59

CAPITULO III: MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

En el capítulo anterior estudiamos diferentes formas en que se puede representar el conocimiento en los sistemas de I.A. En este capítulo analizaremos los distintos métodos de solución de problemas (M.S.P.) que permitirán manipular el conocimiento representado en esas formas.

3.1. Introducción. Dado un sistema de I.A., donde el conocimiento está representado en una de las formas estudiadas, se desea resolver un determinado problema de un dominio D bajo un conjunto de ciertas condiciones C. Solucionar este problema significa encontrar una solución x ∈ X que satisfaga el conjunto de condiciones C, donde X es el conjunto de todas las soluciones posibles a dicho problema. Este proceso de solucionar un problema se realiza mediante una búsqueda en el espacio X. Existen tres esquemas básicos de solución de problemas:

- Esquema de producción. - Esquema de reducción. - Esquema de reducción débil.

Analicemos cada uno de estos esquemas. Esquema de Producción: En este esquema el problema a solucionar se representa en un espacio de estados y su solución se reduce a la búsqueda en este espacio. Los conceptos principales en este esquema son:

- Estados: situaciones en que se pueden encontrar los objetos que caracterizan al problema durante su solución.

- Movimientos: acciones legales que permiten pasar de un estado del problema a otro.

- Función de evaluación de estados: asigna a un estado un estimado heurístico del esfuerzo necesario para alcanzar una solución desde este estado.

- Función de selección de movimientos: selecciona uno o más de los movimien-tos aplicables.

- Función de selección de estados: selecciona el estado a partir del cual debe continuar la búsqueda.

Encontrar la solución de un problema significa, entonces, descubrir algún camino entre el estado inicial y el final. El procedimiento general de un esquema de producción es:

1) Inicializar: Determinar, a partir del problema, el estado inicial S0 y colocarlo como raíz del árbol de búsqueda. Aplicar la función de selección de movimientos a S0 y generar sus estados descendientes.

60

2) Prueba: Examinar si el árbol de búsqueda contiene alguna solución, o sea, si uno de los estados generados es el estado final, entonces TERMINAR y EXITO. En caso contrario aplicar la función de evaluación a cada uno de los estados generados.

3) Generar:

a) Si los recursos computacionales están agotados o no existen en el árbol estados sin procesar, entonces TERMINAR y FALLO, en caso contrario continuar.

b) Aplicar la función de selección de estados a los estados del árbol de búsqueda para seleccionar uno de ellos.

c) Aplicar la función de selección de movimientos al estado seleccionado.

d) Generar los nuevos estados aplicando los movimientos seleccionados.

e) Repetir desde el paso de prueba.

La construcción de la función de evaluación de estados para un problema concreto requiere del uso de conocimiento sobre ese problema. No siempre se dispone de dicho conocimiento, por lo que no siempre es posible definir esta función. La existencia o no de esta función trae por consecuencia que los métodos de búsqueda se dividan en dos tipos:

- Búsqueda a ciegas: no se dispone de conocimiento para definir la función de evaluación de estado.

- Búsqueda heurística: se puede definir la función de evaluación de estado. Dentro de estos dos tipos existen diferentes métodos de búsqueda, los cuales están determinados por la forma en que se construyen las funciones de selección de estados y de movimientos. Entre estos métodos podemos señalar:

Métodos de búsqueda a ciegas (Brute-Force searches): - Algoritmo del museo británico.

- Primero en profundidad (depth-first). - Primero a lo ancho (breadth-first). - Búsqueda en árboles y/o. - Búsqueda en sistemas de producción. - Búsqueda bidireccional. - Búsqueda por diferencias. - Búsqueda de soluciones múltiples.

Métodos de búsqueda heurística: - Búsqueda por el incremento mayor (hill-climbing). - Búsqueda por el mejor nodo o algoritmo A* (best-first). - Búsqueda heurística en árboles y/o o algoritmo AO*.

Otros métodos de búsqueda pueden estudiarse en [Ric88].

61

Esquema de reducción: En este esquema el problema se descompone en varios subproblemas, los cuales se resuelven de manera independiente y luego se combinan sus soluciones para obtener la solución del problema original. Existen dos tipos de movimientos: un conjunto de movimientos de reducción que se encarga de la descomposición de un estado en otros que se supone sean más fáciles de manejar que el original y el otro constituye un conjunto de movimientos terminales que resuelven el problema completamente. Los conceptos principales de este esquema, así como su procedimiento general son similares a los del esquema de producción, pero las funciones de evaluación de estado, selección de estados y selección de movimientos se basan en consideraciones diferentes. Es usual representar los problemas que se resuelven con este esquema mediante árboles y/o (and/or). Esquema de reducción débil: Este esquema está orientado a tareas de planificación.

3.2. Pasos para resolver un problema.

Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos:

- Definir el problema con precisión: especificar el espacio del problema, los operadores para moverse en dicho espacio y los estados inicial y final o meta.

- Analizar el problema: determinar las características del problema para seleccionar las técnicas que pueden resolverlo.

- Aislar y representar el conocimiento necesario para resolver el problema. - Escoger la(s) mejor(es) técnica(s) y aplicarla(s) al problema particular.

3.2.1. Primer paso: definición precisa del problema. El primer paso hacia el diseño de un sistema para resolver un problema es la creación de una descripción formal y manejable de dicho problema, o sea, la definición del espacio de búsqueda de las soluciones.

3.2.1.1. Espacios de búsqueda. Un espacio de búsqueda no es más que el ambiente o espacio de todas las soluciones posibles donde se realiza la búsqueda de una solución. Está formado por un conjunto de nodos que constituyen soluciones parciales o posibles del problema y un conjunto de operadores que permiten movernos de un nodo a otro. El proceso de búsqueda de una solución consiste, entonces, en encontrar una secuencia de operadores que transformen el nodo inicial en el final. Existen tres tipos de espacios de búsqueda:

- Espacio de estado. - Espacio de reducción de problemas. - Árboles de juego.

62

Analicemos cada uno de estos tipos. Espacio de estado. Veamos un ejemplo: Consideremos el problema de “jugar al ajedrez”. Nuestro objetivo no sólo es jugar la partida, sino ganar la misma. Es necesario, en primer lugar, especificar cuál es la posición inicial del tablero de ajedrez (nodo inicial), las reglas que definen los movimientos legales en este juego y qué posiciones del tablero representan una victoria para un jugador u otro (nodos finales). Además debemos hacer explícita la meta de no solo jugar una partida de ajedrez, sino también ganar dicha partida si podemos. Una forma de describir la posición inicial del tablero puede ser mediante una matriz de 8x8, donde cada elemento es un símbolo que representa la pieza del ajedrez que está situada en la posición de apertura del ajedrez. Nuestra meta podría ser tratar de llegar a una posición del tablero, en la cual el oponente no pueda realizar ningún movimiento legal y su rey esté amenazado. Los movimientos legales proporcionan la manera de llegar desde el estado inicial hasta el estado meta. Pueden describirse como un conjunto de reglas donde la parte izquierda describa una posición del tablero que debe coincidir con la actual y la parte derecha describa la nueva posición del tablero una vez ejecutado dicho movimiento. Existen diversas maneras de describir estas reglas:

1) Tableroi Tableroj

donde Tableroi es una matriz de 8x8 que representa, por ejemplo, la posición inicial del tablero y Tableroj es otra matriz de 8x8 que representa, por ejemplo, el tablero del ajedrez con todas sus piezas en su posición inicial y el movimiento P4R realizado. Como puede verse, esta representación requiere una regla separada para cada una de las 10120 posiciones posibles del tablero, lo cual presenta tres dificultades: nadie puede proporcionar el conjunto de tales reglas, pues esto requeriría mucho tiempo, es difícil lograrlo sin cometer errores y ningún programa puede manejar fácilmente todas esas reglas aunque se usen tablas hash para encontrar de forma rápida las reglas relevantes para cada movimiento. El solo hecho de almacenar tantas reglas crea dificultades.

2) Peón blanco en casilla(columna 4, fila 2) y Casilla(columna 4, fila 3) está vacía y Casilla(columna 4, fila 4) está vacía

Esta representación minimiza los problemas mencionados en la forma anterior. Mientras más claro podamos escribir las reglas, menos trabajo tendremos para proporcionarlas y más eficiente será el programa que las use. Realmente lo que hemos hecho es definir el problema de jugar al ajedrez como un problema de movimientos a través de un espacio de estado, donde cada estado

Mover peón blanco desde casilla (columna 4,fila 2) a casilla(columna 4,fila 4)

63

corresponde a una posición válida del tablero. Podemos jugar al ajedrez empezando en un estado inicial, usando un conjunto de reglas para movernos de un estado a otro, intentando finalizar en uno de entre un conjunto de estados finales. En cada momento el proceso de resolución del problema puede encontrarse en un estado particular. El conjunto de todos los estados posibles para un problema concreto se denomina espacio de estado. Definir un problema significa, entonces, especificar:

- el espacio de estados que contiene todas las configuraciones posibles de los objetos relevantes y el conjunto de operadores que permiten movernos en dicho espacio. Naturalmente es posible definir este espacio sin enumerar, explícitamente, todos los estados que contiene, como veremos más adelante.

- el estado inicial. - uno o más estados finales que serán aceptados como solución al problema.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que queremos encontrar en un mapa la ruta de una ciudad a otra. En este caso, el espacio de estados es la colección de todas las ciudades. El estado inicial sería la ciudad de partida y el estado final es la ciudad de llegada. Las restantes ciudades representan estados intermedios del problema. Los operadores para moverse de un estado a otro son precisamente los caminos existentes entre las ciudades. El proceso de encontrar la ruta consistiría, nuevamente, en la búsqueda de un camino entre el estado inicial y el final. Analicemos ahora un ejemplo diferente a los anteriores: el problema de los jarros de agua, el cual consiste en que se tienen dos jarros de agua de 3 y 4 litros respectivamente. Ninguno de los jarros tiene marca de medición y se puede usar una bomba para llenar de agua los mismos. ¿Cómo poner exactamente 2 litros de agua en el jarro de 4 litros?. El espacio de estados puede describirse como el conjunto de pares de enteros (x,y) tales que x=0,1,2,3,4 y y=0,1,2,3; x representa el número de litros de agua del jarro de 4 litros y y representa el número de litros de agua del de 3 litros. El estado inicial es (0,0), pues inicialmente los jarros están vacíos y el estado final es (2,n) para cualquier valor de n, pues el problema no especifica cuántos litros deben quedar en el jarro de 3 litros. Los operadores para moverse de un estado a otro pueden describirse de la siguiente manera:

1. (X,Y | X<4) → (4,Y) Llenar el jarro de 4 litros. 2. (X,Y | Y<3) → (X,3) Llenar el jarro de 3 litros. 3. (X,Y |X>0) → (X-D,Y) Verter D litros de agua del jarro de 4 litros. 4. (X,Y | Y>0) → (X,Y-D) Verter D litros de agua del jarro de 3 litros. 5. (X,Y | X>0) → (0,Y) Vaciar el jarro de 4 litros en el suelo. 6. (X,Y | Y>0) → (X,0) Vaciar el jarro de 3 litros en el suelo. 7. (X,Y | X+Y≥4 y Y>0) → (4,Y-(4-X)) Verter agua del jarro de 3 litros en el jarro

de 4 litros hasta que el jarro de 4 litros esté lleno.

8. (X,Y | X+Y≥3 y X>0) → (X-(3-Y),3) Verter agua del jarro de 4 litros en el jarro de 3 litros hasta que el jarro de 3 litros esté lleno.

64

9. (X,Y | X+Y≤4 ∧ Y>0) → (X+Y,0) Verter todo el contenido del jarro de 3 litros en el jarro de 4 litros.

10. (X,Y | X+Y≤3 ∧ X>0) → (0,X+Y) Verter todo el contenido del jarro de 4 litros en el jarro de 3 litros.

En la práctica, las reglas 3 y 4 deben omitirse, pues aunque representan acciones que están permitidas en el dominio del problema, no tiene sentido aplicarlas, ya que no nos acercan a la solución del mismo porque D no se puede medir. Por supuesto, para resolver este problema de los jarros de agua, es necesario implementar un mecanismo que seleccione la regla cuya parte izquierda concuerde con el estado actual, genere los nuevos estados y así sucesivamente, hasta alcanzar el estado final. Estos métodos los estudiaremos en las próximas secciones. En [Bra86] pueden verse las representaciones gráficas de los espacios de estado para los problemas del mundo de bloques y del rompecabezas de 8 piezas. Un espacio de estado es, justamente, otro formalismo para representar el conocimiento. Se representa, usualmente, mediante un árbol donde cada nodo corresponde a un estado particular del problema y cada arco corresponde a un operador de transición de estados. La solución del problema puede ser definida, entonces, como una búsqueda de un camino entre el nodo correspondiente al estado inicial y el nodo correspondiente al estado final o meta. La forma en que se represente cada estado varía considerablemente de problema en problema. Por ejemplo, en el ajedrez puede ser una matriz de 8x8 donde cada elemento tiene el caracter que representa la pieza situada en esa posición; en el problema del camino entre las ciudades podría ser una cadena con el nombre de la ciudad y en el problema de los jarros de agua podemos usar dos enteros. Si el problema que queremos resolver es más complicado, podemos usar una de las F.R.C. estudiadas en el capítulo anterior para representar cada estado individual. Conclusión: Para proporcionar una descripción formal de un problema es necesario:

- Definir un espacio de estado que contenga todas las configuraciones posibles de los objetos relevantes. Naturalmente es posible definir este espacio sin enumerar explícitamente todos los espacios que contiene.

- Especificar uno o más estados de ese espacio que constituyan los estados iniciales.

- Especificar uno o más estados que serían aceptados como soluciones al problema (estados metas).

- Especificar un conjunto de reglas que describen las acciones disponibles (operadores).

El problema entonces puede resolverse usando las reglas de combinación con una estrategia de control adecuada (proceso de búsqueda), para movernos a través del espacio del problema hasta encontrar un camino desde el estado inicial hasta el estado meta.

65

Espacio de reducción de problema. A diferencia del espacio de estado, en este espacio el nodo inicial o nodo raíz del árbol representa el problema original que se desea resolver, los nodos finales o metas constituyen problemas que pueden resolverse mediante una primitiva simple y los restantes nodos representan subproblemas en que puede descomponerse un determinado problema. Los arcos serían, entonces, operadores que permiten descomponer un problema en un conjunto de subproblemas. Existen dos tipos de nodos. Si sólo basta con resolver uno de los subproblemas en que se descompuso un nodo dado para resolver éste, el nodo se denomina nodo O (or). Si por el contrario, deben ser resueltos todos los subproblemas en que se descompuso el nodo, éste se denomina nodo Y (and). Este tipo de espacio de búsqueda se representa, usualmente, mediante un árbol y/o, el cual no es más que un árbol que contiene nodos del tipo Y y nodos del tipo O. Una solución de un problema sería, entonces, un subárbol que comienza en el nodo raíz y que contiene siempre una de las ramas de los nodos O y todas las ramas de los nodos Y hasta llegar a uno o varios nodos terminales. En este tipo de espacio es conveniente representar aquellos problemas que pueden ser descompuestos fácilmente en subproblemas, como por ejemplo, la generación de estructuras químicas, la integración simbólica y el razonamiento lógico. En la figura 3.1 se muestra un ejemplo sencillo de un problema representado mediante un árbol y/o. El problema de adquirir un televisor puede descomponerse en dos subproblemas: robarlo o tratar de adquirirlo mediante una vía legal. Esta última puede descomponerse a su vez en dos subproblemas, los cuales deben ser resueltos para poder resolver el problema original.

Fig. 3.1. Árbol y/o para el problema de adquirir un televisor.

Analicemos otro ejemplo. Supongamos que tenemos el mapa representado en la figura 3.2, donde se muestra un conjunto de ciudades y los caminos existentes entre ellas. Se desea encontrar un camino desde la ciudad 1 a la 11. Existen dos vías para lograr este camino: una pasando por la ciudad 6 y la otra pasando por la ciudad 7. Pero el subproblema de encontrar un camino por la primera vía

Adquirir un TV

Robar un TV Ganar dinero Comprar un TV

66

significa encontrar un camino entre las ciudades 1 y 6 y un camino entre las ciudades 6 y 11. Lo mismo ocurre para el subproblema de encontrar el camino por la segunda vía. Una porción del árbol y/o correspondiente a esta descomposición del problema original puede verse en la figura 3.3.

1 2 3

4 5 6 7 8 9

10 11

Fig. 3.2. Un mapa compuesto de 11 ciudades.

Por otro lado, ¿cómo podríamos representar el problema de la integración simbólica en un árbol y/o? Esto se realizaría, fácilmente, situando como nodo inicial la integral que se desea resolver. Los operadores de reducción del problema serían, por ejemplo, la regla de la integral de la suma y la integración por partes, las cuales generarían los nodos intermedios del árbol y las reglas que permiten calcular la integral de funciones primitivas, las cuales generarían los nodos terminales. Estos nodos, a su vez, serían funciones que no contienen el símbolo integral.

67

Camino 1-11 Camino 1-11 vía 6 Camino 1-11 vía 7 Camino 1-6 Camino 6-11 Camino 1-7 Camino 7-11

Camino 6-11 vía 8 Camino 6-11 vía 9

Camino 6-8 Camino 8-11 Camino 6-9 Camino 9-11 Nodos Terminales Fig. 3.3. Porción del árbol AND/OR correspondiente al problema de la fig. 3.2.

Árboles de juego. Un caso especial de los árboles y/o son los árboles de juego, donde participan dos jugadores. En un árbol de juego el nodo raíz representa la posición inicial del juego y los nodos terminales representan posiciones del juego donde un jugador gana, pierde o hace tablas. Los operadores son, precisamente, los movimientos legales que pueden realizarse en dicho juego. Este tipo de árbol se caracteriza por tener en el primer nivel a los nodos que se derivaron de movimientos del primer jugador y en el segundo nivel, a los que se derivaron de movimientos del segundo jugador y así sucesivamente se van alternando por niveles. ¿Por qué un árbol de juego es un árbol y/o? Desde el punto de vista de un determinado jugador, los nodos que permiten generar sus movimientos son nodos O, pues basta seleccionar sólo uno que conduzca a la victoria. Sin embargo, los nodos que permiten generar los movimientos de su oponente son nodos Y, ya que él debe analizarlos a todos para poder neutralizar a su oponente. En la figura 3.4 se muestra una porción del árbol de juego del titafor. Este espacio de búsqueda tiene 362 880 nodos. Estas magnitudes demuestran la necesidad de utilizar métodos de búsqueda eficientes.

AND AND

AND AND

OR

OR

68

3.2.1.2. Representación del espacio de búsqueda. Hemos representado a los tres tipos de espacios de búsqueda estudiados en la sección anterior, en forma de árbol. Sin embargo, con frecuencia, el proceso de generación de los nodos sucesores produce un mismo nodo más de una vez, lo que implica que en la búsqueda del camino a la solución, éste se procese varias veces. En este caso, es mejor representar el espacio de búsqueda mediante un grafo orientado.

