Chương 1 Giới hạn và liên tụcchuong3a – nick yahoo, mail: chuong2a@gmail.com

1/ Cách đổi 1 số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số...........................................................32/ Nguyên lí Supremum.................................................................................................................43/ Định nghĩa giới hạn...................................................................................................................44/ Dãy con......................................................................................................................................55/ Dãy đơn điệu..............................................................................................................................66/ Để chứng minh hàm f(x) không tiến tới a khi...........................................................................67/ Định lí so sánh...........................................................................................................................78/ Định lí Cantor............................................................................................................................79/ Định lí Bolzano – Weierstrass..................................................................................................810/ Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy........................................................................................................812/ Vô cùng bé...............................................................................................................................913/ Vô cùng lớn...........................................................................................................................1314/ Hàm số liên tục:.....................................................................................................................13

Phân loại điểm gián đoạn:........................................................................................................1415/ Bổ túc về hàm số....................................................................................................................15

1/ hàm số y acrsinx..............................................................................................................162/ Hàm số y arccosx:............................................................................................................173/ hàm số y arctgx................................................................................................................174/ hàm số y arccotgx:...........................................................................................................17

5/ hàm số ......................................................................................................17

6/ hàm số..................................................................................................................................177/ Các hàm hyperbolic và hàm ngược của chúng:...................................................................18

8/  ..............................................................................18

Bài tập..........................................................................................................................................20

– Chứng minh: ......................................................................................................21

– Chứng minh là 1 số vô tỉ:..................................................................................................21

3/ 36 Cho dãy chứng minh: ...............................................21

4/ 36 chứng minh: a/ .....................................................................22

b/ chứng minh: ....................................................................................................22

5/ 37 Cho dãy .................................................................22

Hãy chỉ ra sai sót trong lập luận sau:.......................................................................................22

..................................................22

1

* Cho dãy hội tụ về a và ≤ M. Cm: a ≤ M...................................................................22* Cho f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b], f(x) ≤ g(x) x (a, b). Cm: f(a) ≤ g(a)...................22

6/ 37 Cho dãy được định nghĩa bằng qui nạp như sau:.............

23

a/ chứng minh là dãy tăng và bị chặn trên b/ Tính ..........................................23

8/ 38 Cho là dãy hội tụ, là dãy phân kì dãy có thể hội tụ, có thể phân kì..............................................................................................................................................23

9/ 38 Cho dãy số dương . Giả sử ...............23

nnx 0 x 0

1 1 110 / 39 lim .sin ko ton tai lim x .sin 0

x xx

............................................24

.................................................................................................25

nn

n 1x 0

a bx a b13 / 40 lim

x n.a

........................................................................................25

m n3 3 2 2

x 0 x

1

23x 0

1 ax. 1 bx 1 a b14 / 40 lim 15 / 40 lim x 3x x 2x 2

x m n

tgx sin x15 / 40 lim e

x

.....25

x x 31

x x

d ab c .d dx e .lndx e g ca gx h

x x

x 2 x 116 / 40 lim 0 17 / 41 lim e

2x 1 x 2

ax b ax b* lim e * lim e

ax c cx d

.....................................26

n 2x 0 x 0

a.ln 1 tgx a.ln cos xa a19 / 41 lim 20 / 41 lim

b 2bb.x sin x b.ln 1 x

.........................................27

22/ 42 Xét tính liên tục của hàm: .....................................................28

23/ 42 Xét tính liên tục của hàm: ................................................28

Phần bài tập tự giải:.................................................................................................................28

..............................................................................................28

2

...29

.........................................................................................................29

.......................................................................................30

....................................................30

..........................................................................................31

1 1x 2x x

x 1 x 0 x 0

x 1 130 / 43 lim 1 32 / 43 lim cos x 34 / 43 lim 1 sin x e

x ln x 2

...........33

x xx

xx x x

ln e 1 ln e 1a b ln136 / 44 lim 1 37 / 44 lim 1 lim 0

x xa b

.......34

............................35

cot2x

x 0* / I lim (cos x) 1

......................................................................................................35

