Capitulo 2 Conduccion Apuntes Alumno 2parte

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ESIME CULHUACAN TRANSFERENCIA DE CALOR ING. ALFREDO MIRANDA

CAPITULO 2 ECUACION DE LA CONDUCCION DE CALOR

La transferencia de calor tiene direccin y magnitud. La razn de la transferencia de calor por conduccin en una direccin especfica es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es la razn del cambio de la temperatura con respecto a la distancia, en esa direccin. En general, la conduccin de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo, y la temperatura en un medio vara con la posicin y con el tiempo; es decir, T = T(x, y, z, t). Se dice que la conduccin en un medio es estacionaria o estable (algunos autores emplean el trmino estable) cuando la temperatura no vara con el tiempo, y no estacionaria o transitoria, cuando lo hace. Se dice que la conduccin de calor en un medio es unidimensional cuando la transferencia de calor por conduccin es significativa slo en una dimensin y despreciable en las otras dos direcciones primarias, bidimensional cuando la conduccin en la tercera dimensin es despreciable y tridimensional cuando la conduccin en todas las dimensiones es significativa.

Se empieza este captulo con una descripcin de la conduccin de calor estacionaria, no estacionaria y multidimensional. A continuacin se deduce la ecuacin diferencial que rige la conduccin de calor en una gran pared plana, un cilindro largo y una esfera, y se generalizan los resultados hacia los casos tridimensionales en coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas. Despus de una discusin de las condiciones de frontera se presenta la formulacin de los problemas de conduccin de calor y sus soluciones. Por ltimo, se consideran los problemas de conduccin de calor con conductividad trmica variable.

En este captulo se tratan los aspectos tericos y matemticos de la conduccin de calor y se puede estudiar de manera selectiva, si se desea, sin causar una prdida significativa en la continuidad. Los aspectos ms prcticos de la conduccin del calor se cubren en los dos captulos siguientes.

2.1 INTRODUCCIN

En el captulo 1 se defini la conduccin del calor como la transferencia de energa trmica de las partculas ms energticas de un medio hacia las menos energticas adyacentes. Se expres que la conduccin puede tener lugar en los lquidos y los gases as como en los slidos, siempre que no se tenga un movimiento masivo.

Aun cuando la transferencia de calor y la temperatura estn ntimamente relacionadas, son de naturaleza diferente. A diferencia de la temperatura, la transferencia de calor tiene direccin as como magnitud y, por lo tanto, es una cantidad vectorial (figura 2-1). Por consiguiente, se debe especificar tanto la direccin como la magnitud con el fin de describir por completo la transferencia de calor en un punto. Por ejemplo, al decir que la temperatura en la superficie interior de una pared es de 18C, se describe en su totalidad la temperatura en ese lugar. Pero si se dice que el flujo de calor sobre esa superficie es de 50 W/m2, de inmediato se

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propone la pregunta: en qu direccin? Se responde a esta pregunta al decir que la conduccin de calor es hacia el interior (indicando ganancia de calor) o hacia el exterior (con lo que se indica prdida de calor).

FIGURA 2-1

La transferencia de calor tiene direccin as como magnitud y, por lo tanto, es una cantidad vectorial.

Con el fin de evitar esas preguntas, se recomienda trabajar con un sistema de coordenadas e indicar la direccin con los signos ms o menos. La convencin en general aceptada es que la transferencia de calor en la direccin positiva de un eje de coordenadas es positiva y en la direccin opuesta es negativa. Por lo tanto, una cantidad positiva indica la transferencia de calor en la direccin positiva y una cantidad negativa indica transferencia de calor en la direccin negativa (figura 2-2).

FIGURA 2-2

Indicacin de la direccin para la transferencia de calor (positiva en la direccin positiva; negativa en la direccin negativa).

