Cap02 Organización y Presentación de datos de Frecuencia Elaboró: M.T César Ojeda Betancourt Tablas de Frecuencia: Son tablas estadísticas que agrupan diversos valores de una

ORGANIZACIORGANIZACIÓÓN Y N Y PRESENTACIPRESENTACIÓÓN DE DATOS N DE DATOS

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLOUNIVERSIDAD INTERAMERICANA PARA EL DESARROLLO

Elaboró: M.T César Ojeda Betancourt

ContenidoContenido

II. ORGANIZACIII. ORGANIZACIÓÓN Y PRESENTACIN Y PRESENTACIÓÓN DE DATOSN DE DATOS

II.1 Tablas de frecuencia

II.2 Gráficos: histograma, ojiva, columna, barra, dispersión, etc.

II.3 Medidas de tendencia central

II.4 Medidas de dispersión

II.5 Medidas de posición


Tablas de FrecuenciaTablas de Frecuencia


Tablas de Frecuencia: Son tablas estadísticas que agrupan diversos valores de una variable, simplificando los datos. Las tablas de frecuencias sirven para ordenar y organizar los datos estadísticos.

Una tabla de frecuencias es una tabla en la que se organizan los datos en clases, es decir, en grupos de valores que escriben una característica de los datos y muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen en cada una de las clases.

Tablas Estadísticas:

Tablas tipo I: Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son pequeños, por ejemplo si tenemos una muestra de las edades de 5 personas, por lo que no hay que hacer nada especial simplemente anotarlas de manera ordenada en filas o columnas.

Edad de los 5 miembros de una familia: 5, 8, 16, 38, 45

Exponen la información recogida en la muestra, de forma que no se pierda nada de información (o poca).

Datos no agrupados

IntroducciIntroduccióón : n : PresentaciPresentacióón ordenada de datosn ordenada de datos


Datos desordenados y ordenados en tablas

Variable: GéneroModalidades:

H = HombreM = Mujer

Muestra:

M H H M M H M M M H

equivale aHHHH MMMMMM

10=tamaño muestral

6/10=0,6=60%6Mujer

4/10=0,4=40%4Hombre

Frec. relat.porcentaje

Frec.Género

IntroducciIntroduccióón : n : PresentaciPresentacióón ordenada de datosn ordenada de datos


0

1

2

3

4

5

6

7

Hombre Mujer

Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos maneras equivalentes de presentar la información. Las dos exponen ordenadamente la información recogida en una muestra.

6Mujer

4Hombre

Frec.Género



Tablas tipo II:

Cuando el tamaño de la muestra es grande y el recorrido de la variable es pequeño, por lo que hay valores de la variable que se repiten. Por ejemplo, si preguntamos el número de personas activas que hay en 50 familias obtenemos la siguiente tabla:

3312223431

1412421323

2231112122

2243111232

1124212212

Personas Activas en 50 familias



50Total

54

93

202

161

Número de Familias

Personas Activas

Podemos observar que la variable toma valores comprendidos entre 1 y 4, por lo que precisaremos una tabla en la que resumamos estos datos quedando la siguiente tabla:

Datos agrupados



110056042531512518598520515003755006752001805

1001200500023001595785605268025801753002501152450

Tablas tipo III:

Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo que será necesario agrupar en intervalos los valores de la variable. Por ejemplo si a un grupo de 30 alumnos les preguntamos el dinero que en ese momento llevan encima, nos encontramos con los siguientes datos:

Evidentemente, la variable estadística tiene un recorrido muy grande por lo que síqueremos hacer una tabla con estos datos tendremos que tomar intervalos.

Para decidir la amplitud de los intervalos, necesitaremos decidir ¿cuántos intervalos queremos?. Normalmente se suele trabajar con no más de 10 o 12 intervalos.Rango =4995/10 = 499,5 Por lo que tomaremos intervalos de amplitud 500



1[ 4505, 5005)

0[ 4005, 4505)

0[ 3505, 4005)

0[ 3005, 3505)

1[ 2505, 3005)

1[ 2005, 2505)

1[ 1505, 2005)

4[ 1005,1505)

5[ 505, 1005)

17[ 5,505)

Frecuencia[ Li-1 , Li )Tomar pocos intervalos implica que la "pérdida de información" sea mayor.

