C P Q P S - users.metropolia.fiusers.metropolia.fi/~koiva/S2011/T11ABC-Dig/Oppitunnit/Luku11.pdf · • Puolisummain ( half adder ) muodostaa kahden yksibittisen luvun summabitin

Digitaalitekniikan matematiikka Luku 11 Sivu 1 (21)Laskutoimitukset binaariluvuilla 1.9.2011 Fe

Laskutoimitukset binaariluvuilla

ΣΣΣΣΣΣΣΣ

COCI

P

Q

S

Cin CoutAseta i = nAseta i = n

Pi > QiPi > Qi P > QP > Q

Pi < QiPi < Qi

Ei

i = 0i = 0

Ei

i = i - 1i = i - 1

Ei

On

P < QP < QOn

P = QP = QOn

S = P Q + P Q = P ⊕⊕⊕⊕ QS = P Q + P Q = P ⊕⊕⊕⊕ Q

C000000001000P000001100011Q0+0010000010S000011100101

C000000001000P000001100011Q0+0010000010S000011100101

P - Q = P + (-Q

)

P - Q = P + (-Q

)

C = P QC = P Q


Johdanto

Tässä luvussa• käsitellään peruslaskutoimitukset yksi- ja monibittisillä etumerkittömillä

binaariluvuilla

• esitellään aritmeettiset peruspiirit• esitetään etumerkittömien binaarilukujen vertailu ja vertailupiirit• käsitellään kahden komplementtimuotoisten lukujen yhteen - ja

vähennyslasku• esitetään binaariluvun kertominen kahden potenssilla

Luvun tavoitteena on• oppia laskemaan yhteen- , vähennys- ja kertolaskuja etumerkittömillä ja

kahden komplementtimuotoisilla binaariluvuilla• perehtyä aritmeettisiin piireihin ja vertailupiireihin sekä niiden käyttöön


Laskutoimitukset yksibittisillä binaariluvuilla

• Periaatteessa kuten kymmenjärjestelmän numeroilla• Laskutaulukot:

2

Kertolasku P · Q

P Q PR

0 0 00 1 01 0 01 1 1

P Q PR

0 0 00 1 01 0 01 1 1

•

Muistibitti(carry bit)

Yhteenlasku P + Q

+

P Q C S

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

P Q C S

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

Muistibitti(borrow bit)

Vähennyslasku P - Q

-

P Q B D

0 0 0 00 1 1 11 0 0 11 1 0 0

P Q B D

0 0 0 00 1 1 11 0 0 11 1 0 0

S=D


Puolisummain

• Puolisummain (half adder) muodostaa kahden yksibittisen luvunsummabitin ja muistibitin

½ΣS = P Q + P Q = P ⊕ Q

C = P Q

Kytkentäfunktiot

&

Piirikaavio

P

QS

C

=1

Totuustaulu

Muistibitti

Summabitti

P Q C S

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

P Q C S

0 0 0 00 1 0 11 0 0 11 1 1 0

Piirrosmerkki

Σ

CO

P

Q

S

C


Monibittisten binaarilukujen yhteen- ja vähennyslas ku

• Monibittisillä luvuilla tuleva muistibitti on otettava huomioon• Bittipositiossa i laskennassa ovat mukana

• yhteenlaskettavien tai vähennettävien bitit Pi ja Qi• tuleva muistibitti Ci tai Bi• summabitti Si tai erotusbitti Di• lähtevä muistibitti Ci+1 tai Bi+1

Pi Qi Ci Ci+1 Si0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Pi Qi Ci Ci+1 Si0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Summa Pi + Qi + Ci

+

Si = Di

Pi Qi Bi Bi+1 Di0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

Pi Qi Bi Bi+1 Di0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 1 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 1 1

Erotus Pi - Qi - Bi

-

C tai B ··· 1 1 1 0 0 ···P ··· 1 1 0 1 0 ···Q ··· 0 1 1 1 1 ···S tai D ··· 0 1 0 0 1 ···


