CHƯƠNG III

HỆ THỐNG SỐ - NUMBER SYSTEMHỆ THỐNG SỐ - NUMBER SYSTEM

3.1. Biểu diễn thông tin trong máy tính điện tử

3.2. Chuyển một hệ thống số từ cơ số này sang

cơ số khác

3.3. Câu hỏi và Bài tập

1

Nội Dung

• Hệ đếm không theo vị trí của ký số(None –

positional number system): Hệ thống số La mã –

các số được biểu diễn theo kiểu tích lũy không phụ

thuộc vào vị trí

Ví dụ: I , II , III , IIII, …

• Hệ đếm theo vị trí của ký số (Positional number

system): Hệ thống số Ả rập – Giá trị các ký hiệu tuỳ

thuộc vào vị trí mà nó chiếm giữ

Ví dụ: 12 , 21

2

Biểu diễn thông tin trong máy tính điện tử

• Biểu diễn số trong các hệ đếm

• Hệ đếm thập phân (Decimal system, b=10)

• Hệ đếm nhị phân (Binary system, b=2)

• Hệ đếm bát phân (Octal system, b=8)

• Hệ đếm thập lục phân (Hexa-decimal system,

b=16)

2

Biểu diễn thông tin trong máy tính điện tử

• Hệ đếm là tập hợp các ký hiệu và qui tắc sử dụng tập ký hiệu đó để biểu diễn và xác định các giá trị các số. Mỗi hệ đếm có một số ký số (digits) hữu hạn.

• Tổng số ký số của mỗi hệ đếm gọi là cơ số (base hay radix), ký hiệu là b.

• Hệ đếm cơ số b (b ≥ 2, b là số nguyên dương) mang tính chất sau :• Có b ký số để thể hiện giá trị số. Ký số nhỏ nhất là 0 và lớn nhất

là b-1.• Giá trị vị trí thứ n trong một số của hệ đếm bằng cơ số b lũy

thừa n: bn

• Số N(b) trong hệ đếm cơ số (b) được biểu diễn bởi:N(b)=anan-1an-2…a1a0a-1a-2…am

trong đó, số N(b) có n+1 ký số biểu diễn cho phần nguyên và m ký số là biểu diễn cho phần b_phân, và có giá trị là:

N(b)=an.bn+an-1.b

n-1+an-2.bn-2+…+a1.b

1+a0.b0+a-1.b

-1

+a-2.b-2+…+a-m.b-m

3

Biểu diễn số trong các hệ đếm

3

Biểu diễn số trong các hệ đếm

3

Biểu diễn số trong các hệ đếm

• Là một trong các phát minh của người Ả Rập Cổ, bao

gồm 10 ký số theo ký hiệu sau: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

• Qui tắc tính giá trị của hệ đếm này là mỗi đơn vị ở một

hàng bất kỳ có giá trị bằng 10 đơn vị của hàng kế cận

bên phải.

4

Hệ đếm thập phân (Decimal system)

Ví dụ 1:

123 = 1 * 102 + 2 * 101 + 3*100

5246 = 5 * 103+ 2 *102+ 4 * 101+ 6 * 100

= 5 * 1000 + 2 * 100 + 4 * 10 + 6 * 1

= 5000 + 200 + 40 + 6

Ví dụ 2:

254.68 = 2 * 102+ 5 * 101+ 4 * 100+ 6 * 10-1+ 8 * 10-2

4

Hệ đếm thập phân (Decimal system)

• Là hệ đếm đơn giản nhất với 2 chữ số là 0 và 1. Mỗi

chữ số nhị phân gọi là BIT.

5

Hệ đếm nhị phân (Binary system)

Ví dụ:

Số 11101.11(2) sẽ tương đương với giá trị thập phân là :

Số nhị phân : 1 1 1 0 1. 1 1

Số vị trí : 4 3 2 1 0 -1 -2

Trị vị trí : 24 23 22 21 20 2-1 2-2

Hệ 10 là : 16 8 4 2 1 0.5 0.25

Như vậy:

11101.11(2) =1x16+1x8+1x4+0x2+1x1+1x0.5+1x0.25

= 29.75(10)

10101(2) = 1x24+ 0x23+ 1x22+ 0x21+ 1x20

= 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 21(10)

5

Hệ đếm nhị phân (Binary system)

6

Hệ đếm nhị phân (Binary system)

Hệ Nhị Phân Hệ Thập Phân

000 0

001 1

010 2

011 3

100 4

101 5

110 6

111 7

• Là hệ đếm với b = 8 = 23. Trong hệ bát phân, trị vị trí là

lũy thừa của 8.