Estado inicial

Movs. Jugador A

Movs. Jugador B

Fig. 3.4. Porción del árbol de juego del titafor. Una forma simple de realizar una estrategia de búsqueda es atravesando un árbol. Se expande cada nodo del árbol mediante las reglas de producción para generar un conjunto de nodos sucesores, cada uno de los cuales puede expandirse a su vez, continuando hasta que se encuentra un nodo que representa la solución. Sin embargo, con frecuencia, este proceso genera el mismo nodo formando parte de diversos caminos y por tanto, es procesado más de una vez. En este caso es mejor explorar un grafo orientado. En el problema de los jarros de agua es fácil ver cómo un mismo nodo es generado más de una vez (figura 3.5). El grafo correspondiente a este espacio de búsqueda puede verse en la figura 3.6. Note cómo usando un grafo no se necesita repetir los nodos.

x

x

x

x

x

x

o x

o x

o x

o x

x o

x

x o

x

x

o

x

x o

69

Fig. 3.5. Porción del espacio de búsqueda del problema de los jarros de agua representado en forma de árbol. Fig. 3.6. Porción del espacio de búsqueda del problema de los jarros de agua representado en forma de grafo.

En la creación del grafo, antes de incorporar un nodo N, deben realizarse los siguientes pasos:

1) Examinar el conjunto de nodos que se ha creado hasta ahora para ver si ya existe el nuevo nodo.

2) Si no existe añadirlo al grafo como si fuera un árbol. 3) Si ya existe, entonces realizar las siguientes acciones:

a) Hacer que el nodo que se está expandiendo apunte al nodo ya existente, que corresponda a su sucesor en vez de uno nuevo. El nuevo puede simplemente descartarse.

b) Si se está registrando el mejor camino a cada nodo, comprobar si el nuevo camino es mejor o peor que el antiguo. Si es peor no hacer nada. Si es mejor grabar el nuevo camino como el correcto para llegar al nodo y propagar el cambio correspondiente por los nodos sucesivos que sean necesarios.

El buscar en un grafo reduce el esfuerzo que se invierte en explorar un camino varias veces, pero requiere un esfuerzo adicional para comprobar si el nodo ya se ha generado. El hecho de si este esfuerzo es justificado depende del problema concreto. Un problema que se puede presentar y que hay que tener en cuenta es la presencia de ciclos en el grafo.

( 0 , 0 )

( 4 , 0 ) ( 0 , 3 )

( 4 , 3 ) ( 0, 0 ) ( 1 , 3 ) ( 4 , 3 ) ( 0 , 0 ) ( 3 , 0 )

( 0 , 0 )

( 4 , 0 ) ( 0 , 3 )

( 1 , 3 ) ( 4 , 3 ) ( 3 , 0 )

70

Hemos descrito la búsqueda como el proceso de recorrer un árbol o un grafo, donde cada nodo representa un punto en el espacio del problema. Pero, ¿cómo representaremos cada nodo individual? Por ejemplo, en el ajedrez puede ser una matriz en la que cada elemento tenga el carácter que representa la pieza en esa posición y en el problema de los jarros de agua podemos usar dos enteros. Si el problema es más complicado usaremos una FRC estudiada en el tema anterior.

3.2.2. Segundo paso: análisis del problema. Para escoger la técnica de I.A. más apropiada para resolver un problema es necesario analizar el mismo teniendo en cuenta los siguientes aspectos:

- ¿Se puede descomponer el problema en un conjunto de subproblemas independientes más pequeños o más fáciles?

- ¿Es posible en la solución del problema ignorar o deshacer pasos mal hechos?

- ¿Es predecible el universo del problema? - ¿Se desea una solución cualquiera o la mejor solución al problema? - ¿Es consistente el conocimiento disponible para resolver el problema? - ¿Cuál es el papel del conocimiento? - ¿Se requiere la interacción con una persona?

En las próximas secciones explicaremos cada uno de estos aspectos. 3.2.2.1. ¿Se puede descomponer el problema?. Los problemas que se pueden descomponer en un conjunto de subproblemas se pueden solucionar usando la técnica de divide y vencerás (divide and conquer). Sin embargo, estas técnicas generalmente no pueden usarse en aquellos problemas no descomponibles, aunque a veces es posible usarlas para generar una solución aproximada y, entonces, arreglarla para reparar los errores causa-dos por las interacciones existentes entre los subproblemas.

Un ejemplo de problema es la integración simbólica. Un ejemplo de problema no descomponible es el mundo de bloques.

3.2.2.2. ¿Es posible ignorar o deshacer pasos para la solución?. En relación con este aspecto existen tres clases de problemas:

1. Ignorables: En ellos los pasos dados incorrectamente para la solución del

problema pueden ignorarse. Un ejemplo es la demostración de un teorema matemático. Supongamos que comenzamos demostrando un lema que pensamos es útil, pero después nos damos cuenta que no era de ninguna ayuda. Cualquier regla que pudo haberse aplicado, todavía puede aplicarse. Podemos simplemente ignorar lo hecho y lo único que se ha perdido es el esfuerzo.

2. Recuperables: En ellos los pasos dados incorrectamente para la solución del problema pueden deshacerse. Un ejemplo es el rompecabezas de 8 piezas, el

71

cual consiste en que se tiene una bandeja en la que se colocan ocho baldosas cuadradas. El noveno cuadrante sobrante queda sin cubrir. Cada baldosa tiene un número sobre ella. Una baldosa que esté adyacente al espacio en blanco puede deslizarse a dicho espacio. El juego consiste en, dadas una posición inicial y una posición final (usualmente las baldosas en orden consecutivo con el espacio en blanco en el centro), transformar la posición inicial en la final, desplazando las baldosas. Al intentar resolver este problema, podemos realizar un movimiento tonto. Los errores cometidos pueden enmendarse, retrocediendo para deshacer cada paso incorrecto. Lógicamente hace falta memorizar el orden de los pasos realizados para poder corregirlos. Note que esto no fue necesario en el caso anterior.

3. Irrecuperables: En ellos los pasos dados incorrectamente para la solución del problema no pueden deshacerse. Un ejemplo es el juego del ajedrez. Si se realiza un movimiento estúpido, no se puede ignorar ni retroceder al principio de la partida. Lo único que puede hacerse es tratar de realizar la mejor jugada a partir de la situación actual. Necesitan aplicar mucho esfuerzo en la toma de decisiones. Usualmente se analiza por adelantado una secuencia de pasos antes de dar el primero.

3.2.2.3. ¿Es predecible el universo del problema?. En los problemas donde es posible predecir qué ocurrirá (problemas de resultados ciertos), pueden usarse las técnicas de planificación, las cuales permiten generar una secuencia de operadores que conducen con certeza a una solución. Sin embargo, existen problemas donde esto no es posible. En ellos las técnicas de planificación generan como máximo una secuencia de operadores que conducen a una solución con una buena probabilidad. Ejemplo de problema de resultados ciertos: en el del rompecabezas de 8 piezas, cada vez que se hace un movimiento sabemos exactamente qué pasará, por lo que se puede planificar una secuencia completa de movimientos y saber de antemano el resultado. Ejemplo de problema de resultados inciertos: en el juego Bridge (la brisca), para decidir qué carta jugar no podemos planificar la partida completa, pues no sabemos qué cartas tienen los restantes jugadores ni qué jugadas ellos harán. Lo mejor que se puede hacer es investigar distintos planes y evaluar las probabilidades de llegar a una buena puntuación, seleccionando la mayor. Uno de los tipos de problemas más difíciles son los irrecuperables de resultados inciertos. Ej: el Bridge.

72

3.2.2.4. ¿Se desea una solución cualquiera o la mejor solución al problema?. Los problemas en los que se desea encontrar el mejor camino a la solución son más difíciles de resolver que aquellos donde basta encontrar una solución cualquiera, pues mientras los primeros requieren búsqueda exhaustiva, los segundos pueden resolverse eficientemente usando técnicas heurísticas. Un ejemplo de problema donde basta encontrar una solución se expone a continuación. Supongamos que se tiene el siguiente conjunto de hechos:

1. Marcos era un hombre. 2. Marcos era pompeyano. 3. Marcos nació en el año 40 d.C. 4. Todos los hombres son mortales. 5. Todos los pompeyanos murieron en la erupción del volcán en el año 79

d.C. 6. Ningún mortal tiene más de 150 años. 7. Hoy estamos en el año 1995 d.C.

y se desea responder a la pregunta ¿está vivo Marcos?. Representándolos en lógica de predicados y realizando inferencias se llega fácilmente a una respuesta. Note que en este caso existen dos caminos para llegar a la respuesta de que Marcos no está vivo. Uno de ellos se obtiene utilizando los hechos 1,3,4,6 y 7 y el otro, utilizando 2,5 y 7. No importa cuál de ellos se tome, lo que importa es la respuesta a la pregunta. Un ejemplo donde se desea encontrar la mejor solución es el problema del vendedor ambulante, también conocido como el agente viajero, el cual consiste en que un vendedor tiene una lista de ciudades, cada una de las cuales debe ser visitada solamente una vez. Existen carreteras directas entre cada par de ciudades de la lista. Se debe encontrar el camino más corto que debería seguir el vendedor para visitar todas las ciudades, comenzando por una cualquiera y retornando a ella misma. En este caso, es necesario analizar todos los caminos posibles para tomar el mejor de ellos. 3.2.2.5. ¿Es consistente el conocimiento disponible para resolver el problema?. Hay problemas donde el conocimiento que se usa es completamente consistente. Un ejemplo de ellos es: dado los siguientes axiomas de un grupo multiplicativo,

1. X⋅Y está definido ∀X,Y elementos del grupo. 2. (X=Y ∧ Y=Z) ⇒ X=Z 3. X=X 4. (X⋅Y)⋅Z = X⋅(Y⋅Z) 5. I⋅X=X ∀X, donde I es el elemento identidad del grupo. 6. X-1⋅X = I, donde X-1 es el inverso de X. 7. X=Y ⇒ Z⋅X=Z⋅Y 8. X=Y ⇒ X⋅Z=Y⋅Z

73

se desea demostrar que ∀X X⋅I=X. Sin embargo, existen problemas que tienen inconsistencias. Un ejemplo es el problema de la diana, el cual consiste en que un hombre está de pie a 50m de una diana y quiere dar en el blanco con una pistola que dispara a una velocidad de 500 m/s. ¿A qué distancia debe apuntar por encima del blanco?. Razonemos: la bala tarda 0.1s en alcanzar el blanco, suponiendo que viaja en línea recta. La bala cae a una distancia d:

d = 1/2gt2 = 1/2(9.8)(0.1)2 = 0.049 m = 4.9 cm. Si el hombre apunta 4.9 cm por encima del blanco daría en la diana. Pero se ha supuesto que la bala viaja en línea recta, lo que entra en conflicto conque viaja en una parábola.

3.2.2.6. ¿Cuál es el papel del conocimiento?. Existen problemas donde se necesita conocimiento sólo para restringir la búsqueda. Por ejemplo, en el problema del ajedrez, suponiendo potencia de computación ilimitada, se necesita de poca cantidad de conocimiento: sólo reglas para describir los movimientos legales del juego y un proceso de búsqueda adecuado. Usar conocimiento adicional sobre táctica y buena estrategia, ayudaría a restringir la búsqueda de la solución y acelerar la ejecución del programa. Sin embargo, hay problemas que necesitan gran cantidad de conocimiento tan sólo para reconocer una solución. Ejemplo: explorar los periódicos de Estados Unidos para decidir quién está apoyando a los demócratas o a los republicanos en una elección próxima. El programa tendría que saber cosas como los nombres de los candidatos de cada partido, el hecho de que si quiere bajar los impuestos apoya a los republicanos, el hecho de que si quiere educación para las minorías apoya a los demócratas, etc. Mucho conocimiento, a veces, se usa para acotar la búsqueda, pero otras para reconocer una solución.

3.2.2.7. ¿Requiere la interacción con una persona?. Teniendo en cuenta este aspecto podemos distinguir dos tipos de problemas:

- Solitario, en el cual se le da a la computadora una descripción del problema y ella produce una respuesta sin comunicación intermedia y sin petición de una explicación de su razonamiento. Ejemplo: para demostrar un teorema matemático usando resolución, lo único que se desea es saber si existe una.

- Conversacional, para proporcionar asistencia adicional a la computadora y/o proporcionar información adicional al usuario. Ejemplo: en problemas como el diagnóstico médico, el programa debe ser capaz de explicar su razonamiento, pues si no, no será aceptado por los médicos.

3.2.2.8. ¿La solución es un estado o una ruta?. Ejemplo de un estado: El presidente del banco comió un plato de ensalada de pasta.

74

Si se aíslan las componentes existen varias interpretaciones de: banco, comió un plato, ensalada de pasta (contiene pasta pero “comida de perros” no contiene perros). Se realiza una búsqueda de todas la interpretaciones hasta encontrar la de esta oración. Solo interesa esta interpretación. Ejemplo de ruta: Las jarras de agua. No me interesa el estado final sino la consecuencia de operaciones.

3.2.3. Tercer paso: Aislar y representar el conocimiento necesario para resolver el problema. Ya en las secciones anteriores se estudió este tema. 3.2.4. Cuarto paso: Aplicar la mejor técnica de I.A. para el problema particular. Para poder escoger la mejor técnica de I.A. a aplicar en el proceso de resolución de un problema particular es necesario estudiar, primeramente, las distintas técnicas de búsqueda que existen. A esto, precisamente, nos dedicaremos en las siguientes secciones de este capítulo. 3.3. Métodos de búsqueda a ciegas. La búsqueda a ciegas es una colección de procedimientos usados para buscar en un espacio de estados de manera exhaustiva pero ciega. Estos procedimientos se consideran métodos débiles, pues imponen restricciones mínimas a la búsqueda, en general son técnicas de solución de problemas de propósito general y pueden describirse independientemente de cualquiera sea el dominio del problema. Estos métodos usan solamente la información estructural y no hacen ninguna distinción cualitativa entre los nodos, respecto a su posibilidad de encontrarse sobre el camino deseado. En consecuencia, para los problemas con un extenso espacio de estados, la cantidad de alternativas que deben explorarse es tan grande que hace que su uso sea computacionalmente imposible. El número de nodos a explorar crece, en general, exponencialmente con la longitud del camino que representa la solución del problema. Esto genera una explosión combinatoria que estos métodos son incapaces de superar. No obstante, continúan formando el núcleo de la mayoría de los sistemas de I.A. Las cuatro técnicas de búsqueda a ciegas más usadas son: primero a lo ancho, primero en profundidad, encadenamiemto adelante (forward chaining) y encadenamiento hacia atrás (backward chaining). Ellas pueden ser combinadas, por ejemplo, el encadenamiento hacia adelante puede ser primero en profundidad o primero a lo ancho. 3.3.1. Algoritmo del museo británico. Este procedimiento demuestra cuán ineficiente puede resultar un algoritmo de búsqueda. Consiste en colocar a un mono delante de una máquina de escribir y que presionando aleatoriamente las teclas genere todos los trabajos de

75

Shakespeare existentes en el museo. Para generar una frase de 18 caracteres tendría una probabilidad de 1 en 2718. De esta forma, el procedimiento consiste en generar todas las soluciones posibles y comprobar cuál es la correcta. Con un tiempo suficiente logra encontrar la solución optimal, sólo que es intratable computacionalmente.

3.3.2. Búsqueda primero a lo ancho. Una búsqueda primero a lo ancho (breadth-first) genera y explora primero todos los sucesores del nodo raíz. Si no se encuentra la meta, pasa a los sucesores del segundo nivel y así sucesivamente por niveles. Suponiendo que el objetivo a alcanzar es el nodo 7, el recorrido primero a lo ancho del espacio de búsqueda que se muestra en la figura 3.7, es 1-2-3-4-5-6-7. Este método simboliza a un explorador bastante conservador.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Fig. 3.7. Un ejemplo de espacio de búsqueda. Si el número máximo de hijos (o ramas) de un nodo es b y la profundidad de la solución es d, entonces el número de nodos en el nivel d es bd y la cantidad de tiempo usada en la búsqueda es en el caso peor:

1 + b + b2 + ... + bd, Para grandes valores de d, puede ser aproximada por bd. Es por esto que la complejidad temporal de este método de búsqueda es O(bd), lo cual es una función exponencial de d. Este método tiene como ventaja que siempre encuentra el camino más corto a la solución, si ésta existe, aún en el caso de que el espacio de búsqueda sea infinito, por eso la búsqueda primero a lo ancho siempre encuentra una solución óptima para esa medida. El método es efectivo cuando el factor de ramificación, o sea, el número promedio de hijos de un nodo, es pequeño, pues entonces la cantidad de nodos por niveles será pequeña y es mejor explorar un nivel antes de pasar al siguiente. Sin embargo, tiene las siguientes desventajas:

- Necesita mucha memoria. Como cada nivel del árbol tiene que ser almacenado completamente para poder generar el próximo nivel y la

76

cantidad de memoria es proporcional al número de nodos almacenados, su complejidad espacial es también O(bd).

- Requiere mucho trabajo, especialmente si el camino más corto a la solución es muy largo, puesto que el número de nodos que necesita examinar se incrementa exponencialmente con la longitud del camino.

- Los operadores irrelevantes o redundantes incrementarán grandemente el número de nodos que deben explorarse.

Además, este método puede llevar a una búsqueda exhaustiva. Ella es particularmente inapropiada en situaciones donde hay muchos caminos que conducen a soluciones, pero cada uno de ellos es muy largo. En tales situaciones es muy probable que sea más rápida la búsqueda primero en profundidad. Una forma de implementación de este método es usar un conjunto de caminos candidatos:

- Si el primer camino está encabezado por un nodo objetivo, ésta es la solución del problema.

- Si no, a) Remover el primer camino del conjunto de caminos candidatos, generar el

conjunto de todas las posibles extensiones un nivel más de este camino y añadir las mismas al final del conjunto.

b) Repetir el proceso.

Tomando el ejemplo mostrado en la figura 3.7 este proceso se desarrollaría como sigue:

a) Conjunto de caminos candidatos (CCC) inicial [[1]] b) Generando las extensiones de [1] [[2,1] , [3,1]] c) Al remover el primer camino candidato y generar sus extensiones:

[[4,2,1] , [5,2,1]] se obtiene el nuevo CCC: [[3,1] , [4,2,1] , [5,2,1]] d) Removiendo y generando nuevamente las extensiones [[6,3,1] , [7,3,1]] se

obtiene el CCC: [[4,2,1] , [5,2,1] , [6,3,1] , [7,3,1]]

e) Así sucesivamente son obtenidos los siguientes conjuntos hasta llegar a: [[7,3,1] , [8,4,2,1] , [9,4,2,1] , [10,5,2,1], [11,6,3,1]]

En este caso el camino inicial tiene como cabeza el nodo objetivo y el proceso termina en esta solución.

