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CALCOLO FRAZIONARIO & VISCOELASTICIT ` A Mario Di Paola, Francesco Paolo Pinnola Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e Aerospaziale Universit` a degli Studi di Palermo Viale delle Scienze - 90128 Palermo

CALCOLO FRAZIONARIO VISCOELASTICITA - unipa.it Paola e...Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e Aerospaziale Universit a degli Studi di Palermo Viale delle Scienze - 90128

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Text of CALCOLO FRAZIONARIO VISCOELASTICITA - unipa.it Paola e...Dipartimento di Ingegneria Civile...

  • CALCOLO FRAZIONARIO

    &

    VISCOELASTICITÀ

    Mario Di Paola, Francesco Paolo Pinnola

    Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e AerospazialeUniversità degli Studi di Palermo

    Viale delle Scienze - 90128 Palermo

  • Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e AerospazialeUniversità degli Studi di PalermoViale delle Scienze - 90128 Palermo, ITALIAProf. Mario Di Paolae-mail:[email protected]

    Francesco Paolo Pinnolae-mail:[email protected]

    Composto in LATEX

    Esempi e grafici eseguiti in Wolfram Mathematica©

  • “Thus it follows that d1/2x will be equal to x√dx : x,

    an apparent paradox, from which one dayuseful consequences will be drawn.”1

    1G. W. Leibniz, lettera da Hannover, Germania, 30 Settembre 1695, inviata a G.A.l’Hôpital.

  • Indice

    Prefazione xi

    Simboli Adottati xv

    1 Funzioni Speciali e Trasformate 11.1 Funzioni Speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 La Funzione Gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 La Beta di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 La Funzione di Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 La Funzione di Wright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2 Le Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 La Funzioni di Prima e Seconda Specie . . . . . . . . . 81.2.2 Le Funzioni di Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Le Funzioni di Bessel Modificate . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 La Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Proprietà della Trasformata di Laplace . . . . . . . . . . 131.3.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali . . . . . . . . . 15

    1.4 La Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.1 Proprietà della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . 231.4.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali . . . . . . . . . 24

    1.5 La Trasformata di Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.1 La Striscia Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.2 Proprietà della Trasformata di Mellin . . . . . . . . . . 27

    2 Il Calcolo Frazionario 312.1 Cenni Storici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2 Derivate e Integrali Frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2.2.1 Il Differintegrale di Grünwald-Letnikov . . . . . . . . . . 34

    v

  • vi INDICE

    2.2.2 La Formulazione di Riemann-Liouville . . . . . . . . . . 372.2.3 Gli Integrali Frazionari di Riesz . . . . . . . . . . . . . . 382.2.4 L’Approccio di Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.3 Proprietà degli Operatori Frazionari . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.1 La Linerarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2 La Regola di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.3 La Regola dei Semigruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.4 Trasformata di Laplace degli Operatori Frazionari . . . . . . . 432.4.1 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Rie-

    mann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Ca-

    puto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.3 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Grün-

    wald-Letnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.5 Trasformata di Fourier degli Operatori Frazionari . . . . . . . . 44

    2.5.1 Trasformata di Fourier dell’Integrale Frazionario . . . . 442.5.2 Trasformata di Fourier della Derivata Frazionaria . . . . 45

    2.6 Trasformata di Mellin degli Operatori Frazionari . . . . . . . . 462.6.1 Trasformata di Mellin dell’Integrale Frazionario di Rie-

    mann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.2 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Rie-

    mann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.3 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Caputo 48

    2.7 Alcuni Esempi di Derivate Frazionarie . . . . . . . . . . . . . . 482.7.1 Gradino di Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.7.2 Funzione Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3 La Viscoelasticità Lineare 513.1 Il Modello Elastico (Hooke) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Il Modello Viscoso (Newton-Petroff ) . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 I Modelli Viscoelastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.3.1 Il Modello di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Il Modello di Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3.3 Gli Altri Modelli Classici . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    3.4 La Funzione di Creep e di Rilassamento . . . . . . . . . . . . . 593.4.1 Il Principio di Sovrapposizione di Boltzmann . . . . . . 603.4.2 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modello

    di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

  • INDICE vii

    3.4.3 La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modellodi Kelvin-Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.5 I Modelli di Ordine Frazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5.1 L’esperienza di Nutting . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.2 Lo Spring-pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5.3 La Formulazione Integrale del Modello Frazionario . . . 693.5.4 I Modelli Generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    A Tabelle sulle Trasformate 73A.1 Trasformate di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.2 Trasformate di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74A.3 Trasformate di Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    B Tabelle sulle Derivate Frazionarie 77B.1 Derivate di Riemann-Liouville con a = −∞ . . . . . . . . . . . 77B.2 Derivate di Riemann-Liouville con a = 0 . . . . . . . . . . . . . 78

    C Comandi in Mathematica© 79C.1 Funzioni Speciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79C.2 Funzioni di Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79C.3 Trasformate Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80C.4 Differintegrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    Bibliografia 83

  • viii INDICE

  • Elenco delle figure

    1.1 Funzione Gamma Abs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Funzione Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Funzione di Bessel di prima specie . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Funzione di Bessel di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Funzioni di Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Funzioni di Bessel modificate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Funzione Rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Funzione Dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Funzione f(t) = sin(t)e−tH(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Trasformata di Fourier di f(t) = sin(t)e−tH(t) . . . . . . . . . 22

    2.1 Derivata frazionaria della funzione gradino di Heaviside . . . . 49

    3.1 Modello di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2 Modello di Newton-Petroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Modello di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Modello di Kelvin Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 Modelli SLS o di Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6 Modelli classici discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7 Funzione di Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.8 Funzione di Rilassamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.9 Programma di Carico e Risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.10 Programma di Carico Generico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.11 Funzione di Rilassamento e Creep Maxwell . . . . . . . . . . . 643.12 Funzione di Rilassamento e Creep Kelvin Voigt . . . . . . . . . 653.13 Spring-Pot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    ix

  • Prefazione

    La teoria sulla derivazione di ordine non intero risale al 1695, quando nellenote che Leibniz scrisse a l’Hôpital, si discuteva del significato della derivatadi ordine 12 . Questo evento diede il via allo studio delle derivate e degli inte-grali di ordine arbitrario, continuato verso la fine del XIX secolo da Liouville,Grünwald, Letnikov e Riemann.

    Nasce cos̀ı il Calcolo Frazionario che, per circa 200 anni trova sviluppo solodal punto di vista teorico rimanendo di uso prettamente matematico.

    Intorno agli anni ’50 del secolo scorso alcuni studiosi cominciano ad usaregli integrali e le derivate di ordine non intero per descrivere le proprietà di varimateriali, come ad esempio le proprietà viscoelastiche dei polimeri.Iniziano cos̀ı a manifestarsi le potenzialità del calcolo frazionario che oggi trovaapplicazione in diverse branche della Fisica e della Chimica, in quanto permetteuna raffinata modellazione delle proprietà meccaniche ed elettriche dei mate-riali reali. Nell’ingegneria, recenti applicazioni delle derivate frazionarie per lamodellazione geotecnica, hanno permesso una accurata descrizione delle pro-prietà reologiche di alcune famiglie di rocce. Il testo di M. Caputo [10], pubbli-cato nel 1969, fornisce una particolare definizione di differenziazione frazionariaper la formulazione e la risoluzione di problemi di viscoelasticità.

    Un altro campo dove trova impiego la derivata di ordine non intero è larecente Teoria dei Frattali, infatti lo sviluppo di tale teoria ha fornito ulterioriprospettive per l’applicazione della derivazione frazionaria, specialmente perla modellazione dei processi dinamici di autosimilarità e per lo studio dellestrutture porose.

    Gli integrali e le derivate frazionarie sono anche utilizzate nella teoria dicontrollo dei sistemi dinamici, governati da equazioni differenziali frazionarie.

    Il calcolo frazionario rappresenta l’argomento base del presente testo, essoinfatti verrà applicato alla viscoelasticità, proprietà che caratterizza il legamecostitutivo della maggior parte dei materiali impiegati nell’ingegneria civile. Il

    xi

  • xii Prefazione

    comportamento viscoelastico, intermedio tra il perfettamente elastico (con lega-me costitutivo governato dalla Legge di Hooke) e il perfettamente viscoso (conlegame costitutivo governato dalla Legge di Newton), è stato oggetto di diver-si studi fin dal XIX secolo, pionieri della viscoelasticità furono i fisici JamesClerk Maxwell, Ludwig Eduard Boltzmann e William Thomson Kelvin, i qualistudiarono il fenomeno su diversi materiali, tra cui vetro, metalli e gomme.Sia il comportamento perfettamente elastico che il perfettamente viscoso rap-presentano una comoda idealizzazione che permette di risolvere con buonaapprossimazione diversi problemi rilevanti nell’ambito ingegneristico. In natu-ra però non esistono degli elementi il cui comportamento appartiene all’uno oall’altro campo. Si è osservato sperimentalmente che diversi materiali se sot-toposti ad un carico costante che permane nel tempo fluiscono plasticamente,distinguendosi dai solidi perfettamente elastici; inoltre, una volta rimosso ilcarico, essi recuperano una parte della deformazione, distinguendosi anche dailiquidi perfettamente viscosi. Per tale motivo, in certi casi, nasce la necessitàdi caratterizzare determinati materiali con un comportamento che manifesti alcontempo proprietà elastiche e proprietà viscose.In definitiva il perfettamente elastico e il perfettamente viscoso devono esserevisti come fenomeni limite, che circoscrivono un ampio campo di comporta-mento che è appunto quello viscoelastico.Per simulare il comportamento viscoelastico si è spesso fatto ricorso a dei mo-delli discreti composti da elementi elastici perfetti (molle caratterizzate dalmodulo elastico E) e da elementi perfettamente viscosi (pistoncini in bagnod’olio caratterizzati dalla viscosità µ) opportunamente accoppiati, ma tali mo-delli riescono a simulare il reale comportamento dei materiali reali solo diven-tando delle complicate successioni di numerosi elementi. George William ScottBlair, intorno agli anni ’50 del secolo scorso, introdusse un modello basato sulladerivate frazionarie che si dimostrò più efficace nell’interpretazione dei risulta-ti sperimentali rispetto ai modelli discreti. Quest’ultima tipologia di modello,chiamato modello viscoelastico di ordine frazionario, rappresenta l’argomentocentrale del presente testo, il quale è organizzato in sei capitoli.

    Nel Capitolo 1 verranno introdotte alcune funzioni speciali, la cui cono-scenza è necessaria per una piena comprensione del calcolo frazionario. Inoltresaranno richiamate le definizioni delle trasformate integrali di Laplace, di Fou-rier e di Mellin e verranno mostrate alcune delle loro proprietà fondamentali, lacui comprensione servirà a estenderne l’applicabilità alle derivate e agli integralidi ordine frazionario.

    Nel Capitolo 2 si affronterà lo studio dei concetti base del Calcolo Fraziona-

  • xiii

    rio, infatti in esso verranno introdotti gli Operatori Frazionari, in particolaresaranno mostrate le principali definizioni, fornite nel tempo da diversi ma-tematici, di derivata e integrale frazionario e le relative proprietà. Inoltre, letrasformate integrali e le loro particolari proprietà verranno applicate al calcolodifferenziale frazionario.

    Nel Capitolo 3 si introdurranno alcuni concetti relativi alla viscoelasticitàlineare. In particolare nella prima parte si mostrerà l’approccio classico allostudio del fenomeno viscoelastico, basato sulla combinazione di elementi sem-plici (molle e pistoncini) per la modellazione del materiale e sulla formulazioneintegrale fornita da Boltzmann. Mentre nella seconda parte del capitolo siintrodurrà il modello frazionario (Spring-Pot) che risulterà più accurato ri-spetto ai modelli classici costituiti da elementi puramente elastici ed elementipuramente viscosi.

    Ulteriori approfondimenti in merito agli argomenti trattati possono esseretrovati nelle Appendici.