1/ Cách đổi 1 số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số:

3

là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Chứng minh:

2/ Nguyên lí Supremum: định nghĩa 1.3.a: Số u được gọi là cận trên của tập các số thực S, nếu . Số được gọi là cận trên đúng (or cận trên nhỏ nhất) của S nếu là cận trên

của S và với mọi cận trên u của S. ( còn được gọi là giới hạn trên của dãy số thực S)

Kí hiệu:

định nghĩa 1.3.b: Số v được gọi là cận dưới của tập các số thực S, nếu . Số

được gọi là cận dưới đúng (or cận dưới nhỏ nhất) của S nếu là cận trên của S và với mọi cận dưới v của S.( còn được gọi là giới hạn dưới của dãy số thực S)

Kí hiệu:

VD: Cho các tập: . Ta có:

Inf A 1; sup A 5; Inf B 3; không tồn tại sup B (trong trường hợp này ta quy ước )

Inf C 0; sup C 1 3/ Định nghĩa giới hạn:

4

(đọc là vì dãy tiến đến a nên tồn tại số N sao cho với mọi n > N thì |xn – a| là 1 số vô cùng bé)Vì ε 0 nên ta có thể chọn ε (0, 1) sao cho ε 0+.Vì n ≥ N(ε) nên ta có thể chọn n +∞ (n là 1 số vô cùng lớn) n N(ε) N(ε) cho trước.

Vậy ta có định nghĩa đặc biệt hóa giới hạn của dãy ở +∞:

Với ε là 1 vô cùng bé tiến đến 0Qui tắc cộng, trừ, nhân, chia các giới hạn:Cho với ε là 1 số vô cùng bé 0 khi n + ∞

với C là hằng số và C.ε là 1 số vô cùng bé 0

4/ Dãy con: Cho dãy . Nếu từ đó ta trích ra các số: sao cho

thì dãy được gọi là dãy con của dãy

Định lí: Nếu dãy có giới hạn a thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn a

Chứng minh: cho và là 1 dãy con của nó. Với ( là 1 số vô cùng bé), vì

(định nghĩa giới hạn) (đọc là vì dãy tiến đến a nên

tồn tại số N sao cho với mọi n > N thì là 1 số vô cùng bé)

Đối với dãy con , lấy số

Hệ quả: 1/ Nếu tồn tại 1 dãy con (của dãy ) không tiến tới a thì cũng không tiến tới a2/ Nếu tồn tại 2 dãy con (của cùng 1 dãy ) tiến tới 2 giới hạn khác nhau thì dãy không có giới hạn.

VD1: Cho . Khi ấy các dãy con:

5

Vậy dãy không có giới hạn.

VD2: Cm: ko tồn tại

Giải: ta lấy 2 dãy con

Vậy ko tồn tại

5/ Dãy đơn điệu: định nghĩa: Dãy được gọi là dãy tăng nếu Dãy được gọi là dãy giảm nếu Dãy tăng và dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.Định lí: Dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn trên. Dãy giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn dưới.Chứng minh: Giả sử dãy tăng và bị chặn trên. Xét tập gồm tất cả các

phần tử của dãy. Vậy tập S khác rỗng và bị chặn trên, nên có S có cận trên đúng theo

nguyên lí Supremum. Ta chứng minh :

VD: Tính (calculate): Giải:

dãy giảm. Mặt khác dãy bị chặn dưới (> 0), nên có giới hạn, ta kí hiệu giới hạn đó là a.

6/ Để chứng minh hàm f(x) không tiến tới a khi ta xây dựng 2 dãy và cùng

tiến tới nhưng sao cho và 1 trong 2 số b hoặc c phải khác a.

VD: chứng minh không tồn tại: . Giải: lấy

. Khi ấy ta có

. Vậy khi x → 0 thì f(x) không có giới hạn.

