Chapter 07 Hertzian Fracture

Chapter 07Hertzian Fracture

254413 Introduction to Contact Mechanics

Assistant Professor Thongchai FongsamootrMechanical Engineering Department, Chiangmai University

7.1 Introduction

• ความแข็�งแรงดึ�งและความแข็�งแรงในการร�บแรงดึ�ดึสำ�าหร�บว�สำดึ�เปราะน��นอาจจะลดึลงอย่�างร�นแรงเม� อม!รอย่

แตกเก#ดึข็��นจากการสำ�มผั�สำข็องว�ตถุ�• สำภาพที่! ที่�าให)เก#ดึรอย่แตกในว�สำดึ�น��นเป*นสำ# งที่! น�าสำนใจ

• ผัลการเก#ดึรอย่แตกในว�สำดึ�จากการสำ�มผั�สำข็องห�วกดึแบบที่รงกลมถุ+กราย่งานเป*นคร��งแรกโดึย่ Hertz (1881)

และถุ+กอ)างอ#งในการว#เคราะห-ห�วกดึแบบอ� นๆ ต�อไป• โดึย่ที่! ไดึ)ที่�าการว#เคราะห-สำนามความเค)นจากการสำ�มผั�สำ ห�ว

กดึแบบต�างๆตามที่! ไดึ)กล�าวไว)ในบที่ที่! 5 และสำมการสำ�าหร�บการสำ�มผั�สำย่�ดึหย่��นในบที่ที่! 6

• ในบที่น!� เราจะที่�าการศึ�กษาผัลข็องแรงต�อการเก#ดึรอย่แตกสำ�าหร�บห�วกดึแบบต�างๆ ข็นาดึต�างๆ

7.2 Hertzian Contact Equation

• จากบที่ที่! 6 Hertz ไดึ)สำร)างความสำ�มพ�นธ์-ที่างคณิ#ตศึาสำตร-ระหว�างแรงจากห�วกดึ P ร�ศึม! R ร�ศึม!วงกลมสำ�มผั�สำ a และ

ม!ค�าความเค)นดึ�งสำ+งสำ�ดึ max

• ร�ศึม!วงกลมสำ�มผั�สำจะข็��นอย่+�ก�บแรงและร�ศึม!ข็องห�วกดึและค�ณิสำมบ�ต#ข็องชิ้#�นงานและห�วกดึ

7.2 a

• โดึย่ที่! k เป*นป5จจ�ย่ข็องความแตกต�างการย่�ดึหย่��น

7.2 b

E

kPRa

3

43

22 '1

'1

16

9v

E

Evk


• ค�าความเค)นดึ�งสำ+งสำ�ดึที่! เก#ดึที่! ข็อบข็องวงกลมสำ�มผั�สำไดึ)เที่�าก�บ

7.2 c

• เม� อแที่นสำมการที่! 7.2 a ลงในสำมการที่! 7.2 c จะไดึ)ว�า

7.2 d

2max 2

21a

P

32

313

2

max 4

3

2

21

RP

k

E

ร+ปที่! 7.2.1


• ค�าความเค)นดึ�งบนผั#วข็องชิ้#�นงานที่! ใกล)ก�บข็อบวงกลมสำ�มผั�สำจะที่�าให)เก#ดึรอย่แตกข็��นดึ�งร+ปที่! 7.2.1

• รอย่แตกจะเก#ดึข็��นในล�กษณิะข็องวงแหวนและข็ย่าย่ล�กลงไปเล�กน)อย่ก�อนที่! จะข็ย่าย่ในล�กษณิะข็อง Cone โดึย่ที่! ม�ม

ข็อง Cone จะข็��นอย่+�ก�บอ�ตราสำ�วนป5วซองข็องว�สำดึ�• และข็��นอย่+�ก�บล�กษณิะข็องจ�ดึรองร�บชิ้#�นงานและความหนา

ข็องชิ้#�นงานดึ)วย่

7.3 Auerbach’s law

• ในระหว�างการที่�าการที่ดึสำอบค�าความแข็�งข็องว�สำดึ� ในป7 1891 Auerbach ไดึ)พบว�าสำ�าหร�บว�สำดึ�เปราะที่� วไปน��น แรง P ที่! ที่�าให)เก#ดึรอย่แตกน��นจะเป*นสำ�ดึสำ�วนก�บค�าร�ศึม!

