Cantor &

Sonsuz Kümeler

CMPE 220: Discrete Computational Structures

Ozan İRSOY, 2007102857Boğaziçi Üniversitesi

• Kümeler kuramı tek bir kişi, Georg Cantor'un yaratımıdır.

• Cantor'dan önce, birtakım matematikçilerin katkıları olmuştur.– Antik Yunanda, Elealı Zeno, sonsuzla ilgili

problemleri ile fikrin oluşmasına büyük katkı sağlamıştır.

– Bernard Bolzano, sonsuz fikrini savundu ve sonlu kümelerden farklı olarak, sonsuz kümelerin, bazı alt kümeleriyle 1-1 eşleme yapılabildiğini gösterdi.

• Ancak kümeler kuramını doğru bir matematiksel temel üzerine oturtan Cantor olmuştur.

• Cantor'un önceki işleri sayılar kuramı hakkındaydı ve 1867 ve 1871 tarihleri arasında çeşitli makaleler yayımladı.

• Cantor, 1872'de, İsviçre'ye yaptığı bir seyahatte Richard Dedekind'le tanıştı ve aralarında yıllar sürecek bir arkadaşlık başladı.

• 1873 ile 1879 arasında yazıştılar ve Dedekind'in soyut düşünce biçiminin Cantor'un fikirlerinin gelişmesinde önemli etkileri oldu.

• Cantor sayılar kuramından ayrılıp trigonometrik serilere yöneldi. Bu konudaki yazıları kümeler kuramının ilk fikirlerini, ve irrasyonel sayılarla ilgili önemli sonuçları barındırıyordu.

• Dedekind de bağımsız olarak irrasyonel sayılar üzerinde çalışıyordu ve “Süreklilik ve İrrasyonel Sayılar”ı yayımladı.

• 1874'de Cantor, kümeler kuramının doğumu olacak makalesini Crelle's Journal'de yayımladı.

• Ardından tamamlayıcı bir makale yayınladı ancak kümeler kuramı çoktan tartışmanın odak noktası olmuştu.

• Crelle's Journal'ın yazı kadrosunda bulunan Leopold Kronecker, Cantor'un makalesinde bulunan devrimsel fikirlerden rahatsızdı.– Makalesini geri çekmek Cantor'a cazip geldi

ancak Dedekind çekmemesi yönünde onu ikna etti ve Karl Weierstrass, yayımlanmasına destek oldu.

– Makale yayımlandı ancak Cantor bir daha Crelle's Journal'e yazı göndermedi.

• 1874 makalesinde Cantor, en az iki farklı sonsuzdan bahsediyordu.– Daha önce sonsuzların boyutları yoktu, bütün

sonsuzlar aynı boyutta varsayılıyordu.– Cantor makalede cebirsel reel sayıların doğal

sayılarla 1-1 eşlenebileceğini göstermişti.– Aynı makalede reel sayılarla doğal sayıların 1-

1 eşlenemeyeceğini de ispatlıyordu. İspat, daha sonra kullanacağı diagonal yöntemden çok daha zor, iç içe aralıklar kullanan bir yöntem içeriyordu.

• Sonraki makalesinde, Cantor, 1-1 eşlenebilen kümelerin aynı “kuvvet”te olmasını tanımladı.– Kuvvet (power) sözcüğünü Jakob Steiner'dan

aldı.

• Rasyonel sayıların en küçük sonsuz kuvvete sahip olduğunu gösterdi.– Ayrıca R ile Rn in, hatta sayılabilir sayıda R'nin

kopyalarının aynı kuvvette olduğunu gösterdi.– Bu aşamada Cantor “sayılabilir” sözcüğünü

kullanmadı, daha sonra, 1883'de ilk kez kullanacaktı.

• 1879-1884 yılları arasında Cantor kümeler kuramı üzerine altı parçalık bir inceleme yazdı.– Bu çalışması Matematische Annalen'de

yayınlandı.– Editörün çalışmayı yayınlaması cesaret isteyen

bir işti çünkü Cantor'un fikirlerine muhalefet giderek artıyordu.

– Muhaliflerin en başında Kronecker yer aldı.– Kronecker'ın bu kadar olumsuz yaklaşmasının

sebebi, sadece yapıcı (constructive) matematiğe inanmasıydı.

• Ancak Cantor çalışmaya devam etti.• Altı parçalık çalışmasının beşincisinde,

ordinal sayıları, ve sonsuz sayıların toplanmasını ve çarpılmasını tanımladı.

• Aristotle, Descartes, Berkeley, Leibniz ve Bolzano gibi matematikçilerin çalışmalarını referans gösterdi.

• 1885'de kardinal ve ordinal sayılar kuramlarını genişletti.

• 1895-97'de kümeler kuramı hakkındaki son iki çalışmasını yayınladı. Bu, günümüzün kümeler kuramı kitaplarına benziyor ve küme, alt küme gibi kavramların hepsini tanımlıyordu.

• 1897'de ilk paradoks, Cesare Burali-Forti tarafından yayımlandı.– Tüm ordinallerin kümesinin ordinal sayısı bir

ordinal olmalıydı ve bu çelişkiye yol açıyordu.– Cantor'un 1885'de bu paradoksu kendisi

keşfettiğine ve 1886'da David Hilbert'e hakkında yazdığına inanılıyor.

– Öte yandan Cantor'un Burali-Forti'ye karşı aşırı eleştirel olması şaşırtıcıdır.

• 1899'da Cantor başka bir paradoks daha buldu.– Tüm kümelerin kümesinin kardinal sayısı

neydi? Açıkça, en büyük kardinal sayı olmalıydı ancak Cantor teoremine göre böyle bir sayı yoktu.

– Kronecker'ın eleştirileri doğru olabilecekmiş gibi gözüktü çünkü kümeler kuramı çok fazla paradoksa sebep oluyordu.

• Son paradoks Bertrand Russell'dan geldi (bağımsız olarak Ernst Zermelo'dan da).– A = { X | X, X'in elemanı değildir }. – Russell'ın sorusu şuydu: A, A'nın elemanı

mıdır?– Elemanı olması varsayımı da, olmaması

varsayımı da, çelişkiye yol açıyordu.– Russell, paradokstan Gottlob Frege'ye

bahsetti.

• Bu aşamada kümeler kuramı diğer alanlar üzerinde oldukça etkili olmaya başlamıştı.

• Bu sebepten, paradoksları yüzünden kümeler kuramını tamamen terk etmek yerine paradoksları giderme yolları arandı.

• Paradokslar Seçme Aksiyomundan mı kaynaklanıyordu?– Cantor, seçme aksiyomunu ayrıca belirtmeye

ihtiyaç duymadan kullanmıştı.– Aksiyomu formal biçimde ifade eden ilk kişi

Zermelo'ydu. Bütün kümelerin iyi-sıralanabileceğini ispatlamıştı (well-order).

– Emile Borel, seçme aksiyomu ile Zermelo teoreminin eşdeğer olduğunu gösterdi.

– Kurt Gödel 1940'da seçme aksiyomunun kümeler kuramı aksiyomlarıyla çürütülemeyeceğini gösterdi. 1963'de Paul Cohen ise aynı aksiyomlardan ispatlanamayacağını gösterdi.

• 1900'de Cantor süreklilik hipotezini ortaya attı.– David Hilbert tarafından sunumu yapıldı.– Gödel ve Cohen, seçme aksiyomu kabul edilse

dahi süreklilik hipotezinin kümeler kuramı aksiyomlarından bağımsız olduğunu ispatladılar.

• Kaynakça– http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/

HistTopics/Beginnings_of_set_theory.html– http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_cantor