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La fuerza impulsora para cualquier forma de transferencia de calor es la diferencia de temperatura, y entre mayor sea esa diferencia, mayor es la razn de la transferencia. En algunos problemas de transferencia de calor en ingeniera se requiere la determinacin de la distribucin de temperatura (la variacin de la temperatura) de uno a otro lado del medio para calcular algunas cantidades de inters, como la razn local de transferencia de calor, la expansin trmica y el esfuerzo trmico, en algunos lugares crticos en momentos especficos. La especificacin de la temperatura en un punto en un medio requiere en primer lugar la determinacin de la ubicacin de ese punto. Esto se puede hacer al elegir un sistema adecuado de coordenadas, como las rectangulares, cilndricas o esfricas, dependiendo de la configuracin geomtrica que intervenga, y un punto conveniente de referencia (el origen).

La ubicacin de un punto se especifica como (x, y, z), en coordenadas rectangulares, como (r, , z), en coordenadas cilndricas, y como (r, , z), en coordenadas esfricas, en donde las distancias x, y, z y r, y los ngulos y son como se muestran en la figura 2-3. Entonces, la temperatura en un punto (x, y, z) en el instante t, en coordenadas rectangulares, se expresa como T(x, y, z, t). El mejor sistema de coordenadas para una configuracin geomtrica dada es la que describe mejor las superficies en dicha configuracin. Por ejemplo, un paraleleppedo se describe de la mejor manera en coordenadas rectangulares, ya que cada una de las superficies se puede describir por un valor constante de las coordenadas x, y o z. Un cilindro es lo ms apropiado para las coordenadas cilndricas, ya que su superficie lateral se puede describir por un valor constante del radio. De modo anlogo, toda la superficie exterior de un cuerpo esfrico se puede describir del mejor modo por un valor constante del radio en coordenadas esfricas. Para un cuerpo con forma arbitraria, lo normal es usar coordenadas rectangulares, ya que es ms fcil tratar con distancias que con ngulos.

FIGURA 2-3

Diversas distancias y ngulos que intervienen al describir la ubicacin de un punto en los diferentes sistemas de coordenadas.

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La notacin que acaba de describirse tambin se usa para identificar las variables que intervienen en un problema de transferencia de calor. Por ejemplo, la notacin T(x, y, z, t) implica que la temperatura vara con las variables espaciales x, y y z, as como con el tiempo. Por otra parte, la notacin T(x) indica que la temperatura vara slo en la direccin x y no se tiene variacin con las otras dos coordenadas espaciales o con el tiempo.

Transferencia de calor estacionaria en comparacin con la transferencia transitoria

Los problemas de transferencia de calor a menudo se clasifican como estacionarios (tambin llamados estables) o transitorios (tambin llamados no estables o no estacionarios). El trmino estacionario implica que no hay cambio con el tiempo en cualquier punto dentro del medio, en tanto que transitorio implica variacin con el tiempo o dependencia con respecto al tiempo.

Por lo tanto, la temperatura o el flujo de calor permanecen inalterados con el transcurso del tiempo durante la transferencia de calor estacionaria a travs de un medio, en cualquier ubicacin, aunque las dos cantidades pueden variar de una ubicacin a otra (figura 2-4).

Por ejemplo, la transferencia de calor a travs de las paredes de una casa ser estacionaria cuando las condiciones en el interior de ella y en el exterior permanezcan constantes durante varias horas.

Pero incluso en este caso, las temperaturas sobre las superficies interior y exterior de la pared sern diferentes, a menos que las temperaturas dentro y fuera de la casa sean iguales. Por otra parte, el enfriamiento de una manzana en un refrigerador es un proceso transitorio de transferencia de calor, ya que la temperatura en cualquier punto fijo dentro de esa manzana cambiar con el tiempo mientras se produce el enfriamiento.

Durante la transferencia de calor transitoria, la temperatura normalmente vara tanto con el tiempo como con la posicin. En el caso especial de variacin con el tiempo pero no con la posicin, la temperatura del medio cambia uniformemente con el tiempo. Los sistemas con una transferencia de calor de este tipo se llaman sistemas de parmetros concentrados o de resistencia interna despreciable.