ข็องห�วกดึ R ดึ�งน��น7.3 a

• โดึย่ที่! A เร!ย่กว�า Auerbach constant และสำมการที่! 7.3a เร!ย่กว�า Auerbach’s law

• สำมการที่! 7.3a สำามารถุเข็!ย่นในเที่อมข็องร�ศึม!วงกลมสำ�มผั�สำ a ไดึ)ว�า

7.3 b

ARP

232

1

4

3a

k

AEP

7.3 Auerbach’s law

• แที่นสำมการที่! 7.3a ลงในสำมการที่! 7.2d จะไดึ)เป*น

7.3 c

• จากสำมการจะเห�นว�า ถุ)า max เป*นค�าความเค)นสำ+งสำ�ดึที่! เก#ดึข็��นจากการที่! ม!รอย่แตกแล)ว Auerbach’s law จะแสำดึงให)เห�นว�าค�าความแข็�งแรงข็องว�สำดึ�น��นข็��นอย่+�ก�บร�ศึม!ข็องห�ว

กดึมากกว�าค�ณิสำมบ�ต#ข็องว�สำดึ�

313

231

max 4

3

2

21

R

k

EA

7.4 Auerbach’s law and Griffith Energy balance Criterion

• จากเกณิฑ์-ข็อง Griffith สำ�าหร�บการแตกห�กที่! สำ�มพ�นธ์-ก�บค�าพล�งงานที่! ใชิ้)ในการสำร)างผั#วข็องรอย่แตกใหม�และเป*นค�า

พล�งงานที่! ถุ+กปลดึปล�อย่ออกมา• ค�าความเค)น a ที่! มากระที่�าจากภาย่นอกสำ�าหร�บการข็ย่าย่

ต�วข็องรอย่แตกที่! ม!ความย่าว 2c จะม!ค�าเที่�าก�บ

7.4 a

• โดึย่ที่! เป*นพล�งงานที่! ใชิ้)ในการสำร)างผั#วใหม� (fracture surface energy)

• 1-2 เป*นเที่อมที่! ถุ+กใชิ้)ในกรณิ!ที่! เป*นกรณิ!ข็อง Plane strain

21

21

2

c

Ea


• สำมการที่! 7.4a จะใชิ้)ก�บกรณิ!ข็องรอย่แตกที่! ข็อบที่��งสำองข็)างและม!ความเค)นสำม� าเสำมอกระที่�าในแนวต��งฉากก�บรอย่

แตก• เกณิฑ์-ข็อง Griffith อาจจะกล�าวในเที่อมข็อง Stress

Intensity factor KI เที่�าก�บ

7.4 b

• โดึย่ที่!

7.4 c

2

1 22

E

K I

cK I


• เที่อมที่างซ)าย่ข็องสำมการที่! 7.4b เป*นเที่อมที่! แสำดึงถุ�งพล�งงานเคร!ย่ดึที่! ถุ+กปลดึปล�ย่ออกมา (G)

• เกณิฑ์-ข็อง Griffith จะต)องสำอดึคล)องก�บ

• โดึย่ที่! KIC เป*นค�ณิสำมบ�ต#ข็องว�สำดึ� ที่! สำามารถุหาไดึ)จากการที่ดึสำอบ

• เชิ้�น Soda-lime glass

• เม� อน�ามาหาค�าข็อง ไดึ)เที่�าก�บ 3.6 J/m2

ICI KK

mMPaK IC 78.0


• ในชิ้�วงแรกๆ ข็องการศึ�กษาเกณิฑ์-การแตกห�กข็อง Griffith ที่! ม!ต�อรอย่ต�าหน#ที่! บร#เวณิใกล)ก�บห�วกดึ โดึย่

พ#จารณิาในเที่อมข็องความเค)นดึ�งที่! ผั#วเพ!ย่งอย่�างเดึ!ย่ว• ดึ�งน��น เม� อพ#จารณิาถุ�งเกณิฑ์-การเสำ!ย่หาย่จะไดึ)ว�า

7.4 d

• สำมการที่! 7.4d แสำดึงให)เห�นว�า P เป*นสำ�ดึสำ�วนก�บ R2C-3/2

• ถุ)ารอย่ต�าหน#ที่��งหมดึม!ข็นาดึเดึ!ย่วก�นแล)ว เกณิฑ์-ข็อง Griffith จะแสำดึงให)เห�นว�า P จะเป*นสำ�ดึสำ�วนก�บ R2 ซ� งข็�ดึ

แย่)งก�บ Auerbach’s Law

32

31

32

21

2 4

3

2

21

1

2

R

P

k

E

c

E

7.5 Flaw statistical explanation of Auerbach’s law

• จากน��นม!หลาย่คนที่! พย่าย่ามอธ์#บาย่ Auerbach’s law โดึย่ใชิ้)หล�กการที่างสำถุ#ต#ข็องรอย่ต�าหน#ที่! ผั#วข็องชิ้#�นงาน

• ไดึ)ม!การแสำดึงให)เห�นว�าสำ�าหร�บ ห�วกดึที่! ม!ข็นาดึใหญ่�ข็��น จะเป*นการเพ# มโอกาสำที่! พ��นที่! ม!ค�าความเค)นดึ�งสำ+งสำ�ดึจะรวมก�บ

รอย่ต�าหน#ที่! ม!ข็นาดึใหญ่� สำ�งผัลที่�าให)เก#ดึรอย่แตกในล�กษณิะข็อง Cone ไดึ)ในข็ณิะที่! แรงลดึลง

7.5 Flaw statistical explanation of Auerbach’s law

• จากการประเม#นที่างสำถุ#ต#สำามารถุอธ์#บาย่ไดึ)ว�า– (1) ม�นไม�น�าเป*นไปไดึ)ที่! ที่�กชิ้#�นงานข็องว�สำดึ�จะม!การกระจาย่ข็อง