Định lí: (1) nếu dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

(2) nếu dãy số hội tụ thì nó giới nội, tức là tồn tại một khoảng (b, c) chứa mọi phần tử xn.

6

Cm: (1) giả sử . Khi đó tồn tại (tập số tự nhiên N

bỏ số 0) sao cho:

(ε là một vô cùng bé, ε 0)

(2) giả sử . Khi đó tồn tại sao cho

. Gọi b là số bé nhất, c là số lớn nhất của tập hữu hạn

7/ Định lí so sánh: (1) cho 2 dãy số .

Cm: (1) ta cm bằng phản chứng. Giả sử a < b. Khi đó tồn tại số r sao cho a < r < b. Vì

.

8/ Định lí Cantor: cho 2 dãy số sao cho

Cm: chọn một số nguyên dương n cố định bất kì. Ta có

Dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ.

Điểm c là duy nhất, vì nếu d cũng là điểm chung của mọi đoạn thì ta có:

Định nghĩa: dãy các đoạn thỏa mãn điều kiện được gọi là

dãy các đoạn bao nhau.

7

9/ Định lí Bolzano – Weierstrass: từ mọi dãy số giới nội ta đều có thể trích ra một dãy con hội tụ.Cm: ta dùng phuong pháp chia đôi. Dãy giới nội nên tồn tại 2 số ao, bo sao cho

. Điểm chia đoạn thành 2 đoạn

. Ta chọn đoạn và đặt .

Ta có Lại chia đoạn làm 2 bởi điểm .

Ta chọn đoạn và đặt .

Ta có , và cứ tiếp tục như vậy ta sẽ được 1 dãy các

đoạn thẳng bao nhau:

. Theo định lí Cantor, tồn tại 1 số thực duy nhất .

Vì mỗi đoạn đều chứa vô số phần tử của dãy , ta có thể lấy trong mỗi đoạn

1 điểm của dãy . Dãy là 1 dãy con của dãy . Vì 2 số và c

đều cùng thuộc đoạn

10/ Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy:Định nghĩa: dãy số được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu Định lí 1: dãy Cauchy là 1 dãy giới nội

Cm: giả sử là 1 dãy Cauchy. Khi đó tồn tại (tập số tự nhiên N bỏ số 0)

Định lí: điều kiện để dãy số thực hội tụ là nó là dãy Cauchy

Cm: giả sử dãy hội tụ, . Khi đó

. Vậy là dãy Cauchy.

8

Đảo lại: giả sử là dãy Cauchy, theo định lí 1 nó là 1 dãy giới nội, theo định lí Bolzano –

Weierstrass, ta có thể trích ra 1 dãy con hội tụ .

Giả sử ,

11/

Giới hạn lim , dạng vô định

12/ Vô cùng bé:

Định nghĩa: hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé khi nếu (ở đây

có thể là ±∞)

trong đó α(x) là vô cùng bé khi

So sánh các vô cùng bé: Cho α(x), β(x) là vô cùng bé khi . Chúng được gọi là những vô

cùng bé so sánh được nếu tồn tại giới hạn: khi đó, nếu: a/ c ≠ 0, c ≠ ∞ thì ta

nói α(x), β(x) là những vô cùng bé cùng cấp

b/ c 0, ta nói α(x) là vô cùng bé cấp cao hơn β(x), và kí hiệu: (khi

) (đọc là o – micro của β(x))

c/ Tồn tại r > 0 sao cho α(x) cùng cấp với thì ta nói α(x) là vô cùng bé cấp r đối với

β(x).

VD1: , vì x là vô cùng bé và bị chặn

9

Vô cùng bé tương đương và giới hạn:Định nghĩa: Cho α(x), β(x) là vô cùng bé khi . Chúng được gọi là những vô cùng bé

tương đương nếu :

Khi đó ta viết: .

Các tính chất của vô cùng bé tương đương (khi ):

10

e/ Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé cấp cao (số nhỏ hơn):

Cho

là vô cùng bé cấp cao hơn

giới hạn của tỉ số bằng giới hạn của tỉ số 2 vô cùng bé cấp thấp của tử và mẫu.