Kokosummain 1

• Kokosummain (full adder) ottaa huomioon myös yhteenlaskun tulevanmuistibitin

• Seuraavassa jätetty signaalinimistä pois indeksi i

• Tuleva muistibitti on Cin ja lähtevä Cout ΣTotuustaulu

P Q Cin Cout S0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

P Q Cin Cout S0 0 0 0 00 0 1 0 10 1 0 0 10 1 1 1 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 1 01 1 1 1 1

Kytkentäfunktiot

S = P Q Cin + P Q Cin + P Q Cin + P Q Cin

= P ⊕ Q ⊕ Cin

Cout = P Q + P Cin + Q Cin

= P Q + Cin (P ⊕ Q)


Kokosummain 2

Σ

Piirikaavio 1

Cin

Cout

&

P Q

S

=1=1

&

&

≥1

Σ

COCI

P

Q

S

Cin Cout

Piirrosmerkki

Piirikaavio 2

Σ

CO

Σ

CO≥1

Cin

P

Q Cout

S


Monibittiset binaarisummaimet

• 4-bittinen rinnakkaismuotoinen summain saatavilla erillispiirinä• 4-bittisen rinnakkaismuotoisen summaimen periaatteellinen toteutus

• Heikkoutena hitaus : muistibitti etenee ketjussa summaimesta seuraavaan• Todellisessa summaimessa muistibitin kulkua on nopeutettu

• tähän voidaan käyttää muistibitin kurkistuspiiriä• kurkistussummaimessa viive ei riipu

yhteenlaskettavien bittimäärästä• nopein summain saadaan kahden tason piirinä

Σn

Σ

COCI

P0

Q0

S0

C10

P1

Q1

Σ

COCI

S1

C2

P2

Q2

Σ

COCI

S2

C3

P3

Q3

Σ

COCI

S3

C4

Esittele binaari-

summain


Nelibittinen binaarisummain

Σ

COCI

0

3

P

0

3

Q

0

3Σ

P0P1P2P3

Q0Q1Q2Q3

Cin Cout

S0S1S2S3

PiirrosmerkkiP0Q0

S0

C2

S1

C1 = Cg0

P1Q1

Cg1

Cp1

P2Q2

Cp2

P3Q3

Cp3

&

=1

≥1

&

&≥1

=1

=1

&

S2

Cg2

=1

≥1

=1

&

S3

Cg3

=1

≥1

=1

&

&C3

≥1

&

&

C4

≥1

&

Kurkistussummaimen piirikaavio

Σ4

Lisä


?1

Laskutoimituksia etumerkittömillä binaariluvuilla

2

Yhteenlasku

Ylivuoto, väärä tulos

0000

0

001

1

010

1

001

1

010

1

001

1

000

0

010

1

MuistibittiP Q +

Summa

0100

1

101

0

111

1

101

0

011

0

000

0

001

1

010

1

MuistibittiP Q +

Summa

1110

0

101

0

111

1

101

0

011

0

000

0

001

1

010

1

MuistibittiP Q +

Summa

+

Vähennyslasku

Ylivuoto, väärä tulos

0010

1

011

0

000

0

010

1

011

0

000

0

000

0

010

1

MuistibittiP Q -

Erotus

-

0011

0

011

0

000

0

110

0

111

1

101

0

001

1

010

1

MuistibittiP Q -

Erotus

1001

0

011

0

000

0

110

0

111

1

101

0

001

1

010

1

MuistibittiP Q -

Erotus

Kertolasku

P

Q0•Osatulot

Tulo

P

Q0•Osatulot

Tulo

•

0

0

10

1

000

1

101

010

0

010

01

1

101

0

1

111

1


Etumerkittömien binaarilukujen vertailu 1

• Yhtäsuuruuden vertailu• Verrataan yksittäisiä bittejä EHDOTON TAI -portilla

• Yhdistetään bittikohtaiset vertailutulokset TAI-EI-portilla• Esimerkki: nelibittinen yhtäsuuruuden vertailupiiri

Y

=1

≥1

=1

=1

=1

P0Q0

Q1

Q2

Q3

P1

P2

P3

Piirikaavio

=

COMP

P=Q

0

3

0

3

P0P1P2P3

Q0Q1Q2Q3

Y

Piirrosmerkki

P

Q


Etumerkittömien binaarilukujen vertailu 2

• Keskinäisen suuruuden vertailu• Selvitetään, kumpi luvuista on suurempi vai ovatko ne yhtä suuret