รอย่ต�าหน#ที่! เหม�อนก�น ซ� งจะที่�าให)เก#ดึล�กษณิะเชิ้#งเสำ)นข็อง Auerbach’s law

– (2) เม� อห�วกดึม!ข็นาดึเล�กลง พ��นที่! สำ�มผั�สำก�จะเล�กลงดึ)วย่ การกระจาย่ข็องผัลที่! ไดึ)ก�จะม!ค�ามากข็��นเม� อ R ลดึลง

– (3) ถุ)าข็นาดึรอย่แตกม!ข็นาดึเที่�าก�น และ P จะเป*นสำ�ดึสำ�วนก�บ R2 และถุ)าเป*นไปตามเกณิฑ์-ข็อง Griffith สำมการที่! 7.4d Flagitan

และ Lawn ไดึ)แสำดึงให)เห�นว�าม!ชิ้�วงข็องข็นาดึข็องรอย่แตกที่! Auerbach’s law ย่�งคงใชิ้)ไดึ)

7.6 Energy balance explanation of Auerbach’s law

• แม)ว�าผัลการว#เคราะห-ที่างสำถุ#ต#จะม!ค�าที่! สำอดึคล)องในบางคร��งแต�ก�ไม�สำามารถุอธ์#บาย่ไดึ)ที่��งหมดึ

• ดึ�งน��นจ�งจะใชิ้)หล�กการที่างกลศึาสำตร-การแตกห�กในการอธ์#บาย่ที่! ไดึ)ร�บการเสำนอโดึย่ Frank และ Lawn ในป7 1968 และ Mouginot และ Maugis ในป7 1984

• สำ�าหร�บกรณิ!ที่! ม!รอย่แตกในสำนามความเค)นที่! ไม�สำม� าเสำมอ Frank and Lawn ไดึ)แสำดึงว�า ค�าป5จจ�ย่ความเข็)มความเค)น (Stress Intensity factor) จะสำามารถุ

ค�านวณิไดึ)เที่�าก�บ

7.6 a

b

I dbbc

bcK

0 21

22

212


• โดึย่ที่! c ค�อค�าความย่าวข็องรอย่แตก และ b ค�อค�าที่! แสำดึงถุ�งต�าแหน�งตามแนวย่าวข็องรอย่แตก

• การละเม#ดึเกณิฑ์-ข็อง Griffith เห�นไดึ)อย่�างเป*นร+ปธ์รรม ในสำมการที่! 7.4d ที่! ม!การก�าหนดึว�าความเค)นที่! กระจาย่จามแนวความย่าวข็องรอย่แตกม!ค�าคงที่! และม!ค�าเป*นไปตาม

สำมการที่! ข็อง Hertz • แต�ในคงามเป*นจร#งแล)ว ค�าความเค)นดึ�งจะม!ค�าลดึลงอย่�าง

รวดึเร�วตามความล�กไปในชิ้#�นงาน• ดึ�งน��นค�าความเค)นที่! กระที่�าที่! ผั#วข็องรอย่ต�าหน#น��นไม�

สำามารถุพ#จารณิาแบบคงที่! ไดึ)• Frank และ Lawn ไดึ)ค�านวณิค�า Stress Intensity

factor สำ�าหร�บกรณิ!ที่! รอย่แตกเร# มจากที่! บร#เวณิร�ศึม!ข็องวงกลมสำ�มผั�สำและล�กลงไปในเน��อว�สำดึ�


• การว#เคราะห-ตามกลศึาสำตร-ข็องการแตกห�ก สำนามความเค)นที่! เก#ดึจากการกดึสำามารถุน�ามาคาดึการณิ-ในการ

เก#ดึรอย่แตกไดึ)• ไดึ)ม!การเสำนอว�า Auerbach’s law น��นสำ�มพ�นธ์-ก�บการ

เก#ดึรอย่แตกแบบ Fully cone crack มากกว�าแบบ Seminal Ring Crack

• ต�อมา Mouginot และ Mougis ไดึ)ใชิ้)สำมการที่! 7.6a สำ�าหร�บหาเสำ)นที่างในการเก#ดึรอย่แตก

• โดึย่ไดึ)แสำดึงให)เห�นว�า Auerbach’s law ม!สำ�วนเก! ย่วข็)องก�บสำนามความเค)นที่! ลดึลง ร�ศึม!ห�วกดึ และ ร�ศึม!ที่! รอย่แตก

เก#ดึข็��น


• เม� อรวมผัลข็องการเปล! ย่นแปลงข็องค�า Stress Intensity factor เม� อรอย่แตกม!การข็ย่าย่ต�ว โดึย่ที่!