11

VD1: Tính:

13/ Vô cùng lớn:

Định nghĩa: hàm số y f(x) được gọi là vô cùng bé khi nếu

f(x) là vô cùng lớn là vô cùng bé

12

Cho f(x), g(x) là các vô cùng lớn và khi đó, nếu:

a/ c ≠ 0, c ≠ ∞ thì ta nói f(x), g(x) là những vô cùng lớn cùng cấpb/ c 1 thì ta nói f(x), g(x) là những vô cùng lớn tương đương.

c/ nếu ta nói f(x) là vô cùng lớn cấp cao hơn g(x).

d/ Nếu f(x), g(x) là các vô cùng lớn khác cấp, thi2 f(x) + g(x) tương đương vô cùng lớn cấp cao hơn.

e/ giới hạn của có thẻ được thay giới hạn các vô cùng lớn tương đương.

[x] là phần nguyên của x

14/ Hàm số liên tục:Định nghĩa: hàm số f(x) được gọi là liên tục tại nếu nó xác định tại điểm ấy và

. Nếu thì hàm số cũng liên tục tại

Định lí 1: Nếu f(x) liên tục tại xo và f(xo) > 0, khi ấy sẽ có 1 δ – lân cận của xo sao cho với mọi

x thuộc lân cận ấy (và thuộc miền xác định của f(x)) ta có f(x) > 0Chứng minh: Vì f(xo) > 0, nên , với ε đó, từ định nghĩa giới hạn, ta có:

điều đó có ngĩa là với – lân cận của xo ta có:

* Sự liên tục đều: 1/ Định nghĩa: hàm số f(x) xác định trong khoảng D được gọi là liên tục đều trong

13

2/ Định lí: (Heine) cho 1 hàm số f liên tục trên 1 khoảng đóng, giới nội [a, b], khi đó f liên tục đều trên [a, b]

Phân loại điểm gián đoạn: định nghĩa: hàm f(x) được gọi là liên tục trái tại xo nếu nó xác định tại xo và

f(x) được gọi là liên tục phải tại nếu nó xác định tại xo và

hàm f(x) liên tục tại xo tương đương f(x) liên tục trái và liên tục phải tại

VD1: hàm f(x) [x] liên tục phải tại k Z nhưng không liên tục tại k

VD2: hàm Dirichlet: không liên tục tại mọi điểm x R

Cho . Theo tính chất của số thực, tồn tại dãy số vô tỉ hội tụ đến .

Khi ấy:

Vậy f(x) không liên tục tại . Tương tự f(x) không liên tục tại các điểm vô tỉ.Định nghĩa: Nếu f(x) không liên tục tại thì điểm được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x).

a/ Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn:

xo được gọi là điểm gián đoạn loại 1 – điểm khử được nếu

xo được gọi là điểm gián đoạn loại 1 – điểm nhảy nếu .

Khi ấy hiệu số: được gọi là bước nhảy của f(x) tại .

14

b/ xo được gọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu:

VD3: có x 2 là điểm gián đoạn khử được.

VD4: Khảo sát hàm số: hàm số không xác định tại

Vậy x –1 là điểm gián đoạn loại 2. Các điểm x 0 và x 1 là điểm gián đoạn khử được.15/ Bổ túc về hàm số:Hàm được gọi là hàm chẵn nếu . Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục Oy.Hàm được gọi là hàm lẻ nếu . Đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.Hàm ngược: hai hàm số f và g được gọi là ngược hoặc (nghịch đảo) nhau nếu:

với mọi x thuộc miền xác định của g với mọi x thuộc miền

xác định của f

Ta kí hiệu

Đồ thị của 2 hàm ngược đối xứng nhau qua đường phân giác góc I

Điểm (a, b) thuộc đồ thị của hàm điểm (b, a) thuộc đồ thị hàm ngược

15

Nếu điểm (a, b) thuộc đồ thị của hàm . Điều đó

có nghĩa là điểm (b, a) thuộc đồ thị hàm ngược

Nếu điểm (a, b) thuộc đồ thị của hàm . Điều

đó có nghĩa là điểm thuộc đồ thị hàm . Ta xét:

. Vậy đồ thị của hàm và

đối xứng nhau qua đường parabol

Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị của f(x) ta có duy nhất 1 phần tử sao cho thì ta nói f(x) là hàm tương ứng 1:1 hay là đơn ánh (X là miền xác định kí hiệu ).