  • xiv Prefazione

    Si fornisce adesso una chiave di lettura della bibliografia inerente gli argo-menti trattati nei primi due Capitoli:

    • le funzioni speciali, che verranno introdotte nel Capitolo 1, in particolarela gamma e la beta di Eulero e le relative proprietà possono essere appro-fondite nei testi [33], [12], [25], [27] e [29], mentre ulteriori informazionisulle funzioni di Mittag-Leffler e di Wright sono contenute rispettivamentein [22] e in [20];

    • per l’approfondimento delle trasformate integrali di Fourier e di Laplacee delle loro proprietà si rimanda ai testi [1], [7] e [12], invece per la tra-sformata integrale di Mellin oltre al [12] si consigliano il [31] e il Capitolo9 del [45];

    • il calcolo frazionario, il cui studio verrà affrontato nel Capitolo 2, èampiamente trattato nei testi [9], [24], [25], [27], [29], [33] e [36];

    • alcune dimostrazioni sull’applicazione delle trasformate integrali agli ope-ratori frazionari omesse nel presente lavoro sono contenute nei testi [25]e [33];

    • diverse informazioni in merito agli argomenti trattati sono contenute neilink del portale Wolfram MathWorld richiamati in [46], [47], [48], [49],[50], [51] e [52].

  • Simboli Adottati

    In matematica spesso vi sono diverse notazioni per indicare lo stesso elemento,sia esso un operatore differenziale, una variabile reale, una trasformata inte-grale, ecc.; anche gli operatori di derivazione e di integrazione frazionaria nonsempre si trovano indicati allo stesso modo. Nel seguito verrà utilizzata laseguente notazione.

    Notazione Descrizione

    f(t) Funzione di variabile reale t

    aDαt Simbolo di operatore differintegrale frazionario

    aIαt Simbolo di operatore integrale frazionario

    Ca D

    αt Simbolo di operatore differintegrale di Caputo

    α o β Ordine di differintegrazione

    a Estremo inferiore

    t Variabile temporale e/o estremo superiore

    z o s Variabile complessa

    j o i Unità immaginaria j = i =√−1

    N Insieme dei numeri Naturali

    R Insieme dei numeri Reali

    C Insieme dei numeri Complessi

    ∗ Prodotto di convoluzione

    xv

  • xvi Simboli Adottati

    Notazione Descrizione

    L{} L−1{} Operatore trasformata e antitrasformata di Laplace

    F{} F−1{} Operatore trasformata e antitrasformata di Fourier

    M{} M−1{} Operatore trasformata e antitrasformata di Mellin

    FL(s) Funzione trasformata di Laplace

    FF (ω) Funzione trasformata di Fourier

    FM(s) Funzione trasformata di Mellin

  • Capitolo 1

    Funzioni Speciali eTrasformate

    In questo capitolo vengono introdotte alcune funzioni speciali, la cui conoscenzaè necessaria per comprendere appieno il calcolo frazionario e gli argomentitrattati nei successivi capitoli.

    Inoltre verranno richiamati alcuni concetti generali inerenti le trasformateintegrali di Laplace, di Fourier e di Mellin. Si porrà attenzione su alcune pro-prietà delle trasformate usate nel calcolo differenziale ordinario. La conoscenzadi tali proprietà renderà più agevole l’applicazione delle trasformate al calcolofrazionario, trattata nel capitolo successivo.

    1.1 Funzioni Speciali

    Si riportano di seguito alcune funzioni che stanno alla base del calcolo fraziona-rio e ne vengono descritte sinteticamente le principali proprietà, rimandando,per l’eventuale approfondimento, ad altri testi specifici citati in Bibliografia.

    In particolare verranno trattate la Funzione Gamma e Beta di Eulero, laFunzione di Mittag-Leffler e la Funzione di Wright.

    1.1.1 La Funzione Gamma di Eulero

    Una delle funzioni fondamentali del calcolo frazionario è la Funzione Gammadi Eulero Γ(z), che generalizza il concetto di fattoriale n! estendendo il cal-colo a valori non interi e/o complessi di n. Infatti tale funzione nasce da un

    1

  • 2 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    problema di interpolazione posto in una lettera da Christian Goldbach (1690-1764) all’allora ventiduenne Leonardo Eulero (1707-1783): trovare una formula“semplice” per il calcolo dei fattoriali che sia estendibile anche a numeri noninteri.

    La funzione Gamma è definita nel semipiano delle z positive dal seguenteintegrale:

    Γ(z) =∫ ∞

    0e−ttz−1 dt (1.1)

    che converge nella metà destra del piano complesso (ovvero con 0);infatti se z = x+ jy si ottiene:

    Γ(x+ jy) =∫ ∞

    0e−ttx−1+jy dt =

    ∫ ∞0

    e−ttx−1ejy log (t) dt

    =∫ ∞

    0e−ttx−1[cos (y log (t)) + j sin (y log (t))] dt

    (1.2)

    l’espressione contenuta nelle parentesi quadre della (1.2) è limitata ∀t, la con-vergenza a infinito è data da e−t, e per la convergenza a t = 0 si deve averex = 1. La gamma di Eulero è una funzione meromorfa, ha dei poli

    -4

    -2

    0

    2

    Re

    -1

    0

    1Im

    0

    1

    2

    3

    ÈGHzLÈ

    Figura 1.1: Valore Assoluto della Funzione Gamma di Eulero sul Piano di Gauss(|Γ(z)| per valori di z ∈ C).

    semplici per x = −n (con n = 1, 2, 3 · · · ) ed è continua e positiva sui reali

  • 1.1 Funzioni Speciali 3

    positivi di z (ovvero per 0). La Figura 1.1 mostra il grafico del valoreassoluto della funzione gamma di Eulero sul piano di Gauss (|Γ(z)| per z ∈ C),in esso è possibile osservare la presenza di singlarità isolate per x = −n.

    Oltre alla rappresentazione integrale data in (1.1) vi è un’espressione alter-nativa della funzione gamma di Eulero, fornita da Gauss:

    Γ(z) = limn→∞

    n!nz

    z(z + 1) . . . (z + n)(1.3)

    Dalla rappresentazione integrale si deducono immediatamente alcune for-mule notevoli di calcolo di integrali. La più nota è la seguente:

    √π = Γ

    (12

    )=∫ ∞

    0t−

    12 e−t dt (1.4)

    La tabella seguente mostra alcuni valori notevoli della funzione gamma.

    Γ(− 32

    )= 43√π Γ(1) = 1

    Γ(−1) = ±∞ Γ(

    32

    )= 12√π

    Γ(− 12

    )= −2

    √π Γ(2) = 1

    Γ(0) = ±∞ Γ(

    52

    )= 34√π

    Γ(

    12

    )=√π Γ(3) = 2

    Tabella 1.1: Γ(x) per − 32 ≤ x ≤ 2

    Proprietà della Funzione Gamma

    Una proprietà fondamentale della funzione gamma è la seguente:

    Γ(z + 1) = zΓ(z) (1.5)

  • 4 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    che può essere dimostrata integrando per parti:

    Γ(z + 1) =∫ ∞

    0e−ttz dt =

    [− e−ttz

    ]t=∞t=0

    + z∫ ∞

    0e−ttz−1 dt = zΓ(z) (1.6)

    tenendo conto della (1.5) e sapendo che Γ(1) = 1 si ottiene che:

    Γ(2) = 1Γ(1) = 1 = 1!Γ(3) = 2Γ(2) = 2 · 1! = 2!Γ(4) = 3Γ(3) = 3 · 2! = 3!· · · · · · · · · · · · · · ·

    Γ(n+ 1) = nΓ(n) = n · (n− 1)! = n!

    (1.7)

    tale proprietà è evidente in Figura 1.2(a); infatti essa mostra il grafico della

    -4 -2 2 4x

    -5

    5

    10

    GHxL

    (a) Γ(x)

    -4 -2 2 4x

    -2

    -1

    1

    2

    3

    4

    1

    G HxL

    (b) Γ(x)−1

    Figura 1.2: Funzione Gamma di Eulero e sua reciproca per valori di x ∈ R.

    funzione Γ(x) per x ∈ R e vi sono indicati in rosso i punti aventi ascissa x = n(con n ∈ N) e ordinata pari a Γ(n) = (n− 1)!.

    Nelle espressioni di operatore frazionario, che verranno introdotte nel ca-pitolo successivo, comparirà la funzione reciproca di gamma, ovvero Γ(x)−1,il cui grafico per x ∈ R è riportato in Figura 1.2(b), in esso si osserva che lafunzione è oscillante per valori negativi dell’argomento x e tende a zero per

  • 1.1 Funzioni Speciali 5

    x→∞. Inoltre, dai grafici si può osservare che la funzione Γ(z) è una funzionesenza zeri al finito, per cui la sua reciproca è una funzione intera.

    Una particolare proprietà della funzione gamma è data dalla seguente re-lazione:

    Γ(z)Γ(1− z) = πsinπz

    (1.8)

    l’espressione (1.8) è detta Formula di Riflessione di Eulero.Vale inoltre la seguente relazione:

    Γ(z)Γ(z +

    12

    )= 21−2z

    √π · Γ(2z); (2z 6= 0,−1,−2, . . .) (1.9)

    nota come Formula di Duplicazione. Tale espressione è un caso particolaredella Formula di Moltiplicazione:

    Γ(z)Γ(z+

    1m

    )Γ(z+

    2m

    ). . .Γ

    (z+

    m− 1m

    )= (2π)

    m−12 m(

    12−mz)Γ(mz) (1.10)

    La derivata della funzione gamma può essere espressa in funzione di sestessa e di altre funzioni, per esempio:

    Γ′(z) = Γ(z) · ψ0(z)

    in cui ψ0 è la Funzione Poligramma di Ordine 0 ; in particolare:

    Γ′(1) = −γ

    dove γ è la Costante di Eulero-Mascheroni (γ = 0, 57721566).

    1.1.2 La Beta di Eulero

    Spesso nel calcolo frazionario si preferisce usare la funzione Beta di Eulero,invece di ricorrere ad una determinata combinazione di funzioni gamma. Talefunzione, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, solitamente è espressadalla seguente equazione:

    β(z, ω) =∫ 1

    0τ z−1(1− τ)ω−1 dτ ;

    ( 0, 0

    )(1.11)

    La relazione tra la funzione gamma (1.1) e la funzione beta (1.11) si ottie-ne ricorrendo alla trasfomata di Laplace. Si definisce il seguente integrale diconvoluzione delle funzioni tz−1 e tω−1:

    hz,ω(t) =∫ t

    0τ z−1(1− τ)ω−1 dτ (1.12)

  • 6 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    inoltre risulta che hz,ω(1) = β(z, ω). Operando la trasformata di Laplacedella funzione hz,ω(t), denotata con HLz,ω(s), e tenendo conto del fatto chela trasformata della convoluzione di due funzioni è pari al prodotto delle lorotrasformate, si ottiene:

    HLz,ω(s) =Γ(z)sz· Γ(ω)sω

    =Γ(z)Γ(ω)sz+ω

    . (1.13)

    Essendo il prodotto Γ(z)Γ(ω) una costante, si può riottenere la funzione datahz,ω(t) a partire dalla sua trasformata HLz,ω(s) facendo l’antitrasformata (otrasformata inversa), ovvero:

    hz,ω(t) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω)

    tz+ω−1 (1.14)

    l’espressione (1.14) particolarizzata per t = 1 restituisce la funzione beta:

    β(z, ω) =Γ(z)Γ(ω)Γ(z + ω)

    (1.15)

    quest’ultima espressione, a differenza della (1.11) definita solo per 0 e 0, definisce la funzione beta sull’intero piano complesso. Inoltre dalla(1.15) si evince che:

    β(z, ω) = β(ω, z) (1.16)

    1.1.3 La Funzione di Mittag-Leffler

    Il matematico svedese Magnus Gustaf (Götta) Mittag-Leffler ha introdotto nel1903 la funzione speciale Eα(z); tale funzione è definita dalla seguente serie dipotenze:

    Eα(z) =∞∑k=0

    zk

    Γ(αk + 1)(1.17)

    la (1.17) rappresenta la funzione di Mittag-Leffler (M-L) nella forma ad unparametro α, ne esiste anche una forma alternativa a due parametri α e βspesso usata nel calcolo frazionario ed espressa dalla seguente equazione:

    Eα,β(z) =∞∑k=0

    zk

    Γ(αk + β); (α > 0, β > 0) (1.18)

  • 1.1 Funzioni Speciali 7

    Si riportano di seguito alcuni casi notevoli:

    E1,1(z) =∞∑k=0

    zk

    Γ(k + 1)=∞∑k=0

    zk

    k!= ez (1.19)

    E1,2(z) =∞∑k=0

    zk

    Γ(k + 2)=∞∑k=0

    zk

    (k + 1)!=

    1z

    ∞∑k=0

    zk+1

    (k + 1)!=ez − 1z

    (1.20)

    E1,3(z) =∞∑k=0

    zk

    Γ(k + 3)=∞∑k=0

    zk

    (k + 2)!=

    1z2

    ∞∑k=0

    zk+2

    (k + 2)!=ez − 1− z

    z2(1.21)

    e in generale per α = 1 e β qualsiasi si ha:

    E1,m(z) =1

    zm−1

    {ez

    m−2∑k=0

    zk

    k!