ความกว)างข็องม�มเป;ดึรอย่แตกเพ# มข็��น• ดึ�งน��นสำมการที่! 7.6a สำามารถุเข็!ย่นไดึ)ใหม�เป*น

7.6 b

b

c

bI db

bc

b

r

rcK

0 21

22

212


• ม!หลาย่ข็)อสำมมต#ฐานที่! สำ�าค�ญ่ในการใชิ้)สำมการที่! 7.6a หร�อ 7.6b ในการแตกห�กแบบ Hertzian

– (1) สำมการที่! 7.6a น��นใชิ้)ไดึ)ก�บรอย่แตกที่! ปลาย่รอย่แตกที่! ล�กลงไป รอย่แตกที่! ม!ปลาย่สำองดึ)าน รอย่แตกแบบสำมมาตร ในชิ้#�นงานที่!

ม!ข็นาดึกว)าง– ถุ)าสำมมต#ว�าอ�ตราข็องการปลดึปล�อย่พล�งงานสำ�าหร�บรอย่แตกที่! ม!

ดึ)านเดึ!ย่วม!ค�าคร� งหน� งก�ย่รอย่แตกที่!ม!ปลาย่สำองดึ)าน ดึ�งน��นสำมการที่! 7.6a และ 7.6b ก�จะม!ค�าเที่�าก�บรอย่แตกที่! ม!ปลาย่ดึ)าน

เดึ!ย่ว– (2) โดึย่ปกต#สำ�าหร�บกรณิ!รอย่แตกที่! ผั#ว จะม!ค�าแก)ไข็ 12% สำ�าหร�บค�า KI ซ� งสำามารถุใชิ้)ไดึ)เฉพาะกรณิ!ที่! รอย่แตกที่! ผั#วที่! ม!ค�าความเค)นสำม� าเสำมอกระที่�า แต�ไม�สำามารถุใชิ้)ไดึ)ก�บรอย่แตกที่! เก#ดึ

จากการกดึอ�ดึ– สำมมต#ว�าเสำ)นที่างข็องรอย่แตกที่! ถุ+กก�าหนดึโดึย่ 3 ที่! ม!ค�าการปลดึ

ปล�อย่พล�งงานสำ+งสำ�ดึ


• สำมการที่! 7.6b อาจจะสำามารถุเข็!ย่นใหม�ในเที่อมข็อง mean contact pressure ไดึ)เป*น

7.6 c

• เม� อรวมสำมการที่! 7.6b และ 7.6c เราอาจจะสำามารถุระบ� function (c/a) ที่! สำ�มพ�นธ์-ก�บ KIC ไดึ)เป*น

7.6 d

mPab

abf

2a

PPm

2

0

21

2

2

2

2

ac

c

b

abda

bfa

b

a

c

r

r

a

cac


• ดึ�งน��นสำมการที่! 7.6d ก�บเกณิฑ์-ข็อง Griffith สำ�าหร�บการแตกห�กสำ�าหร�บกรณิ!ห�วกดึแบบที่รงกลมในเที่อมข็อง R จะ

ไดึ)ว�า

7.6e

• และสำ�าหร�บห�วกดึแบบที่รงกลมและแบบ flat punch ในเที่อมข็อง a จะไดึ)ว�า

7.6f

ackR

PG

3

2132

acPEa

G

233

2142


• จาก (c/a) น��นประกอบดึ)วย่เที่อมข็องการอ#นที่#เกรที่ข็องค�าความเค)น

• ฟั5งกชิ้� น (c/a) ต)องหาค�า ณิ ที่! ต�าแหน�งที่! เร# มการแตกห�ก • จ�ดึร+ปสำมการที่! 7.6f โดึย่ให)ว�า critical Fracture load

P=Pc สำ�าหร�บกรณิ! Sphere และ Flat Punch ไดึ)เป*น

7.6h

• จะเห�นไดึ)ว�า เที่อมที่! สำองที่างข็วาเป*นเที่อมค�าคงที่! ตามค�ณิสำมบ�ต#ข็องว�สำดึ�

• ซ� งจะเห�นว�า การว#เคราะห-โดึย่ Auerbach’s law น��นจะคงที่! เม� อ (c/a) น��นม!ค�าคงที่!

21

2

321

3

14

2

E

aca

Pc


• แต� (c/a) น��นไม�คงที่! เน� องจากประกอบดึ)วย่เที่อมข็องค�าความเค)น ข็นาดึรอย่ต�าหน#

• แต�ก�ม!ชิ้�วงข็องความเค)น ข็นาดึรอย่ต�าหน#ที่! แสำดึงใหเห�นว�า (c/a) น��ม!ค�าเก�อบคงที่!