Por ejemplo, un pequeo objeto metlico, como una unin de un termopar o un alambre delgado de cobre, se puede analizar como un sistema de parmetros concentrados durante un proceso de calentamiento o de enfriamiento.

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FIGURA 2-4

Conduccin de calor estacionaria y transitoria en una pared plana.

La mayora de los problemas de transferencia de calor que se encuentran en la prctica son de naturaleza transitoria, pero suelen analizarse bajo condiciones que se suponen estacionarias, ya que los procesos estacionarios son ms fciles de analizar y suministran respuestas a nuestras preguntas.

Por ejemplo, la transferencia de calor a travs de las paredes y el techo de una casa tpica nunca es estacionaria, puesto que las condiciones en el exterior, como la temperatura, la velocidad y direccin del viento, la ubicacin del Sol, etc., cambian en forma constante. Las condiciones dentro de una casa tpica tampoco son tan estacionarias. Por lo tanto, es casi imposible realizar el anlisis de transferencia de calor de una casa con exactitud. Pero, entonces, en realidad se necesita un anlisis profundo de la transferencia de calor? Si la finalidad del anlisis de transferencia de calor de una casa es determinar el tamao apropiado de un calefactor, que suele ser el caso ms comn, se necesita conocer la razn mxima de la prdida de calor de esa casa, que se calcula al considerar la prdida de calor en las peores condiciones, durante un periodo extendido; es decir, durante operacin estacionaria en las peores condiciones.

Por consiguiente, se puede obtener la respuesta a la pregunta al llevar a cabo un anlisis de transferencia de calor en condiciones estacionarias. Si el calefactor es suficientemente grande para mantener la casa caliente en las peores condiciones supuestas, es idneo para cualquier situacin. El procedimiento antes descrito es una prctica comn en la ingeniera.

Transferencia de calor multidimensional

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Los problemas de transferencia de calor tambin se clasifican como unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales, dependiendo de las magnitudes relativas de las razones de transferencia en las diferentes direcciones y del nivel de exactitud deseado. En el caso ms general la transferencia de calor a travs de un medio es tridimensional.

Es decir, la temperatura vara a lo largo de las tres direcciones primarias dentro del medio durante el proceso de transferencia de calor. En este caso general, la distribucin de temperatura de uno a otro lado del medio en un momento especfico, as como la razn de la transferencia de calor en cualquier ubicacin se pueden describir por un conjunto de tres coordenadas, tales como x, y y z, en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), la r, y z, en el sistema de coordenadas cilndricas, y la r, y , en el sistema de coordenadas esfricas (o polares). En este caso, la distribucin de temperatura se expresa como T(x, y, z, t), T(r, , z, t) y T(r, , , t), en los respectivos sistemas de coordenadas.

En algunos casos la temperatura en un medio vara principalmente en dos direcciones primarias y la variacin de la temperatura en la tercera direccin (y, por lo tanto, la transferencia de calor en esa direccin) es despreciable. En ese caso, se dice que un problema de transferencia de calor es bidimensional. Por ejemplo, la distribucin estacionaria de temperatura en una barra larga de seccin transversal rectangular se puede expresar como T(x, y), si la variacin de la temperatura en la direccin z (a lo largo de la barra) es despreciable y no hay cambio con el tiempo (figura 2-5).

FIGURA 2-5

Transferencia bidimensional de calor en una barra rectangular larga.

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Se dice que un problema de transferencia de calor es unidimensional si la temperatura en el medio vara en una sola direccin y, por lo tanto, el calor se transfiere en esa misma direccin; al mismo tiempo, la variacin de temperatura y, como consecuencia, la transferencia de calor en otras direcciones es despreciable o cero.

Por ejemplo, la transferencia de calor a travs del vidrio de una ventana se puede considerar como unidimensional, ya que ocurrir de manera predominante en una direccin (la perpendicular o normal a la superficie del vidrio) y la transferencia de calor en otras direcciones (de uno de los bordes laterales hacia el otro y del borde superior al inferior) es despreciable (figura 2-6).