    }(1.22)

    Per β = 1 e α generico si ottiene la funzione ad un parametro espressa dalla(1.17):

    Eα,1(z) =∞∑k=0

    zk

    Γ(αk + 1)≡ Eα(z) (1.23)

    La funzione, al variare dei parametri α e β, risulta legata a diverse funzionielementari. Il seno e il coseno iperbolico possono essere considerati come casiparticolari della funzione M-L, infatti:

    E2,1(z2) =∞∑k=0

    z2k

    Γ(2k + 1)=∞∑k=0

    z2k

    (2k)!= cosh(z) (1.24)

    E2,2(z2) =∞∑k=0

    z2k

    Γ(2k + 2)=

    1z

    ∞∑k=0

    z2k+1

    (2k + 1)!=

    sinh(z)z

    (1.25)

    Un altro caso particolare si ottiene per α = 12 e β = 1:

    E 12,1(z) =

    ∞∑k=0

    zk

    Γ(k2 + 1)= ez

    2erfc(−z) (1.26)

    dove erfc(−z) indica la funzione degli errori complementare (o funzione deglierrori di Gauss), definita come:

    erfc(z) =2√π

    ∫ ∞z

    e−t2dt (1.27)

  • 8 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    1.1.4 La Funzione di Wright

    La Funzione di Wright è utile per la soluzione delle equazioni differenzialifrazionarie. È strettamente correlata alla funzione M-L a due parametri ed hala seguente espressione:

    W (z;α, β) =∞∑k=0

    zk

    k!Γ(αk + β)(1.28)

    particolarizzata per α = 0 e β = 1 diventa:

    W (z; 0, 1) =∞∑k=0

    zk

    k!Γ(1)=∞∑k=0

    zk

    k!= ez (1.29)

    per β = 1− α si ottiene la Funzione di Mainardi M(z;α):

    W (−z;−α, 1− α) = M(z;α) =∞∑k=0

    (−1)kzk

    k!Γ[−α(k + 1) + 1](1.30)

    1.2 Le Funzioni di Bessel

    Le funzioni di Bessel sono una vasta famiglia di funzioni speciali, nel presenteparagrafo ci si limiterà ad introdurre solo quelle necessarie per la compren-sione di alcuni passaggi che seguiranno nei capitoli successivi, per l’eventualeapprofondimento dell’argomento si rimanda al testo [35] dove sono ampiamentetrattate.

    1.2.1 La Funzioni di Prima e Seconda Specie

    Le prime due funzioni di Bessel rappresentano le soluzioni canoniche dell’equa-zione di Bessel definita di seguito

    z2d2yν(z)dz2

    + zdyν(z)dz

    + (z2 − ν2)yν(z) = 0, (1.31)

    si osserva che tale equazione rappresenta un’equazione differenziale ordinariadel secondo ordine, per cui devono esistere almeno due soluzioni linearmente in-dipendenti. Le altre soluzioni su un determinato intervallo si possono ottenere

  • 1.2 Le Funzioni di Bessel 9

    come combinazione lineare delle due linearmente indipendenti. Una possibilesoluzione all’equazione di Bessel avrà la seguente forma

    Jν(z) = zν∞∑k=0

    ckzk (1.32)

    sostituendo la (1.32) nella (1.31) e ponendo ν non negativo si ottiene

    Jν(z) =(z

    2

    )ν ∞∑n=0

    (−1)n(z2

    )2nn!Γ(n+ ν + 1)

    (1.33)

    l’espressione (1.33), prima soluzione della (1.31), è nota in letteratura comefunzione di Bessel di prima specie. In Figura 1.3 è riportato il grafico dellaJν(z) per alcuni valori di ν.

    2 4 6 8 10 12 14z

    -0.4

    -0.2

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    JΝHzL

    Figura 1.3: Funzione di Bessel di prima specie per ν = 0, 1, 2, 3.

    Se ν assume valori non interi la J−ν(z) rappresenta la seconda soluzionedella (1.31) linearmente indipendente da Jν(z), ma solitamente si introduceun’altra funzione, denotata con Yν(z) e ottenuta come combinazione lineare diJν(z) e J−ν(z), quindi

    Yν(z) =Jν(z) cos(πν)− J−ν(z)

    sin(πν)(1.34)

  • 10 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    tale espressione prende il nome di funzione di Bessel di seconda specie o fun-zione di Neumann.

    2 4 6 8 10 12 14z

    -1.0

    -0.5

    0.5

    YΝHzL

    Figura 1.4: Funzione di Bessel di seconda specie per ν = 0, 1, 2, 3.

    La Figura 1.4 mostra la seconda soluzione all’equazione di Bessel per diversivalori di ν. Confrontando i due grafici si osserva che le Jν(z) hanno valore finitoin z = 0 mentre le Yν(z) hanno dei punti di singolarità per z = 0.

    Si osservi che per il caso particolare in cui ν = 1/2 le soluzioni linearmenteindipendenti dell’equazione di Bessel (1.31) diventano

    J 12(z) =

    cos(z)√z,

    Y 12(z) =

    sin(z)√z.

    (1.35)

    Questo fatto lascia intuire che almeno alcune soluzioni dell’equazione di Besselavranno andamento oscillante mostrando una certa “parentela” con le funzionitrigonometriche.

    1.2.2 Le Funzioni di Hankel

    Un’altra formulazione canonica della coppia soluzioni linearmente indipendentidell’equazione di Bessel sono le seguenti

    H(1)ν (z) = Jν(z) + jYν(z)

    H(2)ν (z) = Jν(z)− jYν(z)(1.36)

  • 1.2 Le Funzioni di Bessel 11

    tali espressioni sono note come funzioni di Bessel di terza specie o funzionidi Hankel (di prima e seconda specie). Volendo fare un parallelismo con lefunzioni trigonometriche e le funzioni di Bessel si può asserire che le funzioniJν(z) e Yν(z) stanno a cos(z) e sin(z) come le funzioni H

    (1)ν (z) e H

    (2)ν (z) stanno

    agli esponenziali ejz ed e−jz.Si osserva che per ν reale e z reale positivo, si ha

    H(1)ν (z)∗

    = H(2)ν (z) (1.37)

    mentre se z e ν sono complessi ed arbitrari valgono le seguenti relazioni

    {Jν(z)}∗ = Jν∗ (z∗){Yν(z)}∗ = Yν∗ (z∗)

    {H(1)ν (z)}∗ = H(2)ν∗ (z

    ∗).

    (1.38)

    2 4 6 8 10 12 14z

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    ÈHΝI1M

    HzLȺÈHΝI2M

    HzLÈ

    Figura 1.5: Valore Assoluto delle Funzioni di Hankel per z > 0 e ν = 0, 1, 2, 3.

    La Figura 1.5 mostra l’andamento delle due funzioni valore assoluto diHankel per vari valori di ν, la |H(1)ν (z)| e la |H(2)ν (z)| coincidono nel semipianodelle z > 0.

    1.2.3 Le Funzioni di Bessel Modificate

    Solitamente si indicano con tale nome le funzioni di Bessel di argomento imma-ginario. La loro equazione si ottiene cambiando z con jz nell’espressione (1.31),

  • 12 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    ottenendo

    z2d2wν(z)dz2

    + zdwν(z)dz

    + (z2 − ν2)wν(z) = 0. (1.39)

    Come prima soluzione alla (1.39) si ha

    Iν(z) = e−jπ2νJν(z ej

    π2 ) =

    ∞∑k=0

    (z2

    )ν+2kk!Γ(k + ν + 1)

    (1.40)

    tale espressione prende il nome di funzione di Bessel modificata di prima specie.Analogamente a quanto accadeva per le funzione di Bessel di prima specie seν non è un numero intero allora I−ν è una soluzione della (1.39) linearmenteindipendente da Iν , ma si suole introdurre una seconda soluzione fondamentaledenotata con Kν(z) e definita come segue

    Kν(z) =π [I−ν(z)− Iν(z)]

    2 sin(πν), (1.41)

    l’espressione (1.41) è nota come funzione di Bessel modificata di seconda specieo funzione di Basset. Continuando l’analogia tra funzioni di Bessel e funzionitrigonometriche, si può affermare che le funzioni di Bessel modificate risultanoil corrispondente delle funzioni iperboliche cosh(z) e sinh(z).

    1 2 3 4 5z

    5

    10

    15

    20

    25

    HzL

    (a) Iν(z)1 2 3 4 5

    z

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    2.5

    3.0

    3.5

    HzL

    (b) Kν(z)

    Figura 1.6: Funzioni di Bessel modificate per ν = 0, 1, 2, 3.

    La Figura 1.6 mostra gli andamenti delle funzioni di Bessel modificate perν = 0, 1, 2, 3. Si osservi che per ν reale e z reale positivo sia la funzione Iν

  • 1.3 La Trasformata di Laplace 13

    che Kν sono funzioni reali, ma a differenza delle funzioni Jν e Yν non sarannodelle funzioni oscillanti in quanto Iν sarà una funzione monotona crescente, cheper ν > 0 si annulla per z = 0, mentre Kν per ν > 0 avrà una singolarità incorrispondenza dell’origine e tenderà a zero quando z →∞.

    1.3 La Trasformata di Laplace

    La funzione FL(s) nella variabile complessa s = γ + jη definita come:

    FL(s) = L{f(t); s} =∫ ∞

    0e−stf(t) dt (1.42)

    è chiamata Trasformata di Laplace della funzione f(t) e permette di passaredallo studio di una variabile reale (temporale nei casi considerati) allo studiodi una variabile complessa.Affinché l’integrale introdotto in (1.42) esista, la funzione f(t) deve essere diordine esponenziale α, il che equivale ad ammettere l’esistenza di due costantipositive M e T tali che:

    e−αt|f(t)| ≤M ∀ t > T (1.43)

    ciò significa che la funzione f(t) non deve crescere più velocemente di una certafunzione esponenziale quando t→∞.

    Dalla funzione trasformata FL(s) è possibile ottenere la funzione originalef(t) tramite l’Antitrasformata di Laplace o Trasformata Inversa:

    f(t) = L−1{FL(s); t} =1

    2πj

    ∫ c+j∞c−j∞

    estFL(s) ds con c ∈ c0 (1.44)

    con c0 che si trova nella parte destra della convergenza assoluta dell’inte-grale di Laplace. Si osservi che f(t), ottenuta come trasformata inversa, èdata dall’integrale effettuato lungo l’asse immaginario (la parte reale rimanecostante).

    1.3.1 Proprietà della Trasformata di Laplace

    La trasformata di Laplace gode della proprietà di additività, secondo la qualela trasformata della somma di due funzioni f(t) e g(t) e pari alla somma delletrasformate delle singole funzioni FL(s) e GL(s):

    L{f(t) + g(t); s} = FL(s) + GL(s) (1.45)

  • 14 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    l’espressione (1.45) è ottenuta assumendo che f(t) e g(t) siano Laplace-trasfor-mabili.