Como en los caminos del CCC hay mucha información repetida se puede emplear un árbol. El árbol equivalente al CCC del paso (d) es: t(1, [t(2, [h(4), h(5)] ), t(3, [h(6), h(7)] )] )

El procedimiento anterior puede escribirse en el lenguaje PROLOG como sigue:

busq_ancho([[Nodo|Resto]|_],[Nodo|Resto]):- meta(Nodo). busq_ancho([[Nodo|Resto]|Otros],Solucion):- bagof([M,Nodo|Resto],(sucesor(Nodo,M), not miembro(M,[Nodo|Resto])), NuevoCamino),

77

append(Otros,NuevoCamino,Camino1), !, busq_ancho(Camino1,Solucion).

En caso de que Nodo no tenga sucesor, entonces busq_ancho([[Nodo|Resto]|Otros],Solucion):- busq_ancho(Otros,Solucion).

Aquí meta/1 es un hecho que indica el nodo objetivo, miembro/2 es un predicado que determina si un elemento es miembro de una lista, sucesor/2 indica el sucesor de un nodo dado y append/3 concatena dos listas. En [IPN88] puede verse otra implementación de este algoritmo en PROLOG y una en LISP.

3.3.3. Búsqueda primero en profundidad. La búsqueda primero en profundidad (depth-first) explora, primeramente, el nodo raíz y luego genera el sucesor de éste ubicado en la rama más a la izquierda. Si este nodo es el objetivo, entonces hemos encontrado el camino. Si no, se continúa extendiendo este camino tomando siempre el primer sucesor. Si el nodo no tiene más sucesores, se pasa al siguiente sucesor de su predecesor, o sea, se retrocede al nivel anterior para tomar el otro sucesor y así sucesivamente, hasta alcanzar el objetivo o hasta que se realice un corte a alguna profundidad determinada. El recorrido primero en profundidad del espacio de búsqueda mostrado en la figura 3.7 como el objetivo se alcanza en el nodo 7 es: 1-2-4-8-9-5-10-3-6-11-7. Este método simboliza a un explorador que toma riesgos. La ventaja de este método está en la eficiencia que se alcanza en el uso de la memoria. Si la longitud máxima de una rama del árbol es d nodos, como sólo se necesita almacenar el camino actual, entonces la complejidad espacial del algoritmo es O(d). En la práctica la búsqueda por este método se limita por el tiempo y no por el espacio. La desventaja del método es que si existen ramas infinitas, puede no encontrar la solución al problema, aún teniéndola. Es por esto que, en ocasiones, se requiere que se defina un corte a una profundidad arbitraria para evitar, lo más posible, caer en caminos o lazos infinitos. Si la profundidad de corte seleccionada c es menor que la profundidad de la solución d, el algoritmo terminará sin encontrar una solución, mientras que si c > d, se paga un precio alto, O(bc), en términos del tiempo de ejecución, donde b es el número máximo de hijos (o ramas). Si no existe el peligro de que el espacio de búsqueda tenga caminos infinitos pero sí pueden aparecer lazos (el espacio de búsqueda no es un árbol sino un grafo) una alternativa al corte es incluir un detector de ciclos (chequeo de nodos repetidos). El procedimiento anterior puede escribirse en el lenguaje PROLOG como sigue:

busq_prof(Nodo,[Nodo]):- meta(Nodo). busq_prof(Nodo,[Nodo|Solucion]):- sucesor(Nodo,Nodo1), busq_prof(Nodo1,Solucion).

78

Aquí meta/1, nuevamente, es un hecho que indica el nodo objetivo y sucesor/2 indica el sucesor de un nodo dado. En [Bra86] e [IPN88] pueden verse otras implementaciones de este algoritmo en PROLOG, usando corte de profundidad y chequeo de existencia de ciclos. En [IPN88] puede verse además una realizada en LISP. La búsqueda primero en profundidad es mejor cuando el nodo objetivo está situado en la porción inferior izquierda del árbol de búsqueda, mientras que la búsqueda primero a lo ancho es mejor cuando el nodo objetivo está situado en la porción superior derecha de dicho árbol, según se muestra en la figura 3.8. Algunos autores recomiendan seleccionar entre la búsqueda primero en profundidad (BPP) y la primero a lo ancho, la primera de ellas, a no ser que exista alguna información que aconseje lo contrario. Una variante del método de búsqueda primero en profundidad es la búsqueda iterativa primero en profundidad (BIPP). Esta consiste en realizar una búsqueda primero en profundidad con corte 1, luego otra para el corte 2 y así sucesivamente, incrementando en uno la profundidad de corte, hasta encontrar la solución. Como este método nunca genera un nodo hasta que todos los nodos de los niveles anteriores han sido generados y examinados, se garantiza encontrar la solución óptima. Además, como en cada momento se está ejecutando una búsqueda primero en profundidad, la complejidad espacial es O(d). Aunque parezca lo contrario, se puede demostrar que la complejidad temporal es O(bd), al igual que en la búsqueda primero a lo ancho. La razón de esto es que como el número de nodos, en un nivel dado del árbol, crece exponencialmente con la longitud del camino o profundidad, casi todo el tiempo se gasta en el nivel más profundo. El recorrido de este método para la figura 3.7 es 1-2-3-1-2-4-5-3-6-7.

En la figura 3.8 se compara el orden de generación de los nodos del árbol por los tres métodos analizados. * * * 1* *2 1* *4 1,3* *2,6 3* 4* *5 *6 2* 3* *5 *6 4* 5* *7 *8 Búsqueda primero Búsqueda primero Búsqueda iterativa a lo ancho en profundidad primero en profundidad Figura 3.8. Generación de nodos por tres métodos de búsqueda.

79

3.3.4. Búsqueda en árboles AND/OR. Los algoritmos para búsqueda primero a lo ancho y primero en profundidad en árboles AND/OR son similares a los anteriormente estudiados, sólo se diferencian en la verificación de las condiciones de terminación. Cada vez que se genera un nodo o un grupo de nodos, el algoritmo tiene que chequear si se satisfacen las condiciones de terminación de acuerdo al tipo de nodo, ya sea Y u O. La siguiente figura muestra una comparación de los dos métodos de búsqueda

Fácil para ambas Mejor: a lo ancho Mejor: en Difícil para profundidad ambas

3.3.5. Búsqueda en sistemas de producción. Cuando el conocimiento se encuentra representado utilizando reglas de producción es usual utilizar dos métodos de búsqueda. La búsqueda se puede hacer desde un estado inicial a un estado objetivo, o sea, desde las evidencias a las conclusiones, en este caso se denomina búsqueda con encadenamiento hacia adelante (forward chaining) o enfoque guiado por datos (datadriven). También podrá realizarse en dirección contraria, comenzando desde el estado objetivo aplicando movimientos inversos hasta alcanzar un estado inicial, o sea, el razonamiento se realiza desde una hipótesis (objetivo) hasta las evidencias necesarias para refutar o confirmar esa hipótesis, y en cada movimiento inverso se puede generar un subobjetivo, a este método se le llama Búsqueda con encadenamiento hacia atrás (backward chaining) o enfoque guiado por objetivos (goaldriven). Aunque no hay una diferencia formal entre un sistema de producción que trabaja sobre un problema en una dirección hacia adelante y uno que trabaja en dirección contraria, es conveniente hacer esta distinción explícita. Cuando un problema tiene intuitivamente claro los estados y los objetivos, y además se decide emplear las descripciones de estos estados como la base de datos del sistema de producción, entonces se dice que el sistema de producción es con encadenamiento hacia adelante. En este caso las reglas se aplican a la descripción de estados para producir nuevas descripciones de estado. Estas reglas son llamadas F-reglas. Si se decide usar las descripciones de los objetivos como base de datos, y las reglas son aplicadas a las descripciones de los objetivos para producir descripciones

80

de subobjetivos, el sistema de producción es con encadenamiento hacia atrás y las reglas se denominan B-reglas. Los pares de términos Forward - backward, Datadriven - goaldriven, y Bottom up - top down expresan esencialmente la misma distinción, ellos sólo difieren generalmente por el área en que se usan. El primer par es más usado en los sistemas basados en reglas, el segundo por lo general en la solución de problemas y el último par, en tareas de análisis sintáctico (parsing). En estos momentos, ellos son virtualmente intercambiables. Los primeros autores en usar los términos bottom up y top down fueron Cheatham y Sattley en el trabajo "Syntax Directed Compiling" (1964), y Griffiths y Detrick en el trabajo "On the relative efficience of context-free grammar recognizes" (1965). Newel, Shaw y Simons usaron los términos forward y backward en "Empirical Explorations with the logic theory machine" (1957). En el trabajo "Element of Psychology" (1958) se usó por primera vez el término goal-directed. Por último, data-driven fue empleado por Bobrow y Norman en "Some Principles of Memory Schemata". Estudiemos con profundidad estos métodos de búsqueda, así como una combinación de ambos.

3.3.5.1. Búsqueda con encadenamiento hacia adelante (enfoque guiado por datos).

En la búsqueda con encadenamiento hacia delante se comienza a construir el árbol situando como raíz al estado inicial. El siguiente nivel del árbol se genera encontrando todas las reglas cuyas partes izquierdas concuerden con el nodo raíz y usando sus partes derechas para crear los nuevos estados. De esta manera el proceso continúa hasta generar un estado que concuerde con el estado meta. En este método las reglas son sólo aplicables si su parte condición es satisfecha por la B.D. El siguiente procedimiento da la idea algorítmica de un módulo de aplicación de reglas sencillo que está basado en este enfoque.

Procedimiento generar:

1) Identificar el conjunto S de reglas aplicables. 2) Mientras S no sea vacío,

a) Seleccionar una regla R de S. b) Aplicar R, generando los nuevos estados y añadiéndolos a la B.D. c) Si se generó el estado objetivo entonces TERMINAR y EXITO. d) Si no, llamar nuevamente al procedimiento generar. e) Eliminar R de S y anular el efecto de aplicar R.

Este proceso de encadenamiento hacia delante tiene un carácter no determinístico, pues el ordenamiento de las reglas aplicadas no está explícitamente definido en el caso de que el conjunto de reglas aplicables esté formado por más de una regla. Ellas forman, precisamente, el llamado conjunto conflicto. En el capítulo anterior mencionamos algunas técnicas de resolución de conflictos en los sistemas de producción.

81

Este procedimiento genera nuevos hechos a partir de la BD usando las reglas y luego los añade.

Base de reglas

R1: Si X es divisible por 12, entonces X es divisible por 6. R2: Si X es divisible por 20, entonces X es divisible por 10. R3: Si X es divisible por 6, entonces X es divisible por 2. R4: Si X es divisible por 10, entonces X es divisible por 5.

Supóngase que sabemos que algún número N es divisible por 12 y por 20 y que el problema es determinar si N es divisible por 5. Comenzamos entrando esos datos a la BD:

Base de Datos inicial N es divisible por 12. N es divisible por 20.

Analicemos el ejemplo. Ya tenemos la base de reglas y la B.D. inicial y el problema a resolver. Comencemos a aplicar el procedimiento generar, suponiendo que el sistema siempre escoge la primera regla que aparece:

S={R1,R2}. Se selecciona R1.

Ahora la B.D. es: N es divisible por 12. N es divisible por 20. N es divisible por 6.

Ningún hecho concuerda con el estado objetivo. Se llama de nuevo a generar. S1={R2,R3}.

R1 no está incluido en S1 porque su aplicación no cambiaría el estado en curso de la B.D. Se aplica ahora R2 y la B.D. es:

N es divisible por 12. N es divisible por 20. N es divisible por 6. N es divisible por 10.

Nuevamente llamamos a generar. S2={R3,R4}.

R1 y R2 no están en S2 porque no son aplicables. Se selecciona ahora a R3 y la B.D. es:

N es divisible por 12. N es divisible por 20. N es divisible por 6. N es divisible por 10. N es divisible por 2.

Al llamar nuevamente a generar, S3={R4}.

82

Se aplica R4 y se llega a la solución del problema. Un listado de cómo se consiguió esta solución da el orden en que se utilizaron las reglas: R1, R2, R3, R4. El procedimiento finaliza realizando lo siguiente:

- Anula el efecto de R4, es decir, elimina N es divisible por 5 de la B.D. - Elimina R3 de S2. - Anula el efecto de R3, eliminando N es divisible por 2 de la B.D. - Se continúa en el ciclo del paso 2). - Se selecciona R4 de S2 y se aplica.

Se obtiene otra solución: R1, R2, R4. El proceso continúa hasta que se hayan establecido todas las maneras de poder conseguir la solución. El espacio de búsqueda para este problema está representado en la figura 3.9. Note cómo en este espacio cada operador de transición de estados es precisamente una regla de producción.

Estado inicial R1 R2

R2 R3 R1 R4 E → éxito E R3 R4 R2 R3 R4 E E R4 R4 R4 E E E Fig. 3.9. Espacio de búsqueda del ejemplo del encadenamiento hacia delante.

En algunas aplicaciones el listado de las reglas podría utilizarse como plan para conseguir un objetivo en un área de aplicación que fuera modelada por el sistema de producción. En tal caso, podría ser útil identificar el camino más corto desde el estado inicial al objetivo. Ventajas del enfoque guiado por datos

- Simplicidad - Puede utilizarse para proporcionar todas las soluciones a un problema dado.

Desventajas

El comportamiento del sistema, al intentar solucionar un problema, puede ser ineficaz y puede parecer también desatinado porque algunas de las reglas ejecutadas podrían no estar relacionadas con el problema en cuestión. En el ejemplo estudiado las reglas 1 y 3 no nos acercan a la solución del problema.

83

3.3.5.2. Búsqueda con encadenamiento hacia atrás (enfoque guiado por objetivos).

En el encadenamiento hacia atrás se comienza a construir el árbol situando como raíz al estado objetivo. El siguiente nivel del árbol se genera encontrando todas las reglas cuyas partes derechas concuerden con el nodo raíz y usando las partes izquierdas para crear los nuevos estados. Todas estas son las reglas que generarían el estado que queremos si pudiésemos aplicarlas. Este proceso continúa hasta generar un estado que concuerde con el estado inicial. En este enfoque el sistema centra su atención, únicamente, en las reglas que son relevantes para el problema en cuestión. En él el usuario comienza especificando un objetivo mediante la declaración de una expresión E cuyo valor de verdad hay que determinar. La siguiente función da la idea algorítmica de un módulo simple de aplicación de reglas que utiliza este enfoque.

función validar: Tiene como entrada a una expresión X. 1) Resultado:= falso 2) Identificar el conjunto S de reglas aplicables que tengan a X en su parte

derecha. 3) Si S es vacío, entonces pedir al usuario que añada reglas a la base. 4) Mientras Resultado sea falso y S no sea vacío,

a) Seleccionar y eliminar una regla R de S. b) C:= parte izquierda de R. c) Si C es verdadero en la B.D., entonces Resultado:= verdadero. d) Si C no es ni verdadero ni falso en la B.D., entonces

i) Llamar a validar pasándole como argumento a C. ii) Si validar retornó verdadero, entonces Resultado:= verdadero.

5) RETORNAR VERDADERO.

Para ejecutar esta función, el usuario pregunta por el valor de verdad de validar tomando como argumento la expresión E, donde E puede ser, por ejemplo, “N es divisible por 5”. Lo primero que hace esta función es identificar todas las reglas que tienen a E en el miembro derecho suponiendo que se hacen sustituciones apropiadas. Si no existen tales reglas, se pide al usuario que proporcione alguna. Si hay más de una regla, el sistema selecciona una, usando alguna estrategia de resolución de conflictos. Cuando una regla es seleccionada, su parte condición C es verificada con respecto a la B.D. Si C es verdadera en la B.D., entonces se establece la verdad de E y el proceso puede terminar con éxito. Si C es falsa en la B.D., entonces no se puede utilizar R para establecer la verdad de E y se selecciona otra regla de S. Si C es desconocida (es decir no es verdadera ni falsa en la B.D.), entonces se le considera como nuevo subobjetivo y se intenta establecer su valor de verdad llamando recursivamente a validar con C como argumento. Si validar(C) es verdadero, entonces la regla R es aplicable, se establece la verdad de E y el proceso puede terminar con éxito. Si validar(C) es falso, entonces se selecciona otra regla de S. Así, el proceso opera hacia atrás a partir del objetivo, intentando alcanzar subobjetivos que puedan establecer dicho objetivo por sí mismos.

84

Analicemos el ejemplo estudiado en la sección anterior, considerando las reglas y la B.D. inicial utilizados en el ejemplo del tópico anterior. Supongamos nuevamente que se quiere determinar si N es divisible por 5.

S={R4}, pues R4 es la única regla con X es divisible por 5 en el miembro derecho.

Se genera entonces el subobjetivo N es divisible por 10 mediante la sustitución de N por X en la parte condición de R4. Como N es divisible por 10 no es ni verdadera ni falsa en la B.D. se llama a validar tomando como argumento la expresión “N es divisible por 10”.

S1={R2}. Se genera el subobjetivo N es divisible por 20 que es verdadero en la B.D. Así la llamada inicial a validar termina con verdadero. Los sistemas guiados por objetivos preguntan tanto al usuario como a la B.D. al determinar la verdad de un subobjetivo. Así, el usuario no necesita entrar todos los datos disponibles inicialmente, sino que puede esperar hasta que el sistema pida datos. Si se requieren todas las maneras de establecer E, se elimina de la condición del ciclo en el paso 4) Resultado=falso y se deja sólo S no es vacío. La función validar es simple, en el sentido de que supone que las partes izquierdas de las reglas constan de declaraciones únicas, o sea, que no contienen conectivas lógicas. Es necesario, entonces, extender esta función si se desea trabajar con este método de búsqueda. El encadenamiento hacia atrás tiene como ventaja que no solicita datos ni aplica reglas que no estén relacionadas con el problema en cuestión. Este enfoque es el método que se ha de elegir si se utiliza un sistema de producción para comprobar una hipótesis concreta. Sin embargo, puede utilizarse para comprobar cada hipótesis posible, proporcionando por tanto, todas las respuestas que se pueden hacer utilizando el enfoque guiado por datos. Nótese que en ambos métodos de búsqueda pueden usarse las mismas reglas, tanto para razonar hacia delante desde el estado inicial como para razonar hacia atrás desde el estado objetivo. Dependiendo de la topología del espacio del problema, puede ser significativamente más eficiente la búsqueda en un sentido que en otro. Tres factores influyen en esto:

- ¿Existen más estados iniciales posibles o más estados finales?. Preferiríamos movernos desde un conjunto de estados lo más pequeño posible hacia el conjunto de estados mayor, y por tanto, más fácil de encontrar. Un ejemplo que ilustra esto es el siguiente: es más fácil conducir desde un lugar desconocido a nuestra casa que desde ella a ese lugar desconocido. Existen muchos más lugares que nos ayudan a llegar a nuestra casa de los que nos

85

pueden ayudar a llegar al lugar desconocido. Si podemos llegar a cualquiera de ellos podemos llegar a casa fácilmente. Por tanto si nuestra posición de partida es nuestra casa y nuestra meta el lugar desconocido, es mejor razo-nar hacia atrás. Otro ejemplo es la integración simbólica, donde el estado inicial es una fórmula que tiene el símbolo integral y el estado meta es un conjunto de fórmulas que no tengan el símbolo integral. Luego empezamos con un único estado inicial y un enorme número de estados metas. Es mejor razonar hacia delante, usando las reglas de integración a partir de la fórmula inicial, que empezar con una expresión arbitraria libre de integrales, usando las reglas de diferenciación e intentar generar la integral inicial. En los sistemas de diagnóstico hay pocas metas posibles, por lo que es mejor usar el encadenamiento hacia atrás. Sin embargo, en el juego del ajedrez la única alternativa posible es utilizar el encadenamiento hacia delante, pues el número de hipótesis en este caso es virtualmente ilimitado.