• ชิ้�วงข็อง cf/a น��นเร!ย่กว�าเป*น Auerbach’s range

• ร+ปที่! 7.6.1 แสำดึงค�าข็อง 1 ตามแนวข็อง 3 ที่! ร �ศึม!ข็องรอย่แตกที่! แตกต�างก�นสำ�าหร�บกรณิ!ข็องห�วกดึแบบ

Sphere และ Flat Punch• จะเห�นว�าม!ชิ้�วงข็องข็นาดึรอย่แตกที่! ค�าความเค)นหล�กม!ค�า

สำ+งที่! ที่�าให)รอย่แตกเก#ดึข็��นไดึ)


• การอ#นที่#เกรที่ข็องสำมการที่! 7.6d สำามารถุน�ามาพล�อตเป*นกรมฟัไดึ)ดึ�งร+ปที่! 7.6.2

• ค�าข็อง (c/a) สำ�าหร�บที่! ro/a ซ� งเป*นสำ�ดึสำ�วนก�บค�าอ�ตราการปลอปล�อย่พล�งงานสำ�าหร�บข็นาดึรอย่แตกต�างๆ (c/a)

• สำ�าหร�บรอย่ต�าหน# cf จะม!ค�าร�ศึม!ข็องรอย่แตก ro ที่! ที่�าให)เก#ดึค�าอ�ตราการปลดึปล�อย่พล�งงานสำ+งสำ�ดึ

• ซ� งจะหมาย่ถุ�งค�าที่! อย่+�บนสำ�ดึข็องกราฟั 7.6.2• เม� อค�า (c/a) ม!ค�าเป*นสำองเที่�าข็องค�าพล�งงานในการ

สำร)างพ��นผั#วใหม� รอย่แตกก�จะเร# มเก#ดึข็��น


• สำ�าหร�บกรณิ!ที่! รอย่ต�าหน#ข็นาดึเล�ก (cf/a < 0.01) ม!จ�านวนมาก Critical Load Pc จะลดึลงเม� อข็นาดึข็องรอย่ต�าหน#เพ# มข็��น เน� องจากความเค)นที่! กระที่�าที่! ตามแนว

รอย่แตกน��นคงที่! และจะม!ค�าเที่�าก�บความเค)นที่! ผั#ว• ดึ�งน��นในกรณิ!น!� เกณิฑ์-ข็อง Griffith สำ�าหร�บความเค)น

คงที่! สำามารถุใชิ้)ไดึ)• ในกรณิ!น!� Auerbach’s law ไม�สำามารถุใชิ้)ไดึ)

• สำ�าหร�บกรณิ!ที่! รอย่ต�าหน#ใหญ่� 0.1<cf/a <0.2 สำมการที่! 7.6h และ ร+ปที่! 7.6.2 แสำดึงให)เห�นว�าค�า Critical Load จะเพ# มข็��นเม� อรอย่ต�าหน#ม!ข็นาดึใหญ่�ข็��น เน� องจากค�าอ�ตราการปลดึปล�อย่พล�งงานจะม!ค�าลดึลงเม� อรอย่แตกม!ข็นาดึ

ใหญ่�ข็��น


• จากสำมการที่! 7.6h

• ร+ปที่! 7.6.2 แสำดึงให)เห�นว�าม!ชิ้�วงที่! cf/a ที่! ที่�าให) (cf/a) น��นม!ค�าคงที่! เร!ย่กว�า Auerbach range

• ในชิ้�วงน!� PC จะไม�ข็��นอย่+�ก�บข็นาดึข็องรอย่ต�าหน# แต�จะเป*นสำ�ดึสำ�วนก�บ a3/2

• สำมมต#ว�าม!รอย่แตกข็นาดึต�างๆ อย่+�ในชิ้#�นงาน จากน��นจะม!รอย่แตกที่! ร �ศึม!หน� งที่! ที่�าให)เก#ดึการปลดึปล�อย่พล�งงาน

สำ+งสำ�ดึ•

2

1

23

ac

a

P fC


• สำ�าหร�บรอย่ต�าหน#ที่! อย่+�ในชิ้�วงข็อง Auerbach’s range ค�า minimum critical load Pa จะม!ค�าเที่�าก�บ

7.6i

• สำ�าหร�บกรณิ!ข็อง sphere และ

7.6j

• สำ�าหร�บกรณิ!ข็อง Flat Punch• โดึย่ที่! เที่อมในวงเล�บก�ค�อ Auerbach’s constant

Rk

Pa

a

31

22

3

2/3

2/1

2

3

21a

kP

aa


• จากร+ปที่! 7.6.2 ค�า (c/a) = 0.0011 สำ�าหร�บกรณิ!ข็อง Sphere และ = 0.0007 สำ�าหร�บกรณิ! Flat punch

• ค�า fa สำ�าค�ญ่เน� องจากม!ผัลต�อค�าพล�งงานการแตกห�กที่! ผั#ว• เม� อรวมสำมการที่! 7.6i 7.6j 7.6e 7.6f สำามารถุแสำดึงไดึ)

ว�า

• สำ�าหร�บ Sphere และ สำ�าหร�บกรณิ! Punch

aa

ac

P

PG

2

aa

ac

P

PG

2

2

7.7 The probability of Hertzian fracture

7.7.1 Weibull statistics• ที่��งข็นาดึและการกระจาย่ข็องรอย่ต�าหน#ที่! ผั#วน��นจะก�าหนดึ

ค�าความแข็�งแรงข็องว�สำดึ�เปราะและความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่ข็องชิ้#�นงานที่! ม!ข็นาดึ A ร�บความเค)นดึ�ง ซ� ง