    Per ogni λ, µ ∈ C, considerate due funzioni f(t) e g(t) Laplace-trasformabili,si ha:

    L{λf(t) + µg(t); s} = λL{f(t); s}+ µL{g(t); s} = λFL(s) + µGL(s) (1.46)

    dalla quale si evince che l’operatore L{. . . } è lineare.Si consideri la trasformata di Laplace della convoluzione:

    f(t) ∗ g(t) =∫ t

    0f(t− τ)g(τ) dτ =

    ∫ t0f(τ)g(t− τ) dτ, (1.47)

    per due funzioni f(t) e g(t), che sono uguali a zero per t < 0, la trasformatadel prodotto è uguale al prodotto delle trasformate:

    L{f(t) ∗ g(t); s} = FL(s)GL(s) (1.48)

    purché esistano le trasformate FL(s) e GL(s).Consideriamo la trasformata di Laplace di una derivata di ordine intero n

    della funzione f(t):

    L{f (n)(t); s} = snFL(s)−n−1∑r=0

    sn−r−1f (r)(0) = snFL(s)−n−1∑r=0

    srf (n−r−1)(0)

    (1.49)ottenuta assumendo che f (n)(t) sia L-trasformabile e integrando per parti la(1.42). La verifica della (1.49) è immediata per n = 1:

    L{f ′(t); s} = sFL(s)− f(0) (1.50)

    Un’altra proprietà fondamentale della trasformata di Laplace è data dalfatto che la FL(s) è derivabile:

    d

    dsL{f(t); s} = d

    dsFL(s) =

    d

    ds

    ∫ ∞0

    e−stf(t) dt =∫ ∞

    0

    d

    dse−stf(t) dt

    = −∫ ∞

    0e−st(tf(t)) dt = −L{tf(t); s}

    (1.51)

    condizione che permette, nelle applicazioni della trasformata a problemi espres-si in termini di equazioni differenziali, di tener conto delle condizioni iniziali.

  • 1.3 La Trasformata di Laplace 15

    Fissato un s0 ∈ C, risulta:

    L{es0tf(t); s} = L{f(t); s− s0} = FL(s− s0) (1.52)

    l’espressione (1.52), nota come prima formula del ritardo, si può facilmentedimostrare a partire dalla definizione della trasformata di Laplace:

    L{es0tf(t); s} =∫ ∞

    0e−stes0tf(t) dt = L{f(t); s− s0}. (1.53)

    Inoltre per ogni t0 > 0 fissato, se f(t) = 0 per t < 0, risulta:

    L{f(t− t0); s} = e−s t0L{f(t); s} = e−s t0FL(s) (1.54)

    la (1.54) è nota come seconda formula del ritardo.Per ogni a > 0, risulta:

    L{f(at); s} = 1aL{f(t);

    s

    a

    }=

    1a

    FL(sa

    )(1.55)

    1.3.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali

    L’applicazione della trasformata di Laplace permette la soluzione di equazionidifferenziali a coefficienti costanti con condizioni iniziali assegnate.Un’equazione differenziale di ordine n, a coefficienti Ck costanti, non omogenea,può essere espressa genericamente dalla seguente relazione:

    n∑k=0

    Ckdkx(t)dtk

    = f(t) (1.56)

    della quale si conoscono le seguenti condizioni iniziali:

    x(0) = x0; x′(0) = x′0; . . . x(n−1)(0) = x(n−1)0 ; (1.57)

    che devono essere almeno n per risolvere completamente la (1.56).Applicando la trasformata di Laplace alla (1.56) si ha:

    L{x(t); s} = XL(s) (1.58)

    L{x′(t); s} = sXL(s)− x(0) = sXL(s)− x0 (1.59)

    L{x′′(t); s} = s2XL(s)− sx(0)− x′(0) = s2XL(s)− sx0 − x′0 (1.60)

  • 16 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    e ponendo:L{f(t); s} = FL(s) (1.61)

    dalla (1.56) si ottiene:

    XL(s)(C0 + C1s+ C2s2 + · · ·+ Cnsn)− Pn−1(s) = FL(s) (1.62)

    dove Pn−1(s) è un polinomio in s di grado n−1 composto dalla somma di tuttii contributi delle condizioni iniziali.

    Dalla (1.62) si ottiene:

    XL(s) =FL(s) + Pn−1(s)

    (C0 + C1s+ C2s2 + · · ·+ Cnsn)(1.63)

    antitrasformando la (1.63) si ottiene la x(t) soluzione della (1.56):

    x(t) = L−1{XL(s); t} =1

    2πj

    ∫ c+j∞c−j∞

    estXL(s) ds (1.64)

    Esempio Si consideri la seguente equazione differenziale omogenea:

    x′′(t) + 7x′(t) + 8x(t) = 0

    soggetta alle seguenti condizioni iniziali:

    C.I.

    {x(0) = 2x′(0) = 5.

    Operando la trasformata di Laplace si ottiene:

    s2XL(s)− 2s− 5 + 7sXL(s)− 14 + 8XL(s) = 0

    XL(s)(s2 + 7s+ 8)− (2s+ 19) = 0

    XL(s) =2s+ 19

    (s2 + 7s+ 8)

    la funzione x(t), soluzione dell’equazione differenziale di partenza, è data dal-l’antitrasformata di Laplace della XL(s).

  • 1.4 La Trasformata di Fourier 17

    1.4 La Trasformata di Fourier

    La Trasformata di Fourier di una funzione f(t) continua e completamenteintegrabile nel dominio (−∞, ∞) è definita come:

    FF (ω) = F{f(t); ω} =∫ ∞−∞

    ejωtf(t) dt (1.65)

    e permette di passare dal dominio temporale al dominio delle frequenze.L’operatore che consente invece di ottenere la funzione originale f(t) a par-

    tire dalla sua trasformata FF (ω) è detta Antitrasformata di Fourier e permettedi riottenere f(t) sotto la forma:

    f(t) = F−1{FF (ω); t} =1

    ∫ ∞−∞

    e−jωtFF (ω) dω. (1.66)

    È utile osservare come questa trasformata sia un caso particolare della tra-sformata di Laplace (estendendo il limite inferiore di integrazione a −∞) se siassume come variabile immaginaria s = −jω.

    Alcuni testi riportano altre definizioni della trasformata e dell’antitrasfor-mata di seguito riportate:

    FF (ω) = F{f(t); ω} =1

    ∫ ∞−∞

    e−jωtf(t) dt.

    F−1{FF (ω); t} =∫ ∞−∞

    ejωtFF (ω) dω.

    oppure ancora:

    FF (ω) = F{f(t); ω} =1√2π

    ∫ ∞−∞

    ejωtf(t) dt.

    F−1{FF (ω); t} =1√2π

    ∫ ∞−∞

    e−jωtFF (ω) dω.

    queste ultime sono quelle usate dal software Mathematica©.Nel prosieguo si utilizzeranno: l’espressione (1.65) per la trasformata e l’e-

    spressione (1.66) per l’antitrasformata.

  • 18 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    Si osserva che l’espressione (1.65) rappresenta una funzione complessa divariabile complessa, quindi, ricorrendo alla formula di Eulero, è possibile di-stinguere la parte reale dalla parte immaginaria di FF (ω):

    F{f(t); ω} =∫ ∞−∞

    ejωtf(t) dt

    =∫ ∞−∞

    cosωtf(t) dt+ j∫ ∞−∞

    sinωtf(t) dt(1.67)

    il primo termine della (1.67) definisce la trasformata-coseno Fc{f(t); ω} erappresenta la parte reale della trasformata

  • 1.4 La Trasformata di Fourier 19

    Esempio in Mathematica - funzione pari: Calcolare la trasformata diFourier della funzione rettangolo:

    f(t) = Rect(t) =

    0 t < 1212 t = −

    12

    1 −12 < t <12

    12 t =

    12

    0 t > 12 .

    Tale funzione è ottenibile in Mathematica col comando:

    In[1]:=HeavisidePi[t]

    il grafico della Rect(t), mostrato in Figura 1.7(a), si ottiene ricorrendo alseguente comando:

    In[2]:=Plot[{HeavisidePi[t]}, {t, -2, 2}, PlotStyle->Thick]

    -1.0 -0.5 0.5 1.0t

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    RectHtL

    (a) Rect(t)

    -15 -10 -5 5 10 15Ω

    -0.2

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    RHΩL

    (b) F{Rect(t); ω} = sin(ω/2)(ω/2)

    Figura 1.7: Funzione rettangolo e sua trasformata.

    la trasformata di Fourier si ottiene col comando:

    In[3]:=Sqrt[2*Pi]FourierTransform[HeavisidePi[t], t, om]Out[3]:=Sinc(om/2)

    come trasformata compare quindi la funzione pari e reale seno cardinale di(ω2

    ).

    Il grafico della trasformata della funzione rettangolo è mostrato in Figura 1.7(b).

  • 20 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    Esempio in Mathematica - funzione dispari: Considerando la seguentefunzione dispari:

    f(t) = e−t2

    sin(t)

    si effettua la trasformata ricorrendo ai comandi introdotti nell’esempio prece-dente:

    Sqrt[2*Pi]FourierTransform[e^(-t^(2))Sin[t], t, om]

    ottenendo:

    F{e−t2 sin(t); ω} =j√π

    2[cosh(ω) + sinh(ω)− 1]×

    ×{

    cosh[1

    4(1 + ω)2

    ]− sinh

    [14

    (1 + ω)2]}.

    (1.68)

    Si osserva che la trasformata ottenuta è dispari e immaginaria pura.

    -3 -2 -1 1 2 3t

    -0.4

    -0.2

    0.2

    0.4

    fHtL

    (a) e−t2

    sin(t)

    -4 -2 2 4Ω

    -0.6

    -0.4

    -0.2

    0.2

    0.4

    0.6

    FeHΩL

    (b) F{e−t2 sin(t); ω}

    Figura 1.8: Funzione dispari e sua trasformata.

    I grafici della funzione considerata e della relativa trasformata sono riportatiin Figura 1.8.

    Esempio in Mathematica - funzione generica: Negli esempi precedentisi sono considerate funzioni le cui trasformate erano o puramente reali (tra-sformata funzione simmetrica) o puramente immaginarie (trasformata funzione

  • 1.4 La Trasformata di Fourier 21

    antisimmetrica), adesso si considera il caso in cui la funzione da trasformarenon è né pari né dispari:

    f(t) = sin(t)e−tH(t)

    essendo H(t), la funzione gradino unitario.La funzione da trasformare si può esprimere e rappresentare in Mathematica

    con i seguenti comandi:

    In[1]:=f[t_]=Sin[t]E^(-t)HeavisideTheta[t]In[2]:=Plot[f[t], {t, -1, 5}]

    il grafico della funzione f(t) è mostrato in Figura 1.9.

    -1 1 2 3 4 5t

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    0.25

    0.30

    fHtL

    Figura 1.9: Grafico della funzione f(t) = sin(t)e−tH(t) per −1 ≤ t ≤ 5.

    Per effettuare la trasformata si inserisce la seguente riga di comando:

    In[3]:=Sqrt[2*Pi]FourierTransform[f[t], t, om]

    ottenendo il seguente risultato:

    FF (ω) =1

    2− 2jω − ω2. (1.69)

    Si vuole distinguere la parte reale da quella immaginaria; a tal fine si calcolala trasformata coseno, ricorrendo al seguente comando:

    In[4]:=Integrate[f[t]Cos[t], {t, -Infinity, Infinity}]

  • 22 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    ottenendo:

    Fc{f(t); ω} =

  • 1.4 La Trasformata di Fourier 23

    1.4.1 Proprietà della Trasformata di Fourier

    La trasformata di Fourier gode della proprietà di additività:

    F{f(t) + g(t); ω} = FF (ω) + GF (ω) (1.73)

    assunto che f(t) e g(t) siano Fourier-trasformabili.Gli operatori F{. . . } e F−1{. . . } sono lineari :

    F{λf(t) + ηg(t); ω} = λFF (ω) + ηGF (ω) ∀ λ, η ∈ C (1.74)

    Si consideri la trasformata di Fourier della convoluzione:

    f(t) ∗ g(t) =∫ ∞−∞

    f(t− τ)g(τ) dτ =∫ ∞−∞

    f(τ)g(t− τ) dτ, (1.75)

    per due funzioni f(t) e g(t), che sono definite in (−∞, ∞), la trasformata delprodotto è uguale al prodotto delle trasformate:

    F{f(t) ∗ g(t); ω} = FF (ω)GF (ω) (1.76)

    purché esistano le trasformate FF (ω) e GF (ω). La proprietà (1.76) è utileper effettuare la trasformata di Fourier alla derivata frazionaria e dell’integralefrazionario di Riemann-Liouville, che verranno trattati nel capitolo successivo.