• Nếu dùng 1 tập hợp 3 bit thì có thể biểu diễn 8 trị khác

nhau : 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Các trị

này tương đương với 8 trị trong hệ thập phân là 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ví dụ:

235.64(8) = 2x82 + 3x81 + 5x80+ 6x8-1+ 4x8-2

= 157.8125(10)

7

Hệ đếm bát phân (Octal system)

7

Hệ đếm bát phân (Octal system)

• Hệ đếm thập lục phân là hệ cơ sơ b=16 = 24, tương

đương với tập hợp 4 chữ số nhị phân (4 bit).

Ví dụ:

34F5C(16) = 3x164 + 4x163 + 15x162+ 5x161+ 12x160

= 216294(10)

Ghi chú: một số ngôn ngữ lập trình qui định viết số hexa

phải có chữ H ở cuối chữ số.

Ví dụ: Số 15 viết là FH.

8

Hệ thập lục phân (Hexa-decimal system)

8

Hệ thập lục phân (Hexa-decimal system)

8

Hệ thập lục phân (Hexa-decimal system)

Hệ 10 Hệ 16 Hê 2 Hệ 10 Hệ 16 Hê 2

0 0 0000 8 8 1000

1 1 0001 9 9 1001

2 2 0010 10 A 1010

3 3 0011 11 B 1011

4 4 0100 12 C 1100

5 5 0101 13 D 1101

6 6 0110 14 E 1110

7 7 0111 15 F 1111

Bước 1: Xác định giá trị vị trí của mỗi ký số

Bước 2: Nhân giá trị vị trí lũy thừa b với ký số của cột tương ứng.

Bước 3: Cộng kết quả của các phép tính nhân trong bước 2.

Tổng cuối cùng sẽ là giá trị của hệ thập phân.

Ví dụ 1: 11001(2) = ?(10)

= 1x24 + 1x23 +0x22 + 0x21 + 1x20

=16 + 8 + 0 + 0 +1= 25(10)

Ví dụ 2:4706(8) = ?(10)

= 4x83 + 7x82 + 0x81 + 6x80

= 2048 + 448 + 0 + 6= 2502

Kết quả: 4706(8) = 2502(10)

10

Chuyển từ cơ số b (khác 10) sang hệ thập phân

Ví dụ 3:1AC(16) = ?(10)

Giải1AC(16) = 1x162 + Ax161 + Cx160

= 1x256 + 10x16 + 12x1= 256 + 160 +12= 428

Kết quả: 1AC(16) = 428(10)

Ví dụ 4:4052(7) = ?(10)Giải4052(7) = 4x73 + 0x72 + 5x71 + 2x70

= 1372 + 0 + 35 + 2= 1409

Kết quả: 4052(7) = 1409(10)

11

Chuyển từ cơ số b (khác 10) sang hệ thập phân

Bài tập

12. Convert the following numbers to decimal numbers:

a) 1101102 c) 2A3B16

b) 25436 d) 12349

11

Chuyển từ cơ số b (khác 10) sang hệ thập phân

Tổng quát:

• Lấy số nguyên thập phân N(10) lần lượt chia cho b cho đến khi

thương số bằng 0.

• Kết quả số chuyển đổi N(b) là các dư số trong phép chia viết ra

theo thứ tự ngược lại.

Ví dụ:Số 12(10) = ?(2). Dùng phép chia cho 2 liên tiếp, ta có một loạt

các số dư như

Kết quả: 1210 = 1100(2)

12

Chuyển một số nguyên từ hệ thập phân sang hệ cơ số b

Bài tập

13. Convert the following decimal numbers to binary numbers:

a) 43510 c) 3210

b) 169410 d) 13510

14. Convert the decimal numbers of question 13 to octal

numbers

15. Convert the decimal numbers of question 13 to

hexadecimal numbers

11

Chuyển một số nguyên từ hệ thập phân sang hệ cơ số b

Tổng quát:

• Lấy phần thập phân N(10) lần lượt nhân với b cho đến khi phần

thập phân của tích số bằng 0.