De modo semejante, la transferencia de calor a travs de un tubo de agua caliente ocurre de manera predominante en direccin radial desde el agua caliente hacia el ambiente, y es tpico que la transferencia a lo largo del tubo y de la circunferencia de una seccin transversal (direcciones z y ) sea despreciable. La transferencia de calor hacia un huevo que se deja caer en agua hirviendo tambin es casi unidimensional debido a la simetra. En este caso, el calor se transferir al huevo en la direccin radial; es decir, a lo largo de rectas que pasan por el punto medio del huevo.

FIGURA 2-6

La transferencia de calor a travs de la ventana de una casa se puede considerar como unidimensional.

Tambin se mencion en el captulo 1 que la razn de la transferencia de calor a travs de un medio en una direccin especfica (por ejemplo, en la direccin x) es proporcional a la diferencia de temperatura entre uno y otro lados del medio y al rea perpendicular a la direccin de la transferencia de calor, pero es inversamente proporcional a la distancia en esa direccin. Esto se expres en forma diferencial por la ley de Fourier de la conduccin de calor en forma unidimensional, como

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donde k es la conductividad trmica del material, que es una medida de la capacidad del material para conducir el calor y dT/dx es el gradiente de temperatura, es decir, la pendiente de la curva de temperatura sobre un diagrama T-x (figura 2-7). En general, la conductividad trmica de un material vara con la temperatura. Pero se pueden obtener resultados suficientemente exactos al usar un valor constante para la conductividad trmica a la temperatura promedio.

FIGURA 2-7

El gradiente de temperatura dT/dx es simplemente la pendiente de la curva de temperatura en un diagrama T-x.

El calor es conducido en la direccin de la temperatura decreciente y, por lo tanto, el gradiente de temperatura es negativo cuando el calor es conducido en la direccin positiva de x. El signo negativo en la ecuacin 2-1 garantiza que la transferencia de calor en la direccin positiva de x sea una cantidad positiva.

Con el fin de obtener una relacin general para la ley de Fourier de la conduccin de calor, considere un medio en el cual la distribucin de temperatura es tridimensional. En la figura 2-8 se muestra una superficie isotrmica en ese medio. El vector de flujo de calor en un punto P sobre esta superficie debe ser perpendicular a ella y debe apuntar en la direccin de la temperatura decreciente. Si n es la normal a la superficie isotrmica en el punto P, la razn de la conduccin de calor en ese punto se puede expresar por la ley de Fourier como

FIGURA 2-8

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El vector de transferencia de calor siempre es normal a una superficie isotrmica y se puede transformar en sus componentes como cualquier otro vector.

En coordenadas rectangulares el vector de conduccin del calor se puede expresar en trminos de sus componentes como

en donde son los vectores unitarios, y son las magnitudes de las razones de transferencia de calor en las direcciones x, y y z, las cuales una vez ms se pueden determinar a partir de la ley de Fourier como

Aqu, Ax, Ay y Az son las reas de conduccin del calor normales a las direcciones x, y y z, respectivamente (figura 2-8).

La mayor parte de los materiales de ingeniera son de naturaleza isotrpica y, por lo tanto, tienen las mismas propiedades en todas direcciones. Para esos materiales no es necesario preocuparse por la variacin de las propiedades con la direccin. Pero en los materiales anisotrpicos, como los fibrosos o compuestos, las propiedades pueden cambiar con la direccin. Por ejemplo, algunas de las propiedades de la madera a lo largo de la fibra son diferentes de aquellas en la direccin normal a sta. En esos casos puede ser que se necesite expresar la conductividad trmica como una cantidad tensorial, para tomar en cuenta la variacin con la direccin. El tratamiento de esos temas avanzados est fuera del alcance de este texto y se supondr que la conductividad trmica de un material es independiente de la direccin.

EJEMPLO 2-1: Generacin de calor en una secadora de cabello

La resistencia de alambre de una secadora de cabello de 1 200 W tiene 80 cm de largo y un dimetro D = 0.3 cm (figura 2-11). Determine la razn de generacin de calor en el alambre por unidad de volumen, en W/cm3, y el flujo de calor sobre la superficie exterior del alambre, como resultado de esta generacin de calor.