Điều đó có nghĩa là thì f(x) là đơn ánh. Hàm số f(x) có hàm ngược tương đương f(x) là 1 đơn ánh.Nếu với mọi ta gọi f(x) là đơn điệu tăng chặt trên khoảng (a, b)Nếu với mọi ta gọi f(x) là đơn điệu giảm chặt trên khoảng (a, b)Nếu hàm số f(x) đơn điệu tăng chặt trên khoảng (a, b) (tương tự đơn điệu giảm chặt) thì f(x) có hàm ngược trên khoảng ấy.Hàm lượng giác ngược: 1/ hàm số y acrsinxHàm số y sinx không là hàm 1:1 trên toàn miền xác định ( R). Nhưng nếu chỉ hạn chế trên

đoạn thì hàm số

y sinx là hàm đơn điệu tăng chặt và có miền giá trị . Khi ấy hàm số y sinx có hàm

ngược trên đoạn kí hiệu là:

y acrsinx với miền xác định là (là miền giá trị của y sinx) và miền giá trị

(là miền xác định của y sinx).

VD1Tính . Góc không nằm trong đoạn nên không sử dụng

trực tiếp công thức nêu trên. Ta biến đổi:

. Vậy:

Tính

16

2/ Hàm số y arccosx: miền xác định: và miền giá trị:

Từ tính chất bù của sin và cos ta có:

3/ hàm số y arctgx miền xác định: và miền giá trị:

4/ hàm số y arccotgx: miền xác định: và miền giá trị:

5/ hàm số

có hàm ngược

6/ hàm số có hàm ngược

7/ Các hàm hyperbolic và hàm ngược của chúng:

17

Các tính chất hàm hyperbolic khá giống tính chất hàm lượng giác:Ch0 1 sh0 0 ch(–x) chx sh(–x) –shx ch(x ± y) chx.chy ± shx.shy

sh(x ± y) shx.chy ± chx.shy

Các hàm shx và chx đơn điệu chặt trên R và có miền giá trị là R nên nó có hàm ngược

18

8/ 

*/ Dãy cấp số nhân:

19

Bài tập:

– Chứng minh: n

nlim n 1

................................................................................................... 21

– Chứng minh là 1 số vô tỉ: ....................................................................................................... 21

3/ 36 Cho dãy nx chứng minh: n nn nlim x 0 lim x 0

.................................... 22

4/ 36 chứng minh: a/ 22

b/ chứng minh: .............................................................................................................................................................................................................

5/ 37 Cho dãy ...........................................................................................................................................................................

Hãy chỉ ra sai sót trong lập luận sau: ................................................................................................................................................................................................

* Cho dãy {an} hội tụ về a và an ≤ M. Cm: a ≤ M ............................................................................ 22 * Cho f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b], f(x) ≤ g(x) x (a, b). Cm: f(a) ≤ g(a) ......................... 23

6/ 37 Cho dãy được định nghĩa bằng qui nạp như sau: 23

a/ chứng minh là dãy tăng và bị chặn trên b/ Tính 23

8/ 38 Cho là dãy hội tụ, là dãy phân kì dãy có thể hội tụ, có thể phân kì ........................................................................................................................................................................................................................................................

9/ 38 Cho dãy số dương . Giả sử ........................................................................................................................

20

22/ 42 Xét tính liên tục của hàm: 28

23/ 42 Xét tính liên tục của hàm: 28

Phần bài tập tự giải: ...........................................................................................................................................................................................................................