• Kết quả số chuyển đổi N(b) là các số phần nguyên trong phép

nhân viết ra theo thứ tự tính toán.

Ví dụ :

0. 6875(10) = ? (2)

0. 6875 * 2 = 1 . 375

0. 375 * 2 = 0 . 75

0. 75 * 2 = 1 . 5

0. 5 * 2 = 1 . 0

Kết quả: 0.6875 (10) = 0.1011(2)

13

Chuyển phần thập phân từ hệ thập phân sang hệ cơ số b

13

Chuyển phần thập phân từ hệ thập phân sang hệ cơ số b

❑Dạng số thập phân

Ví dụ:

110.1012=1x 22 + 1 x 21 + 0 x 20.1 x 2-1+0 x 2-2+1x2-3

= 4+ 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125

=6.62510

Bài tập: 456.375(10) = ?(2)

Bước 1: Chuyển số gốc sang hệ thập phân (hệ 10).Bước 2: Chuyển số hệ thập phân thu được sang cơ số mới.Ví dụ 1: 545(6) = ? (4)Bước 1: Chuyển từ hệ 6 sang hệ 10

545 = 5 x 62 +4 x 61 +5 x 60

= 5 x 36 +4 x 6 +5 x 1= 180 + 24 +5= 209(10)

Bước 2: Chuyển 209(10) sang hệ 4

Kết quả: 545(6) = 209(10) = 3101(4)

14

Chuyển từ cơ số khác 10 sang cơ số khác 10

101110(2) = ? (8)11010011(2) = ? (16)

Bài tập

16. Carry out the following conversions:

a) 1258 = ?2

b) 3F7 16 = ? 2

c) ABC16 = ?8

11

Chuyển một số nguyên từ hệ thập phân sang hệ cơ số b

Bước 1: Chia số nhị phân thành các nhóm, mỗi nhóm gồm ba

chữ số (bắt đầu từ phải qua).

Bước 2: Chuyển mỗi nhóm 3 chữ số thành 1 số hệ bát phân.

Kết quả: Kết nối các số bát phân

Ví dụ:

Chuyển 101110(2) = ? (8)

Bước 1: Chia số nhị phân thành các nhóm 101 và 110

Bước 2: Chuyển mỗi nhóm thành một số bát phân

101(2) = 1 x 22 +0 x 21 +1 x 20

= 4 + 0 + 1

= 5(8)

110(2) = 1 x 22 +1 x 21 +0 x 20

= 4 +2+0

= 6(8)

Kết quả: 101110(2) = 56(8)

15

Chuyển nhanh từ hệ nhị phân sang hệ bát phân

1101010(2) = ?(8) 11010011(2) = ? (8)

Bước 1: Chuyển mỗi số bát phân thành 3 số nhị phân.

Bước 2: Kết nối tất cả các nhóm nhị phân (mỗi nhóm có 3

số) thành một số nhị phân.

Ví dụ 1:

Chuyển 562(8) = ? (2)

Bước 1: Chuyển mỗi số bát phân thành 3 số nhị phân

5(8) = 101(2)

6(8) = 110(2)

2(8) = 010(2)

Bước 2: Kết nối các nhóm nhị phân.

562(8) = 101 110 010

5 6 2

Kết quả 562(8) = 101110010(2)

16

Chuyển nhanh từ hệ bát phân sang hệ nhị phân

Chuyển 6751(8) = ? (2)

Bước 1: Chia số nhị phân thành các nhóm có bốn chữ số.Bước 2: Chuyển mỗi nhóm 4 chữ số thành 1 số hệ thập lục phân. Kết quả: Kết nối các số thập lục phânVí dụ:Chuyển 11010011(2) = ? (16)Bước 1: Chia số nhị phân thành các nhóm bốn chữ số.

1101 0011Bước 2: Chuyển mỗi nhóm 4 số nhị phân thành một số thập lục phân1101(2) = 1 x 23 + 1 x 22 +0 x 21 +1 x 20

= 8 + 4 + 0 + 1= 13(10)

= D(16)

0011(2) = 0 x 23 +0 x 22 +1 x 21 +0 x 20

= 0 + 0 +2+1= 3(16)

Kết quả: 11010011(2) = D3(16)

17

Chuyển nhanh từ hệ nhị phân sang hệ thập lục phân

Chuyển 10110101100(2) = ?(16)

• Bước 1: Chuyển mỗi ký số thập lục phân sang số thập phân, mỗi số

thập phân chuyển thành số nhị phân gồm 4 ký số.