สำามารถุค�านวณิไดึ)จาก

7.7.1 a

• โดึย่ที่! m และ k เป*น Weibull parameters• โดึย่ที่! ความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่ดึ�งสำมการที่! 7.7.1a จะ

เที่�าก�บความเป*นไปไดึ)ในการหารอย่ต�าหน#ภาย่ในพ��นที่! A ข็องชิ้#�นงาน ที่! ม!ข็นาดึใหญ่�กว�าข็นาดึรอย่แตกว#กฤต#

mf kAP exp1


7.7.1 Weibull statistics• ข็นาดึว#กฤต#ข็องรอย่แตกสำามารถุหาไดึ)จากสำมการที่! 7.4c

โดึย่ที่! KI = KIC

• ความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่ที่! แรงกดึต�างๆ น��นจะข็��นอย่+�ก�บความเป*นไปไดึ)ในการหารอย่ต�าหน#ที่! ผั#วที่! ม!ข็นาดึว#กฤต#ที่!

อย่+�ภาย่ในสำนามความเค)นที่! เก#ดึจากการกดึ• ความเค)นว#กฤต#และข็นาดึรอย่แตกสำ�มพ�นธ์-ก�นโดึย่สำมการที่!

7.4c ที่! ซ� งความเค)นกระที่�าตามแนวล�กข็องรอย่ต�าหน#• สำ�าหร�บรอย่ต�าหน#ข็นาดึเล�ก ความเค)นที่! สำม� าเสำมอที่! ร )าย่แรง

ถุ)าอย่+�ในชิ้�วงข็อง Auerbach range • สำ�าหร�บรอย่ต�าหน#ที่! ใหญ่�และอย่+�ภาย่ใน Auerbach range แรงที่! ที่�าให)เก#ดึการแตกห�กจะไม�ข็��นอย่+�ก�บข็นาดึข็องรอย่แตก เน� องจากม!ค�าการปลดึปล�อย่พล�งงานสำ+ง


7.7.2 Application to indentation stress field• ในห�วข็)อน!�จะไดึ)ที่�าการค�านวณิความเป*นไปไดึ)ในการแตกห�ก

สำ�าหร�บแรงและข็นาดึข็องห�วกดึ• ถุ)าให) Pa เป*นค�าแรงว#กฤต#ที่! น)อย่ที่! สำ�ดึสำ�าหร�บค�า c/a ภาย่ใน

Auerbach range• ร+ปที่! 7.7.1 แสำดึงความสำ�มพ�นธ์-ระหว�างค�า Normalized

strain energy release rate G/2, ข็นาดึรอย่แตก c/a และ ร�ศึม!ข็องรอย่แตกเร# มต)น ro/a สำ�าหร�บที่! 3 แรง

• เกณิฑ์-ข็อง Griffith จะเก#ดึข็��นเม� อ G/2 > 1 • สำ�าหร�บในร+ปเสำ)น G/2 = 1 จะถุ+กวาดึในแต�ละกรณิ!

• เสำ)นในร+ปที่! 7.7.1 ข็��นอย่+�ก�บค�าข็อง a แต�ไม�ข็��นอย่+�ก�บ


7.7.2 Application to indentation stress field

• แต�อย่�างไรก�ตาม Pa น��นสำามารถุค�านวณิไดึ)ตามสำมการที่! 7.6k หร�อ 7.6h

• ถุ)าแรงกระที่�าน)อย่กว�าค�าว#กฤต# Pa การเสำ!ย่หาย่จะไม�เก#ดึข็��น ไม�ว�ารอย่แตกจะม!ข็นาดึใหญ่�แค�ไหน เน� องจากไม�ถุ�ง

เกณิฑ์-ข็อง Griffith• ซ� งแสำดึงให)เห�นว�าการเสำ!ย่หาย่สำามารถุเก#ดึข็��นถุ)ารอย่แตก

อย่+�ในชิ้�วงข็อง Auerbach range สำ�าหร�บแรงที่! เที่�าก�บหร�อมากกว�า Pa เที่�าน��น

• ชิ้�วงข็องรอย่แตกน��นสำามารถุค�านวณิไดึ)จากร+ปที่! 7.7.1 ที่! c/a ใดึๆ


7.7.2 Application to indentation stress field• โดึย่ที่! สำามารถุลดึการค�านวณิความน�าจะเป*นในการแตกห�ก

จากการกดึที่! เก#ดึที่! ร �ศึม!ใดึๆ และแรงใดึๆ ไปเป*นความน�าจะเป*นในการหารอย่แตกอย่�างน)อย่ 1 รอย่ที่! อย่+�ภาย่ในชิ้�วงที่!