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FIGURA 2-11

Esquema para el ejemplo 2-1. SOLUCIN

Se da la potencia consumida por la resistencia de alambre de una secadora de cabello. Deben determinarse la generacin de calor y el flujo de calor. Suposicin

El calor se genera de manera uniforme en la resistencia de alambre. Anlisis

Una secadora de cabello de 1 200 W convertir energa elctrica en calor, en el alambre, a razn de 1 200 W. Por lo tanto, la razn de generacin de calor en una resistencia de alambre es igual al consumo de potencia de un calentador de resistencia. Entonces, la razn de generacin de calor en el alambre por unidad de volumen se determina al dividir la razn total de generacin de calor entre el volumen del alambre:

De manera anloga, el flujo de calor sobre la superficie exterior del alambre, como resultado de la generacin de calor, se determina al dividir la razn total de la generacin entre el rea superficial del alambre,

Discusin

Note que la generacin de calor se expresa por unidad de volumen, en W/cm3 o Btu/h ft3, en tanto que el flujo de calor se expresa por unidad de rea superficial, en W/cm2 o Btu/h ft2.

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2.2 ECUACIN UNIDIMENSIONAL DE LA CONDUCCIN DE CALOR

Considere la conduccin de calor a travs de una pared plana grande, como la de una casa, el vidrio de una ventana de una sola hoja, la placa metlica de la base de una plancha, un tubo para vapor de agua de hierro fundido, un elemento cilndrico de combustible nuclear, una resistencia elctrica de alambre, la pared de un recipiente esfrico o una bola metlica que est siendo templada por inmersin o revenida. La conduccin de calor en estas y muchas otras configuraciones geomtricas se puede considerar unidimensional, ya que la conduccin a travs de ellas ser dominante en una direccin y despreciable en las dems. En seguida se desarrollar la ecuacin unidimensional de la conduccin de calor en coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas.

Ecuacin de la conduccin de calor en una pared plana grande

Considere un elemento delgado de espesor x en una pared plana grande, como se muestra en la figura 2-12. Suponga que la densidad de la pared es , el calor especfico es c y el rea de la pared perpendicular a la direccin de transferencia de calor es A. Un balance de energa sobre este elemento delgado, durante un pequeo intervalo de tiempo t, se puede expresar como

FIGURA 2-12

Conduccin unidimensional de calor a travs de un elemento de volumen en una pared

plana grande.

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o bien,

Pero el cambio en el contenido de energa interna del elemento y la razn de generacin de calor dentro del elemento se pueden expresar como

E elemento = Et + t Et = mc (Tt + t Tt) = cA x (Tt + t Tt) (2-7)

Al sustituir en la ecuacin 2-6, se obtiene

Al dividir entre A x da

Al tomar el lmite cuando x 0 y t 0 se obtiene

por la definicin de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conduccin del calor,

Dado que el rea A es constante para una pared plana, la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en rgimen transitorio en una pared de ese tipo queda

En general, la conductividad trmica k de un material depende de la temperatura T (y, por lo tanto, de x) y, por consiguiente, no se puede extraer de la derivada. No obstante, en la mayor parte de las aplicaciones prcticas se puede suponer que la conductividad trmica permanece constante en algn valor promedio. En ese caso, la ecuacin antes dada se reduce a

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donde la propiedad = k/C es la difusividad trmica del material y representa la rapidez con que se propaga el calor a travs del mismo. sta se reduce a las formas siguientes en condiciones especficas (figura 2-13):

FIGURA 2-13

Simplificacin de la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en una pared plana, para el caso de conductividad constante en estado estacionario, sin generacin de calor.

Note que se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de conduccin unidimensional y estable de calor, ya que son idnticas cuando dicha funcin depende de una sola variable [T = T(x), en este caso].