- ¿En qué dirección el factor de ramificación, o sea, el promedio de nodos hijos

es mayor? Nos gustaría avanzar siempre en la dirección en que éste sea menor. Un ejemplo es el problema de demostrar teoremas. Nuestros estados iniciales son un pequeño conjunto de axiomas y los estados finales los teoremas a demostrar. Ninguno de estos conjuntos es significativamente más grande que el otro. Consideremos, entonces, el factor de ramificación. A partir de un conjunto pequeño de axiomas podemos derivar un número muy elevado de teoremas. Usando el otro enfoque de este elevado número de teoremas debe regresarse a un pequeño número de axiomas. El factor de ramificación es significativa-mente mayor si vamos hacia delante, desde los axiomas hasta los teore-mas, que al revés. Por lo tanto, es mejor razonar hacia atrás. De hecho, los matemáticos ya se han dado cuenta de esto. Uno de los primeros programas de I.A., el Lógico Teórico (Newell 1963) usaba el razonamiento hacia atrás para demostrar diversos teoremas del primer capítulo de los Principia de Russell y Whitehead.

- ¿Se le pedirá al programa que justifique su proceso de razonamiento? Es

importante avanzar en la dirección que concuerde más con la forma en que piensa el usuario. Por ejemplo, los doctores se niegan a aceptar el consejo de un programa de diagnóstico que no pueda explicar su razonamiento. MYCIN, un S.E. que diagnostica enfermedades infeccio-sas, razona hacia atrás para determinar la causa de la enfermedad del paciente. Para ello usa reglas tales como “si el organismo tiene el siguiente conjunto de características determinadas por los resultados del laboratorio, entonces es probable que el organismo sea X”. Al razonar hacia atrás puede responder a preguntas como ¿por qué debería realizar esa comprobación que acaba de pedir? y tendría respuestas como “porque ayudaría a determinar si el organismo X está presente”.

3.3.5.3. Búsqueda bidireccional. La búsqueda bidireccional es una combinación de las dos búsquedas anteriores. Consiste en realizar simultáneamente una búsqueda con encadenamiento hacia adelante desde el estado inicial y una búsqueda con encadenamiento hacia atrás

86

desde el estado objetivo, hasta que ambas se encuentren en un estado común en la frontera de ambas búsquedas. El camino a la solución se obtiene, entonces, concatenando el camino desde el estado inicial con el inverso del camino desde el estado objetivo. Para poder garantizar que ambas búsquedas se encuentren al menos una de ellas debe seguir la estrategia de la búsqueda primero a lo ancho. La utilización de este método exige, además, que los operadores del problema sean invertibles. Suponiendo que las comparaciones para identificar estados comunes pueden ser hechas en un tiempo constante por nodo, la complejidad temporal es O(bd/2), ya que cada búsqueda sólo necesita llegar hasta la mitad de la profundidad de la solución. La complejidad espacial es también O(bd/2), pues una de las búsquedas usa la estrategia de búsqueda primero a lo ancho. Recuerde que b es el máximo número de hijos (o ramas) de los nodos y d, la profundidad de la solución. Este método parece atrayente si el número de nodos de cada paso crece exponencialmente con el número de pasos que se dan. Resultados empíricos sugieren que para buscar a ciegas, esta estrategia es realmente efectiva. Desafortunadamente, otros resultados sugieren que para una búsqueda heurística lo es mucho menos, pues puede ocurrir que las búsquedas no se encuentren y se necesite más trabajo que el que habría dado realizar una sola de ellas. En un programa construido cuidadosamente pudiera emplearse con éxito.

3.3.6. Búsqueda por diferencias. Se han estudiado estrategias hacia delante y hacia atrás. A veces son útiles estrategias mixtas. Con ellas se resuelven, en 1er lugar, las partes principales y luego se vuelve atrás a resolver los “pequeños” problemas que surgen al “pegar” los trozos grandes. La idea esencial de este método de búsqueda es que la acción a ejecutar se selecciona sobre la base de examinar las diferencias entre lo que se tiene y lo que se quiere, lo cual se puede representar por:

1) Examinar lo que se tiene. Estado actual:= Estado inicial. 2) Comparar el estado actual con el estado meta. Si no hay diferencias,

entonces TERMINAR y EXITO. 3) Determinar qué operador (u operadores) son posibles para reducir las

diferencias. 4) Aplicar sucesivamente los operadores encontrados hasta hallar uno que

sirva y generar el nuevo estado actual. 5) Ir al paso 2).

El proceso de análisis por reducción de diferencias se centra en la detección de diferencias entre el estado actual y el estado meta. Una vez que se ha aislado una diferencia, debe encontrarse un operador que pueda reducirla. Pero quizás el operador no pueda aplicarse al estado actual. Por tanto, estableceremos un subproblema que consiste en llegar a un estado en que pueda aplicarse dicho operador y quizás este operador no produzca el estado meta deseado. Entonces

87

tenemos el segundo subproblema de llegar desde el estado producido por el operador hasta el estado meta. Pero si la diferencia se ha escogido correctamente y el operador es efectivo para reducirla, debería ser más fácil resolver los dos subproblemas que el problema original. El proceso de reducción de diferencias puede aplicárseles recursivamente. Para enfocar la atención del sistema en los problemas mayores deben asignarse niveles de prioridad a las diferencias y considerarse primero las de mayor prioridad. Uno de los sistemas de solución de problemas, el desarrollado por Newel, Shaw y Simon, se basa en este método. A este sistema se le llamó Solucionador General de Problemas (GPS). El GPS usa una técnica para identificar alguna F-regla a partir de una descripción de estado, S, y un objetivo, G. El proceso de identificación primero intenta calcular una diferencia entre S y G. Este proceso de cálculo de diferencias se resuelve por una función que tiene que ser escrita especialmente para cada dominio de aplicación. Las diferencias son usadas para seleccionar F-rules relevantes accediendo a una "tabla de diferencias" en la cual las F-rules están asociadas con las diferencias. Las F-rules asociadas con una diferencia son aquellas F-rules que son relevantes para reducir esa diferencia. Es necesario definir una tabla de diferencias para cada dominio de aplicación. La esencia de este procedimiento es la siguiente: dadas las descripciones del estado inicial S y el objetivo G,

Procedimiento GPS: Toma como argumento al objetivo G. 1) Mientras S no sea equivalente a G

a) D:= una diferencia entre S y G. b) R:= una regla (F-rule) relevante para reducir D. c) C:= parte izquierda o precondición de R. d) Llamar a GPS tomando como argumento a C. e) S:= resultado de aplicar R a S.

Algoritmo de búsqueda por diferencias (AMF) 1. Comparar actual con objetivo. Si no existen diferencias entre ellos TERMINAR. 2. Seleccionar la diferencia más importante y reducirla haciendo lo siguiente hasta

que se llegue a un éxito o a un fracaso: a) Seleccionar un operador O aún no intentado que sea aplicable a la diferencia

actual. Si no existe O devolver FRACASO. b) Intentar aplicar O a ACTUAL. Generar las descripciones de los 2 estados O-

antes que es un estado donde se satisfacen las precondiciones de O y O-FINAL, el estado que resulta de la aplicación de O al estado O-ANTES.

c) PRIMERA_PARTE := AMF(ACTUAL, O-ANTES)-> llamado recursivo que devuelve boolean. ULTIMS_PARTE:=AMF(O-FINAL, OBJETIVO)

d) Si PRIMERA_PARTE Y ULTIMA_PARTE son exitosas anotar un éxito y devolver el resultado de la concatenación de los operadores de PRIMERA_PARTE y ULTIMA_PARTE.

88

Los análisis de reducción de diferencias se basan en un conjunto de reglas STRIPS que pueden transformar un estado del problema en otro. Estas reglas están formadas por las precondiciones (condiciones que deben cumplirse para poder aplicarla) y los resultados. Analicemos el ejemplo de un dominio sencillo de un robot. Supongamos que están disponibles los siguientes operadores STRIPS:

- EMPUJAR(obj,loc) Precondición: EN(robot,obj) ∧ GRAN(obj) ∧ DESPEJAR(obj) ∧ BRAZOVACIO Suprimir: EN(robot,locant) ∧ EN(obj,locant) Añadir: EN(obj,loc) ∧ EN(robot,loc)

- LLEVAR(obj,loc)

Precondición: EN(robot,obj) ∧ PEQUEÑO(obj) Suprimir: EN(robot,locant) ∧ EN(obj,locant) Añadir: EN(obj,loc) ∧ EN(robot,loc)

- CAMINAR(loc)

Precondición: ninguna Suprimir: EN(robot,locant) Añadir: EN(robot,loc)

- COGER(obj)

Precondición: EN(robot,obj) ∧ BRAZOVACIO Suprimir: BRAZOVACIO Añadir: SOSTENER(obj)

- DEJAR(obj)

Precondición: SOSTENER(obj) Suprimir: SOSTENER(obj) Añadir: BRAZOVACIO

- COLOCAR(obj1,obj2)

Precondición: EN(robot,obj2) ∧ SOSTENER(obj1) Suprimir: SOSTENER(obj1) Añadir: ENCIMA(obj1,obj2) ∧ BRAZOVACIO

Los predicados usados son los siguientes: EN(robot,obj): el robot está situado al lado del objeto. GRAN(obj): el objeto es de un tamaño grande. PEQUEÑO(obj): el objeto es de un tamaño pequeño. DESPEJAR(obj): el objeto no tiene nada encima. EN(robot,loc): el robot está en una determinada localización. SOSTENER(obj): el brazo del robot está sosteniendo al objeto. ENCIMA(obj1,obj2): el objeto obj1 está encima del objeto obj2. BRAZOVACIO: el brazo del robot está vacío.

La tabla de diferencias que describe qué operador u operadores reducen las distintas diferencias es la siguiente:

89

EMPUJAR LLEVAR CAMINAR COGER DEJAR COLOCAR Mover objeto x x Mover robot x Despejar objeto x Poner objeto sobre objeto x Vaciar brazo x x Sostener un objeto x

Supongamos, ahora, el siguiente problema del robot: mover un escritorio de una habitación a otra con dos objetos encima de él. Estos objetos deben moverse también. En el estado inicial el robot está en una determinada posición con su brazo vacío. La principal diferencia entre el estado inicial y el meta es la situación del escritorio. Para reducir esta diferencia puede escogerse LLEVAR o EMPUJAR. Supongamos que se escoge LLEVAR. Al intentar satisfacer sus precondiciones, dos diferencias más deben reducirse: la situación del robot y el tamaño del escritorio. La situación del robot puede reducirse aplicando CAMINAR, pero no hay operador que permita cambiar el tamaño de un objeto, ya que el escritorio es un objeto grande y se necesita que sea pequeño. Por lo tanto, debe escogerse EMPUJAR. El progreso del resolutor de problemas en este punto es:

A B C D ----------------

Inicio EMPUJAR Meta Hay que reducir las diferencias entre A y B y entre C y D. EMPUJAR tiene cuatro precondiciones, que generan dos diferencias, pues ya el escritorio es grande y el brazo se supone vacío. Podemos llevar al robot a la posición correcta usando CAMINAR y la superficie del escritorio puede despejarse usando dos veces COGER. Después del primer COGER, el intento de realizar el segundo produce otra diferencia: el brazo debe estar vacío. Puede usarse DEJAR para reducir esta diferencia. Después del segundo COGER, debemos nuevamente aplicar DEJAR para que el brazo esté vacío. Una vez realizado EMPUJAR, el estado del problema está cerca de la meta, pero no del todo. Para poner los objetos nuevamente en el escritorio podemos usar COLOCAR. El progreso del resolutor de problemas en este punto es:

Inicio Meta

A B C E D Inicio CAMINAR COGER DEJAR COGER DEJAR EMPUJAR COLOCAR Meta La diferencia final entre C y E puede reducirse usando CAMINAR para llevar al robot de regreso a los objetos, seguido de COGER, LLEVAR y COLOCAR dos veces. Hemos omitido el análisis de las diferencias. Su orden puede ser crítico, por lo que es importante reducir primero las diferencias principales. La secuencia de operadores final sería la siguiente:

90

Inicio A B C | | | | | | | ... CAMINAR COGER DEJAR COGER DEJAR EMPUJAR Meta E D ... | | | | | | | | | CAMINAR COGER LLEVAR COLOCAR CAMINAR COGER LLEVAR COLOCAR

En problemas complejos, el número de permutaciones de las diferencias es muy grande y las tablas de diferencias pueden ser inmensas. Existen técnicas en las cuales se extiende este enfoque de reducción de diferencias para problemas complejos. Una de ellas es la planificación, la cual estudiaremos más adelante.

3.3.7. Búsqueda de soluciones múltiples. En ocasiones necesitamos encontrar más de una solución al problema que queremos resolver. Esta búsqueda podemos implementarla de dos formas:

- Removiendo el camino de búsqueda encontrado. Este método consiste en lo siguiente: 1) Encontrar una solución utilizando algún método de búsqueda.

2) Eliminar del árbol de búsqueda todos los nodos que forman parte del camino encontrado a la solución.

3) Ir al paso 1). - Removiendo el último nodo del camino.

Este método es similar al anterior. Su única diferencia radica en que en vez de eliminar el camino encontrado, se elimina sólo el último nodo de este camino, repitiéndose nuevamente el proceso.

3.4. Búsqueda heurística. Analicemos el problema del vendedor ambulante. Para resolverlo usando alguna de las técnicas de búsqueda a ciegas estudiadas, se exploraría el árbol de todos los posibles caminos y se devolvería aquel de menor longitud. Si existen N ciudades, el número de caminos diferentes entre ellas es (N-1)!. Explorar cada camino nos tomaría un tiempo proporcional a N y, por tanto, el tiempo total sería proporcional a N!. Tomando 10 ciudades tardaríamos un tiempo de 10!=3 628 000 para solucionar el problema. Este fenómeno se llama explosión combinatoria. Para solucionar eficientemente la mayoría de los problemas difíciles, a menudo es necesario comprometer los requerimientos de movilidad y sistematicidad y construir una estructura de control que, aunque no nos garantice que encontremos la mejor respuesta, por lo menos proporcione una respuesta suficientemente buena.

91

3.4.1. Definición de heurística. La palabra heurística viene del griego heuriskein que significa descubrir. Ella es también el origen de eureka, que se deriva de la famosa exclamación de Arquímedes eureka (“lo encontré”), que lanzó al descubrir un método para determinar la pureza del oro. Otro libro dice que fue cuando Arquímedes salió desnudo corriendo por la calle gritando eureka cuando descubrió el principio de flotación mientras estaba en el baño. Feigenbaum y Feldman la definen así: “Una heurística (regla heurística o método heurístico) es una regla para engañar, simplificar o para cualquier otra clase de ardid, la cual limita drásticamente la búsqueda de soluciones en grandes espacios de solución”. La posibilidad de efectuar la búsqueda de una forma más eficiente se basa en el uso de alguna información específica para el problema a solucionar. Esta información, aunque imprecisa e incompleta, permite distinguir cuáles de los nodos dirigen mejor el avance hacia la meta y permite realizar este avance siempre en la dirección que momentáneamente tiene la mejor perspectiva. Se llama búsqueda heurística a los métodos de búsqueda que usan este tipo de información. Precisamente por esto a estos métodos, generalmente, se les llaman métodos fuertes. Las técnicas heurísticas son como las guías turísticas: son buenas cuando apuntan a direcciones interesantes y son malas cuando apuntan a callejones sin salida. Usando buenas técnicas heurísticas, podemos esperar lograr buenas soluciones a problemas difíciles, como el del vendedor ambulante, en un tiempo menor que el exponencial. Analicemos un ejemplo de heurística. Supongamos que un hombre se encuentra en una extensa llanura y tiene sed. Caminando ha llegado a una pequeña elevación que es la única en esa región y se sube a ella. Su objetivo es, por supuesto, encontrar agua. Desde la elevación el hombre observa el panorama que se presenta en la figura 1. ¿Qué dirección debe seguir para hallar el agua?. Evidentemente la vegetación verde es un indicio de que en esa zona hay humedad, por lo que es muy probable que exista agua en la superficie o subterránea. Por otro lado, el movimiento de animales puede indicar que ellos se dirigen allí a beber, por lo que, posiblemente, el agua está en la superficie. El hombre, al usar esta información, puede decidir dirigirse primero hacia el norte, y si no encuentra solución, o sea, no halla agua, dirigirse al oeste. En este caso, la vegetación verde y el movimiento de animales han sido utilizadas como heurística.

NORTE

Vegetación verde Movimiento de animales

OESTE

Vegetación verde

ESTE

Vegetación amarilla

SUR

HOMBRE

92

Fig. 3.10. Panorama visto por el hombre desde la elevación. Argumentos a favor del uso de técnicas heurísticas

- Sin ellas estaríamos atrapados en la explosión combinatoria. - Pocas veces necesitamos la solución óptima, usualmente una buena

aproximación satisface nuestras exigencias. De hecho, en la vida real las personas, generalmente, no buscan la mejor solución a un problema; tan pronto como encuentran una, abandonan la búsqueda. Por ejemplo, al tratar de parquear un carro, cuando se encuentra un espacio disponible se parquea, aunque más adelante exista uno mejor.

- Aunque las aproximaciones producidas por ellas pueden, en el peor de los casos, no ser muy buenas, los peores casos surgen raramente en el mundo real.

Esto conduce a otra forma de definir la I.A., como el estudio de técnicas para resolver problemas exponencialmente difíciles en un tiempo polinomial explotando el conocimiento sobre el dominio del problema. Formas de incorporar la información heurística en un procedimiento de búsqueda

- En las reglas mismas. Por ejemplo, las reglas para el problema del ajedrez pueden describir no solamente el conjunto de movimientos legales, sino también un conjunto de movimientos “sensatos” según el escritor de las reglas.

- Como una función heurística que evalúe los estados individuales del problema y determine hasta qué punto son deseables. Las funciones heurísticas bien diseñadas guían eficientemente el proceso de búsqueda en la dirección más provechosa. El programa que las utilice puede intentar minimizar dicha función o maximizarla según sea apropiado. Ejemplos de funciones heurísticas son las siguientes: Ajedrez: la ventaja de piezas nuestras sobre el oponente. Rompecabezas de 8 piezas: el número de baldosas colocadas correctamente.