• Bước 2: Kết nối tất cả các nhóm nhị phân (mỗi nhóm có 4 số)

thành một số nhị phân.

Ví dụ 1:Chuyển 2AB(16) = ? (2)Bước 1:

2(16) = 2(10) = 0010(2)

A(16) = 10(10) = 1010(2)

B(16) = 11(10) = 1011(2)

Bước 2: Kết nối các nhóm nhị phân.2AB(16) = 0010 1010 1011

2 A B

Kết quả 2AB(16) = 001010101011(2)

18

Chuyển nhanh từ hệ thập lục phân thành hệ nhị phân

Chuyển ABC(16) = ? (2)

• Trong hệ thống nhị phân, các phần thập phân được định dạng theo cách chung như hệ thống số thập phân.

• Ví dụ, trong hệ thống số thập phân

0.235 = (2 x 10-1) + (3 x 10-2) + 5 x 10-3)

Và 68.53 = (6 x 101) + (8 x 100) + (5 x 10-1) +(3 x 10-2)

Tương tự, trong hệ thống số nhị phân

0.101 = (1 x 2-1) + (0 x 2-2) + (1 x 2-3)

Và

10.01 = (1 x 21) + (0 x 2-1) + (1 x 2-2)

Tổng quát, một số trong hệ thống số với cơ số b được viết như:

anan-1an-2…a1a0a-1a-2…am

và có thể được thông dịch thành

an.bn+an-1.b

n-1+an-2.bn-2+…+a1.b

1+a0.b0+a-1.b

-1+a-2.b-2+…+a-m.b-m

19

Phân số - Fractional Numbers

Ví dụ : Chuyển số 110.101(2) sang hệ 10

110.101(2) = 1 x 22 +1 x 21 +0 x 20 +1 x 2-1 + 0 x 2-2 +1 x 2-3

= 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125

= 6 + 0.5 +0.125

= 6.625(10)

20

Phân số

Chuyển số 127.54(10) sang hệ 8Chuyển số 2B.C4(16) sang hệ 10

Bài tập

1.Cơ số của một hệ thống số có nghĩa là gì? Cho ví dụ minh họa vai trò của cơ số trong hệ thống số.

2.Giá trị của các cơ số thập phân, thập lục phân, nhị phân và bát phân là gì?

3.Tìm các số thập phân tương đương với các số nhị phân sau:110101111010101100111101110111101011000101100011001010101100110001111

4. Tìm các số bát phân tương đương các số nhị phân của câu 3.5. Tìm các số thập lục phân tương đương các số nhị phân của câu 3

21

Câu Hỏi và Bài Tập

6. Chuyển các số sau sang hệ thập phân110110(2)2573(6)2A3B(16)1234(9)

7. Chuyển các số hệ thập phân sang hệ nhị phân435(10)1694(10)32(10)135(10)

8. Chuyển các số thập phân trong câu 7 sang hệ bát phân.9. Chuyển các số thập phân trong câu 7 sang hệ thập lục phân.10. Tìm kết quả của các chuyển đổi sau:

126(6) = ?(4)24(9) = ?(3)ABC(16) = ?(8)135(10) = ?(2)

22

Câu Hỏi và Bài Tập

11. Chuyển các số sau sang hệ nhị phân2AC(16)FAB(16)2614(8)562(8)

12. Tìm các số thập phân của các số sau:111.01(2)1001.011(2)247.65(8)A2B.D4(16)

13. Hãy đổi các số thập phân sau đây ra hệ nhị phân: 5, 9, 17, 27, 6625

14. Hãy đổi các số nhị phận sau đây ra hệ thập phân:

11, 111, 1001, 1101, 1011110

15. Đổi các số nhị phân sau đây ra hệ 16

11001110101,

1010111000101,

11110111011100110

16. Đổi các số hệ 16 ra hệ nhị phân

3F8, 35AF, A45

23

Câu Hỏi và Bài Tập