สำนใจ• สำ�าหร�บกรณิ!ข็องการกดึแบบ Flat Punch พ#จารณิาใน

แนวร�ศึม!ข็องวงกลมสำ�มผั�สำ• สำ�าหร�บกรณิ!ข็อง Sphere ร�ศึม!ข็อง Contact ข็��นอย่+�ก�บ

ข็นาดึข็องแรง• ในการค�านวณิความน�าจะเป*นน!�สำามารถุที่�าไดึ)โดึย่การแบ�ง

พ��นที่! ออกเป*น n สำ�วน ที่! ri


7.7.2 Application to indentation stress field• จากน��นที่�าการค�านวณิความเป*นไปไดึ)ในการหารอย่ต�าหน#ที่!

ม!ข็นาดึตามเกณิฑ์- Griffith ในแต�ละพ��นที่! ย่�อย่ โดึย่ใชิ้)สำมการที่! 7.7.1a

• สำมการที่! 7.7.1a จะให)ความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่สำ�าหร�บความเค)นสำม� าเสำมอ แต�ย่�งไม�สำามารถุใชิ้)ในการ

ค�านวณิความเป*นไปไดึ)ข็องการหาข็นาดึรอย่แตกที่! ม!ข็นาดึใหญ่�หร�อเที่�าก�บข็นาดึว#กฤต#

• พ#จารณิาพ��นที่! ย่�อย่ที่! ri และพ��นที่! Ai ชิ้�วงข็องข็นาดึรอย่ต�าหน#ตามเกณิฑ์-ข็อง Griffith น��นอาจจะพ#จารณิาจากเสำ)น

ดึ�งร+ปที่! 7.7.1


7.7.2 Application to indentation stress field• ต�วอย่�างเชิ้�น เสำ)นแนวต��งแสำดึงถุ�งชิ้�วงข็องรอย่ต�าหน#ที่! ข็นาดึข็องแรง P=1.5Pa โดึย่ที่! จะอย่+�ที่! ri/a = 1.1 ที่�าให)

เก#ดึรอย่แตก• ดึ�งน��นเราสำามารถุหาความเป*นไปไดึ)ในการหารอย่ต�าหน#ใน

ชิ้�วง ในพ��นที่! A• ซ� งจะม!ค�าเที่�าก�บความแตกต�างระหว�างความเป*นไปไดึ)ใน

การหาข็นาดึรอย่ต�าหน# c>c1 และความเป*นไปไดึ)ในการหารอย่ต�าหน# c>c2

• อย่�างไรก�ตามความเป*นไปไดึ)ในการหารอย่ต�าหน#ที่! ม!ข็นาดึใหญ่�กว�าข็นาดึว#กฤต#จะม!ค�าเที่�าก�บ Weibull

probability ตามสำมการที่! 7.4c


7.7.2 Application to indentation stress field• สำ�าหร�บความน�าจะเป*นจะหาไดึ)ตามสำมการดึ�งน!�

7.7.2a

• และ

7.7.2b

• ดึ�งน��นความเป*นไปไดึ)ในการหารอย่ต�าหน# c1<c<c2 จะไดึ)เป*น

m

ICiii

c

KrrkccP

21

1

1 2exp1

m

ICiii

c

KrrkccP

21

2

2 2exp1

2121 ccPccPcccP iifi


7.7.2 Application to indentation stress field• ความเป*นไปไดึ)ข็องความปลอดึภ�ย่ข็องที่��ง n พ��นที่! น� �น

เที่�าก�บ

• ความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่เที่�าก�บ

• ในการค�านวณิจะที่�าการค�านวณิซ��าที่! ระดึ�บค�าต�างๆ เพ� อหาความสำ�มพ�นธ์-ระหว�างแรงกดึก�บความเป*นไปไดึ)ในการ

เสำ!ย่หาย่ที่! ข็นาดึห�วกดึต�างๆ

SnSSSSS PPPPPP ......4321

SF PP 1


7.7.2 Application to indentation stress field• สำ�าหร�บกรณิ!ข็อง Sphere ซ� งข็นาดึข็อง contact circle จะข็��นอย่+�ก�บแรงที่! กระที่�าน��น ข็นาดึข็อง contact

circle จะม!ค�าเที่�าก�บ

• ร+ปที่! 7.7.2 แสำดึงถุ�งความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่ที่! ระดึ�บแรงต�างๆ

2

2

323

19

8R

P

P

E

ka

aa

7.8 Fracture surface energy and the Auerbach constant

7.8.1 Minimum critical load• ก�าหนดึให) Pa เป*นค�า minimum critical load สำ�าหร�บ

ที่�าให)เก#ดึการแตกห�ก โดึย่ที่! เป*นค�าที่! ไดึ)จากการที่ดึสำอบ• เม� อข็นาดึข็องห�วกดึม!ค�าเพ# มข็��น ข็นาดึข็องรอย่ต�าหน#ที่! อย่+�

ในชิ้�วงข็อง Auerbach range ก�จะเพ# มข็��นดึ)วย่• จากสำมการที่! 7.6i

• สำ�าหร�บกรณิ!ข็อง Flat Punch, Auerbach constant เที่!ย่บเที่�ากรณิ!ข็องที่รงกลมจะม!ค�าเที่�าก�บ

a

kA

31

22

3

aa

k

E

kEA

31

2

3

4

21 2

3

2

3


7.8.1 Minimum critical load• ร+ปที่! 7.8.1 แสำดึงผัลการที่ดึสำอบสำ�าหร�บค�า minimum

critical load ข็อง Soda-lime glass• ซ� งในกรณิ!ข็อง punch ข็)อม+ลพล�อตในเที่อมข็อง a3/2 ถุ�ง

