Elementi di calcolo delle probabilità

Docente Grazia Cotroni

La parte della matematica che studia gli avvenimenti

legati al caso, al fine di stabilire quale possibilità di

verificarsi hanno tali avvenimenti, prende il nome di

CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Essa nacque nel ‘600 per merito di Blaise Pascal, che iniziò ad occuparsi di

alcune questioni connesse al gioco d’azzardo; in seguito si occuparono di

questo settore, studiosi come FERMAT, NEWTON, LEIBNITZ e LAPLACE

Gli avvenimenti che hanno risultato incerto,

perché sono legati al caso, si dicono

AVVENIMENTI CASUALI o ALEATORI

Ogni possibile risultato di un avvenimento

casuale si dice

EVENTO SEMPLICE o ELEMENTARE

Tutti gli eventi semplici che possono verificarsi come risultato di

un avvenimento casuale, si dicono CASI POSSIBILI

dell’avvenimento casuale

Se tutti i casi possibili hanno la stessa possibilità di verificarsi si

dicono UGUALMENTE PROBABILI

Se si considera uno degli eventi semplici di un avvenimento

casuale, fra tutti i casi possibili, quelli che verificano l’evento

considerato, si dicono

CASI FAVOREVOLI

DEFINIZIONE CLASSICA di PROBABILITA’

In un avvenimento casuale la probabilità p(E) di un evento semplice E è il

rapporto fra il numero dei casi favorevoli all’evento E e il numero di casi

possibili, purchè siano tutti egualmente possibili

𝑃(𝐸) =𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖

𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖

Se un evento si verifica sempre, si dice CERTO

e la sua probabilità vale 1

Se un evento non si verifica mai, si dice IMPOSSIBILE

e la sua probabilità vale 0

La probabilità di un evento quindi è sempre un numero

compreso fra 0 ed 1 : 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1

N.B.:

La probabilità può anche essere espressa in forma

percentuale moltiplicando per 100 il suo valore

numerico

Esercizi:

1. Qual è la probabilità che lanciando il dado esca 6?

𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 6 =1

6

2. Qual è la probabilità che lanciando una moneta esca croce?

𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 𝑐𝑟𝑜𝑐𝑒 =1

2

Esercizi:

1. Vengono lanciati due dadi. Qual è la probabilità di ottenere lo

stesso numero con entrambi?

I casi possibili sono: 62 = 36

I casi favorevoli sono 6

Quindi:

𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 𝑙𝑜 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 =6

36=

1

6

Esercizi:

1. Vengono lanciati due dadi. Qual è la probabilità di ottenere come

somma 4?

I casi possibili sono: 62 = 36

I casi favorevoli sono 3

Quindi:

𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑒 𝑙𝑜 𝑠𝑡𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 =3

36=

1

12cioè 8,3%

Eventi compatibili e

incompatibili

Compatibili: se possono accadere contemporaneamente

Incompatibili: se non possono accadere contemporaneamente

Teorema della probabilità totale

Siano A e B due eventi diversi tra loro allora

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

Probabilità che si

verifichi uno dei due

eventi

Probabilità che si verifichi

contemporaneamente i

due eventi

Osservazione: se gli eventi sono incompatibili allora 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0

Esercizi:

1. Qual è la probabilità che lanciando un dado esca 3 oppure 4?

A= esce 3

B= esce 4

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =1

6+

1

6− 0 =

2

6=

1

3

2. Qual è la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari o

un multiplo di 3?

A=esce un numero pari

B=esce un multiplo di 3

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =3

6+

2

6−

1

6=

4

6=

2

3

Esercizi:

1. Qual è la probabilità che lanciando contemporaneamente due dadi

esca almeno un 6?

A= esce 6 nel primo dado

B= esce 6 nel secondo dado

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =1

6+

1

6−

1

6∙1

6=

2

6−

1

36=

11

36

Eventi dipendenti e indipendenti

Eventi indipendenti: se il fatto che si verifichi (o

meno) il primo evento NON altera la probabilità che

esca il secondo evento

Eventi dipendenti: se il fatto che si verifichi (o meno)

il primo evento altera la probabilità che esca il secondo

evento

Esercizi:

1. Qual è la probabilità che lanciando un dado e una moneta esca un

4 e una testa?

𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜 4 𝑒 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑎 =𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖

𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖=

1

12

Cioè =1

6∙1

2

Teorema

Se due eventi A e B sono indipendenti allora

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵

Esercizi:

1. In una classe ci sono 20 alunni, 12 femmine e 8 ragazzi. La prof

ne sceglie 2 random da interrogare, Qual è la probabilità che

escano 2 ragazze?

𝑃 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑜 2 𝑟𝑎𝑔𝑎𝑧𝑧𝑒 =𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖

𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖=

122202

=

12!2! ∙ 10!20!

2! ∙ 18!

=12 ∙ 11

20 ∙ 19

Probabilità di scegliere una ragazza

Probabilità di scegliere una ragazza sapendo che né è già

uscita una

Teorema

Se A e B sono due eventi dipendenti allora

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵|𝐴

Probabilità che si

verifichino

entrambi gli eventi

Probabilità

che si

verifichi

l’evento A

Probabilità che si

verifichi l’evento B

sapendo che si è

verificato l’evento A

Eventi incompatibili Eventi compatibili

Eventi indipendenti Eventi dipendenti

Eventi

Prove ripetute

Problema:

Lancio 10 volte una moneta. È più probabile che io ottenga 10 volte croce oppure 4 volte testa e 6 volte croce?

10 croci = 1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2=

1

2

10

10 volte croce

4 volte testa e 6 volte croce = 1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2∙1

2=

1

2

10

4 volte testa 6 volte croce

Qualcosa non convince…

T T T T C C C C C C

T C T C T C T C C C

…..

In quanti modi posso formare questa sequenza:

104

=10!

4! ∙ 6!= 210

𝑃 4 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒 6 𝑐𝑟𝑜𝑐𝑖 =104

∙1

2

10≫≫ 𝑃 10 𝑐𝑟𝑜𝑐𝑖 =

1

2

10

Problema:

Lancio 6 volte un dado. Qual è la probabilità di ottenere come risultato 1

esattamente 4 volte?

1 1 1 1 x x

1 x 1 x 1 1

x x 1 1 1 1

….

𝑃 4 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 1 𝑖𝑛 6 𝑙𝑎𝑛𝑐𝑖 =64

1

6

4

1 −1

6

2

6 - 4

Formula di Bernoulli

Consideriamo un «esperimento» in cui un certo evento

abbia una probabilità p di realizzarsi. Ripetiamo

l’esperimento n volte. Qual è la probabilità che

l’esperimento si realizzi k volte?

𝑃 𝐸 𝑠𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑘 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒 𝑠𝑢 𝑛 =𝑛𝑘

𝑝 𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘

Esercizi esame di Stato

2011 PNI

In una classe ci sono 16 studenti, di cui 12 maschi. Qual è la probabilità che scegliendone 3 a caso da interrogare si scelgano 3 maschi?

Svolgimento:

Strada 1: 12

16∙11

15∙10

14= 0,39

Strada 2: 𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖

𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖=

123163

= 0,39

Esercizi esame di stato

2011 PNI:

Un tiratore ha la probabilità del 30% di centrare un certo bersaglio. Quante volte deve sparare per avere una probabilità del 99% (o superiore) di colpire il bersaglio almeno una volta sparando ripetutamente?

Svolgimento:

P(colpisce il bersaglio almeno una volta)=1-P(non lo colpisce mai)=

1 −𝑛0

3

10

0

1 −3

10

𝑛

= 1 −7

10

𝑛

Ma P(almeno una volta)≥99

100e poi risolvete la disequazione.

LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI

(legge empirica del caso)

In una serie molto elevata di prove, effettuate tutte nelle

stesse condizioni, la probabilità sperimentale di un evento

assume un valore generalmente molto prossimo a quello della

probabilità classica e tale approssimazione aumenta

all’aumentare del numero delle prove