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Ecuacin de la conduccin de calor en un cilindro largo

Considere ahora un elemento delgado con forma de casco cilndrico, de espesor r, en un cilindro largo, como se muestra en la figura 2-14. Suponga que la densidad del cilindro es , el calor especfico es c y la longitud es L. El rea del cilindro, normal a la direccin de transferencia de calor en cualquier lugar, es A = 2rL, en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que el rea A de la transferencia de calor depende de r en este caso y, por lo tanto, vara con el lugar. Un balance de energa sobre este elemento delgado con forma de casco cilndrico, durante un pequeo intervalo de tiempo t, se puede expresar como

FIGURA 2-14

Conduccin unidimensional del calor a travs de un elemento de volumen en un cilindro

largo.

o bien,

El cambio en el contenido de energa del elemento y la razn de generacin de calor dentro del mismo se pueden expresar como

E elemento = Et + t Et = mc (Tt + t Tt) = cA r (Tt + t Tt) (2-19)

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Al sustituir en la ecuacin 2-18, se obtiene

donde A = 2rL. El lector puede sentirse tentado a expresar el rea localizada a la mitad del elemento, usando el radio promedio como A = 2(r + r/2)L. Pero nada hay que se pueda ganar a partir de esta complicacin, ya que, ms adelante en el anlisis, se tomar el lmite cuando r 0 y, por lo tanto, se cancelar el trmino r/2. Ahora se divide la ecuacin anterior entre A r y da

Si se toma el lmite cuando r 0 y t 0, se obtiene

por la definicin de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conduccin del calor,

Puesto que el rea de transferencia de calor en este caso es A = 2rL, la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en rgimen transitorio en un cilindro queda

Para el caso de conductividad trmica constante, la ecuacin anterior se reduce a

donde una vez ms la propiedad = k/c es la difusividad trmica del material. En condiciones especificadas, la ecuacin 2-26 se reduce a las formas siguientes (figura 2-15):

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FIGURA 2-15

Dos formas equivalentes de la ecuacin diferencial para la conduccin unidimensional y estacionaria de calor en un cilindro, sin generacin de calor.

Note que, una vez ms, se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de la conduccin unidimensional y estacionaria de calor, ya que son idnticas cuando dicha funcin depende de una sola variable [T = T(r), en este caso].

Ecuacin de la conduccin de calor en una esfera

Considere ahora una esfera con densidad , calor especfico c y radio exterior R. El rea de la esfera normal a la direccin de transferencia de calor, en cualquier lugar, es A = 4r2, en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que, en este caso, el rea de transferencia de calor A, depende de r y, por lo tanto, vara con la ubicacin. Al considerar un elemento con forma de casco esfrico delgado de espesor r y repetir el procedimiento descrito con anterioridad para el cilindro, usando A = 4r2 en lugar de A = 2rL, la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en rgimen transitorio para una esfera se determina que es (figura 2-16)

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FIGURA 2-16

Conduccin unidimensional de calor a travs de un elemento de volumen en una esfera.

la cual, en el caso de conductividad trmica constante, se reduce a

en donde, una vez ms, la propiedad = k/c es la difusividad trmica del material. En condiciones especificadas, se reduce a las formas siguientes:

donde, de nuevo, se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de conduccin unidimensional y estacionaria de calor.

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Ecuacin unidimensional combinada de la conduccin de calor

Un examen de las ecuaciones unidimensionales de conduccin de calor en rgimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera, revela que las tres se pueden expresar en una forma compacta como

donde n = 0 para una pared plana, n = 1 para un cilindro y n = 2 para una esfera. En el caso de una pared plana se acostumbra reemplazar la variable r por x. Esta ecuacin se puede simplificar para los casos de rgimen estacionario o sin generacin de calor como se describe con anterioridad.