จะให)ค�าที่! เป*นเชิ้#งเสำ)น• ตารางที่! 7.8.1 แสำดึงค�าข็อง A และ

• จะเห�นไดึ)ว�าค�าพล�งงานแตกห�กที่! ผั#วที่! ไดึ)น��นม!ค�าไม�แตกต�างก�นมาก

• สำ�าหร�บค�า A น��นที่! แตกต�างก�นก�อาจจะเก#ดึจากความแตกต�างข็องห�วกดึ แรงเสำ!ย่ดึที่านที่! ผั#ว


7.8.2 Median fracture load• ในการพย่าย่ามอธ์#บาย่ Auerbach’s Law ไดึ)ม!บางคนไดึ)

ที่�าการว#เคราะห-การแตกห�กจากการกดึ โดึย่ที่�าการหาความสำ�มพ�นธ์-ระหว�างแรงข็นาดึปานกลางก�บร�ศึม!ข็องห�วกดึ

• ต�วอย่�างเชิ้�น Finnie ไดึ)ที่�าการค�านวณิค�า Weibull parameters จากการดึ�ดึแที่�งแก)ว

• ความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่จากพ��นที่! ล)อมรอบห�วกดึสำามารถุค�านวณิไดึ)จากค�าความเค)นที่! เก#ดึข็��นรวมก�บความ

เป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่รวม• ดึ�งน��น ค�าแรงที่! ที่�าให)เก#ดึการแตกห�กสำ�าหร�บข็นาดึห�วกดึ

ใดึๆ จะสำมารถุค�านวณิและเปร!ย่บเที่!ย่บก�บค�าแรงปานกลางน!�ไดึ)


7.8.2 Median fracture load• ในแนวที่างเดึ!ย่วก�น Hamiton และ Rawson ไดึ)ค�านวณิ

หา weibull parameters ที่! ใชิ้)ในการอธ์#บาย่การแตกห�กที่! เก#ดึจากการกดึ

• Argon ไดึ)ค�านวณิหาการกระจาย่ข็องความแข็�งแรงโดึย่อธ์#บาย่ในเที่อมข็องแรงกดึ ที่! ข็นาดึห�วกดึใดึๆ

• จากผัลที่! ไดึ)ร�บแสำดึงให)เห�นว�าไม�ม!ความแตกต�างระหว�างแรงกดึเฉล! ย่และแรงกดึข็นาดึกลาง ที่��งๆที่! ความเค)นปาน

กลางควรให)ความเป*นไปไดึ)ในการเสำ!ย่หาย่ที่! 50%

• ร+ปที่! 7.8.2 พล�อตที่! Pf=50%

7.9 Cone Cracks

7.9.1 Crack path• จากที่! ไดึ)กล�าวมา เราสำามารถุหาเสำ)นที่างข็องรอย่แตกไดึ)โดึย่

การค�านวณิหาค�า Stress Intensity Factor ที่! บร#เวณิต��งฉากก�บผั#วรอย่แตก

• อย่�างไรก�ตาม เน� องจากม!ความไม�เหม�อนก�นระหว�างเสำ)นที่าง โดึย่การค�านวณิความเค)นเพ� อให)เป*นการเก#ดึรอย่แตก

แบบ Cone Crack• จากการค�านวณิพบว�า สำ�าหร�บค�า Poisson’s ratio เที่�าก�บ 0.21 ม�มข็อง cone crack จะอย่+�ที่! ประมาณิ 33o

• แต�ในบางการที่ดึสำอบพบว�า ม�มก�อาจจะม!ค�าน)อย่กว�าน!�ไดึ)

7.9 Cone Cracks

7.9.2 Crack Size• เม� อ cone crack เก#ดึข็��น อ�ตราการปลดึปล�อย่พล�งงาน

จะเป*นไปตามร+ป 7.7.1 สำ�าหร�บ c/a ใดึๆ• การเพ# มข็��นข็องสำ�วนน!�จะเป*นการแสำดึงถุ�งความเสำถุ!ย่รข็อง

รอย่แตกที่! เพ# มข็��น• จากการที่ดึสำอบและที่ฤษฎี!พบวา ร�ศึม!ข็องการแตกห�กน��น

จะข็��นอย่+�ก�บแรงกดึ ตามสำมการดึ�งน!�

• โดึย่ที่! D เป*นค�าคงที่! ที่! ข็��นอย่+�ก�บ Poisson’s ratio และ R เป*นร�ศึม!ข็องรอย่แตกที่! เร# มเก#ดึ

• D = 2.75x10-3 สำ�าหร�บ = 0.25

EDR

P 23

2

Documents

Chapter 07 Hertzian Fracture