Calcolo delle probabilità(riassunto veloce)

Laboratorio di Bioinformatica

Corso A

aa 2005-2006

Teoria assiomatica della probabilità

• S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

• evento elementare = un qualsiasi elemento di S

• evento = un qualunque sottoinsieme Edello spazio campionario S

• si dice che l’evento E si è realizzato se il risultato dell’esperimento è un elemento di E

Operazioni con gli eventi

• somma logica (o unione):

• prodotto logico (o intersezione):

• evento contrario il complementare di A

rispetto a S:

• A e B si dicono incompatibili (o

mutuamente esclusivi) se

BA∪

BA∩

A

∅=∩ BA

Definizione formale (assiomatica) della probabilità

• Sia S uno spazio campionario• Sia P una funzione a valori reali definita

sui sottoinsiemi di S (eventi) a valori reali tale che:– 0 ≤ P(E) ≤ 1– P(S)=1– Per ogni coppia di eventi E1 ed E2

incompatibili si haP(E1 U E2) = P(E1)+P(E2)

P(E)P(E) si dice probabilitsi dice probabilitàà delldell’’evento evento EE

Se S contiene infiniti elementi

La terza condizione diventa

• Per successioni di eventi E1, E2, … a due a due incompatibili, cioè t. c. Ei ∩ Ej = Ø se i ≠ j si ha

( )∑∞

=

∞

=

=

11 i

i

i

i EPEP U

Relazioni elementari• Probabilità del complementare

12 EE ⊂

( ) ( )EPEP −=1

• Monotonia

)()( 21 EPEP ≥

• Unione e intersezione

P(E1UE2) = P(E1) + P (E2) - P(E1∩E2)

( ) 0=∅P

La definizione classica

• Se S è uno spazio campionario formato da eventi elementari equiprobabili la probabilitàdi un evento E è data da

P(E) = # elementi di E / # elementi di S

= # casi favorevoli / # casi possibili

Esercizio: compleanni

• Calcoliamo la probabilità che scegliendo a caso n persone almeno due di esse festeggino il compleanno lo stesso giorno.

• Ipotesi operativa: i bambini nascono con la stessa probabilità in ognuno dei 365 giorni dell’anno.

• A = {almeno due delle n persone festeggiano il compleanno lo stesso giorno}

Esercizio compleanni

• Calcoliamo la probabilità di = { tra gli n compleanni non ve ne sono due uguali}

• # eventi possibili = # n-uple formate scegliendo tra i 365 giorni = 365n

• # eventi favorevoli a = # n-uple formate scegliendo tra i 365 giorni senza ripetizioni = 365 * 364 * …* (365 – n +1)

A

A

( )365

1365

365

3641

365

)1365(364365 +−⋅⋅⋅=

+−⋅⋅⋅=

nnAP

nL

K

Proviamo alcuni n

compleanni.xls - Foglio1!A1

Fissiamo il compleanno

• Vogliamo calcolare la probabilità dell’evento B = {tra n persone almeno una ha il mio stesso compleanno}

• Calcoliamo la probabilità del complementare

( )n

n

n

BP

==

365

364

365

364

( )n

BP

−=

365

3641

compleanni.xls - Foglio3!A1

Calcolo delle probabilità(probabilità condizionata)

Laboratorio di Bioinformatica

Corso A

aa 2005-2006

Probabilità condizionata

• La probabilità di un evento può variare quando si aggiungono informazioni, ad esempio il fatto che un altro evento si èverificato.

Esempio: lancio di un dado

• Prima di lanciare un dado, la probabilità di ottenere il numero 5 è 1/6.

• Supponiamo che dopo il lancio del dado una persona mi riferisca che il numero uscito èdispari.

• La probabilità, per effetto della nuova informazione è salita a 1/3.

• L’informazione acquisita mi ha portato a “rinnovare” lo spazio campionario dall’iniziale S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a S' = {1, 3, 5} .

Probabilità condizionata

• Si definisce probabilità di un evento Acondizionata (o subordinata) all'evento B, e s'indica P( A | B ), la probabilità del verificarsi di A nell'ipotesi che B si sia verificato.

Probabilità condizionata

S

A∩B

BA

Dobbiamo restringere a Dobbiamo restringere a BB lo spazio campionario e lo spazio campionario e

ridefinire su ridefinire su BB la probabilitla probabilitàà. La sola parte di . La sola parte di A A

significativa resta significativa resta A A ∩∩ B.B.

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

In altre parole

• La formula precedente si può leggerecome

)()|()( BPBAPBAP ⋅=∩

)()|()( APABPBAP ⋅=∩

TeoremaTeorema delladella probabilitprobabilitàà

compostacomposta

Eventi indipendenti• Da un mazzo di carte da briscola si estrae una carta.

La probabilità che sia fiori è 10/40 = 1/4.

• Se so che la carta estratta è una figura, la probabilità

che si tratti di una carta di fiori rimane 3/12=1/4.

A = "esce una carta di fiori"

F = "esce una figura"

p(A) = 1/4 = p(A|F)

• Il verificarsi di F non modifica la probabilità che A si

verifichi.

• Si dice allora che i due eventi sono indipendenti

Eventi indipendentiDue eventi A e B si dicono (stocasticamente)

indipendenti quando la conoscenza del verificarsi di uno dei due non dà alcunainformazione sul verificarsi dell’altro.

)|()( BAPAP = )|()( ABPBP =oo

Due Due eventieventi AA e e B B sisi diconodicono ((stocasticamentestocasticamente) )

indipendentiindipendenti quandoquando sisi verificaverifica unauna delledelle due due

condizionicondizioni equivalentiequivalenti

Eventi indipendenti(ancora una definizione)

Due eventi A e B si dicono(stocasticamente) indipendenti quando

)()()( BPAPBAP ⋅=∩

ATTENZIONE!

• Non confondere eventi indipendenti con eventi incompatibili.

• Se due eventi sono incompatibili ilverificarsi di uno dei due esclude ilverificarsi dell’altro quindi non sonoindipendenti. Ad esempio

• A= esce testa

• B= esce croce

Teorema di Bayes

• Sia { A, B } una partizione dell’insiemecampionario, cioè una coppia di eventi tali che

∅=∩=∪ BAeSBA

• Supponiamo di conoscere P(A)>0 e P(B)>0

• Sia C un terzo evento del quale si conoscono

P(C | A) e P(C | B)

Un disegno

AABB

CC

Teorema di Bayes• Se si verifica C, qual è la probabilità che si sia

verificato A?

)(

)()|(

CP

CAPCAP

∩=

)(

)()|(

CP

APACP ⋅=

)()(

)()|(

BCPACP

APACP

∩+∩

⋅=

)()|()()|(

)()|(

BPBCPAPACP

APACP

⋅+⋅

⋅=

Teorema di Bayes

Sia {E1, E2, …, En} una partizione si S, cioè unacollezione di eventi tali che

Un

i

iji SEejiseEE1=

=≠∅=∩

Allora, se P(Ei)>0 per ogni i ed A è un evento con P(A)>0 vale la formula

∑=

⋅

⋅=

n

i

ii

jj

j

EPEAP

EPEAPAEP

1

)()|(

)()|()|(

CauseCause

EffettoEffetto