EJEMPLO 2-2: Conduccin de calor a travs del fondo de una

cacerola

Considere una cacerola de acero colocada sobre la parte superior de una estufa elctrica para cocinar espagueti (figura 2-17). La seccin del fondo de la cacerola tiene L = 0.4 cm de espesor y un dimetro D = 18 cm. La unidad elctrica de calentamiento en la parte superior de la estufa consume 800 W de potencia durante el cocimiento y 80% del calor generado en el elemento de calentamiento se transfiere de manera uniforme a la cacerola. Si se supone una conductividad trmica constante, obtenga la ecuacin diferencial que describe la variacin de la temperatura en la seccin del fondo de la cacerola durante la operacin estacionaria.

FIGURA 2-17

Esquema del ejemplo 2-2.

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SOLUCIN

Se considera una sartn de acero colocada sobre la parte superior de una estufa elctrica. Debe obtenerse la ecuacin diferencial para la variacin de la temperatura en el fondo de la sartn. Anlisis

La seccin del fondo de la cacerola tiene un rea superficial grande en relacin con su espesor y se puede tener una aproximacin de ella como una pared plana grande. Se aplica flujo de calor a la superficie inferior de la cacerola, de manera uniforme, y las condiciones sobre la superficie interior tambin son uniformes. Por lo tanto, se espera que la transferencia de calor a travs de la seccin del fondo de la cacerola sea de la superficie de abajo hacia la de arriba y, en este caso, la transferencia de calor se puede aproximar de manera razonable como si fuere unidimensional. Tomando la direccin perpendicular a la superficie del fondo de la cacerola como el eje x, se tendr T = T(x) durante la operacin estacionaria ya que, en este caso, la temperatura depender slo de x.

La conductividad trmica se da como constante y no hay generacin de calor en el medio (dentro de la seccin del fondo de la cacerola). Por lo tanto, en este caso, la ecuacin diferencial que rige la variacin de la temperatura en esa seccin es simplemente la 2-17,

la cual es la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en estado estacionario en coordenadas rectangulares, bajo las condiciones de conductividad trmica constante y sin generacin de calor. Discusin

Note que las condiciones en la superficie del medio no tienen efecto sobre la ecuacin diferencial.

EJEMPLO 2-3: Conduccin de calor en un calentador de resistencia

Se usa un calentador de resistencia de alambre de 2 kW, con conductividad trmica k = 15 W/m C, dimetro D = 0.4 cm y longitud L = 50 cm, para calentar agua al sumergirlo en ella (figura 2-18). Suponiendo que la variacin de la conductividad trmica del alambre con la temperatura es despreciable, obtenga la ecuacin diferencial que describe la variacin de la temperatura en el alambre durante la operacin estacionaria.

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FIGURA 2-18

Esquema para el ejemplo 2-3.

SOLUCIN

Se considera el alambre elctrico de un calentador de agua. Debe obtenerse la ecuacin diferencial para la variacin de la temperatura en el alambre. Anlisis

La resistencia de alambre se puede considerar como un cilindro muy largo dado que su longitud es ms de 100 veces su dimetro. Asimismo, el calor se genera de manera uniforme en el alambre y las condiciones sobre la superficie exterior de ste son uniformes. Por lo tanto, resulta razonable esperar que la temperatura en el alambre vare slo en la direccin radial r y, por lo tanto, la transferencia de calor sea unidimensional. Entonces, se tendr T = T(r) durante la operacin estacionaria, puesto que la temperatura en este caso depender slo de r.

Se puede determinar la razn de la generacin de calor en el alambre por unidad de volumen a partir de

Dado que se considera la conductividad trmica como constante, la ecuacin diferencial que rige la variacin de la temperatura en el alambre es simplemente la ecuacin 2-27,

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que es la ecuacin unidimensional de conduccin del calor en estado estacionario en coordenadas cilndricas, para el caso de conductividad trmica constante. Discusin

Note una vez ms que las condiciones en la superficie del alambre no tienen efecto sobre la ecuacin diferencial.

Los problemas que pueden ir resolviendo para el segundo departamental, del libro de transferencia de calor, del autor Cengel de la 4ta. Edicion son: 15, 16, 18, 19, 23, 24, 25, 32, 33, 34, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 71, 72, 73, 74, 81, 83, 84, 85, 86, 88, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 106

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