Número de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia.

Podemos observar que la variable toma valores comprendidos en intervalos de 500, por lo que precisaremos una tabla en la que resumamos estos datos quedando la siguiente tabla:



Distintos Tipos de Frecuencia:

Uno de los primeros pasos que se realizan en cualquier estudio estadístico es la tabulación de resultados, es decir, recoger la información de la muestra resumida en una tabla en la que a cada valor de la variable se le asocian determinados números que representan el número de veces que ha aparecido, su proporción con respecto a otros valores de la variable, etc.

Estos números se denominan frecuencias: Así tenemos los siguientes tipos de frecuencia:

• Frecuencia absoluta • Frecuencia relativa • Porcentaje • Frecuencia absoluta acumulada • Frecuencia relativa acumulada • Porcentaje acumulado



Frecuencia absoluta:La frecuencia absoluta de una variable estadística es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por fi

Frecuencias absolutas: Contabilizan el número de individuos de cada modalidad

Frecuencia relativa:La frecuencia absoluta, es una medida que está influida por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará también el tamaño de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una medida útil para poder comparar. Para esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, que es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por hi

Donde N = Tamaño de la muestra

= fN

hi

i



Porcentaje:La frecuencia relativa es un tanto por uno, sin embargo, hoy día es bastante frecuente hablar siempre en términos de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. La denotaremos por pi.

Frecuencia Absoluta Acumulada:Para poder calcular este tipo de frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por Fi.

= 100%pi i

●h



Frecuencia Relativa Acumulada:Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por Hi

Porcentaje Acumulado:Análogamente se define el Porcentaje Acumulado y lo vamos a denotar por Pi como la frecuencia relativa acumulada por 100.

= FN

H i

= 100%Pi

H i ●

i



Veamos esto con un ejemplo: Tomamos para ello los datos relativos a las personas activas.

50Total

100%50/50 5010%5/5054

90%45/504518%9/5093

72%36/503640%20/50 202

32%16/501632%16/50161

PiHiFipihifiXi

Número Familias

PersonasActivas

La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia.


Número de hijos

419 27,8 27,8255 16,9 44,7375 24,9 69,5215 14,2 83,8127 8,4 92,254 3,6 95,824 1,6 97,323 1,5 98,917 1,1 100,0

1509 100,0

01234567Ocho+Total

Frec.Porcent.(válido)

Porcent.acum.

Ejemplo

¿Cuántos individuos tienen menos de 2 hijos?

frec. absoluta sin hijos + frec. absoluta con 1 hijo = 419 + 255= 674 individuos

¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos?

97,3%


GrGrááficosficos


Gráficos Estadísticos: Son representaciones visuales que emplean símbolos, barras, polígonos y sectores, de los datos contenidos en tablas de frecuencias.

Las representaciones gráficas deben conseguir que un simple análisis visual ofrezca la mayor información posible. Según el tipo del carácter que estemos estudiando, usaremos una representación gráfica u otra.

Histograma: Gráfica de barras que representa una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa; y está integrado por lo siguientes componentes. En general se requiere previamente el cálculo de una tabla de frecuencia, y su posterior representación.

Un título, que identifica la población o la muestra de interés.Una escala vertical, que identifica las frecuencias que hay en las diversas clases

Una escala horizontal, que identifica la variable x.

GrGrááficosficos


Este tipo de diagramas consideran una figura geométrica en que la distribución de frecuencias se reparte dentro de la figura como puede ser una dona, pastel, círculo o anillo, en el que cada porción dentro de la figura representa la información porcentual del total de datos.

Alumnos de Maestría

Educación, 45, 55%

Informática, 12, 15%

Administración, 25, 30%

EducaciónInformáticaAdministración

82TOTAL

25Administración

12Informática

45Educación

AlumnosMaestría

UNID

GrGrááfico de Sectores o Circularesfico de Sectores o Circulares


Centralización (Tendencia Central)Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse.

Media, mediana y moda

PosiciónDividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos.

Cuantiles, percentiles, cuartiles, deciles,...

DispersiónIndican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización.

