TABLAS DE FRECUENCIA, MEDIA, MODA , MEDIANAS Y CUARTILES

PARA DATOS AGRUPADOS

Alejandra Chavez Valderrama

Objetivo

•Representar datos obtenidos en una muestra mediante tablas de frecuencias absolutas y relativas

IV.- Organización de los datos

Una vez que se ha realizado la recolección de los datos, se obtienen datos en bruto, los cuales rara vez son significativos sin una organización y tabulación.

Tabla de Frecuencias

Distribución de frecuencias:

Es un arreglo de los datos que permite expresar la frecuencia de ocurrencias de las observaciones en cada una de las clases, mostrando el patrón de la distribución de manera más significativa.

Tabla con intervalos

1. Seleccionar intervalos iguales

2. Encontrar la frecuencia de cada intervalo

Determinar el Rango (𝑅) de la muestra, este se calcula con la diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra:

Determinar la cantidad de intervalos.

Finalmente calcular la amplitud de cada clase (𝐴) utilizando los valores anteriores:

A= 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜

𝑛° 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠

𝑅 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟max - 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟min

Ejemplo 1

Usa los datos de la tabla para hacer una tabla de frecuencia con intervalos

Entonces: •El rango:

𝑅 = 52 − 1 = 51 • cantidad de intervalos o clases: 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 7 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑠

•Luego la amplitud es: 𝑅

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠=

51

7= 7,286 ≈ 8

Por lo tanto debemos formar 7 clases, en donde los intervalos tendrán amplitud 8 unidades

La tabla de frecuencias quedará de la siguiente manera:

Cantidad de frutas que se venden por hora

Cantidad Frecuencia

1,9 32

9,17 11

17,25 4

25,33 2

33,41 0

41,49 0

49,57 1

Paso 1: determinar los intervalos de la tabla de frecuencia.

Cantidad de intervalos : 5

Rango= Vmax – Vmin= 53-10= 43

amplitud es: 𝑅

𝐼 =

43

5= 8,6 ≈ 9

Luego se calcula la cantidad de datos que hay en cada intervalo que corresponde a la frecuencia absoluta.

Paso 2: Calcular la marca de clase de cada intervalo. Lo lograras, calculando la semisuma del intervalo , es decir :

10 + 19

2= 14,5

• Determinar el Rango (𝑅) de la muestra, este se calcula con la diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra:

• Cantidad de intervalos

• Amplitud 𝑅

𝐼

6 4 2 8 18 16 10 6 7 5 12 8 9 12 17 11 9 16 19 18 18 16 14 12 7 10 3 11 7 12 5 9 11 15 9 4 1 6 11 7 8 10 15 3 2 13 9 11 17 13 12 8

En una cierta ciudad de la provincia de Valdivia, se registra el número de nacimientos ocurridos por semana durante las 52 semanas del año, construye una tablade frecuencia , calcula la media y moda siendo los siguientes los datos obtenidos:

Cantidad de nacimientos

Marca de clase

Frecuencia absoluta (f)

Frecuencia absoluta acumulada (F)

Frecuencia relativa (fr)

Frecuencia relativa acumulada (Fr)

MEDIA: Corresponde al promedio de los datos obtenidos de una muestra.

10 4 40

11 7 77

12 10 120

13 8 104

14 1 14

30 355

Dato (xi) fi Xi . Fi

Ejemplo: Se tienen las notas de 20 alumnos de un curso.

Caso 1:

Caso 2:

𝑋 =355

30= 11,83

Caso 3 :

Intervalo Xi fi Xi ∙ 𝒇𝒊

34 − 42 38

3 114

42 − 50 46 5 230

50 − 58 54 3 162

58 − 66 62 7 434

66 − 74 70 2 140

20 1080

𝑋 =114+230+162+434+140

20 = 54

𝑋𝑖 = 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒

𝑓𝑖 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎

n = cantidad de datos

Mediana: es el dato que se encuentra justo al medio una vez que todos se encuentran ordenados de forma creciente o decreciente.