Vendedor Ambulante: la suma de las distancias recorridas hasta ahora o tomar la distancia más pequeña de entre las de los sucesores del nodo actual. Titafor: Puntuación otorgada de la siguiente forma: un punto para cada fila, columna o diagonal en donde podamos ganar y en la que tengamos una pieza y dos puntos para cada fila, columna o diagonal que sea posible ganadora y en la que tengamos 2 piezas.

93

El papel exacto de las funciones heurísticas se estudiarán en cada uno de los métodos de búsqueda heurística.

3.4.2. Búsqueda avara (greedy). Este método consiste en realizar en cada momento la transición hacia el estado que se encuentre más cerca del estado objetivo. Para esto se define una función heurística que estime el costo de llegar de un estado al estado objetivo. Esta función heurística h puede ser cualquiera, pero debe cumplir que h(n) = 0 si n es el nodo objetivo. Ejemplo: Búsqueda de la ruta más corta entre las ciudades Santiago y Morón. (Ver figura 3.11. ) Supongamos que h es la distancia en línea recta entre las dos ciudades. La ruta sería: Stgo, Bayamo, Holguín, Morón. En general este método tiene un comportamiento bastante bueno y logra la solución de forma rápida. Deficiencias de la búsqueda avara

- No siempre la solución encontrada es la óptima. Ver ejemplo anterior. Note que esta ruta no es la óptima (la mejor sería Santiago, Bayamo, Tunas, Camagüey, Morón que tiene 32 km menos).

- Es incompleta, pues puede recorrer una ruta infinita y nunca llegar a la solución. Ejemplo: si se quisiera la ruta entre Matanzas y Morón, la función heurística aconseja tomar primero C.Habana. que conduce a un callejón sin salida pues se mantiene todo el tiempo entre estas dos ciudades. Este problema de que puede no terminar nunca, se debe a que como el algoritmo sólo almacena el estado actual no tiene manera de saber dónde ha estado y puede caer en un ciclo. Una forma de solucionar esta dificultad es mantener una lista de estados visitados y nunca revisitar uno de éstos, lo cual garantiza que el algoritmo terminará siempre que el espacio de estados del problema sea finito.

94

Distancia en línea recta a Morón: Stgo( 366), Contramaestre(374), Palma(329), Bayamo(253), Holguín(178), Tunas(193), Camagüey(101), C.Hab(224), Mtzas(226), Las Villas(299), San Luis(160). Figura 3.11. Problema de la ruta entre Stgo y Morón.

3.4.3 Búsqueda por el mejor nodo (best-first search). La búsqueda por el mejor nodo es una forma de combinar las ventajas de las búsquedas en profundidad y de anchura en un único método. En cada paso del proceso de búsqueda por el mejor nodo, seleccionamos el más prometedor de aquellos nodos que se han generado hasta el momento. Esto se realiza aplicando una función heurística apropiada a cada uno de ellos. Entonces expandimos el nodo elegido usando las reglas para generar a sus sucesores. Si uno de ellos es una solución podemos terminar. Si no, todos esos nodos se añaden al conjunto de nodos generados hasta ahora. Se selecciona de nuevo el más prometedor y el proceso continúa. Lo que sucede usualmente es que se realiza un proceso de búsqueda en profundidad mientras se explora una rama prometedora. Como ocasionalmente no se encuentra solución, se explora otra rama previamente ignorada y que ahora parece más prometedora. En este método de búsqueda la función heurística que estima los méritos de cada nodo generado está definida como:

f(n) = g(n) + h(n), donde g(n) es una medida del costo del camino desde el nodo inicial al nodo actual n y h(n) es un estimado del costo adicional de llegar desde el nodo n al nodo meta. g(n) no es, necesariamente, el costo del camino óptimo desde el nodo inicial al nodo actual, pues puede haber caminos mejores no recorridos todavía. g(n) simplemente se calcula como la suma de los costos de los arcos del camino actual. La función h(n), sin embargo, es típicamente heurística y explota el conocimiento sobre el domino del problema, ya que el “mundo” entre el nodo n y el meta no ha sido explorado. Por supuesto, no existe un método general para construir h(n), sino que depende del problema particular. Al algoritmo de búsqueda que utiliza la función f(n) se le llama algoritmo A. Este algoritmo no garantiza encontrar el camino óptimo a la solución, pues éste sólo calcula un estimado del costo para alcanzar el nodo objetivo.

Stgo

Morón

Bayamo

Tunas

Holguín

Camagüey

Mtzas C. Hab.

Las Villas

Contramaestre

Palma

San Luis

Ciego

75 140

151

118

111

99

80 97

101

211

138 85 142

87

92

95

Se puede definir la función f*(n) que, en cualquier nodo n, calcule el costo real del camino óptimo desde el nodo inicial al nodo n (g*(n)) más el costo del camino óptimo desde el nodo n al nodo objetivo (h*(n)), es decir

f*(n) = g*(n) + h*(n), donde h*(n) es una función de evaluación heurística admisible, o sea, ∀n h*(n) es menor o igual que la distancia real mínima a la meta. Es precisamente por esto que el algoritmo que usa este estimador garantiza siempre encontrar, si existe, el camino óptimo a la solución. A este algoritmo se le conoce con el nombre de algoritmo A*.

La figura 3.12 muestra el principio de un procedimiento de búsqueda por el mejor nodo. Los números que aparecen al lado de los nodos son los valores de f(n). Note cómo en cada paso se selecciona el nodo de menor valor de f(n), generando sus sucesores.

Paso 1 Paso 2 Paso 3 A A A (3) B (5) C (1) D (3) B (5) C D (4) E (6) F Paso 4 Paso 5 A A B (5) C D B (5) C D

(6) G (5) H (4) E (6) F (6) G (5) H E (6) F (2) I (1) J

Fig. 3.12. Un ejemplo de búsqueda por el mejor nodo.

Para implementar este algoritmo hay que mantener, además de la lista de nodos visitados, una lista de nodos generados pero no visitados. Esta lista permite al algoritmo retomar un camino que fue abandonado temporalmente por otro que parecía más promisorio. Este método de búsqueda consiste en: el mejor nodo de la lista de nodos generados y no visitados (inicialmente el nodo raíz) se expande generando sus sucesores y se colocan en la lista de nodos visitados; la función de evaluación heurística se aplica a todos los sucesores y ellos son insertados en la lista de nodos no visitados en orden de su costo. En el ciclo siguiente se selecciona el mejor nodo de esta lista para ser procesado.

96

Algoritmo: Nodo:= Nodo Inicial While not Objetivo(Nodo) do

Begin Colocar Nodo en la lista de nodos visitados; Para cada sucesor de Nodo do Insertar en cola de prioridades según f a (Sucesor, f(sucesor)); -> Lista de

nodos no visitados Nodo:= cabeza de la cola de prioridades; End;

Por ejemplo, para el problema del rompecabezas de 8 piezas puede tomarse h*(n) como el número de piezas que no están en su posición final. Otra variante, que contiene más información heurística pero requiere más cálculos, es la suma de las distancias desde la posición actual de cada pieza a su posición correcta. Ejemplo: Veamos nuevamente la figura 3.11. Si usamos como h la misma función anterior y como g la suma de los costos (distancias) de las respectivas carreteras veremos como en este caso, el algoritmo A* sí obtiene la ruta óptima Stgo, Bayamo, Tunas, Camagüey, Morón. El árbol desarrollado está en la figura 3.13.

Figura 3.13. Algoritmo A* para el problema de la ruta Stgo- Morón.

Podemos hacer algunas observaciones interesantes sobre este algoritmo:

- Al incorporar g* en f* no siempre se elige como el siguiente nodo a expandir el que parece más cercano a la meta. Esto es útil si nos preocupa el camino que elijamos. Si sólo nos importa llegar a una solución de la forma que sea, ponemos g*=0 y con esto estamos eligiendo el nodo más cercano a la meta (búsqueda avara). Si queremos encontrar un camino en el menor número de pasos, entonces ponemos el costo de un nodo a su sucesor constante igual a 1.

Stgo 280+366 = 646

Stgo

Bayamo 140+253 = 393

Palma 118+329 = 447

Contramaestre 75+374 = 449

Contram. 291+374 = 665

Tunas 220+193 = 413

Holguín 239+178 = 417

Bayamo 300+253 = 553

San Luis 358+160 = 518

Camagüey 317+101 = 418

Morón

97

Si el costo de los operadores varía, se refleja en cada nodo y se calcula el camino de costo mínimo.

- Cuando h* = 0 y g* = d, donde d es el nivel de profundidad del nodo, el algoritmo A* es idéntico al método de búsqueda primero a lo ancho.

En Bratko puede verse la implementación de este algoritmo en PROLOG, así como su aplicación para el problema del rompecabezas de 8 piezas. En Rich 1era edición pág. 87-93 puede verse bien desarrollado el algoritmo A* para realizar la búsqueda por el mejor nodo en un problema de grafos. La principal desventaja del algoritmo A* es el requerimiento de memoria para mantener la lista de nodos generados no procesados, por lo que, en este aspecto, este algoritmo no es más práctico que la búsqueda primero a lo ancho. Una variante del mismo es:

- Mantener sólo en la lista de nodos no visitados los mejores n nodos. El costo de esta técnica es la pérdida de la solución óptima, pues un nodo malo localmente se puede sacar de la lista y él podría conducir al óptimo global. Esta técnica se conoce como beam search.

3.4.4. Búsqueda heurística en árboles y/o o algoritmo AO*. Para encontrar soluciones en un árbol y/o necesitamos un algoritmo similar al A*, pero con la capacidad de manejar los arcos Y apropiadamente. Este algoritmo debería encontrar un camino desde del nodo inicial a un conjunto de nodos que representan los estados meta. Nótese que puede ser necesario obtener más de un estado meta, pues cada rama de un arco Y puede conducir a su propio nodo meta. Para ver por qué el algoritmo A* no es adecuado para la búsqueda en árboles y/o, consideremos la figura 3.14. Los números representan el valor de f* en cada nodo. El problema radica en que la elección del nodo a expandir no sólo depende del valor de f* en ese nodo, sino también de si ese nodo es parte del mejor camino actual a partir del nodo inicial. El nodo simple más prometedor es C, pero no forma parte del mejor camino actual, pues hay que incluir al nodo D. A (7)

(5) B (3) C (4) D

Fig. 3.14. Un árbol y/o donde no es posible utilizar A*.

98

Los nodos de un árbol y/o pueden ser clasificados en:

- nodos primitivos: son los que se corresponden con problemas que se resuelven directamente.

- nodos muertos: son los que se corresponden con problemas no descomponibles y que no tienen solución.

- nodos intermedios. Para cada uno de ellos el estimado heurístico h*(n) se puede definir como:

- Si n es un nodo primitivo, entonces h*(n) = 0 - Si n es un nodo muerto, entonces h*(n) = ∞ - Si n es un nodo intermedio con j conectores, entonces h*(n) es el mínimo de los

costos calculados para cada uno de los j conectores. Si el conector es Y, entonces su costo es:

(cos ( , ) ( ))*to n n h nk kk

,+∑

donde k es el número de nodos del conector. Si por el contrario, el conector es O, entonces su costo es: costo(n, nk) + h*(nk).

Para estimar la bondad de un nodo sólo se usa h*. No se usa g* como en el algoritmo A*, pues no es posible calcular tal valor único, ya que puede haber muchos caminos para un mismo nodo y además, tampoco es necesario, porque la travesía hacia abajo del mejor camino conocido garantiza que sólo aquellos nodos que estén en el mejor camino serán considerados para la expansión. Si quisiéramos implementar este algoritmo usando un grafo y/o es necesario realizar tres cosas en cada paso:

- Atravesar el grafo comenzando por el nodo inicial y siguiendo el mejor camino actual, acumulando el conjunto de nodos que van en ese camino y aún no han sido expandidos.

- Seleccionar uno de estos nodos no expandidos y expandirlo. Añadir sus sucesores al grafo y calcular h* para cada uno de ellos.

- Cambiar la h* estimada del nodo recientemente expandido para reflejar la nueva información proporcionada por sus sucesores. Propagar este cambio hacia atrás a través del grafo. Para cada nodo que se visita mientras se va avanzando en el grafo, decidir cuál de sus arcos sucesores es más prometedor y marcarlo como parte del mejor camino actual, lo cual cambiará el mejor camino actual.

En Rich 1era edición puede verse los pasos de este algoritmo expresados más detalladamente. Bratko contiene una implementación del mismo en PROLOG. La figura 3.15 muestra un ejemplo de una traza de este algoritmo. Los números entre paréntesis indican el valor de h* en los nodos y los que no tienen paréntesis, indican los costos de los arcos. Los nodos encerrados entre dos círculos son nodos primitivos.

99

El algoritmo AO* no sirve cuando entre los subproblemas hay interacciones. Diferencias entre el algoritmo A* y el AO* En el algoritmo A* el camino deseado de un nodo a otro siempre era el de menor costo. Pero éste no es siempre el caso cuando se está buscando en un árbol y/o. Un ejemplo de esto se muestra en la figura 3.16. El nuevo camino al nodo 5 es más largo que yendo a través del nodo 3. Pero el camino por el nodo 3 no lleva a solución, pues necesita también una solución del nodo 4, la cual no existe. Por tanto el camino a través del nodo 10 es mejor.

Paso 1 Paso 2 a a (2) 1 3 (1) b c (3) Paso 3 Paso 4

a (4) a (6) 1 3 1 3

(3) b c (3) (9) b c (3) 1 1 1 1 d (0) (1) e d (0) e (7) 6

(1) h

Paso 5

a (8) 1 3 (9) b c (5) 1 1 2 1

(0) d (7) e f (2) g (0) 6 2 3

(1) h (0) i j (1)

Fig. 3.15. Una traza del algoritmo AO*.

100

1 2 3 4 nodo muerto 7 8 5 6 9 10

Fig. 3.16. Ejemplo que muestra las diferencias entre A* y AO*.

3.4.5. Búsqueda por ascenso de cima (hill-climbing). [Tomado de Data Mining. Pieter Adriaans, Dolf Zantinge. Addison-Wesley longman 1996 y de IA: un enfoque moderno] Es de ascenso de cima si la función de evaluación de estado expresa calidad y se llama de disminución de gradiente si esta función es de costo. Una popular metáfora para esta búsqueda es el canguro en la niebla. Suponga un canguro en un lugar desconocido con la tarea de encontrar la cima más alta. Como hay poca visibilidad por la niebla, él identifica el punto más alto que él ve y hacia allí salta. Desde esta nueva posición repite el proceso hasta que no haya un punto más alto. Por supuesto, no garantiza el óptimo; depende de las características del relieve concreto. Si el relieve es suave y existe un óptimo visible se llega a él. Pero si es suave y existen muchos puntos similares puede no llegarse. Lo mismo ocurre si existen muchos picos altos y el relieve es muy abrupto. En estos casos se llega a óptimos locales. Una solución es el paralelismo: colocar varios canguros que exploren el espacio de búsqueda. La posibilidad de que uno alcance el punto más alto aumenta. El algoritmo hill-climbing es un algoritmo de mejoramiento iterativo. Ellos se caracterizan porque la misma descripción del estado contiene toda la información necesaria para encontrar una solución. Es irrelevante la ruta a través de la cual se obtiene la solución. La idea básica consiste en empezar con una configuración completa y efectuar modificaciones para mejorar su calidad. Algoritmo

1- Actual:= Estado inicial del problema 2- Siguiente:= sucesor de actual con mayor valor 3- Si valor(siguiente) < valor(actual) entonces Devuelve actual y TERMINAR sino Actual:= siguiente Ir al paso 2.

Este algoritmo termina cuando se llega a un punto donde no se puede obtener un mejor valor. Al implementarse se hace con un ascenso de cima con reinicio

101

aleatorio, es decir, se ejecuta el algoritmo varias iteraciones comenzando desde estados iniciales generados aleatoriamente y se guarda el mejor estado producido. Desventajas:

- Máximos locales: Es una cima cuya altura es inferior a la cima más alta de todo el espacio de estados. Una vez que ha alcanzado un máximo local, el algoritmo para, aunque esta solución esté muy lejos de ser satisfactoria.

- Planicie: son áreas del espacio de estados en donde la función de evaluación básicamente es plana. La búsqueda realizará un paseo al azar. En todos los estados la función de evaluación da un valor muy similar y entonces se escogerá cualquiera.

- Riscos: las laderas de algunos riscos tienen pendientes muy pronunciadas, por lo que es fácil para una búsqueda llegar a la cima del risco; sin embargo puede suceder que la pendiente de la cima se aproxime demasiado gradualmente a un pico. A menos que existan operadores que se desplacen directamente por la cima del risco, la búsqueda oscilará de un lado a otro obteniendo muy poco avance.