Desviación típica, coeficiente de variación, rango, varianza

Medidas EstadMedidas Estadíísticassticas


Medidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia Central

Las medidas de tendencia central son: La media , la mediana y la moda.

MediaMedia: Es la media aritmética (promedio) de los valores de una variable. Suma de los valores dividido por el tamaño de la muestra.

Es la medida más común de localización y representa el centro de un grupo de datos

Datos sin agrupar: x1, x2, ..., xn

1

n

ii

XX

n==∑

1

N

ii

X

Nμ ==

∑

Fórmulas para determinar la Media para datos no agrupadosPodemos diferenciar la fórmula del promedio simple para datos de poblaciones y de muestras:

Población Muestra



Ejemplo:

Calcule la media de los siguientes números:

10 , 11 , 12 , 12 , 13

1. Sumar las cantidades < 10 + 11 + 12 + 12 + 13 = 58> 2. Dividir la suma por la cantidad de elementos < 58/5> 3. El resultado es la media <11.6>

Por lo tanto, la media de los 5 números es 11.6. Note que la media resulta un número que está entre el rango de elementos; en este caso, 11.6 está entre 10,11,12 y 13.



Se desea conocer el promedio de las notas de la clase de estadística de los13 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son:

8.0 9.3 8.8 9.0 10 8.5 10

9.2 8.9 9.1 9.4 8.2 8.7

1

N

ii

X

Nμ ==

∑Población

=8 + 9.3 + 8.8 + 9 + 10 + 8.5 + 10 + 9.2 + 8.9 + 9.1 + 9.4 + 8.2 + 8.7

13

μ = =13

117.1 9.0076

Datos no agrupados



12109351105113010601100

110011601110118011701230

115010301050112010301050

12001150108010909901150

100010301070101011101000Muestra de Ingresos mensuales en dólares

EjemploEjemplo

∑X

X

= i= 1

30

iX30 = 30

32800

1000 +1150 +1050 +1230 +1100 +990 +1030 +1170 ● ● ● ● ● ● + 1210

= 30 = 1093.33 Datos no agrupados



Xi

x2

x1

n

NiniLi-1 – Li

...

N2n2L1 – L2

N1n1L0 – L1

fr. ac.fr.Variable

Datos organizados en tabla

x

Fórmulas para determinar la Media para datos agrupados. (Tabla tipo 2)

Intervalo de clase: Intervalos empleados en las Tablas de Frecuencias Estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Lm) y un límite superior (Ls).

μN

Fórmulas para determinar la Media para datos agrupados. (Tabla tipo 3)

∑X = i= 1

Nc

iMci ƒi

n∑

= i= 1

Nc

Mci ƒiμN

ƒixi i∑=n

ƒixi i∑=



50Total

54

93

202

161

Número de Familias

Personas Activas

Ejemplo: Encontrar la media aritmética para datos agrupados en tablas tipo 2

x nƒix

i i∑= 1(16) + 2(20) + 3(9) + 4(5)=50

x 103=50

= 2.062.06

En promedio son 2.06 las personas económicamente activas



30/30=13/303031205(1180-1230]

30/30=130

27/306/302761155(1130-1180]

21/308/302181105(1080-1130]

13/305/301351055(1030-1080]

8/307/30871005(980-1030]1/301/3011955(930-980]

FRECUENCIA RELATIVA

ACUMULADAFI /n

FRECUENCIA RELATIVA

Fi /n

FRECUENCIA ABSOLUTA

ACUMULADAFi

FRECUENCIA ABSOLUTA

fi

MARCA DE CLASE

Mc

INTERVALO DE CLASE

EjemploEjemplo



∑X = i= 1

6

iMci ƒi

n 30955(1) +1005(7) +1055(5) +1105(8) +1155(6) + 1205(3)=

X =30

955 + 7035 + 5275 + 8840 + 6930 + 3615 =30

32650

1088.3331088.333=X



ActividadActividad

3748.233.215.240.933.612.416.838.118.143.112.830.621.411.126.32118.641.449.412.4321118.626.24435.412.423.147.8

Realizar una comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados (tabla tipo 1) y datos agrupados en tablas tipo 3

Encontrar los siguientes valores:

• Media Aritmética• Valor Máximo• Valor Mínimo• Número de Intervalos

• Rango• Lm - Ls• Mc• Frecuencia Absoluta



ActividadActividad

Resultado de la comparativa entre el cálculo de la media aritmética para datos no agrupados (tabla tipo 1) y datos agrupados en tablas tipo 3

Podemos ver claramente una diferencia entre ambas medias: 27,73 para los datos no agrupados y 28,28 para los datos agrupados.