    Un’altra proprietà utile per la soluzione di problemi applicativi si ottienetrasformando la derivata della funzione f(t); considerando una funzione conti-nua ed n volte derivabile si ottiene che la trasformata di Fourier è data dallaseguente espressione:

    F{f (n)(t); ω} = (−jω)nFF (ω) (1.77)

    dove n rappresenta l’ordine di derivazione considerato.Un’altra proprietà è data dalla seguente espressione:

    F{tnf(t); ω} = (−j)n dn

    dωnFF (ω) (1.78)

    è necessario precisare che non tutte le trasformate di Fourier FF (ω) di unafunzione f(t) ammettono necessariamente derivata n-esima.

    Considerato un t0 ∈ R si ottiene:

    F{f(t+ t0); ω} = e−jωt0FF (ω) (1.79)

  • 24 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    Inoltre, considerato un ω0 ∈ C, si ottiene:

    F{ejω0tf(t); ω} = F{f(t); ω + ω0} = FF (ω + ω0) (1.80)

    tale espressione si può facilmente dimostrare:

    F{ejω0tf(t); ω} =∫

    Rejω0tf(t)ejωt dt =

    ∫Rf(t)ej(ω+ω0)t dt = FF (ω + ω0).

    (1.81)Considerando un ∀ a ∈ R�{0} si ha:

    F{f(at); ω} = 1|a|F{f(t); ω

    a} = 1|a|

    FF(ωa

    ). (1.82)

    1.4.2 Applicazione alle Equazioni Differenziali

    La trasformata di Fourier, analogamente alla trasformata di Laplace, permettedi trasformare una equazione differenziale in un equazione polinomiale, la cuisoluzione è facilmente ottenibile.

    Si consideri la generica equazione differenziale non omogenea a coefficienticostanti, riportata di seguito:

    C0x(t) + C1d

    dtx(t) + · · ·+ Cn

    dn

    dtnx(t) = f(t), (1.83)

    si assuma che l’inomogeneità f(t), la funzione x(t) e le sue derivate sianoFourier-trasformabili, e si effettui la trasformata di Fourier, ottenendo:

    C0XF (ω)+C1(−jω)XF (ω)+C2(−jω)2XF (ω)+· · ·+Cn(−jω)nXF (ω) = FF (ω)(1.84)

    dalla quale si ricava che:

    XF (ω) =FF (ω)∑n

    k=0Ck(−jω)k, (1.85)

    il rapporto:

    H(ω) =1∑n

    k=0Ck(−jω)k

    prende il nome di funzione di trasferimento.Se esiste soluzione all’equazione differenziale introdotta, questa si può ot-

    tenere facendo l’antitrasformata di XF (ω):

    x(t) = F−1{XF (ω); t} =1

    ∫ ∞−∞

    FF (ω)H(ω)e−jωt dω. (1.86)

  • 1.5 La Trasformata di Mellin 25

    È utile osservare che nella trasformata di Fourier non compaiono esplicitamentele condizioni iniziali.

    1.5 La Trasformata di Mellin

    La Trasformata Integrale di Mellin di una funzione f(t) definita nell’intervallo(0,∞) è data dalla seguente espressione:

    FM(s) =M{f(t); s} =∫ ∞

    0f(t)ts−1 dt (1.87)

    con s ∈ C tale che −γ1 < γ < −γ2. A differenza delle trasformate di Laplacee di Fourier, aventi come nucleo una funzione esponenziale, la trasformata diMellin ha una legge di potenza come nucleo.

    Viceversa la funzione originale f(t) si può ottenere a partire dalla trasfor-mata FM(s) effettuando l’Antitrasformata di Mellin:

    f(t) =M−1{FM(s); t} =1

    2πj

    ∫ γ+j∞γ−j∞

    FM(s)t−s ds; (0 < t

  • 26 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    e si calcoli la trasformata di Mellin.Applicando la (1.87) si ottiene il seguente integrale:

    RM(s) =∫ ∞

    0ts−1r(t) dt

    che converge assolutamente per γ > 0, sviluppandolo si ottiene:

    RM(s) =[ts

    s

    ]10

    =1s

    applicando l’antitrasformata (1.88) si ha:

    Rect(t) =1

    2πj

    ∫ γ+j∞γ−j∞

    1st−s ds; (γ > 0).

    1.5.1 La Striscia Fondamentale

    L’integrale espresso in (1.87) converge se 0 tale che:∫ ∞−∞|FM(γ + jη)| dη < C per ogni− γ1 < γ < −γ2 (1.92)

    allora esiste l’antitrasformata di FM(s) e l’espressione (1.88) restituisce lafunzione originale f(t).

  • 1.5 La Trasformata di Mellin 27

    Esempio - striscia fondamentale: Si consideri la seguente funzione:

    f(t) =1

    1 + t,

    e se ne calcoli la striscia fondamentale.Dai limiti della funzione per t → 0 e t → ∞ si calcolano i valori estremi

    della striscia:

    limt→0

    11 + t

    = 1⇒ tγ1 = 1⇒ γ1 = 0 (1.93)

    limt→∞

    11 + t

    =1∞⇒ tγ2 =∞−1 ⇒ γ2 = −1. (1.94)

    Quindi per la f(t) considerata la striscia fondamentale è compresa tra 0 e 1:

    0 < γ < 1.

    In appendice sono riportati alcuni esempi di trasformata di Mellin di diversefunzioni con indicata la relativa striscia fondamentale.

    1.5.2 Proprietà della Trasformata di Mellin

    Una proprietà fondamentale della trasformata di Mellin è data dalla seguenteespressione:

    M{tαf(t); s} =M{f(t); s+ α} = FM(s+ α). (1.95)

    Si consideri la convoluzione di Mellin:

    f(t) ∗ g(t) =∫ ∞

    0f(tτ)g(τ) dτ, (1.96)

    applicando la trasformata alla (1.96) si ottiene:

    M{∫ ∞

    0f(tτ)g(τ) dτ ; s} = FM(s)GM(1− s), (1.97)

    inoltre, tenendo conto della proprietà espressa dalla (1.95) si ottiene:

    M{tλ∫ ∞

    0τµf(tτ)g(τ) dτ ; s} = FM(s+ λ)GM(1− s− λ+ µ). (1.98)

  • 28 1. Funzioni Speciali e Trasformate

    Inoltre se f(t) e 0 valgono le seguenti relazioni:

    M{f(at); s} = a−sFM(s), (1.102)

    M{f(ta); s} = 1a

    FM(sa

    ), (1.103)

  • 1.5 La Trasformata di Mellin 29

    M{f(ta); s} = 1a

    FM(− sa

    ), (1.104)

    M{tαf(ta); s} = 1a

    FM(s+ α

    a

    ), (1.105)

    M{tαf(t−a); s} = 1a

    FM(− s+ α

    a

    ), (1.106)

    Un’altra proprietà notevole è data dall’espressione:

    M{log(t)nf(t); s} = FM(n)(s) con n = 1, 2, 3, . . . (1.107)

    Un’interessante proprietà lega la trasformata di Mellin con quella di Fourier,in particolare si ha il seguente legame

    M{F {f(t); ω} ; s} = Γ(s) cos(πs

    2

    )M{f(t); 1− s} . (1.108)

  • Capitolo 2

    Il Calcolo Frazionario

    Questo capitolo è dedicato al Calcolo Frazionario, naturale estensione del cal-colo differenziale e integrale classico. Gli operatori frazionari, rappresentanol’argomento centrale del presente capitolo; infatti verranno definiti gli opera-tori derivata e integrale frazionario, mostrate alcune proprietà fondamentali,derivanti dal calcolo differenziale ordinario ed estese al calcolo frazionario, eforniti alcuni esempi di derivata frazionaria di funzioni comuni. Inoltre, le tra-sformate integrali, introdotte nel capitolo precedente, saranno applicate alladerivata e all’integrale frazionario.

    È opportuno precisare che oltre alle formulazioni di operatore frazionariotrattate, vi sono altre definizioni fornite da E.L. Post, A. Marchaud, ecc..

    2.1 Cenni Storici

    L’idea di derivata frazionaria nasce con la derivata stessa, quando nel 1695 ilmatematico e filosofo tedesco Gottfried Wihelm Leibniz introduceva il concettodi semiderivata in una lettera al suo collega francese Guillaume de l’Hôpital.Si è dovuto attendere quasi mezzo secolo per passare dall’idea base ai primistudi sistematici, che interessarono diversi matematici quali: Fourier, Laplace,Lacroix ed Eulero.

    Probabilmente il primo ad utilizzare il calcolo frazionario in un problemamatematico fu N. H. Abel, che nel 1823 affrontò lo studio della curva tautocronaricorrendo al seguente integrale:∫ t

    a(t− τ)−

    12 f(τ) dτ

    31

  • 32 2. Il Calcolo Frazionario

    simile all’integrale frazionario che introdurrà in seguito Riemann.Ma l’iniziatore della teoria sul calcolo frazionario fu il matematico francese

    Joseph Liouville, il quale nel 1832 diede l’impulso alla ricerca formulando unaprima definizione di derivata frazionaria: egli considerò uno sviluppo in serie diesponenziali di una funzione e defiǹı la derivata di ordine non intero operandotermine per termine riportandosi al caso intero.In particolare Liouville considerò la derivata di una funzione esponenziale:

    Dneat = aneat n ∈ N

    ed estese l’operazione di derivazione considerando un n = α con α non intero,ottenendo:

    Dαeat = aαeat α ∈ R+

    Successivamente, intorno al 1835, espresse la funzione f(t) come somma infinitadi esponenziali e defiǹı la derivata di ordine frazionario nel seguente modo:

    Dαf(t) =∞∑j=0

    cjaαj eajt

    con f(t) =∑∞

    j=0 aαj eajt.

    Un importante contributo fu dato nel 1847 dall’allora ventunenne GeorgeFriedrich Bernhard Riemann, il quale generalizzando lo sviluppo in serie diTaylor ottenenne la seguente definizione di integrazione frazionaria:

    aIαt f(t) =d−α

    dt−αf(t) =

    1Γ(α)

    ∫ ta

    (t− τ)α−1f(τ) dτ.

    Il primo lavoro dove vengono unificate le trattazioni di Liouville e Riemann,a partire dalla formula di integrazione multipla di Cauchy, è probabilmentel’articolo di N. Ya. Sonin del 1869 intitolato “On Differentiation with ArbitraryIndex”. Oltre a Sonin hanno contribuito a tale unificazione A. Krug e AlekseyVasilievic Letnikov, in particolare quest’ultimo nel 1872 pubblicò un articolosull’argomento dal titolo “An Explanation of the Theory of Differentiation ofArbitrary Index”, ad estensione del lavoro di Sonin.

    Successivamente Anton Karl Grünwald, grazie alla collaborazione di Let-nikov, superò, nel 1867, le limitazioni imposte dalla definizione di Liouville,ottenendo una definizione più complessa ma al tempo stesso più naturale, inquanto definirono un operatore frazionario a partire dalla definizione di rappor-to incrementale; nel 1930 il matematico Emil Leon Post estese la definizionefornita da Grünwald e Letnikov.

  • 2.2 Derivate e Integrali Frazionari 33

    Relativamente più recente, in quanto risalente al 1967, è la formulazionefornita da Michele Caputo, che si presta bene per la risoluzione di diversiproblemi fisici.

