

在希尔伯特变换法中，R軒忆12（）时延所对应的过

0点 =T赞 h，在该点处会出现一个波谷，相应地，- R軒忆12（）

中出现的就是一个波峰。只要有噪声的存在，T赞 h 与T赞

就不一定相同。在 =T赞 处，R12（ ）是否可导是不确定

的，因此在 =T赞 处需要讨论其左导数和右导数的情

况。根据 Hilbert 变换的性质，在 =T赞处，其左导数和

右导数的绝对值都远大于 0[5]。这就表明，在 =T赞 处，

R軒忆12（）斜率的绝对值远大于 R12（ ）的斜率，在该点

附近，与基本相关法相比，R軒忆12（）值的变化速度要

快得多。

相关希尔伯特差值法中，将 R12（ ）与 R軒忆12（）做

差运算，在 =T赞 附近，等效为一段在此出现波峰的数

据和一段近似常量的数据进行叠加，叠加之后的运

算结果必然还会在原来的位置保持一个波峰，于是

可以得出：

T赞 抑T赞 h （10）对于同一个时间延迟，对应在相关希尔伯特差

值法中的峰值点与对应在希尔伯特变换中过零点是

近似相等的，也就是说，两种方法的均方误差也近似

相同。根据文献[6]可以得到它们的近似均方误差为

E T赞 h-T蓸 蔀 2抑 12仔2Ts fc4·2SNR+1（SNR）2 （11）

根据文献[7]，可以得到基本相关法的均方误差为

E T赞 -T蓸 蔀 2抑 18仔2Ts fc2·2SNR+1（SNR）2 （12）

比较式（11）、式（12）可知，信号的截止频率越

高，希尔伯特变换法的均方误差与基本相关法的均

方误差相差越明显，估计误差越理想。根据上述分析，

相关希尔伯特差值法与希尔伯特变换法的均方差在

理论上近似相等，但在实际的数据处理中，希尔伯特

变换法并不是总能达到理想的准确度[8]。如果出现多

个过 0 点，就需要从中选取时延的过 0 点，能否正确

选择依赖于算法适当与否，一旦发生错误判断，造成

的探测误差一般都比较大[9]。随着噪声的增大，这个

问题会变得越来越严重，进而造成时延估计结果错误，

导致探测的失败。同时在对过零点选择定位的过程

中，会在很大程度上增加数据处理的复杂性和运算

量。显然，相关希尔伯特差值法中不存在多个过 0点，消除了上述问题，只要对峰值的位置作出判断

就可以有效估计出时间的延迟，算法简单又不容易

产生误差。

3 仿真验证为验证希尔伯特算法的估计性能，以一组随机

信号为例，分别用经典相关法和 Hilbert 算法处理，进

行时延的仿真比较。生成一组随机序列，信噪比为

图2 SNR=-8 dB两种算法时延估计性能比较

经典算法

Hilbert算法

-500 0 500 1 000 1500 2000 2 500-4-202468

取样点

图1 SNR=-8dB两种时延估计

渊a冤广义相关法结果

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-6-4-202468

取样点/105

渊b冤Hilbert相关法结果

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-6-4-202468

取样点/105

渊下转第 24 页冤

16

中国测试 2015 年 12 月

故引起的母光距误差为 8.6 滋m袁当虚拟基线

为1 020m 时袁引起的不确定度为 0.16 mm袁对测量结

果的影响可忽略袁当用膜层厚度修正母光距渊取多膜

层反射光的平均效应时冤后袁不确定度为 0.08 mm袁甚至可采用其他技术将母光距的系统误差测出予以补

偿或修正遥因此袁光的波动效应不会对装置的建立产

生决定性的影响遥5 结束语

论文详细阐述了基于折光腔法与虚拟基线理论

构造鉴相式大长度测量仪检定装置的原理袁以及虚

拟基线的标定方法袁讨论了实现检定装置的结构与

参数控制措施袁并指出为实现该装置应保证以下参

数院反射体表面的反射率应尽可能高曰母光距可通过

双频激光干涉仪和 滋BASE 高准确度光电测距仪标

定袁测量不确定度可控制在 10-6 以内曰两反射面的夹

角控制在 茁臆5义内遥参考文献

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-8 dB，设定时延 D=1 100，在信号上加

入高斯噪声，基本相关法和希尔伯特相关法的相关

函数分别如图1 所示。

比较两个相关函数，Hilbert 算法的峰点很明显，

而基本相关算法的峰点虽然也能识别出来，但不是

很突出。比较两种算法的误差，在同一个图上绘出两

种相关函数，如图 2 所示，图中虚线为实际时延对应

的位置，比较两种算法的相关峰值点，显然，Hilbert算法的峰点更接近理论位置，即算法的误差更小，与

上述的理论分析一致。

4 结束语

被动探测中时差估计是一个关键点，在噪声环

境下，时差估计又是一个难点，在信噪比较低的情况

下，强噪声的影响会使经典相关法的峰点出现抖动，

甚至模糊，时延估计准确度就会受到严重影响。本文

引入希尔伯特变换，将相关估计中的峰值判断转化

为过零点的识别。理论误差分析和仿真比较表明：希

尔伯特法对噪声抑制效果更好，对改进相关时延算

法，提高估计准确度有明显的作用。

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渊上接第 16 页冤

24