Vertailualgoritmi

Aseta i = n

Pi > Qi P > Q

Pi < Qi

Ei

i = 0

Ei

i = i - 1

Ei

On

P < QOn

P = QOn

>=<Kahdeksanbittinen vertailupiiri

COMP

P>Q

0

3

0

3

P=QP<Q

>=<

COMP

P>Q

0

3

0

3

P=QP<Q

>=<

P0P1P2P3

Q0Q1Q2Q3

0

01

P4P5P6P7

Q4Q5Q6Q7

PSQPYQPPQ

P

Q

P

Q


?2

Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujenyhteenlasku

• Yksinkertainen algoritmi

• laske luvut merkkibitteineen yhteen• unohda merkkibiteistä muodostunut muistibitti

• Esimerkkejä:

2’s

P ja Q positiivisia,samoin S

0000

0

100

1

011

0

010

1

000

0

010

1

001

1

010

1

C P Q +

S

P negatiivinen,Q positiivinen,S positiivinen

1110

0

101

0

111

1

011

0

000

0

000

0

010

1

001

1

C P Q +

S

P negatiivinen,Q negatiivinen,S positiivinen!Ylivuoto!

1011

0

010

1

010

1

010

1

100

1

111

1

011

0

010

1

C P Q +

S

Eri arvo


Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujenvähennyslasku

• Tehdään vastaluvun yhteenlaskuna : P - Q = P + (-Q)• Kahden komplementtimuodossa esitetyn luvun vastaluku saadaan

komplementoimalla luku merkkibitteineen

P - Q = P + (-Q)P - Q = P + (-Q)

-Q = kompl (Q)-Q = kompl (Q)


?3

Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujenvähennyslasku• Esimerkki: P, Q ja R ovat kahden komplementtimuotoisia lukuja,

P = 01001110, Q = 00010111, R = 11001000Laske P - Q, P - R ja Q - R

• Muodostetaan ensin komplementoimalla -Q ja -R.

Q = 00010111 ⇒ -Q = 11101001R = 11001000 ⇒ -R = 00111000

2’sMerkkibitti mukaan komplementointiin

P positiivinen,-Q negatiivinen,S positiivinen

1101

0

011

0

001

1

100

1

011

0

010

1

010

1

001

1

C P -Q +

S

P positiivinen,-R positiivinen,S negatiivinen!Ylivuoto!

0100

1

110

0

101

0

101

0

011

0

010

1

010

1

000

0

C P -R +

S

Q positiivinen,-R positiivinen,S positiivinen

0000

0

100

1

101

0

011

0

001

1

010

1

010

1

010

1

C Q -R +

S


Kahden koplementtimuotoisten binaarilukujenyhteen- ja vähennyslaskupiiri

• Yhteenlasku binaarisummaimella (VAH = 0)• Vähennyslasku vastaluvun yhteenlaskuna samalla summaimella (VAH = 1)

• Vastaluvun muodostus EHDOTON TAI -porteilla ja tulevalla muistibitillä• Esimerkki: nelibittinen summain-vähennin

Lisä

P0

Q0=1

VAH

Σ

COCI

0

3

P

0

3

Q

0

3Σ

=1

=1

=1

Q1

Q2Q3

P1P2P3

S2

C4

S1

S0

S3


Aritmeettis-looginen yksikkö ALU

• Käytetään tietokoneen keskusyksikössä• Tekee aritmeettisia ja loogisia operaatioita

P0Q0

CO

Q1

Q2

Q3

P1

P2

P3

F2

C4

F1

F0

F3

ALU[T1]

CI

0

2 M0

7OVR

P0Q0P1Q1P2Q2P3Q3

C0

OVR

S0S1S2

T1

Tulot Toiminta LähdötS2 S1 S0 F

0 0 0 Nollaus 0 0 0 00 0 1 Vähennys Q – P0 1 0 Vähennys P – Q0 1 1 Summaus P plus Q1 0 0 EHDOTON TAI P ⊕ Q1 0 1 TAI P + Q1 1 0 JA P • Q1 1 1 Asetus 1 1 1 1