    2.2 Derivate e Integrali Frazionari

    Considerando gli operatori di derivazione e integrazione classici si ha:

    dnf(t)dtn

    ; . . .d2f(t)dt2

    ;df(t)dt

    ; f(t);∫ taf(τ) dτ ;

    ∫ ta

    ∫ τ1a

    f(τ) dτ dτ1; . . . aInt f(t)

    (2.1)si osserva che gli ordini di derivazione, ovvero gli indici n degli operatori, sononumeri naturali (n ∈ N). Il calcolo frazionario permette di estendere il concettoper ogni n ∈ R, infatti gli operatori di ordine arbitrario reale α possono essereottenuti con una sorta di interpolazione della suddetta sequenza di operatori.

    La Derivata Frazionaria può essere espressa:

    aDαt f(t) (2.2)

    secondo la notazione suggerita da Davis; dove a e t sono i limiti dell’operazionedi derivazione frazionaria, questi evitano possibili ambiguità nelle applicazioniai problemi reali delle derivate frazionarie.

    L’Integrale Frazionario, o integrale di ordine arbitrario, corrisponde ad as-sumere nel precedente operatore un valore negativo di α, è possibile indicaretale operatore nel seguente modo:

    aIβt f(t), (2.3)

    oppure, considerando la stessa simbologia usata per l’operatore derivata, datoun β > 0 si può esprimere l’integrale di ordine β nella seguente forma:

    aD−βt f(t). (2.4)

    Un’Equazione Differenziale Frazionaria è un’equazione che contiene deriva-te frazionarie al suo interno; analogamente un’Equazione Integrale Frazionariacontiene al suo interno degli integrali di ordine arbitrario.

    Un Sistema di Ordine Frazionario è composto da equazioni differenziali e/ointegrali frazionarie.

    Di seguito si introducono le principali definizioni di Operatore Frazionario.

  • 34 2. Il Calcolo Frazionario

    2.2.1 Il Differintegrale di Grünwald-Letnikov

    La derivata frazionaria di Grünwald-Letnikov viene definita a partire dalla de-rivata di ordine n di una funzione.Si ricerca un’espressione che racchiuda in se le definizioni di derivata e di in-tegrale (definizioni solitamente distinte nell’analisi classica), a tal proposito siconsidera la tipica definizione di derivata espressa come limite del rapportoincrementale di una funzione continua f(t):

    df(t)dt

    = f ′(t) = limh→0

    f(t)− f(t− h)h

    (2.5)

    Applicando due volte questa definizione si ottiene la derivata del secondoordine:

    d2f(t)dt2

    = f ′′(t) = limh→0

    f ′(t)− f ′(t− h)h

    =

    = limh→0

    1h

    [f(t)− f(t− h)

    h− f(t− h)− f(t− 2h)

    h

    ]

    f ′′(t) = limh→0

    f(t)− 2f(t− h) + f(t− 2h)h2

    (2.6)

    analogamente per una derivata del terzo odine si ha:

    d3f(t)dt3

    = f ′′′(t) = limh→0

    f(t)− 3f(t− h) + 3f(t− 2h)− f(t− 3h)h3

    (2.7)

    si osservi che aumentando l’ordine di derivazione compaiono nel calcolo puntidella funzione a distanza sempre maggiore dalla variabile t considerata. Te-nendo conto del fatto che gli elementi che premoltiplicano la funzione seguonola regola dei coefficienti binomiali a segni alterni, la formula di derivazione diordine n può essere espressa come:

    f (n)(t) =dnf(t)dtn

    = limh→0

    1hn

    n∑r=0

    (−1)r(n

    r

    )f(t− rh) (2.8)

    dove il termine(nr

    )rappresenta il coefficiente binomiale:(n

    r

    )=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− r + 1)

    r!(2.9)

  • 2.2 Derivate e Integrali Frazionari 35

    È stata cos̀ı ottenuta la derivata generalizzata; per unificare il concetto diderivata con quello di integrale occorre ricercare la forma dell’integrale gene-ralizzato, a tal fine si consideri l’usuale definizione di integrale come somma diRiemann:

    d−1f(t)[d(t− a)]−1

    ≡ f (−1)(t) ≡∫ taf(t) dt ≡ lim

    h→0

    [h

    N−1∑r=0

    f(t− rh)]

    (2.10)

    la funzione integrata si ottiene dall’area sottesa dalla funzione integranda, cal-colata come somma di N rettangoli di base infinitesima h ed area h · f(t).L’aver fissato l’estremo inferiore di integrazione permette di eliminare l’inde-terminatezza dell’integrale.Analogamente a quanto fatto per le derivate si estende il calcolo agli integralidel secondo ordine:

    d−2f(t)[d(t− a)]−2

    ≡ f (−2)(t) = limh→0

    [h2

    N−1∑r=0

    (r + 1)f(t− rh)]

    (2.11)

    poi a quelli del terzo ordine:

    d−3f(t)[d(t− a)]−3

    ≡ f (−3)(t) = limh→0

    [h3

    N−1∑r=0

    (r + 1)(r + 2)2

    f(t− rh)]

    (2.12)

    e infine a quelli di ordine ennesimo:

    d−nf(t)[d(t− a)]−n

    ≡ f (−n)(t) = limh→0

    [hn

    N−1∑r=0

    (r + n− 1

    r

    )f(t− rh)

    ](2.13)

    Adesso occorre unificare le definizioni, l’equazione dell’integrale cos̀ı ottenutanon è uniforme con l’equazione della derivata generalizzata (2.8). Nel casodegli integrali si ha che:

    dati t, a e N ⇒ h = t−aNsi può utilizzare quest’espressione per indicare l’incremento h nell’equazionedelle derivate (2.8), questo equivale ad aver campionato i punti in cui derivaread intervalli h e ristretto nel contempo il dominio di derivazione avendo postoa come limite inferiore, ovvero:

    dnf(t)dtn

    = limN→∞

    {(t− aN

    )−n N−1∑r=0

    (−1)r(n

    r

    )f

    [t− r

    (t− aN

    )]}(2.14)

  • 36 2. Il Calcolo Frazionario

    per la derivata di ordine n;

    d−nf(t)d(t− a)−n

    = limN→∞

    {(t− aN

    )n N∑r=0

    (r + n− 1

    r

    )f

    [t− r

    (t− aN

    )]}(2.15)

    per l’integrale di ordine n.Le due espressioni non appaiono ancora del tutto analoghe, per uniformare

    le due definizioni occorre tener conto di alcune peculiarità dei coefficienti bi-nomiali.Il coefficiente binomiale C(n, k) è in genere definito dalla seguente espressione:

    C(n, k) =(n

    r

    )=

    n!(n− r)!r!

    (2.16)

    e possiede la seguente proprietà:(n

    r

    )=(

    n

    n− r

    )= (−1)r

    (r − n− 1

    r

    )(2.17)

    grazie alla quale è possibile dimostrare come le due espressioni, (2.14) e (2.15),sono in realtà equivalenti, in quanto:

    (−1)r(n

    r

    )=(r − n− 1

    r

    )(2.18)

    valido per n ∈ N.Per estendere la definizione ai numeri Reali e ai numeri Complessi, bisognageneralizzare i coefficienti binomiali ricorrendo alla funzione gamma di Eulero,la quale possiede la proprietà espressa dalla (1.7).Ricorrendo alle suddette proprietà, si esprime l’equazione (2.18) in funzionedella funzione gamma, in modo da utilizzare invece di n ∈ N dei valori diα ∈ R, ovvero: (

    r − α− 1r

    )=

    (r − α− 1)!(−α− 1)!r!

    =Γ(r − α)

    Γ(−α)Γ(r + 1)(2.19)

    Nelle espressioni di derivazione (2.14) e integrazione (2.15) erano stati con-siderati valori interi di n, la naturale estensione per ordine non intero si ottienesostituendo ai coefficienti binomiali l’espressione (2.19) dove compare la gammadi Eulero, ottenendo infine il Differintegrale di Grünwald-Letnikov applicabileper α ∈ R:

    aDαt f(t) = limN→∞

    {(t− aN

    )−α 1Γ(−α)

    N−1∑r=0

    Γ(r − α)Γ(r + 1)

    f

    [t− r

    (t− aN

    )]}(2.20)

  • 2.2 Derivate e Integrali Frazionari 37

    Tale espressione ha dei vantaggi rispetto alle definizioni che seguiranno, inquanto:

    • non compaiono esplicitamente la derivata o l’integrale della funzione f(t);

    • consente di ricavare la soluzione numerica approssimata della derivatao dell’integrale frazionario di alcune funzioni (un’applicazione pratica èfornita in [15]);

    • si applica agevolmente a diverse funzioni.

    2.2.2 La Formulazione di Riemann-Liouville

    La definizione di integrazione di Cauchy (Augustin-Louis, matematico e inge-gnere francese, 1789-1857) è la seguente:

    aInt f(t) =d−nf(t)d(t− a)−n

    =∫ ta

    ∫ τn−1a

    . . .

    ∫ τ1a

    f(τ) dτ dτ1 . . . dτn−1

    =1

    (n− 1)!

    ∫ ta

    (t− τ)n−1f(τ) dτ(2.21)

    ed esprime un’integrale multiplo come un integrale di convoluzione il cui nucleoè (t− τ)n−1.La formula di integrazione multipla di Cauchy si può facilmente generalizzareal caso non intero, ottenendo la definizione di Riemann-Liouville. A tal fine sisostituisca il fattoriale con la funzione gamma, in modo da generalizzare l’or-dine di integrazione passando da n, definito solo nei naturali, ad α qualunque(anche complesso):

    aIαt f(t) =d−αf(t)d(t− a)−α

    =1

    Γ(α)

    ∫ ta

    (t− τ)α−1f(τ) dτ (2.22)

    l’espressione(2.22) è nota in letteratura come Integrale Frazionario di Riemann-Liouville in quanto 0, ed è valido per α ∈ C. In particolare taleespressione rappresenta l’integrale sinistro in quanto si sta assumendo a comelimite inferiore di integrazione e t come limite superiore, quindi t > a; l’integraledestro si ottiene scegliendo un limite superiore b > t e t come limite inferiore:

    tIαb f(t) =1

    Γ(α)

    ∫ bt

    (τ − t)α−1f(τ) dτ. (2.23)

  • 38 2. Il Calcolo Frazionario

    Per ottenere la Derivata Frazionaria di Riemann-Liouville (R-L) basta pen-sare che la derivata di ordine n può essere considerata come la derivata di ordinen+m della primitiva m-esima della funzione, quindi generalizzando si ha:

    aDαt f(t) =1

    Γ(n− α)

    (d

    dt

    )n ∫ ta

    f(τ)(t− τ)α−n+1

    dτ (2.24)

    valida per (n − 1) < a, analogamente al caso precedente, posto un limitesuperiore b > t si ottiene la derivata destra:

    tDαb f(t) =1

    Γ(n− α)

    (− ddt

    )n ∫ bt

    f(τ)(τ − t)α−n+1

    dτ. (2.25)

    Si osservi che la derivata di R-L di una costante non è zero, infatti:

    0Dαt C =Ct−α

    Γ(1− α). (2.26)

    Se si utilizza, invece delle differenze all’indietro (t−τ), le differenze in avanti(t + τ), si ottiene un’analoga definizione che prende il nome di Differintegraledi Weil.

    Il Differintegrale di Courant e Hilbert

    Un’altra definizione è stata proposta nel 1962 dai matematici Courant e Hilbert,ed è la seguente:

    d12 f(t)

    d(t− a)12

    =1√π

    d

    dt

    ∫ ta

    f(τ)√t− τ

    dτ (2.27)

    che prende il nome di Differintegrale di Courant-Hilbert e risulta essere un casoparticolare della (2.24) per α = 12 .