Por ejemplo: en el problema de las 8 reinas se empieza con 8 reinas situadas en el tablero y se procede, entonces a desplazar las reinas buscando disminuir la cantidad de posibles ataques. Los operadores serían mover las reinas a otra posición de su columna de manera que la cantidad de ataques sea mínima. 3.5. Planificación. En secciones anteriores describimos el proceso de resolver problemas como una búsqueda a través de un espacio de estados, en el que cada nodo representa una descripción del estado completo del problema y cada operador describe una forma de cambiar dicha descripción completa del estado. Para problemas sencillos como, por ejemplo, el rompecabezas de 8 piezas, el manipular cada vez la descripción completa del estado es fácil y razonable. Sin embargo, para dominios de problemas más complicados, es importante que seamos capaces de trabajar por separado sobre elementos pequeños de un problema y combinar al final las soluciones parciales en una solución completa. Si no podemos hacer esto, el número de combinaciones de los estados de las componentes de un problema se volvería demasiado grande para poderlo manejar en la cantidad de tiempo disponible. Existen dos formas en las que es importante que seamos capaces de realizar esta descomposición. En la primera es importante que, al movernos de un estado del problema al siguiente, no tengamos que recalcular el nuevo estado completo. En vez de ello, queremos considerar sólo aquella parte del estado que puede haber cambiado. No es difícil calcular cómo debería cambiar el estado del rompecabezas de 8 piezas después de cada movimiento, ni significa gran cantidad de trabajo el almacenar explícitamente una nueva copia del estado con los cambios apropiados que se han hecho. Pero si estamos considerando el problema de guiar un robot por una casa, la situación es mucho más compleja. La descripción de un estado sería muy

102

extensa, pues debería incluir dónde está cada objeto en la casa junto con la situación actual del robot. Una acción concreta por parte del robot cambiará sólo una pequeña parte del estado total. Por ejemplo, si el robot empuja una mesa, sólo cambiará la situación de la mesa y de los objetos que estaban sobre ella, pero los restantes objetos no cambiarán. En lugar de escribir reglas que describan transformaciones de un estado completo en otro, preferiríamos escribir reglas que sólo describan las partes del estado afectadas y suponer que el resto permanece constante. La segunda forma importante en que la descomposición puede facilitar la solución de problemas difíciles, es la división de un único problema difícil en varios subproblemas que podemos esperar que sean más fáciles. El algoritmo AO* nos proporciona una manera de hacerlo cuando los subproblemas están completamente separados. Pero existen muchos problemas casi descomponibles, o sea, que pueden dividirse en subproblemas con una pequeña cantidad de interacción. Por ejemplo, el trasladar un conjunto de muebles fuera de una habitación podría descomponerse en trasladar cada objeto por separado, pero si hay un librero detrás de una mesa, debemos mover primero la mesa. Es necesario un método que permita trabajar con este tipo de problema. El uso de métodos que se centran en formas de descomponer el problema original en subpartes apropiadas y en formas de almacenar y manejar las interacciones entre las subpartes conforme se detectan durante el proceso de resolución de problemas se llama Planificación. Al igual que en los sistemas de resolución de problemas estudiados anteriormente, los métodos de planificación necesitan de técnicas para elegir la mejor regla a aplicar, aplicar la regla elegida, detectar cuándo se ha encontrado solución y detectar callejones sin salida. Estos métodos usan generalmente como FRC los strips, donde se estudiaron estas técnicas. La técnica más ampliamente usada para elegir las reglas apropiadas a aplicar es aislar un conjunto de diferencias entre el estado meta deseado y el estado actual, identificando las reglas que reducen esas diferencias. Si hay varias, se explota alguna información heurística para seleccionar entre ellas. Analizaremos estos métodos en el mundo de bloques. Las acciones que se pueden realizar son: COGER(x) Precondición: ENMESA(x) y DESPEJAR(x) y BRAZOVACIO Suprimir: ENMESA(x) y BRAZOVACIO Añadir: SOSTENER(x) DEJAR(x) Precondición: SOSTENER(x) Suprimir: SOSTENER(x) Añadir: ENMESA(x) y BRAZOVACIO APILAR(x,y) Precondición: DESPEJAR(y) y SOSTENER(x) Suprimir: DESPEJAR(y) y SOSTENER(x) Añadir: ENCIMA(x,y) y BRAZOVACIO

103

DESAPILAR(x,y) Precondición: ENCIMA(x,y) y DESPEJAR(x) y BRAZOVACIO Suprimir: ENCIMA(x,y) y BRAZOVACIO Añadir: SOSTENER(x) y DESPEJAR(y) Usaremos los sgtes predicados:

ENCIMA(a,b), ENMESA(a), DESPEJAR(a) [No hay nada sobre a], SOSTENER(a) [el brazo está sosteniendo a] y BRAZOVACIO.

En el mundo de bloques existen diversas declaraciones lógicas verdaderas: [ ∃ x SOSTENER(x)] ¬ BRAZOVACIO --- Si el brazo está sosteniendo algo

entonces no está vacío. ∀ x [ ENMESA(x) ¬ ∃ y ENCIMA(x,y) ]--- Si un bloque está encima de la mesa

entonces no está encima de otro bloque.

∀ x [¬ ∃ y ENCIMA(y,x) DESPEJAR(x) ] --- Cualquier bloque que no tenga encima bloques, está despejado.

Existen varias técnicas de planificación, como por ejemplo:

- Planificación usando pila de metas. - Planificación no lineal usando un conjunto de metas. - Planificación jerárquica. - Planificación no lineal usando la estrategia del menor compromiso. - Planificación por medio de colocación de restricciones. - Planificación mediante tablas de triángulos. - Metaplaneo. - Cajas de plan.

Estudiemos los tres primeros métodos. Explicaciones de los restantes pueden verse en [Ric88].

3.5.1. Planificación usando pila de metas. En este método, el resolutor de problemas usa una única pila que contiene tanto las metas como los operadores que las satisfacen. El resolutor de problemas dispone también de una B.D. que describe la situación actual y un conjunto de operadores descritos en forma de STRIPS (listas precondición, añadir y suprimir). Veamos un ejemplo del mundo de bloques: supongamos que se tienen los estados inicial y meta mostrados en la figura 3.17.

Estado inicial: ENCIMA(B,A) ∧ ENMESA(A) ∧ ENMESA(C) ∧ ENMESA(D) ∧ BRAZOVACIO

Estado meta: ENCIMA(C,A) ∧ ENCIMA(B,D) ∧ ENMESA(A) ∧ ENMESA(D) Estado inicial Estado meta

104

B C B

A C D A D

Fig. 3.17. Un ejemplo del mundo de bloques.

Cuando empezamos a resolverlo la pila de metas es: ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y ENMESA(A) y ENMESA(D) Descompogamos este problema en cuatro subproblemas, uno por cada meta. Las dos metas ENMESA ya están satisfechas en el estado inicial (le llamaremos para abreviar EMAD), por lo que sólo trabajamos con las dos restantes. Dependiendo del orden en que se escojan se pueden crear dos pilas de metas:

(1) (2) ENCIMA(C,A) ENCIMA(B,D) ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

Para cada paso que haya tenido éxito debe proseguirse con la meta que está en la cima de la pila. Cuando se halla una secuencia de operadores que la satisface, se aplica dicha secuencia a la descripción del estado, produciendo una nueva descripción. A continuación se explora la meta que está en la cima de la pila y se intenta satisfacerla empezando en la situación producida como resultado de satisfacer la primera meta. Este proceso continúa hasta que la pila de metas esté vacía. Al comprobar la última meta, se compara la meta original con el estado final derivado de la aplicación de los operadores escogidos. Si cualquiera de las componentes de la meta no se satisface en ese estado, lo cual podría suceder si se alcanzasen en cierto punto y se deshiciesen más tarde, se reinsertan en la pila las partes de la meta aún no resueltas y se reanuda el proceso. En el ejemplo, supongamos que elegimos la pila 1. La pila 2 también conduce a una solución, de hecho encuentra una tan trivial que no es muy interesante. Miramos si ENCIMA(C,A) es cierto en el estado inicial. Como no lo es, buscamos los operadores que lo pueden hacer cierto: APILAR(C,A). Se coloca éste en lugar de ENCIMA(C,A), pues estamos seguros de que después de aplicar éste, la meta se cumple. La pila sería ahora:

APILAR(C,A) ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

Las precondiciones de APILAR se convierten entonces en submetas: DESPEJAR(A) ∧ SOSTENER(C). Las separamos y escogemos una de ellas. Aquí es útil explotar algún conocimiento heurístico. SOSTENER es muy fácil de hacer (basta dejar alguna cosa y coger el objeto deseado) y es muy fácil de deshacer (para cualquier cosa el robot necesita usar el brazo). Si satisfacemos primero SOSTENER y luego lo otro, es probable que entonces SOSTENER no sea cierto. Por tanto, explotamos

105

la heurística de que si SOSTENER es una de las metas, se trate de satisfacer en último lugar. Este tipo de información heurística podría incluirse en las mismas listas precondición de los operadores, escribiendo las metas en el orden en que deben satisfacerse. La pila de metas es ahora:

DESPEJAR(A) SOSTENER(C) DESPEJAR(A) ∧ SOSTENER(C) APILAR(C,A) ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

Como DESPEJAR(A) no es cierto y el único operador que lo hace cierto es DESAPILAR(B,A), lo cual puede detectarse fácilmente mirando las listas Añadir de cada operador, la pila de metas es:

ENCIMA(B,A) DESPEJAR(B) BRAZOVACIO ENCIMA(B,A) y DESPEJAR(B) y BRAZOVACIO DESAPILAR(B,A) SOSTENER(C) DESPEJAR(A) y SOSTENER(C) APILAR(C,A) ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

ENCIMA(B,A) se satisface y lo quitamos de la pila. DESPEJAR(B) no está explícitamente, pero un demostrador de teoremas puede demostrar que se satisface a partir de los predicados iniciales y del axioma del mundo de bloques que dice que cualquier objeto sin bloques encima está despejado. Por eso se quita también de la pila. La tercera precondición de DESAPILAR (BRAZOVACIO) también es cierta y se saca de la pila, junto con la meta combinada, una vez comprobado que se satisface. Como se satisfacen sus precondiciones, aplicamos el operador DESAPILAR(B,A) (usando las listas suprimir y añadir) para producir un nuevo modelo del mundo y lo anotamos en la secuencia de solución propuesta:

ENMESA(A) y ENMESA(C) y ENMESA(D) y SOSTENER(B) y DESPEJAR(A). Anotamos, entonces, este operador en la secuencia de solución propuesta. La pila es ahora:

SOSTENER(C) DESPEJAR(A) y SOSTENER(C) APILAR(C,A)

106

ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

Para satisfacer SOSTENER(C) se pueden usar COGER(C) y DESAPILAR(C,x), donde x es cualquier bloque. No podemos saber cuál escoger, por lo que creamos dos ramas del árbol de búsqueda:

(1) (2) ENMESA(C) ENCIMA(C,x) DESPEJAR(C) DESPEJAR(C) BRAZOVACIO BRAZOVACIO ENMESA(C) y DESPEJAR(C) y ENCIMA(C,x) y DESPEJAR(C) y

BRAZOVACIO BRAZOVACIO COGER(C) DESAPILAR(C,x) DESPEJAR(A) y SOSTENER(C) DESPEJAR(A) y SOSTENER(C) APILAR(C,A) APILAR(C,A) ENCIMA(B,D) ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

Observe que en la pila (2) x aparece tres veces. Es importante emparejar un mismo objeto con cada una de las x. Por eso es mejor renombrarlas para no confundirse. ¿Cómo el programa decide por dónde seguir?. Nosotros sabemos que COGER(C) es mejor que desapilarlo si C no tiene nada encima, pues para desapilarlo hay que apilarlo, lo que implica una pérdida de esfuerzo. Supongamos que se escoge la alternativa (2). Para satisfacer ENCIMA(C,x) hay que apilar C sobre x. La pila sería:

DESPEJAR(x) SOSTENER(C) DESPEJAR(X) y SOSTENER(C) APILAR(C,x) DESPEJAR(C) BRAZOVACIO ENCIMA(C,x) y DESPEJAR(C) y BRAZOVACIO DESAPILAR(C,x) DESPEJAR(A) y SOSTENER(C) APILAR(C,A) ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

Una de las precondiciones de APILAR es SOSTENER(C). Esto es lo que estamos intentando conseguir aplicando DESAPILAR, que requiere APILAR para que se cumpla ENCIMA(C,x). Como hemos regresado a la meta original, este camino es improductivo. Si C hubiese estado sobre otro bloque, se satisface ENCIMA(C,x) sin APILAR y este camino hubiera conducido a una solución. Regresemos, entonces, a la pila (1). ENMESA(C) y DESPEJAR(C) se satisfacen y los quitamos de la pila. Para hacer cierto BRAZOVACIO se puede aplicar APILAR(B,x) o DEJAR(B). Si miramos hacia delante queremos, en último término,

107

poner B sobre D, luego lo más eficiente es hacerlo ahora. El programa podría hacer esto comparando los operadores que están compitiendo con el resto de la pila. Si uno hace alguna de estas metas se escoge éste. Luego aplicamos APILAR(B,D) emparejando a D con x en APILAR. La pila de metas es ahora:

DESPEJAR(D) SOSTENER(B) DESPEJAR(D) y SOSTENER(B) APILAR(B,D) ENMESA(C) y DESPEJAR(C) y BRAZOVACIO COGER(C) DESPEJAR(A) y SOSTENER(C) APILAR(C,A) ENCIMA(B,D) ENCIMA(C,A) y ENCIMA(B,D) y EMAD

Como puede verse DESPEJAR(D) y SOSTENER(B) son ciertas. Se realiza, entonces, APILAR(B,D) y el modelo del mundo es ahora:

ENMESA(A) y ENMESA(C) y ENMESA(D) y ENCIMA(B,D) y BRAZOVACIO

Ya se han satisfecho todas las precondiciones para COGER(C) y se ejecuta. Luego se ejecuta APILAR(C,A). Ahora se empieza a trabajar con la segunda parte: ENCIMA(B,D). Pero ésta ya se satisface, pues anteriormente comparamos con la pila de metas, luego comprobamos la meta combinada y el resolutor de problemas termina, devolviendo el plan:

DESAPILAR(B,A), APILAR(B,D), COGER(C) y APILAR(C,A).

Para problemas más difíciles estos métodos de usar información heurística y de considerar interacciones entre metas no son adecuados. Veamos un ejemplo: Supongamos se tienen los estados inicial y meta mostrados en la figura 3.18.

Estado inicial Estado meta

A C B A B C Estado inicial: ENCIMA(C,A) ∧ ENMESA(A) ∧ ENMESA(B) ∧ BRAZOVACIO Estado meta: ENCIMA(A,B) ∧ ENCIMA(B,C)

Fig. 3.18. Un ejemplo del mundo de bloques ligeramente más difícil. Existen dos formas de comenzar a resolver este problema:

(1) (2)

108

ENCIMA(A,B) ENCIMA(B,C) ENCIMA(B,C) ENCIMA(A,B) ENCIMA(A,B) y ENCIMA(B,C) ENCIMA(A,B) y ENCIMA(B,C)

Supongamos elegimos la alternativa (1). La pila de metas es la siguiente: DESPEJAR(C) BRAZOVACIO DESPEJAR(C) y BRAZOVACIO DESAPILAR(C,A) BRAZOVACIO DESPEJAR(A) y BRAZOVACIO COGER(A) DESPEJAR(B) y SOSTENER(A) APILAR(A,B) ENCIMA(B,C) ENCIMA(A,B) y ENCIMA(B,C)

Podemos eliminar de la pila las metas que ya han sido satisfechas y llegamos a BRAZOVACIO de COGER(A). Para satisfacerla necesitamos DEJAR(C). Podemos continuar quitando elementos hasta que la pila sea:

ENCIMA(B,C) ENCIMA(A,B) y ENCIMA(B,C)

El estado actual es ahora:

ENMESA(B) y ENCIMA(A,B) y ENMESA(C) y BRAZOVACIO y la secuencia de operadores aplicada hasta ahora es:

DESAPILAR(C,A), DEJAR(C), COGER(A) y APILAR(A,B).

Se comienza a trabajar con ENCIMA(B,C). Para esto hay que desapilar A de B y apilar B sobre C. Cuando se alcance la meta ENCIMA(B,C) y se saque de la pila, se habrá ejecutado la secuencia de operadores siguientes:

DESAPILAR(A,B), DEJAR(A), COGER(B) y APILAR(B,C)

El estado del problema será entonces:

ENCIMA(B,C) y ENMESA(A) y ENMESA(C) y BRAZOVACIO

Pero al comprobar ENCIMA(A,B) y ENCIMA(B,C) descubrimos que hemos deshecho ENCIMA(A,B), la cual puede alcanzarse de nuevo aplicando COGER(A) y APILAR(A,B). El plan completo es el siguiente:

1- DESAPILAR(C,A) 6- DEJAR(A)

109

2- DEJAR(C) 7- COGER(B) 3- COGER(A) 8- APILAR(B,C) 4- APILAR(A,B) 9- COGER(A) 5- DESAPILAR(A,B) 10- APILAR(A,B)

Aunque este plan alcanza la meta deseada no lo hace eficientemente. Una situación similar hubiera ocurrido de coger la alternativa (2). Existen dos enfoques para llegar a un buen plan. Uno es repararlo, lo cual es fácil aquí, pues podemos buscar aquellos lugares donde se realiza una operación que se deshace inmediatamente y eliminar a ambas. En el ejemplo, eliminaremos 4 y 5 y luego 3 y 6. El plan resultante es óptimo para este problema. Sin embargo, hay problemas donde estos operadores pueden estar lejos unos de otros, además de que se gasta mucho esfuerzo en producir los pasos para después eliminarlos. Un método de planificación que construye directamente planes eficientes es la planificación no lineal usando un conjunto de metas.

3.5.2. Planificación no lineal usando un conjunto de metas. La idea de este procedimiento es escoger, en primer lugar, el operador que se aplicará último en la solución final y suponer que ya se han satisfecho todas las submetas menos una. Entonces encuentra todos los operadores que podrán satisfacer la submeta final. Naturalmente, cada una de ellas puede tener precondiciones que deben cumplirse, de forma que debe generarse una nueva meta combinada que incluya tanto esas precondiciones como las metas originales. Este procedimiento suele generar un árbol de búsqueda bastante frondoso, pues debe considerar todas las diferentes ordenaciones de las submetas, así como todas las formas en que podría satisfacerse una meta dada. Afortunadamente, por otra parte, muchos de los caminos pueden eliminarse con bastante rapidez. Apliquemos este procedimiento al problema de la figura 3.18. En el primer nivel consideramos dos candidatos para el último operador a realizar. La última cosa a hacer puede ser poner A sobre B o poner B sobre C. Si escogemos poner B sobre C, entonces las precondiciones para esa operación, así como el predicado ENCIMA(A,B) deben ser todos ciertos antes de la operación. Pero el brazo sólo puede sostener un bloque, de forma que no puede sostener B si A está sobre B. Esta inconsistencia puede detectarse mediante un demostrador de teoremas por resolución. Este camino inconsistente puede podarse, de forma que nos quedemos con un solo candidato. Así se analiza todo el problema. Una porción del árbol de búsqueda para este problema usando este método de planificación se muestra en la figura 3.19.

110

Fig. 3.19. Porción del árbol de búsqueda para el problema de la fig. 3.18.

Limitaciones de este algoritmo: - Si las submetas no interaccionan, no tiene importancia el orden en que se

lleven a cabo los pasos de una de ellas con respecto a los pasos de la otra. Entonces todas las permutaciones posibles parecerán razonables y no se podará ninguna, generándose un árbol muy grande. Necesitamos una forma de evitar considerar la mayoría de secuencias de solución, ya que son permutaciones unas de otras, por lo que cualquiera de ellas es adecuada. Este problema se resuelve con el método de planificación no lineal usando la estrategia del menor compromiso.

- Debido a que este método no tiene manera de distinguir entre metas importantes y triviales, puede perder mucho tiempo en los detalles de un plan que podemos descubrir luego que es completamente inadecuado. Para resolver esto, necesitamos un planificador que empiece trazando un plan que satisfaga la parte principal de la meta y llene a continuación los detalles conforme se vayan necesitando. Este método es, precisamente, la planificación jerárquica.

