O V XC SUT - CH 1 1

Chng ta cn, ong, o, m . . . , nhng c baogi chng ta ngh n cu hi sau: c phi chng ta cth cn, ong, o, m c mi th ? C phi chngta o c di ca mi tp hp con trong ?

TP O C - O DNGHM S O C

ng Lebesgue ch ra c cc tp con trong khngth no o c theo cch o thng thng.

Cho l mt tp hp khc trng. thc hin mtphp o trn , trc ht chng ta phi xc nh cci tng o : mt h tp con ca .

Ta s dng ch o ch vic cn, ong, o, m . ..

O V XC SUT - CH 1 2

P( ) l h tt c cc tp con ca , v M l mt tpcon ca P( ).Gi s M l h tt c cc i tng trong mt php o.

Ta thy tp rng o c v c o l khng. Nn lun l mt phn t ca M .Ta thy tp o c v c o ln nht trong cc o ca cc phn t trong M . Nn lun l mtphn t ca M v c th c o l . Th d dica l .

O V XC SUT - CH 1 3

Gi s M l h tt c cc i tng trong mt phpo. Cho A v B trong M , ngha l A v B c th oc. Nu A v B ri nhau, ta phi c C = A B cng c th o c.

A B

Nu m(A) v m(B) l o ca A v B , thm(A B ) = m(A) + m(B ).

O V XC SUT - CH 1 4

Dng qui np ton hc ta c cng thc sau

1( ) ( )

n

ii

m A m A=

=

Cho A1 , . . ., An l n tp ri nhau trong M. t

1

nii

A A==

O V XC SUT - CH 1 5

L lun tng t nh trong nh ngha ca chuis, ta c th chp nhn A M v

1( ) ( )i

im A m A

==

Cho A1 , . . ., An , . . . l mt h m c cc tp rinhau trong M. t

1 iiA A==

O V XC SUT - CH 1 6

Nay cho l mt h cc tp ri nhau trong M, v . Ta c th tnh o ca A da trncc o ca Ai hay khng ?

{ }i i IA ii I

A A=

Nu I = [0,1] v Ai = {i} i I . Ta thy dica mi Ai bng 0 , v di ca A bng 1.

Nh vy vn tnh o ca phn hp mt h btk cc tp con da trn cc o ca tng tp con khng n gin . Ta s thy s m c ca I rtc ngha trong l thuyt o.

O V XC SUT - CH 1 7

T cc nhn xt trn chng ta xt cc nh ngha trongl thuyt o sau.nh ngha. Cho M l mt h cc tp con ca mttp khc trng . Ta ni M l mt -i s trong nu M c cc tnh cht sau(D1) M . (D2) \ A M A M .

(D3) {An } M .1

nn

A=

M

Lc ta ni (,M) l mt khng gian o c. NuA M , ta ni A l mt tp con M-o c trong .

O V XC SUT - CH 1 8

Bi ton 1.1. Cho (, M) l mt khng gian oc. Cho A1 , A2 , . . ., Am , M . t

Chng minh A l mt tp con M-o c trong .1

m

nn

A A=

=

(D3) {An } M .1

nn

A=

M

(D3) {Bn } M .1

nn

B=

M

{A1 , A2 , . . ., Am } M .1

nn

mA

= M

O V XC SUT - CH 1 9

(D3) {Bn } M .1

nn

B=

M

{A1 , A2 , . . ., Am } M .1

nn

mA

= M

(D3)

{B1 , B2 , . . ., Bm, Bm+1 , Bm+2 , . . . } M .1

nn

B=

M

{A1 , A2 , . . ., Am } M .1

nn

mA

= M

t B1 = A1 , B2 = A2 , . . ., Bm = Am,

Bm+1 = , Bm+2 = , . . .

O V XC SUT - CH 1 10

Bi ton 1.2. Cho (, M) l mt khng gian oc. Cho A, B M . Chng minh A B l mt tpcon M-o c trong .(D1) M . (D2) \ A M A M .

(D3) {An } M .1

nn

A=

M

Bin giao thnh hi : \( A B) = ( \ A) ( \ B) : A B = \ [ \( A B) ]

O V XC SUT - CH 1 11

nh ngha. Cho (,M) l mt khng gian o c, v cho l mt nh x t M vo [0 , ]. Ta ni l mt o dng trn M nu c cc tnh sau

(ii) c B trong M cho (B) <

(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nu {An } l mtdy cc phn t ri nhau trong M th

11

( ) ( )n nnn

A A ==

=

Ta thng dng (, M, ) ch mt tp hp khctrng, mt -i s M, trong v mt dng trn M . Ta cng gi (, M, ) l mt khng gian oc

O V XC SUT - CH 1 12

Bi ton 1.3. Cho mt khng gian o c (, M, ). Chng minh () = 0 .