Caso 1:

Sean los números 4,6,9,2,4,5,7,1,5. Al ordenarlos: 1, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 7,9

La mediana es 5

Si la cantidad de datos es par, la mediana será el promedio de aquellos dos números que quedan al medio

Caso 2:

Me= 12

Caso 3: se debe ubicar el intervalo del medio

Intervalo Xi fi Fi

34 − 42 38

3 3

42 − 50 46 5 8

50 − 58 54 3 11

58 − 66 62 7 18

66 − 74 70 2 20

20

𝑀𝑒 = 50 +20

2−8

3∙ 8 = 55,33

𝐿𝑖 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

𝑁= 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠

𝑓𝑖 = 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

𝐹i-1 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

𝐴 = 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑

Caso 1: 1, 2, 4, 4,4, 5, 5, 6, 7,9

Mo= 4

Moda = 12

• Moda: es el dato que mas se repite dentro de la muestra o población.

En este caso debemos fijarnos en la frecuencia absoluta, ya que es el dato que mas se repite

Caso 3

Intervalo Xi fi Fi

34 − 42 38

3 3

42 − 50 46 5 8

50 − 58 54 3 11

58 − 66 62 7 18

66 − 74 70 2 20

20

𝐿𝑖 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙

𝑓𝑖=𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙

𝐹i-1 = 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑎𝑛𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑎

𝐴=𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑

Fi+1= frecuencia absoluta del intervalo modal posterior

𝑀𝑜 = 58 +7 − 3

7 − 3 + 7 − 2 ∙ 8 = 61,55

Cuartiles Cuartiles: son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente.

Ejemplo: Dadas las siguientes alturas de los estudiantes de una clase: 163, 165, 169, 170, 172, 174, 175, 177, 182 y 185. Calcular los cuartiles. Tenemos 10 observaciones (y están ya ordenadas)

Para calcular Q1:

pQk= (1∗10)/4 = 10/4 = 2,5 ≈3 , luego Q1= 169

En caso de ser un número decimal se aproxima al entero más cercano superior.

Para calcular Q2: Es igual a la mediana, es decir el dato del medio.

Para calcular Q3 = 3*10/4 = 7,5≈ 8, entonces el tercer cuartil es 177

• Para datos agrupados.

Vamos a calcular Q1. Lo primero que tenemos que ver es que n = 14, luego n/4 = 3,5 Para ver dónde está Q1 (el intervalo) tenemos que ver dónde está el que ocupa la posición 3,5, que está en el intervalo [5-10). Ahora vemos el resto de datos que necesitamos: Li = 5 (límite inferior del intervalo). Fi-1 = 3 (frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior). fi = 5 (frecuencia del intervalo). ai = 5 (amplitud del intervalo).

Luego: Q1 = 5 + ((3,5-3)/5) * 5 = 5 + (0,5/5)*5 = 5 + 0,5 = 5,5.

Nos dará el intervalo del primer cuartil.

Tenemos que ver donde está el intervalo del cuartil 3.

Q3= 3N/4 =3 ∙14

4= 10,5

La posición 10,5, está en el intervalo [10-15), ya que la frecuencia absoluta acumulada (12) es mayor que 10,5 (es decir, está en el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea mayor que la posición que buscamos). Ahora vemos el resto de datos que necesitamos: Li = 10 (límite inferior del intervalo). Fi-1 = 8 (frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior). fi = 4 (frecuencia del intervalo). a = 5 (amplitud del intervalo). Luego: Q3 = 10 + ((10,5-8)/4) * 5 = 10 + (2,5/4)*5 = 10 + 3,125 = 13,125.

Segundo cuartil.

Entonces aquí buscamos el intervalo del medio = 2𝑛/4= 7

5+2∙14

4 −3

5 ∙ 5 = 9

En este caso, Me = 9 y el intervalo es [5-10), efectivamente está dentro.