*/ Prove:

Solution: Lấy . Vậy với n > 1, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

*/ Prove that: là 1 số vô tỉ:

Solution:

giả sử là 1 số hữu tỉ và biểu diễn ở dạng phân số tối giản . Khi ấy

là số chẵn m cũng là số chẵn vì nếu ngược lại thì m + 1 là số chẵn, giả sử:

là số lẻ, mâu thuẫn. Vậy m

chẵn chẵn (lập luận tương tự như trên). Ta

được cả m và n đều là những số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết tối giản của phân số

21

3/ 36 Cho dãy chứng minh:

Solution:

Với mọi ε > 0 cho trước, do nên

4/ 36 chứng minh: a/

Solution:

Gọi thì b > 1 nên ta có thể đặt

b/ chứng minh:

Solution: nếu a > 1, ta có:

theo định lí về dãy bị kẹp thì

Nếu ,

5/ 37 Cho dãy

Hãy chỉ ra sai sót trong lập luận sau:

Công thức lim của tổng bằng tổng các lim chỉ áp dụng cho trường hợp tổng hữu hạn, nghĩa là các số hạng không phụ thuộc vào n

Ta có:

*/ Cho dãy hội tụ về a và ≤ M. Cm: a ≤ M

Solution:

22

* Cho f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b], f(x) ≤ g(x) x (a, b). Cm: f(a) ≤ g(a)Đặt h(x) f(x) – g(x) 0 x (a, b). Do f(x), g(x) liên tục tại a

6/ 37 Cho dãy được định nghĩa bằng qui nạp như sau:

a/ chứng minh là dãy tăng và bị chặn trên b/ Tính

Solution: ta chứng minh : . Giả sử , khi đó

. Vậy theo qui nạp

b/ Vì là dãy tăng và bị chặn nên tồn tại. Đặt . Qua giới hạn đẳng

thức , ta được

8/ 38 Cho là dãy hội tụ, là dãy phân kì dãy có thể hội tụ, có thể phân kì

Example: choose là dãy hội tụ

choose là dãy phân kì

không tồn tại.

9/ 38 Cho dãy số dương . Giả sử

Do nên tồn tại số sao cho . Với đã cho,

23

Solution:

dont exist.

như vậy 2 dãy có cùng giới hạn là 0 nhưng 2 dãy hàm tương ứng

có 2 giới hạn khác nhau nên không tồn tại

24

Solution:

Nhân và chia với lượng liên hiệp của tử và mẫu ta được:

Solution:

Solution:

25

Solution:

26

Solution:

27

22/42 Xét tính liên tục của hàm:

Solution:

, các hàm sinx, x đều liên tục tại nên cũng liên tục tại .

. Vậy f(x) cũng liên tục tại 0.

23/ 42 Xét tính liên tục của hàm:

Solution:

liên tục nên f(x) liên tục.

không tồn tại nên f(x) không liên tục tại 0.

Phần bài tập tự giải:

Solution:

28

Solution:

Solution:

29

Solution:

Solution:

30

Ta nhận thấy các số hạng có mẫu giống nhau khi:

là dãy cấp số nhân là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Solution:

31

31/ Tìm để khử dạng vô định này ta thực hiện phép đổi biến

32

Solution:

33

Solution:

34

Solution: Ta có thể thay n, k là các biểu thức vô cùng lớn sao cho tốc độ hội tụ đến ∞ của k luôn < n:

Solution:

35

This comes from two things: first, taking the logarithm to get then noting that as

so we can replace

as long as

exists and is nonzero.

oo: ∞ >=: ≥ <=: ≤ u`: µanpha: α x`: × ;; : ÷ =/ : ≠ +-: ± 1`: ↑ 2`: ↓→ ← ≈ e`: ∂

denta: ∆ − 0`: θ n`: η ζ eq1: ε teta: δ γ beta: β ι κ lamda: λξ ρ ς σ τ υ fi: φ : χ

ψ omega: ω ~ o/: Ø Φ г б ==: ≡ pi: π

36

37