    2.2.3 Gli Integrali Frazionari di Riesz

    Unificando la definizione di integrale frazionario di R-L sinistro (2.22) conquella di integrale destro (2.23) si può scrivere la seguente equazione

    Iα±f(t) =1

    Γ(α)

    ∫ ∞0

    (τ)α−1f(t± τ) dτ 0 (2.28)

    in cui Iα+f(t) e Iα−f(t) sono rispettivamente l’integrale sinistro e destro di R-L.

  • 2.2 Derivate e Integrali Frazionari 39

    L’integrale frazionario di Riesz, denotato con Iαf (t), è di seguito definito

    Iγf (t) =1

    2νc (α)

    ∫ ∞−∞

    f (τ)|t− τ |1−α

    dτ ; 0,

  • 40 2. Il Calcolo Frazionario

    esempio, alla velocità di deformazione che rappresenta la derivata prima dellafunzione deformazione nel tempo); grazie alla formulazione di Caputo è possi-bile risolvere diverse equazioni differenziali alle derivate frazionarie conoscendole condizioni iniziali in termini di derivate di ordine intero.

    M. Caputo intorno al 1967 ha fornito la seguente definizione di operatorefrazionario:

    CaD

    αt f(t) =

    1Γ(n− α)

    ∫ ta

    f (n)(τ)(t− τ)α+1−n

    dτ (2.33)

    che prende il nome di Differintegrale di Caputo, valido per n− 1 < α < n.L’espressione ottenuta è frutto di un interpolazione tra derivate di ordine intero,infatti per α→ n l’espressione diventa una n-esima derivata della funzione f(t).

    Al contrario di quanto accadeva per la derivata di R-L, la derivata di Caputodi una costante è nulla.

    In alcuni casi, in cui la funzione da derivare ha determinate caratteristicheper t→ −∞ e per particolari condizioni iniziali, la derivata di R-L e di Caputocoincidono.

    2.3 Proprietà degli Operatori Frazionari

    Le proprietà che riguardano le derivate e gli integrali di ordine intero si possonoestendere anche agli operatori frazionari; questo conferma il fatto che il calcolodifferenziale e integrale ordinario è un sottoinsieme del calcolo frazionario.

    In questo paragrafo si introducono tre proprietà fondamentali degli ope-ratori frazionari, ovvero la Linearità, che riguarda la derivata della somma didue funzioni, la Regola di Leibniz, che riguarda la derivata del prodotto di duefunzioni e la Regola dei Semigruppi, che riguarda la derivazione e l’integrazionemultipla.

    2.3.1 La Linerarità

    Analogamente alla derivazione di ordine intero anche la derivazione frazionariaè un’operazione lineare:

    Dα[λf(t) + µg(t)] = λDαf(t) + µDαg(t) (2.34)

    la linearità è una conseguenza della stessa definizione di derivazione frazionaria.

  • 2.3 Proprietà degli Operatori Frazionari 41

    Considerando, per esempio, la definizione di Grünwald-Letnikov, secondola quale:

    aDαt [λf(t) + µg(t)] = limh→0nh=t−a

    h−αn∑r=0

    (−1)r(α

    r

    )[λf(t− rh) + µg(t− rh)]

    = λ limh→0nh=t−a

    h−αn∑r=0

    (−1)r(α

    r

    )f(t− rh) + µ lim

    h→0nh=t−a

    h−αn∑r=0

    (−1)r(α

    r

    )g(t− rh)

    (2.35)

    si ottiene:aDαt [λf(t) + µg(t)] = λ · aDαt f(t) + µ · aDαt g(t). (2.36)

    La proprietà è dimostrabile anche a partire dalla definizione di R-L o apartire da quella di Caputo.

    2.3.2 La Regola di Leibniz

    Date due funzioni f(t) e ϕ(t) la regola di Leibniz consente di valutare la derivatan-esima del loro prodotto:

    dn

    dtn[ϕ(t)f(t)] =

    n∑r=0

    (n

    r

    )ϕ(r)(t)f (n−r)(t) (2.37)

    dove(nr

    )rappresenta il coefficiente binomiale e ϕ(r)(t) è la derivata intera di

    ordine r.Considerando la derivata di Grünwald-Letnikov di ordine α ∈ R si può

    dimostrare la validità della regola di Leibniz anche nel campo della derivazionefrazionaria, ottenendo che:

    aDαt [ϕ(t)f(t)] =n∑r=0

    r

    )ϕ(r)(t)aD

    (α−r)t f(t)− Rαn(t) (2.38)

    avendo assunto che n ≥ α + 1, che f(τ) sia continua in [a, t] e che ϕ(τ) abbian+ 1 derivate continue in [a, t].Il secondo termine della (2.38) ha la seguente espressione:

    Rαn(t) =1

    n!Γ(−α)

    ∫ ta

    (t− τ)−α−1f(τ) dτ∫ tτϕ(n+1)(ξ)(τ − ξ)n dξ (2.39)

  • 42 2. Il Calcolo Frazionario

    e rappresenta una sorta di resto, generato dal fatto che la sommatoria (2.38)è troncata ad un valore finito di n e non è estesa ad infinito come a rigoredovrebbe essere, infatti la formulazione corretta è la seguente:

    aDαt [ϕ(t)f(t)] =∞∑r=0

    r

    )ϕ(r)(t)aD

    (α−r)t f(t). (2.40)

    Naturalmente l’applicazione della regola di Leibniz può essere dimostrataanche a partire dalle altre definizioni di derivata frazionaria introdotte.

    2.3.3 La Regola dei Semigruppi

    Considerando una funzione f(t), integrabile sia per ordine α1 che per α2, con 0 e 0, allora si può asserire che:

    aIα1t [aIα2t f(t)] = aI

    α2t [aI

    α1t f(t)] = aI

    α1+α2t f(t)

    aD−α1t [aD−α2t f(t)] = aD

    −α2t [aD

    −α1t f(t)] = aD

    −(α1+α2)t f(t)

    (2.41)

    la proprietà vale anche per l’integrazione a destra, infatti:

    tIα1b [tIα2b f(t)] = tI

    α2b [tI

    α1b f(t)] = tI

    α1+α2b f(t)

    tD−α1b [tD−α2b f(t)] = tD

    −α2b [tD

    −α1b f(t)] = tD

    −(α1+α2)b f(t)

    (2.42)

    l’espressione (2.41) è nota in letteratura come Regola dei Semigruppi. Siosserva che l’operazione di integrazione multipla gode anche della proprietàcommutativa.

    Scelto un 0 si ha inoltre:

    aDαt [aIαt f(t)] = f(t)

    tDαb [tIαb f(t)] = f(t)

    (2.43)

    le espressioni in (2.43) si possono dimostrare a partire dalla definizione di deri-vata di Riemann-Liouville, infatti applicando la (2.24) alla prima delle (2.43),si ottiene:

    aDαt [aIαt f(t)] =

    dn

    dtn{aD−(n−α)t [aIαt f(t)]} = f(t) con n =

  • 2.4 Trasformata di Laplace degli Operatori Frazionari 43

    Un altro caso particolare si ottiene considerando 0:

    aDγt [aI

    αt f(t)] = aI

    α−γt f(t)

    tDγb [tI

    αb f(t)] = tI

    α−γb f(t).

    (2.46)

    Inoltre considerando un α tale che 0 e un n ∈ N, si ottiene:

    dn

    dtn[aDαt f(t)] = aI

    α+nt f(t)

    dn

    dtn[tIαb f(t)] = (−1)ntIα+nb f(t).

    (2.47)

    2.4 Trasformata di Laplace degli Operatori Frazio-nari

    2.4.1 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Rie-mann-Liouville

    Tenendo conto delle proprietà della Trasformata di Laplace “L”, ponendo illimite inferiore della derivata frazionaria a = 0 e l’ordine di derivazione 0, si può dimostrare che la trasformata della derivata frazionaria di Riemann-Liouville è:

    L{0Dαt f(t); s} = sαFL(s)−n−1∑r=0

    sr[0Dα−r−1t f(t)]t=0 (n− 1 ≤ α < n) (2.48)

    tale formulazione ha una limitata applicabilità a causa della mancanza diinterpretazione fisica della derivata frazionaria per t = 0.

    2.4.2 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Ca-puto

    Al contrario della precedente, la derivata frazionaria nella formulazione di Ca-puto ha un significato interpretabile fisicamente anche per al limite t = 0 (inquanto, per esempio: f(0) è lo spostamento iniziale, f ′(0) è la velocità ini-ziale, f ′′(0) è l’accelerazione iniziale) e questo ne permette l’applicazione perla soluzione di problemi pratici alle equazioni differenziali frazionarie lineari acoefficienti costanti con condizioni iniziali espresse nella forma tradizionale.

  • 44 2. Il Calcolo Frazionario

    La trasformata di Laplace della derivata frazionaria di Caputo è di seguitoriportata:

    L{C0 Dαt f(t); s} = sαFL(s)−n−1∑r=0

    sα−r−1f (r)(0) (n− 1 < α ≤ n) (2.49)

    si osserva come in questo caso compaiano le derivate intere della funzioneper t = 0, mentre la trasformata di Laplace della derivata di R-L richie-de la conoscenza delle derivate frazionarie in zero che non sono fisicamenteinterpretabili.

    2.4.3 Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Grün-wald-Letnikov

    Applicando la trasformata di Laplace alla derivata frazionaria di Grünwald-Letnikov si ottiene:

    L{0Dαt f(t); s} =f(0)s1−α

    +1

    s1−α[sFL(s)− f(0)] = sαFL(s) (0 ≤ α < 1) (2.50)

    si è assunto il limite inferiore nullo (a = 0) e considerato l’ordine di derivazionecompreso tra 0 e 1 (0 ≤ α < 1 in quanto non esiste in senso classico unatrasformata per valori di α > 1).

    2.5 Trasformata di Fourier degli Operatori Frazio-nari

    2.5.1 Trasformata di Fourier dell’Integrale Frazionario

    Considerando l’integrale frazionario di R-L con limite inferiore a −∞ si puòosservare che:

    −∞Iαt f(t) = −∞D−αt f(t)

    −∞D−αt f(t) =1

    Γ(α)

    ∫ t−∞

    (t− τ)α−1f(τ) dτ (0 < α < 1) (2.51)

    facendo la trasformata della (2.51) si ottiene che:

    F{−∞D−αt f(t); ω} = (jω)−αFF (ω) (2.52)

    con α ∈ R.

  • 2.5 Trasformata di Fourier degli Operatori Frazionari 45

    Generalizzando l’espressione (2.52) alla definizione di integrale desto e si-nistro (2.28) denotato con Iα±f(t), si ottiene

    F{Iα±f (t) ; ω

    }= (∓iω)−α FF (ω) (2.53)

    e poiché(∓iω)−α =

    [cos(απ

    2

    )± i sgn (ω) sin

    (απ2

    )]|ω|−α (2.54)

    effettuando la trasformata di Fourier delle equazioni (2.31) e (2.32) e usandol’equazione (2.54) si ottiene

    F {Iαf (t) ; ω} = |ω|−α FF (ω) (2.55)

    F {Hαf (t) ; ω} = i sgn (ω) |ω|−α FF (ω) . (2.56)

    L’espressione (2.52) oltre a definire la tasformata di Fourier dell’integra-le frazionario di Riemann-Liouville, coincide con la trasformata dell’integralefrazionario di Grünwald-Letnikov −∞D−αt e con la trasformata dell’integralefrazionario di Caputo C−∞D

    −αt .

    2.5.2 Trasformata di Fourier della Derivata Frazionaria

    Per l’applicazione della trasformata di Fourier alla derivata di ordine fraziona-rio si procede analogamente al caso precedente imponendo il limite inferioredi derivazione a = −∞ (la funzione deve essere derivabile per t → −∞) econsiderando l’espressione seguente di derivata frazionaria:

    −∞Dαt f(t) =1

    Γ(n− α)

    ∫ t−∞

    f (n)(τ)(t− τ)α+1−n

    dτ =−∞ Dα−nt f(n)(t) (2.57)

    per (n− 1 < α < n).La trasformata di Fourier della (2.57), ottenuta tenendo conto delle espres-

    sioni (2.52) e (1.77), è di seguito riportata:

    F{−∞Dαt f(t); ω} = (−jω)αFF (ω) (2.58)

    tale espressione è utile per la soluzione di molti problemi pratici. Per esempio,l’equazione dell’oscillatore con smorzamento di ordine frazionario, di seguitoriportata:

    x′′(t) + a−∞Dαt x(t) + bx(t) = f(t) (2.59)

    è stata studiata da H. Beyer e S. Kempfle [6] ricorrendo alla trasformata diFourier.