(ii) c B trong M cho (B) <

(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nu {An } l mtdy cc phn t ri nhau trong M th

11

( ) ( )n nnn

A A ==

=

t A1 = B , A2 = , A3 = , A4 = , . . ..

1 11

( ) ( ) ( ) lim ( )

lim[ ( ) ( 1) ( )] ( ) lim[( 1) ( )]

m

n n nmn nn

m m

B A A A

B m B m

= ==

= = == + = +

O V XC SUT - CH 1 13

(i) (COUNTABLE ADDITIVE) Nu {An } l mtdy cc phn t ri nhau trong M th

11

( ) ( )n nnn

A A ==

= t Am+1 = , Am+2 = , . . .

Bi ton 1.4. Cho (, M,) l mt khng gian oc. Cho A1 , A2 , . . ., Am l cc tp ri nhau trongM. Chng minh

11

( ) ( )m m

n nnn

A A ==

=

O V XC SUT - CH 1 14

Bi ton 1.5. Cho mt khng gian o c (, M,). Cho C v D trong M. Gi s C D . Chng minh (C) (D) .t A = C v B = D \ C

A B = A B = D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D A B A B A C = = + =

C D ABC D AB

O V XC SUT - CH 1 15

C mt -i s M v mt o dng trnkhng gian n c cc tnh cht sau(i) Cc tp m v tp ng trong n l cc phn tca M (ii) Cho E M sao cho (E) < . Lc vi mi

> 0, c mt tp ng F v mt tp m U trong n ccc tnh cht sau: F E U , v (U \ F ) < .

O V XC SUT - CH 1 16

(iii) Cho E l mt tp con ca n sao cho c A v B trong M sao cho : A E B , v (B \ A ) = 0 . Lc E M .(iv) ([a1,b1] [an,bn]) = (b1 - a1) (bn - an)

a

b

1

2

3

1a

a

b

b

3

2

O V XC SUT - CH 1 17

(v) (E + a) = (E) E M , a n .

(vi) (cE) = c(E) E M , c (0, ).

nh ngha 1.1. Ta gi M v ln lt l -i sLebesgue v o Lebesgue trn n .

aE E + a

E c EO

O V XC SUT - CH 1 18

(D1) n M . (D2) n \ A M A M .(D3) {An } M .

1n

n

A=

M

Bi ton 1.6. Cho l mt tp hp Lebesgue oc khc trng trong n. t

N = { A M : A }.Chng minh N l mt -i s trong .(D1) N . (D2) \ A N A N .(D3) {An } N .

1n

n

A=

N

O V XC SUT - CH 1 19

(D1) M . (D1) N .

(D1) X N = { A M : A }.

(D2) \ A N A N .(D2) n \ A M A M .

\ A = { x : x v x A } = (n \ A )

O V XC SUT - CH 1 20

(D3) {An } M .1

nn

A=

M

(D3) {An } N .1

nn

A=

N

(D3) Cho An sao cho An M, n . Chngminh

1 1

n nn n

A v AX= =

M

(D3) Cho An M, n . Ta c1

nn

A=

M

O V XC SUT - CH 1 21

Bi ton 1.7. Cho l mt tp hp Lebesgue oc khc trng trong n. t N = { A M : A } v (A) = (A) A N.Chng minh l mt o dng trong khng giano c ( , N) .

(ii) c B trong M cho (B) <

(i) Nu {An } l mt dy cc phn t ri nhau trongM ta c

11

( ) ( )n nnn

A A ==

=

(ii) c B trong N cho (B) <

(i) Nu {An } l mt dy cc phn t ri nhau trongN chng minh

11

( ) ( )n nnn

A A ==

=

O V XC SUT - CH 1 22

Bi ton 1.7. Cho l mt tp hp Lebesgue oc khc trng trong n. t N = { A M : A } v(A) = (A) A NChng minh l mt o dng trong khng giano c ( , N) .nh ngha . o dng c gi l oLebesgue trong khng gian o c ( , N) .

O V XC SUT - CH 1 23

Cho l mt hnh ch nht trn c bn thgii, M l Lebesgue -i s trn .

A A

B B

Vi mi E M , ta t (E) l o Lebesgue ca E, v (E) l din tch tht s phn trn tri t m nc v ra. Ta thy (A) = (B) nhng (A) (B) .

Vic ny cho thy c nhiu o khc nhau trn M