3.5.3. Planificación jerárquica. Para resolver problemas difíciles, un resolutor de problemas puede tener que generar planes largos. Para hacerlo eficientemente, es importante poder eliminar algunos de los detalles del problema hasta haber encontrado una solución a los puntos principales. Entonces puede realizarse un intento de llenar los detalles apropiados. Con este método se resuelve, primeramente, el problema completo, considerando sólo aquellas precondiciones cuyo valor crítico sea el más elevado posible. Estos valores reflejan la dificultad esperada al satisfacer la precondición. Para realizar esto, deben seguirse exactamente los mismos pasos que seguía STRIPS, pero ignorar simplemente las precondiciones inferiores a los puntos críticos; luego se usa el plan construido como un esbozo del plan completo y se consideran las pre-condiciones del siguiente nivel crítico. Continuamos este proceso de considerar

ENCIMA(A ,B)

ENCIMA (B,C)

DESPEJAR (B)

SOSTENER(A)

ENCIMA (B,C)

DESPEJAR (C)

SOSTENER (B)

ENCIMA (A,B)

111

precondiciones cada vez menos críticas hasta haber considerado todas las precondiciones de las reglas originales. Evidentemente, la asignación de valores críticos apropiados es crucial para el éxito de este método. Aquellas precondiciones que no pueda satisfacer ningún operador son, evidentemente, las más críticas. Por ejemplo, si estamos intentando resolver un problema que atañe a un robot que se mueve por una casa y estamos considerando el operador PASARPUERTA, la precondición de que exista una puerta grande para que el robot pueda pasar a través de ella es altamente crítica, pues si no existe, no podemos hacer nada. Sin embargo, la precondición de que la puerta esté abierta es poco crítica si disponemos del operador ABREPUERTA. Dando los valores críticos a las reglas STRIPS, el proceso básico funciona de manera similar a como lo hacen los planificadores no jerárquicos. Hay otras técnicas de planificación como:

- Planificación no lineal usando la estrategia del menor compromiso. - Planificación por medio de colocación de restricciones. - Planificación mediante tablas de triángulos. - Metaplaneo. - Cajas de plan.

Pueden verse explicaciones de ellas en Rich. 3.5.4. Aplicaciones prácticas de la planificación. Algunos planificadores han obtenido resultados convincentes en diversos dominios. Por ejemplo:

DEVISER: en la planificación de actividades espaciales. GARI: en el maquinado de piezas mecánicas. ISIS: en manufactura. KNOBS: en misiones tácticas de fuerzas aéreas.

Ejemplos de planificadores no jerárquicos son STRIPS, HACKER e INTERPLAN. Entre los jerárquicos podemos mencionar ABSTRIPS, que elabora sus planes bajo un esquema de jerarquía en espacios de abstracción, en donde el más alto en jerarquía contiene un plan carente de detalles irrelevantes y el de más baja jerarquía contiene una secuencia completa y detallada de operadores de resolución de problemas. Otros jerárquicos son NOAH, el cual hace abstracción de los operadores de solución de problemas y MOLGEN, que hace abstracción tanto de los operadores como de los objetos en el espacio de problemas.

112

3.6. Teoría de juegos. Los juegos tienen para muchos una inexplicable fascinación, y la idea de que los computadores pudieran jugar ha existido al menos desde que éstos existen. El famoso arquitecto de computadoras Charles Babbage, antes de tiempo, pensó en programar su Máquina Analítica para jugar al ajedrez, y más tarde pensó construir una máquina para jugar al titafor. Dos de los pioneros de la ciencia de la información y de la computación contribuyeron a la incipiente literatura de juegos por computadora: Claude Shannon escribió un artículo en el que describía mecanismos que podían usarse en un programa que jugase al ajedrez y unos años después, Alan Turing describió un programa para este juego, aunque nunca lo construyó. Al principio de los 60, Arthur Samuel tuvo éxito al construir el primer programa importante y operacional para jugar. Su programa jugaba a las damas y, además de jugar las partidas, podía aprender de sus errores y mejorar su actuación. Había dos razones para que los juegos pareciesen ser un buen dominio en el cual explorar la inteligencia de la máquina:

- Proporcionan una tarea estructurada en la que es muy fácil medir el éxito o el fracaso.

- No es obvio que requieran gran cantidad de conocimientos. Se pensó que se podrían resolver por búsqueda directa a partir del estado inicial hasta la posición ganadora.

La primera de esas razones es aún válida, pero la segunda no es cierta para juegos no muy sencillos. Por ejemplo en el problema del ajedrez, se tienen los siguientes datos:

- Factor de ramificación promedio: aproximadamente 35. - En un juego promedio, cada jugador podría hacer 50 movimientos. - Para examinar el árbol completo, hay que examinar 35100 posiciones.

Por lo tanto, es evidente que un programa que realice una simple búsqueda directa del árbol de juego, no podrá seleccionar ni siquiera su primer movimiento durante el período de vida de su oponente. Es necesaria alguna clase de procedimiento de búsqueda heurística. Una manera de ver todos los procedimientos de búsqueda estudiados es que son de generar-y-comprobar. En un extremo, el generador propone soluciones completas y el comprobador las evalúa. En el otro extremo, el generador genera movimientos individuales del espacio de búsqueda, cada uno de los cuales se evalúa por el comprobador, eligiendo el más prometedor de ellos. Para mejorar la efectividad de un programa resolutor de problemas basado en la búsqueda existen dos opciones:

- Mejorar el procedimiento de generación, de forma que se generen sólo buenos movimientos o caminos.

- Mejorar el procedimiento de comprobación para que sólo se reconozcan y exploren los mejores movimientos o caminos.

113

En los programas de juegos es particularmente importante que se hagan ambas cosas. Naturalmente en ellos, como en otros dominios de problemas, la búsqueda no es la única técnica disponible. Por ejemplo, en el ajedrez tanto las aperturas como los finales están casi siempre altamente estudiados, de manera que se juega mucho mejor consultando una tabla en una B.D. que almacene modelos comprobados. Así, para jugar un juego completo pueden combinarse ambas técnicas. Desafortunadamente, para juegos como el ajedrez, no es posible buscar hasta encontrar el estado meta, ni aún disponiendo de un buen generador de movimientos plausibles. En la cantidad de tiempo disponible, sólo es posible buscar menos de 10 movimientos en el árbol (llamados capas en la literatura de juegos). Así, para elegir el mejor movimiento, se utiliza una función de evaluación estática, que usa toda la información disponible para evaluar posiciones individuales del tablero, estimando la probabilidad de que conduzcan a la victoria. Su función es similar a la de h* en el algoritmo A*. Naturalmente, la fun-ción de evaluación estática puede aplicarse, simplemente, a las posiciones generadas por los movimientos propuestos. Pero, como es difícil producir una función realmente buena, es mejor aplicarla tantos niveles hacia abajo en el árbol de juego como el tiempo lo permita. Por ejemplo, Turing propuso una función de evaluación estática para el ajedrez que se basaba en la ventaja de piezas: sumar los valores de las piezas negras (N), los valores de las piezas blancas (B) y calcular B/N. Samuel propuso otra para las damas que consistía en una combinación lineal de funciones simples. Estas funciones consideraban la ventaja de piezas, la capacidad de avance, el control del centro, amenazas dobles y movilidad. A cada una de ellas se le asignaba un peso: C1*ventajapiezas + C2*avance + C3*controlcentro + ..., pero Samuel no conocía los pesos correctos. Para ello usó un mecanismo simple de aprendizaje, en el que se incrementaban los pesos de aquellas componentes que habían sugerido movimientos que condujeron a victorias y decrementaba los que condujeron a derrotas. Pero esto no es fácil, pues pudimos hacer un movimiento muy malo y después el oponente realizar un error y nosotros ganar el juego, por lo que no podemos dar crédito de nuestra victoria a esta jugada mala. No obstante, el programa de Samuel era capaz de derrotar a su creador de vez en cuando. Otra función de evaluación estática para el juego de damas podría ser: 0.7*(MD-DO) + 0.3*(MP-PO), donde MD y DO son el número de damas nuestras y del oponente, respectivamente y MP y PO es la cantidad de las restantes piezas nuestras y del oponente, respectivamente. Hemos discutido las dos componentes importantes de un buen programa de juegos: un buen generador de movimientos plausibles y una buena función de evaluación estática. Ambas deben incorporar gran cantidad de conocimientos sobre el juego concreto que se está jugando. Pero, a menos que estas funciones sean perfectas, también necesitamos un procedimiento de búsqueda que haga posible prever tantos movimientos como sea posible para ver lo que podría ocurrir. Para juegos unipersonales simples puede usarse el algoritmo A*, pero para juegos bipersonales esto es imposible.

114

3.6.1. Conceptos principales. En esta sección sólo consideraremos los juegos entre dos personas con información completa, o sea, los juegos en que los jugadores realizan jugadas alternadamente y ambos conocen completamente lo que han hecho y pueden hacer, pues cada movimiento conduce a un conjunto de estados completamente predecible, como por ejemplo, el ajedrez, las damas, el titafor, etc. No tendremos en cuenta los juegos de azar. La teoría de los juegos es una disciplina, en la cual el objeto de sus investigaciones son los métodos de toma de decisión en las llamadas situaciones de conflicto. La situación se llama de conflicto si en ella chocan los intereses de varias, habitualmente dos, personas que persiguen objetivos opuestos. Imagínese que se quiere jugar una partida de ajedrez con las blancas pero no podemos estar presentes personalmente durante el juego. Se tiene un sustituto que debe desarrollar la partida y cumplir todas las indicaciones, pero él no sabe jugar bien al ajedrez y no es capaz de tomar decisiones independientes. Para que el sustituto pueda desarrollar toda la partida hasta el final, deben dársele tales indicaciones que prevean cualesquiera posiciones posibles en el tablero y determinen para cada posición la jugada que debe hacerse. El sistema completo de estas indicaciones es lo que se conoce como estrategia. La estrategia del jugador constituye la descripción unívoca de su elección en cada situación posible en la que él debe hacer una jugada. Para comprender los principios que constituyen el fundamento de la elección de su estrategia por cada jugador, examinemos un estado particular del juego entre dos personas, en el cual el jugador A puede emplear las estrategias X1, X2, X3 y X4, mientras que el jugador B puede emplear Y1, Y2, Y3 y Y4. Las ganancias que puede alcanzar el jugador A se muestran en la tabla siguiente:

Y1 Y2 Y3 Y4 A(X) X1 7 2 5 1 1 X2 2 2 3 4 2 X3 5 3 4 4 3* X4 3 2 1 6 1 B(Y) 7 3* 5 6

Supongamos que el primer jugador elige la estrategia Xk. La ganancia L(Xk,y) va a depender de la estrategia que elija el segundo jugador. Por ejemplo, con la estrategia X1 las ganancias de A pueden ser 7, 2, 5 ó 1. Esto indica que, independientemente de la respuesta de B a la estrategia X1, la ganancia nunca será menor que 1.

115

L(X1,y)={7,2,5,1} representa la ganancia del primer jugador con la estrategia X1.

Generalizando los razonamientos expuestos vemos que si el jugador A emplea la estrategia Xk, asegura una ganancia A(Xk) igual al menor elemento del conjunto L(Xk,y): A(Xk)=min L(Xk,y) y

En la teoría de juegos se supone que los jugadores obran con suficiente cuidado evitando el riesgo infundado. En este caso, el primer jugador debe elegir la estrategia que maximice A(X). Designando la ganancia garantizada del primer jugador por ALFA y llamándole precio puro inferior del juego, se obtiene: ALFA= max A(x) = max min L(x,y) x x y

En la tabla el valor ALFA está marcado en la columna A(x) por un asterisco (*). Pueden realizarse razonamientos análogos con respecto al segundo jugador. Pero, en este caso, la matriz del juego indica las pérdidas, las que él trata de hacer mínimas. B(Yk)=max L(x,Yk) x Para asegurarse la pérdida menor, el jugador B debe minimizar B(Y). Designando la magnitud de la pérdida por BETA y llamándole precio puro superior del juego, se obtiene: BETA= min B(y) = min max L(x,y) y y x

El valor BETA está marcado con un asterisco en la fila B(y) de la tabla.

3.6.2. La partida como un árbol. Cada partida puede ser representada como un árbol. Como estudiamos en la sección 3.2.1.1, el árbol de juego representa los cursos alternativos que puede tomar dicho juego. Los nodos de tales árboles corresponden a situaciones del juego y los arcos a movimientos. La situación inicial del juego es el nodo raíz y las hojas del árbol corresponden a posiciones terminales. Usando esta representación y considerando que, como se vio en la sección anterior, se puede en cada momento calcular los precios inferior y superior del juego de modo que cada jugador pueda seleccionar la estrategia mejor, el procedimiento a seguir puede basarse en que en cada nivel del árbol se calculen estos precios. Esto garantiza poder decidir por qué rama del árbol en ese momento conviene que el jugador tome. El problema principal es cómo calcular esos precios, para lo cual hay dos variantes. Los precios pueden ser calculados como un estimado a priori de cuán bueno es un estado del juego sin tener en

116

cuenta la bondad de los estados futuros. La otra variante es considerar, al calcular el precio de un estado, sus consecuencias futuras. Obviamente, la segunda vía resulta mejor. Esta última variante presupone generar, a partir de una situación dada que se considerará el nodo inicial, los nodos sucesores de éste hasta cierto nivel de profundidad, para lo cual se pueden usar los métodos de búsqueda ya estudiados. El nivel de profundidad al que se realiza el corte puede ser llegar a una posición final, pero esto sólo es posible en juegos muy simples. Si los nodos hojas no corresponden a posiciones finales es necesario calcular el precio de éstos y propagar los mismos hasta el nodo inicial para entonces aplicar el criterio de los precios superior e inferior por cada jugador. El objetivo al usar un árbol de búsqueda es encontrar un buen primer movimiento, para lo cual generamos un árbol hasta cierta profundidad, la cual estará determinada por ciertas condiciones de terminación basadas en diversos factores, como por ejemplo, un límite de tiempo, límite de almacenamiento, profundidad, etc. Después de terminar la generación del árbol de búsqueda, el cual se diferencia del árbol de juego en que solamente está formado por una parte de éste, se tiene que hacer un estimado del mejor primer movimiento. Este estimado puede hacerse aplicando una función de evaluación estática a los nodos hojas del árbol, la cual mida la bondad de la posición representada en el nodo hoja y luego propagar estos valores hasta el nodo en que es necesario tomar la decisión. Seguidamente se presentan dos procedimientos para hacer esto.

3.6.3. Procedimientos de tomas de decisiones en el juego. 3.6.3.1 Procedimiento MINIMAX. Este procedimiento consiste en lo siguiente: se genera el árbol de búsqueda, tomando como nodo inicial determinada situación de conflicto, o sea, a partir de una posición dada usando el generador de movimientos plausibles, se genera un conjunto de posiciones sucesivas posibles. Luego se evalúan los nodos hojas según algún estimador heurístico, el cual estima las oportunidades de ganar de algún jugador (función de evaluación estática). Este valor representa la bondad de la situación representada en el nodo para uno de los dos jugadores y, a la vez, da una medida de cuán mala es esa situación para el otro. Como uno de los jugadores tratará de alcanzar una posición de alto valor y el otro de un valor bajo, los jugadores son llamados MAX y MIN respectivamente. Cuando MAX juegue, él seleccionará un movimiento que maximice el valor. Por el contrario, MIN seleccionará un movimiento que minimice el valor. Es usual, en el análisis, adoptar el convenio de que posiciones favorables para MAX sean indicadas por valores positivos de la función de evaluación, mientras que posiciones favorables para MIN causen valores negativos y valores cercanos a cero correspondan a posiciones no favorables a ninguno de los jugadores. Teniendo en cuenta estas ideas se puede realizar el proceso de propagación de los valores calculados para los nodos terminales hacia posiciones superiores en el árbol. Supóngase que se van a evaluar los nodos del penúltimo nivel del árbol, o sea, el nivel en que están los nodos cuyos sucesores corresponden a nodos

117

terminales y por eso ya evaluados usando la función de evaluación. Si esos nodos corresponden a una situación en la cual le toca jugar a MAX lo llamaremos MAX-nodo y se le asignará como valor el máximo de las evaluaciones de sus nodos sucesores. Si, por el contrario, corresponden a una situación en la cual está MIN en posición de jugar lo llamaremos MIN-nodo y el valor asignado será igual al mínimo de la evaluación de los nodos sucesores. Se continúan propagando valores nivel a nivel hasta que finalmente se evalúan los nodos sucesores del nodo inicial. Estamos asumiendo que a MAX le toca jugar al inicio, de modo que MAX debe seleccionar como su primer movimiento el que corresponde al sucesor con mayor valor. Esta regla puede ser formalizada de la forma siguiente: denotemos el valor estáti-co de una posición P por v(P) y el valor propagado por V(P). Sean P1,..,Pn las posiciones sucesoras de P. V(P)= v(P) Si P es una posición terminal en el árbol de búsqueda (n=0). V(P)= max V(Pi) Si P es una posición en la que a MAX le toca jugar. i

V(P)= min V(Pi) Si P es una posición en la que a MIN le toca jugar. i Analicemos un ejemplo: Supongamos una función de evaluación estática que devuelve un rango de valores desde -10 a 10, con 10 indicando una victoria para nosotros, -10 para el oponente y 0 para empate. En la figura 3.18, como nuestra meta es maximizar V(Pi), elegimos movernos hacia B, llevando de regreso el valor de B hasta A. Podemos concluir, entonces, que el valor de A es 8, pues nos permite movernos hacia una posición con este valor. Pero como sabemos que la función de evaluación estática no es precisa, es mejor guiar la búsqueda más allá de una sola capa. Hagámoslo en 2 capas. En lugar de aplicar la función de evaluación estática en B, C y D, aplicamos en cada una de ellas el generador de movimientos plausibles, produciendo el conjunto de posiciones sucesoras de cada una de ellas. Aplicando a estas posiciones la función de evaluación estática obtenemos la figura 3.19. Ahora debemos tener en cuenta que es al oponente al que le toca decidir. Supongamos que hacemos el movimiento B. Entonces el oponente debe elegir entre E, F y G. El elige F, pues trata de minimizar el valor de la función estática. Por tanto, si elegimos B desembocamos en una posición muy mala para nosotros. La figura 3.20 muestra el resultado de propagar los nuevos valores hacia la raíz del árbol.

(8) (3) (-2) (9) (-6) (0) (0) (-2) (-4) (-3) Fig.3.20 Búsqueda en una capa Fig. 3.21 Búsqueda en dos capas

A

D C B

A

B C D

E F G H I J K

118

(-2) (-6) (-2) (-4) (9) (-6) (0) (0) (-2) (-4) (-3) Fig. 3.22 Propagación hacia atrás de los valores La maximización y minimización en capas alternas cuando las evaluaciones se envían de regreso a la raíz, corresponden a las estrategias opuestas de ambos jugadores y da a este método el nombre de MINIMAX. Una manera de implementar este procedimiento es la siguiente:

Entrada: Posición actual y el jugador que le toca jugar, ya sea MIN o MAX. Salida: La jugada a realizar o el resultado del juego. 1) Si la posición es terminal para el juego, RETORNAR EL RESULTADO DEL

JUEGO, relativo al jugador que le toca jugar. 2) Si le toca jugar a MIN, entonces:

a) Generar los sucesores de la posición actual. b) Aplicar MINIMAX a cada una de estas posiciones, considerando que al

jugador MAX le toca jugar. c) RETORNAR EL MINIMO DE ESTOS RESULTADOS.

3) Si le toca jugar a MAX, entonces: a) Generar los sucesores de la posición actual. b) Aplicar MINIMAX a cada una de estas posiciones, considerando que al

jugador MIN le toca jugar. c) RETORNAR EL MAXIMO DE ESTOS RESULTADOS.

Una implementación de este procedimiento en PROLOG puede verse en [Bra86].