Esta diferencia radica que en la tabla tipo 3 existe una perdida de información, al agrupar los datos en los intervalos de clase. El valor de la media exacta es el calculado para los datos no agrupados, pero dada la proximidad de la media para los datos agrupados, se tomar esta última como cierta.

Resultado 1: 27.73 Datos no agrupados27.73 Datos no agrupados

Resultado 2: 28.28 Datos agrupados28.28 Datos agrupados



Es un valor que divide a las observaciones en dos grupos con el mismo número de individuos. Si el número de datos es par, se elige la media de los dos datos centrales.

Mediana: Valor que divide una serie de datos en dos partes iguales. La cantidad de datos que queda por debajo y por arriba de la mediana son iguales.

La mediana de un conjunto de datos x1,x2,K,xn, es el valor xi que se encuentra en el punto medio o centro, cuando se ordenan los valores de menor a mayor.

Mediana Mediana (Me)(Me)



MedianaMediana

Procedimiento del cálculo de una mediana:

Paso 1.- Ordenar de menor a mayor los valores xi del conjunto de datos individuales, i = 1,2,…,nPaso 2.- Identificar si n es impar o par

( / 2) ( / 2 1)

2n nx x ++

([ 1]) / 2)nx +

%x =



MedianaMediana

Procedimiento del cálculo de una mediana:

Paso 1.- Ordenar de menor a mayor los valores del conjunto de datosPaso 2.- Identificar si el total de elementos es impar o parPaso 3.- Localizar el valor que divide en dos parte iguales el número de datos.

Datos no agrupados

( / 2) ( / 2 1)

2n nx x ++

([ 1]) / 2)nx +

Me =

n = Par

n = Impar

Donde X es la posición de los números y n es el número de elementos.



Datos no agrupados

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5

4 1 2 3 4 2 2 1 5 5 34 1 2 3 4 2 2 1 5 5 3

Encontrar la mediana para los siguientes datos:

1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5Paso 1X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11Paso 2 n = Impar

EjemploEjemplo

Paso 3([ 1]) / 2)nx +Me =

Me = X ([11+1]/2) = X6

Me = 3Me = 3



Datos no agrupados

4 1 2 3 4 2 2 1 5 54 1 2 3 4 2 2 1 5 5

Encontrar la mediana para los siguientes datos:

1 1 2 2 2 3 4 4 5 5Paso 1

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 Paso 2 n = PAR

EjemploEjemplo

Me = 2.5Me = 2.5

Paso 3 Me = ([n/2]+1)(n/2)X + X2

Me = ([10/2]+1)(10/2)X + X2

X5 + X6=2

Me = 2 + 32

= 52



MedianaMediana

Ejemplo: Buscar la mediana de los siguientes números: 2 4 1 3 5 6 3

Mediana = X

X4 < La mediana está en la posición 4>

Por lo tanto, la mediana es 3.

[(7+1)/2]

Primero, hay que ordenarlos: 1 2 3 3 4 5 6 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7



MedianaMediana

100.0%48TOTAL100.0%12.1%0.0208348170

97.9%0.9791674.2%0.0416747260

93.8%0.937520.8%0.20833451050

72.9%0.72916727.1%0.27083351340

45.8%0.45833320.8%0.20833221030

25.0%0.2514.6%0.1458312720

10.4%0.10416710.4%0.104175510

PiHipihiFifiClase

50%3040

Encontrar la mediana partiendo de la siguiente tabla:

¿Qué valor entre el 30 y 40 representa el 50%?



MedianaMediana

72.9%0.7291627.1%0.2708351340

45.8%0.4583320.8%0.2083221030

PiHipiHiFifiClase

Entre el 30 y 40 hay una diferencia de 10, así como del 27.1% de los datos entre las frecuencias relativas acumuladas.