Toiminnan määrittely taulukossa

Lisä

OVR = 1 ⇔ ylivuoto


Binaariluvun kertominen kahden potenssilla

• Kahden potenssilla kertominen = binaaripilkun siirto• eksponentin osoittamalla määrällä

• oikealle , jos eksponentti on positiivinen (kertolasku)• vasemmalle , jos eksponentti on negatiivinen (jakolasku)

• Kiinteän pilkun esityksessä pilkkua ei voida siirtää ⇒ siirretään itse lukua• vasemmalle , jos eksponentti on positiivinen (kertolasku)• oikealle , jos eksponentti on negatiivinen (jakolasku)

• Siirrettäessä merkkibitti ei saa muuttua

• Vasemmalle siirrettäessä• kertolaskun tuloksen pitää edelleen mahtua käytettävään

sananpituuteen• luvun perään lisätään nollia

• Oikealle siirrettäessä• syntyy katkaisuvirhe , jos yksikin poistuva bitti on ykkönen• luvun alkuun lisätään merkkibittejä

x 2n

: 2n


?4

Kahden komplementtimuotoisen binaariluvunkertominen kahden potenssilla

• Esimerkki: kerrotaan 23:lla• Positiivinen luku

• Negatiivinen luku

00 00 00 00 00 00 00 11 00 00 11 11 11 00 11 00

00 00 00 00 11 00 00 11 11 11 00 11 00 00 00 00

11 11 11 11 11 11 11 00 11 11 00 00 00 11 11 00

11 11 11 11 00 11 11 00 00 00 11 11 00 00 00 00

(+31410)

(+251210)

(-31410)

(-251210)

x 2n

0 0 0

1 1 1

Siirretty vasemmalle

Siirretty vasemmalle

Lisätty nollia

Lisätty nollia


?5

Kahden komplementtimuotoisen binaariluvunjakaminen kahden potenssilla

• Esimerkki: jaetaan 23:lla• Positiivinen luku

• Negatiivinen luku

00 00 00 00 00 00 00 11 00 00 11 11 11 00 11 00

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 11 00 00 11 11 11

11 11 11 11 11 11 11 00 11 11 00 00 00 11 11 00

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 00 11 11 00 00 00

0 1 0

(+31410)

(-31410)

(+3910)

1 1 0(-4010)

: 2n

Siirretty oikealleLisätty nollia

Siirretty oikealleLisätty ykkösiä


Yhteenveto

• Yksi- ja monibittisten binaarilukujen laskutoimitukset määritelläänlaskutaulukoilla

• Ne toteutetaan aritmeettisilla piireillä• puoli- , koko- ja monibittisill ä binaarisummaimilla• yhteen- ja v ähennyslaskupiireill ä

• Etumerkittömien binaarilukujen vertailu tehdään• yht äsuuruuden vertailupiirill ä• keskin äisen suuruuden vertailupiirill ä

• Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujen yhteen- javähennyslasku ovat yksinkertaisia

• Kahden komplementtimuotoisen binaariluvun kertominen tai jakaminenkahden potenssilla tehdään siirtämällä lukua vasemmalle tai oikealle

• Yksi- ja monibittisten binaarilukujen laskutoimitukset määritelläänlaskutaulukoilla

• Ne toteutetaan aritmeettisilla piireillä• puoli- , koko- ja monibittisill ä binaarisummaimilla• yhteen- ja v ähennyslaskupiireill ä

• Etumerkittömien binaarilukujen vertailu tehdään• yht äsuuruuden vertailupiirill ä• keskin äisen suuruuden vertailupiirill ä

• Kahden komplementtimuotoisten binaarilukujen yhteen- javähennyslasku ovat yksinkertaisia

• Kahden komplementtimuotoisen binaariluvun kertominen tai jakaminenkahden potenssilla tehdään siirtämällä lukua vasemmalle tai oikealle

Documents

C P Q P S - users.metropolia.fiusers.metropolia.fi/~koiva/S2011/T11ABC-Dig/Oppitunnit/Luku11.pdf · • Puolisummain ( half adder ) muodostaa kahden yksibittisen luvun summabitin