  • 46 2. Il Calcolo Frazionario

    2.6 Trasformata di Mellin degli Operatori Fraziona-ri

    2.6.1 Trasformata di Mellin dell’Integrale Frazionario di Rie-mann-Liouville

    Per applicare la trasformata di Mellin all’integrale frazionario di Riemann-Liouville si considera il caso in cui il limite inferiore di integrazione è nulloa = 0, e si pone τ = tξ:

    0D−αt f(t) =1

    Γ(α)

    ∫ t0

    (t− τ)α−1f(τ) dτ

    =tα

    Γ(α)

    ∫ 10

    (1− ξ)α−1f(tξ) dξ

    =tα

    Γ(α)

    ∫ ∞0

    f(tξ)g(ξ) dξ

    (2.60)

    con

    g(t) =

    {(1− t)α−1, (0 ≤ t < 1)0, (t ≥ 1)

    La trasformata di Mellin della funzione g(t) si può semplificare ricorrendoalla funzione beta di Eulero (1.11):

    M{g(t); s} = β(α, s) = Γ(α)Γ(s)Γ(α+ s)

    (2.61)

    Tenendo conto delle equazioni (1.98), (2.60) e (2.61) si ottiene:

    M{0D−αt f(t); s} =1

    Γ(α)FM(s+ α)β(α, 1− s− α),

    oppure:

    M{0D−αt f(t); s} =Γ(1− s− α)

    Γ(1− s)FM(s+ α) (2.62)

    dove FM(s) è la trasformata di Mellin della funzione f(t). Si osservi chel’espressione (2.62) poteva essere ottenuta sostituendo n = −α all’espressione(1.99) ottenuta precedentemente.

  • 2.6 Trasformata di Mellin degli Operatori Frazionari 47

    2.6.2 Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Rie-mann-Liouville

    Considerando 0 ≤ n− 1 < α < n e a = 0, per la definizione (2.24) si ha:

    0Dαt f(t) =dn

    dtn0D−(n−α)t f(t)

    Procedendo analogamente a quanto fatto in precedenza per il calcolo dellatrasformata di Mellin della derivata di ordine intero (1.101) si definisce unafunzione g(t) = 0D

    (n−α)t f(t) e tenendo conto della (2.62) si dimostra che la

    trasformata di Mellin della derivata di Riemann-Liouville è espressa nella formaseguente:

    M{

    0Dαt f(t); s}

    =M{ dndtn

    0Dα−nt f(t); s}

    =M{g(n)(t); s} =

    =n−1∑r=0

    Γ(1− s− r)Γ(1− s)

    [g(n−r−1)(t)ts−r−1

    ]∞0

    +

    +Γ(1− s+ n)

    Γ(1− s)GM(s− n) =

    =n−1∑r=0

    Γ(1− s− r)Γ(1− s)

    [ dn−r−1dtn−r−1

    0Dα−nt f(t)ts−r−1

    ]∞0

    +

    +Γ(1− s+ n)

    Γ(1− s)Γ(1− (s− n)− (n− α))

    Γ(1− (s− n))FM[(s− n)+

    + (n− α)],(2.63)

    oppure:

    M{

    0Dαt f(t); s}

    =n−1∑r=0

    Γ(1− s+ r)Γ(1− s)

    [0Dα−r−1t f(t)t

    s−r−1]∞

    0+

    +Γ(1− s+ α)

    Γ(1− s)FM(s− α)

    (2.64)

    Se 0 < α < 1 l’espressione (2.64) diventa:

    M{

    0Dαt f(t); s}

    =[

    0Dα−1t f(t)ts−1]∞

    0+

    Γ(1− s+ α)Γ(1− s)

    FM(s− α) (2.65)

  • 48 2. Il Calcolo Frazionario

    Inoltre se f(t) e

  • 2.7 Alcuni Esempi di Derivate Frazionarie 49

    2.7.1 Gradino di Heaviside

    Per comprendere il significato della derivazione di ordine frazionario vieneconsiderata la funzione Gradino di Heaviside f(t) = H(t):

    H(t) =

    {0, (t < 0)1, (t > 0)

    (2.69)

    Applicando la formula di Riemann-Liouville (2.24) alla H(t) si ottiene:

    0Dαt H(t) =t−α

    Γ(1− α)(2.70)

    0.0

    0.5

    1.0

    t

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    Α

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    DΑHHtL

    Figura 2.1: Derivata Frazionaria di H(t) per t ≥ 0, a = 0 e ordine −1 < α < 1.

    Il grafico della (2.70), riportato in Figura 2.1, è stato ottenuto grazie alsoftware Mathematica, inserendo la seguente riga di comando:

    Plot3D[t^alpha/(Gamma[1-alpha]), {t, 0, 1}, {alpha, -1, 1}]

    La Figura 2.1 mostra l’andamento della derivata frazionaria nell’intervallo0 < t < 1, al variare dell’ordine di differintegrazione α tra [−1, 1]. Si osservache per α = 0 si ha la funzione gradino, per α = 1 si ottiene la derivata prima

  • 50 2. Il Calcolo Frazionario

    (Delta di Dirac) e per α = −1 si ottiene la primitiva di primo ordine (FunzioneRampa). Tutti i valori intermedi non interi forniscono la derivata (0 < α ≤ 1)o l’integrale (−1 ≤ α < 0) frazionario.

    2.7.2 Funzione Potenza

    Considerando l’espressione (2.24) si calcola la derivata frazionaria di Riemann-Liouville della seguente funzione di potenza:

    f(t) = (t− a)ν (ν ∈ R). (2.71)

    Scegliendo un n tale che n− 1 ≤ α ≤ n e seguendo la definizione di R-L siottiene:

    aDαt f(t) =dn

    dtn[aD−(n−α)t f(t)

    ], (2.72)

    ponendo γ = n− α si ha:

    aD−γt [(t− a)ν ] =

    Γ(1 + ν)Γ(1 + ν + γ)

    (t− a)ν+γ , (2.73)

    e infine si ottiene:

    aDαt [(t− a)ν ] =Γ(1 + ν)

    Γ(1 + ν − α)(t− a)ν−α, (2.74)

    la cui unica condizione e che ν > −1.

  • Capitolo 3

    La Viscoelasticità Lineare

    I solidi hanno la caratteristica di avere forma propria, in particolare i solidi ela-stici si deformano se sottoposti a carichi esterni, ma non appena cessa l’azionedelle forze esterne ritornano alla forma iniziale. I liquidi al contrario non hannouna forma propria, quindi gli sforzi interni non dipendono dalla deformazio-ne (che tra l’altro risulta non definibile). In particolare se sono newtonianigli sforzi dipendono linearmente dalla velocità con cui viene impressa questadeformazione.

    Col termine viscoelasticità si indica il comportamento di un materiale in-termedio tra solido elastico e liquido viscoso, tale comportamento è tipico deipolimeri [43], delle ossa umane, di diverse malte e resine usate nell’edilizia, dialcune famiglie di rocce [53] e degli altri materiali. Il materiale viscoelasticoquindi si caratterizza per l’avere due comportamenti asintotici, quello del solidoelastico e quello del liquido viscoso.

    Nel campo dell’ingegneria civile le proprietà viscoelastiche dei materiali ri-vestono un ruolo importante, specie per la loro influenza sul comportamentoa lungo termine degli elementi strutturali. Dunque, per la caratterizzazioneviscoelastica dei materiali, è necessario introdurre la variabile temporale, pertale motivo si parlerà di storia di tensione e di storia di deformazione, inol-tre, in ambito di viscoelaticità lineare, la risposta (in termini di tensione odi deformazione) al tempo generico considerato sarà conseguenza di tutti glieventi precedenti che hanno interessato il materiale, in quanto rimane valido ilprincipio di sovrapposizione degli effetti.

    Si può asserire che qualsiasi materiale è oggetto di fenomeni differiti neltempo, siano essi di rilassamento (se la deformazione imposta permane neltempo) o di scorrimento viscoso (se la tensione indotta permane nel tempo),

    51

  • 52 3. La Viscoelasticità Lineare

    la differenza sta nel tempo necessario affinchè si manifestino tali fenomeni cheè caratteristico del singolo materiale. Naturalmente i tempi di Rilassamento edi Creep non sono influenzati solo da caratteristiche intrinseche del materiale(come il modulo elastico e la viscosità) ma anche da fattori ambientali, qua-li la temperatura e l’umidità, nonchè dall’entità delle tensioni effettivamentemobilitate in condizioni di esercizio.

    Il presente capitolo descrive alcuni concetti base inerenti la viscoelasticitàcon particolare riferimento alla trattazione classica, basata sulla modellazionein elementi discreti (molle e pistoncini) e sulla formulazione integrale (principiodi sovrapposizione di Boltzmann), e alla viscoelasticità frazionaria, basata su unmodello matematico, detto Spring-Pot, che riesce a fornire ottime simulazioninumeriche riscontrabili dai dati sperimentali.

    3.1 Il Modello Elastico (Hooke)

    Il modello elastico usato per descrivere il comportamento dei solidi per asse-gnata tensione (o assegnata deformazione) si scrive nella forma:

    σ = Eε (3.1)

    la (3.1), nota come legge di Hooke, è il legame costitutivo dei materiali pu-ramente solidi. Tale modello è usualmente schematizzato come una molla dirigidezza E, come mostrato in Figura 3.1(a).

    E (t)

    (t)

    (a) Molla ideale di rigidezza E

    Σ

    E

    1 2 3 4t

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0ΣHtL, ΕHtL

    (b) Carico costante e risposta

    Figura 3.1: Modello di Hooke.

    Nella (3.1) σ è la tensione (Pascal), ε è la deformazione corrispondentementre E è il modulo elastico (Pascal), tale modulo è caratteristico del singolomateriale ma varia anche in funzione della temperatura.

  • 3.2 Il Modello Viscoso (Newton-Petroff ) 53

    La (3.1) esprime la circostanza che per assegnato valore di tensione l’e-lemento di volume si deforma ma la deformata rimane costante nel tempo.Inoltre se dopo un incremento di carico, che porta ad un assegnato livello ditensione, si procede allo scarico, riportando l’elemento di volume allo statodi tensione iniziale, l’elemento di volume ritorna alla configurazione iniziale.Questo implica che il lavoro speso durante la fase di carico viene integralmenterecuperato durante la fase di scarico a spese dell’energia potenziale accumulatadall’elemento di volume durante la fase di carico.

    3.2 Il Modello Viscoso (Newton-Petroff )

    Il modello viscoso, atto a descrivere il comportamento dei fluidi, viene descrittoda una legge del tipo:

    σ(t) = µε̇(t) (3.2)

    in cui σ(t) è la storia della tensione, ε̇(t) è la velocità di deformazione (sec−1) eµ è una costante che dipende dalla vicosità del fluido (Pascal sec = 10 Poise).La viscosità dipende dal materiale e in genere diminuisce all’aumentare dellatemperatura.

    Tale modello è usualmente schematizzato come un pistoncino in bagnod’olio come mostrato in Figura 3.2(a).

    (t)

    (t)

    (a) Pistone ideale con coefficien-te di viscosità µ

    Σ

    Μ

    It - t0M

    1 2 3 4t

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0ΣHtL, ΕHtL

    (b) Carico costante e risposta

    Figura 3.2: Modello di Newton-Petroff.

    La (3.2), nota come legge di Newton-Petroff, mostra che σ(t) non dipende daε(t) ma dalla sua variazione temporale. L’energia spesa non viene accumulatadal fluido (che infatti non ritorna alla configurazione iniziale) e dunque vienetrasformata integralmente in calore. In alt