3.6.3.2 Procedimiento alfa-beta. Supongamos que el factor de ramificación para el juego del ajedrez es 20 y que el nivel de profundidad a explorar es 6 (3 para cada jugador). Entonces, tendremos que evaluar estáticamente 3 200 000 hojas y aplicar el procedimiento MINIMAX a 168 421 nodos intermedios. Suponiendo que se realizan 160 000 evaluaciones por segundo, se necesitarían 22 segundos para analizar 3 movimientos. Extendiendo esta búsqueda a 3 1/2 movimientos, el tiempo se incrementa a 422 segundos, o sea, 7 minutos. Cada jugador sólo puede consumir 3 minutos en cada jugada, por lo que aplicar este procedimiento se hace impracticable. El procedimiento MINIMAX separa completamente el proceso de generación del árbol de búsqueda de la evaluación de la posición. Esta separación lleva a que éste sea ineficiente, pues usualmente no es necesario visitar todas las posiciones

A

B C D

E F G H I J K

Capa minimizante

Capa maximizante

119

en el árbol para calcular correctamente el valor minimax de la posición raíz. Esta deficiencia puede ser reducida considerablemente si se ejecuta la evaluación de los nodos terminales y el cálculo de los valores propagados simultáneamente con la generación del árbol. Esta mejora se basa en la idea siguiente: supongamos que hay dos movimientos alternativos y uno de ellos muestra que es claramente inferior al otro, por lo que no es necesario, entonces, conocer cuán inferior es para tomar la decisión correcta. (>3)

(3) (>-5) (3) (5) (-5) Fig. 3.23 Un ejemplo de árbol de búsqueda para la poda alfa-beta Considerando el árbol de búsqueda de la figura 3.23, supongamos que un nodo terminal se evalúa tan pronto como éste es generado y que se propague su valor en cuanto se pueda. Después de examinar a F, sabemos que el oponente tiene garantizado un tanteo de -5 o menos en C. Pero, como tenemos garantiza-do un tanteo de 3 en A si nos movemos por B, no necesitamos explorar el nodo G. Naturalmente, el podar un nodo puede parecer que no justifique el gasto de grabar los límites y examinarlos, pero si estuviésemos explorando un árbol de 6 niveles, entonces no sólo habríamos eliminado un nodo único sino un árbol entero de tres niveles de profundidad. Esta estrategia modificada se llama poda alfa-beta. Requiere el mantenimiento de dos valores umbrales: uno que representa la cota inferior del valor que puede asignarse en último término a un nodo maximizante, que llamaremos ALFA, y otro que represente la cota superior que puede asignarse a un nodo minimizante, que llamaremos BETA.

Capa maximizante Alfa=3 Beta=5 Capa minimizante 7>5 (3) (5) (4) Capa maximizante (5) (7) (8) Capa minimizante (0) (7) Fig. 3.24. Atajos alfa-beta.

A

B C

D E F G

H

I J NM

K L

A

B C

D E F G

Capa minimizante

Capa maximizante

120

Al realizar la búsqueda representada en la figura 3.24, se explora el árbol entero encabezado por B, y descubrimos que en A podemos esperar un tanteo de 3 como mínimo (ALFA=3). Cuando este valor ALFA se pasa a F nos permite podar L. Veamos por qué. Después de examinar a K, vemos que I proporciona un tanteo máximo de 0, lo que significa que F produce un mínimo de 0, pero esto es menor que el valor ALFA de 3, por lo que no necesitamos explorar más ramas de I. El jugador maximizante sabe que no debe elegir C e I a partir de C, pues ir por B es mejor. Después se examina J que produce un valor de 5 y se le asigna a F, ya que 5 > 0. Este valor se convierte en el valor BETA del nodo C y nos garantiza que el valor de C será 5 o menos. A continuación se expande G y se examina primero M con un valor de 7. Pero ahora se compara 7 con el valor BETA. Como es mayor y el jugador que tiene el turno del nodo C está tratando de minimizar, entonces ese jugador no elegirá G, que conduce a un tanteo de 7 como mínimo, puesto que puede irse por F. Por tanto, no es necesario explorar ninguna de las otras ramas de G. Esta reducción en el esfuerzo de la búsqueda fue alcanzada manteniendo las pistas de las cotas sobre los valores propagados. En general, como los sucesores de un nodo van produciendo nuevos valores, las cotas pueden ser modificadas, pero:

- los valores ALFA de los nodos MAX no pueden decrecer, y - los valores BETA de los nodos MIN no pueden crecer.

Debido a estas restricciones podemos enunciar las reglas siguientes para podar la búsqueda:

a) Puede podarse debajo de cualquier nodo MIN que tenga un valor BETA menor o igual al valor ALFA de sus nodos MAX padres. El valor final propagado de este nodo MIN será entonces el valor BETA. Este valor puede no ser el mismo que el obtenido por una búsqueda MINIMAX completa, pero su uso trae por consecuencia que se seleccione el mismo mejor movimiento.

b) Puede podarse debajo de cualquier nodo MAX que tenga un valor ALFA mayor o igual al valor BETA de cualquiera de sus nodos MIN padres. El valor final propagado de este nodo MAX será entonces el valor ALFA.

Cuando la búsqueda se interrumpe por la regla a) se dice que ocurrió un corte alfa. Si, por el contrario, fue por la regla b) se dice que ocurrió un corte beta. Empleando el procedimiento alfa-beta siempre se realiza un movimiento que es tan bueno como podría haber sido encontrado por el procedimiento MINIMAX, buscando a la misma profundidad pero realizando mucha menos búsqueda. Para ejecutar una poda ALFA-BETA, al menos alguna parte del árbol de búsqueda tiene que ser generado a la profundidad máxima, porque los valores ALFA y BETA se basan en los valores estáticos de los nodos terminales. Por eso, algún tipo de búsqueda primero en profundidad se emplea usualmente al utilizar este procedimiento. Además, la cantidad de cortes que pueden ser hechos durante una búsqueda depende del grado en que los valores ALFA y BETA iniciales aproximen los valores

121

propagados finalmente. El valor final propagado del nodo inicial es idéntico al valor estático de alguno de los nodos terminales. Si este nodo terminal es el primero que se alcanza en la búsqueda primero en profundidad, la cantidad de cortes sería máxima, lo cual provoca que se generen y evalúen una cantidad mínima de nodos hojas. En este procedimiento el número de hojas estáticamente evaluadas es aproximadamente 2bd/2, donde b es el factor de ramificación y d la profundidad del árbol de búsqueda. Si utiliza MINIMAX, hay que evaluar todas las bd hojas. Por lo tanto, utilizando el procedimiento alfa-beta, podemos explorar el doble de la profundidad del árbol con el mismo número de evaluaciones. Si el orden de las ramas del árbol fuera, exactamente, el inverso del correcto, entonces el procedimiento alfa-beta no ahorraría nada. Una manera de implementar este procedimiento es la siguiente:

Entrada: Posición actual, el jugador que le toca jugar, ya sea MIN o MAX, ALFA, BETA, el nivel actual de búsqueda (NIVEL) y la profundidad máxima de búsqueda (MAXPROF).

Salida: La evaluación estática de la posición actual. 1) Si NIVEL = MAXPROF, entonces calcular la función de evaluación estática

en la posición actual y RETORNAR EL RESULTADO. 2) Si al jugador MIN le toca jugar, entonces:

a) Generar una lista de Sucesores de la posición actual. b) Si ALFA > BETA o Sucesores está vacía, entonces TERMINAR y

RETORNAR BETA (poda ALFA). c) BETAc:= ALFA-BETA(Sucesores[1], MAX, ALFA, BETA, NIVEL + 1) d) BETA:= mín(BETA,BETAc) e) Eliminar el primer elemento de la lista Sucesores e ir al paso 2b).

3) Si al jugador MAX le toca jugar, entonces: a) Generar una lista de Sucesores de la posición actual. b) Si ALFA > BETA o Sucesores está vacía, entonces TERMINAR y

RETORNAR ALFA (poda BETA). c) ALFAc:= ALFA-BETA(Sucesores[1], MIN, ALFA, BETA, NIVEL + 1) d) ALFA:= máx(ALFA,ALFAc) e) Eliminar el primer elemento de la lista Sucesores e ir al paso 3b).

Una implementación de este procedimiento en PROLOG puede verla en [Bra86].

La efectividad de ALFA-BETA depende del orden en que se examinen los caminos. Si 1ro se ven los peores caminos no se hará ninguna poda. Pero si conociéramos el mejor camino no se haría ninguna búsqueda. No obstante, es de gran ayuda. Profundización iterativa. Se introdujo en CHESS 4.5 (Slate y Atkin 1977). En lugar de buscar en el árbol de juego con una profundidad fija comienza buscando en una sola capa y luego aplica la función de evolución estática. Entonces hace lo mismo para dos capas, tres, etc. Se llama así porque en cada iteración la búsqueda se hace más profunda. A 1ra vista parece un despilfarro pero tiene sus ventajas:

122

Debido a las restricciones de tiempo, cuando se considere fuera de tiempo, puede cortarse la búsqueda en cualquier momento. En una profundidad fija no puede estimarse el tiempo que se va a llevar.

Si se juzga que un movimiento es superior a sus hermanos en la iteración previa, puede buscarse en él 1ro en la próxima iteración. Con este ordenamiento la poda ALFA-BETA es más efectiva.

Se han desarrollado sistemas para jugar al ajedrez, damas, go, backgammon, poker, othello (tablero de 8x8 con cuadros de dos colores), bridge, dominó, go mo ku y corazones. 3.6.3.3. Refinamientos adicionales. Además de la poda alfa-beta existen otros refinamientos del procedimiento MINIMAX que mejoran su rendimiento: esperando el reposo, búsqueda secundaria y usar movimientos de libro. Esperando el reposo Consideremos el árbol de la figura 3.25 y supongamos que, al expandir el nodo B, obtenemos la figura 3.26. Nuestra estimación del nodo B cambió drásticamente, lo cual pudiera suceder, por ejemplo, en medio de un intercambio de piezas. Al iniciar dicho intercambio la situación del oponente ha mejorado. Si nos detenemos ahí, decidiremos que B no es un buen movimiento. Para asegurarnos de que tales medidas a corto plazo no influyan indebidamente en nuestra elección, deberíamos continuar la búsqueda hasta que no ocurra un cambio tan drástico de un nivel al siguiente. A esto se le llama esperar el reposo. Así podría obtenerse el árbol de la figura 3.27, donde B vuelve a ser un buen movimiento, pues ya se ha realizado la otra mitad del intercambio de piezas.

(-4) (0) (6) (0) (0) (-4) Fig. 3.25 Situación inicial. Fig. 3.26 Situación después de expandir el nodo B.

A

C B

A

B C

E F

123

(6) (0) (6) (7) (5) (6) (7) (6) Fig. 3.27 Situación obtenida al esperar el reposo. Búsqueda secundaria Otra forma de mejorar MINIMAX es realizar una doble comprobación del movimiento elegido, para asegurarnos de que no haya una trampa escondida unos cuantos movimientos más adelante de los que exploró la búsqueda original. Supongamos que elegimos un árbol de juego a profundidad 6 y escogemos un movimiento. Aunque habría sido costoso explorar el árbol completo a profundidad 8, no lo es buscar 2 niveles más en la única rama escogida, para asegurarnos de que es realmente buena. Esta técnica se llama búsqueda secundaria. Usar movimientos de libro En ajedrez, tanto la apertura como los finales, están altamente estilizados. El rendimiento de un programa puede mejorarse considerablemente si se le proporciona una lista de movimientos, llamados movimientos de libro, que deberían realizarse en dichos casos. Usando esta estrategia, conjuntamente con MINIMAX para el medio juego, se obtienen programas muy efectivos.

3.6.4. Limitaciones de MINIMAX. A pesar de todos los refinamientos estudiados, el procedimiento MINIMAX tiene las siguientes limitaciones:

- Susceptible del efecto horizonte. Supongamos, por ejemplo, que hacemos un intercambio de piezas en donde el oponente necesitará dos movimientos para capturar nuestra pieza. En su turno es casi seguro que el oponente realizará el primero de estos movimientos. Pero en nuestro turno podemos realizar un ataque en algún otro lugar y el oponente puede respondernos sin completar el intercambio de piezas y así sucesivamente, durante varias jugadas. Si la búsqueda se detiene en ese punto, nunca notaremos que la pérdida de una pieza nuestra es inevitable. Aunque la búsqueda hasta el reposo suele

Capa minimizante

Capa maximizante

Capa maximizante

A

B C

E F

G H I J

124

ayudarnos a evitar esto, aún es posible, dada la profundidad finita de cualquier búsqueda, arrastar algo importante más allá del horizonte, donde nunca sea notado.

- Se basa principalmente en el supuesto de que el oponente siempre elegirá el movimiento óptimo. Supongamos que estamos perdiendo la partida y que debemos elegir entre dos movimientos, uno de los cuales es ligeramente menos malo que el otro. Si realizando el movimiento más malo es más probable que el oponente cometa un error, nuestra jugada se convertiría en una muy buena. En situaciones similares es mejor correr el riesgo de que el oponente cometa el error. Sin embargo, en este caso el procedimiento MINIMAX no elegirá el movimiento deseado por nosotros. Para tomar correctamente estas decisiones, es importante tener acceso a un modelo del estilo de juego individual del oponente, de forma que pueda estimarse la probabilidad de los diversos errores que éste pudiera cometer. Pero esto es muy difícil de proporcionar.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1- Sea el problema del mundo de bloques mostrado en la figura 3.28. Suponga que se tiene definido el operador MOVER(x,y) donde x es un bloque y y puede ser un bloque o la mesa.

a) Represente el espacio de estados. b) ¿Cuál es el recorrido de la búsqueda primero en profundidad?. c) ¿Cuál es el recorrido de la búsqueda primero a lo ancho?. A A B C B C Estado inicial Estado final

Fig. 3.26. Un problema del mundo de bloques.

2- Trazar la ejecución del procedimiento generar del enfoque guiado por datos cuando se intenta determinar si N es divisible por 2 dada la siguiente base de reglas y la B.D. inicial que contiene los hechos N es divisible por 10 y N es divisible por 12.

Base de reglas

R1: Si X es divisible por 12, entonces X es divisible por 6. R2: Si X es divisible por 20, entonces X es divisible por 10. R3: Si X es divisible por 6, entonces X es divisible por 2. R4: Si X es divisible por 10, entonces X es divisible por 5.

125

3- Trazar la ejecución del procedimiento validar del enfoque guiado por objetivos cuando se intenta determinar si N es divisible por 2 dada la base de reglas del ejercicio anterior y la B.D. inicial que contiene los hechos N es divisible por 10 y N es divisible por 12. 4- Supongamos que los tres primeros pasos de la ejecución del algoritmo A* proporcionan la situación mostrada en la siguiente figura, donde A+B significa que el valor de g* en ese nodo es A y el valor de h* es B.

a) ¿Qué nodo se expandirá en el próximo paso?. b) ¿Podemos garantizar que se encontrará la mejor solución?. Paso 1 Paso 2 (1+4) (1+3) (1+4) (1+3) (2+4) Paso 3 (1+4) (1+3) (2+2) (2+4)

5- Supongamos que tenemos un problema que queremos resolver usando un procedimiento heurístico de búsqueda por el mejor nodo. Necesitamos decidir si representarlo como árbol o como grafo. Supongamos que sabemos que, en promedio, cada nodo distinto se generará A veces durante el proceso de búsqueda. Sabemos también que si usamos un grafo nos tomará, en promedio, la misma cantidad de tiempo el comprobar un nodo para ver si ya ha sido generado, que el que toma procesar B nodos si no se realiza ninguna comprobación. ¿Cómo podemos decidir si usar un grafo o un árbol?. 6- Consideremos el árbol de juego mostrado en la figura 3.27. Supongamos que el jugador A es maximizante.

a) ¿Qué movimiento debería elegir? b) ¿Qué nodos no haría falta examinar usando la poda alfa-beta?

A

C B

A

B C

D

A

B C

D E

126

7 6 8 5 2 3 0 2 6 2 5 8 9 2 7- Dos jugadores están frente a una pila de objetos. El primer jugador divide la pila original en dos pilas que no pueden tener la misma cantidad de elementos. Cada jugador alternadamente hace lo mismo. El juego continúa hasta que todas la pilas tengan uno o dos objetos, pues en este punto se hace imposible continuar. El jugador que primero no pueda jugar es el perdedor.

a) Construya el árbol de juego considerando que la pila inicial tiene 7 objetos. b) Si MIN es el primero en jugar, muestre cómo independientemente de lo que

éste haga en el transcurso del juego, MAX siempre gana. c) ¿Es la situación anterior cierta para cualquier cantidad de objetos en la pila

inicial? d) Defina una función de evaluación estática para este juego. e) Aplique los procedimientos MINIMAX y ALFA-BETA al juego.

8- Consideremos el sistema tipo STRIPS al que se le proporciona el conjunto de operadores siguientes:

PASAR-EXAMEN Precondición y Suprimir: IGUAL(grado,x) Añadir: DORMIR-TARDE ∧ IGUAL(grado,x-10) ESCRIBIR-ARTICULO Precondición: IGUAL(grado,x) Suprimir: IGUAL(grado,x) ∧ DORMIR-TARDE Añadir: IGUAL(grado,x+50) También se tienen los siguientes axiomas acerca de su universo: MAYOR(grado,80) ⇒ CAPAZ-DE-GRADUARSE MENOR(grado,80) ⇒ ¬ CAPAZ-DE-GRADUARSE

Supongamos que este sistema está intentando, dada la condición inicial grado = 70, satisfacer la meta DORMIR-TARDE y CAPAZ-DE-GRADUARSE. ¿Cómo podríamos resolverlo mediante el enfoque de planificación usando un conjunto de metas?.

A

B C D

E F G H I J K

L M N O P Q R S T U V W X Y

127

Bibliografía [Ric88]- Inteligencia Artificial , Elaine.Rich, 1ra edición. [Ric2da]-Inteligencia Artificial , Elaine.Rich, 2da edición. [Bell] Modelos Computacionales Avanzados. Rafael Bello. [Frenz]- Crash course for Artificial Intelligence and Expert Systems. Louis Frenzel. [BDSE] - Bases de Datos y Sistemas Expertos, Tomo II. [Ullm] - Data structures and algorithms, Aho, Hopcroft, Ullman. [Bra86] - Prolog programming for AI, Ivan Bratko, epígrafes 15.1,15.2,15.3

Resumen

En este capítulo el lector ha profundizado en los métodos de solución de problemas. Ha conocido los pasos para modelar un problema en I.A., así como las características de los distintos espacios de búsqueda. Ha aprendido además sobre los métodos de búsqueda de soluciones en problemas donde el conocimiento sobre su dominio esté representado en una de las formas estudiadas en el capítulo anterior. Estos métodos de búsqueda como: búsqueda a ciegas, búsqueda heurística, planificación y teoría de juegos, el lector debe saber aplicarlos en la solución de problemas y conocer sus limitaciones, ventajas y desventajas.