Para llegar al 50% de los datos, debemos incrementar en 4,2% los datos partiendo desde la clase 30.

50% - 45.8% = 4.2%

¿Qué valor entre el 30 y 40 representa el 50%?

27.1% de Diferencia

Si sabemos que en un rango de 10 existe 27.1%, cuanto representa 4.2% de esos 10?

Correcto!! = 1.55

Para llegar al 50% de los datos, necesitamos incrementar 1.55 a la clase 30 y asíobtener la mediana

Me = 31.55Me = 31.55



MedianaMedianaEncontrar la mediana partiendo de la siguiente tabla:

100.00%40

100.00%1.0002.50%0.02540173.2177.269.21

97.50%0.9757.50%0.07539365.2169.2161.21

90.00%0.90030.00%0.300361257.2161.2153.21

60.00%0.60017.50%0.17524749.2153.2145.21

42.50%0.42525.00%0.250171041.2145.2137.21

17.50%0.1755.00%0.0507233.2137.2129.21

12.50%0.12512.50%0.1255525.2129.2121.2

PiHipihiFifiMcLsLm

50%

Entre 45.21 y 53.21 hay una diferencia de 8, así como del 17.5% de los datos entre las frecuencias relativas acumuladas.

Para llegar al 50% de los datos, debemos incrementar en 7,5% los datos desde límite superior del tercer intervalo de clase.

50% - 42.5% = 7.5%



¿Qué valor entre 45.21 y 53.21 representa el 50%?Si sabemos que en un rango de 8 existe 17.5%, cuanto representa 7.5% de esos 8?

Para llegar al 50% de los datos, necesitamos incrementar 3.43 unidades a 45.21 y así obtener la mediana

Me = 48.64Me = 48.64

Me L + A ● 50% – Pi-1S-1=(Pi – Pi-1)

Calcular la mediana mediante fórmula:

Me = ?LS-1= 45.21 A = 8Pi = 60%Pi-1 = 42.5

Me = 45.21 + 8 ●50% - 42.5%

(60% – 42.5%)

Me = 48.64Me = 48.64



¿Qué valor entre 45.21 y 53.21 representa el 50%?Si sabemos que en un rango de 8 existe 17.5%, cuanto representa 7.5% de esos 8?

Para llegar al 50% de los datos, necesitamos incrementar 3.43 unidades a 45.21 y así obtener la mediana

Me = 48.64Me = 48.64

Me L + A ● 50% – PiS-1=(Pi – Pi-1)

Calcular la mediana mediante fórmula:



Indica el valor que más se repite, o la clase que posee mayor frecuencia.

Es el valor que cuenta con una mayor frecuencia en una distribución de datos

Moda Moda ((MoMo))

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9Mo= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Mo= 4



Calcular la moda a partir de la siguiente tabla de frecuencia:ModaModa

205131412

5111210

49108

4786

2564

fiMcLsLm

Las marcas de clase que más frecuencias tienen son 11 y 13, por tanto decimos que es un caso donde aparecen dos modas (bimodal).

Mo1 = 11Mo2 = 13



ModaModaCalcular la moda mediante fórmula:

Mo L + A ● fi – fi-1S-1=(fi – fi-1) + (fi – fi+1)

Donde LS-1 equivale al límite superior del intervalo anterior donde se encuentra la moda.

100

873.57572

2770.57269

4267.569661864.56663

561.56360

fiMcLsLmMo 66 + 3 ●

(42 – 18)= (42 – 18)+(42+18)

Mo 66 + 3 ●27

= (42 – 18)+(42+18)

Mo 67.846=



ModaModaCalcular la moda mediante fórmula:

Mo L + A ● fi – fi-1S-1=(fi – fi-1) + (fi – fi+1)

Donde LS-1 equivale al límite superior del intervalo anterior donde se encuentra la moda.

100

873.57572

2770.57269

4267.569661864.56663

561.56360

fiMcLsLmMo 66 + 3 ●

(42 – 18)= (42 – 18)+(42+18)

Mo 66 + 3 ●27

= (42 – 18)+(42+18)

Mo 67.846=

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